Polinomi - Matematica e Informatica

L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Polinomi
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Docente: Francesca Benanti
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2 febbraio 2008
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Modulo Didattico: Complementi di Algebra
1.
L’Anello dei Polinomi
L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in
un campo è posto immediatamente dopo lo studio degli interi poichè la struttura algebrica dell’insieme dei polinomi a
coefficienti in un campo è simile alla struttura algebrica dell’insieme degli interi, nel senso che gran parte delle definizioni
e proprietà che avete visto nel caso degli interi si possono dare
in modo pressochè invariato nel caso dei polinomi.
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L’educazione scolastica impone lo studio dei polinomi già a
livello della scuola media inferiore. La moltiplicazione tra
polinomi, la divisione tra due polinomi, la fattorizzazione
di un polinomio, la semplificazione di polinomi costituiscono
parte integrante dell’educazione matematica di uno studente.
Introduciamo, dunque, formalmente la nozione di polinomio
in una indeterminata a coefficienti in un campo.
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomio
f (x) nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K una
espressione formale del tipo
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
dove ai ∈ K, ∀ i = 1, . . . n.
Gli elementi ai , ∀ i = 1, . . . n sono detti coefficienti del polinomio f (x).
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomio
f (x) nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K una
espressione formale del tipo
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
dove ai ∈ K, ∀ i = 1, . . . n.
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Gli elementi ai , ∀ i = 1, . . . n sono detti coefficienti del polinomio f (x).
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Esempi:
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• f (x) = −5 + x − 7x + 3x − 4x polinomio a coefficienti razionali;
√
• f (x) = −5 + 3x3 polinomio a coefficienti reali.
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• f (x) = i + x2 polinomio a coefficienti complessi.
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Divisibilità in K[x]
Definizione: Sia f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn un
polinomio nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K.
Si definisce grado di f (x) l’intero n, se an 6= 0, e si scrive
gr(f (x)) = n.
Il coefficiente an 6= 0 è detto coefficiente principale o direttivo
di f (x).
Scomposizione di . . .
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Divisibilità in K[x]
Definizione: Sia f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn un
polinomio nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K.
Si definisce grado di f (x) l’intero n, se an 6= 0, e si scrive
gr(f (x)) = n.
Il coefficiente an 6= 0 è detto coefficiente principale o direttivo
di f (x).
Scomposizione di . . .
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Esempi:
• Sia f (x) = −5 + x − 7x2 + 3x3 − 4x8 , allora gr(f (x)) = 8;
√
• Sia f (x) = −5 + 3x3 , allora gr(f (x)) = 3;
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• Sia f (x) = i + x , allora gr(f (x)) = 2;
• Sia f (x) = −45, allora gr(f (x)) = 0.
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Divisibilità in K[x]
Definizione: Sia f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn un
polinomio nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K.
Si definisce grado di f (x) l’intero n, se an 6= 0, e si scrive
gr(f (x)) = n.
Il coefficiente an 6= 0 è detto coefficiente principale o direttivo
di f (x).
Scomposizione di . . .
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Esempi:
• Sia f (x) = −5 + x − 7x2 + 3x3 − 4x8 , allora gr(f (x)) = 8;
√
• Sia f (x) = −5 + 3x3 , allora gr(f (x)) = 3;
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• Sia f (x) = i + x , allora gr(f (x)) = 2;
• Sia f (x) = −45, allora gr(f (x)) = 0.
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Osservazione: Si noti che il grado di un polinomio costante
f (x) = a0 è zero. Al polinomio nullo f (x) = 0K non si attribuisce in genere un grado.
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Definizione: Un polinomio con un solo termine è detto
monomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio,
e cosı̀ via.
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Divisibilità in K[x]
Definizione: Un polinomio con un solo termine è detto
monomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio,
e cosı̀ via.
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Esempi:
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• f (x) = +2x,
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f (x) = −2x8 ,
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f (x) = −9
sono monomi;
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f (x) = −2x8 + 1,
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f (x) = −9 − x
sono binomi;
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• f (x) = +2x − x ,
• f (x) = +2 − 3x2 − x4 ,
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8
f (x) = −2x + 1 − 4x,
f (x) = −9 − x + x5
sono trinomi.
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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Definizione: Si indica con
K[x] = {f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn | ai ∈ K, n ∈ N}
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l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a
coefficienti nel campo K.
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Definizione: Si indica con
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K[x] = {f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn | ai ∈ K, n ∈ N}
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l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a
coefficienti nel campo K.
Osservazione: Due polinomi di K[x]
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
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2
g(x) = b0 + b1 x + b2 x + · · · + bm x
m
sono uguali se e solo se ai = bi , ∀i (in particolare se m > n,
allora bn+1 = bn+2 = · · · = bm = 0).
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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Definizione: Si indica con
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K[x] = {f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn | ai ∈ K, n ∈ N}
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l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a
coefficienti nel campo K.
Osservazione: Due polinomi di K[x]
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
e
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g(x) = b0 + b1 x + b2 x + · · · + bm x
m
sono uguali se e solo se ai = bi , ∀i (in particolare se m > n,
allora bn+1 = bn+2 = · · · = bm = 0).
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Introduciamo adesso in K[x] due operazioni: l’Addizione e
la Moltiplicazione.
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Divisibilità in K[x]
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Definizione: Dati due polinomi in K[x]
Esercizi
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
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e
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g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
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Si definisce, (se n ≥ m),
2
f (x)+g(x) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+(a2 +b2 )x +· · ·+(an +bn )x
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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Definizione: Dati due polinomi in K[x]
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f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
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g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
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Si definisce, (se n ≥ m),
2
f (x)+g(x) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+(a2 +b2 )x +· · ·+(an +bn )x
Esempio:
f (x) = 2 − 3x2 − x4 ,
g(x) = 1 − x + x2 ,
Allora
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f (x) + g(x) = (2 − 3x2 − x4 ) + (1 − x + x2 ) = 3 − x − 2x2 − x4
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Osservazione: L’addizione tra polinomi gode delle seguenti proprietà:
• Associativa;
• 0K[x] = 0K è l’elemento neutro;
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• Commutativa;
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• Ogni polinomio f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ha
il suo simmetrico che è dato dal polinomio
−f (x) = −a0 − a1 x − a2 x2 + · · · − an xn .
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Osservazione: L’addizione tra polinomi gode delle seguenti proprietà:
• Associativa;
• 0K[x] = 0K è l’elemento neutro;
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• Commutativa;
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• Ogni polinomio f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ha
il suo simmetrico che è dato dal polinomio
−f (x) = −a0 − a1 x − a2 x2 + · · · − an xn .
(K[x], +) è un gruppo abeliano
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Divisibilità in K[x]
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Definizione: Dati due polinomi in K[x]
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f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
e
g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
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Si definisce,
f (x) · g(x) =
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= (a0 b0 )+(a1 b0 +a0 b1 )x+(a2 b0 +a1 b1 +a0 b2 )x2 +· · ·+(an bm )xn+m
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Divisibilità in K[x]
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Definizione: Dati due polinomi in K[x]
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f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
e
g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
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Si definisce,
f (x) · g(x) =
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= (a0 b0 )+(a1 b0 +a0 b1 )x+(a2 b0 +a1 b1 +a0 b2 )x2 +· · ·+(an bm )xn+m
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Esempio:
f (x) = 2 − 3x2 − x4 , g(x) = 1 − x + x2 ,
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Allora
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f (x) · g(x) = (2 − 3x − x )(1 − x + x ) =
= 2−2x+(2−3)x2 +3x3 +(3−1)x4 = 2−2x−1x2 +3x3 +2x4
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delle
seguenti proprietà:
• Associativa;
• 1K[x] = 1K = 1K + 0K x + 0K x2 + · · ·
è l’elemento neutro;
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• Commutativa.
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Divisibilità in K[x]
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Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delle
seguenti proprietà:
• Associativa;
• 1K[x] = 1K = 1K + 0K x + 0K x2 + · · ·
è l’elemento neutro;
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• Commutativa.
(K[x], ·) è un monoide commutativo
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Osservazione: Se f (x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x],
allora vale la proprietà distributiva:
[f (x) + g(x)]h(x) = f (x)h(x) + g(x)h(x)
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Divisibilità in K[x]
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Osservazione: Se f (x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x],
allora vale la proprietà distributiva:
[f (x) + g(x)]h(x) = f (x)h(x) + g(x)h(x)
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(K[x]; +, ·) è un anello commutativo con unità
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2.
Divisibilità in K[x]
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Teorema (Algoritmo della divisione per i polinomi)
Sia K un campo. Siano f (x), g(x) ∈ K[x] due polinomi, con
g(x) 6= 0. Allora esistono, e sono univocamente determinati, due
polinomi q(x) e r(x) in K[x] tali che
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f (x) = g(x)q(x) + r(x)
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con r(x) = 0 oppure gr(r(x)) < gr(g(x)).
q(x) è detto quoziente
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r(x) è detto resto
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Esempio: Consideriamo i due polinomi in Q[x]
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f (x) = x + 4x − 12x + 1 e g(x) = x + 4x + 1.
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Determiniamo q(x) e r(x)
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Allora
q(x) = x3 − 1
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2
r(x) = 4x − 12x + 2
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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Definizione: Si dice che un polinomio g(x) ∈ K[x] divide
un polinomio di f (x) ∈ K[x], e si scrive g(x)|f (x), se esiste
q(x) ∈ K[x] tale che
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f (x) = g(x)q(x)
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Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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Definizione: Si dice che un polinomio g(x) ∈ K[x] divide
un polinomio di f (x) ∈ K[x], e si scrive g(x)|f (x), se esiste
q(x) ∈ K[x] tale che
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f (x) = g(x)q(x)
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Esempio: Consideriamo i seguenti polinomi in Q[x]
f (x) = x4 − 2x2 + 1
g(x) = x − 1
Osserviamo che
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x4 − 2x2 + 1 = (x − 1)(x3 + x2 − x − 1)
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Dunque
g(x)|f (x)
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Teorema di Ruffini Se f (x) ∈ K[x] e α ∈ K è tale
che f (α) = 0, allora (x − α)|f (x).
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dimostrazione: Dividiamo f (x) per (x − α). Si ha
f (x) = (x − α)q(x) + r(x)
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con gr(r(x)) < gr(x − α) = 1. Dunque
f (x) = (x − α)q(x) + r
con r ∈ K costante. Valutando in α, si ottiene
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0 = f (α) = (α − α)q(α) + r
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Dunque r = 0.
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Regola di Ruffini:
Consideriamo f (x) = x3 + 3x2 − 6x − 8 ∈ Q[x]. Osserviamo
che f (−1) = −1 + 3 + 6 − 8 = 0. Allora per il teorema di
Ruffini f (x) è divisibile per x + 1, ossia esiste q(x) ∈ Q[x]
tale che
Prodotti Notevoli
Esercizi
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f (x) = x3 + 3x2 − 6x − 8 = (x + 1)q(x).
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Determiniamo q(x) mediante la nota regola di Ruffini
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Allora
q(x) = x2 + 2x − 8
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e
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3
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x + 3x − 6x − 8 = (x + 1)(x + 2x − 8).
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Definizione: Un polinomio 0 6= f (x) ∈ K[x], con
gr(f (x)) > 0, si dice irriducibile su K se
Scomposizione di . . .
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Esercizi
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f (x) = g(x)h(x) ⇒ gr(g(x)) = 0 o gr(h(x)) = 0
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dove g(x), h(x) ∈ K[x].
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Se non è irriducibile , il polinomio si dice riducibile.
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Esempi:
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• f (x) = x2 − 2 è irriducibile su Q;
Esercizi
• f (x) = x2 − 2 è riducibile su R, infatti
x2 − 2 = (x −
e x−
√
2 ∈ R[x], x +
√
√
2)(x +
√
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2)
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2 ∈ R[x]
• f (x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) è irriducibile su R;
• f (x) = x4 + 3x2 + 2 è riducibile su Q, infatti
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x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Teorema di Fattorizzazione unica Ogni polinomio
f (x) ∈ K[x] di grado positivo si fattorizza in un prodotto di un numero finito di polinomi irriducibili. Tale
fattorizzazione è unica nel senso che, se
f (x) = p1 (x)p2 (x) · · · ps (x) = q1 (x)q2 (x) · · · qt (x),
con pi (x), qj (x) ∈ K[x], allora s = t e riordinando
opportunamente i fattori pi (x) = aqi (x), con a ∈ K ∗ .
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
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3.
Scomposizione di un Polinomio
I metodi utilizzati nelle scuole medie per la fattorizzazione
di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su
Q sono i seguenti:
L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
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3.
Scomposizione di un Polinomio
I metodi utilizzati nelle scuole medie per la fattorizzazione
di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su
Q sono i seguenti:
L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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• Raccoglimento a fattor comune
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Esempi:
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• 3x2 − 6x + 12xy = 3x(x − 2 + 4y);
• 15a3 b2 − 5a2 b + 20a2 b4 = 5a2 b(3b − 1 + 4b3 ).
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3.
Scomposizione di un Polinomio
I metodi utilizzati nelle scuole medie per la fattorizzazione
di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su
Q sono i seguenti:
L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
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• Raccoglimento a fattor comune
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Esempi:
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• 3x2 − 6x + 12xy = 3x(x − 2 + 4y);
• 15a3 b2 − 5a2 b + 20a2 b4 = 5a2 b(3b − 1 + 4b3 ).
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II
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I
• Raccoglimento a fattor parziale
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Esempi:
• 3x + 6y − 2x2 − 4xy = x(3 − 2x) + 2y(3 − 2x) =
= (3 − 2x)(x + 2y);
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• ax − a + x − 1 = x(a + 1) − (a + 1) = (a + 1)(x − 1).
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L’Anello dei Polinomi
• Mediante Prodotti notevoli:
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
2
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2
• a − b = (a + b)(a − b);
Prodotti Notevoli
2
• a + b + 2ab = (a + b) ;
Esercizi
• a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 ;
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• a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 ;
3
2
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3
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3
• a + 3a b + 3ab + b = (a + b) ;
• a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 .
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I
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L’Anello dei Polinomi
• Mediante Prodotti notevoli:
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
2
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2
2
• a − b = (a + b)(a − b);
Prodotti Notevoli
2
• a + b + 2ab = (a + b) ;
Esercizi
• a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 ;
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• a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 ;
3
2
2
3
Home Page
3
• a + 3a b + 3ab + b = (a + b) ;
• a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 .
Title Page
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• Somma o Differenza di Cubi:
• a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 );
3
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2
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2
• a − b = (a − b)(a + ab + b ).
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L’Anello dei Polinomi
• Trinomio di secondo grado:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
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L’Anello dei Polinomi
• Trinomio di secondo grado:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
• Mediante la Regola di Ruffini
Esempio:
x3 + 3x2 − 6x − 8 = (x + 1)(x2 + 2x − 8).
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4.
Prodotti Notevoli
Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in
polinomi irriducibili su Q è spesso utili ricorrere a dei particolari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio
L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
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4.
Prodotti Notevoli
L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in
polinomi irriducibili su Q è spesso utili ricorrere a dei particolari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio
Scomposizione di . . .
Quadrato di un Binomio
Indichiamo i generici termini con le lettere S e T .
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Prodotti Notevoli
Esercizi
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(S + T )2 = S 2 + T 2 + 2ST
Verifica geometrica
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5.
L’Anello dei Polinomi
Esercizi
Divisibilità in K[x]
1. Determinare quoziente e resto delle seguenti divisioni
tra i polinomi f (x) e g(x) a coefficienti razionali:
• f (x) = 2x3 + 5x2 − 8x − 1, g(x) = x + 3;
Scomposizione di . . .
Prodotti Notevoli
Esercizi
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3
• f (x) = 4x − 3x + 8, g(x) = x + 2;
• f (x) = 2x4 − 2x2 + 3x − 1, g(x) = x2 − x + 3.
2. Dati i due polinomi a coefficienti razionali
f (x) = −9x3 + x + 2
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g(x) = 3x − 2
verificare se g(x) divide f (x).
3. Dati i due polinomi a coefficienti razionali
f (x) = −2x3 + 5x2 + 1
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g(x) = x2 + 2
verificare se g(x) divide f (x).
4. Utilizzando il teorema di Ruffini verificare se g(x) = x + 2
divide f (x) = x3 − 2x2 + 4x − 5 e determinare il quoziente
della divisione di f (x) per g(x).
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6.
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L’Anello dei Polinomi
Divisibilità in K[x]
Scomposizione di . . .
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Esercizi
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