Prova scritta di Matematica

Prova scritta di Matematica
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
16 Luglio 2014
Esercizio 1.
[6 punti]
Risolvere i seguenti limiti, senza ricorrere al Teorema di L’Hôpital:
√
√
x2 sin x + sin2 x
1
x + cos x
1 + tan x − 1 − tan x
lim
, lim x sin +
, lim
.
x→0
x→+∞
x→0
x3 + x sin x
x 4x − sin x
sin x
Esercizio 2.
[10 punti]
Dopo aver studiato il comportamento della funzione f , se ne tracci il
grafico qualitativo:
1
f (x) = |x|e x .
Esercizio 3.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z
1 + ln x
2
x log(1 + x ) dx ,
dx ,
x + x ln2 x
Z
Z
1
2
dx .
x sin(x ) dx ,
2
x + 8x + 16
[8 punti]
Esercizio 4.
[3 punti]
(
x sin(ln x) x > 0 ,
Dire se la funzione f (x) =
è continua in x = 0. In
1
x=0
caso negativo, trovare, se esiste, il valore che dovrebbe assumere la funzione
in x = 0 per essere continua.
Esercizio 5.
[6 punti]
Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e stabilire per
ciascuna delle seguenti funzioni se F è la propria funzione integrale in [a, b].
f (x) = x
f (x) = ex
f (x) = 3x2
f (x) = 1/x
in
in
in
in
[1,2] , F (x) = x2 − 1 ,
[0, 1],
F (x) = ex ,
[−1, 1] F (x) = x3 + 1 ,
[1, e]
F (x) = ln x − 1 .
Dare la definizione di punto di minimo relativo per una funzione f.
Prova scritta di Matematica
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
25 Giugno 2014
Esercizio 1.
[6 punti]
Risolvere i seguenti limiti, senza ricorrere al Teorema di L’Hôpital:
sin2 x
,
x→0 1 − cos x
lim
lim
x→(π/2)−
cos2 x + ln(cos x)
√
,
cos x − 2 cos x
ex−1 − 1
.
x→1 1 − cos(1 − x)
lim
Esercizio 2.
[10 punti]
Dopo aver studiato il comportamento della funzione f , se ne tracci il
grafico qualitativo:
√
f (x) = x2 + 3x .
Esercizio 3.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z √
1
x
√
dx ,
dx ,
3
2
x −4
x
Z
Z
1
√ dx ,
√
ex cos x dx .
x+x x
[8 punti]
Esercizio 4.
Discutere, al variare di n ∈ N, il risultato del limite
[3 punti]
2xn + x + 1
.
x→+∞
x2 − 1
lim
Esercizio 5.
[6 punti]
Dare la definizione di derivata prima di una funzione f.
Enunciare il rapporto tra derivabilità e continuità di una funzione.
Stabilire se f (x) = |x − 1| è continua e/o derivabile nel suo dominio,
giustificando ambo i casi.
Prova scritta di Matematica
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
26 Febbraio 2014
Esercizio 1.
[6 punti]
Risolvere i seguenti limiti, senza ricorrere al Teorema di L’Hôpital:
√
1+ln x
e x+1−1 − 1
1
x2
, lim (log2 e)
.
lim
, lim −2
x→0
x→1
x→0
x2 − 1
tan x − sin x
2x
Esercizio 2.
[10 punti]
Dopo aver studiato il comportamento della funzione f , se ne tracci il
grafico qualitativo:
f (x) = ln |x2 − 1| .
Esercizio 3.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
(3 + x) sin x dx ,
Z
6−x
dx ,
2
3x − x − 2
[8 punti]
Z
Z
√
−2 + ex dx ,
(x + 1)2 sin (x + 1)3 dx .
Esercizio 4.
[3 punti]
Calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle funzioni f (x) =
ln x, g(x) = x/2 − 1/2 e dalle rette x = 1, x = 2.
Esercizio 5.
[6 punti]
Dopo aver dato la definizione di funzione continua, trovare per quali valori
dei parametri reali k, h la funzione

x

x<0
ke
f (x) = 1
x=0


h + cos x x > 0
risulta continua in R.
Enunciare il Teorema di Fermat.
Prova scritta di Matematica
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
26 Febbraio 2014
Esercizio 1.
[6 punti]
Risolvere i seguenti limiti, senza ricorrere al Teorema di L’Hôpital:
√
1+ln x
1
x2
e x+1−1 − 1
, lim
.
lim 4
, lim (log2 e)
x→1
x→0 sin x − tan x
x→0
x2 − 1
2x
Esercizio 2.
[10 punti]
Dopo aver studiato il comportamento della funzione f , se ne tracci il
grafico qualitativo:
f (x) = ln |1 − x2 | .
Esercizio 3.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
(1 − x) cos x dx ,
Z
x + 14
dx ,
2
3x − x − 2
[8 punti]
Z
(x + 1)2 cos (x + 1)3 dx ,
Z
√
−3 + ex dx .
Esercizio 4.
[3 punti]
Calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle funzioni f (x) =
ln x, g(x) = x/2 − 1/2 e dalle rette x = 1, x = 2.
Esercizio 5.
[6 punti]
Dopo aver dato la definizione di funzione continua, trovare per quali valori
dei parametri reali k, h la funzione


x<0
x + k
f (x) = 1
x=0


2
|h − x | x > 0
risulta continua in R.
Enunciare il Teorema di Fermat.
Prova scritta di Matematica
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
22 Gennaio 2014
Esercizio 1.
[6 punti]
Risolvere i seguenti limiti, senza ricorrere al Teorema di L’Hôpital:
sin x
,
x→+∞ 1 + x2
lim
lim−
x→0
x2
.
x→0 1 − ex
tan x
,
x2
lim
Esercizio 2.
[10 punti]
Dopo aver studiato il comportamento della funzione f , se ne tracci il
grafico qualitativo:
x2
.
f (x) =
ln |x| − 1
Esercizio 3.
Calcolare i seguenti integrali:
Z
ln(1 + x) dx ,
Z
x3 + 2x − 1
dx ,
x2 − 4x + 4
[8 punti]
Z
sin
Z
√
x dx ,
√
cos x sin x dx .
Esercizio 4.
[3 punti]
Calcolare l’area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione
f (x) = −xex , dall’asse delle ordinate e dalla retta x = 1 .
Esercizio 5.
[6 punti]
Enunciare il Teorema di Weierstrass e stabilire per ciascuna delle seguenti
funzioni se può essere applicato o meno, giustificando ogni caso.
(
x2 , se x 6= 0
(i) f : [−1, 1] → R
f (x) =
2 , se x = 0
(ii) f : (0, 1) → R
(iii) f : R → R
f (x) = x
f (x) = x
(iv) f : [−2, 2] → R
f (x) = (1/3)x
Dare la definizione di primitiva di una funzione f .
Prova scritta di Matematica
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
22 Gennaio 2014
Esercizio 1.
[6 punti]
Risolvere i seguenti limiti, senza ricorrere al Teorema di L’Hôpital:
√
√
√
cos x
(x − 1)2
,
lim
.
x+1− x ,
lim
lim 2
x→+∞
x→1 sin(1 − x)
x→+∞ x + 1
Esercizio 2.
[10 punti]
Dopo aver studiato il comportamento della funzione f , se ne tracci il
grafico qualitativo:
x2
f (x) =
.
5(ln |x| − 2)
Esercizio 3.
[8 punti]
Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z
e2x
x
e sin x dx ,
dx ,
ex + 1
Z 3
Z
x + 2x + 1
dx ,
7x cos(3x2 − 5) dx .
x2 − 4x + 4
Esercizio 4.
[3 punti]
Calcolare l’area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione
f (x) = −x ln x e dalle rette x = 1, x = e .
Esercizio 5.
[6 punti]
Enunciare il Teorema di Lagrange e stabilire per ciascuna delle seguenti
funzioni se può essere applicato o meno, giustificando ogni caso.
(
x2 , se x 6= 0
(i) f : [−1, 1] → R
f (x) =
2 , se x = 0
(ii) f : (0, 1] → R
f (x) = 1/x
(iii) f : [−π/2, π/2] → R
(iv) f : [−2, 2] → R
f (x) = cos x
f (x) = |x|
Dare la definizione di primitiva di una funzione f .