Esercizi di Algebra II

Esercizi di Algebra II
18 Novembre 2016 – # 6
Esercizio 1. Siano a := 4 + 13i, b := 8 + i ∈ Z[i]. Determinare q, r ∈ Z[i]
tali che a = bq + r con r = 0 o rδ < bδ (dove δ denota l’usuale funzione
euclidea per Z[i]).
Idea di risoluzione. Osserviamo innanzitutto che è possibile estendere
la funzione euclidea δ a tutti i numeri complessi in modo canonico. Pertanto, per ogni x = α + iβ ∈ C, indicheremo con xδ il valore α2 + β 2 .
Osserviamo inoltre che, per ogni x, y ∈ C, si ha (xy)δ = xδyδ (la verifica di ciò è banale). I numeri a e b, essendo interi di Gauss, sono in
particolare numeri complessi e, poiché b 6= 0, esiste b−1 e appartiene a
C (attenzione: non è detto che b−1 sia un intero di Gauss; al contrario
questo non succede quasi mai).
Allora banalmente vale a = a· 1 = a· (b· b−1 ) = (a· b−1 )· b. Costruiamo
cosı̀ i numeri q ed r a partire da ab−1 .
Troviamo due numeri m ed n tali che: ab−1 = m + n, m ∈ Z[i], n ∈ C e
n = 0 oppure nδ < 1. A questo punto, poniamo q := m e r := bn. Cosı̀
si avrà
a = (a· b−1 )· b
= (m + n)b
= mb + nb
= qb + r
e se n = 0 allora r = bn = 0, altrimenti
rδ
=
(nb)δ
=
nδbδ
<
bδ
nδ<1
1
e quindi l’esercizio sarà risolto.
Soluzione. Si ha che b−1 =
8
65
−
1
i
65
e che
8
ab−1 = (4 + 13i)( 65
−
1
i)
65
=
9
13
+
20
i.
13
4
6
9
+ 20
i come 1 − 13
+ 2i − 13
i, quindi, posti
Possiamo scrivere il numero 13
13
4
6
−1
m := 1 + 2i e n := − 13 − 13 i, si ottiene che ab = m + n e che nδ < 1.
Poniamo infine q := m e r := bn = −2 − 4i per ottenere la tesi.
Esercizio 2. Siano a := 4 + 13i, b := 8 + i ∈ Z[i]. Determinare un
massimo comune divisore di a e b.
Inoltre, detto α un massimo comune divisore fra a e b, determinare due
interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ.
Soluzione. Per deteminare un massimo comune divisore applichiamo
l’algoritmo di Euclide. Dall’esercizio precedente abbiamo ricavato che
a = b(1 + 2i) + (−2 − 4i).
Ora, applicando l’algoritmo di Euclide, il divisore diventa il dividendo e
il resto diventa divisore. Dobbiamo determinare quindi q 0 , r0 tali che
b = q 0 r + r0
con r0 = 0 o r0 δ < rδ. Procedendo come nell’esercizio precedente si ricava
q 0 = (−i + i) e r0 = (2 − i), cioè che
b = (−1 + i)r + (2 − i).
Continuando ad applicare l’algoritmo di Euclide, bisogna ora trovare
q 00 , r00 tali che
r = (2 − i)q 00 + r00 .
Facendo attenzione ai numeri in questione (oppure applicando ancora
il ragionamento del primo esercizio), si ottiene che r = −2ir0 , cioè che
q 00 = −2i e r00 = 0. Ricapitolando, abbiamo trovato
a = b(1 + 2i) + (−2 − 4i)
b = (−1 + i)r + (2 − i)
2
r = −2ir0
Per il teorema dell’algoritmo di Euclide, 2 − i = r0 è un massimo comune
divisore fra a e b.
Idea per trovare due interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ.
Mettiamoci in una situazione più generale e supponiamo che abbiamo
applicato l’algoritmo di Euclide per trovare un massimo comune divisore
fra due numeri an e bn . Allora
an = bn cn + bn−1
bn = bn−1 cn−1 + bn−2
...
...
b3 = b 2 c 2 + b1
b2 = b 1 c 1 + b0
b1 = b0 c 0 .
Per il teorema dell’algoritmo di Euclide si ottiene che b0 è un massimo
comune divisore. I passi per ricavare due interi di Gauss β e γ tali che
α = aβ + bγ sono i seguenti:
1) Ricavare il massimo comune divisore dalla penultima equazione dell’algoritmo di Euclide (in questo caso si avrebbe b0 = b2 − b1 c1 );
2) Ricavare il resto della terzultima divisione (in questo caso sarebbe
b3 = b2 c2 + b1 , da cui si ricava b1 = b3 − b2 c2 ) e sostituirlo nella relazione
dove è stato ricavato il massimo comune divisore (nel nostro caso sarebbe
b0 = b2 − b1 c1 = b2 − (b3 − b2 c2 )c1 );
3) Iterare il procedimento visto nel punto 2) alla quartultima divisione,
alla quintultima... fino ad arrivare alla prima.
Osservazione. Se siete fortunati e nell’algoritmo euclideo avete solo
due divisioni, i coefficenti β e γ si trovano applicando solamente il primo
punto.
Applichiamo quanto appena visto in questo esercizio. Nel primo passaggio si ottiene 2 − i = b − (−1 + i)r. Ricaviamo quindi il resto della
terzultima divisione (cioè a = b(1 + 2i) + (−2 − 4i), da cui otteniamo
−2−4i = a−b(1+2i)) e sostituiamolo nella relazione del massimo comune divisore. A quel punto l’esercizio sarà completo, poiché la terzultima
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divisione è anche la prima. Si ha quindi
2 − i = b − (−1 + i)r
= b − (−1 + i)(a − b(1 + 2i))
= b[1 − (−1 + i)(1 + 2i)] − a(−1 + i)
ponendo quindi β := −(−1 + i) e γ := [1 − (−1 + i)(1 + 2i)] si completa
l’esercizio.
Esercizio 3. Siano a := 5+i, b := 2−4i ∈ Z[i]. Determinare un massimo
comune divisore di a e b.
Inoltre, detto α un massimo comune divisore fra a e b, determinare due
interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ.
Esercizio 4. Determinare un massimo comune divisore in Z/7Z fra i
polinomi f := 3x3 − x2 + 6x − 2 e g := x2 − x + 1.
Inoltre, detto α un massimo comune divisore fra a e b, determinare due
polinomi β e γ in Z/7Z tali che α = f β + gγ.
Soluzione. Applicando l’agoritmo di Euclide si ottiene
f = g(3x + 2) + (5x − 4);
g = (5x − 4)(3x + 5).
Per il teorema dell’algoritmo di Euclide 5x − 4 è un massimo comune
divisore fra f e g. Per trovare due polinomi β e γ in Z/7Z tali che
α = f β + gγ, anche qui basta applicare le stesse idee dell’esercizio 2
applicandole al caso dei polinomi. In questo caso, comunque, avendo
solo 2 divisioni basta ricavare il massimo comune divisore dalla prima (in
altre parole, basta svolgere solo il punto 1) dell’idea spiegata nell’esercizio
2). Si ottiene quindi
f − g(3x + 2) = (5x − 4).
Pertanto, ponendo β := 1 e γ := −(3x + 2), si completa l’esercizio.
Esercizio 5. Fornire un esempio di ideale primo (possibilmente non
banale) non massimale.
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Soluzione. In Z[x], sia H l’ideale formato dai polinomi aventi termine
noto uguale a 0. Per un esercizio visto la scorsa volta, Z[x]/H ∼
= Z.
Poiché Z è un dominio d’integrità ma non un campo, allora Z[x]/H è un
dominio d’integrità che non è un campo e per una proposizione vista nel
corso di Algebra II H è un ideale primo (chiaramente non banale) ma
non è un ideale massimale.
Esercizio 6. Mostrare che vale l’uguaglianza U(Z[i]) = {1, −1, i, −i} (in
altre parole, provare che gli unici elementi moltiplicativamente invertibili
di Z[i] sono 1, −1, i e −i).
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