Microeconomia, Esercitazione 1.
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
1
1.1
Esercizi.
Equilibrio di mercato/1
Le curve di domanda e di offerta in un dato mercato sono date da:
p = 10
3q
p=2+q
(i) Rappresentatele graficamente ed individuate algebricamente la coppia prezzo-quantitá di
equilibrio.
(ii) Calcolate l’eccesso di domanda o di offerta nel caso in cui il governo decida di fissare un
livello di prezzo minimo pari a p = 6 e a p = 3.
(iii) Ripetete l’analisi fatta al punto precedente nel caso in cui il livello fissato sia di prezzo
massimo e pari a p = 2 e p = 7.
1.2
Equilibrio di mercato/2
Le curve di domanda e di offerta in un dato mercato sono date da:
p = 16
2q
p = 2 + 5q
(i) A seguito di uno o più shock l’equilibrio cambia in p = 17, q = 1 . Che tipologie di shock si
sono verificate?
• Uno shock negativo di offerta ed uno positivo di domanda.
• Uno shock negativo di offerta.
• Uno shock positivo di domanda.
(ii) Indicate quali tra le seguenti sono le curve di domanda ed offerta che originano il nuovo
equilibrio:
1
1.3
(a) p = 16
q; p = 10 + 4q
(b) p = 19
2q; p = 12 + 5q
(c) p = 17
3q; p = 7 + 2q
Imposte/1
Le curve di domanda e di offerta dirette in un dato mercato sono date da:
q = 13
(1/2)p
q=p
2
(i) in corrispondenza di un prezzo pari a 6 euro, qual’è la quantità scambiata sul mercato?
Calcolate l’eccesso di domanda o offerta.
(ii) qual’è l’equilibrio concorrenziale nel mercato di questo bene?
(iii) si calcolino quantità di equilibrio e i prezzi di domanda e offerta nel caso in cui venga
introdotta un’imposta di 3 euro per ogni unità scambiata del bene. Si supponga che
l’imposta gravi legalmente sui produttori.
(iv) quali sono il gettito fiscale, la quota di imposta che cade sui produttori e quella che cade
sui consumatori?
1.4
Imposte/2
Le curve di domanda e di offerta dirette in un dato mercato sono date da:
p = 42
5q
p = 2 + 3q
(ii) qual’è l’equilibrio concorrenziale nel mercato di questo bene?
(iii) si calcolino quantità di equilibrio e i prezzi di domanda e offerta nel caso in cui venga
introdotta un’imposta di 4 euro per ogni unità scambiata del bene. Si supponga che
l’imposta gravi legalmente sui compratori.
(iv) quali sono il gettito fiscale, la quota di imposta che cade sui consumatori?
2
1.5
Vincolo di bilancio
Un consumatore percepisce un reddito di 1.000 euro e puó acquistare solo orologi e televisori. Il
prezzo dei due beni é rispettivamente di 25 euro e di 50 euro.
(i) Disegnate il suo vincolo di bilancio rappresentando la quantità di orologi sull’asse delle ordinate e quella dei televisori sull’asse delle ascisse.
(ii) Definite una nuova coppia di prezzi per cui l’inclinazione della retta non cambia.
(iii) Individuate la quantità massima di orologi che il consumatore puó acquistare nel caso in
cui rimanga costante quella massima di televisori e l’inclinazione del vincolo sia pari a
1.
(iv) Ripetete l’esercizio del punto precedente nel caso in cui l’inclinazione del vincolo sia pari a
1/2.
(v) A partire dal vincolo identificato nel punto precedente e ipotizzando che il prezzo dei televisori non sia variato rispetto all’ipotesi iniziale, trovate quale variazione di reddito sarebbe
necessaria al consumatore per tornare a consumare la quantitá massima di orologi che consumava in corrispondenza del vincolo originario. Con questo nuovo reddito quanti televisori
potrebbe permettersi al massimo?
1.6
Paniere Ottimo/1
Spostarsi in automobile costa 0, 3 euro al kilometro, mentre spostarsi con i mezzi pubblici costa
0, 6 euro al kilometro. Attualmente, l’utilitá marginale che Gianni ricava dall’ultimo miglio percorso in automobile é pari ad 80 unitá di utilitá, mentre l’utilitá marginale che ricava dall’ultimo
miglio percorso con i mezzi pubblici é pari a 150 unitá di utilitá. Gianni si trova in una situazione
di equilibrio?
1.7
Paniere Ottimo/2 (beni perfetti sostituti)
La funzione di utilitá di Aldo é la seguente:
U (x, y) = 3x + 5y
(i) Sapendo che il reddito di Aldo é pari a 60 euro e che px = 12 e py = 6, determinate il paniere
di equilibrio.
(ii) Come varia il paniere di equilibrio se Aldo subisce una riduzione del reddito pari al 20%?
3
(iii) Supponete che, dato il nuovo reddito, i prezzi di mercato varino, in modo che i nuovi prezzi
siano px = 4 e py = 10. In corrispondenza del vecchio paniere di equilibrio (punto (ii)),
Aldo otteneva un’utilitá superiore, pari o inferiore a quella che ottiene in corrispondenza
del nuovo?
1.8
Paniere Ottimo/3 (beni perfetti sostituti)
Per Armando X e Y sono beni perfettamente sostituibili; in particolare, egli é sempre disposto
a scambiare 3 unitá di X con 2 unitá di Y. Il prezzo unitario di X é 5 euro, quello di Y é di 8
euro. e il reddito di Armando é di 40 euro.
(i) Tracciate la mappa delle curva di indifferenza di Armando e il suo vincolo di bilancio.
(ii) Supponete che il prezzo unitario di X salga a 6 euro e tutto il resto rimanga invariato; quante
unitá di X consumerá ora Armando?
1.9
Paniere Ottimo/4 (beni perfetti sostituti)
Un consumatore spende tutto il proprio reddito M = 40 per l’acquisto del bene x e del bene y e
la sua funzione di utilità ha forma
U (x, y) = 2x + 3y
I prezzi dei due beni sono px = 4 e py = 2.
(i) Si rappresentino le curve di indifferenza corrispondenti a questa funzione di utilità per livelli
di utilità pari a 15 e 30.
(ii) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore.
(iii) Mantenendo fissi il prezzo py = 2 e il reddito M = 40 si calcoli la nuova scelta ottimle
quando il prezzo del bene x diminuisce e diventa p0x = 1.
1.10
Paniere Ottimo/5 (beni perfetti sostituti)
Un consumatore spende tutto il proprio reddito M = 100 per l’acquisto del bene x e del bene y
e la sua funzione di utilità ha forma
U (x, y) = x + 2y
I prezzi dei due beni sono px = 1 e py = 5.
4
(i) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore.
(ii) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di domanda del bene x.
1.11
Paniere Ottimo/6 (beni perfetti sostituti)
Un consumatore spende tutto il proprio reddito M = 36 per l’acquisto del bene x e del bene y e
la sua funzione di utilità ha forma
U (x, y) = x + y
I prezzi dei due beni sono px = 4 e py = 3.
(i) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore.
(ii) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di domanda del bene x.
1.12
Paniere Ottimo/7
Si consideri un consumatore con funzione di utilitá del tipo:
U (x, y) = x1/3 y 2/3
I prezzi dei beni sono px = 4 e py = 8, mentre il reddito del consumatore é pari a 48 euro.
(i) Si scriva il vincolo di bilancio e si determini il paniere di equilibrio.
(ii) Qual é il livello di utilitá che raggiunge il consumatore in corrispondenza del paniere d’equilibrio?
(iii) Si scelga un livello di utilitá inferiore o superiore a quello trovato e si indichi quale variazione
nel reddito del consumatore (rispettivamente negativa o positiva) ne determinerebbe il
raggiungimento.
1.13
Paniere Ottimo/8
Si consideri un consumatore con funzione di utilitá del tipo:
U (x, y) = xy
I prezzi dei beni sono px = 4 e py = 2, mentre il reddito del consumatore é pari a 40 euro.
(i) Si scriva il vincolo di bilancio e si determini il paniere di equilibrio.
(ii) Mantenedo fissi il prezzo del bene y e il reddito si calcoli la curva di domanda individuale
per il bene x.
5
1.14
Paniere Ottimo/9
Si consideri un consumatore con funzione di utilitá del tipo:
U (x, y) = x1/4 y 3/4
I prezzi dei beni sono px = 4 e py = 8, mentre il reddito del consumatore é pari a 40 euro. Si
dica quale tra i seguenti panieri é quello di equilibrio.
(a) (4,6)
(b) (3,8)
(c) (5/2,15/4)
(d) (7,5)
(e) (8,1)
(f ) (2,4)
(g) (6,9)
Si commenti la relazione tra M RSx,y e rapporto tra i prezzi nei punti non di equilibrio che si
trovano sul vincolo di bilancio.
1.15
Paniere Ottimo/10
Si consideri un consumatore con funzione di utilitá del tipo:
U (x, y) = x1/2 y 1/2
I prezzi dei beni sono px = 2 e py = 8, mentre il reddito del consumatore é pari a 64 euro. Si
dica quale tra i seguenti panieri é quello di equilibrio.
(a) (24,8)
(b) (4,1)
(c) (12,3)
(d) (4,28)
(e) (12,5)
6
(f ) (16,4)
Si commenti la relazione tra M RSx,y e rapporto tra i prezzi nei punti non di equilibrio che si
trovano sul vincolo di bilancio.
7
2
Domande a risposta multipla, Teoria.
1. Nel caso di beni perfettamente complementari, le curve di indifferenza :
(a) non sono graficamente rappresentabili;
(b) sono linee verticali;
(c) sono rette negativamente inclinate;
(d) sono rappresentate da due rette che formano un angolo di 90 gradi.
2. Da cosa posso capire le preferenze relative di due individui rispetto a due beni qualsiasi?
(a) dalla lunghezza delle curve di indifferenza;
(b) dalla posizione delle curve di indifferenza;
(c) dall’inclinazione del vincolo di bilancio;
(d) Dall’inclinazione delle curve di indifferenza in ogni dato punto.
3. Per beni che non siano perfettamente sostituti o complementari, il MRS:
(a) è crescente;
(b) è costante;
(c) è decrescente;
(d) dipende.
4. Se nel mercato di un bene ci sono 30 consumatori, ciascuno con domanda individuale
p = 20
3q, allora la curva di domanda di mercato (p=f(Q)) è data da:
(a) p = 600
90Q;
(b) p = 20
1
10 Q;
(c) p = 20
9Q;
(d) nessuna delle precedenti.
5. Il saggio marginale di sostituzione corrispondente al paniere che sto consumando é uguale
a 3, 5 in valore assoluto. Supponiamo che stia spendendo tutto il mio reddito disponibile.
Se px = 10 e py = 4, allora:
8
(a) Sto massimizzando la mia utilitá;
(b) Dovrei consumare più x e meno y;
(c) Dovrei consumare più y e meno x;
(d) Dovrei consumare una maggiore quantitá di entrambi i beni.
6. Si consideri un consumatore che ha funzione di utilità U (x, y) = 2x + y. Se px = 3 e py = 2
e il reddito del consumatore è M = 42, la scelta ottimale del consumatore sarà:
(a) (x, y) = (14; 0);
(b) (x, y) = (0; 21);
(c) (x, y) = (12; 14);
(d) Nessuna delle precedenti.
7. Se, in corrispondenza della scelta ottima tra due beni x e y, l’utilità marginale dell’ultimo
euro speso per il bene x è pari a 5 e il prezzo del bene y è pari a 2 euro, allora l’utilità
marginale del bene y deve essere:
(a) 2;
(b) 5;
(c) 1/4;
(d) 10.
8. Se, in corrispondenza della scelta ottima tra due beni x e y, l’utilità marginale dell’ultimo
euro speso per il bene x è pari a 10 e il prezzo del bene y è pari a 1/2 euro, allora l’utilità
marginale del bene y deve essere:
(a) 5;
(b) 3;
(c) 10;
(d) 7.
9
Soluzioni suggerite
1.1: La coppia prezzo-quantitá di equilibrio é p⇤ = 4, q ⇤ = 2. E’ possibile ricavarla uguagliando
le due definizioni di prezzo che derivano dall’equazione della curva di domanda (pD ) e da quella
della curva di offerta (pS ). Avremo infatti che:
pD = pS ) 10
3q = 2 + q
da cui
4q = 8 =) q = 2
Sostituendo la quantità di equilibrio in una delle due equazioni a scelta, otteniamo il prezzo di
equilibrio p⇤ = pD = pS = 4. Per p = 6 l’eccesso di offerta é pari a 8/3. In corrispondenza di
quel prezzo infatti, la quantità offerta è pari a 4 mentre quella domandata è pari a 4/3; per p = 2
l’eccesso di domanda é pari a 8/3 e coincide con la quantità domandata dato che quella offerta
è nulla. Per p = 3 e p = 7 non sussiste nessun eccesso, né di domanda né di offerta dato che
nel primo dei due casi il prezzo minimo è fissato a un valore inferiore al prezzo che si determina
autonomamente dall’interazione delle forze di mercato, nel secondo caso, specularmente, il prezzo
massimo è fissato in corrispondenza di un valore superiore; le politiche risultano quindi irrilevanti.
1.2: Il nuovo equilibrio é determinato da uno shock negativo di offerta e da uno positivo di
domanda. Possiamo giungere a questa conclusione osservando che l’equilibrio di mercato iniziale, che deriva dalle curve di domanda e di offerta descritte è in corrispondenza della coppia
prezzo-quantità (12; 2); essendo il nuovo equilibrio in corrispondenza di una quantità inferiore
e di un prezzo superiore, questo dovrà necessariamente appartenere a una curva di offerta più
a sinistra di quella originaria: tutte le coppie al di sotto della curva di offerta originaria infatti
sono costituite da prezzi inferiori e quantità inferiori o da prezzi superiori e quantità superiori
rispetto a quelle dell’equilibrio originario. Inoltre, il nuovo paniere di equilibrio deve appartenere
a una curva di domanda più alta di quella originaria, dato che quest’ultima prevede, in corrispondenza di una quantità pari a 1, un prezzo pari a 14, inferiore a quello del nuovo equilibrio (si
osservi che in questo specifico caso si può giungere alla stessa conclusione semplicemente osservando che la curva di offerta originaria prevede domanda nulla per prezzi uguali o superiori a
16, intercetta sull’asse delle ordinate). Per rispondere al punto (ii) è invece necessario sostituire
i valori di prezzo e quantità della nuova coppia di equilibrio nelle curve descritte, e verificare se
in corrsipondenza di questi ultimi le due uguaglianze risultano soddisfatte. Le nuove curve di
10
domanda e di offerta sono quelle descritte al punto (b).
1.3: La risoluzione dei punti (i) e (ii) è identica a quella descritta per l’esercizio 1.1 con l’unica
variante costituita dal fatto che le curve di domanda e di offerta adesso sono dirette, ovvero
con quantità espressa in funzione del prezzo; sarà utile allora (ma non necessario) riportarle alla
forma inversa esplicitando il prezzo:
1
pD = 13
2
qD =) pD = 26
2qD
e
pS = 2 + q S
che implicano una coppia prezzo-quantità di equilibrio pari a (10;8). Per quanto riguarda il
punto (iii) si osservi che introdurre un’imposta a carico dei produttori equivale a dire che il
prezzo al quale i produttori saranno disposti a vendere è adesso superiore di 3 euro rispetto a
quello originario, avremo quindi che la funzione di offerta diverrà:
p0S = 2 + qS + 3 = 5 + qS
la quantità di equilibrio, individuata uguagliando la curva di domanda con la nuova curva di offerta (p0S = pD ) sarà allora q ⇤ = 7. In corrispondenza di questa quantità il prezzo unitario pagato
dai consumatori è p⇤D = 12 mentre quello percepito dai produttori è p⇤S = (p0S )⇤
3 = 12
3 = 9.
Si noti che lo stesso risultato si sarebbe ottenuto nel caso in cui l’imposta fosse stata a carico dei
consumatori; in quel caso il prezzo che questi sarebbero stati disposti a pagare per ogni unità
del bene sarebbe stato p0D = pD
3 = 23
2qD : la quantità di equilibrio sarebbe stata in
corrispondenza di pS = p0D e pari ancora a 7, il prezzo percepito dai produttori pari a 9 e quello
effettivamente pagato dai consumatori pari a 12 (p⇤D = (p0D )⇤ + 3 = 9 + 3 = 12).
Il gettito dell’imposta è dato dal prodotto della quantità scambiata per il valore unitario dell’imposta
stessa, avremo quindi che:
G = t · q = 3 · 7 = 21
mentre le quote di imposta che ricadono rispettivamente su produttori e consumatori sono:
tS =
p⇤
p⇤S
t
; tD =
p⇤D
p⇤
t
ovvero
tS =
10
9
3
1
12 10
2
= ; tD =
=
3
3
3
11
1.4: La risoluzione è analoga a quella dell’esercizio precedente. L’equilibrio in assenza di imposte è in p⇤ = 17, q ⇤ = 5. In presenza di imposta avremo che q ⇤ = 36/8 = 4, 5 che implica
un prezzo percepito dai produttori pari a p⇤S = 2 + 3 · 4, 5 = 2 + 13, 5 = 15, 5 mentre il prezzo
effettivamente pagato dai consumatori sarà p⇤D = (p0D )⇤ + 4 = 15, 5 + 4 = 19, 5. Il gettito sarà
pari a G = 4 · 4, 5 = 18 e le quote saranno tS =
17 15,5
4
=
19,5 17
4
e tD =
3
8
= 58 .
1.5: Date le informazioni dell’esercizio, l’equazione del vincolo di bilancio sarà
1000 = 25 · O + 50 · T
Il vincolo ha intercetta sull’asse delle ordinate in corrispondenza di O =
sull’asse delle ascisse in corrispondenza di T =
M
pT
=
1000
50
M
pO
=
1000
25
= 40 e
= 20 e queste sono anche le quantità
massime, rispettivamente di orologi e televisori, che il consumatore può acquistare. La pendenza
pT
pO
del vincolo è data dal rapporto tra i prezzi dei due beni
=
50
25
= 2. Una variazione dei prezzi
nella stessa percentuale, lascia invariato il loro rapporto e quindi la pendenza del vincolo. Ad
esempio, se i due prezzi raddoppiassero avremmo che
pT
pO
=
100
50
= 2.
Se la quantità massima acquistabile di televisori rimane costante, abbiamo necessariamente che
M = 20 · pT ; se inoltre la nuova pendenza del vincolo è pari a -1, abbiamo che pO = pT . Allora,
sostituendo la seconda equazione nella prima, abbiamo che
M
pO
= 20 che è la quantità massima
di orologi che adesso è possibile consumare. Nel caso in cui l’inclinazione sia -1/2, avremo che
pT =
1
2
· pO e quindi
M
pO
= 10. Per quanto riguarda il punto (v), dato che il prezzo dei tele-
visori non é cambiato e che vale ancora l’ultima condizione pT =
1
2
· pO , il prezzo degli orologi
dovrá essere pari a pO = 2 · pT = 100. Se il consumatore (nell’ipotesi del punto (iv)) riesce a
consumare al massimo 10 unitá di orologi avrá bisogno allora di un aumento di reddito pari al
valore delle 30 unitá che gli mancano per arrivare a quelle che riusciva a consumare nell’ipotesi
iniziale dell’esercizio. Dato il prezzo pO = 100, il suo reddito dovrebbe allora aumentare di
30 · 100 = 3.000 euro; in quel caso, con un reddito pari a M 0 = 4.000 euro complessivi sarebbe
0
in grado di acquistare al massimo 80 televisori ( M
pT =
4000
50
= 80).
1.6: Attualmente Gianni non é in una posizione di equilibrio. Possiamo giungere a questa conclusione in due maniere equivalenti: osservando la relazione tra MRS e rapporto tra i prezzi (ovvero
verificando che sia soddisfatta la consizione di tangenza o confrontando le utilità marginali per
dollaro speso. Nel primo caso si osservi che M RSA,P =
12
80
150
>
3/10
6/10
=
1
2
=
pA
pT ,
nel secondo caso
si osservi che Gianni ricava un’utilitá marginale maggiore dell’ultimo dollaro speso per spostarsi
in automobile ( MpUAA =
80
0,3
=
80
3/10
10
800
3 = 3 ) di quanta non ne ricavi dall’ultimo dollaro
150
10
750
( MpUP P = 150
0,6 = 6/10 = 150 · 6 = 3 ). Gianni quindi
= 80 ·
speso per spostarsi con i mezzi pubblici
non si trova in equilibrio e dovrebbe spendere di più per spostarsi in automobile.
1.7: Si osservi che data la forma della funzione di utilitá le curve di indifferenza saranno delle
rette e quindi, nel caso in cui la pendenza di queste sia diversa da quella del vincolo di bilancio,
avremo una soluzione d’angolo, ovvero il paniere d’equilibrio sará necessariamente un paniere con
o x o y uguali a zero. Nel nostro caso il saggio marginale di sostituzione è pari a M RSX,Y =
mentre il rapporto tra i prezzi è
pX
pY
=
12
6
3
2
= 2. Le curve di indifferenza sono quindi meno inclinate
del vincolo di bilancio e il paniere di equilibrio é in corrispondenza di 10 unitá di y e 0 di x. Una
riduzione del reddito del 20% non cambia la pendenza del vincolo di bilancio e quindi determina
una variazione quantitativa del paniere di equilibrio ma non qualitativa (sarà sempre la soluzione
8
d’angolo sull’asse delle ordinate); avremo che M 0 = M ·0, 8 = 60· 10
= 48 e il paniere di equilibrio
sarà in corrispondenza di y =
48
6
= 8.
Possiamo ricavare l’utilità che Aldo ottiene in corrispondenza di questo paniere sostituendo le
quantità di equilibrio nella sua funzione di utilità. avremo quindi che
U (0, 8) = 3 · 0 + 5 · 8 = 40
Nel caso del punto (iii) avremo invece un equilibrio in corrispondenza della soluzione d’angolo
opposta (sull’asse delle ascisse) dato che il rapporto tra i prezzi è adesso meno inclinato delle
curve di indifferenza. Il paniere di equilibrio sarà in corrispondenza di (12,0) e l’utilità che Aldo
ne deriva pari a
U (12, 0) = 3 · 12 + 5 · 0 = 36
inferiore al caso precedentemente illustrato.
1.8: La funzione di utilitá dovrá dare curve di indifferenza lineari dato che il rapporto di sostituibilitá tra i beni é costante per il consumatore. Inoltre, se il consumatore é sempre disposto
a scambiare 3 unitá di x con 2 di y il suo M RSx,y sará pari a 2/3. Questo implica che le curve
di indifferenza saranno piú inclinate del vincolo di bilancio (che ha pendenza uguale a 5/8) nel
caso (i) e meno nel caso (ii). Armando sceglierá quindi sempre panieri d’angolo e consumerá zero
unitá di y nel caso (i) e zero unitá di x nel caso (ii).
13
1.9: La curva di indifferenza di livello 15 ha equazione
2x + 3y = 15 =) y = 5
2
x
3
che è una retta negativamente inclinata con intercetta verticale 5 e pendenza -2/3, mentre quella
di livello 30 avrà equazione y = 10
2
3 x.
Dato che il saggio marginale di sostituzione è inferiore al
rapporto tra i prezzi avremo che la scelta ottimale cadrà sul paniere d’angolo in corrsipondenza
dell’asse delle ordinate (0,20). Se il prezzo del bene x diviene 1, allora la scelta cadrà sul paniere
d’angolo opposto (40,0).
1.10: In questo caso la scelta ottimale sarà necessariamente in corrispondenza di (100,0) dato
che il saggio marginale di sostituzione (1/2) è superiore al rapporto tra i prezzi (1/5). Finchè si
mantiene la condizione M RSX,Y >
pX
pY
il consumatore sceglierà sempre una soluzione d’angolo
di questo tipo. Questo si verifica fino a che
1
2
>
pX
5
ovvero fino a che pX <
5
2.
La curva di
domanda del bene x coinciderà allora con l’asse delle ordinate (ovvero x=0) per pX >
pX =
5
2
sarà rappresentata da un punto qualsiasi compreso tra 0 e
M
px
=
100
5/2
5
2,
per
= 40 (dato che
in questo caso la curva di indifferenza massima raggiungibile coincide con il vincolo di bilancio,
avendo la stessa pendenza) e, infine, per pX <
vale necessariamente x =
5
2
sarà pX =
M
x
=
100
x
(dato che in questo caso
M
pX ).
1.11: La scelta ottimale del consumatore è in (0,12). La curva di domanda del bene x coinciderà con l’asse delle ordinate per pX > 3, per pX = 3 sarà rappresentata da un punto qualsiasi
compreso tra 0 e
M
px
=
36
3
= 12 e, infine, per pX < 3 sarà pX =
36
x.
1.12: Il vincolo di bilancio è 48 = 4 · x + 8 · y. L’individuazione del paniere ottimale richiede
innanzitutto di imporre la condizione di tangenza tra curve di indifferenza e vincolo di bilancio.
A tal fine è necessario scrivere l’equazione del saggio marginale di sostituzione:
M RSx,y =
1
1 1/3 2/3
1
x 2/3 y 2/3
y y
y
M Ux
1y
= 32 1/3 1/3 = 23 1/3 2/3 = 23 =
M Uy
2x
y
x
3x
2x
3x
per poi uguagliarla al rapporto tra i prezzi
1y
1
= =) y = x
2x
2
14
questo significa che qualsiasi paniere ottimale deve essere tale che il consumatore scelga un’uguale
quantità dei due beni. Quante unità si potrà permettere di acquistare dipenderà dal suo livello
di reddito; è infatti sostituendo la condizione di tangenza nel vincolo di bilancio che otteniamo
la quantità ottimale:
48 = 4 · x + 8 · x =) 48 = 12 · x =) x = 4
e il paniere di equilibrio è quindi (4,4). Sostituendo le quantità di equilibrio nella funzione di
utilità otteniamo
U (4, 4) = 41/3 42/3 = 41/2+2/3 = 4
un qualsiasi altro livello di utilità z sarebbe quindi raggiungibile solo potendo consumare un
paniere (z, z). Questo significa che il reddito dell’individuo dovrebbe essere almeno pari a
M 0 = 4 · z + 8 · z =) M 0 = 12 · z
a titolo di esempio, un’utilità pari a 5 (z=5) sarebbe raggiungibile con un reddito pari a 60 (euro).
1.13 La risoluzione del punto (i) dell’esercizio è identica a quella del corrispondente punto
dell’esercizio precedente e il paniere d’equilibrio è (5,10). per quanto riguarda il punto (ii) è
necessario osservare che la curva di domanda individuale del bene x è funzione unicamente di
pX . Dobbiamo allora ripetere la procedura dell’esercizio precedente lasciando come incognita il
prezzo del bene x. Nel nostro caso la condizione di tangenza è
y
x
che il vincolo di bilancio è rappresentabile come 40 = pX · x + 2 ·
pX
2 =) y
x·pX
=) 40
2
=
quest’ultima uguaglianza ricaviamo
x=
=
x·pX
2
avremo
= x · (2px ), da
40
20
=
2pX
pX
che è appunto la domanda individuale del bene x.
1.14: L’esercizio va risolto con il metodo della tangenza. A tal fine é necessario scrivere il
saggio marginale di sostituzione (M RSx,y ) in funzione di x e y, ricavandolo dalla formula della
funzione di utilitá:
M RSx,y =
1
1 1/4 3/4
1
x 3/4 y 3/4
y y
y
M Ux
1y
= 43 1/4 1/4 = 34 1/4 3/4 = 34 =
M Uy
3x
y
x
4x
4x
4x
a questo punto possiamo uguagliare il saggio marginale di sostituzione al rapporto tra i prezzi
dei beni e scrivere la condizione:
1y
1
y
3
3
= ! = !y= x
3x
2
x
2
2
15
sostituendo i valori di x e di y dei vari panieri nella relazione appena trovata possiamo dunque
verificare se questi panieri soddisfano la condizione di uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione e pendenza del vincolo di bilancio; verifichiamo che solo i panieri (5/2, 15/4) e (6,9)
la soddisfano. Questa verifica non è peró sufficiente, dobbiamo anche verificare che i panieri
si trovino effettivamente sul vincolo di bilancio; basterá allora sostituire i valori dei panieri nel
vincolo di bilancio per operare anche quest’ultima verifica. Il paniere di equilibrio risulta essere
(5/2, 15/4).
1.15: La risoluzione é analoga a quella dell’esercizio precedente. Il paniere di equilibrio é (16,4)
Domande a risposta multipla: d, d, c, b, b, a, d, a.
Nota: per rispondere alla domanda 4 è necessario ricavare la domanda diretta individuale
q=
20
p
3
e moltiplicarla per il numero di consumatori (dato che questi sono supposti essere uguali):
Q = 30 · q =) Q =
20
p
3
· 30 = 200
10p
a questo punto è sufficiente ricavare la domanda inversa di mercato:
p = 20
16
1
Q
10
