Alcune precisazioni sui sistemi lineari omogenei

Alcune precisazioni sui sistemi lineari omogenei
F. Rania
March 18, 2017
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Cenni di Teoria
Un sistema di m equazioni lineari in n incognite è detto omogeneo se i termini
bi sono nulli per ogni i = 1, ..., m, ossia è della forma

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0
(1)
.........



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0
Ogni sistema lineare omogeneo (1) gode delle seguenti proprietà :
1. Ammette sempre la soluzione banale ovvero
x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0;
2. Se ammette la soluzione (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ammette anche la soluzione
(cξ1 , cξ2 , ...., cξn ) con c ∈ R;
3. Se ammette le soluzioni (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) e (η1 , η2 , ..., ηn ) ammette anche la
soluzione
(ξ1 + η1 , ξ2 + η2 , ..., ξn + ηn ).
Una soluzione di (1) è detta propria se diversa da quella banale.
Teorema 1.1. Dato il sistema omogeneo lineare della forma (1), sia A la matrice incompleta e r(A) = r il rango di A con r l’ordine massimo della matrice Ā
costituita dai coefficienti delle incognite x1 , x2 , ..., xr . Allora il sistema assume
la forma

a11 x1 + . . . a1r xr = −a1r+1 xr+1 − . . . − a1n xn
.........
⇔
Ā · X = b̄
(2)

ar1 x1 + . . . arr xr = −arr+1 xr+1 − . . . − arn xn
1




a11 . . . a1r
−a1r+1 xr+1 − . . . − a1n xn


..
..  la matrice incompleta associata e b̄ = 
..
con Ā =  ...


.
.
. 
−arr+1 xr+1 − . . . − arn xn
ar1 . . . arr
la matrice ei termini noti.
Allora la soluzione di (2) è
−1
X̄
Ā · b̄
X=
=
X̃
X̃




xr+1
x1




con X̄ =  ...  e X̃ =  ... .
xr
xn
Teorema 1.2. Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema omogeneo
di n equazioni in n incognite ammetta una soluzione propria è
det(A) = 0
⇔
r(A) < n
(3)
dove A è la matrice incompleta associata al sistema lineare omogeneo.
Nel caso in cui è soddisfatta la condizione (3) il sistema lineare ammette
infinite soluzioni. Queste soluzioni si hanno scrivendo che le incognite x1 , x2 ,
... , xn sono proporzionali ai minori che si ottengono dalla matrice incompleta
sopprimendo rispettivamente la prima, la seconda, ..., la n-esima colonna, presi
alternativamente con segno + e col segno −.
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Esempi
Esempio 1. Risolvere il seguente sistema lineare omogeneo
2x − 3y + 5z = 0
x + 5y − 2z = 0
Soluzione 1. La matrice incompleta è
2 −3 5
1 5 −2
2 −3
che ha rango 2 perché det Ā = det
= 10 + 3 = 13 6= 0.
1 5
In forza del Teorema 2 il sistema dato è equivalente a
2x − 3y = −5z
x + 5y = 2z
la cui soluzione è

  5
x
13
1
 y =
− 13
z
3
13
2
13
  19 
−5z
− 13 z
·
= 9z 
2z
13
z
z
2
OPPURE. Essendo r(A) = 2 < n = 3 (numero delle incognite), allora per il
Teorema 1.2 il sistema lineare omogeneo ammette soluzioni proprie che sono
−3 5
2 5
2 −3
x = +ρ det
y = −ρ det
z = +ρ det
5 −2
1 −2
1 5
x = −19ρ,
y = 9ρ,
z = 13ρ
In entrambi i casi si ottiene la stessa soluzione.
Esempio 2. Risolvere il sistema lineare omogeneo

x − 3y − z = 0
2x + 5y + 2z = 0

5x − 4y − z = 0
Soluzione 2. Il rango di A è 2 in quanto


1 −3 −1
1


2 5
2
det
=0
e det Ā = det
2
5 −4 −1
−3
5
= 11 6= 0
In forza del Teorema 2 il sistema dato è equivalente a
x − 3y = z
2x + 5y = −2z
la cui soluzione è
  5

x
11
2
 y =
− 11
z
3
11
1
11
·
z
−2z

1
− 11
z
= 4z 
11
z

z

OPPURE. Essendo r(A) = 2 < n = 3 (numero delle incognite), allora per il
Teorema 1.2 il sistema lineare omogeneo ammette soluzioni proprie che sono
−3 −1
1 −1
1 −3
x = +ρ det
y = −ρ det
z = +ρ det
5
2
2 2
2 5
x = −ρ,
y = −4ρ,
z = 11ρ
In entrambi i casi si ottiene la stessa soluzione.
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