Prima prova in itinere di Fisica IB – 4 maggio 2009
Indicare sul proprio elaborato NOME e COGNOME e NUMERO DI MATRICOLA
1) la prova è valida se affrontata individualmente; ogni tipo di comunicazione, verificata durante o dopo la prova, comporta
l’invalidazione della stessa. Se un telefono cellulare viene rinvenuto acceso la prova sarà annullata.
2) la prova va affrontata senza alcun ausilio di libri di testo e/o appunti; sul banco devono trovare posto solo testo della prova ed i fogli
forniti, penna e calcolatrice numerica; zaini e borse devono essere depositati lungo i corridoi laterali.
3) le soluzioni dei problemi devono essere scritte a penna e in forma leggibile; non verranno considerate soluzioni che risultano ambigue
a causa di disordine o scrittura poco leggibile del candidato.
4) ad ogni esercizio è accreditato di un punteggio in 30esimi per un totale di 33 punti.
5) Saranno ammessi alla seconda prova in itinere solo colore che otterranno un punteggio superiore a 12.
Le soluzioni e l’esito della prova saranno pubblicati anche sul sito http://www.unipv.it/fis/fisica1B.
Esercizio 1: Un secchio cillindrico di base Σ=0.05 m2 e
massa M=2 kg, è sospeso su un pozzo alto H=20 m tramite
un filo ideale che si avvolge su una puleggia di raggio R=50
cm. Questa è tenuta ferma da un un filo ideale avvolto su una
puleggia di raggio r=20 cm, coassiale e rigidamente collegata
alla precedente, il cui altro capo è fissato a terra da un chiodo
capace di tenere una trazione massima T=55 N. Il momento
di inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune
asse di rotazione vale I=6 kg m2 . A un certo punto comincia
a piovere e nel secchio si depositano 20 mm di acqua ogni
ora. Calcolare:
a) dopo quanto tempo il chiodo si stacca; (3 punti)
b) la velocità del secchio quando raggiunge il fondo del
pozzo trascurando tutti gli attriti. (4 punti)
M
y
C
Esercizio 2: Un piatto ha forma di triangolo rettangolo ABC come in
figura e cateti AC di lato H e AB di lato L. Il piatto ha densità superficiale
variabile data da
= 0 1
y
H
, dove si considera un sistema di
riferimento con l'origine nel punto A, l'asse x rivolto lungo AB e l'asse y
rivolto lungo AC. Dividendo il corpo in sezioni orizzontali infinitesime e
ricordando le proprietà lineari dell'integrale, si calcolino:
a) la massa del piatto (3 punti)
b) la posizione del suo centro di massa (3 punti)
c) il suo momento di inerzia per rotazioni intorno ad un asse ad esso
perpendicolare e passante per il punto A. (2 punti)
10 m
3m
T1
m
M
H
A
B
L
Esercizio 3: Una piattaforma omogenea di massa M=10 kg è tenuta
sospesa da due funi ideali poste ciascuna a una distanza di cinque
metri dal centro della piattaforma. Una massa m=5 kg è posta a
T2 distanza d= 3 m dal suo centro. Si calcolino le tensioni delle due
funi. (5 punti)
x
α
T
FA
M
α
m
Esercizio 4: Un asse omogeneo ha massa m=2 kg e lunghezza L= 2
m.Una sua estremità è imperniata a una parete e l'altra estremità è tenuta
alla stessa parete per mezzo di una fune ideale. L'asse, la parete e la fune
formano un triangolo equilatero. Sull'asse è appoggiato un cilindro di
raggio R=40 cm e massa M= 5 kg. Si calcolino la tensione della corda, la
reazione R del vincolo e la forza FA che la parete esercita sul cilindro
trascurando tutti gli attriti. (7 punti)
α
R
Esercizio 5: Un catamarano ha massa totale m= 150 Kg e appoggia su due scafi a forma di prisma triangolare.
La lunghezza degli scafi è L=3 m e la sezione degli scafi è un triangolo equilatero di lato l=30 cm. Calcolare
l'altezza h della parte immersi dei due scafi. (6 punti)
h
l
d
Soluzioni:
Esercizio 1: sia h l'altezza di acqua all'interno del secchio per la quale il chiodo si stacca:
T r = M A h g R⇒ h=
T r −M g R
=4.9 mm quindi il tempo necessario sono 873 secondi
A g R
Per la conservazione dell'energia meccanica si ha
M A h g H =
M A h g H
1
1 v2
2
M
h
v
I 2⇒v= 2
=5.79 m/s
A
2
2 R
I
M A h 2
R
Esercizio 2: Si consideri l'elemento infinitesimale orizzontale di altezza dy posto ad altezza y. La sbarretta è
dm= l dy= 0 L 1−
y2
2
H
suo momento di inerzie per rotazioni intorno ad A si può calcolare con il
teorema di Steiner
dI =
1
l2
dm l 2dm y 2
12
4
y CM =
1
L
y
1
L2 H
y2
1−
dm=
1−
∫
∫
M 2
H
M 0 2 0
H2
1−
y
5
dy= L
H
16
H
1
1
y2
3
y dm= 0 L∫0 1− 2 y dy= H
∫
M
M
8
H
H
c) I =∫ dI = 0 L ∫0
2
y
1− 2
H
C
. Quindi:
M =∫ dm= l dy= 0 L∫0
b) x CM =
1 2 2
3 L24 H 2
l y dy=
0 L H
3
30
H
dy
y
l
md
=1 m . Se chiamiamo
M m
x 1=6 m e
r
A
Esercizio 3: Il centro di massa del sistema è in posizione
x CM =
y2
2
1− 2 dy = 0 L H
3
H
H
a)
l H−y
y
=
⇒l= L 1−
, ha massa
L
H
H
l
L
y
y =
1−
, y e il
dy , il suo centro di massa è in posizione
2,
2
H
omogenea, la sua lunghezza è data dalle similitudini tra triangoli
B
x 2=4 m le distanze delle funi dal centro di massa,
{
x2
=58.86 N
T 1T 2= M m g ⇒
x 1 x 2
T 1 x 1=T 2 x 2
x1
T 2= M m g
=88.29 N
x1 x 2
T 1= M m g
{
α
T
Esercizio 4:
Mg
F B cos − =Mg ⇒ F B =
=56.64 N ,
2
sin
F A =F B sin
− =28.32 N ,
2
F BR
L
1
F B R tan m g sin =T L sin ⇒ T =
mg =32.46 N ,
2
L cos 2
R x =T sin −F B cos =−0.2 N , R y =−T cos M m g=52.44 N
3 l=d :l ⇒ d = 2 h , V =2 1 d h L= 2 h2 L ,
Esercizio 5: h :
I
2
2
3
3
2 2
3m
V I g =m g ⇒
h L =m⇒ h=
=20.8 cm
2
L
3
FA
α
R
M
α
FB
mg
m
