Elettrotecnica 2010-11 - I Parte

UNIVERSITA’
DEGLI
STUDI
DI
TRIESTE
Facoltà di Ingegneria
APPUNTI PER LE LEZIONI
DI
ELETTROTECNICA
del Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Navale
Ingegneria Industriale Meccanica, Chimica, dei Materiali
DOCENTE : Gian Franco LADINI
Anno Accademico 2010/11
INTRODUZIONE
L’ingegneria elettrica ha lo scopo di studiare le applicazioni dell’elettrotecnica nei vari settori
ove è utilizzata ai fini della produzione di un certo tipo di lavoro sia meccanico che termico, chimico
o quant’altro senza tralasciare tutto il campo dell’illuminotecnica e della trazione elettrica.I grandi capitoli nei quali si suddivide lo studio dell’ingegneria elettrica partono da quello
relativo alla Produzione dell’energia elettrica, passano per quello relativo al suo Trasporto e
Distribuzione, concludendosi con l’Utilizzazione dell’energia stessa nei più svariati campi
d’impiego.Premessa imprescindibile e fondamentale a tutta quest’analisi deve essere lo studio
dell’Elettrotecnica e delle sue leggi che permettono di comprendere il funzionamento di tutte le
apparecchiature usate nei vari Impianti Elettrici, fino ad arrivare alla loro progettazione.È chiaro che gli argomenti trattati sono suscettibili di notevoli approfondimenti, indispensabili
a chi dovesse essere chiamato a progettare le apparecchiature di cui sopra, ma non fornibili
nell’ambito di un corso di Elettrotecnica dedicato agli studenti della laurea triennale in Ingegneria
industriale.L’elettrotecnica ha per oggetto l’analisi dei fenomeni pratici di natura elettrica e magnetica
connessi con lo spostamento delle cariche elettriche.
I portatori elementari di cariche elettriche sono:
Elettroni.: particelle elementari di carica negativa
Ioni positivi: atomi o molecole ionizzate cioè privati di uno o più elettroni
Ioni negativi: atomi o molecole ionizzate con eccesso di uno o più elettroni
La migrazione ordinata d’elettroni in una certa direzione costituisce una Corrente
elettronica.La migrazione ordinata di ioni positivi o negativi in una certa direzione costituisce una
Corrente ionica.Questi spostamenti possono essere rilevati soltanto in base agli effetti macroscopici che essi
provocano e cioè: Effetto termico (un corpo attraversato da corrente si riscalda) - Effetto magnetico
(la corrente produce delle azioni a distanza dette azioni magnetiche) - Effetto chimico (taluni liquidi
percorsi da corrente danno luogo a fenomeni elettrolitici).La migrazione di cariche, cioè la corrente elettrica, è la conseguenza di una causa che la
provoca. Tale agente fisico viene denominato: Tensione elettrica o Forza elettromotrice o
Differenza di potenziale, nomi diversi che indicano la stessa grandezza fisica anche se usati in
presenza di fenomeni diversi. Questo agente fisico deve esser capace d’esercitare una forza sulle
cariche e cedere loro l’energia necessaria a vincere le resistenze che incontrano durante gli
spostamenti.I corpi che possiedono al loro interno portatori di carica liberi, capaci di muoversi sotto
l’azione di una Tensione dando luogo ad un flusso ordinato di cariche cioè ad una Corrente elettrica
sono chiamati Conduttori.I corpi che, pur possedendo portatori d’elettricità, li hanno saldamente ancorati alla loro
struttura atomica molecolare e quindi, anche sotto l’azione di una tensione, non riescono a fornire
una sensibile migrazione ordinata di cariche, sono chiamati Isolanti.Valutando gli effetti macroscopici conseguenti al passaggio di una corrente o all’applicazione
di una tensione si è in grado d’eseguire il confronto tra due corrente o due tensioni e quindi eseguirne
la misura in base al rapporto tra una e l’altra assunta come campione o unità di misura. Gli strumenti
atti ad eseguire questo confronto e tarati direttamente in base all’unità di misura scelta (il Volt per le
tensioni e l’Ampere per le correnti) sono chiamati Voltmetri e Amperometri.- Tali strumenti, in
1
base al principio di funzionamento possono essere di tipo Elettromagnetico, Elettrodinamico,
Termico, ad Induzione.Se in un conduttore la corrente, sotto l’azione di una tensione, fluisce sempre nel medesimo
verso verrà chiamata Corrente continua e la tensione che la determina Tensione continua.-.
Se invece la tensione e la corrente che ne consegue s’invertono periodicamente verranno
chiamate Tensione e corrente alternate.-
2
Capitolo I
CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA
Un circuito chiuso è una catena di corpi conduttori che consente al suo interno, sotto l’azione
di una tensione elettrica, la circolazione permanente di cariche elettriche, cioè di una corrente
elettrica. Elementi fondamentali di un circuito sono i conduttori, che costituiscono il mezzo attraverso
il quale si spostano le cariche, e i generatori di Forza Elettro Motrice (FEM), apparecchi capaci di
generare l’agente fisico FEM trasformando dell’energia chimica o fisica messa a loro disposizione da
un agente esterno.Se la continuità del circuito viene interrotta in modo da fermare il flusso della corrente, il
Circuito si dice aperto.I generatori di tensione possono essere Pile, Accumulatori, Dinamo o Cellule fotovoltaiche;
negli schemi vengono indicati, secondo i casi, con uno dei seguenti simboli:
Per convenzione, l’estremo del generatore verso cui migrano le cariche positive dicesi POLO
POSITIVO mentre quello da cui provengono POLO NEGATIVO.
Deve risultare chiaro che un generatore non è in grado di creare le cariche elettriche ma
soltanto di spostarle dal suo morsetto d’ingresso a quello d’uscita, fornendo loro una certa quantità
d’energia.1.1.0. Corrente elettrica
Si definisce come corrente elettrica I la quantità di carica Q che fluisce in un conduttore
nell’unità di tempo t:
Q
I=
t
Convenzionalmente si assume come verso della corrente quello verso cui si spostano le
cariche positive.Si definisce come Quantità di elettricità il prodotto:
Q = I ⋅t
Se il circuito non è a regime e la corrente varia in funzione di t si definisce il Valore
istantaneo della corrente:
dq
t
i(t ) =
e la carica totale passata come:
Q = ∫ i ⋅ dt
0
dt
Nel sistema internazionale di misura S.I. l’unità fondamentale di riferimento e quella della
corrente cioè l’AMPERE il cui campione viene determinato, come si vedrà in seguito, in base agli
effetti elettromagnetici repulsivi prodotti dal passaggio della corrente stessa in conduttori paralleli
posti ad opportuna distanza.Assunto l’Ampere come unità fondamentale, si può definire l’unità di misura della carica
elettrica Q = I ⋅ t ; tale unità prende il nome di COULOMB: esso corrisponde alla quantità di carica
3
che passa in un conduttore, percorso dalla corrente costante di un Ampere, in un secondo. La
quantità d’elettroni corrispondenti alla carica di un Coulomb è:
1C = 6,22 ⋅ 1018 el.
Dimensionalmente:
[1C ] = [1 A ⋅ 1 sec]
Nel caso la corrente sia distribuita uniformemente su tutta la sezione del conduttore, si può
definire la Densità di corrente come rapporto tra la corrente e la sezione stessa:
Q
I
σ= =
S t⋅S
Se le cariche non si distribuiscono uniformemente nella sezione la densità è definita da:
di d 2 q
σ= =
ds dtds
Dimensionalmente:
[σ ] = [1 A ⋅ 1m −2 ]
L’unità di misura della densità di corrente è l’Ampere per metro quadro anche se
normalmente, viste le dimensioni dei conduttori, viene usato come unità l’Ampere per millimetro
quadro.1.2.0. Tensione elettrica
La tensione elettrica viene definita facendo riferimento alla Legge di Coulomb:
Due cariche q1 e q2 poste alla distanza r si respingono se delle stesso segno o si attraggono
se di segno contrario, con una forza F12 :
F12 = k ⋅
q1 ⋅ q 2
r2
⋅ r12
ove:
1
ε o = 8,859 ⋅ 10 −12 F m
4πε o
Nel caso di due cariche fisse q1 e q2, l’effetto su una carica esploratrice positiva qp, si può
determinare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti:
k=
Si definisce come Campo elettrico generato da una o più cariche tutta la regione dello spazio
ove tali cariche fanno sentire la loro influenza attraendo o respingendo una carica esploratrice
infinitesima. In ogni punto il valore del Campo K è definito come la forza che agisce sull’unità di
carica:
F
K=
q prova
4
Il lavoro fatto dalle forze del campo per portare l’unità di
carica dal punto A al punto B lungo la linea a si definisce come
DIFFERENZA DI POTENZIALE tra il punto A e B: V AB
B
B
A
A
V AB = ∫ K × dl = ∫
F
× dl a
q
La differenza di potenziale così definita si misura in
volt.Si dirà che tra due punti del campo c’è la differenza di potenziale di un Volt se le forze del
campo compiono il lavoro di un Joule per trasportare la carica di un Coulomb dal punto a potenziale
minore a quello avente potenziale maggiore.Si dimostra che, nel caso della forza di Coulomb definita dalla relazione precedentemente
vista, il lavoro per spostare la carica esploratrice da A a B è lo stesso indipendentemente dal
percorso:
BF
BF
V AB = ∫
× dl a = ∫
× dl b
A
A
q
q
In presenza di un campo elettrico, scegliendo un punto fisso di riferimento O (normalmente la
terra), ogni punto dello spazio avrà un suo Potenziale rispetto O; la differenza di potenziale tra due
punti potrà essere così calcolata come differenza dei loro potenziali rispetto la terra:
V AB = V AO + VOB = V AO − V BO
In base a quanto visto il Generatore di tensione sarà una macchina elettrica in grado
d’imprimere a ciascuna unità di carica una forza K , fornendogli un’energia potenziale V in modo
che, in presenza di un circuito chiuso, possa percorrerlo vincendo le resistenze del circuito stesso.Si definisce come Forza Elettromotrice di un generatore la quantità d’energia che il
generatore fornisce all’unità di carica che lo attraversa.Poiché l’unità di carica durante l’attraversamento del generatore, per vincere le resistenze
interne, dissipa una parte dell’energia che gli viene fornita, si definisce come Tensione o Differenza
di potenziale ai morsetti del generatore la quantità di energia che l’unità di carica possiede
all’uscita dal morsetto positivo del generatore, ridotta di quella che eventualmente possedeva
all’ingresso.Si definisce come Caduta di tensione ai capi di un bipolo, facente parte di un circuito
chiuso, il lavoro che l’unità di carica elettrica deve spendere per attraversare il bipolo stesso.L
V=
[1V ] =  1 J 
Dimensionalmente:
Q
 1C 
Il lavoro compiuto dal generatore per spostare la carica Q sarà:
L = Q ⋅V
1.3.0. Legge di Ohm
S’immagini un circuito chiuso, costituito da un generatore di F.E.M. e da un conduttore di
tipo e forma opportuna, nel quale siano inseriti un voltmetro ed un amperometro. Si potrà rilevare
che al variare della tensione, a parità di conduttore, il rapporto tra la tensione ed il corrispondente
valore della corrente si mantiene costante:
5
V1 V2
V3
=
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = k
I1
I 2 I3
La costante k dipende dalle caratteristiche del circuito,
prende il nome di Resistenza e viene indicata con il simbolo R.Normalmente la resistenza del circuito viene immaginata
concentrata in un unico punto e collegata con il resto del circuito
con dei conduttori ideali privi di resistenza.In generale vale quindi la Legge di Ohm:
V
=R
⇒
V = R⋅I
I
La resistenza si misura in Ohm (W) e dimensionalmente
risulta:
[1Ω] = [1 V ⋅ 1 A−1 ]
L’inverso della resistenza prende il nome di Conduttanza del
circuito e si misura in Siemens (S):
1
G=
⇒
I = G ⋅V
R
1.3.1.
Leggi di variazione della Resistenza:
La resistenza normalmente si costruisce con un filo di materiale opportuno avvolto su un
supporto. Sperimentalmente si è visto che la Resistenza ohmica del filo è direttamente proporzionale
alla lunghezza del filo stesso ( l ), inversamente proporzionale alla sua sezione ( S ) e dipende dal tipo
di materiale di cui è fatto il filo:
l
R= ρ⋅
S
La costante di proporzionalità ρ prende il nome di Resistività
S
e corrisponde alla resistenza di un cubo di
ρ = R⋅
l
materiale di lato unitario.
Dimensionalmente:
[ρ ] = [ Ω ⋅ m]
In pratica la resistività si misura:
per i materiali conduttori in :
µΩ ⋅ cm = 10 −8 Ω ⋅ m
per i materiali isolanti in :
MΩ ⋅ cm = 10 4 Ω ⋅ m
per i fili conduttori in :
Ω⋅
mm 2
m
= 10 −6 Ω ⋅ m
A sua volta la resistività del materiale e quindi la sua resistenza è legata alla Temperatura
del resistore; indicando con Ro la resistenza del materiale a 0° C, se questo viene portato a t° C,
subirà una variazione di resistenza pari a:
∆R = Rt − Ro = α o ⋅ Ro ⋅ t
proporzionale alla resistenza iniziale, al salto di temperatura e funzione del tipo di materiale, da cui:
R t = R o (1 + α o t )
ove αο è una costante specifica del materiale chiamata Coefficiente di temperatura. Essendo:
6
o
−1
∆R
le dimensioni di αο saranno: [ C ]
Ro ⋅ t
I valori di ro e di ao per i seguenti materiali sono:
ρ o ( µΩ ⋅ cm )
α o ° C −1 ⋅ 10 −3
αo =
(
Rame
1,6
4,26
Alluminio
2,8
4,3
)
Manganina
40
0,002
Volendo valutare la variazione di resistenza a partire da un valore di temperatura diverso da 0°C
α o (t 2 − t 1
R2 1+α o t 2
 R 1 = R o (1 + α o t 1 )
=
= 1+
e dividendo membro a membro:

R1 1 + α o t 1
1+α o t1
 R 2 = R o (1 + α o t 2 )
R 2 = R 1 [1 + α t ( t 2 − t 1
da cui :
ove:
αt =
1
)]
αt =
per il rame:
1
α o + t1
)
1
234 + t1
Problema 1.01
Una resistenza di rame alla temperatura di 60°C vale 200 Ohm.- A quale temperatura vale
400 Ohm?
∆t =
R2 − R1
400 − 200
=
= 294,7 o C
−3
α t1 ⋅ R1 3,4 ⋅ 10 ⋅ 200
ove: α t1 =
1
1
α o + t1
=
1
= 3,4 ⋅ 10 -3 o C −1
234 + 60
t 2 = 60 + 294,7 = 354,7 o C
Problema 1.02
Un filo d’alluminio con sezione di 2 mmq è attraversato da una corrente di 3 A quando ai suoi
estremi è applicata una tensione di 9,3 V.- Che lunghezza ha il filo sapendo che la sua temperatura di
prova è di 45 ° C ?
(α o Al = 4 , 3 ⋅ 10 −3 ° C −1 )
R 45 =
Per la legge di Ohm:
Ro =
Essendo:
R 45
1 + α o ⋅ 45
∆V
=
I
=
9,3
= 3 ,1 Ω
3
3 ,1
1 + 4 , 3 ⋅ 10 −3 ⋅ 45
ρ o = 2 , 8 µ Ω ⋅ cm = 2 , 8 ⋅10 − 2 Ω
l=
Ro ⋅ S
ρo
=
2 , 597 ⋅ 2
2 , 8 ⋅ 10 − 2
7
= 2 , 597 Ω
mm 2
m
= 185 , 5 m
1.3.2.
Generatore di Tensione Ideale e Reale:
Il generatore di tensione ideale è un generatore privo di resistenza interna quindi fornisce ai
suoi morsetti una tensione V costante ed uguale alla sua FEM in quanto la corrente che è chiamato ad
erogare non incontra, al suo interno, alcuna resistenza.-
V =E
Caratteristica esterna:
Poichè il generatore di tensione reale al suo interno ha dei conduttori aventi una certa
resistenza r, l’energia fornita alle cariche che lo attraversano va in parte persa per vincere tale
resistenza.L’energia (V) posseduta dall’unità di carica all’uscita dal generatore sarà uguale a quella
fornita (E) ridotta di quella persa per vincere le resistenze interne pari, per la legge di Ohm, ad r.I;
sarà pertanto:
V = E −r⋅I
Caratteristica esterna:
1.3.3.
Espressione generale della legge di Ohm:
Nel caso più generale, quando in un circuito sono presenti più generatori e resistenze,
per ricavare l’equazione generale che governa il suo funzionamento, risulta utile eseguire il bilancio
energetico relativo ad un Coulomb di cariche che percorre l’intero circuito.
Nel circuito di figura si supponga E1 maggiore di E2;
a partire dal punto A, un Coulomb di carica, quando arriva
in B, possiede E1 Joule d’energia fornitagli dal generatore 1;
attraverso la resistenza R ne perde una quantità pari a R ⋅ I
(legge di Ohm per la resistenza R); incontrando E 2 avente
verso contrario, cioè sviluppante una forza che tenderebbe a
spostare le cariche in senso contrario, il Coulomb di carica
che si stà considerando deve ancora perdere una quantità
d’energia pari a E 2 per vincere tale forza contraria; per
attraversare quindi r 2 ed r 1 deve spendere un’energia pari a
r 2 ⋅ I ed r1 ⋅ I rispettivamente; arriverà infine al generatore
1 avendo percorso il circuito ad una velocità tale, quindi con un’intensità di corrente sufficiente ad
esaurire tutta l’energia a disposizione; risulterà cioè:
da cui :
E 1 − R ⋅ I − E 2 − r 2 ⋅ I − r1 ⋅ I = 0
E1 − E 2
I=
R + r1 + r2
La forza elettromotrice E2 che agisce in senso contrario al movimento delle cariche prende il
nome di Forza Controelettromotrice.
8
1.4.0. Circuiti Elettrici Complessi
Un insieme di circuiti semplici, tra loro opportunamente collegati, costituiscono una Rete di
Conduttori. Il problema che si pone è: note le resistenze dei conduttori che compongono la rete ed i
valori delle Forze Elettromotrici inserite, determinare le correnti nei singoli conduttori.La rete per quanto complessa si può sempre pensare come una combinazione di Nodi e di
Maglie essendo il nodo un punto della rete al quale convergono più di due conduttori e la maglia un
circuito chiuso della rete tale che ogni suo conduttore venga percorso una sola volta. Dicesi Ramo
della maglia il conduttore che collega due nodi consecutivi.1.4.1.
I° Principio di Kirchhoff:
Poiché un nodo non è in grado né di fungere da deposito di cariche né da generatore di
cariche, essendo soltanto un punto d’incontro di più conduttori, chiaramente la quantità di carica che
entra nel nodo nell’unità di tempo dovrà essere uguale a quella che n’esce.Assegnando convenzionalmente un certo segno alle
correnti che entrano in un nodo e segno contrario a quelle che
n’escono, risulterà che:
La somma algebrica delle correnti che
convergono ad un nodo è nulla.
ΣI k = 0
1.4.2.
II° Principio di Kirchhoff:
Si analizzi una maglia contenente più generatori e resistenze; essendo questo un circuito
chiuso, la somma delle differenze di potenziale tra tutti i nodi consecutivi (il che significa scegliere
un verso arbitrario di percorrenza della maglia) dovrà essere nulla:
V AB + V BC + VCD + V DA = 0
Analizzando ciascun ramo risulterà:
V BA = E 1 − R1 I 1
V BC = E 2 − R 2 I 2
V CD = R 3 I 3
V AD = R 4 I 4
Sostituendo e tenendo presente i versi delle
differenze di potenziale, si ottiene:
− E1 + E2 = − R1 I1 + R2 I 2 − R3 I 3 + R4 I 4
Risulta in definitiva: In una maglia, fissato a piacere un verso di percorrenza ed i versi
delle correnti nei vari rami, assegnando segno positivo alle FEM e alle cadute di tensione
concordi con il verso di percorrenza, la somma algebrica della Forze Elettromotrici comprese
nei rami è uguale alla somma algebrica delle cadute di tensione.-
1.4.3.
Resistenze in Serie e in Parallelo:
In pratica per la costruzione dei circuiti si usano due tipi di collegamenti delle resistenze: in
serie ed in parallelo o derivazione.Più resistenze si dicono in Serie se sono attraversate dalla medesima corrente.
La tensione applicata a ciascuna di esse risulterà:
V AB = R1 I
VBC = R2 I
VCD = R3 I
9
La tensione totale sarà:
V AD = V AB + V BC + V CD = ( R1 + R 2 + R 2 ) ⋅ I
Si definisce come Resistenza equivalente di più resistenze in serie quella resistenza che
risulta essere attraversata dalla medesima corrente quando a lei viene applicata la stessa tensione
totale.Risulterà pertanto
V AD = Re ⋅ I
Re = R1 + R2 + R3
La resistenza equivalente di più resistenze in serie è uguale alla loro somma.
Re = Σ k R k
Più resistenze si dicono in Parallelo se ad esse è applicata la medesima tensione.
La corrente in ciascun ramo sarà:
V
I 1 = AB
R1
La corrente totale:
I2 =
V AB
R2
I3 =
V AB
R3
 1
1
1
I = I 1 + I 2 + I 3 = V AB ⋅ 
+
+  = V AB ⋅ (G1 + G2 + G3 )
 R1 R2 R3 
Si definisce come Resistenza equivalente di più resistenze in parallelo, quella resistenza che
risulta essere attraversata dalla medesima corrente se a lei viene applicata la stessa tensione.
1
1
1
1
1
I = V AB ⋅
= V AB ⋅ Ge Sarà pertanto:
=
+
+
⇒ Ge = G1 + G2 + G3
Re
Re R1 R2 R3
L’inverso della resistenza equivalente di più resistenze poste in parallelo è uguale alla
somma dei loro inversi o anche La conduttanza di più resistenze in parallelo è uguale alla
somma delle loro conduttanze.1
1
= Σk
Ge = Σ k G k
Re
Rk
Nel caso di due sole resistenze in parallelo:
Re =
R1 ⋅ R2
R1 + R2
10
1.4.4.
Partitore di corrente:
Applicando il primo principio di Kirchhoff al nodo A:
I = I1 + I 2
Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla maglia:
0 = R1 I 1 − R 2 I 2
Risolvendo il sistema delle due equazioni:
R2
R
R1
R
I1 = I
=I e
I2 = I
=I e
R1 + R2
R1
R1 + R2
R2
1.4.5.
Partitore di tensione:
Disponendo più resistenze in serie, la corrente totale sarà:
Va
I=
R1 + R 2 + R 2
Vb = R3 I
e la tensione ai capi di R3:
Per cui:
Vb = R3
Va
R1 + R 2 + R 3
=Va
R3
R1 + R 2 + R 3
1.4.6.
Inserzione di Amperometri e Voltmetri:
Lo strumento base che si ha a disposizione, come si studierà in seguito, è un
milliamperometro che è in grado di fornire il valore della corrente che lo attraversa; tale strumento,
per la sua struttura interna, offre al passaggio della corrente una certa resistenza r i e non sopporta
correnti superiori a qualche decina di milliampere.-
Dovendo misurare correnti di valore superiore al milliampere si ricorre ai partitori di corrente,
in tal modo attraverso il milliamperometro passerà soltanto una
frazione nota della corrente che si vuol misurare:
RS
ri + R S
Ia =I
e ponendo: K S =
ri + R S
RS
I =K
S
⋅Ia
Da quanto visto sopra risulta che l’Amperometro va sempre
inserito in serie al conduttore nel quale sta passando la corrente
che si desidera misurare.
Per misurare le tensioni si userà un Voltmetro, costituito da un milliamperometro avente in
serie una resistenza addizionale di valore elevato in modo che sia attraversato da una corrente ridotta
e proporzionale alla tensione che si vuol misurare:
IV =
V
r i + R add
11
ponendo:
R V = r i + R add
V = RV ⋅ I V
Da quanto visto risulta che il Voltmetro
va sempre inserito in derivazione agli estremi
del bipolo sul quale si vuol misurare la
differenza di potenziale.-
Problema 1.03
E’ dato il circuito di figura ove:
R 1 = 11 Ω
R2 = 2Ω
R 3 = 30 Ω
R5 = 8Ω
R 4 = 90 Ω
I1 = 3A
Determinare la tensione di alimentazione.-
R 254 =
( R 2 + R 5 )⋅ R 4
(R2 + R5 )+ R4
=
( 2 + 8 ) ⋅ 90
2 + 8 + 90
= 9Ω
R 1254 = R 254 + R 1 = 9 + 11 = 20 Ω
V AB = I 1 ⋅ R 1254 = 3 ⋅ 20 = 60 V
Re =
R1245 ⋅ R 3
R1245 + R 3
1.5.0.
=
20 ⋅ 30
20 + 30
= 12 Ω
It =
V AB
Re
=
60
=5A
12
Soluzione delle Reti
1.5.1.
Soluzione delle reti mediante i Principi di Kirchhoff:
Una rete di conduttori contenenti resistenze e generatori, che risulti costituita da un numero r
di rami ed un numero n di nodi, in fase di risoluzione presenta un numero di incognite pari a 2r
corrispondenti a r correnti ed r cadute di tensione agli estremi di ciascun ramo; per risolvere la rete si
avrà perciò bisogno di 2r equazioni indipendenti.- La legge di Ohm applicata a ciascun ramo fornirà
12
r equazioni; gli n nodi forniranno n - 1 equazioni indipendenti applicando il primo principio di
Kircoohff; le rimanenti r - (n - 1 ) equazioni si otterranno applicando il secondo principio di
Kircoohff ad altrettante maglie della rete scelte a piacere.-
Problema 1.04
Trovare le correnti nei tre rami della
rete di figura sapendo che:
R1 = 5 Ω
R 2 = 10 Ω
R 3 = 15 Ω
R 4 = 5Ω
E 1 = 90V
E 2 = 100V
Fissati ad arbitrio i versi delle tre correnti ed il
senso di circolazione nelle maglie, risulterà:
I1 + I 2 = I 3

 E 1 = R1 I 1 + R 4 I 3
E = R I + R I + R I
3 2
2 2
4 3
 2
 2 I 1 + I 2 = 18

 I 1 + 6 I 2 = 20
 90 = 5 I 1 + 5 I 1 + 5 I 2

100 = 15 I 2 + 10 I 2 + 5 I 1 + 5 I 2
I1 = 8 A
I2 = 2 A
I 3 = 10 A
1.5.2.
Teorema di Thevenin :
Il teorema di Thevenin discende dall’applicazione del principio di sovrapposizione
degli effetti.- Si consideri una qualsiasi Rete comunque complessa ed un suo ramo di resistenza R
compreso tra i nodi A e B nel quale si voglia determinare la corrente I.- Si indichi con V ab la tensione
che si stabilisce tra i morseti A e B della rete quando viene disinserita la resistenza R ; con R ab la
resistenza della rete vista da A e B cortocircuitando i suoi generatori e sostituendoli con le loro
resistenze interne.-
Si immagini ora di inserire nel ramo AB delle rete un generatore di tensione ideale avente
F.e.m. uguale a − V ab . Si calcoli quindi la corrente I* che risulterebbe in questo ramo AB, applicando
il principio di sovrapposizione degli effetti; essa è la somma algebrica di due correnti: la prima si
ottiene cortocircuitando il generatore − V ab per cui la corrente è quella dovuta agli altri generatori
della rete cioè la corrente I che si vuol determinare, la seconda è quella che si ottiene cortocircuitando
tutti i generatori della rete e quindi dovuta al solo generatore − V ab :
− Vab
I ** =
R + Rab
Risulterà quindi:
I * = I + I **
13
Ma la I* dovrà essere nulla in quanto il generatore − V ab si oppone esattamente alle tensioni
I + I ** = 0
Vab
I=
R + Rab
del circuito, per cui :
cioè:
La corrente che passa nella resistenza R di un ramo AB di una rete è uguale al
rapporto tra il valore della tensione Vab che si stabilisce tra i morsetti A e B quando si
disinserisce la resistenza R e la somma della resistenza R con la resistenza equivalente della rete
vista da A e B quando si toglie la resistenza R e si cortocircuitano i generatori della rete
sostituendoli con le loro resistenze interne.Tutta la rete può quindi essere sostituita da un unico generatore equivalente avente
F.e.m. = V ab e resistenza interna R ab .-
Problema 1.05
Si determini la corrente I 3 della rete del problema 4 :
Disinserita la R 4 , si calcola la VAB e la R AB :
E 2 − E1
100 − 90
I=
=
= 0,333 A
R1 + R2 + R3 5 + 10 + 15
V AB = E 2 − ( R2 + R3 ) I = 100 − (10 + 15) ⋅ 0,333 = 91,666V
R1 ( R2 + R3 )
5 ⋅ (10 + 15)
= 4,166Ω
R1 + R2 + R3 5 + 10 + 15
Per il teorema di Thevenin sarà:
V AB
91,666
I3 =
=
= 10 A
R4 + R AB 5 + 4,166
R AB =
1.6.0.
=
L’Energia nei circuiti a corrente continua
1.6.1.
Effetto Joule :
E’ noto che qualsiasi corpo attraversato dalla corrente si riscalda; il moto delle cariche
elettriche al suo interno da luogo ad una trasformazione d’energia il cui risultato è appunto una
produzione di calore.- Il generatore che spinge le cariche a migrare nell’interno del corpo fornisce
loro un’energia che, per unità di carica, è uguale alla sua F.E.M.: è tale energia che si trasforma in
calore.-
14
Una serie sistematica di misure mediante un calorimetro permette di rilevare che la quantità di
calore prodotta è direttamente proporzionale al quadrato dell’intensità di corrente, alla resistenza
del corpo e alla durata del fenomeno:
Q = k ⋅ R ⋅ I 2 ⋅t
[ Cal ] = k [ Ω ⋅ A 2 ⋅ sec] = k [V ⋅ A ⋅ sec] = k [V ⋅ C ] = k [ J ]
Dimensionalmente:
ove k è l’equivalente termico del lavoro meccanico e vale: k = 0,24.10 -3 Cal/J
Q = 0,24 ⋅ 10−3 R ⋅ I 2 ⋅ t
La quantità d’energia elettrica trasformata in calore risulterà:
W = R ⋅ I 2 ⋅t
[ Joule ]
Se la corrente è variabile nel tempo, l’energia infinitesima trasformata nel tempo dt sarà:
dW = R ⋅ i 2 ⋅ dt
e l’energia trasformata in un intervallo di tempo t 1 ÷ t 2 :
t2
W = ∫ R ⋅ i 2 ⋅ dt
t1
1.6.2.
La potenza elettrica:
Si consideri un generatore che alimenta una resistenza
R; la tensione ai capi della R sarà:
ove:
V = R⋅I
V = E − ri I
L’energia spesa dal generatore per far passare la carica
Q attraverso la resistenza R sarà:
W = Q ⋅V
La carica Q che attraversa al resistenza R nel tempo t
risulta:
Q = I ⋅t
sostituendo:
W = V ⋅ I ⋅t
La Potenza impiegata dal generatore, intesa come Energia spesa nell’unità di tempo, sarà:
W
P = = V ⋅ I = R ⋅ I 2 = G ⋅V 2
t
 J 
[ P] =   = [V ⋅ A] = [W ]
 sec 
1 J = 1W sec
⇒
1KWh = 3,6 ⋅ 10 6 J
La resistenza può venire definita in base alla legge di Joule come il rapporto fra la potenza in
essa trasformata in calore ed il quadrato della corrente che la attraversa:
p
R= 2
i
L’equivalente termico dell’energia meccanica è:
860
1J =
Cal = 0,24 ⋅ 10 − 3 Cal
3,6 ⋅ 10 6
15
1.6.3.
Sovratemperatura nei conduttori:
La corrente passando attraverso un conduttore di sezione S, perimetro p, lunghezza l, produce
una certa quantità di calore pari a:
l
∆Q = 0 , 24 ⋅ 10 −3 RI 2 ∆t = 0 , 24 ⋅ 10 −3 ⋅ ρ I 2 ∆t
S
A regime termico, questo calore viene ceduto all’ambiente in quanto il conduttore
riscaldandosi assume una temperatura maggiore dell’ambiente stesso con un salto termico pari a ∆Τ ;
indicando con A = p ⋅ l la superficie esterna del conduttore, il calore ceduto all’ambiente vale:
l
∆Q = c ⋅ A ⋅ ∆T ⋅ ∆t = 0,24 ⋅ 10 − 3 ⋅ ρ ⋅ I 2 ⋅ ∆t
S
−3
0,24 ⋅ 10 ⋅ ρ 2
p⋅S =
⋅I
c ⋅ ∆T
A parità di sovratemperatura (∆Τ) i conduttori piatti sopportano maggiori correnti.
La massima densità di corrente ammessa risulta dipendente dalla sezione del conduttore:
I2
c ⋅ ∆T
p
σ = 2 =
−3 ⋅
0,24 ⋅ 10 ρ S
S
a parità di sovratemperatura DT ammessa:
2
essendo
p≡
S
σ 2≡
S
1
≡
S
S
σ = 4 A mmq fino:
In pratica si riscontra nei conduttori di rame:
5 mmq
σ = 3 A mmq
fino:
20 mmq
σ = 2 A mmq
fino:
100 mmq
Problema 1.06
Un milliamperometro ha una resistenza interna di 30 Ω e una corrente di fondo scala uguale a
1,5 mA.- Calcolare il valore della resistenza di shunt necessaria ad ottenere un amperometro con
portata di 3 A.-
Ia =I
I
Ia
=
3
1 ,5 ⋅ 10
−3
= 2000
ri
Rs
= 1999
RS =
Ra
1999
16
=
Rs
I
ri + R s
Ia
30
1999
=
ri
+1
Rs
= 0 , 0150075 Ω = 15 , 0075 mΩ
Problema 1.07
In quanto tempo un bollitore della capacità di 80 litri d’acqua, dotato di una resistenza
riscaldatrice di 2 kW di potenza, porta ad ebollizione l’acqua avente una temperatura iniziale di 18°C,
supposte nulle le dispersioni di calore?
Q = 80 (100 − 18 ) = 6560 Cal
La quantità di calore necessaria sarà:
Q = 0,24 ⋅ 10 − 3 P ⋅ t
Per la legge di Joule:
t=
Q
0 , 24 ⋅ 10
=
−3
P
6560
0,24 ⋅ 10
-3
⋅ 2000
= 13667sec = 3 h 47 min 47 sec
Problema 1.08
Calcolare il valore della resistenza riscaldatrice di un ferro da stiro del peso di 1,5 kg
alimentato alla tensione di 250 V in modo che in 5 min. passi dalla temperatura di 22 °C a quella di
200 °C, supponendo nulle le dispersioni ( Calore specifico del ferro = 0,134 Cal / Kg . °C ).La quantità di calore necessaria sarà:
Q = c s ⋅ Peso ⋅ (T2 − T1 ) = 0,134 ⋅ 1,5 ⋅ ( 200 − 22 ) = 35,78Cal
Per la legge di Joule:
Q = 0,24 ⋅ 10 −3 ⋅ P ⋅ t
Q
35,78
= 497W
−3 =
0,24 ⋅ 10 t 0,24 ⋅ 10 −3 ⋅ 5 ⋅ 60
V2
250 2
R=
=
= 126 Ω
P
497
P=
Problema 1.09
Una linea di rame lunga 300 m alimenta alla tensione di 200 V un carico che assorbe 10 kW.
Calcolare la sezione dei conduttori di linea affinché questa funzioni con un rendimento del 95%.-
Il =
Pa
=
Va
10.000
= 50 A
η l=
200
Pa
Pp
Pp =
p l = 2 ⋅ R l ⋅ I l2
p l = Pp − Pa = 10.526 − 10.000 = 526W
Rl =
pl
2⋅I
2
=
526
2 ⋅ 50
2
10.000
= 10.526W
0,95
Rl = ρ ⋅
= 0 ,1052 Ω
l
S
l
0,3
S =ρ⋅
= 17,5 ⋅
= 49,9mm 2
Rl
0,1052
dove :
ρ
Cu 20° C = 17 , 5 Ω
mm 2
Sezione commerciale:
km
17
S = 50 mm 2
Problema 1.10
Un filo di Nichelio ( ρ o = 11 , 8 µ Ω ⋅ cm
α o = 0 , 006 ° C − 1 ) avente una sezione
S = 0 , 8 mm 2 è attraversato da una corrente di 4 A quando ai suoi capi è applicata una tensione di
60 V .- Qual è la sua lunghezza se la temperatura di funzionamento è di 180°° C ?
La resistenza del filo a 180° C vale:
R 180 =
La sua resistenza a 0° C vale:
Ro =
V
=
60
I
4
RT
= 15 Ω
15
= 7 ,21 Ω
1 + α o T 1 + 0 ,006 ⋅ 180
0 ,8
S
L = Ro
= 7 , 21 ⋅
= 48 ,88 m
ρo
11 ,8 ⋅ 10 −2
La lunghezza del filo risulterà:
=
11,8 µΩ ⋅ cm = 11 ,8 ⋅ 10 −2 Ω ⋅ mm
Si tenga presente che:
2
m
Problema 1.11
Un filo d’alluminio della lunghezza di 70 m è percorso dalla corrente di 20 A quando ai suoi
capi è applicata una tensione di 10 V .- Calcolare la sezione del filo, sapendo che la prova è stata
eseguita alla temperatura di 80° C .- (Per l’alluminio ρ o = 2 , 80 µ Ω ⋅ cm
α o = 0 , 0043 ° C −1 )
( R : S = 5 , 27 mm
2
)
Problema 1.12
In un forno viene posta una resistenza di rame alimentata alla tensione costante di 10 V ;
quando la temperatura del forno è di 20° C la corrente assorbita dalla resistenza vale 0 , 2 A .Calcolare il valore della temperatura che deve raggiungere il forno affinché la corrente assorbita dalla
resistenza valga 0 , 125 A .( R : T = 172 , 8° C )
Problema 1.13
Due generatori, aventi rispettivamente:
 E 1 = 80 V
 E 2 = 50 V
ed


ri 1 = 0,5Ω
ri 2 = 0, 3Ω
sono collegati in serie con polarità in opposizione ed alimentano una resistenza R che risulta essere
attraversata da una corrente di 2 A ; determinare il valore della resistenza R.-
18
Tenedo presente che i due generatori sono collegati tra loro in opposizione, l’equazione che regola il
funzionamneto del circuito sarà:
E 1 − E 2 = ( ri 1 + ri 2 + R ) ⋅ I
R=
R=
E1 − E 2
I
80 − 50
2
− ri 1 − ri 2
− 0 ,5 − 0 ,3 = 14 , 2 Ω
Problema 1.14
Due generatori collegati in serie con polarità in opposizione ed aventi:
 E 1 = 50 V
 E 2 = 150 V
ed


ri 1 = 0,5Ω
ri 2 = 1, 5 Ω
alimentano una resistenza formata da un filo di Rame della lunghezza di 4000 m avente sezione
1 mm 2 e funzionante alla temperatura di 200°° C .- Calcolare la corrente che scorre nel circuito.( R : I = 0 , 8297 A )
Problema 1.15
Trovare la resitenza equivalente del circuito di figura:
ove:
19
R1
R
 2
R3

R4
R5

R6
= 16 , 25 Ω
= 5Ω
= 10 Ω
= 3 ,8 Ω
= 3Ω
= 2Ω
R 56 =
R5 ⋅ R6
R5 + R6
=
3⋅ 2
3+ 2
= 1 ,2 Ω
R 456 = R 4 + R 56 = 3 ,8 + 1 , 2 = 5 Ω
R 23456 =
R 23 = R 2 + R 3 = 5 + 10 = 15 Ω
R eq = R 1 + R 23456
R 456 ⋅ R 23
R 456 + R 23
= 16 , 25 + 3 , 75 = 20 Ω
=
5 ⋅ 15
5 + 15
= 3 ,75 Ω
Problema 1.16
Trovare il valore della corrente I 3 che attraversa la resistenza R 3 del circuito di figura:
R1
R
 2
R3

R4
R5

R6
R 5678
R 1456789
R 23 =
10 ⋅ 40
= 8Ω
10 + 40
5 ⋅ 20
=
= 4Ω
5 + 20
R 78 =
, 10 , 11
8⋅2
8+2
= 6 ,2 Ω
= 8Ω
= 2Ω
= 6Ω
= 5Ω
= 12
 R 7 = 10 Ω
 R = 40 Ω
 8
 R 9 = 14 Ω

 R 10 = 6 Ω
 R 11 = 8 Ω

 E = 90V
R 678 = 12 + 8 = 20 Ω
R 9 , 10 =
14 ⋅ 6
14 + 6
= 4 ,2 Ω
= 6 , 2 + 6 + 4 + 4 , 2 + 8 = 28 , 4 Ω = R a
= 1 ,6 Ω
R eq = R 23 + R a = 1 , 6 + 28 , 4 = 30 Ω
I=
E
R eq
=
90
30
= 3A
I3 = I⋅
20
R2
R2 + R3
= 3⋅
8
8+2
= 2 ,4 A
Problema 1.17
È dato il circuito di figura ove:
 R1 = 6 Ω

 R 2 = 3Ω
 R = 40 Ω
 3
 R 4 = 20 Ω

R5 = 2Ω
I = 2A
 1
Determinare la tensione di alimentazione V AB e la corrente totale I .-
R 245
Si ricava si circuito equivalente:
( R2 + R5 )⋅ R4
( 3 + 2 ) ⋅ 20
=
=
= 4Ω
( R2 + R5 )+ R4
3 + 2 + 20
V AB = ( R 1 + R 245 ) ⋅ I 1 = ( 6 + 4 ) ⋅ 2 = 20 V
Dall’equazione dei partitori di corrente:
I1 = I ⋅
R3
R 3 + ( R 1 + R 245 )
R 3 + R 1 + R 245
40 + 6 + 4
I = I1 ⋅
= 2⋅
= 2 ,5 A
R3
40
Problema 1.18
(Equivalenza collegamento triangolo – stella)
Data una rete, comunque complessa, nella quale siano inserite tre resistenze poste fra tre nodi
( A – B – C ) e collegate a triangolo, determinare il valore di tre opportune resistenze collegate a
stella, di valore tale che il circuito veda dai tre nodi la stessa resistenza equivalente.-
Viste dai nodi A e B :
RA + RB =
Viste dai nodi B e C :
RB + RC =
Viste dai nodi C e A :
RC + R A =
21
R AB ( R BC + R CA
)
R AB + R BC + R CA
R BC ( R CA + R AB )
R AB + R BC + R CA
R CA ( R AB + R BC )
R AB + R BC + R CA
(1 )
(2 )
(3 )
Eseguendo (1) - (2) + (3) e dividendo per due si ricava la RA e parimenti per la RB e la RC:
R BC ⋅ R AB
R CA ⋅ R BC
R AB ⋅ R CA
RA =
RB =
RC =
R AB + R BC + R CA
R AB + R BC + R CA
R AB + R BC + R CA
Risolvendo il sistema delle (1),(2),(3) rispetto alle RAB , RBC , RCA si ricavano le
espressioni inverse:
RB ⋅RC
RA ⋅RB
RC ⋅ R A
R AB =
R BC =
R CA =
Rp
Rp
Rp
1
Dove:
Rp
=
1
RA
+
1
+
RB
1
RC
Problema 1.19
Determinare la tensione d’alimentazione V AB del circuito di figura, conoscendo la corrente
I 4 che attraversa la resistenza R 4 .-
 R 1 = 10 Ω

 R 2 = 70 Ω
 R = 20 Ω
 3
 R 4 = 3Ω

 R 5 = 16 Ω
 I = 7 ,5 A
 4
Le resistenze R 1 − R 2 − R 3 costituiscono un collegamento a triangolo che può essere sostituito
dall’equivalente a stella:
R1 ⋅ R 3
10 ⋅ 20
RA =
=
= 2Ω
R 1 + R 2 + R 3 10 + 70 + 20
RB =
RC =
R B 4 = R B + R 4 = 7 + 3 = 10 Ω
RB 4C 5 =
RB 4 ⋅ RC 5
R B 4 + RC 5
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2 + R 3
R3 ⋅R2
R1 + R 2 + R 3
=
=
10 ⋅ 70
10 + 70 + 20
20 ⋅ 70
10 + 70 + 20
R C 5 = R C + R 5 = 14 + 16 = 30 Ω
=
10 ⋅ 30
10 + 30
= 7 ,5 Ω
R e = R B 4 C 5 + R 4 = 7 ,5 + 2 = 9 ,5 Ω
I=
V CB = R B 4 ⋅ I 4 = 10 ⋅ 7 , 5 = 75 V
V CB
RB4C5
V AB = R e ⋅ I = 9 ,5 ⋅ 10 = 95 V
22
=
75
7 ,5
= 10 A
= 7Ω
= 14 Ω
Problema 1.20
È dato il circuito di figura, ove:
 R1
R
 2
 R3
E
 1
 E 2
= 10 Ω
= 2Ω
= 5Ω
= 80 V
= 64 V
Determinare il valore delle correnti circolanti in ciascun ramo del circuito.-
Fissato ad arbitrio il verso delle tre correnti ed il senso di percorrenza delle due maglie, si
applicano il primo principio di Kirchhoff al nodo A ed il secondo alle due maglie:
 I1 + I2 = I3

 E1 = R1I1 + R3 I 3
E = R I + R I
2
2
3
3
 2
 8 0 = 10 I 1 + 5I 1 + 5I 2

 64 = 2 I 2 + 5I 1 + 5I 2
I1 = 3A
I2 =7A
 I 2 = 16 − 3 I 1

 5 I 1 + 112 − 21 I 1 = 64
I 3 = 10 A
Problema 1.21
È dato il circuito di figura, ove:
 R1
R
 2

 R3
 R 4
= 4Ω
= 6Ω
= 4Ω
= 1Ω
 R5 = 2 Ω
 R = 1Ω
 6

 E1 = 40V
 I 2 = 2 A
Determinare il valore della corrente I 1 e
della E 2
23
Fissato arbitrariamente il verso della E 2 e delle correnti incognite oltre al senso positivo di
percorrenza delle due maglie, si applicano i due principi di Kirchhoff:
I1 + I 2 = I 3

 E1 = R1 I 1 + R2 I 1 + R6 I 3 + R3 I 3
E = R I + R I + R I + R I
5 2
4 2
6 3
3 3
 2
I1 +2 = I3

 40 = 4 I 1 + 6 I 1 + I 3 + 4 I 3
 E = 2 ⋅ 2 + 1⋅ 2 + 1⋅ I + 4 ⋅ I
3
3
 2
 I 1 = 2 A

 E 2 = 26 V
Problema 1.22
Si determini la corrente I 3 della rete di figura, ove :
 R1 = 5 Ω

 R 2 = 15 Ω
 R = 5Ω
 3
 R 4 = 10 Ω

 E 1 = 70V
 E = 100 V
 2
Il calcolo della corrente I 3 può essere fatto applicando il teorema di Thevenin al ramo AB :
Disinserendo la resistenza del ramo AB si calcola la tensione V AB e, cortocircuitando i generatori di
tensione, la resistenza R AB :
I=
E 2 − E1
=
100 − 70
=1A
R AB =
R1 ( R 2 + R 4 )
=
5 ⋅ ( 15 + 10 )
R 1 + R 2 + R 4 5 + 15 + 10
R1 + R 2 + R 4
5 + 15 + 10
V AB = E 2 − ( R 2 + R 4 ) ⋅ I = 100 − ( 15 + 10 ) ⋅ 1 = 75V
Per il teorema di Thevenin, risulterà:
V AB
75
I3 =
=
= 8 ,182 A
R AB + R 3 4 ,166 + 5
24
= 4 ,166 Ω
Problema 1.23
Calcolare il valore della corrente I circolante nel ramo AB del circuito di figura, ove:
 R1
R
 2
R3

R4
R
 5
R6
R
 7
= 2 , 25 Ω
= 1Ω
= 3Ω
= 4Ω
= 6Ω
= 3Ω
= 15 Ω
R8 = 2Ω
 R = 11 , 2 Ω

 E 1 = 20V

 E 2 = 10V
 E 3 = 60V

 E 4 = 30V
Volendo usare il teorema di Thevenin, si consideri il circuito ottenuto togliendo la resistenza R e si
calcoli la differenza di potenziale V AB :
R678 =
R7 ⋅( R6 + R8 )
R7 + R6 + R8
=
15⋅ 5
15+ 5
= 3,75Ω
V AC = E 4 − R 4 I B = 30 − 4 ⋅ 5 = 10 V
V BC = R 5 I
A
= 6 ⋅ 7 = 42 V
IB =
I
A
E1 + E4
=
20+30
R1 + R4 + R678 2,25+4+3,75
=
E2 + E3
R2 + R3 + R5
=
= 5A
10 + 60
1+ 3+ 6
=7A
V AB = V AC − V BC = 10 − 42 = − 32 V
Per calcolare la resistenza equivalente del circuito, vista dai morsetti A e B con la resistenza R
disinserita, si pongono in corto circuito i generatori di tensione ottenendo il circuito di figura:
25
( R2 + R3 )⋅ R5
4⋅6
= 2 ,4 Ω
R2 + R3 + R5
4+6
R 4 ⋅ ( R 1 + R 678 ) 4 ⋅ ( 2 , 25 + 3 ,75 )
R 14678 =
=
= 2 ,4 Ω
R 4 + R 1 + R 678
4 + 2 ,25 + 3 ,75
R AB = R 235 + R 14678 = 2 , 4 + 2 , 4 = 4 ,8 Ω
Per il teorema di Thevenin, risulterà:
V AB
− 32
I=
=
= −2A
R + R AB 11 ,2 + 4 ,8
Il segno meno indica che il verso della corrente nel ramo AB è opposto a quello indicato nello
schema vale a dire va da B ad A.R 235 =
=
Problema 1.24
Nel circuito di figura, si calcoli la corrente I che attraversa la resistenza R 4 (teorema di
Thevenin).R1
R
 2
R3
R
 4
 R 5
= 1Ω
= 5Ω
= 4Ω
= 12 ,8 Ω
= 8Ω
 R6
R
 7

 E1
 E 2
= 2Ω
= 10 Ω
= 30V
= 10V
(R : I = 0,4A )
Problema 1.25
Calcolare la resistenza di isolamento chilometrica di un cavo unipolare sotto piombo isolato
con gomma vulcanizzata ( ρ = 6 ⋅ 10 6 M Ω ⋅ m ) sapendo che il raggio del conduttore è di 5 mm ed il
raggio interno dell’involucro di piombo è di 15 mm.-
26
Si calcola la resistenza dR di un cilindro di raggio x (
r 1 ≤ x ≤ r 2 ) , spessore dx e lunghezza L=1000m:
dx
dR = ρ ⋅
2π ⋅ x ⋅ L
r2
ρ
dx
R=∫ ρ⋅
=
[ln x ] rr12
r1
2π ⋅ x ⋅ L 2π ⋅ L
6
6 ⋅ 10 ( MΩ ⋅ m )
15
R=
⋅ ln = 1049 MΩ
km
2 π ⋅ 1000 ( m )
5
Problema 1.26
Un generatore, funzionante a carico, fornisce ai morsetti una tensione di 2,17V quando eroga
una corrente di 2A ed una tensione di 2,08V quando eroga una corrente di 5A.Calcolare la F.E.M. , la resistenza interna e la corrente di corto circuito del generatore.Nelle due situazioni di carico risulterà:
 E − ri I 1 = V 1

 E − ri I 2 = V 2
 E = 2 , 23V

 r i = 0 ,03 Ω
 E − 2 ⋅ r i = 2 ,17

 E − 5 ⋅ r i = 2 ,08
I cc =
E
ri
=
2 , 23
= 74 ,33 A
0 ,03
Problema 1.27
Un milliamperometro ha una resistenza interna di 20 W ed una corrente di fondo scala di
2,5 mA.- Calcolare il valore della nuova corrente di fondo scala se viene inserita una resistenza di
shunt del valore di 10,005 mW
W.-
Ia =I
I
Ia
=
20
10 ,005 ⋅ 10
−3
+ 1 = 2000
RS
I
Ra + RS
Ia
=
I = 2000 ⋅ I a = 2000 ⋅ 2 ,5 ⋅ 10 −3 = 5 A
27
Ra
RS
+1
Problema 1.28
Calcolare il tempo necessario ad un bollitore, avente una resistenza riscaldatrice di 30W
W, per
portare alla temperatura di 80° C la quantità di 40 litri d’acqua che si trova inizialmente alla
temperatura di 16°C, sapendo che viene alimentato ad una tensione di 220V e supposte nulle le
perdite di calore.La quantità di calore necessaria sarà:
Q = 40 ( 80 − 16 ) = 2.560 Cal
Q = 0 , 24 ⋅ 10 −3 P ⋅ ∆t = 0 , 24 ⋅ 10 −3
Per la legge di Joule:
∆t =
R ⋅Q
0 ,24 ⋅ 10
−3
V
2
=
30 ⋅ 2560
0 , 24 ⋅ 10
−3
⋅ 220
2
V
2
R
⋅ ∆t
= 6612 sec = 1 h 50 m 12 sec
Problema 1.29
Nel circuito di figura, calcolare il rapporto tra R ed r i affinché risulti massima la potenza
trasmessa dal generatore a R.Indicando con k il rapporto cercato:
k=
R
ri
I=
Essendo:
E
R + ri
La potenza assorbita dalla resistenza R sarà:
P = R⋅I
2
= R⋅
E2
( R + ri )
2
= k ⋅ ri
E2
ri ⋅ ( 1 + k )
2
2
=
E2
ri
⋅
k
( 1+ k )2
2
E 2 ( 1+ k ) − 2k( 1+ k ) E 2 1− k 2
⋅
=
⋅
≥0
ri
( 1+ k )4
ri ( 1 + k ) 4
per:
− 1 ≤ k ≤ +1
P' ( k ) ≥ 0
R = ri
Si ottiene il massimo per:
k =1
cioè
P' ( k ) =
Problema 1.30
La resistenza di un reostato a cursore è fatta variare con legge lineare da 40 Ω a 280 Ω nel
periodo di 10 minuti.- Se la tensione d’alimentazione di 200 V rimane costante, quant’è il calore
sviluppato per effetto Joule?
La quantità d’energia dW trasformata nel tempuscolo dt
sarà:
V2
dW = P ⋅ dt =
dt
R( t )
dove R(t) è il valore della resistenza al tempo t che viene
fornito dalla relazione di linearità:
28
40 40 0,4 La quantità totale d’energia trasformata sarà:
W =
∫
t1
0
600
 1

1
280
dt = V ∫
= 200 ⋅ 
ln( 40 + 0 , 4 ⋅ t ) 
= 200 2
ln
= 194591 J
0
R( t )
40 + 0 , 4 ⋅ t
0 , 4 40
 0 ,4
0
Q = 0 , 24 ⋅ 10 −3 W = 0 , 24 ⋅ 10 −3 ⋅ 194591 = 46 ,7 Cal
V
2
2
600
dt
2
Problema 1.31
Determinare la resistenza equivalente del circuito di figura, ove R = 3 Ω
( R:
R AB = 1 , 5 Ω )
Problema 1.32
Determinare la resistenza equivalente tra i punti A e B del circuito di figura, ove:
 R 1 = 15 Ω

 R 2 = 30 Ω
 R = 60 Ω
 3
( R:
29
R AB = 19 , 091 Ω )
Problema 1.33
Una linea di rame lunga 420m deve alimentare alla tensione di V a = 400 V un carico
costituito da una resistenza del valore di: R C = 2 Ω . Calcolare la sezione dei conduttori di linea
affinché questa funzioni con un rendimento minimo del 90%; in tali condizioni calcolare anche il
valore della tensione che bisogna applicare in partenza della linea.-
La corrente assorbita dal carico vale:
Va
400
IC = IL =
=
= 200 A
RC
2
La potenza assorbita dal carico vale:
P C = V C ⋅ I C = 400 ⋅ 200 = 80000 W
La potenza in partenza della linea viene calcolata in base al rendimento della linea stessa:
PC
80000
Pp =
=
= 88888W
ηL
0 ,90
Le perdite in linea dovranno avere un valore massimo pari a:
p L = P p − P C = 88888 − 80000 = 8888 W
La resistenza totale dei due conduttori di linea dovrà avere un valore massimo di:
pL
8888
RL =
=
= 0 ,222 Ω
2
IL
200 2
La sezione minima dei conduttori di linea risulta:
Ω ⋅ mm 2
) ⋅ 2 ⋅ 420 ( m )
ρ ⋅ 2 L 0 ,018 (
m
S=
=
= 68 ,11 mm 2
RL
0 , 222 ( Ω )
La sezione commerciale usata sarà:
S = 70 mm 2
R L = 0 ,018
La resistenza effettiva della linea sarà quindi:
Il rendimento effettivo:
η=
PC
PC + R L I L2
=
80000
80000 + 0 , 216 ⋅ 200 2
2 ⋅ 420
70
= 0 , 216 Ω
= 0 ,902 = 90 ,2%
V P = V a + R L I L = 400 + 0 , 216 ⋅ 200 = 443 , 2 V
La tensione in partenza della linea:
ηL =
Si noti anche che:
Pa
Pp
=
Va I L
VpIL
=
Va
Vp
=
400
= 0 ,902
443 , 2
Problema 1.34
Una linea di rame della lunghezza di 1000m alimenta un carico che assorbe una potenza di
5kW funzionando con un rendimento del 90%. Sapendo che la tensione in partenza della linea vale
1000V, determinare la resistenza di linea, la tensione all’arrivo e la densità di corrente in linea.( R:
V a = 900 V − R L = 18 Ω − σ = 2 , 89 A
30
mm 2
)
Problema 1.35
Determinere in modulo e verso la corrente che attraversa il ramo 3 ( E 3 − R
di figura, ove:
R1
R
 2
R3

E1
E 2

E3
3
) del circuito
= 5Ω
= 15 Ω
= 11 , 25 Ω
= 100V
= 40V
= 55V
( R:
I 3 = 2A
da A verso B )
Problema 1.36
Determinare in quanto tempo un bollitore, di 80 l di capacità e di 2 kW di potenza, porta
l’acqua all’ebollizione, se la temperatura iniziale dell’acqua è di 18°C e si suppone una perdita di
calore pari al 5% del calore prodotto.( R:
3 h 59 m 46 sec )
31
Capitolo II
IL CAMPO ELETTRICO
2.1.0. Elettrostatica - Condensatore
Mentre l’ELETTRODINAMICA studia i sistemi di cariche libere che, sotto l’influenza di
sollecitazioni diverse, si muovono all’interno di un circuito chiuso, l’ELETTROSTATICA studia i
sistemi di cariche elettriche libere che, sotto l’azione di sollecitazioni diverse, si assestano in una
posizione d’equilibrio stabile nella quale rimangono in quiete.Il più comune esempio di passaggio da un sistema Elettrodinamico ad un Elettrostatico è
l’interruzione di un circuito percorso da corrente.Interrompendo il circuito nei punti A e B, le cariche elettriche
che prima erano in movimento attraverso tutto il circuito, assumono
uno stato di quiete, addensandosi, sotto l’azione del generatore E, ai
due estremi A e B (le positive in A e le negative in B), generando una
differenza di potenziale tra i due punti tale da opporsi ad ogni ulteriore
spostamento; ciò avverrà quando la differenza di potenziale uguaglierà
la F.E.M. del generatore.Per esaltare il fenomeno, cioè aumentare il numero di cariche che si
raccolgono in A e B, si possono collocare a tali estremi due superfici
metalliche chiamate Armature separate da un materiale isolante chiamato
Dielettrico, ottenendo quello che viene indicato con il nome di
Condensatore.Considerato il circuito di figura con il deviatore in posizione 1 , si avrà una prima fase
dinamica durante la quale il generatore tenderà a spostare le cariche
elettriche presenti nel circuito addensandole sulle armature fino a
quando la differenza di potenziale V AB che si stabilisce tra tali
armature non eguaglierà la F.E.M. del generatore; dopo di che
s’instaurerà un regime elettrostatico, si dirà cioè che il Condensatore è
Caricato. Durante la fase transitoria di carica, la corrente varia tra un
valore massimo nell’istante iniziale ed il valore finale tendente a zero.La quantità di carica spostata totalmente sarà:
Q = ∫ i ⋅ dt
T
L’andamento della corrente di carica del condensatore e della tensione sulle sue armature sarà
ricavato in seguito.Spostando quindi il deviatore in posizione 0 il condensatore rimane isolato. Nel circuito non
passa alcuna corrente, sulle armature permangono le cariche Q che vi si erano accumulate e la
differenza di potenziale tra le armature stesse rimane costante (Regime Elettrostatico).Spostando il deviatore in posizione 2 le armature vengono collegate tra loro attraverso la
resistenza R per cui la differenza di potenziale V AB esistente tra le armature stesse spinge le cariche a
ricombinarsi tra loro passando attraverso la resistenza R determinando un passaggio transitorio di
corrente cioè la Scarica del condensatore.-
32
Con una serie sistematica di prove di carica e scarica di uno stesso Condensatore, si è
costatato che la quantità di carica che si deposita sulle sue armature nella fase di carica è
proporzionale alla tensione ad esse applicata:
Q = k ⋅V
La costante di proporzionalità, caratteristica di ciascun condensatore, prende il nome di
Capacità ( C ):
Q
C=
V
Si definisce cioè come Capacità di un condensatore il rapporto tra la carica depositata sulle
sue armature e la tensione ad esse applicata.Dimensionalmente:
 Q   C   A ⋅ sec 
[ C] =   =   = 
= [ Ω −1 ⋅ sec] = [ F ]
V  V   Ω ⋅ A 
L’unità di misura della capacità è il FARAD ( F ).- Normalmente vengono usati i suoi
sottomultipli: Millifarad ( mF ) - Microfarad ( µF) - Nanofarad ( nF ) - picofarad ( pF ) .Un condensatore ha la capacità di 1 Farad se, applicando alle sue armature la tensione di
1 Volt, su di esse si accumula la carica di 1 Coulomb.Nel caso di condensatori costruiti con armature piane parallele aventi superficie S e poste alla
distanza d, si è riscontrato, mediante delle prove sistematiche per determinarne la capacità, che questa
risulta proporzionale alla Superficie ed inversamente proporzionale alla Distanza tra le armature e
dipende in oltre dal tipo d’isolante interposto tra le armature:
S
C =ε
d
ove la costante di proporzionalità ε , legata alle caratteristiche del materiale, viene chiamata
Costante dielettrica del materiale.[ε ] =  C ⋅ d  =  F ⋅ m2  = F ⋅ m −1
m 
 S 
[
]
ε o = 8 ,86 ⋅ 10 −12 F m
Per il vuotorisulta :
La costante dielettrica di tutti gli altri materiali viene espressa in funzione di quella del vuoto:
ove ε r
ε= ε r ⋅ε o
è la Costante dielettrica relativa del materiale.
εr =
ε
εo
Per i vari materiali isolanti risulta:
εr
5⇔8
5⇔7
2⇔3
100 ⇔ 170
Vetro
Mica
Porcellana
H 2 O distil .
33
2.2.0. Accoppiamento dei condensatori
Più condensatori possono essere raggruppati collegando le loro armature e costituendo così
una Batteria di condensatori.2.2.1.
Collegamento in parallelo:
In questo tipo di collegamento alle armature risulta applicata la medesima tensione VAB quindi
la carica Qk di ciascun condensatore è proporzionale alla capacità Ck.-
La carica totale accumulata dalla batteria di condensatori sarà pari alla somma delle singole
cariche:
Q k = V AB ⋅ C k
Q tot = ∑ Q k = V AB ⋅ ∑ C k
Definendo come Capacità equivalente quella di un condensatore unico che, alimentato alla
medesima tensione VAB , accumula sulle sue armature la carica totale accumulata dalla batteria:
Q
V ⋅ ΣCk
Ce = tot = AB
= ΣCk
V AB
V AB
La capacità di una batteria di condensatori collegati in parallelo è uguale alla somma delle
capacità dei singoli condensatori.2.2.2.
Collegamento in serie :
In questo tipo di collegamento la tensione VAB risulta applicata ai due estremi della serie.- A
seguito dell’applicazione della tensione i condensatori tendono a caricarsi, cioè delle cariche si
separano accumulandosi sulle varie armature.
Considerando il sistema, elettricamente isolato, costituito dalle due armature contigue
appartenenti a due condensatori successivi, la carica +Q che si forma sull’armatura positiva deve
essere uguale ed opposta a quella -Q che si forma sull’armatura negativa. Poichè le cariche che si
depositano sulle due armature dello stesso condensatore devono essere uguali, risulterà che tutti i
condensatori delle serie saranno caricati con la medesima quantità di carica Q; di conseguenza le
differenze di potenziale che si stabiliscono su ciascun condensatore della serie saranno
rispettivamente:
Q
Q
1
Vk =
e la tensione totale applicata alla serie :
V AB = ∑ V k = ∑
= Q∑
k
k Ck
k Ck
Ck
Assumendo come Capacità equivalente quella che, alimentata dalla medesima tensione VAB
accumula la stessa quantità totale di carica della serie di condensatori, si ottiene:
34
Ce =
Q
V AB
=
Q
Q⋅Σ
1
=
Σ
1
1
1
⇒
Ce
=∑
1
Ck
Ck
Ck
La capacità di una batteria di condensatori collegati in serie è uguale all’inverso della somma
degli inversi delle capacità dei singoli condensatori.La tensione ai capi di ciascun condensatore è inversamente proporzionale alla capacità del
condensatore stesso.-
Problema 2.01
Un condensatore piano con dielettrico aria ha una superficie di 200 cm2; se applicandovi una
tensione di 1000 V accumula una carica di 177,2 nC, qual è la distanza tra le sue armature?
Q 177,2 ⋅ 10 −9
C= =
= 177 ,2 ⋅ 10 −12 F
V
1000
S
S
S
200 ⋅ 10 −4
-12
C = ε ⋅ = ε o ⋅ε r
d = ε o ⋅ ε r ⋅ = 8,86 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅
= 10 ⋅ 10 − 4 m = 1 mm
−12
d
d
C
177 , 2 ⋅ 10
Problema 2.02
Nel circuito di figura, spostando il commutatore in posizione 1, il condensatore C1 viene
caricato alla tensione di 2000 V quindi, spostando il commutatore in posizione 2, il condensatore C1
viene collegato al condensatore C2, inizialmente scarico.- In questa nuova situazione, quando vale la
tensione ai capi dei condensatori e la carica accumulata da ciascuno dei due?
In posizione 1 :
Q=C1 ⋅ E
In posizione 2 :
Q1 = C1 ⋅ V AB
Q2 = C2 ⋅ V AB
Per il principio di conservazione della carica:
Q = Q1 + Q2
C1 ⋅ E = C1 ⋅ V AB + C2 ⋅ V AB
C1 = 400 pF C2 = 100 pF
E = 2000V
V AB
C1
400 ⋅ 10−12
= E⋅
= 2000 ⋅
= 1600V
C1 + C2
400 ⋅ 10−12 + 100 ⋅ 10−12
Q1 = C1 ⋅V AB = 400 ⋅ 10−12 ⋅ 1600 = 0,64 ⋅ 10−6 C = 0,64 µC
Q2 = C2 ⋅VAB = 100 ⋅ 10−12 ⋅ 1600 = 0,16 ⋅ 10−6 C = 0,16µC
2.3.0.
Campo elettrico all’interno dei materiali
2.3.1.
Campo elettrico all’interno di un materiale isolante:
All’interno della struttura atomica di certi materiali isolanti esistono già dei dipoli elettrici; in
altri invece soltanto sotto l’azione di un campo elettrico esterno gli edifici atomici tendono a
deformarsi generando dei dipoli elettrici: in entrambi i casi, un campo elettrico esterno non riesce a
spostare i dipoli dalla loro posizione all’interno della struttura del materiale ma soltanto gli orienta.In definitiva sotto l’azione di un campo elettrico esterno, all’interno di un materiale isolante si
genera uno spostamento transitorio di carica, transitorio nel senso che dura soltanto il tempo che il
campo impiega ad orientare i dipoli cioè a polarizzare il materiale.-
35
Disponendo un blocco di materiale isolante tra le armature di un condensatore piano,
caricato
in modo che sulle superfici ci sia una distribuzione di cariche
+ Q e - Q rispettivamente e di conseguenza al suo interno si
sia in presenza di un Campo Elettrico K , tale campo agirà sul
materiale isolante polarizzandolo; si formeranno così delle
superfici immaginarie, parallele alle armature del
condensatore, caricate alternativamente positive e negative.Si definisce come Spostamento Dielettrico il vettore D
avente la stessa direzione e verso del campo elettrico e
modulo:
Q
D= s
S
ove Q S è la carica di spostamento e S la superficie sulla quale tale carica si sposta.Poichè la quantità di carica che si sposta e proporzionale al campo agente, sarà:
D≡ K
Si consideri un condensatore piano, avente come dielettrico il vuoto, al quale venga applicata
una differenza di potenziale V in modo che sulle sue armature si dispongano le cariche +Q e -Q. Al
suo interno si formerà un campo K: ponendo tra le armature una carica q questa, sotto l’azione del
campo, si sposterà parallelamente alla direzione del campo. Il lavoro fatto dal campo per spostare
l’unità di carica da un’armatura all’altra, sarà:
W F ⋅d
V= =
= K ⋅d
q
q
ove: W è il lavoro fatto per spostare la carica q
F è la forza che agisce sulla carica q
d è la distanza tra le armature
Il campo all’interno del condensatore sarà:
V
V 
K=
 m 
d
Immaginando che il condensatore di cui sopra, avente capacità C, sia stato caricato e poi
isolato dal generatore in modo che la carica Q dislocata sulle sue armature rimanga costante, cioè:
Q
V
S
( *)
Q = C ⋅V = ε ⋅ ⋅V
e quindi:
= ε⋅ = ε⋅K
d
S
d
risulterà che, essendo Q e S costanti, il campo K all’interno del condensatore caricato ed isolato
rimarrà costante.- Il rapporto tra la carica dislocata sulle armature e la superficie delle stesse si
definisce come Densità superficiale di carica sulle armature:
Q C
=
S  m2 
Se all’interno del condensatore, caricato ed isolato, viene posto un dielettrico questo,
secondo quanto visto in precedenza, si polarizza.La carica Qs che si dispone sulle superfici ideali
di polarizzazione del dielettrico è uguale a quella
distribuita sulle armature del condensatore:
Q = Qs
36
Q
=
QS
=D
S
S
La densità superficiale di carica è uguale allo Spostamento Dielettrico.- In definitiva, tenendo
presente la (*):
D = ε⋅K
Cioè:
2.3.2.
Materiali Dielettrici Reali:
I materiali dielettrici sono caratterizzati da due proprietà fondamentali:
I°: Proprietà Isolante rappresentata dalla grande resistenza che essi offrono al passaggio della
corrente. La grandezza che ne indica la qualità è la Resistenza Specifica ρ
II°: Proprietà dielettrica rappresentata dal loro comportamento all’interno di un campo elettrico. La
grandezza che ne indica la qualità è la Costante dielettrica ε
Per quanto concerne le proprietà isolanti, in teoria, la resistività del materiale dovrebbe essere
infinita, in realtà essa è molto grande ma non infinita:
Mica:
ρ = 2 ⋅ 10 9 MΩ ⋅ m
Rame:
ρ = 1,7 ⋅ 10 −14 MΩ ⋅ m
Per quanto concerne le proprietà dielettriche dei materiali isolanti, in teoria, quando il campo
polarizzatore viene azzerato, dovrebbe anche annullarsi la polarizzazione del materiale, in realtà, a
causa dell’Isteresi dielettrica, permane una certa Polarizzazione Residua tale che per annullarla
bisogna applicare un Campo coercitivo di segno contrario.2.3.3.
Rigidità Dielettrica:
Quando un materiale dielettrico è sottoposto ad un certo Campo elettrico, questo tende a
deformare i dipoli interni e spostarli dalla loro posizione nel reticolo; a ciò si oppongono, a livello
atomico, le forze d’attrazione interna. Aumentando opportunamente il campo esterno, si arriverà ad
un certo suo valore sufficiente a rompere i legami, generando in tal modo una Scarica disruptiva che
perfora il materiale provocando dei danni permanenti all’isolamento.- Si definisce come Rigidità
Dielettrica del materiale il valore massimo del campo elettrico che il materiale può sopportare
prima che si determini la Scarica disruptiva.- Essa si misura normalmente in kV/cm e dipende dal
tipo di materiale, dal suo spessore, dalla temperatura, dall’umidità e dalla durata della prova.- In
pratica, partendo dalla tensione cui il materiale deve essere sottoposto, si sceglie il suo spessore in
modo che il campo elettrico cui sarà sottoposto sia notevolmente inferiore alla sua Rigidità
dielettrica.2.4.0. Transitorio di carica e scarica di un condensatore
Nel circuito di figura si considerino come condizioni iniziali il condensatore scarico per cui,
con il commutatore in posizione 0, risulterà:
q(0) = 0
v(0) = 0
Quando si porta il commutatore in posizione 1 ha inizio la
fase di carica; la corrente istantanea nel circuito sarà:
dq
i=
dt
ma essendo:
dq = C ⋅ dv
37
i =C⋅
risulterà:
dv
dt
ove v è la tensione ai capi del condensatore e dv il suo incremento nel tempo dt dovuto all’aumento
dq della carica sulle sue armature.- Per la legge di Ohm in ogni istante nella maglia dovrà risultare:
E = v + R ⋅i
dv
dv
dt
E − v = R⋅C
=
dt
E − v RC
Questa equazione differenziale lineare a variabili separabili, ha per integrale generale:
1
− ln( E − v ) =
t+A
RC
Viste le condizioni iniziali:
per t = 0 ⇒ v = 0
sarà:
− ln E = A
1
E −v
−
t = ln( E − v ) − ln E = ln
RC
E
−
e
1
RC
⋅t
=
E −v
= 1−
E
t
−

RC

v = E 1− e


v
E




essendo:
V C 


C
[ RC ] =  ⋅  = 
= [ sec]
−1
 A V   C ⋅ sec 
il prodotto RC si misura in
secondi e viene definito come Costante di tempo del circuito T = RC
t
−


T 

v = E 1− e




La carica q che si trova sulle armature al tempo t sarà:
ove
t
t


− 
− 
T
T
q = C ⋅ v = C ⋅ E 1 − e  = Q1 − e 




Q = C ⋅ E è la carica finale (per t → ∞ ) sulle armature del condensatore.La corrente i si ricava derivando la q rispetto al tempo:
t
t
t
−

  1 Q −t
dq
Q −T
E −T
T 
T

i=
= Q⋅ −e
⋅ −  = e
=
e
= e

  T  T
dt
RC
R


i = I ⋅e
t
−

T

v = E 1− e






−
t
T
essendo I la corrente all’istante iniziale.-
t
−

T

q = Q 1− e


38




i = I ⋅e
−
t
T
In teoria il tempo di carica è infinito, in pratica si considera concluso il transitorio di carica
dopo un tempo pari a 4,6 T quando la tensione ha raggiunto il 99% del valore finale:
4 , 6T


−
v = E 1 − e T  = 0,99 E


Portando il commutatore in posizione 2 ha inizio la fase di scarica del condensatore
attraverso la resistenza R. La corrente s’inverte e vale:
dq
dv
il segno meno è dovuto al fatto
i=−
= −C
dt
dt
che la corrente s’inverte determinando una riduzione delle cariche sulle armature del condensatore.La maglia sarà governata dalla relazione:
v = R⋅i
dv
v = − RC
dt
dv
dt
t
=−
⇒
ln v = −
+A
v
RC
RC
e viste le condizioni iniziali: t = 0
v=E
⇒
ln E = A
ln v − ln E = −
t
⇒
ln
RC
v
E
v = E⋅e
La carica ai capi del condensatore sarà:
q = C ⋅ v = CE ⋅ e
−
−
=−
t
⇒
RC
v = E ⋅e
−
t
RC
t
T
t
= Q⋅e
T
−
t
T
ove Q è la carica sulle
armature all’inizio delle scarica.La corrente di scarica sarà:
t
t
t
t
−
−
dq Q − T
Q
E −T
T
T
= ⋅e
=
⋅e
= ⋅e
= I ⋅e
i=−
ove I è la
dt T
RC
R
corrente iniziale di scarica. Il tempo di scarica, come nella carica, è teoricamente infinito. In pratica si
considera concluso dopo 4,6.T secondi quando la tensione sulle armature si è ridotta al 1% del
valore iniziale.-
v = E ⋅e
−
t
T
q = Q⋅ e
−
t
T
i = I ⋅e
−
t
T
Problema 2.03
Un proiettile sparato attraverso il circuito di figura interrompe i conduttori a e b in istanti
successivi provocando una diminuzione di 8V nell’indicazione del voltmetro (avente resistenza
interna tendente all’infinito).- Qual è la velocità del proiettile?
39
R = 10 kΩ
Nell’istante 0 nel quale viene reciso il
conduttore a la tensione ai capi del
condensatore è quella del generatore E;
nell’intervallo di tempo impiegato dal
proiettile a raggiungere il conduttore b e
reciderlo il condensatore si scarica sulla
resistenza
R
e
la
sua
tensione
scende al valore ( 104 - 8) = 96
C = 1 µF
E = 104 V
Essendo:
T = RC = 10 ⋅ 10 3 ⋅ 1 ⋅ 10 −6 = 0,01 sec
v = E ⋅e
−
2.5.0.
−
t
96 = 104 ⋅ e
T
−
si avrà:
t
0 , 01
t
= ln 0,92308 = −0,08 ⇒ t = 8 ⋅ 10− 4 sec
0,01
0, 2
v=
= 250 m
sec
8 ⋅ 10 − 4
L’Energia nei Condensatori
2.5.1.
Energia di carica di un condensatore:
Nel circuito di figura, alla chiusura del tasto, il condensatore inizia a caricarsi; in ogni istante,
tra le grandezze del circuito, vale la relazione:
V = R ⋅i (t ) + v (t )
Moltiplicando entrambi i membri per i ⋅ dt :
V ⋅ idt = R ⋅ i 2 dt + v ⋅ idt
Quest’uguaglianza esprime istante per istante l’equilibrio
energetico del circuito.Il termine V ⋅ idt = V ⋅ dq rappresenta l’energia fornita dal
generatore nel tempo dt
Il termine R ⋅ i 2 dt rappresenta l’energia dissipata nella
resistenza nel tempo dt
Il termine v ⋅ idt rappresenta, per differenza, l’energia
assorbita dal condensatore nel tempo dt.Integrando il primo termine per tutto il periodo di carica si ottiene l’energia totale fornita dal
generatore:
∞
∞
0
0
Wg = ∫ V ⋅ idt = V ⋅ ∫ idt = V ⋅ Q = CV 2
ove Q è la carica totale
accumulata dal condensatore. Si noti che l’energia totale fornita dal generatore è indipendente dal
valore della resistenza R .L’energia totale dissipata nella resistenza vale:
∞
∞
2
∞
∞
V 2 − 2Tt
V 2  − 2Tt  T  
V2 
T  V 2 RC CV 2
 V − Tt 
WR = ∫ R ⋅ i dt = ∫ R e  dt =
e dt =
e ⋅−  =
0 +  =
⋅
=
 2  0
R

R ∫0
R 
R 
2 R 2
2
0
0
2
40
1
WR = Wg
2
Qualsiasi sia il valore della resistenza R , metà dell’energia fornita dal generatore per caricare
il condensatore, va persa per effetto Joule nella resistenza del circuito.L’energia totale fornita dal generatore alla capacità sarà:
Q
Q
Q
∞
1
1 1 
Q 2 CV 2
Wc = ∫ v ⋅ idt = ∫ v ⋅ dq = ∫ q ⋅ dq =  q 2  =
=
C
C
2
2
C
2


0
0
0
0
1
WC = Wg
2
Qualsiasi sia la resistenza del circuito di carica, il Rendimento di carica del condensatore è
del 50%.L’energia assorbita dal condensatore durante la carica è interamente impiegata per la
polarizzazione del dielettrico.
2.5.2.
Energia di scarica di un condensatore:
Quando un condensatore di capacità C,caricato con tensione tra le armature pari a V, viene
chiuso su una resistanza di scarica R, valgono le relazioni:
i=
V
R
⋅e
−
t
T
−
t
v =V ⋅e T
Durante il periodo di scarica, l’energia ceduta alla
resistenza R sarà:
∞
∞
V 2 − 2Tt
V2
Ws = ∫ v ⋅ idt = ∫
⋅e dt =
R
R
0
0
Il condensatore, durante la scarica,
immagazzinato durante la carica.-
∞
V 2 T V 2 RC CV 2
 − 2Tt T 
− e ⋅ 2  = R ⋅ 2 = R ⋅ 2 = 2

0
restituisce integralmente l’energia che aveva
Problema 2.04
Un condensatore in aria ad armature piane e parallele, poste ad una distanza di 0,5mm,
sottoposto ad una tensione di 800V, assorbe una carica di 200nC.- Determinare la sua capacità e la
superficie delle armature.Q 200 ⋅ 10 −9
= 0 , 25 ⋅ 10 −9 F = 0 , 25 nF
C= =
V
800
S
d ⋅ C 0 ,5 ⋅ 10 −3 ⋅ 0 ,25 ⋅ 10 −9
C = ε rε o
⇒
S=
=
= 0 ,0141m 2 = 141 cm 2
−12
d
ε rε o
1 ⋅ 8 ,86 ⋅ 10
41
Problema 2.05
Un condensatore di capacità C 1 = 200 nF viene caricato alla tensione di 1000V quindi,
separato dal generatore, viene posto in parallelo ad un altro condensatore di capacità C 2 = 50 nF
sulle cui armature è stata precedentemente depositata una carica di Q = 0 , 1 mC .- Calcolare il valore
della tensione che si stabilisce ai capi del parallelo dei due condensatori e la carica accumulata sulle
armature di ciascun condensatore.Con il deviatore in posizione 1 il condensatore C 1
accumula la carica:
Q' = C 1 E
Spostando il deviatore in posizione 2 i condensatori
risultano in parallelo; la carica totale che si disporrà
sulle loro armature risulterà:
Q T = Q' + Q = C1 E + Q
La tensione V che si stabilirà ai capi del parallelo
risulterà legata alla carica totale e alla capacità
equivalente dalla relazione:
QT = V ⋅C E
⇒
C1 E + Q = V ⋅( C1 + C 2 )
−9
C 1 E + Q 200 ⋅ 10 ⋅ 1000 + 0 ,1 ⋅ 10 −3
V=
=
= 1200V
C1 + C 2
200 ⋅ 10 −9 + 50 ⋅ 10 −9
Q 1 = V ⋅ C 1 = 1200 ⋅ 200 ⋅ 10 −9 = 240 ⋅ 10 −6 C = 0 , 24 mC
Q 2 = V ⋅ C 2 = 1200 ⋅ 50 ⋅ 10 −9 = 60 ⋅ 10 −6 C = 0 , 06 mC
Problema 2.06
Calcolare la capacità equivalente della rete di figura, ove:
 C 1 = 2 µF

 C 2 = 1 µF
42
Con passaggi successivi, si calcolano i circuiti equivalenti:
C 112 =
C 12 = C 1 + C 2 = 2 + 1 = 3 µF
C 1122 = C 112 + C 2 = 1 , 2 + 1 = 2 , 2 µF
C 12 ⋅ C 1
3⋅ 2
= 1 , 2 µF
C 12 + C 1 3 + 2
C
⋅C
2 ,2 ⋅ 2
C eq = 1122 1 =
= 1 ,0476 µF
C 1122 + C 1 2 , 2 + 2
=
Problema 2.07
Nella rete di figura, la capacità equivalente a tasto aperto vale C eqA = 8 µ F mentre a tasto
chiuso vale C eqC = 9 µF ; sapendo che C 1 = 10 µF , ricavare i valori di C 2 e C 3 .-
C eqA =
A tasto aperto risulta:
A tasto chiuso:
C eqC
C1 ⋅C 2
=8
C1 + C 2
( C 2 + C 3 ) ⋅ C1
=
=9
( C 2 + C 3 ) + C1
Risolvendo il sistema della due equazioni:
 10 ⋅ C 2
=8

 10 + C 2

 ( C 2 + C 3 ) ⋅ 10 = 9
 C + C + 10
3
 2
 C 2 = 40 µF

 C 3 = 50 µF
43
Problema 2.08
Si determini la tensione V CB ai capi del condensatore C 2 del circuito di figura, in funzione
della tensione di alimentazione V AB (Partitore Capacitivo)
Essendo i due condensatori posti in serie, la carica Q
depositate sulle loro armature sarà la stessa per entrambi e
pari a quella depositata sulle armature della capacità
equivalente alimentata dalla medesima tensione:
C ⋅C2
Q = C e V AB = 1
V AB
C1 + C 2
La tensione ai capi di C 2 risulterà di conseguenza:
V CB =
Q
C2
=
1
⋅
C1 ⋅ C 2
C 2 C1 + C 2
V AB =
C1
C1 + C 2
V AB
Problema 2.09
Data la rete di condensatori di figura, calcolare la tensione V AB che si stabilisce ai capi di
C 3 quando il circuito viene alimentato alla tensione di 1000V.-
 C 1 = 40 µF
 C = 2 µF
 2
 C 3 = 40 µF

 C 4 = 6 µF
 C = 4 µF
 5
 C 6 = 30 µF
 V = 1000 V

Si determina anzitutto la capacità equivalente del circuito:
C 45 = C 4 + C 5 = 6 + 4 = 10 µ F
C 12345 = C 1 + C 2 + C 345 = 40 + 2 + 8 = 50 µ F
C 345 =
C eq =
44
C 45 ⋅ C 3
C 45 + C 3
C 12345 ⋅ C 6
C 12345 + C 6
=
=
10 ⋅ 40
10 + 40
50 ⋅ 30
50 + 30
= 8 µF
= 18 ,75 µF
La serie del condensatore equivalente C 12345 con C 6 può essere immaginata come un partitore
capacitivo, quindi la tensione ai capi di C 12345 risulterà:
C6
30
V 12345 = V ⋅
= 1000 ⋅
= 375V
C 12345 + C 6
50 + 30
La serie del condensatore equivalente C 45 con C 3 può essere immaginata come un partitore
capacitivo, quindi la tensione ai capi di C 3 risulterà:
C 45
10
V AB = V 12345 ⋅
= 375 ⋅
= 75V
C 45 + C 3
10 + 40
Problema 2.10
Tre condensatori di identiche dimensioni, ma aventi per dielettrico aria ( ε r = 1 ), gomma
( ε r = 2 , 5 ) e mica (e
er = 8), vengono caricati rispettivamente alle tensioni di 500V, 2000V e 750V.Determinare il valore comune della tensione che si stabilisce sulle loro armature quando,
dopo essere stati distaccati dai generatori, vengono collegati in parallelo.-
C = ε rε o
S
la capacità di un condensatore, indicando con C 1 − C 2 − C 3 le
d
capacità dei tre condensatori, risulterà:
e
C 2 = 2 ,5 ⋅ C 1
C 3 = 8⋅C1
La carica accumulata sulle armature dei singoli condensatori, funzione della loro tensione di carica,
risulterà:
Essendo:
Q 1 = 500 C 1
Q 2 = 2000 C 2 = 2000 ⋅ 2 ,5 C 1 = 5000 C 1
Q 3 = 750 C 3 = 6000 C 1
Q 3 = 750 C 3 = 6000 C 1
Quando, distaccati dai generatori, vengono posti in parallelo la loro capacità equivalente sarà:
C eq = C 1 + C 2 + C 3 = C 1 + 2 ,5 C 1 + 8 C 1 = 11 ,5 C 1
La carica totale sulle armature sarà:
Q tot = Q 1 + Q 2 + Q 3 = 500 C 1 + 5000 C 1 + 6000 C 1 = 11500 C 1
La tensione che si stabilisce sulle loro armature risulterà:
Q tot 11500 C 1
V =
=
= 1000 V
C eq
11 ,5 C 1
Problema 2.11
Determinare la capacità di un condensatore costituito da una pila di 101 dischi d’alluminio di
200 cm2 di superficie, separati da un foglio di mica ( ε r = 5 ) di 2/10 di mm di spessore e collegati
alternativamente fra loro.
(R :
C = 0 , 443 µF )
45
Problema 2.12
Un condensatore di 0 , 02 µF di capacità, caricato alla tensione di 100 V, viene
successivamente scaricato su una resistenza R.- Qual è il valore di R se dopo 1 µ sec . di scarica, la
tensione fra le armature è metà di quella iniziale? E qual’è il valore di detta tensione dopo 0 , 5 µ sec .
di scarica?
L’andamento della tensione di scarica di un condensatore su una resistenza è fornito dalla
relazione:
E
−t
−t
−t
= E ( e RC )
v ( t ) = E ( e RC )
⇒
⇒
e RC = 0 , 5
2
t
−t
− 1 ⋅ 10 −6
−
= ln 0 ,5
R=
=
= 72 ,1 Ω
⇒
C ⋅ ln 0 ,5 0 ,02 ⋅ 10 −6 ( −0 ,6931 )
RC
La costante di tempo del circuito è:
T = R ⋅ C = 72 ,1 ⋅ 0 , 02 ⋅ 10 − 6 = 1 , 442 ⋅ 10 − 6 sec = 1 , 442 µ sec
v( t ) = E( e
−t
RC
) = 100 ( e
−
0 ,5
1 , 442
) = 70 ,7 V
Problema 2.13
Qual è l’energia erogata da un generatore di 100V di tensione, per caricare un condensatore
da 0 , 5 µF attraverso un circuito di 200 Ω di resistenza?
Qualsiasi sia il valore della resistenza del circuito di carica, il generatore dovrà sempre
erogare un’energia doppia di quella necessaria per caricare il condensatore.1
W = 2 ⋅ CV 2 = 0 ,5 ⋅ 10 −6 ⋅ 100 2 = 0 ,005 J = 5 mJ
2
Problema 2.14
Nel circuito di figura, l’interruttore viene chiuso in t=0 ed in quel momento ai capi del
condensatore c’è una carica Q o = 80 µ C con la polarità indicata.- Ricavare l’andamento della
tensione ai morsetti del condensatore e della corrente di carica. E = 40 V
 R = 2 kΩ


 C = 10 µF
 Q o = 80 µC
46
E −v
=e
−
1
RC
⋅t
⇒
Vo =
Qo
v = E − ( E + Vo ) e
=
80 ⋅ 10 −6
= 8V
C 10 ⋅ 10 −6
Il verso di tale tensione V o è contrario a quello scelto per la v di figura (*)
La costante di tempo del circuito di carica è:
T = R ⋅ C = 2 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 −6 = 0 ,02 sec
1
ln( E − v ) = −
t+A
La legge di carica di un condensatore è data dalla relazione:
RC
t = 0
Ove la costante A viene ricavata in base alle condizioni iniziali, vedi(*):

 v = −V o
Sostituendo:
ln( E + V o ) = A
E −v
1
1
ln
=−
⋅t
ln( E − v ) = −
⋅ t + ln( E + V o )
⇒
E +V o
RC
RC
La tensione iniziale ai capi del condensatore è:
−
E +Vo
La carica istantanea sulle armature del condensatore risulta essere:
1
RC
⋅t
= 40 − 48 ⋅ e −50 t
q = C ⋅ v = 10 ⋅ 10 −6 ( 40 − 48 ⋅ e −50 t ) = ( 400 − 480 ⋅ e −50 t ) ⋅ 10 −6
La corrente di carica del condensatore è quindi:
dq
i=
= 0 , 024 ⋅ e −50 t
dt
Problema 2.15
Nel circuito di figura, i due condensatori vengono prima caricati chiudendo i tasti T 1 e T 2
quindi collegati in parallelo chiudendo il tasto T 3 , dopo aver aperto i tasti T 1 e T 2 .- Calcolare il
valore della tensione che si stabilisce ai capi del parallelo.-
C1
C
 2

 E1
 E 2
= 25 µF
= 15 µF
= 120 V
= 80 V
Chiudendo i tasti T 1 e T 2 i due condensatori si caricano; la quantità di carica che si accumula sulle
rispettive armature è:
Q 1 = C 1 ⋅ E 1 = 25 ⋅ 10 − 6 ⋅ 120 = 3 ⋅ 10 − 3 C
Q 2 = C 2 ⋅ E 2 = 15 ⋅ 10 ⋅ − 6 ⋅80 = 1 , 2 ⋅ 10 − 3 C
47
Aprendo i tasti T 1 e T 2 i condensatori vengono isolati dai generatori quindi la carica totale del
circuito non può variare; chiudendo il tasto T 3 i condensatori vengono posti in parallelo perciò la
loro capacità equivalente risulta:
C eq = C 1 + C 2 = 25 ⋅ 10 −6 + 15 ⋅ 10 −6 = 40 ⋅ 10 −6 F
La tensione che si stabilisce ai capi del parallelo è:
Q tot 3 ⋅ 10 −3 + 1 , 2 ⋅ 10 −3
V =
=
= 105 V
C eq
40 ⋅ 10 −6
Problema 2.16
Tre condensatori di capacità: C 1 = 200 pF - C 2 = 300 pF - C 3 = 600 pF , collegati tra
loro in serie, vengono caricati applicando ai capi della loro serie una tensione di 1000V e quindi
staccati dal generatore e collegati tra loro in parallelo.- Qual è il valore della tensione che si stabilisce
ai capi del parallelo?
In fase di carica, i
condensatori
sono
collegati in serie
quindi
la
loro
capacità equivalente
vale:
1
Ce
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
=
1
200
+
1
300
+
1
600
= 0 , 01 pF −1
C e = 100 pF
Nel collegamento in serie, tutti i condensatori risultano caricati con la medesima carica:
Q = V ⋅ C e = 1000 ⋅ 100 ⋅ 10 −12 = 100 ⋅ 10 −9 C
La tensione ai capi di ciascun condensatore vale:
V1 =
Q
C1
=
100 ⋅ 10 −9
200 ⋅ 10 −12
= 500V
V3 =
V2 =
Q
C2
=
100 ⋅ 10 −9
300 ⋅ 10 −12
= 333 ,3V
100 ⋅ 10 −9
Q
=
= 166 ,6V
C 3 600 ⋅ 10 −12
Quando i condensatori vengono staccati dal generatore e collegati in parallelo, conservano la carica
totale posseduta pari a 3 ⋅ Q ridistribuendola sulle relative armature in modo da rendere uguale la
differenza di potenziale tra le armature stesse (collegamento parallelo):
Q t = 3 ⋅ Q = V p ⋅ C e par . = V p ⋅ ( C 1 + C 2 + C 3 )
Vp =
3⋅Q
C1 + C 2 + C 3
=
3 ⋅ 100 ⋅ 10 −9
( 200 + 300 + 600 ) ⋅ 10 −12
48
= 272 ,73V
Problema 2.17
Nel circuito di figura, il condensatore C 1 viene cariato alla tensione V mentre il condensatore
C 2 è completamente scarico, calcolare l’energia dissipata sulla resistenza R quando, chiudendo il
tasto, la carica si ripartisce sui due condensatori. C 1 = 3 µF
 C = 2 µF
 2

 R = 50 Ω
 V = 100V
Il condensatore C 1 caricato alla tensione V ha depositata sulle sue armature una carica:
Q = C 1 ⋅V
Alla chiusura del tasto, la carica si ripartisce tra i due condensatori in modo che essi assumano la
medesima tensione (ad equilibrio raggiunto, la corrente di scambio si azzera e quindi anche la caduta
su R è nulla):
C1
Q
Q
V'=
=
=
V
C eq C 1 + C 2 C 1 + C 2
L’energia immagazzinata da C 1 prima della chiusura del tasto è:
1
W = C 1V 2
2
mentre quella immagazzinata da entrambi i condensatori dopo la chiusura del tasto ed equilibrio
raggiunto:
2
2
C1
1
1
1 C1
2
2
W ' = ( C 1 + C 2 ) ⋅V ' = ( C 1 + C 2 )
V =
V2
2
2
2
( C1 + C 2 )
2 C1 + C 2
La differenza tra le due energie corrisponde a quella persa su R nel periodo transitorio di passaggio
della corrente:
2
1
1 C1
1 C1C 2
2
∆W = W − W ' = C 1 V −
V2 =
V2
2
2 C1 + C 2
2 C1 + C 2
∆W =
1
⋅
3 ⋅ 10 −6 ⋅ 2 ⋅ 10 6
2 3 ⋅ 10
−6
+ 2 ⋅ 10
−6
⋅ 100 2 = 6 ⋅ 10 −3 J
49
Capitolo III
IL CAMPO MAGNETICO
3.1.0. Azioni a distanza di una corrente
La corrente elettrica, percorrendo un conduttore, oltre a produrre un effetto termico (Effetto
Joule), produce degli effetti a distanza:
I° : Un’azione ponderomotrice a distanza su un’altra corrente o su un ago magnetico.
II° : Una forza elettromotrice indotta in un circuito separato ogni qual volta c’è una
variazione .
L’agente fisico attraverso il quale la corrente trasmette la sua azione a distanza sarà chiamato
Campo magnetico e le azioni trasmesse Azioni magnetiche .Ogni qual volta si è in presenza di cariche elettriche in movimento, esiste nello spazio
circostante un campo magnetico e viceversa ogni qual volta si è in presenza di un campo magnetico
vi è sempre un moto di cariche elettriche che lo produce: Campo magnetico e corrente elettrica
rappresentano una stessa realtà fisica inscindibile.La presenza di un campo magnetico e la valutazione della
sua entità può esser fatta sfruttando la I° proprietà, cioè la sua azione
su un ago magnetico, oppure per mezzo della II°, controllando cioè
la FEM che lui induce in un altro circuito in condizioni appropriate.Volendo seguire la I° via s’impiega un minuscolo magnete permanente, a forma di losanga
allungata, libero di ruotare su un perno centrale; sotto l’azione del campo magnetico terrestre l’ago si
orienta in un certo modo: l’estremità che risulta diretta verso il Nord geografico viene contrassegnata
e prende il nome di Polarità Nord; l’altra estremità Polarità Sud. In presenza di una corrente I
l’ago subisce un’azione ponderomotrice che lo fa ruotare, orientandolo in modo appropriato.La corrente I esercita cioè sull’ago una azione che lo fa orientare: Si dirà che la corrente
possiede una Forza magnetomotrice (F.M.M.) F intrinseca alla corrente stessa e s’identificherà
l’intensità di F con l’intensità di I ; anzi, poiché l’azione di N conduttori tutti percorsi dalla
corrente I è N volte quella di I , s’identificherà l’espressione di F con quella di NI misurandola
in Amperfili o Amperspire:
[ F ] = [ I ] = [ Amper ]
3.2.0. Configurazione del Campo Magnetico
Volendo rilevare la configurazione di un campo magnetico si può sfruttare un piccolo ago
magnetico (piccolo per non alterare il campo magnetico
pre esistente) sospeso ad un filo e quindi libero di
muoversi in ogni direzione; lo si disponga con il suo
baricentro in ciascun punto del campo magnetico: si
assumerà come direzione del campo magnetico H quella
nella quale si dispone l’ago e come verso quello che va
dalla polarità Sud a quella Nord dell’ago stesso.-
50
3.2.1.
Campo generato da una corrente rettilinea in un mezzo omogeneo ed
isotropo:
Mediante l’ago magnetico si può tracciare
l’andamento del campo disegnandone la Linee di Forza,
cioè quelle linee che hanno per tangente in ogni loro punto
il vettore H .- Le linee di forza del campo sono delle
circonferenze
concentriche,
disposte
su
piani
perpendicolari alla corrente con centro il punto
d’intersezione della corrente con i piani; il verso è quello
di penetrazione di una vite destrogira.-
3.2.2.
Campo generato da una spira percorsa da corrente in un mezzo
omogeneo ed isotropo:
Immaginando di piegare a mo’ di spira un conduttore rettilineo, il campo magnetico assumerà
l’andamento di figura:
Le linee di forza sono delle circonferenze un po’ deformate, giacenti su piani perpendicolari
al piano della spira, spostate eccentricamente verso l’esterno della spira stessa.-
3.2.3.
Campo generato da un solenoide rettilineo percorso da corrente in un
mezzo isotropo ed omogeneo:
Il campo si può immaginare come generato da
una successione di spire con il centro sullo stesso asse e
percorse dalla medesima corrente.- Il verso del campo
all’interno del solenoide si può determinare con la
Regola della Vite Destrogira; le linee di forza
all’interno, se questo è abbastanza lungo rispetto al suo
diametro, assumono un andamento in pratica rettilineo
ed il campo si può ritenere uniforme.-
3.2.4.
Campo generato da un solenoide toroidale percorso da corrente in un
mezzo isotropo ed omogeneo:
Il campo si può immaginare come generato da un solenoide rettilineo il cui asse principale
51
venga curvato secondo una circonferenza.- Le
linee di forza si svolgono, quasi tutte in forma di
circonferenza, dentro il toro ed il campo rimane
pressoché tutto concentrato all’interno del toro
stesso.-
Dall’esame dell’andamento dei campi sopra descritti si può dedurre che:
1. Le linee di forza di un campo magnetico non hanno né principio né fine ma si
racchiudono sempre su se stesse.
2. Ogni linea di forza è sempre concatenata con la corrente che la produce.
3.3.0. Intensità del Campo magnetico
Si consideri un conduttore percorso dalla corrente I e più linee di forza
l1 , l2 .... tutte
concatenate con la F.M.M. : F = I (Una linea chiusa si dice
concatenata con un conduttore se il conduttore attraversa una
superficie immaginaria che abbia per contorno la linea stessa).L’azione della F = I si sviluppa su tutta la lunghezza della l , in
particolare, se la distribuzione non è uniforme, su dl agirà una
dF in modo che su tutta la l = ∫ dl agirà la F = ∫ dF .Convenzionalmente si assumerà come intensità di H il rapporto:
dF
H=
⇒
dF = H ⋅ dl
dl
Nel caso di distribuzione uniforme di F su tutta la linea l
F
 Aspire 
[ H] = 
H=
⇒
l
 m 
In generale tra due punti A e B della medesima linea di forza si definirà come Tensione
magnetica tra A e B :
B
F AB = ∫ H ⋅ dl
A
Si dimostra che il valore di FAB dipende soltanto dalla posizione di A e B.- Se il percorso è
una linea chiusa (non necessariamente una linea di forza) , FABA corrisponde per definizione alla
corrente totale concatenata con tale linea NI perciò:
NI =∫ Hdl
che rappresenta il :
Teorema della Circuitazione: L’integrale del campo magnetico esteso ad una linea chiusa
(circuitazione) è uguale alla forza magnetomotrice (F.M.M.) con essa concatenata.-
52
Se i punti A e B non appartengono alla
medesima linea di forza:
Se i punti A e B appartengono alla medesima
linea di forza, il campo H è parallelo a dl
dF = H ⋅ dl
dF = H × dl
dF = H t ⋅ dl
B
B
A
A
B
FAB = ∫ H × dl = ∫ H t × dl
3.4.0.
FAB = ∫ H ⋅ dl
A
Studio di campi magnetici caratteristici
3.4.1.
Campo generato da una corrente rettilinea:
S’immagini un conduttore rettilineo percorso dalla corrente I: le linee di forza del campo
magnetico generato dalla corrente saranno delle circonferenze giacenti su piani perpendicolari al
conduttore e concentriche con questo.Considerando la generica linea di forza
avente raggio x, si applichi il teorema della
circuitazione a tale linea:
I = ∫ H ⋅ dl
l
Poiché, per la simmetria geometrica
della linea di forza rispetto al conduttore, il
campo H è costante lungo tutta la linea:
I = H ∫ dl = H ⋅ 2 π ⋅ x
l
Si ottiene così la legge di Biot Savart
che fornisce il valore del campo generato da un
conduttore rettilineo attraversata da corrente
I
H=
2π ⋅ x
53
3.4.2.
Campo generato da un solenoide toroidale:
Si consideri un solenoide a sezione circolare ed asse
toroide costituito da N spire percorse dalla corrente I
ed avente raggio interno R1 ed esterno R2. Le linee
di forza sono delle circonferenze concentriche
interne al toro; considerando una linea di forza di
raggio x, il valore del campo, per ragioni di
simmetria geometrica, risulta essere costante lungo
tutta la linea mentre la corrente concatenata con tale
linea è NI. Per il teorema della circuitazione,
risulterà:
F = NI = ∫ H ⋅ dl = H ∫ dl = H ⋅ 2 π ⋅ x
H=
NI
2π ⋅ x
con:
NI
2π ⋅ R1
R1 ≅ R2 ≅ R
H max =
Se risulta:
R2 − R1 pp R1
cioè
il campo, all’interno del solenoide, è in sostanza costante:
NI
H=
2π ⋅ R
H min =
NI
2π ⋅ R2
3.4.3.
Campo generato da un solenoide rettilineo:
Si consideri un solenoide ad asse rettilineo di raggio R e lunghezza l costituito da N spire;
il campo, calcolato mediante la I° formula di Laplace,
in un punto P dell’asse del solenoide sarà:
NI
( cosα 1 − cosα 2 )
H=
2l
Se risulta:
1
R<
⋅l
⇒
α1 ≅ 0
α2 ≅π
20
ne segue che il campo nei vari punti dell’asse
all’interno di un solenoide allungato vale:
H=
NI
l
La direzione del campo è quella dell’asse del solenoide ed il verso è quello d’avanzamento di
una vite destrogira che ruoti nel senso della corrente.All’esterno del solenoide ove:
il campo è praticamente nullo.α1 ≅ α 2
54
3.5.0. Induzione Elettromagnetica
Valutata la distribuzione del campo magnetico nello spazio, si possono analizzare gli effetti
prodotti dall’azione a distanza del campo stesso su un elemento in grado di subirli e quindi rivelarli.Se l’elemento che li subisce è una corrente o un magnete, si parlerà di un effetto
magnetomotore; se l’elemento è un circuito in presenza di una variazione, si parlerà di un effetto
magnetoelettrico.- Lo studio dell’induzione elettromagnetica corrisponde all’analisi dell’effetto
magnetoelettrico.Si consideri una spira (indotta) di superficie S posta all’interno del campo magnetico generato
da un solenoide percorso da corrente (circuito inducente o induttore): la superficie della spira sarà
tagliata da un certo numero di linee di forza del campo induttore, cioè la spira sarà concatenata con le
linee di forza del campo magnetico induttore; se, per un qualsiasi motivo (variazione della corrente
nella bobina induttrice, spostamento della spira indotta o della bobina induttrice una rispetto
all’altra), varia il numero delle linee di forza concatenate con la spira indotta, il voltmetro, collegato
a tale spira, registrerà la nascita di un impulso di tensione che durerà fino a quando le linee di forza
concatenate continuano a variare.-
Tale impulso, misurato in Volt.secondo, corrisponde nel diagramma di figura all’area:
∫
t1
0
e ⋅ dt
e dipende soltanto dall’entità della variazione delle linee di forza concatenate. A parità d’impulso,
cioè di area, il valore di picco è legato alla rapidità con la quale avviene le variazione.- In
conclusione: Una variazione del campo magnetico concatenato con un circuito elettrico induce in
questo, durante la variazione, una F.e.m. la cui intensità massima è tanto più grande quanto maggiore
è l’entità e la velocità della variazione.- L’esperienza mostra anche che il verso della F.e.m. indotta è
tale da produrre nella spira, se chiusa, una corrente che a sua volta genererà un campo magnetico di
senso contrario alla variazione del campo induttore.- E’ questa la Legge di Lenz che, sinteticamente,
afferma: La F.E.M. indotta è sempre diretta in senso tale da opporsi all’azione che l’ha
generata.Ripetendo più volte l’esperimento in condizioni diverse, si riscontra che il valore dell’impulso
di tensione ∫ e ⋅ dt è sempre lo stesso se non varia il numero iniziale e finale di linee di forza
concatenate. Si potrà quindi assumere tale impulso come misura dell’entità della variazione di campo
magnetico o meglio, se la variazione si ottiene azzerando il campo magnetico induttore, tale impulso
fornirà il valore del campo nel punto in cui è disposta la spira indotta, valore del campo valutato in
base all’effetto magnetoelettrico da lui prodotto nella spira.- Tale grandezza ( ∫ e ⋅ dt ) viene indicata
con il nome di Flusso di induzione magnetica o più brevemente Flusso magnetico Φ
Si potrà quindi dire che: Il flusso magnetico concatenato con una spira è l’impulso di
tensione che nasce nella spira quando il campo si annulla:
Φ = ∫ e ⋅ dt
[Φ ] = [V ⋅ sec ] = [Wb ]
Il flusso si misura in Weber:
55
Da quanto esposto si deduce che il flusso rappresenta integralmente l’effetto del campo
magnetico su una spira di forma e dimensione particolare, posta in uno specifico punto del campo.Volendo invece analizzare l’effetto magnetoelettrico del campo, punto per punto,
indipendentemente dalla spira, si consideri in un certo punto P del campo una spira infinitesima dS
orientata perpendicolarmente rispetto H e sia dΦ il flusso concatenato con dS; si definirà come
Densità di flusso o Induzione Magnetica del campo in P la grandezza vettoriale B che ha
direzione e verso uguale a quelli di H e per modulo:
B=
dΦ
dS
Se il mezzo è isotropo ed omogeneo, la configurazione di B ed H sono uguali.L’induzione magnetica si misura in Tesla
[ B ] = Φ ⋅ S −1 =  Wb2  = V ⋅ sec ⋅ m −2 = [T ]
m 
Nelle zone ove il campo può ritenersi uniforme, sarà:
[
]
[
]
Φ
per cui :
Φ = B⋅S
S
Nelle zone ove il campo non è uniforme, essendo in generale:
dΦ = B ⋅ dS
B=
Φ = ∫ B ⋅ dS
S
3.5.1.
Relazione tra H e B :
Si consideri il circuito di figura, costituito da una bobina di N spire lunga l ed attraversata
da una corrente I di valore variabile a piacere, da una
spira esploratrice di sezione S posta al centro del
solenoide e collegata, attraverso una resistenza R , ad un
galvanometro balistico che fornisce il valore della carica
Q che attraversa il circuito indotto, quando la spira viene
estratta dal campo generato dalla bobina.- Dalla lettura
della corrente I fornita dall’amperometro, si ricava il
valore del campo magnetico al centro del solenoide
induttore:
NI
H=
l
Dal valore della carica Q, fornito dal galvanometro balistico, quando la spira,
precedentemente posta al centro del solenoide induttore, perpendicolarmente al suo asse, viene
estratta dal campo magnetico, si risale al valore dell’induzione magnetica nel medesimo punto:
Φ 1
1
R
B = = ∫ e ⋅ dt = R ∫ i ⋅ dt = ⋅ Q
S S
S
S
Con una serie di prove eseguite con correnti diverse, si può notare che, se il mezzo in cui si
sviluppa il campo non è ferromagnetico, esiste una relazione di proporzionalità tra campo ed
induzione:
B = µ⋅H
56
ove la costante di proporzionalità µ dipende dal tipo di materiale nel quale si sviluppa il campo
magnetico e prende il nome di Permeabilità magnetica; la sua unità di misura sarà:
−2


H 
[ µ ] =  B  =  V ⋅ sec ⋅ m
= Ω ⋅ sec ⋅ m −1 =  

 H   A ⋅ m −1 
m
essendo 1 Ω.sec = 1 Henry , unità di misura dell’induttanza, come si vedrà in seguito.La permeabilità magnetica del vuoto si indica con µo e vale:
µ o = 4 π ⋅ 10 −7 H m ⇒
B = µo ⋅ H
[
]
Negli altri materiali la permeabilità magnetica assoluta µ viene fornita in funzione di
quella del vuoto mediante la loro permeabilità magnetica relativa µ r :
µ = µ r ⋅µ o
I valori di εo e µo sono legati tra di loro dalla relazione:
1
1
Corrispondente alla
c=
=
= 2,998 ⋅ 10 8 m
sec
-12
−7
εoµo
8,86 ⋅ 10 ⋅ 4 π ⋅ 10
velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto.-
[ε o µ o ] − 2
1
 F Ω sec 
= ⋅

m 
m
−
1
2
 C Ω sec 
= ⋅

V m2 
−
1
2
 A ⋅ Ω ⋅ sec 2 
=

2
 V ⋅m

−
1
2
 sec 2 
=
2 
 m 
−
1
2
 m 
=

 sec 
3.5.2.
Legge di Lenz o dell’Induzione Magnetica:
Si consideri una spira di area S con la quale sia concatenato un flusso Φ 1 . Se tale flusso
viene variato con legge lineare e portato al valore Φ 2 , la variazione di flusso concatenato con la spira
risulta essere: ∆ Φ C = Φ 2 − Φ 1 ; indicando con ∆t il tempo in cui avviene tale variazione di
flusso concatenato , la forza elettromotrice che viene indotta nella spira sarà:
∆Φ C
e
em =
∆t
il verso della F.E.M. sarà tale da opporsi alla causa che l' ha
em
generata per cui :
∆Φ C
em = −
∆t
t
t
Se la legge di variazione del flusso concatenato non è lineare, l’espressione della F.E.M. vista
non perde significato soltanto che si faccia riferimento alle variazioni infinitesime di flusso
concatenato d ϕ C nel tempo infinitesimo dt:
dϕ
e=− c
dt
3.5.3.
F.e.m. indotta in un conduttore aperto:
Si consideri un conduttore di lunghezza l che si sposti con velocità v normale ad l
tagliando le linee di forza di un campo magnetico uniforme di induzione B a sua volta
perpendicolare sia a l sia a v .- Si immagini che tale conduttore sia collegato mediante due contatti
striscianti ad un circuito chiuso c .- Il movimento di l comporta la variazione della superficie
57
chiusa S = l ⋅ δ contornata dalla spira ideale costituita da l e da c
provocando così una variazione del flusso concatenato con tale
spira :
⇒ S = δ ⋅l
in : t o
in : t o + dt
⇒ S = ( δ + dδ ) ⋅ l
Φ C = B ⋅δ ⋅l
Φ C' = B ⋅ ( δ + dδ ) ⋅ l
dΦ C = Φ C' − Φ C = B ⋅ l ⋅ ( δ + dδ ) − B ⋅ l ⋅ δ = B ⋅ l ⋅ dδ
Questa variazione di flusso concatenato nel tempo dt indurrà
nella spira una F.E.M. d' intensità :
dΦ c
dδ
e=
= B ⋅l ⋅
= B ⋅l ⋅v
dt
dt
Per quanto concerne il verso della e , esso sarà tale da far circolare nella spira una corrente
che a sua volta produca un campo magnetico che si opponga all’aumento di flusso concatenato che
l’ha generato e quindi, in questo caso, di verso contrario al campo induttore.- Tale verso, in generale,
può essere determinato con la regola della mano destra: Si apra la mano destra ponendola in modo
che l’induzione B penetri nel palmo e la velocità sia diretta secondo il pollice; il verso della F.E.M.
indotta sarà quello delle quattro dita rimanenti.Di tutto il circuito c soltanto l è la parte attiva nella quale s’induce la e; essa infatti mantiene
immutato il suo valore qualsiasi siano le posizioni ed i valori di c.- Ciò significa che la F.E.M.
s’induce nel conduttore in movimento a prescindere dell’esistenza della spira, basta che nel suo
movimento il conduttore tagli delle linee di forza di un campo magnetico.Più in generale se la velocità v non è
perpendicolare all’induzione
B
basterà,
nell’espressione di e , considerare la componente
della velocità normale a B e ad l :
v ' = v ⋅ sen α
e = B ⋅ l ⋅ v ' = B ⋅ l ⋅ v ⋅ sen α
3.5.4.
F.e.m. indotta in una spira ferma in un campo magnetico variabile:
Si consideri una spira di sezione S disposta perpendicolarmente ad un campo magnetico
variabile con legge sinusoidale:
b = B M cos ωt
Il flusso concatenato con tale spira sarà:
ϕ C = S ⋅ B M cos ωt
Essendo tale flusso concatenato variabile nel tempo, nella
spira si indurrà una F.e.m. :
dϕ
e = − C = S ⋅ B M ⋅ ω ⋅ sen ωt = E M sen ωt
dt
ove il prodotto ( S ⋅ B M ⋅ ω ) è una tensione, infatti:
V ⋅ sec rad 

= [V ]
E M = S ⋅ B M ⋅ ω = m 2 ⋅
⋅
sec 
m2

[ ] [
58
]
3.5.5.
F.e.m. indotta in una spira rotante in un campo magnetico costante:
Si immagini una spira di sezione S ruotante intorno al suo asse con velocità angolare
costante.- Nell’istante zero la spira si trovi in posizione normale rispetto l’induzione B del campo
magnetico induttore per cui il flusso a lei concatenato sarà massimo:
in t = 0 ⇒
ΦM = B ⋅ S = B ⋅l ⋅d
In un istante successivo t la spira sarà ruotata di un angolo α = ω.t ,ove ω è la velocità
angolare della spira, per cui il flusso concatenato risulterà:
in t ⇒
ϕ c = B ⋅ S ' = B ⋅ l ⋅ d ⋅ cos α
ϕc = B ⋅ l ⋅ d ⋅ cos ω ⋅ t
Tale flusso risulta variabile nel tempo per cui nella spira si indurrà una F.e.m. pari a:
dϕ
e = − c = B ⋅ l ⋅ d ⋅ ω ⋅ sen ω ⋅ t
dt
Essendo l.d una superficie il prodotto B ⋅ l ⋅ d ⋅ ω ha le dimensioni di una tensione, come
già visto nel caso precedente, per cui:
e = E M sen ω ⋅ t
Problema 3.01
Calcolare il valore del campo magnetico al centro dell’asse di un solenoide avente 300
spire, lungo 30 cm. con raggio di 1 cm. percorso dalla corrente di 10A.Il valore esatto di H si ottiene usando la
relazione vista al paragrafo 3.4.3 :
NI
H=
(cos α 1 − cos α 2 )
2l
1
tgα1 =
⇒
cosα1 = 0,998
15
α 2 = π − α1
⇒
cos α 2 = −0,998
300 ⋅ 10
( 0 , 998 + , 0988 ) = 99 , 8 Asp cm
H =
2 ⋅ 30
In questo caso essendo:
R<
semplificata:
1
l
1<
⇒
1
30
20
300 ⋅ 10
H=
=
= 100 Asp
cm
l
30
20
NI
59
si può usare l’espressione
Problema 3.02
Una spira circolare di raggio r = 2 cm è disposta perpendicolarmente e al centro dell’asse di
un solenoide rettilineo lungo l = 50 cm formato da N = 2000 spire di raggio R = 3 cm percorse
dalla corrente I = 5 A .- Calcolare il valore medio della F.e.m. indotta nella spira quando la corrente
del solenoide passa dal valore di 5 A quello di 2 A nel tempo di 2 sec.l
⇒
20
il campo si calcolerà con la formula esatta:
NI
H=
(cos α 1 − cos α 2 )
2l
R>
Poichè:
tgα 1 =
3>
50
20
3
⇒
cosα 1 = 0 , 993
25
α 2 = π −α 1 ⇒
cosα 2 = − cosα 1
2000 ⋅ 5
H=
( 0 , 993 + 0 , 993 ) = 19857 Asp m
2 ⋅ 0,5
L’induzione nel centro della bobina sarà:
B = µ ⋅ H = 1,256 ⋅ 10 − 6 ⋅ 19857 = 24.941 ⋅ 10 − 6 T
Il flusso concatenato con la spira sarà:
Nel centro sarà :
Φ c = B ⋅ S = 24941⋅ 10−6 ⋅ π ⋅ (2 ⋅ 10−2 ) = 31,3 ⋅ 10− 6 Wb
2
Essendo:
NI
(cosα1 − cosα2 ) = kI
2l
Φc = B ⋅ S = µ ⋅ H ⋅ S = µ ⋅ S ⋅
Risulterà:
Φ c ( perI=2 A ) =
Φ C ( perI=5 A )
⋅2=
5
31, 3 ⋅ 10 −6
⋅ 2 = 12 , 54 ⋅ 10 −6 Wb
5
Perciò la variazione di flusso concatenato con la spira sarà:
∆Φ c = ( 31 , 3 − 12 , 54 ) ⋅ 10 − 6 = 18 , 76 ⋅ 10 − 6 Wb
E la forza elettromotrice media :
em =
∆Φ c
∆t
=
18 , 76 ⋅ 10 −6
= 9 , 38 ⋅ 10 −6 V = 9 , 38µV
2
Problema 3.03
Una bobina rettangolare con lati di 4cm e 3cm rispettivamente avente 100 spire, ruota alla
velocità costante di 3300 giri/min, attorno al suo asse mediano in un campo magnetico uniforme di
valore B=0,75 T perpendicolare all’asse di rotazione.- Determinare la legge di variazione della
F.e.m. indotta.-
60
Il flusso concatenato con la bobina sarà :
ϕ c = Φ C Max cos ωt = NBS cos ωt
La F.e.m. indotta sarà :
dϕ c
e=−
= ωNBS sen ω t = E M sen ωt
dt
2 π ⋅ n 2 π ⋅ 3300
=
= 345 , 6 rad
ω=
sec
60
60
E M = ωNBS = 345 , 6 ⋅ 100 ⋅ 0 , 75 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 10 − 4 = 31,1V
e = 31,1 sen 345 , 6 ⋅ t
3.6.0. La materia nel campo magnetico
In base alle moderne concezioni della materia, gli elettroni muovendosi negli spazi atomici e
molecolari danno luogo ad effetti magnetici di due tipi diversi:
I° Nel moto lungo le proprie orbite originano una:
Azione magnetica orbitale
II° Nel moto di rotazione su se stessi originano una:
Azione magnetica di Spin
Tali azioni, per ciascuna molecola, si sommano dando origine ad un’azione risultante
assimilabile ad una corrente molecolare equivalente diversa secondo il tipo di molecola, cioè di
materiale.Quando la materia non è investita da alcun campo magnetico esterno, cioè è allo stato neutro,
dal punto di vista macroscopico i piani delle correnti molecolari equivalenti sono statisticamente
orientati in tutte le direzioni fornendo un effetto risultante nullo.In presenza di un Campo Magnetizzante le correnti molecolari equivalenti acquistano un
orientamento fornendo un’azione magnetica macroscopica diversa da zero.- Tale nuovo assetto della
materia prende il nome di Polarizzazione Magnetica della Materia.La Polarizzazione Magnetica della materia avviene secondo due meccanismi diversi:
A: Precessione di Larmor per la quale il campo magnetico esterno determina un’alterazione del
moto orbitale degli elettroni con un effetto macroscopico risultante di senso opposto al campo
magnetizzante e tendente quindi a ridurre l’entità del campo esterno (effetti di piccolissima entità
difficilmente misurabili).- Tutti i materiali sono sede di tale fenomeno; quelli nei quali è l’unico tipo
di polarizzazione presente e quindi si magnetizzano debolmente in senso contrario al campo
induttore, prendono il nome di Materiali Diamagnetici.B: Polarizzazione per orientamento: in questo caso il campo magnetico esterno tende ad orientare
le correnti molecolari equivalenti secondo la propria direzione producendo un effetto magnetico
risultante macroscopico concorde con il campo induttore e che aumenta fino ad un certo limite
quando si raggiunge la Saturazione magnetica. I materiali sede di questo effetto, la cui entità prevale
rispetto all’effetto della precessione di Larmor, pur presente, per cui globalmente si magnetizzano
nello stesso senso del campo induttore, prendono il nome di Materiali paramagnetici.Volendo rappresentare quantitativamente il fenomeno della polarizzazione, si indichi con H il
valore del campo magnetico induttore esterno, con Hp il valore del campo magnetico di
polarizzazione che nasce per orientamento o per Precessione di Larmor all’interno del materiale;
nello spazio vuoto inframolecolare i due campi si sommeranno dando origine ad un campo risultante
Hris :
H
ris
=H +H
61
p
Tale campo risultante agisce nel vuoto degli spazi inframolecolari dando origine ad
un’induzione:
B = µ o H ris = µ o ⋅ ( H + H p )
In alternativa si può pensare che il campo magnetico esterno H dia origine nel materiale ad
un’induzione B , legata al valore del campo per mezzo della permeabilità magnetica del materiale µ :
B = µ⋅H
Confrontando le due espressioni di B si ricava:
µ −µo
µ ⋅ H = µ o (H + H p ) ⇒
Hp =
⋅H
µo
La quantità:
χm =
µ−µo
prende il nome di
µo
Suscettività
magnetica; essa è un numero puro, caratteristico d’ogni materiale.Dall’espressione della Suscettività si può ricavare:
µ = µ o (1 + χ m )
µ r =1+ χ m
χ m = µ r −1
Classificazione dei materiali:
Materiali Diamagnetici: sono materiali che hanno correnti molecolari equivalenti
mediamente nulle quindi subiscono soltanto la precessione di Larmor: Rame, Argento,
Vetro, Acqua ………..Per questi materiali:
χm p0
µ r p1
µ p µo
Materiali Paramagnetici: sono sostanze che hanno correnti molecolari equivalenti
mediamente non nulle che tendono ad orientarsi nella direzione del campo
magnetizzante annullando, in quanto maggiori, l’effetto Larmor, sempre presente, e
generando un campo risultante maggiore di quello induttore : Alluminio, Platino,
Ebanite...... Per questi materiali:
χm f 0
µr f 1
µ f µo
Materiali Ferromagnetici sono materiali che si polarizzano per orientamento come i
paramagnetici ma con campi interni di polarizzazione intensissimi : Ferro, Cobalto,
Nichel ed alcune loro leghe.- Per questi materiali:
χm ff 0
µr ff 1
µ ff µo
Curve di magnetizzazione:
B = µ⋅H
62
3.6.1.
Ferromagnetismo:
Alcuni materiali e più precisamente il ferro, il cobalto, il nichel ed alcune loro leghe, poste
entro un campo magnetico induttore hanno un comportamento particolare che li fanno definire come
Materiali ferromagnetici.- Questi materiali hanno una Suscettività magnetica e quindi una
Permeabilità magnetica che sono:
I°
Molto grandi
II° Funzioni delle temperatura
III° Variano entro ampi limiti in funzione del campo induttore
IV° Dipendono dai trattamenti meccanici, termici e magnetici precedenti
Questo comportamento si pensa sia dovuta alla presenza in tali materiali di microzone dette
Domini di WEISS entro i quali le molecole abbiano un medesimo orientamento magnetico anche in
assenza di un campo induttore.- In condizioni normali i domini sono orientati in modo disordinato
per cui la polarizzazione è mediamente nulla.- In presenza di un campo magnetizzante i domini di
Weiss tendono ad orientarsi nella direzione del campo esaltando l’effetto di questo e quindi la
relativa induzione B; aumentando gradualmente il campo induttore il fenomeno d’orientamento dei
domini non avviene con continuità ma a scatti fino a raggiungere l’orientamento totale cioè la
saturazione.In fase di riduzione del campo induttore, lo scatto non avviene per i medesimi valori
incontrati
durante l’aumento ma con un certo ritardo, per cui la curva di magnetizzazione in discesa ha un certo
ritardo anzi, annullato il campo induttore, il materiale manterrà una certa Induzione Residua B R ; per
annullare tale Induzione Residua bisogna invertire il campo magnetizzante; il valore del campo
inverso necessario per annullare l’Induzione Residua prende il nome di Campo Coercitivo H C .Misurando sperimentalmente in un provino di materiale ferromagnetico, inizialmente del tutto
smagnetizzato, i valori di B al variare di H da zero fino ad un valore massimo HM si può tracciare la curva di Prima Magnetizzazione che ha
l’andamento di figura.Riducendo, a partire del valore di HM , il campo
fino a zero e quindi invertendone il verso per farlo poi
aumentare con valori negativi fina a -HM si noterà che
l’induzione raggiungerà un valore -BM esattamente
uguale in valore assoluto, ma di segno contrario, a quello
raggiunto in corrispondenza di +HM .- Riportando
infine il valore del campo a +HM l’induzione ritornerà
al valore di +BM con un andamento simmetrico rispetto
63
l’origine degli assi .- Il ciclo così ottenuto prende il nome di Ciclo d’isteresi.Se il campo induttore H oscilla tra valori H’ e H’’ qualunque, la curva B=f(H) assume un
andamento asimmetrico e prende il nome di Ciclo d’isteresi asimmetrico .A seconda della natura del materiale ferromagnetico in esame, cioè del tipo di lega, il ciclo di
isteresi può assumere varie forme con valori di induzione residua e campo coercitivo molto diversi.-
Rilevando per un certo provino una serie di cicli d’isteresi simmetrici e concentrici con valori
crescenti di HM, il luogo dei punti estremi (HM , BM) prende il nome di Curva di magnetizzazione
normale.L’andamento della curva di prima magnetizzazione e di quella di magnetizzazione normale,
conferma che la permeabilità µ non è costante ma varia in funzione del valore di H o di B.Tenendo presente che in ogni punto risulta:
B BA
µ= =
= tgα
H OA
si può costruire per punti l’andamento della permeabilità al variare di H.-
3.6.2.
Campo magnetico in un mezzo non omogeneo:
I° - Sia S la superficie di separazione tra due mezzi aventi permeabilità magnetiche
diverse; si immagini un cilindretto infinitesimo di base dS posto a cavallo della superficie di
separazione, con le basi parallele a tale superficie ed altezza (e quindi superficie laterale) infinitesimi
di ordine superiore.-
64
Per il teorema della divergenza, il flusso
totale attraverso la superficie chiusa del cilindretto
sarà nullo.- Potendosi trascurare il flusso attraverso
la superficie laterale, essendo questa infinitesima di
ordine superiore, il flusso entrante attraverso la base
inferiore sarà uguale a quello uscente attraverso la
base superiore.Se
sono
i
valori
B1 e
B2
dell’induzionesulle due basi nei due mezzi
rispettivamente, il flusso attraverso le due basi sarà:
dϕ 1= Bn1 ⋅ dS
dϕ 2 = Bn 2 ⋅ dS
dovendo essere:
dϕ 1= d ϕ
2
Bn 1 ⋅ dS = Bn 2 ⋅ dS
⇒
Bn 1 = Bn 2
⇒
Principio di continuità della componente normale dell’induzione magnetica : Passando da
un mezzo magnetico ad un altro, la componente normale dell’induzione rimane invariata.
II° - Sulla medesima superficie S di separazione dei due mezzi aventi permeabilità diverse
si consideri un punto P ed un rettangolo infinitesimo con i lati maggiori di lunghezza dl
paralleli alla superficie di separazione che lo contenga e avente i lati minori di lunghezza dx pari ad
un infinitesimo di ordine superiore.Indicando con H 1 ed H 2 il valore del
campo magnetico sui due lati del rettangolo
infinitesimo da parti opposte della superficie di
separazione, si applichi il teorema della
circuitazione sulla linea chiusa costituita dal
perimetro del rettangolo.- Nell’ipotesi che per il
punto P non passi alcuna corrente, dovrà
risultare:
∫ H × dl = 0
Essendo:
H1 × dl = H t 1 ⋅ dl
H 2 × dl = − H t 2 ⋅ dl
mentre il prodotto del campo per le lunghezze dei lati corti è nullo essendo questi di lunghezza pari
ad un infinitesimo di ordine superiore, risulterà:
∫ H × dl = H
t1
⋅ dl − Ht 2 ⋅ dl = 0
⇒ Ht 1 = Ht 2
Principio di continuità della componente tangenziale del campo magnetico : Passando da un
mezzo magnetico ad un altro, la componente tangenziale del campo magnetico rimane
invariata.
Da quanto visto segue che:
Bn1 = Bn 2
Ht 1 = Ht 2
⇒
⇒
µ 1 Hn 1 = µ 2 Hn 2
Bt 1
µ1
=
Bt 2
µ2
⇒
Hn 2 =
Bt 2 =
⇒
65
µ1
H
µ 2 n1
µ2
B
µ 1 t1
⇔
⇔
H t 1 = Ht 2
Bn1 = Bn 2
Passando da un mezzo magnetico all’altro, la componente normale del campo e la
componente tangenziale dell’induzione subiscono una brusca variazione .µ1 >> µ 2 (mezzo 1: ferro , mezzo 2: aria )
Nell’esempio seguente si immagini
Hn2 =
µ1
µ2
tgα 1 =
tgα 1
tgα 2
per : µ 1 = 1000 ⋅ µ 2
e
=
H t1
⋅
H n 2 >> H n 1
⇒
H n1
H t1
H n1
=
Ht2
0 < α 1 < 80°
tgα 2 =
H n1
Hn2
H t1 = H t 2
µ1
µ2
>> 1
⇒
Ht2
Hn2
α 1 >> α 2
α 2 < 0 , 3°
⇒
Nel passare da un mezzo a grande permeabilità
(Ferro) ad un mezzo a bassa permeabilità (Aria)
le linee di forza del campo subiscono una
rifrazione che tende ad avvicinarle alla normale
alla superficie di separazione facendole emergere
quasi perpendicolarmente alla superficie.3.6.3.
Circuiti magnetici:
Si consideri un anello chiuso di ferro attorno al quale sia uniformemente avvolto un solenoide
di N spire percorse dalla corrente I. La F.M.M. NI genera un Campo le cui linee di forza si
sviluppano prevalentemente all’interno del solenoide
cioè nel ferro; ne segue che il Flusso di Induzione
Magnetica si chiude totalmente nel ferro. Se la
sezione del solenoide è piccola rispetto al suo
diametro, l’Induzione Magnetica B sarà costante in
tutta la sezione S ; risulterà quindi:
Φ = B⋅S
costante attraverso ogni sezione dell’anello.Applicando il teorema della circuitazione ad una
qualsiasi circonferenza interna dell’anello si ottiene:
F = NI = ∫ H ⋅ dl
Poichè : H =
B
µ
=
Φ
risulterà :
µS
NI = ∫
Φ
µS
⋅ dl
Avendo riscontrato che il flusso è costante si ottiene:
1
NI = Φ ⋅ ∫
dl
µS
L’espressione
ℜ=∫
1
µS
dl
prende il nome di Riluttanza magnetica
66
del percorso del flusso che a sua volta viene chiamato Circuito magnetico.F = ℜ ⋅Φ
L’espressione vista ha carattere generale, vale per tutti i circuiti magnetici e costituisce la
Legge di Hopkinson: In un circuito magnetico la forza magnetomotrice è uguale al prodotto
della riluttanza del circuito per il flusso.Esiste un’evidente analogia tra la legge di Hopkinson per un circuito magnetico e la legge di
Ohm per un circuito elettrico ove si stabilisca una corrispondenza tra la Forza Magnetomotrice F e la
dl
e la
Forza Elettromotrice E, tra il flusso F e le corrente elettrica I, tra la resistenza ohmica R = ∫
γ S
dl
riluttanza magnetica ℜ = ∫
.µS
Le dimensioni della Riluttanza sono:
Asp
[ℜ ] =  F  =   =  A  = Ω −1 ⋅ sec −1 = H −1
 Φ   Wb   V ⋅ sec 
[
] [
]
Nel caso particolare ove la sezione del circuito e la sua permeabilità possano ritenersi costanti
su tutta la sua lunghezza, risulterà:
1 lm
1 l
ℜ= ⋅
⇔
R= ⋅
µ S
γ S
3.6.4.
Circuiti magnetici reali con traferro:
Nella pratica, per ragioni costruttive o per permettere movimenti relativi tra le varie parti della
macchina, la catena di materiali magnetici che costituiscono il circuito è interrotta da sottili strati
d’aria chiamati Traferri.-
Facendo riferimento all’espressione generale della riluttanza:
1 l
1 l
ℜo =
⋅
per l' aria;
ℜ fe =
⋅
µo S
µ fe S
per il ferro
essendo: µ o << µ Fe la riluttanza che incontra il flusso nel percorrere il ferro sarà notevolmente
inferiore a quella che incontra nell’attraversare l’aria.- Pur essendo la riluttanza dell’aria molto
grande rispetto quella del ferro, non sarà tale da impedire la continuità di passaggio del flusso.-
67
Nell’analogia elettrica vista sopra, il circuito magnetico con traferro non corrisponde ad un
circuito elettrico interrotto, cioè aperto, bensì ad un circuito nel quale siano state inserite delle
resistenze molto grandi rispetto alle altre.La F.M.M. (NI) che fa circolare il flusso avrà una caduta maggiore in corrispondenza del
traferro. Per ridurre la Riluttanza e quindi la F.M.M. necessaria per far circolare una certa quantità
di flusso, si cercherà di costruire i circuiti con il traferro il più possibile sottile.Il seguente è un esempio di circuito magnetico con traferro, ove s’ipotizza la sezione costante:
l fe
l
NI
Φ=
ℜ aria = a
ℜ FE =
ℜ Fe + ℜ a
µ Fe ⋅ S Fe
µa Sa
⇒
La corrente I necessaria a produrre il flusso viene detta: Corrente di eccitazione o
magnetizzante. La funzione che fornisce il valore del flusso per ciascun valore della corrente di
eccitazione prende il nome di Caratteristica di eccitazione del circuito magnetico.-
3.6.5.
Flussi dispersi:
Nel circuito magnetico dell’esempio in figura, il flusso totale prodotto dalla F.M.M. tenderà a
chiudersi essenzialmente nel ferro in quanto questo, avendo una permeabilità molto grande rispetto
all’aria, presenta una riluttanza magnetica molto inferiore
all’aria. Pur tuttavia alcune linee di flusso si chiuderanno
nell’aria in quanto questa ha una riluttanza molto grande
ma non infinita (il tutto avviene come se la F.M.M.
alimentasse due circuiti magnetici in parallelo di cui uno a
riluttanza piccola, il ferro,l’altro a riluttanza molto grande,
l’aria.- Il flusso che si chiude nell’aria costituisce il
Flusso disperso: il nome deriva dal fatto che, ponendo una
spira S attorno al circuito magnetico in un punto lontano
da N, il flusso che si concatenerà con lei risulta inferiore da quello prodotto dalle NI in quanto parte
del flusso va disperso nell’aria.Nella pratica, allo scopo d’ottenere alti valori di flusso con valori di Forze magnetomotrici i
più bassi possibili, i circuiti magnetici vengono costruiti con materiali ad alta permeabilità
magnetica, cioè con materiali ferromagnetici.- Questi si suddividono in due categorie:
68
Materiali magneticamente dolci:
Sono materiali aventi permeabilità massima
molto elevata che raggiungono la saturazione per
piccoli valori di Campo magnetico ed hanno un
basso valore di Campo coercitivo pur con
Magnetismo residuo elevato.-
Materiali magneticamente duri:
Hanno Permeabilità massima inferiore ai
precedenti, raggiungendo la saturazione per valori
più elevati del Campo ed hanno un Campo
coercitivo molto grande.-
Nella costruzione delle macchine elettriche vengono usati per le parti massicce: GHISA FERRO - ACCIAIO FUSO Per le parti laminate : LAMIERE DI FERRO da 5/10 mm o LAMIERE
DI FERRO AL SILICIO da 3/10 mm a 5/10 mm di spessore.Esistono anche in commercio, per perticolari tipi di esigenza costruttive, delle leghe di
materiali ferromagnetici, quali il PERMINVAR (Fe-Ni-Co) ed l’ISOPERM (Fe-Ni-Cu) aventi
permeabilita magnetica molto elevata ma costante.-
3.6.6.
Calcolo dei circuiti magnetici:
Il problema fondamentale del calcolo dei circuiti magnetici consiste nel fatto che la
Permeabilità µ dei materiali ferromagnetici varia in funzione dell’Induzione B per cui la Riluttanza
R del circuito non è una costante ma dipende dal valore del Flusso Φ . Tenendo presente che la
µ=f(B) segue una legge empirica non esprimibile con un algoritmo matematico segue che:
I° Caso: Data la corrente d’eccitazione I trovare il Flusso.
µ⋅S
NI
Φ=
= NI ⋅
ℜ
l
ma il valore di µ dipende da quello dell’induzione B che a sua volta dipende da
Φ che è incognito, per cui il problema non è risolvibile per questa via.II° Caso: Dato il Flusso trovare la corrente d’eccitazione che lo genera.
B=
Φ
⇒ µ = f ( B) ⇒ ℜ =
1 l
⇒ I=
Φ ⋅ℜ
il problema è risolvibile.
S
µS
N
In pratica il primo caso viene risolto dando al Flusso un valore arbitrario e ricavando, tramite
la via indicata dal secondo caso, il relativo valore della corrente; si confronta questo con quello
fornito dal problema e si rifà il calcolo per un altro valore più appropriato di Flusso; ripetendo il
calcolo un certo numero di volte si può tracciare la caratteristica di eccitazione del circuito e ricavare,
per interpolazione, il valore cercato.-
69
Problema 3.04
Trascurando i flussi dispersi, calcolare la corrente
magnetizzante necessaria a produrre nel traferro del circuito
magnetico di figura un’induzione B = 1 T
e la
riluttanza del circuito.l1 = 50 cm
S1= 25 cm2
Ferro
l2 = 30 cm
S2 = 50 cm2
Ghisa
da = 1 mm
N = 1000 spire
Essendo il traferro molto sottile sarà:
Ba = 1 T Ha = Ba / mo = 1/ 4p.10-7 = 0.796 Asp/m
Fa = Ha da = 0,796 . 106 . 1 . 10-3 = 796 Asp
B fe = 1T
Φ
B gh =
Φ gh
S gh
⇒
fe
=
⇒ F fe = H fe ( l 1 + l 1 ) = 3 , 2 ⋅ ( 50 + 50 ) = 320 Asp
cm
= 1 ⋅ 25 ⋅ 10 −4 Wb = Φ ghisa = Φ aria
( circuiti magnetici in serie )
H fe = 3 , 2 Asp
= B fe ⋅ S fe
25 ⋅ 10 −4
50 ⋅ 10
−4
= 0 , 5T
H gh = 20 Asp
⇒
F tot = F a + F fe + F gh = 796 + 320 + 600 = 1716 Asp
ℜ=
F tot
Φ
=
1716
25 ⋅ 10
−4
cm
⇒
⇒ I ecc =
= 68 , 64 ⋅ 10 4 Asp
F gh = 20 ⋅ 30 = 600 Asp
F tot
N
=
1716
= 1 , 716 A
1000
Wb
(I valori del campo magnetico nel ferro e nella ghisa in funzione dei relativi valori
dell’induzione, sono stati ricavati dalle tabelle dei materiali fornite dai fabbricanti)
3.7.0.
Il fenomeno dell’autoinduzione
Ogni circuito percorso da una corrente I crea intorno a se un campo magnetico avente una
certa induzione B le cui linee di forza sono inevitabilmente
concatenate con la corrente I stessa.- Ne conseguirà che,
ogniqualvolta c’e una variazione della corrente I e quindi
dell’induzione B, ci sarà anche una variazione del flusso
concatenato con il circuito stesso, variazione che indurrà a sua
volta nel circuito una F. E. M. detta di autoinduzione che avrà, per la
legge di Lenz, verso tale da opporsi alla causa che l’ha generata
cioè alla variazione della corrente I.- Ne segue che l’autoinduzione
ha un carattere inerziale, tendente cioè a ritardare le variazioni.-
70
In un circuito di n spire percorse dalla corrente i, si indichi con
Φ K il flusso concatenato con la spira k dovuto alla corrente i; il flusso
totale d’autoinduzione concatenato con il circuito sarà:
n
Φ ∑ = ∑Φ K
1
Tale flusso, se il mezzo circostante è a permeabilità costante,
risulterà proporzionale alla corrente che lo produce:
Φ ∑ = L ⋅i
dove L è un coefficiente di proporzionalità che prende il nome di Coefficiente d’autoinduzione o
Induttanza del circuito e si misura in Henry:
[ L] = [ Φ ⋅ I −1 ] = [V ⋅ sec⋅ A −1 ] = [ Ω ⋅ sec] = [ Henry ]
Immaginando di concentrare in un unico punto del circuito tutta la sua induttanza, questa
viene indicata con il simbolo:
La F.E.M. d’autoinduzione in un circuito vale:
dΦ Σ
di
e=−
=−L
dt
dt
Il suo verso è tale che ad ogni aumento di corrente nel circuito corrisponde una e di verso
contrario alla F.E.M. che fa circolare la corrente; ad ogni diminuzione di corrente nel circuito
corrisponde una e concorde con la F.E.M che fa circolare la corrente.Il calcolo dell’induttanza di una bobina concentrata può essere fatto facilmente se si
conoscono i parametri del circuito magnetico attraverso il quale si chiude il flusso concatenato (si
indichi con n il numero di spire della bobina e con Φ il flusso concatenato con una spira):
ΦΣ
n ⋅Φ
Φ
n2
n2
n2
L=
=
=n2 ⋅
=
=
⇒
L=
i
i
n ⋅ i n ⋅ i ℜ eq
ℜ eq
Φ
L’Induttanza di una bobina è uguale al quadrato del suo numero di spire diviso per la
Riluttanza del suo circuito magnetico.n2
n2
S ⋅n 2
L=
=
= µ⋅
1 l
ℜ eq
l
⋅
µ S
In generale l’induttanza di una bobina è tanto maggiore quanto più grande è la superficie che
abbraccia, il suo numero di spire e la permeabilità del mezzo e quanto minore è il suo sviluppo
longitudinale.3.7.1.
Induttanza di un solenoide rettilineo lungo:
Se : l f 20 R
N2
N2
L=
=
1 l
ℜ
µS
71
⇒
L=µ
S⋅N 2
l
3.7.2.
Induttanza di un solenoide toroidale:
L’induttanza di un solenoide toroidale avente N spire,
avvolte su un mezzo a permeabilità variabile costante,
con raggio medio R m e sezione S, può essere calcolata
mediante l’espressione:
µ S⋅N 2
N2
N2
=
⇒
L=
L=
1 2π R m
ℜ
2π R m
⋅
µ
S
3.8.0.
Circuiti induttivi in regime variabile
In un circuito contenete un’induttanza, ogni variazione della corrente che lo percorre genera
al suo interno una F.E.M. d’autoinduzione contraria alla variazione, avente un effetto ritardatore
sulla corrente stessa.Volendo osservare il fenomeno nel circuito di figura, si riscontra che allo spostamento del
deviatore in 1 la corrente tende a passare dal valore zero
V
; questa variazione di
a quello di regime pari a
R
corrente farà nascere all’interno del circuito una F.E.M.
d’autoinduzione e che, per la legge di Lenz, tende ad
opporsi all’aumento di corrente cioè alla tensione che è
stata applicata; in ogni istante varrà la relazione:
di
V + e = R ⋅i
⇒
V − L = R⋅i
dt
dt
di
(V − R ⋅ i ) dt = L ⋅ di ⇒
=
L V − R ⋅i
Integrando l’equazione si ottiene:
ln (V − R ⋅ i ) + A
L
R
La costante A viene calcolata in base alle condizioni al limite: i = 0 per
1
t
1 V − R ⋅i
A = ln V
⇒
− = ln
R
L R
V
t
=−
1
V − R ⋅i
R⋅t
ln
=−
V
L
⇒
72
R ⋅t
V − R ⋅i
−
=e L
V
t=0
R
V
− t
i = 1 − e L 

R
V
=I
R
è la corrente di regime per t → ∞
L
 L   Ω ⋅ sec 
= T ha le dimensioni di un tempo:   = 
= [ sec] ed è una grandezza
R
 R   Ω 
caratteristica del circuito chiamata Costante di tempo T .L’equazione del circuito diventa:
t

− 
i = I ⋅ 1 − e T 


Il rapporto
Dopo la chiusura del circuito la corrente
impiega teoricamente un tempo infinito per
raggiungere il suo valore di regime I = V/R ; in
pratica si ritiene che il valore di regime sia
raggiunto dopo un tempo pari a 4,6 T quando
cioè la corrente ha raggiunto un valore pari al
99% del valore finale.- L’espressione della
corrente:
i = I − I ⋅e
−
t
T
fornisce una chiave di lettura diversa del fenomeno: All’istante di chiusura, alla corrente di regime I
si sovrappone un’extracorrente transitoria di chiusura − I ⋅ e
annullarsi asintoticamente .-
−
t
T
di senso opposto che tende ad
Quando il circuito è a regime, percorso dalla corrente I , il deviatore venga spostato
bruscamente nella posizione 2 : la tensione V scompare ma la corrente non si annulla
immediatamente perché la sua variazione (tendente allo zero) fa nascere una forza elettromotrice
d’autoinduzione che s’oppone al suo azzeramento istantaneo.- L’equazione del circuito diventa:
·
ln ln !
#
·
condizioni iniziali:
t=0 ; i=I
ln – ln ! #
ln $ · $
i = I ⋅e
−
%
& =
t
T
La corrente, continuando a circolare nel medesimo senso, decresce esponenzialmente
azzerandosi in un tempo infinito, in pratica dopo un tempo pari 4,6 T quando raggiunge l’ 1% del
valore iniziale.- Questa corrente può essere pensata come un’extracorrente d’apertura I ⋅ e
continua a fluire nel circuito anche in assenza del generatore.-
73
−
t
T
che
−
t
T
In generale: In un circuito induttivo si genera in apertura e chiusura un’extracorrente I ⋅ e
che s’oppone alla I in chiusura e si sostituisce alla I in apertura.- Da ciò nascono i problemi di
scariche ed archi sui contatti degli interruttori che devono agire sui circuiti.-
3.9.0.
Mutua induttanza
Le linee di forza del campo magnetico generato dalla corrente che percorre un circuito
(induttore o primario), oltre che con il circuito stesso, possono concatenarsi con un secondo circuito
(indotto o secondario) posto nelle vicinanze inducendo in questo una F.E.M. ogni qual volta nel
primario c’è una variazione di corrente.- Due circuiti si dicono accoppiati induttivamente quando
ciascuno d’essi è concatenato con alcune delle linee di forza del campo magnetico prodotto
dall’altro.- L’entità dell’accoppiamento dipende dalle reciproche posizioni, potendo tale
accoppiamento essere più o meno stretto:
Accoppiamento nullo
Accoppiamento parziale
Accoppiamento totale
Si considerino due circuiti mutuamente accoppiati e le linee di forza del campo prodotto dal
primario; queste possono avere andamenti diversi e, rispetto all’accoppiamento, si suddividono in:
1 e 2
sono le linee di forza di Mutua induttanza
(1 totalmente concatenate-2 parzialmente concatenate)
3 e 4 sono le linee di forza disperse
(3 totalmente concatenate - 4 parzialmente concatenate)
74
Di conseguenza si definiranno come Flussi di mutua induzione completamente
concatenati:
Φ 12 Σ il flusso totale concatenat o con il II ° circuito e prodotto dal I °
Φ 21 Σ il flusso totale concatenat o con il I ° circuito e prodotto dal II °
Quando lo spazio circostante è occupato da un mezzo a permeabilità costante, tali flussi
risulteranno proporzionali alle correnti che li producono:
Φ 12 Σ = M 12 ⋅ i 1
Φ 21 Σ = M 21 ⋅ i 2
Per il principio di reciprocità degli effetti induttivi i due coefficienti di proporzionalità M 12 e
M 21 sono delle costanti uguali tra loro:
M 12 = M 21 = M
Tale valore M viene chiamato Coefficiente di mutua induttanza tra i circuiti:
M=
Φ 12 Σ
=
i1
Φ 21 Σ
i2
Il coefficiente di muta induttanza ha le stesse dimensioni ed unita di misura dell’induttanza:
[ M ] =  Φ  =  V ⋅ sec  = [ Ω ⋅ sec ] = [ H ]
I  
A

A differenza dell’induttanza, che è sempre positiva, la mutua induttanza può assumere
valori positivi o negativi: quando il flusso di mutua induzione prodotto dal circuito induttore,
concatenandosi con il circuito indotto, risulta concorde con il flusso d’autoinduzione di quest’ultimo
si darà alla Mutua induttanza segno positivo, in caso contrario sarà considerata negativa.Si dimostra che la mutua induttanza tra due bobine è legata al valore delle loro induttanze
mediante la relazione:
ove k (sempre minore di 1) è il
M = k L1 ⋅ L 2
loro coefficiente di accoppiamento che tiene conto dell’entità dei flussi dispersi.-
3.9.1.
Forze elettromotrici di mutua induzione:
In presenza di due circuiti mutuamente accoppiati, ogni variazione della corrente nel
circuito primario, da origine ad una Forza Elettromotrice d’auto induzione nel circuito primario
stesso ed una Forza Elettromotrice di mutua induzione nel circuito secondario:
di
dΦ 12 Σ
di
di 1
⇒
e1 L = − L1 1
e2 M = −
=−M 1
dt
dt
dt
Ad ogni variazione di corrente nel circuito secondario, corrisponde la nascita di una Forza
Elettromotrice d’autoinduzione nel circuito secondario stesso ed una Forza Elettromotrice di mutua
induzione nel circuito primario:
di
dΦ 21 Σ
di
di 2
⇒
e2 L = − L2 2
e1 M = −
= −M 2
dt
dt
dt
75
3.10.0. Energia in un circuito induttivo
Considerando il circuito di figura, allorché, spostando il deviatore in posizione 1, si applica
una tensione V alla serie R - L (con L costante),
durante il transitorio di carica la corrente varia istante
per istante in base alla legge di Ohm generalizzata
secondo 1’ espressione:
d iC
V = RiC + L
dt
Moltiplicando ambo i membri per i C dt :
V ⋅ i C dt = R ⋅ i C dt + L ⋅ i C ⋅ di C
2
Questa relazione esprime, istante per istante, il bilancio energetico del circuito:
V ⋅ i C dt esprime l’energia che il generatore fornisce al carico nel tempo dt
R ⋅ i C2 dt esprime l’energia dissipata per effetto Joule nella resistenza R nel medesimo tempo dt
L ⋅ i C di C esprime l’energia che il generatore deve fornire all’induttanza per poter variare la corrente
La potenza e quindi l’energia assorbita dall’induttanza è diversa da zero fino a quando la
corrente varia (diC /dt diversa da zero), diventa nulla quando la corrente, a regime, è costante.I
1

1
W L = ∫ L ⋅ i C ⋅ di C = L ⋅ ∫ i C ⋅ di C = L  ⋅ i C2  = L ⋅ I 2 (ove I è la corrente di regime)
0
0
2
0 2
Da questa espressione dell’energia si può ricavare un’altra definizione di induttanza:
2W
L = 2L
I
L’induttanza di un circuito è uguale al rapporto tra il doppio dell’energia che bisogna
fornirgli per stabilirvi una corrente e il quadrato di tale corrente.I
I
Raggiunto il regime, commutando in 2, l’extracorrente di apertura:
resistenza R del circuito l’energia:
∞
i = I ⋅e
−
t
T
cede alla
 T −2 t 
T
1L 1 2
W R = ∫ Ri dt = ∫ RI e dt = RI  − e T  = RI 2 = RI 2
= LI
0
0
2
2R 2
 2
 0
Poiché in questa fase il generatore è staccato dal circuito, tale energia, dissipata nella
resistenza, viene interamente fornita dall’induttanza ed è esattamente uguale a quell’assorbita in fase
di carica.- Né segue che: L’energia assorbita da un induttanza L in regime variabile, non viene
dissipata, ma interamente immagazzinata nel campo magnetico interno e restituita durante la
variazione di regime inversa.- L’induttanza nel circuito ha, rispetto la corrente, un effetto
assimilabile a quello di un volano in un sistema meccanico.La presenza di una corrente, e quindi di un Campo magnetico, risulta associata ad
un’accumulazione d’energia nel campo stesso, la cui entità è legata alle variazioni della corrente e
quindi del campo: questa energia prende il nome di Energia Magnetica.Consideriamo un solenoide torico con N spire uniformemente avvolte su un nucleo fatto di
materiale a permeabilità costante; se r s << r m risulterà:
nI
2 π rm H
H=
⇒
I=
2 π rm
n
∞
2
∞
2
−
2t
T
2
76
Poiché in queste condizioni l’induttanza del circuito vale:
µn2 S
n2
n2
L=
=
=
ℜ 2 π rm
2 π rm
µS
l’energia magnetica accumulata nello spazio all’interno del toro
sarà:
2
2
1
1 µ n S ( 2 π rm )
1
W m = LI 2 =
⋅
H 2 = µ ( 2 π rm S ) H 2
2
2 2 π rm
n2
2
1
W m = µH 2 ⋅ Vol .
2
Essendo il campo H costante, nelle ipotesi fatte, in tutti i punti del toro, si può ritenere che
l’energia sia uniformemente distribuita nelle spazio occupato dal toro; perciò l’energia specifica o
Densità di energia magnetica sarà:
Wm 1
1
1 B2
2
= µH = BH =
ωm =
Vol . 2
2
2 µ
La dimostrazione vale in generale anche se H e quindi w varia da punto a punto, ma in
ciascun punto risulterà:
1
1
1 B2
ω m = µH 2 = BH =
2
2
2 µ
Se nel nucleo del solenoide toroidale viene posto un materiale ferromagnetico, la sua
permeabilità varierà in funzione del campo H e quindi della corrente, per cui l’induttanza L non sarà
più una costante ma varierà al variare della corrente. Di conseguenza , per calcolare l’energia
immagazzinata, bisognerà far riferimento ai valori istantanei delle grandezze in giuoco:
--- Ad ogni variazione di della corrente i corrisponderà una variazione dH del campo H
--- La variazione di della corrente i nel tempo dt farà nascere una F.e.m. e avente modulo:
dΦ c d ( nΦ )
d ( BS )
dB
e=
=
=n
= nS
ove S = πr s2 è la sezione del solenoide
dt
dt
dt
dt
--- Il generatore, per vincere tale F.e.m., dovrà fornire un’energia pari a:
dB
dW m = e ⋅ idt = nS
⋅ idt = ni ⋅ SdB
dt
--Moltiplicando e dividendo per la lunghezza media del circuito magnetico:
---
ni
dB ⋅ S ⋅ 2 πrm = HdB ⋅Vol
2 πrm
L’energia specifica fornita dal generatore per ciascuna unità di volume del nucleo in
modo da ottenne una variazione di induzione pari a dB sarà:
dW m =
dω m =
---
dW m
= HdB
Vol
L’energia totale che il generatore dovrà fornire a ciascuna unità di volume del materiale
per portare l’indizione da 0 al valore massimo BM sarà:
ωm = ∫
BM
0
HdB
77
Nella rappresentazione grafica della
curva di magnetizzaione del materiale, tale
energia sarà data dalla superficie compresa tra
la curva e l’asse dell’induzione.-
In presenza di materiali ferromagnetici, investiti da campi magnetici periodicamente variabili
e quindi sottoposti a cicli periodici di magnetizzazione e smagnetizzazione, a causa dell’isteresi
magnetica e dell’induzione residua, l’energia che il materiale accumula in fase di carica risulta
maggiore di quella che restituisce in fase di scarica quindi, alla fine d’ogni ciclo, una certa quantità
d’energia, che viene dissipata nel materiale, va persa trasformandosi in calore.
La quantità totale di energia trasformata in calore Wi per ciascun periodo e per unità di
volume del materiale, corrisponde all’area del ciclo di isteresi.- Tale energia è praticamente quella
spesa per far variare i domini di Weiss.La potenza persa, che prende il nome di Perdite per Isteresi , relativa all’unità di volume,
sarà:
W
ove: T è il tempo impiegato per compiere il ciclo ed f
Pi = i = W i ⋅ f
T
la relativa frequenza
L’area del ciclo d’isteresi, rappresentante l’energia dissipata per unità di volume, non è
calcolabile con un algoritmo matematico.- Normalmente si usa la formula empirica di Steimetz:
1, 6
Pi = k i ⋅ f ⋅ B Max
ove:
ki = 250÷500 W /m3
per lamiere normale
ki = 125 ÷ 250 W /m3
per lamiere al silicio
78
3.11.0.
Forze elettromagnetiche
3.11.1.
Effetti ponderomotori della corrente:
La corrente elettrica esercita, attraverso il campo magnetico, un’azione a distanza di tipo non
solo magnetoelettrico ma anche ponderomotore, sviluppando un’azione meccanica sia sui magneti
permanenti sia sulle correnti.Forza di Lorentz: si consideri un conduttore di
lunghezza dl immerso in un campo magnetico d’induzione B
nel quale si sposti con velocità v essendo B , dl , v tra loro
ortogonali.Nel conduttore s’indurrà una F.e.m.:
de = B ⋅ v ⋅ dl
Tale F.e.m. spingerà le cariche libere di nome opposto a
addensarsi ai due estremi del conduttore generando così un
campo elettrico:
de
K=
= B ⋅v
dl
che eserciterà su ciascuna carica q una forza F = K ⋅ q = B ⋅ v ⋅ q tendente a riportare le cariche al
centro del conduttore.- Poichè ciò non avviene, infatti la F.E.M. de permane, significa che, a causa
del moto del conduttore si è generata una forza F L ( Forza di Lorentz) uguale e contraria alla F che
mantiene le cariche separate alle due estremità del conduttore:
FL = B ⋅ v ⋅ q
La presenza del conduttore che supporta le cariche non è indispensabile al verificarsi del
fenomeno; è sufficiente che ci sia una carica che si sposta entro un campo magnetico, cioè: Una
carica q che si sposta a velocità v in un campo d’induzione B è sottoposta ad una forza di direzione
normale a B e a v; nel caso di carica positiva, se il campo è diretto verso il palmo della mano sinistra,
la velocità secondo le quattro dita, il verso della forza sarà quello del dito pollice.Se l’induzione B non è normale alla velocità ma forma con questa un angolo α, sarà
necessario considerare la sua componente nella direzione normale all’induzione: v sen α
La forza di Lorentz diventa quindi:
FL = B ⋅ v ⋅ q ⋅ sen α
Si consideri ora un conduttore di lunghezza l percorso dalla corrente I immerso in un campo
magnetico uniforme avente induzione B diretta normalmente a l :
La carica elementare positiva dq che si trova nel
dl
trattino dl, spostandosi con velocità v = , sarà
dt
sottoposta ad una forza di Lorentz:
dl
dF L = B ⋅ v ⋅ dq = B ⋅ dq = B ⋅ I ⋅ dl
dt
Sull’intero tratto l agirà la forza:
F = ∫ BIdl = B ⋅ l ⋅ I
l
Il verso della forza si deduca dalla regola della mano sinistra: Disponendo la mano sinistra
aperta in modo che l’induzione B penetri nel palmo e le quattro dita siano dirette secondo il verso
della corrente, la Forza risulta diretta secondo il pollice.-
79
3.11.2.
Forza tra due conduttori paralleli percorsi da corrente:
Si considerino due conduttori rettilinei e paralleli di lunghezza indefinita, posti ad una
distanza d molto grande rispetto il loro raggio, in un mezzo di permeabilità costante µ e percorsi dalle
correnti I 1 e I 2 :
Nel punto P la prima corrente genererà un campo H 1 :
I
µ I1
H1 = 1
⇒
B1 =
2π d
2π d
L’induzione B 1 è normale alla corrente I 2 e alla
congiungente d ed ha il medesimo valore in tutti i
punti di I 2 . Il secondo conduttore risulterà immerso
in un campo d’induzione B 1 per cui sarà sottoposto in
ciascun suo elemento dl ad una forza:
µ I1
dF = B 1 I 2 dl =
I 2 dl
2π d
Sul tratto l agirà una forza pari a:
l
µ I1I 2
I1I 2
F=∫
dl = µ
l
2π d
0 2π d
La forza F, normale a l e B, sarà d’attrazione se le correnti sono concordi, di repulsione se
contrarie.- In generale: Due conduttori paralleli percorsi da correnti concordi si attraggono con una
forza proporzionale al prodotto delle correnti ed inversamente proporzionale alla loro distanza.Ponendo :
 I 1 = I 2 = 1 A

−7
 µ o = 4 π ⋅ 10 H m
d = 1m
l = 1m
⇒
F = 4 π ⋅ 10 − 7
1⋅1
2π ⋅1
⋅ 1 = 2 ⋅ 10 −7 N
Da questa relazione deriva la definizione dell’Ampere preso come unità di misura della
corrente nel Sistema Internazionale:
Due conduttori paralleli rettilinei di lunghezza infinita e diametro infinitesimo posti alla
distanza di 1 m nel vuoto si respingono con la forza di 2 ⋅ 10 −7 N , per metro di lunghezza, se
attraversati dalla corrente di 1A.
3.12.0.
Correnti parassite o di Foucault
Sono le correnti che s’inducono in qualsiasi massa metallica conduttrice sottoposta ad un
flusso variabile, come per esempio accade nel caso di un cilindretto di materiale conduttore fatto
ruotare tra le espansioni polari di un magnete
permanente.- Infatti, la massa del cilindretto si può
immaginare formata da tante spire conduttrici chiuse
che ruotano entro il campo magnetico d’induzione
B.- In ognuna s’indurrà una F.e.m. che farà circolare
una corrente parassita che, per effetto Joule,
produrrà un riscaldamento e quindi una perdita di
potenza (Fornita dal motore che fa ruotare il
cilindretto):
80
 ∆Φ c 
Pj ≡ i ≡ e ≡ 
 ≡ f 2 B2
 ∆t 
Per ridurre le perdite per correnti parassite si lamina il materiale parallelamente al verso
dell’induzione, interponendo degli strati isolanti; in tal modo le linee
di flusso non sono tagliate (fatto che aumenterebbe la riluttanza del
circuito magnetico), mentre i percorsi delle correnti di Foucault sono
interrotti riducendone l’entità e quindi le relative perdite.Le perdite totali nel ferro (per isteresi e per correnti di
Foucault) sono:
1,6
2
+ k F f 2 ⋅ B Max
P fe = k i f ⋅ B Max
( Watt 3 )
m
2
2
2
Problema 3.05
Nel circuito di figura, dopo aver raggiunto il regime, viene cortocircuitata la resistenza R 2 .
Determinare la legge di variazione della corrente assumendo t = 0 nell’istante di chiusura del tasto.-
E = 10V
R 1 = 1Ω
L = 10 mH
ri = 0
R 2 = 10 Ω
La corrente di regime all' istante di chiusura del tasto
t o−
I=
⇒
E
R1 + R 2
=
10
1 + 10
= 0 , 909 A
La corrente di regime dopo la chiusura del tasto :
E 10
t→∞
⇒
IR =
=
= 10 A
R1 1
Cortocircuitando R2 la costante di tempo del circuito diventa:
L 10 ⋅10−3
T= =
= 0,01 sec
R1
1
L’equazione del circuito, dopo la chiusura del tasto sarà:
di
E = R1 i + L
e separando le variabili :
dt
t=0
1
t
−
ln ( E − R 1 i ) = + A
⇒
i=I
R1
L
−
E − R1i
t
1
=
ln
L R1 E − R1 I
E − R 1 ⋅ i = ( E − R 1 I )e
−
⇒
e
−
R1 t
L
t
T
⇒
81
i=
di
dt
=
E − R1 i L
A=−
1
R1
=
ln ( E − R 1 I )
E − R1i
E − R1 I
 E
 −t
−
− I e T

R 1  R 1

E
i = 10 − 9 ,09 ⋅ e −100 t
Problema 3.06
Determinare il flusso magnetico concatenato con una spira circolare di raggio 2 cm, di filo
sottilissimo, posta al centro di un solenoide rettilineo con esso coassiale, lungo 80 cm, costituito da
1000 spire circolari di raggio 3 cm e percorse da una corrente di 10 A.Il valore del campo magnetico al centro del
L
solenoide, essendo per esso R <
, può essere
20
calcolato con la relazione:
N ⋅ I 1000 ⋅ 10
=
H=
= 12500 Asp
m
L
0 ,80
L’induzione al centro del solenoide (in aria)
risulta:
B = µ o H = 4 π ⋅ 10 − 7 ⋅ 12500 = 15 , 71 ⋅ 10 −3 T
Il flusso concatenato con la spira posta al centro del solenoide, su un piano normale all’asse del
solenoide stesso, è:
Φ c = B ⋅ S spira = 15, 71 ⋅ 10 −3 ⋅ π ⋅ 2 2 ⋅ 10 −4 = 19 , 74 ⋅ 10 −6 Wb = 19 , 74 µWb
Problema 3.07
Calcolare il valore medio della f.e.m. indotta in una spira circolare di raggio 4 cm posta in
aria in corrispondenza della mezzeria di un solenoide rettilineo con essa coassiale lungo 60 cm,
costituito da 2000 spire circolari di raggio 6 cm e percorse da una corrente di 8 A, quando,
nell’intervallo di 1,5sec la corrente nel solenoide passa al valore di 2 A.-
82
Il valore del campo magnetico al centro del
L
solenoide, essendo per esso R >
, può essere
20
calcolato con la relazione:
N ⋅I
H=
(cos α 1 − cos α 2 )
2L
R
6
tgα 1 =
=
= 0 , 2 ⇒ cos α 1 = 0 , 981
0 ,5 L 30
α 2 = 180 ° − α 1 ⇒ cos α 2 = −0 ,981
H=
2000 ⋅ 8
( 0 , 981 + 0 , 981 ) = 26160 Asp
m
2 ⋅ 0 ,6
L’induzione al centro del solenoide in aria risulta:
B = µ o H = 4 π ⋅ 10 − 7 ⋅ 26160 = 32 ,87 ⋅ 10 − 3 T
Il flusso concatenato con la spira, posta al centro del solenoide, è:
Φ C = B ⋅ S spira = 32 ,87 ⋅ 10 −3 ⋅ π ⋅ 4 2 ⋅ 10 −4 = 165 , 2 ⋅ 10 −6 Wb
Quando la corrente passa dal valore di 8A a quello di 2A il campo magnetico induttore H si riduce
proporzionalmente di quattro volte (8A : 2A) ed altrettanto avviene dell’induzione B e del flusso
concatenato che passa al valore:
Φ C 165 ,2 ⋅ 10 −6
Φ' C =
=
= 41 ,3 ⋅ 10 −6 Wb
4
4
Il valore medio della f.e.m. indotta risulta:
Φ C − Φ ' C ( 165 ,2 − 41 ,3 ) ⋅ 10 −6
e media =
=
= 82 ,6 ⋅ 10 −6 V = 82 ,6 µV
∆t
1 ,5
Problema 3.08
Una bobina di 150 spire di filo sottilissimo e chiusa su un circuito puramente ohmico di
resistenza 9000 W, viene introdotta fra le espansioni polari di un magnete permanente in modo che
nella sua posizione finale essa è concatenata con tutto il flusso passante nel traferro del magnete.Quanto vale tale flusso, se, per effetto dell’introduzione, la bobina viene attraversata da una
quantità di carica di 12 mCoulomb ?
Indicando con Φ il valore del flusso cercato, introducendo la bobina tra le espansioni polari del
magnete permanente, il flusso con essa concatenato passa dal valore zero al valore:
Φ C = N ⋅Φ
La variazione di flusso concatenato indurrà nella bobina un impulso di tensione uguale al
valore di tale variazione:
∆Φ C = ∫ e ⋅ dt
83
∆Φ C = Φ C − 0 = N ⋅Φ = ∫ e ⋅ dt = R ⋅ ∫
Φ=
R ⋅Q
N
=
9000 ⋅ 12 ⋅ 10 −6
e
R
dt = R ⋅ ∫ i ⋅ dt = R ⋅ Q
= 720 ⋅ 10 − 6 Wb = 0 , 72 mWb
150
Problema 3.09
Su un nucleo a forma di toro di raggio medio 15cm, con sezione circolare di raggio 1 cm,
sono avvolte uniformemente 2000 spire percorse dalla corrente di 4 A. Sullo stesso nucleo è avvolta
una bobina di 15 spire chiusa su un circuito di resistenza 2.500 W nel quale è inserito un
galvanometro balistico che misura la quantità di carica Q che attraversa il circuito stesso.Qual è la permeabilità relativa del materiale del nucleo se, al momento in cui si interrompe la
corrente nel solenoide, il galvanometro indica il passaggio di una carica di 2,404m
mC ?
Poiché:
R m >> r si può ritenere che il campo
magnetico all’interno del solenoide toroidale sia
uniforme e valga:
N1I
2000 ⋅ 4
H=
=
= 8488 ,3 Asp
m
−2
2π ⋅ R m
2 π ⋅ 15 ⋅ 10
L’induzione all’interno del solenoide risulta:
B = µ r µ o H = µ r 4 π ⋅ 10 −7 ⋅ 8488 , 3 = µ r 10 , 67 ⋅ 10 −3 T
Il flusso all’interno del toroide vale:
−3
Φ = B ⋅ S = µ r 10 , 67 ⋅ 10 ⋅ π ⋅ 1 2 ⋅ 10 −4 = µ r 33 , 51 ⋅ 10 − 7 Wb
Il flusso concatenato con la bobinetta di 15 spire avvolta sullo stesso toroide, vale:
Φ C = N 2 Φ = 15 ⋅ µ r 33 ,51 ⋅ 10 −7 = µ r 50 , 26 ⋅ 10 −6 Wb
Interrompendo la corrente nel solenoide, il flusso concatenato con la bobinetta si annulla generando
una variazione di flusso concatenato e quindi un impulso di f.e.m. che a sua volta genererà un
impulso di corrente e quindi un passaggio di carica quantificata dal galvanometro balistico:
e
∆Φ C = ∫ e ⋅ dt = R ∫ dt =R ∫ i ⋅ dt = R ⋅ Q
R
∆() () 0 µ+ 50,26 · 10
2500 · 2,404 · 10
01 2·,
2,
120
Problema 3.10
Una bobina rettangolare di sezione ( 4 × 8 ) cm 2 , costituita di 400 spire concentrate di filo
sottilissimo, ruota con una velocità angolare di 150 rad
84
sec attorno al suo asse maggiore che risulta
parallelo ad un conduttore rettilineo indefinito, il cui asse dista 12cm dal centro della bobina,
percorso dalla corrente di 250A. Qual è la f. e. m. indotta, istante per istante, nella bobina?
Essendo il conduttore, percorso dalla corrente I = 250 A, di
lunghezza indefinita, il campo da esso generato, ad una
distanza r dal suo asse, vale:
I
250
H=
=
= 331 ,57 Asp
m
−2
2 π ⋅ r 2 π ⋅ 12 ⋅ 10
In prima approssimazione, l’induzione media che interessa
tutta la superficie della bobina è:
B = µ o H = 4 π ⋅ 10 −7 ⋅ 331 ,57 = 0 , 41666 ⋅ 10 −3 T
La f.e.m. istantanea che s’induce nella bobina vale:
e = B ⋅ S ⋅ N ⋅ ω ⋅ sen ω t
e = 0 , 41666 ⋅ 10 −3 4 ⋅ 8 ⋅ 10 −4 ⋅ 400 ⋅ 150 sen 157 t = 0 ,08 sen 157 t
In realtà il calcolo dell’induzione che interessa la bobina deve essere fatto tenendo presente che tale
induzione varia in funzione della distanza dall’asse del conduttore che genera il campo:
I
I
h=
b = µoh = µo
⇒
2π⋅ x
2π ⋅ x
Il flusso che investe la superficie dS = l ⋅ dx vale:
I ⋅ l ⋅ dx
dΦ = b ⋅ dS = µ o
2π ⋅ x
Il flusso che investe tutta la superficie della spira:
r2
r
I ⋅ l ⋅ dx
I ⋅l
Φ = ∫ µo
= µo
⋅ ln 2
r1
2π ⋅ x
2π
r1
Il valore massimo della f.e.m. risulterà perciò:
r
I ⋅l
250 ⋅ 0 ,08 14
E M = B ⋅ S ⋅ N ⋅ω =Φ ⋅ N ⋅ω = µo
⋅ ln 2 ⋅ N ⋅ ω = 4 π ⋅ 10 −7
ln ⋅ 400 ⋅ 150 = 0 ,0807V
2π
r1
2π
10
Confrontando i due valori trovati si può notare che l’approssimazione introdotta, con il metodo
semplificato visto in precedenza, è dell’ordine del:
0 ,0807 − 0 ,08
e % = 100
= 0 ,87%
0 ,0807
Problema 3.11
Determinare la riluttanza del circuito magnetico costituito da un toro di bachelite ( µ = µ o ) a
sezione quadrata, di raggio interno 10 cm e raggio esterno 20 cm.Determinare l’errore percentuale che commetteremmo, se eseguissimo il calcolo
approssimato supponendo una distribuzione uniforme del campo magnetico nella sezione del toro.-
85
Si calcola in Campo e l’Induzione
magnetica in un punto distante r dall’asse,
immaginando avvolto sul toro un
solenoide di N spire percorso dalla
corrente I:
NI
NI
Hr =
Br = µ ⋅
2π ⋅ r
2π ⋅ r
Il flusso che taglia la sezione infinitesima
h ⋅ dr sarà:
NI
dΦ = B r dS = µ ⋅
h ⋅ dr
2π ⋅ r
Il flusso totale attraverso le sezione è:
NI
Re
Φ =∫ µ⋅
Ri
NI =
2π
µ ⋅ h ⋅ ln
Re
2π ⋅ r
h ⋅ dr = µ ⋅
NI
2π
⋅ h ⋅ ln
Poiché: NI = ℜ ⋅ Φ
⋅Φ
Re
Ri
2π
ℜ=
µ ⋅ h ⋅ ln
Ri
2π
ℜ=
4 π ⋅ 10 −7 ( 20 − 10 ) ⋅ 10 − 2 ln
20
= 72 ,135 ⋅ 10 6 Asp
Re
Ri
Wb
10
Supponendo una distribuzione uniforme del campo all’interno della sezione del toro:
NI
NI
NI
H=
B = µ⋅
⋅( Re − Ri ) 2
Φ = B⋅S = µ⋅
2π ⋅ R m
2π ⋅ R m
2π ⋅ R m
2π ⋅ R m
NI
2 π ⋅ 15 ⋅ 10 −2
ℜ=
=
=
= 75 ⋅ 10 6 Asp
m
2
−7
2
Φ
µ ⋅( R − R )
4 π ⋅ 10 ( 0 , 2 − 0 ,1 )
e
i
L’errore relativo che si commette risulta:
e % = 100 ⋅
75 − 72 ,135
= 3 ,82%
75
Problema 3.12
Determinare la riluttanza del circuito magnetico costituito da un toro a sezione quadrata, di
raggio interno 10 cm e raggio esterno 19 cm formato da tre strati di uguale spessore, sovrapposti
esternamente uno all’altro, costituiti da materiale ferromagnetici, le cui permeabilità magnetiche
relative, a partire dallo strato esterno, sono rispettivamente 800, 1200, 1600.Come visto nell’esercizio 3.11, il flusso attraverso la sezione costituita dall’anello più interno vale:
86
Φ1 = ∫
R2
µ⋅
NI
h ⋅ dr = µ 1 ⋅
NI
⋅ h ⋅ ln
R2
2π ⋅ r
2π
Ri
Quello attraverso l’anello intermedio:
R3
R3
NI
NI
h ⋅ dr = µ 2 ⋅
⋅ h ⋅ ln
Φ2 = ∫ µ⋅
R2
2π ⋅ r
2π
R2
Quello attraverso l’anello esterno:
Re
Re
NI
NI
h ⋅ dr = µ 3 ⋅
⋅ h ⋅ ln
Φ3 = ∫ µ⋅
R3
2π ⋅ r
2π
R3
Ri
Il flusso totale risulta:
Φ = h⋅
ℜ=
ℜ=
NI
Φ
R3
Re 
R2
NI 

+ µ 2 ln
+ µ 3 ln
µ 1 ln

2π 
Ri
R2
R 3 
=
2π

R3
Re
R2
+ µ r 2 ln
+ µ r 3 ln
h ⋅ µ o ⋅  µ r 1 ln

Ri
R2
R3

2π

13
16
19 
0 , 09 ⋅ 4 π ⋅ 10 − 7 ⋅  1600 ⋅ ln + 1200 ⋅ ln + 800 ⋅ ln 
10
13
16 





= 68 ,89 ⋅ 10 3 Asp
Wb
Problema 3.13
Un solenoide toroidale in aria, avente raggio interno 27 cm ed esterno 30 cm, a sezione
circolare, è formato da 5000 spire di filo di rame di diametro 0,5 mm funzionante alla temperatura di
20°C.- Il solenoide è alimentato da un generatore avente E = 100V ed r i = 8 , 34 Ω .Determinare il flusso concatenato con il solenoide , la sua induttanza e la costante di tempo.Per il rame:
ρ 20 = ρ o ( 1 + α o t ) = 0 , 016 ⋅ ( 1 + 0 , 00426 ⋅ 20 )
ρ 20 = 0 ,01736 Ω
mm 2
m
La lunghezza totale del filo di rame che
costituisce il solenoide è:
L = N ⋅ π ( R e − R i ) = 5000 ⋅ π ( 0 , 3 − 0 , 27 )
L = 471 , 2 m
La resistenza della bobina vale:
471 , 2
L
R 20 = ρ 20
= 0 ,01736
= 41 ,66 Ω
π ⋅ 0 , 25 2
S filo
La corrente erogata dal generatore è:
87
E
I=
100
=2A
ri + R 20 8 ,34 + 41 ,66
Il campo all’interno del solenoide, essendo R e − R i << R e , si può ritenere uniforme ed uguale a
quello calcolato in corrispondenza al raggio medio:
NI
5000 ⋅ 2
H=
=
= 5584 ,4 Asp
m
2 π ⋅ R m 2 π ⋅ 0 ,285
B = µ o H = 4 π ⋅ 10 −7 ⋅ 5584 , 4 = 7 , 017 ⋅ 10 −3 T
La superficie della spira vale:
S spira =
=
π ( Re − Ri )2
=
π ( 0 ,3 − 0 , 27 ) 2
4
4
Il flusso concatenato con il solenoide:
Φ c = N ⋅ B ⋅ S spira = 5000 ⋅ 7 ,017 ⋅ 10 −3 ⋅ 7 ,068 ⋅ 10 −4 = 0 ,0248Wb
L=
Φc
I
=
0 ,0248
= 0 ,0124 H
3
2
,
41,
297,6 · 10
67
Curve di Magnetizzazione del Ferro, Acciaio e Ghisa
88
= 7 ,068 ⋅ 10 − 4 m 2
Problema 3.14
Sulla colonna 2 del circuito magnetico di figura, in ferro fucinato, sono avvolte N=2000
spire; trovare il valore della corrente che bisogna inviare nella bobina d’eccitazione affinché al
traferro ci sia un flusso di 2,5mWb, ammettendo un coefficiente di dispersione del flusso al traferro
pari a k = 1,1.-
 l 1 = 40 cm

 l 2 = 90 cm
 l 3 = 40 cm

 l 4 = 49 ,7 cm
 S = 25 cm 2
 fe
 N = 2000 spire

Φ = 2 ,5 mWb
Poiché il coefficiente di dispersione k corrisponde al rapporto tra la superficie dell’aria interessata dal
flusso e quella del ferro, risulta:
S aria
⇒
S aria = k ⋅ S ferro = 1 ,1 ⋅ 25 = 27 ,5 cm 2
k=
S ferro
L’induzione magnetica nel traferro sarà perciò:
89
Bo =
Φ
=
2 ,5 ⋅ 10 −3
−4
= 0 ,909 T
S aria
27 ,5 ⋅ 10
Essendo la lunghezza del traferro:
⇒
Ho =
Bo
µo ⋅µr
=
0 ,909
4 π ⋅ 10
−7
⋅1
= 723 , 4 ⋅ 10 3 Asp
m
l aria = l 2 − l 3 − l 4 = 90 − 40 − 49 , 7 = 0 , 3 cm
La F.m.m. necessaria a far circolare nell’aria tale flusso risulterà:
ℑ aria = H o ⋅ l aria = 723 , 4 ⋅ 10 3 ⋅ 0 , 3 ⋅ 10 −2 = 2170 , 3 Asp
L’induzione magnetica nel ferro (il circuito magnetico è costituito da tronchi posti in serie e quindi
interessati tutti dal medesimo flusso; poiché hanno tutti la medesima sezione, l’induzione sarà uguale
in tutti i tratti) vale:
2 ,5 ⋅ 10 −3
Φ
B ferro =
=
= 1T
S ferro
25 ⋅ 10 − 4
Dalla curva di magnetizzazione del ferro si ricava che il campo magnetico necessario per avere
.un’induzione magnetica di 1 Tesla corrisponde al valore di H fe = 4 Asp
cm
La F.m.m. necessaria a far circolare il flusso nei vari tronchi sarà:
ℑ1 = H
fe
⋅ l 1 = 4 ⋅ 40 = 160 Asp
ℑ2 = H
fe
⋅ l 2 = 4 ⋅ 90 = 360 Asp
ℑ3 = H
fe
⋅ l 3 = 4 ⋅ 40 = 160 Asp
ℑ4 = H
fe
⋅ l 4 = 4 ⋅ 49 , 7 = 198 ,8 Asp
La F.m.m. totale richiesta dal circuito per avere al traferro il flusso voluto, vale:
ℑ totale = ℑ aria + 2 ⋅ ℑ 1 + ℑ 2 + ℑ 3 + ℑ 4 = 2170 , 3 + 320 + 360 + 160 + 198 ,8 = 3209 ,1 Asp
La corrente d’eccitazione cercata risulta essere:
ℑ
3209 ,1
I = totale =
= 1 ,6045 A
N
2000
Problema 3.15
Nella bobina d’eccitazione del circuito magnetico indicato in figura, costruito con ferro, viene
inviata una corrente di 10 A.- Qual è il flusso al traferro?
 N = 1000 spire
 l = 50 cm
 fe
 l aria = 0 , 2 cm

 k = 1 ,2
 S fe = 40 cm 2

 I = 10 A
Quando, di un circuito magnetico, il dato di partenza è la
corrente d’eccitazione invece del flusso o dell’induzione
(come nell’esercizio precedente), la soluzione va cercata per
approssimazioni successive.Le espressioni impiegate per il calcolo sono:
90
S aria = k ⋅ S
B fe =
fe
= 1 , 2 ⋅ 40 = 48 cm 2
Φ fe
H
S fe
fe
Ha =
Φ a = Ba ⋅Sa
= f ( B fe )
ℑ
=H
fe
fe
⋅l
Ba
ℑa = H
µo
ℑ tot = ℑ a + ℑ
fe
a
I=
fe
⋅l a
ℑ tot
N
Tenendo presente che Φ fe = Φ a si inzia ipotizzando un’induzione B a = 1 T :
Ba
Φa
(T)
(mWb)
1,00
1,50
1,60
1,55
1,57
4,80
7,20
7,97
7,44
7,54
ℑa
Ha
B fe
 Asp
 (Asp)
cm 

7958
1592
11936
2387
12732
2546
12334
2467
12494
2499
(T)
1,20
1,80
1,99
1,86
1,88
H fe
 Asp

cm 

6,5
100
245
140
152
ℑ fe
ℑ tot
I
(Asp)
(Asp)
(A)
325
5000
12250
7000
7600
1917
7387
14796
9467
10099
1,917
7,387
14,796
9,467
10,099
Vista l’approssimazione nella determinazione di H fe dalla lettura del grafico, si può concludere dhe
una corrente d’eccitazione di 10 A genererà un flusso di 7,53 mWb nel traferro.-
Problema 3.16
Un circuito magnetico in ghisa è costituito da 4 tronchi accostati con sezione costante ed una
lunghezza complessiva di 120 cm.Inviando una corrente di 1,5A nella bobina di
eccitazione, costituida da 1300spire, l’induzione
risulta essere B = 0,4 T.- Calcolare lo spessore
complessivo dei quattro traferri.La f.m.m.
eccitazione è:
sviluppata
dalla
bobina
di
ℑ tot = N ⋅ I = 1300 ⋅ 1 , 5 = 1950 Asp
Dalla curva di magnetizzaione della ghisa si ricava:
B ghisa = 0 , 4 T
H ghisa = 13 Asp
⇒
La f.m.m. necessaria a sostenere tale campo nella ghisa vale:
ℑ ghisa = H ghisa ⋅ l ghisa = 13 ⋅ 120 = 1560 Asp
La f.m.m. disponibile per sostenere il campo nei traferri risulta:
ℑ aria = ℑ tot − ℑ ghisa = 1950 − 1560 = 390 Asp
Il campo magnetico nei traferri vale:
B aria
H aria =
=
0 ,4
= 318310 Asp
m
4 ⋅ π ⋅ 10
Lo spessore complessivo dei quattro traferri risulterà quindi:
ℑ aria
390
l aria =
=
= 1 , 22 ⋅ 10 − 3 m = 1 , 22 mm
H aria
318310
µo
−7
91
cm
Problema 3.17
Ricavare l’espressione delle correnti nei vari rami del circuito di figura, nel periodo
transitorio quando viene applicata una tensione di 400 V.-
Ro
L
 o

 R1
 R 2
= 4Ω
= 400 mH
= 20 Ω
= 80 Ω
Alla chiusura del tasto, in un circuito contenete un’induttanza, la corrente ha l’andamento:
Re

−
t 
i = I regime  1 − e L e 




Nel caso in esame, la corrente di regime vale:
V
V
400
400
I regime =
=
=
=
=2A
R1 R 2
20 ⋅ 80
Re
20
4+
Ro +
20 + 80
R1 + R 2
La corrente totale sarà quindi:
Re
20

−
t 
−
t


Lo 
0
i o = I regime 1 − e
= 2 1 − e ,4






Le correnti nei due rami derivati saranno invece:
R2
80
i1 = i o
= io
= 0 ,8 ⋅ i o
R1 + R 2
20 + 80
R1
20
i2 = io
= io
= 0 ,2 ⋅ i o
R1 + R 2
20 + 80

 = 2 (1 − e − 50 t


)
= 1 ,6 (1 − e − 50 t
)
= 0 ,4 (1 − e − 50 t
)
Problema 3.18
Un conduttore lungo L = 50cm, trascinato in movimento da una forza applicata F = 0,8 kg,
taglia ortogonalmente le linee di forze di un campo uniforme avente induzione B = 1 , 2 T .I suoi estremi, attraverso due contatti striscianti con attrito trascurabile e due guide metalliche,
sono collegati ad una resistenza di carico R = 1 , 5 Ω .Determinare la velocità del conduttore a regime, la potenza meccanica necessaria per
trascinare il conduttore e la potenza elettrica assorbita dalla resistenza di carico, supponendo che la
resistenza complessiva del conduttore, dei contatti striscianti e delle guide metalliche sia r = 0 , 05 Ω .
92
Il conduttore, sotto l’azione della forza F,
si sposta nella sua direzione con velocità v
immerso in un campo magnetico
d’induzione B: sarà perciò sede di una
f.e.m. indotta e che a sua volta farà
circolare nel circuito costituito dalla serie
R + r una corrente i.
Il conduttore, percorso dalla corrente i ed immerso in un campo magnetico d’induzione B, sarà a sua
volta sottoposta ad una forza di reazione F’ di verso contrario a F; il regime verrà raggiunto quando
le due forze si uguaglieranno, per un valore della corrente:
F
i=
F = F' = B ⋅ L⋅i
⇒
B⋅L
La forza elettromotrice indotta nel conduttore in movimento vale:
e = B ⋅ L ⋅ v = ( R + r )⋅i
La velocità di spostamento, a regime, è:
( R + r )⋅i R + r F
1 ,5 + 0 ,05 0 ,8 ⋅ 9 ,81
v=
=
⋅
=
⋅
= 33 ,8 m
sec
B⋅L
B⋅L B⋅L
1 , 2 ⋅ 0 ,5 1 , 2 ⋅ 0 ,5
La potenza meccaniche richiesta per trascinare il conduttore si ricava da:
Lavoro F ⋅ ∆s
Pmec . =
=
= F ⋅ v = 0 ,8 ⋅ 9 ,81⋅ 33 ,8 = 265W
∆tempo
∆t
Si tenga presente che la forza e lo spostamento hanno il medesimo verso e direzione e che a regime la
velocità è costante.La potenza elettrica assorbita dalla resistenza del carico vale:
2
 0 ,8 ⋅ 9 ,81 
 = 257 W
Pel = R ⋅ i = 1 ,5 ⋅ 

 1 , 2 ⋅ 0 ,5 
La differenza di 8 W tra la potenza meccanica impiegata e quella elettrica dissipata sulla resistenza
di carico, corrisponde alla potenza persa sulla resistenza r delle guide, del conduttore e dei contatti.2
Problema 3.19
Nel circuito magnetico di figura (costruito in ferro) calcolare la corrente che bisogna inviare
nella bobina d’eccitazione per avere un flusso di 0,2 mWb al traferro. N = 1000 spire

 l 1 = 40 cm
 l 2 = 9 , 9 cm

 l 3 = 40 cm
 δ = 2 mm

 k = 1 ,3

2
 S fe = 4 cm
93
Facendo riferimento alla legge di Ohm magnetica, il
circuito può essere rappresentato da un insieme di
riluttanze poste in serie e parallelo.Per calcolare l’induzione al traferro, bisogna tener
conto del coefficiente di dispersione:
0 , 2 ⋅ 10 −3
Φ
Φ
Ba =
=
=
= 0 , 3845 T
Sa
k ⋅ S fe 1 ,3 ⋅ 4 ⋅ 10 − 4
Ha =
Ba
=
0 ,3845
= 30 ,6 ⋅ 10 4 Asp
m
4 π ⋅ 10
La tensione magnetica necessaria a vincere la riluttanza ℜ o dell’aria è:
ℑ a = H a ⋅ δ = 30 , 6 ⋅ 10 4 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 612 Asp
La tensione magnetica necessaria a vincere la riluttanza ℜ 2 dei due tratti l 2 è:
0 , 2 ⋅ 10 −3
Φ
H fe = 1 , 4 Asp
⇒
B fe =
=
= 0 ,5 T
cm
−4
S fe
4 ⋅ 10
µo
−7
ℑ2 = H
fe
⋅ 2 ⋅ l 2 = 1 , 4 ⋅ 2 ⋅ 9 , 9 = 27 , 7 Asp
La tensione magnetica ai capi del tratto 2 risulterà essere:
ℑ 2 tot . = ℑ a + ℑ 2 = 612 + 27 , 7 = 639 , 7 Asp
La colonna 2 e la colonna 3 sono in parallelo quindi avranno ai loro capi la medesima tensione
magnetica:
ℑ 3 639 ,7
H3 =
=
= 16 Asp
⇒
⇒
ℑ 3 = ℑ 2 tot = 639 , 7 Asp
B 3 = 1 , 45 T
cm
l3
40
(3 93 · :; 1,45 · 4 · 104 5,8 · 104 => 0,58?=>
Il flusso nella colonna 1 sarà pari alla somma di quelli nelle colonne 2 e 3:
( ( (@ 0,2 · 10
@ 0,58 · 10
@ 0,78 · 10
@ =>
(
9 A BC
,D·EF
·EG
1,95=>
L I · M 180 · 40 7200 6J
!
H
I 180 6J/7?
N! LO L L@ 7200 639,7 7839,7 6J
P$
P
[email protected]
7,84
Problema 3.20
Una mutua induttanza, il cui primario è costituito da un induttore avente L 1 = 0 , 8 H e
R 1 = 9 , 5 Ω , è alimentata da un generatore avente E = 80 V e r i = 0 , 5 Ω .- Il suo secondario,
costituito da un induttore avente L 2 = 0 , 2 H e R 2 = 2 Ω , è chiuso su un galvanometro balistico
(misuratore di carica) avente resistenza interna r b = 98 Ω e costante 500 µC
; calcolare il
div
coefficiente di accoppiamento della mutua induttanza se, alla chiusura del tasto al primario, il
galvanometro balistico ha una deviazione di 45div.-
94
La relazione che intercorre tra la quantità di
carica indicata dal galvanometro balistico e
l’impulso di tensione che si genera nel
secondario della mutua, alla chiusura tel
tasto primario è:
∆Φ C 2 = ∫ e 2 dt = ( R 2 + r b
e2
dt = ( R 2 + r b ) ∫ i 2 dt = ( R 2 + r b ) ⋅ ∆Q
R 2 + rb
La relazione che intercorre tra la variazione di corrente primaria, alla chiusura del tasto, e la
variazione di flusso concatenato con il secondario della mutua induttanza è:
E
∆Φ C 2 = M ⋅ ∆I 1 = M ⋅
= ( R 2 + r b ) ⋅ ∆Q
ri + R 1
(R2
+ rb ) ⋅ ∆Q
)∫
⋅ ( ri + R 1 ) =
( 2 + 98 ) ⋅ 45 ⋅ 500 ⋅ 10 −6
⋅ ( 0 ,5 + 9 ,5 ) = 0 ,281H
E
80
Il coefficiente di accoppiamento della mutua induttanza è dato dalla relazione:
0 , 281
M
k=
=
= 0 ,7025
L1 L 2
0 ,8 ⋅ 0 , 2
M=
Problema 3.21
Un solenoide rettilineo di N 1 spire, lunghezza l 1 e diametro D 1 ha disposto sul suo asse,
esattamente al centro, un secondo solenoide di N 2 spire, diametro D 2 e lunghezza l 2 ; calcolare la
mutua induttanza tra i due solenoidi ed il loro coefficiente di accoppiamento. N 1 = 1000 spire
 l = 50 cm
 1
 D 1 = 18 cm

 N 2 = 10 spire
 l 2 = 0 ,9 cm

 D 2 = 1 , 2 cm
Ipotizzando che la prima bobina sia attraversata da una corrente I 1 , il campo al centro del solenoide
si calcola con l’espressione (si tiene conto che l < 10 D):
N1I1
N1I1
H1 =
( cos α 1 − cos α 2 )
B1 = µ o H 1 = µ o
(cos α 1 − cos α 2 )
2l1
2l1
Il flusso concatenato con il secondo solenoide e generato dal primo, vale:
N I
π
Φ C 2 = N 2 Φ 1 = N 2 B 1 S 2 = N 2 µ o 1 1 (cos α 1 − cos α 2 ) ⋅ D 2 2
2l1
4
Per la definizione di mutua induttanza:
95
M =
ΦC2
= µo
N1N2 π
D 2 (cos α 1 − cos α 2 )
2
I1
2l1 4
(Nei calcoli si è supposto che il campo generato dalla prima bobina rimanga costante
all’interno della seconda)
D 1 18
tgα 1 =
=
= 0 ,3
cos α 1 = 0 ,958
α 2 = 180° − α 1
cos α 2 = −0 ,958
l1
60
1000 ⋅ 10 π
M = 4 π ⋅ 10 − 7
1 , 2 2 ⋅ 10 − 4 ( 0 ,958 + 0 ,958 ) = 2 , 723 ⋅ 10 − 6 H = 2 ,723 µH
2 ⋅ 0 ,5 4
Per calcolare il coefficiente d’accoppiamento dei due solenoidi e necessario conoscere l’induttanza
delle due bobine. Poiché i due solenoidi hanno l < 10 D, l’induttanza si calcola con la relazione:
µ oS⋅N 2
L = α⋅
ove il coefficiente α è fornito dal seguente diagramma
l
= 2 ,8
⇒
α = 0 ,84
18
= 0 ,75 ⇒
Per il solenoide interno risulta: l = 0 ,9
α = 0 ,6
D
1 ,2
4 π ⋅ 10 −7 ⋅ π ⋅ 9 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 1000 2
L 1 = 0 ,84 ⋅
= 53 ,72 ⋅ 10 −3 H
0 ,50
−7
4 π ⋅ 10 ⋅ π ⋅ 0 ,6 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 2
L 2 = 0 ,6 ⋅
= 0 ,94748 ⋅ 10 −6 H
−2
0 ,9 ⋅ 10
Per il solenoide esterno risulta:
k=
M
L1 L 2
l
D
=
= 50
2 ,723 ⋅ 10 −6
53 ,72 ⋅ 10 − 3 ⋅ 0 ,94748 ⋅ 10 − 6
= 0 , 01207
Problema 3.22
Su un nucleo di ferro fucinato a sezione quadrata e di forma toroidale avente D e = 30 cm e
D i = 22 cm , sono avvolte N = 800 spire; qual è il valore della corrente che bisogna inviare nella
bobina d’eccitazione affinché il flusso nel nucleo toroidale valga Φ = 3 mWb ?
Se si pratica nel nucleo un taglio, normale all’asse del toroide, dello spessore di δ = 2 mm ,
che valore assume il flusso se la corrente d’eccitazione rimane invariata (si assuma un coefficiente di
dispersione al traferro k = 1,2)?
96
La sezione del ferro sarà:
S
fe
= (R e − R i
)2
= (15 − 11 )
2
= 16 cm
2
L’induzione nel ferro risulta:
3 ⋅ 10 −3
Φ
B fe =
=
= 1 ,875 T
S fe 16 ⋅ 10 − 4
Dalla curva di magnetizzazione del ferro si
ricava il valore del campo magnetico:
H fe = 150 Asp
cm
La lunghezza media del circuito magnetico toroidale è:
De + Di
30 + 22
lm =
π =
π = 81 , 68 cm
2
2
La f.m.m. necessaria a sostenere il campo H fe vale:
ℑ
fe
=H
fe
⋅ l m = 150 ⋅ 81 , 68 = 12252 Asp
La corrente d’eccitazione che bisogna inviare nella bobina per generare la f.m.m. richiesta
vale:
I=
ℑ fe
=
12252
= 15 ,31 A
N
800
Praticando un intaglio nel circuito magnetico, la sua riluttanza aumenta, quindi il flusso, a
parità di corrente d’eccitazione, diminuirà ed il suo valore dovrà essere ricavato indirettamente per
approssimazioni successive.Immaginando inizialmente un flusso di
1 mW il calcolo della corrente d’eccitazione è
fatto impiegando le relazioni:
S aria = k ⋅ S fe = 1 , 2 ⋅ 16 = 19 , 2 cm 2
Ba =
Φ
H aria =
S aria
ℑ aria = H aria ⋅ δ
B fe =
ℑ
l
fe
= lm −δ
ℑ tot = ℑ aria + ℑ
fe
Φ
S
fe
=H
fe
fe
⇒ H
⋅l
Ba
µo
fe
fe
I=
ℑ tot
N
Il valore della corrente d’eccitazione così ottenuto viene confrontato con quello effettivo e di
conseguenza si esegue un ricalcolo con un valore più appropriato di flusso fino a giungere, per
approssimazioni successive, al valore cercato.Φ
I
Ba
Ha
ℑa
B fe
H fe
ℑ fe
ℑ tot
( mWb )
(T )
1,0
2,0
3,0
2,5
0,52
1,04
1,56
1,30
 Asp

cm 

4144,6
8289,3
12434
10361
( Asp )
829
1658
2487
2072
(T )
0,625
1,250
1,875
1,562
 Asp

cm  ( Asp )

1,9
155
7,5
611
150
12222
30
2445
97
( Asp )
(A)
984
2269
14709
4517
1,23
2,84
18,38
5,64
Per interpolazione si ricava che con una corrente d’eccitazione di 15,31 A il flusso nel
circuito magnetico con traferro vale 2,87 mW
Problema 3.23
Nel circuito di figura, il tasto T 1 viene chiuso all’istante t = 0 ; trascorsi 15 m sec viene
aperto il tasto T 2 .-Determinare l’andamento della corrente erogata dal generatore.-
 E = 200 V
 R = 25 Ω
 1

 R 2 = 75 Ω
 L = 0 , 2 H
Alla chiusura di T 1 , Il generatore alimenta la serie di R 1 e L ; la corrente passerà dal valore inziale
nullo al valore di regime:
98
I1 =
E
=
R1
200
=8A
25
T=
con un andamento esponenziale avente costante di tempo:
L
=
0 ,2
R1
= 0 ,008 sec = 8 ms
25
−t
i = I 1  1 − e T  = 8 (1 − e −125 t ) = 8 − 8 e −125 ⋅ t
per t < 15 msec


All’apertura di T 2 ,trascorsi 15 msec, la corrente i ha raggiunto il valore di:
i ( 0 , 015 ) = 8 (1 − e − 125 ⋅ 0 , 015
) = 6 , 773 A
e tende esponenzialmente al valore finale di regime:
E
200
I2 =
=
=2A
R 1 + R 2 25 + 75
con un andamento esponenziale avente costante di tempo: T =
i = ( 6 ,773 − 2 ) ⋅ e
−
L
R1 + R 2
=
0 ,2
= 0 ,002 sec
100
t − 0 , 015
0 , 002
+ 2 = 2 + 4 ,773 ⋅ e 7 , 5−500 t = 2 + 8629 ,8 ⋅ e −500 t
per t ≥ 15 m sec
9
i (A)
8
7
6
5
4
3
2
1
t (sec)
0
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
Problema 3.24
Calcolare il valore delle induttanze delle due bobine avvolte sul circuito magnetico di figura,
la loro mutua induttanza ed il fattore d’accoppiamento nell’ipotesi che il materiale del nucleo (lega
isoperm: ferro-nichel-cobalto) abbia permeabilità relativa costante, il campo nel traferro sia uniforme
99
e siano anche trascurabili gli altri flussi dispersi; la sezione del nucleo rimane costante.- Valutare
l’influenza che ha lo spessore del traferro sui valori delle induttanze, della mutua e del coefficiente
d’accoppiamento. l 1 = 50 cm
 l = 9 ,5 cm
 2
 l 3 = 50 cm

 δ = 1 cm

 µ r = 1500
 N 1 = 500 spire

 N 3 = 400 spire
2
S
 nucleo = 64 cm
Poiché il nucleo lavora con permeabilità costante, si possono calcolare le riluttanze dei vari tronchi
del circuito magnetico (tali riluttanze rimarranno costanti nelle varie condizioni di lavoro):
l1
0 ,50
1
ℜ1 =
=
= 4 ,1446 ⋅ 10 4 H −1 = ℜ 3
−7
−4
µ r µ o S nucleo 1500 ⋅ 4 π ⋅ 10 ⋅ 64 ⋅ 10
2⋅l2
2 ⋅ 0 ,095
1
ℜ2 =
=
= 1 ,5750 ⋅ 10 4 H −1
−7
−4
µ r µ o S nucleo 1500 ⋅ 4 π ⋅ 10 ⋅ 64 ⋅ 10
ℜo =
1
δ
µ o S aria
=
1 ⋅ 10 −2
4 π ⋅ 10 ⋅ 64 ⋅ 10
La riluttanza della colonna centrale risulta essere:
−7
−4
= 124 ,34 ⋅ 10 4 H
−1
ℜ C = ℜ 2 + ℜ o = 1 ,5750 ⋅ 10 4 + 124 , 34 ⋅ 10 4 = 125 , 91 ⋅ 10 4 H
−1
La riluttanza equivalente dell’intero circuito magnetico visto dalla bobina N 1 vale:
ℜ e = ℜ1 +
ℜ C ⋅ℜ 3
ℜC +ℜ3
=

125 ,91 ⋅ 4 ,1446 
 ⋅ 10 4 = 8 ,1571 ⋅ 10 4 H
=  4 ,1446 +
125 ,91 + 4 ,1446 

−1
L’induttanza della bobina avvolta sulla prima colonna vale quindi:
2
N1
500 2
L1 =
=
= 3 ,065 H
ℜe
8 ,1571 ⋅ 10 4
Poiché il circuito magnetico, visto dalla bobina N 3 ,
presenta la medesima riluttanza ( ℜ 1 = ℜ 3 ),
l’induttanza della bobina avvolta sulla colonna 3 vale:
2
N3
400 2
L3 =
=
= 1 ,961 H
ℜe
8 ,1571 ⋅ 10 4
Il calcolo del coefficiente di mutua induttanza tra le due bobine può essere calcolato immaginando
d’inviare nella prima bobina una corrente I 1 e calcolando quindi il flusso che si concatena con la
100
bobina 3; con quest’ipotesi, il flusso prodotto dalle N 1 I 1 e circolante nel ramo 1 del circuito
magnetico risulta:
N I
Φ1 = 1 1
ℜe
Questo flusso si suddividerà tra la colonna centrale e la colonna 3 in parti inversamente proporzionale
alle loro riluttanze; quindi il flusso nella colonna 3 risulterà essere:
ℜC
ℜC
N1I1
Φ 3 =Φ1
=
⋅
ℜC +ℜ3
ℜe ℜC +ℜe
Il flusso concatenato con la bobina 3 sarà:
ℜC
N I
Φ Conc .3 = N 3 ⋅ Φ 3 = N 3 ⋅ 1 1 ⋅
ℜe ℜC +ℜe
La mutua induttanza tra le bobine 1 e 3 vale:
Φ Conc .3 N 1 N 3
ℜC
125 ,91 ⋅ 10 4
500 ⋅ 400
M =
=
⋅
=
⋅
= 2 ,374 H
I1
ℜe
ℜ C + ℜ 3 8 ,1571 ⋅ 10 4 125 ,91 ⋅ 10 4 + 4 ,1446 ⋅ 10 4
Il coefficiente d’accoppiamento è:
2 ,374
M
k=
=
= 0 ,968
L1 L 3
3 ,065 ⋅ 1 ,961
Risulta d’immediata comprensione che ogni riduzione dello spessore del traferro determina
una riduzione della riluttanza della colonna centrale e un conseguente aumento del flusso che la
attraversa; poiché tale flusso risulta essere un flusso disperso ai fini dell’accoppiamento tra le due
bobine, la conseguenza della riduzione del traferro è una diminuzione dell’accoppiamento e quindi
della mutua induttanza.- Di contro una riduzione della riluttanza della colonna centrale determina una
diminuzione della riluttanza equivalente e quindi un aumento delle induttanze delle due bobine.Per valutare quantitativamente tali effetti basta ripetere i calcoli fatti, per diversi valori dello
spessore del traferro e riportare i risultati ottenuti in un grafico come risulta in figura.5,0
4,5
4,0
3,5
L 1 (H)
3,0
M (H)
2,5
2,0
L (H)
3
1,5
1,0
k
0,5
d(m)
d(
0,0
0
0,002
0,004
0,006
0,008
101
0,01
0,012
0,014
Problema 3.25
Una bobina rettangolare di sezione (6 x 15)cm2, costituita da 200 spire concentrate di filo
sottilissimo, è animata da un moto di rivoluzione attorno al suo asse maggiore con la velocità
angolare di 60 rad
sec .- La bobina è disposta con il suo asse maggiore parallelo ad un conduttore
rettilineo indefinito distante da esso 4 cm e percorso dalla corrente di 150 A.Qual’è la f. e. m. indotta ad ogni istante nella bobina?
Il campo generato dalla corrente I in un punto distante x
dal conduttore vale:
I
H=
2π ⋅ x
Tale campo e la relativa induzione B risultano, nell’istante in cui
il piano della bobina contiene anche il conduttore, normali alla
bobina stessa:
I
B = µo
2π ⋅ x
Il flusso tagliato dalla superficie dS = a ⋅ dx risulta:
I
dΦ x = B ⋅ dS = µ o
a ⋅ dx
2π ⋅ x
Il flusso totale tagliato dalla spira nell’istante considerato è:
d +b 2
d +b
0 ,15 ⋅ 150
I
a⋅I
4+3
2
Φ = ∫ µ0
a ⋅ dx =µ o
⋅ ln
= 4 π ⋅ 10 −7
⋅ ln
= 8 ,756 ⋅ 10 −6 Wb
b
2π ⋅ x
2π
2π
4−3
d−
d −b
2
2
Il flusso massimo concatenato con la bobina risulta:
Φ CMax = N ⋅ Φ = 200 ⋅ 8 , 756 ⋅ 10 −6 = 1 , 751 ⋅ 10 −3 Wb
Il flusso istantaneo concatenato con la bobina, quando questa ruota con velocità angolare ω attorno il
suo asse maggiore, è:
ϕ C = Φ CMax cos ω t = 1 , 751 ⋅ 10 −3 cos 60 t
La forza elettro motrice indotta ad ogni istante nella bobina sarà:
dϕ C
= 1 ,751 ⋅ 10 − 3 ⋅ 60 ⋅ sen 60 t = 0 ,10506 ⋅ sen 60 t
e=−
dt
102