dalle interferenze alle implicazioni filosofiche della fisica quantistica

dalle interferenze alle
implicazioni filosofiche
della fisica quantistica
Lavoro di Maturità
Autore
Professore responsabile
Lidia
Christian
Stocker
Ferrari
Liceo Cantonale di Locarno, 2014-2015
Immagine di copertina: Lidia Stocker
spiegazione molto grossolana dei fenomeni d'interferenza e libera interpretazione di alcune
citazioni dei padri della sica quantistica
If quantum mechanics hasn't profoundly shocked you, you haven't understood it yet.
Richard Feynman If you think you understand quantum mechanics, you don't understand quantum mechanics.
Erwin Schrödinger I don't like it, and I'm sorry I ever had anything to do with it.
Niels Bohr
If you think you understand
quantum mechanics, you don't
understand quantum mechanics.
Richard Feynman
Ringraziamenti
Nelle prime lezioni, durante le quali il nostro professore introdusse me ed alcuni compagni
alla sica quantistica tramite la descrizione dei sistemi a due livelli mi chiesi più volte se
mi trovavo al posto giusto. I concetti apparivano troppo astratti, non riuscivo a costruire
una mind map che collegasse tra loro gli argomenti trattati e più rileggevo gli appunti
presi in classe più mi sembrava di non aver capito nulla. Fortunatamente capitai per caso
sulla citazione di R. Feynman If you think you understand quantum mechanics, you don't
understand quantum mechanics.. Mi consolai; non ero l'unica e probabilmente non era
nemmeno così grave. Questo aforisma suscitò inoltre in me molta curiosità: una teoria
quantistica che non potesse essere capita mi sembrò qualcosa di estremamente aascinante.
Da ormai un paio di anni coltivavo il desiderio di avvicinarmi alla sica quantistica, in particolare perché trovavo molto interessante il suo approccio in collegamento con la losoa.
Mai avrei però pensato che mi fosse data la possibilità di approfondire l'abbinamento,
oltre allo studio e all'analisi di alcuni esperimenti di interferometria quantistica, nel mio
lavoro di maturità. A questo proposito i miei ringraziamenti vanno al professore Christian
Ferrari, che, con grande impegno, mi ha seguita durante l'intero percorso. Il lavoro di
maturità mi ha permesso di farmi un'idea di cos'è la sica quantistica e comprendere in
che modo questa branca abbia sconvolto il mondo della scienza. Ciò non sarebbe stato
possibile senza le sue riessioni, le sue correzioni e i suoi suggerimenti.
v
Prefazione
Verso la ne del XIX secolo i sici iniziarono ad osservare dei fenomeni, in alcuni esperimenti eettuati con particelle particolarmente piccole, in contraddizione con la sica
classica. Si dovette però aspettare alcuni decenni, prima che venne formulata una nuova
teoria scientica che accettasse questi risultati, la sica quantistica, e ancora oggi vengono
eettuate numerosissime ricerche in questo ambito.
Lo scopo di questo lavoro è di analizzare in particolare i fenomeni d'interferenza quantistica; tra i meno compresi e più controintuitivi, e di discuterne le implicazioni losoche
che la loro scoperta ha scaturito nella visione e interpretazione della Natura.
In questo lavoro vengono presentati gli esperimenti più conosciuti in cui si osservano
delle interferenze quantistiche: l'interferometro di Mach-Zehnder quantistico, le interferenze a singola e doppia fenditura e l'interferometro di Franson, sia dal lato descrittivo
(descrizione delle condizioni sperimentali e dei risultati) che da quello matematico (calcolo degli esperimenti d'interferometria analizzando l'evoluzione dello stato della/e particella/e). In ogni esperimento studiato vengono successivamente discussi i risultati e le
varie possibili interpretazioni. Per permettere ciò si introducono, là dove è necessario,
concetti e principi inerenti principalmente la sica quantistica in modo da rendere l'intero lavoro il più possibile completo e comprensibile. A questo scopo nel primo capitolo
vengono introdotte le basi della sica quantistica. Nei capitoli 2, 3 e 4 vengono presentati alcuni esperimenti in cui si osservano dei fenomeni d'interferenza quantistica. Nel
capitolo 5 si riprendono alcuni elementi dei capitoli precedenti per discutere più approfonditamente il meccanismo which-way e il suo ruolo nella scomparsa delle interferenze.
In conclusione al lavoro, nel capitolo 6, vengono presentate le implicazioni dal punto di
vista losoco dell'osservazione dei fenomeni d'interferenza e dell'assunzione di una teoria
in grado di spiegarle, in particolare quella attualmente assunta dal mondo scientico: la
sica quantistica.
vii
Abstract
Lo scopo di questo lavoro è dapprima di discutere i fenomeni d'interferenza quantistica
per sottolineare la loro controintuività e il loro contrasto con la teoria classica, per poi
analizzare le implicazioni losoche che la loro scoperta ha scaturito nella visione e nell'interpretazione della Natura.
In particolari condizioni sperimentali le particelle non obbediscono alle leggi della sica
classica, ma manifestano dei fenomeni chiamati eetti d'interferenza. Questo avviene però
unicamente se, secondo il principio d'indiscernabilità, i percorsi intrapresi dalle particelle
sono indistinguibili tra loro; se l'osservatore è in grado di determinare il percorso intrapreso dalle singole particelle i fenomeni d'interferenza scompaiono in maniera del tutto
inspiegabile. L'osservatore ha quindi la libertà di scegliere se osservare i fenomeni d'interferenza o meno semplicemente introducendo o rimuovendo l'apparecchio in grado di
rilevare le particelle lungo il percorso dell'esperimento. Questo vale però solo per dei risultati complessivi; in sica quantistica la misura non è deterministica, bensì probabilistica.
Non è possibile prevedere il risultato di ogni singolo evento prima che esso si verichi,
ma si possono determinare statisticamente i risultati che si osservano dopo un numero
sucientemente elevato di misure.
In seguito a queste prime conclusioni è stato analizzato in dettaglio il fenomeno della
scomparsa delle interferenze causato dalla rilevazione delle particelle lungo il percorso
grazie al meccanismo which-way. Viene provato sia dal lato qualitativo che da quello matematico che la contraddittorietà di questi risultati è solo apparente. Sperimentalmente
si verica che non è la presenza dell'apparecchio di rilevazione a ostacolare il cammino
delle particelle e a alterare così i risultati. La presenza dell'apparecchio rilevatore provoca
una modica dello stato quantistico delle particelle. Determinando infatti la direzione intrapresa da esse lo stato di sovrapposizione lineare acquisito dopo il passaggio nel primo
specchio semitrasparente (beam-splitter) scompare; lo stato nale della particella risulterà dunque dierente e di conseguenza anche le probabilità di rilevazione, causando la
perdita dei fenomeni d'interferenza.
Se è stato trovato il motivo per cui le interferenze scompaiono, non è ancora chiaro perché e come appaiono. Le teorie formulate allo scopo di spiegare questo elemento sono
suddivisibili in due grandi categorie: quelle che assumono la decisione al beam-splitter, e
dovono assere accompagnate da almeno un'altra ipotesi per giusticare che la modica
di un solo percorso causi l'alterazione del comportamento di tutte le particelle, e quelle
che assumono la decisione alla rilevazione, che implicano la non-località e sono base della sica quantistica. Le teorie con decisione al beam-splitter sono state in maggioranza
riutate perché confutate o sperimentalmente o perché deboli e poco plausibili, la velocità limite dello scambio di informazioni è considerato tutt'ora un principio inviolabile
e la conservazione d'energia è stata provata sperimentalmente. È pure stato provato che
ix
x
la non-località, se assunta, può essere vericata sperimentalmente. La teoria quantistica,
anche dai risultati degli esperimenti più recenti, risulta quindi essere esatta.
Assumendo la decisione alla rilevazione si accetta che la misura di ogni evento non è
completamente determinata dal passato. Il determinismo è in forte contrasto con la sica
quantistica ed è pure stato confutato sperimentalmente, se assunto come assioma. La sica
quantistica determina i risultati di un numero elevato di esperimenti, ma non è in grado
di determinare la misura di ogni singolo evento, si crede che essa sia dovuta in parte alla
casualità.
La teoria quantistica rivoluziona quindi il pensiero scientico, in particolare le neuroscienze: i processi nel nostro cervello, e non solo, sarebbero solo parzialmente determinati dal
passato. La sica quantistica difende una parziale libertà individuale e il libero arbitrio.
Indice
Ringraziamenti
v
Prefazione
vii
Abstract
1
2
Sistemi a due livelli in sica quantistica
1
1.1
Stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Osservabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Probabilità
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Interferenza a una particella: l'interferometro di Mach-Zehnder
5
2.1
Esperimenti a una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Conclusioni e prime constatazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
3
4
ix
Calcolo dell'esperimento dell'interferometro di Mach-Zehnder . . . . . . . .
10
2.3.1
Formalismo di Dirac
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.2
Formalismo vettoriale esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Interferenza a una particella: singola e doppia fenditura
15
3.1
Esperimenti
15
3.2
Interferenze quantistiche: origine classica?
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3
Tentativi di spiegazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correlazioni a due particelle
21
4.1
Interferometro di Franson
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Conclusioni e prime constatazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3.1
Stati fattorizzati
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3.2
Stati intrecciati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4
Calcolo degli esperimenti con correlazioni a due particelle . . . . . . . . . .
26
4.5
Breve storia delle correlazioni quantistiche
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.6
Teorema di Bell e correlazioni alla sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.6.1
Correlazione alla sorgente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.6.2
Esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.6.3
Teoria delle variabili nascoste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.6.4
Calcoli relativi all'esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.6.5
Enunciato del teorema di Bell
32
xi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
Indice
4.7
5
Teoria quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.6.7
Principio d'indiscernabilità per due particelle . . . . . . . . . . . . .
33
Teorie non quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Un meccanismo which-way
35
5.1
Il caso dell'interferometro di Mach-Zehnder: analisi descrittiva
. . . . . . .
35
5.2
Interferometro a doppia fenditura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.3
Entanglement e `which-way
38
5.4
6
4.6.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Meccanismo di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.4.1
Esperimento interferometro di Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . .
40
5.4.2
Conclusioni e constatazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Filosoa quantistica
43
6.1
44
6.2
6.3
Principi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Decisione al
BS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2.1
Decisione al
o alla rilevazione?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2.2
Decisione alla rilevazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.2.3
Gedanken-Experiment di Einstein
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2.4
Esperimento senza scorciatoia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2.5
Conclusioni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Teorie alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
BS
BS
6.3.1
Teorie con decisione al
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.3.2
Teorie con decisione alla rilevazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.3.3
Confronto
56
BS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Decisione al
o alla rilevazione: sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.5
Casualità quantistica e libero arbitrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.5.1
Determinismo e libero arbitrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.5.2
Cosa determina la sica quantistica?
. . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.5.3
Coscienza umana e libero arbitrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.5.4
Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Riessioni conclusive
63
Bibliograa
67
Elenco delle gure e fonti
69
Capitolo 1
Sistemi a due livelli in sica quantistica
Lo scopo di questo capitolo è quello di introdurre le basi matematiche della sica quantistica concentrandosi sullo studio del sistema più semplice, detto sistema a due livelli. È
infatti possibile osservare e reperire alcuni dei concetti fondamentali della sica quantistica studiando questi sistemi. A questo scopo è necessario introdurre un nuovo principio:
il principio di sovrapposizione. Nella descrizione quantistica infatti, dierentemente dal
caso classico, lo stato di un sistema può essere descritto come una combinazione lineare
di due stati di base.
1.1
Stati
Un sistema a due livelli classico corrisponde a un sistema con una proprietà caratteristica
che può assumere due dierenti stati, notati 0 e 1.
Considerando invece un sistema a due livelli nel caso quantistico, dove notiamo i due
dierenti stati
1
|0i =
0
0
|1i =
1
e
compare una nuova caratteristica: è possibile avere una sovrapposizione dei due stati base
|0i
e
|1i.
Matematicamente la possibilità di avere delle sovrapposizioni di stati implica la struttura di spazio vettoriale del suo insieme. La sovrapposizione è descritta da un vettore con
2
coecienti complessi appartenente allo spazio vettoriale C . Uno stato generale è dunque
notato:
Essendo
α
|ψi = α |0i + β |1i =
.
β
C2
uno spazio vettoriale segue la possibilità, data una coppia di vettori
di denire il prodotto scalare standard
hϕ | ψi =
2
X
i=1
dove
ϕ̄i
è il complesso coiugato di
ϕi .
1
ϕ̄i ψi
|ϕi e |ψi,
2
Capitolo 1. Sistemi a due livelli in sica quantistica
Uno spazio vettoriale
H
di dimensione nita e in cui è denito un prodotto scalare è
chiamato spazio di Hilbert.
Come detto in precedenza, ogni stato può essere rappresentato come una combinazione
lineare di due stati che formano una base. Se
possibile esprimere un qualsiasi stato
|ψi
B = {|ψ1 i , |ψ2 i}
è una base di
H,
è dunque
come una combinazione lineare dei due stati
base
|ψi = α |ψ1 i + β |ψ2 i .
1.2
Osservabili
Le grandezze siche (osservabili) di un sistema quantistico sono codicabili attraverso
degli apparecchi di misura che separano il sistema in stati ortogonali e ad ognuno di essi
associano un numero reale.
Dato
a
|ψi i =
b
il proiettore su
P|ψi i
|ψi i
si ottiene come
2
a
|a| ab̄
ā b̄ =
= |ψi i hψi | =
.
b
āb |b|2
Le osservabili si costruiscono con l'utilizzo dei proiettori
A = λ1 P|ψ1 i + λ2 P|ψ2 i
La matrice aggiunta
che
A
1.3
è
A∗
è denita da
A∗ = Āt
e, poiché per le osservabili,
A∗ = A
si dice
autoaggiunta.
Probabilità
In sica classica il risultato di una misura preesiste a essa, quindi la misura non fa altro che
rilevare una proprietà del sistema che già esiste. In sica quantistica, invece, il risultato
non preesiste, ed è possibile stabilirlo solo in modo probabilistico. Più precisamente, dato
uno stato prima della misura dell'osservabile
A è possibile determinare con che probabilità
si osserverà uno dei due valori di quest'ultima.
La probabilità con cui, per un sistema nello stato
A = λ1 |ψ1 ihψ1 | + λ2 |ψ2 ihψ2 |
seguente (i = 1, 2)
misura dell'osservabile
calcola nel modo
|ψi = α1 |ψ1 i + α2 |ψ2 i dato, nella
λ1 rispettivamente λ2 , si
si osserva
Prob|ψi (A = λi ) = kP|ψi i |ψi k2 = | hψi |ψi |2 = |αi |2
Questa formula si chiama
regola di Born.
Il comportamento aleatorio di una singola
misurazione è una caratteristica intrinseca della sica quantistica.
λi , lo
|ψi i associato a λi . Questo fenomeno è chiamato principio
È inoltre da notare il fatto che, dopo una misura in cui si è osservato il valore
stato sarà descritto dal vettore
1.4. Evoluzione temporale
3
di riduzione dello stato.
Nei casi che tratteremo in questo lavoro saremo confrontati con un caso semplice di
osservabile associata ad un rilevatore, al quale associamo il valore 1 se esso si attiva (rileva
una particella) oppure 0 se non si attiva. Questa osservabile sarà quindi
A = 1 · P|ψ1 i + 0 · P|ψ2 i
dove
|ψ1 i
e
|ψ2 i
sono i due stati ortogonali associati ai due risultati.
La probabilità che il rilevatore
D
si attiva è allora data da
Prob(D) ≡ Prob(ψ1 ) = | hψ1 |ψi |2 = |α1 |2 .
Questa probabilità è anche chiamata probabilità di transizione dallo stato
|ψi
allo stato
|ψ1 i.
1.4
Evoluzione temporale
Gli stati quantistici possono essere rappresentati nella sfera di Bloch, una sfera in
raggio 1. In questa rappresentazione due stati ortogonali sono antiparalleli.
Figura 1.1: Sfera di Bloch.
In questo caso dato
possiamo scrivere
|ψi = α |0i + β |1i,
|α|2 + |β|2 = 1 α, β ∈ C
con
ϕ
θ
|α| = cos , α = |α|e−i 2
2
e
ϕ
θ
|β| = sin , β = |β|ei 2 .
2
Quindi uno stato generale è dato da

|ψi = 
ϕ
cos 2θ e−i 2
sin
θ iϕ
e2
2

 ∈ C2
R3
di
4
Capitolo 1. Sistemi a due livelli in sica quantistica
ed esso è rappresentato in
R3
tramite le coordinate sferiche, dal vettore
~h


sin θ cos ϕ
~h =  sin θ sin ϕ  ∈ S,
cos θ
dove
S
R3 .
è la sfera unitaria in
Abbiamo detto che uno stato quantistico può essere rappresentato nella sfera
S
in
R3 .
Dunque facendo variare lo stato varia anche il vettore sulla sfera, e cambiando il vettore
sulla sfera cambia anche lo stato quantistico.
Sia
~σ
S
R3
~n di angolo δ viene notata
R~n,δ . Ad essa è associata una matrice di rotazione in C data da una matrice U come segue.
Una rotazione del vettore nella sfera
in
attorno al vettore
il vettore matrice
 
σ1

~σ = σ2 
σ3
σ1 =
con
0 1
1 0
,
0 −i
1 0
σ2 =
, σ3 =
.
i 0
0 −1
La matrice cercata è data da:
δ
δ
δ
U (~n, δ) = exp(i~n · ~σ ) = cos I2 + i sin ~n · ~σ =
2
2
2
cos 2δ
0
0
cos 2δ
δ
+ i sin ~n · ~σ
2
dove
~n·~σ = n1 σ1 +n2 σ2 +n3 σ3 =
0 n1
0 −in2
n3
0
n3
n1 − in2
+
+
=
.
n1 0
in2
0
0 −n3
n1 + in2
−n3
L'evoluzione temporale di uno stato quantistico è quindi descritta da una matrice unitaria
U , ossia con U che soddisfa U ∗ = U −1 .
Capitolo 2
Interferenza a una particella:
l'interferometro di Mach-Zehnder
2.1
Esperimenti a una particella
Figura 2.1: Le particelle vengono inviate singolarmente in uno specchio
semitrasparente dove possono essere
trasmesse
o
riesse.
Inviando delle particelle in un apparecchio formato da un beam-splitter (BS ) osserviamo che alcune di esse vengono rilevate in
D1 ,
le altre in
D2
e che i rilevatori non
le particelle non
vengono divise o spezzate ma semplicemente trasmesse (D1 ) o riesse (D2 ).
si attivano mai contemporaneamente. Si può dunque concludere che
Si nota inoltre che, dopo aver inviato un numero di notevole grandezza, la metà delle
particelle viene rilevata in
D1
e l'altra metà in
D2 .
La probabilità che una particella viene trasmessa (o riessa) è dunque del 50%.
5
6
Capitolo 2. Interferenza a una particella: l'interferometro di Mach-Zehnder
Con questo esperimento si dimostra che una particella può essere trasmessa o riessa, ma non è possibile determinare se questo comportamento è casuale o è dovuto a
un'informazione che possiede la particella singola.
Figura 2.2: L'esperimento viene ripetuto aggiungendo una seconda parte
all'interferometro.
A questo scopo eettuiamo un secondo esperimento; al posto dei rilevatori
D1
e
D2
vengono posti due beam-splitter (vedi gua 2.2). Anche in questo caso vengono inviate delle particelle nell'interferometro e vengono osservati i risultati:
rilevato il 25% delle particelle.
in ogni rilevatore viene
Una particella che viene trasmessa nel primo beam-
splitter può dunque essere a sua volta trasmessa o riessa nel secondo e una particella che
viene riessa nel primo beam-splitter può anch'essa essere trasmessa o riessa nel secondo.
Da questo esperimento si conclude che le particelle non possiedono delle caratteristiche che determinano il loro comportamento, ma che esse vengono
trasmesse o riesse per principio di casualità.
Concentriamoci ora sull'interferometro di Mach-Zehnder (gura 2.3).
Prima di eettuare l'esperimento analizziamo la situazione; abbiamo visto che una
particella, se inviata su uno specchio semitrasparente, viene o trasmessa o riessa con una
Per ipotesi dunque la metà delle particelle iniziali dovrebbe
trovarsi nel rilevatore D1 e l'altra metà in D2 . Infatti, dopo il passaggio nel priprobabilità del 50%.
mo beam-splitter, la metà delle particelle inviate verrà trasmessa e si troverà quindi nel
percorso
B
e con il secondo beam-splitter questa metà verrà nuovamente divisa. Vi sarà
dunque il 25% delle particelle totali nel rilevatore
D1
e l'altro 25% in
D2 . Contemporanea-
mente però anche l'altra metà delle particelle, ossia quelle riesse al primo beam-splitter
incontrano il secondo e vengono nuovamente divise in due parti. Anche in questo caso la
2.1. Esperimenti a una particella
7
Figura 2.3: Interferometro di Mach-Zehnder.
metà di queste particelle, ovvero il 25% del totale sarà rilevato in
D1
e l'altro 25% in
D2 .
In ogni rilevatore, sempre secondo la nostra ipotesi, il numero di particelle
rilevato dovrebbe dunque corrisponde al 50% del totale.
I risultati si rivelano però inaspettati:
levatore D1 .
tutte le particelle vengono rilevate nel ri-
Ciò signica che ogni particella ha seguito il percorso TR o RT (trasmessa-
riessa o riessa-trasmessa) e nessuna è stata riessa (o trasmessa) per due volte consecutive.
La prova sperimentale è contraria alle aspettative. Chiamiamo questi risultati
eetti d'interferenza .
singolarmente nell'interferometro
e non vi sono dunque interazioni tra di esse; il risultato osservato non può essere
dovuto a una sorta di comportamento collettivo instaurato tra le particelle.
Bisogna ricordare che le particelle vengono inviate
Dato che non siamo in grado di fornire una spiegazione al fenomeno procediamo con il prossimo esperimento.
Modicando la lunghezza di un singolo percorso (gura 2.4) si osservano nuovi
risultati.
Maggiore è la variazione di lunghezza, maggiore è il numero di particelle rilevate dal
rilevatore
D2 .
Nel caso in cui la variazione applicata è pari alla lunghezza originale
tratto il 100% delle particelle viene rilevato in
delle particelle viene nuovamente rilevato in
D2 ,
se la variazione è pari a
2`
`
del
il 100%
D1 .
A questo punto sorgono parecchie perplessità: per quale motivo le particelle non ma-
8
Capitolo 2. Interferenza a una particella: l'interferometro di Mach-Zehnder
Figura 2.4: Interferometro di Mach-Zehnder con variazione di lunghezza.
perché, con la modica di un
solo percorso, tutte le particelle alterano il proprio comportamento ?
nifestano il comportamento previsto? Ma, soprattutto,
In risposta alla prima domanda si potrebbe ipotizzare che l'inspiegabilità del risultato
potrebbe semplicemente essere dovuta a una mancanza di conoscenze: forse il mondo della
scienza non è in possesso di tutte le informazioni necessarie per stabilire il comportamento
delle particelle, l'ipotesi, sebbene non soddisfa la curiosità dell'osservatore, può sembrare
plausibile.
Spiegare perché tutte le particelle, sia quelle riesse che quelle trasmesse, sono inuenzate dalla variazione di lunghezza, malgrado essa sia introdotta solamente lungo il
percorso
B
può essere fatto concludendo che tutte le particelle devono in un qualche modo
essere informate.
Le particelle dovrebbero conoscere la struttura di tutto l'interferometro.
Questo potrebbe avvenire nel caso in cui le particelle
possibili
prima di essere rilevate in
tratta, ossia che
D1
o
D2 ,
esplorassero tutti i percorsi
ma ciò è contrario alla prima conclusione
una particella può essere solamente trasmessa o riessa.
Con la
semplice trasmissione o riessione infatti ogni particella può percorrere o il cammino
il
B
prima di essere rilevata in
D1
o
A
o
D2 .
In assenza di una spiegazione si tenta un nuovo esperimento.
Questa volta, invece di modicare la lunghezza del percorso, viene introdotto un apparecchio in grado di rilevare la particella al momento che essa percorre il tratto in cui è
posto (vedi gura 2.5) sul percorso
B.
L'apparecchio rileva se la particella percorre il cammino in questione o no, infatti si
2.2. Conclusioni e prime constatazioni
9
Figura 2.5: Interferometro di Mach-Zehnder con un apparecchio rilevatore
lungo il percorso
B.
Nel caso in cui la particella intraprende questo percorso
l'apparecchio si accende. In questo modo si può determinare se la particella
è stata trasmessa o riessa al BS1.
attiva se lo attraversa. Con questo esperimento potrebbe essere possibile vericare se ogni
particella percorre eettivamente tutti i cammini possibili prima di essere rilevata da uno
dei due rilevatori, fenomeno che giusticherebbe i risultati controintuitivi dell'esperimento
appena svolto (gura 2.4).
I risultati lasciano nuovamente a bocca aperta: applicando un detettore lungo un percorso che permette di individuare la presenza delle particelle nel percorso
B
si osserva che
il 50% di esse viene rilevato in D1 e il restante 50% in D2 .
Nessun parametro (lunghezza dei percorsi, trasparenza dello specchio,
. . .) è stato mo-
dicato, ma malgrado ciò si osservano dei risultati molto dierenti!
Il solo fatto di rilevare il percorso intrapreso da ogni singola particella comporta la scomparsa dei fenomeni d'interferenza.
2.2
Conclusioni e prime constatazioni
I risultati di questi esperimenti, in particolare l'ultimo eettuato, permettono di trarre
alcune prime conclusioni, che comportano la possibilità di enunciare principi fondamentali
della sica quantistica.
•
Principio d'indiscernabilità: Gli eetti di interferenza vengono osservati nel caso
in cui le particelle hanno la possibilità di intraprendere percorsi diversi tra loro per
raggiungere uno stesso punto d'arrivo (uno stesso rilevatore) e questi percorsi sono
indistinguibili dopo l'invio della particella.
10
Capitolo 2. Interferenza a una particella: l'interferometro di Mach-Zehnder
Questo enunciato è perfettamente compatibile agli esperimenti considerati precedentemente, infatti nei primi due esperimenti vi è solo una possibilità per raggiungere ciascun rilevatore e non vi è dunque alcun eetto di interferenza, contrariamente all'interferometro
di Mach-Zehnder dove le particelle rilevate in
cammino
•
A
che
D1
o in
D2
possono aver intrapreso sia il
B.
Delocalizzazione: Le particelle non sono localizzate, non è possibile determinare la
loro traiettoria, sono potenzialmente delocalizzate nei vari percorsi che permettono
di raggiungere lo stesso rilevatore.
Con l'esperimento della gura 2.4 abbiamo concluso che le particelle devono essere in un
qualche modo informate sulla struttura dell'interferometro, ossia devono conoscere tutti
i percorsi possibili. Da questo segue che le particelle devono trovarsi in un qualche modo
in ognuno di essi, sono dunque delocalizzate.
•
Complementarità: (Niels Bohr, 1927) non è possibile conoscere più di un'informazione alla volta, le informazioni sono complementari tra loro.
Anche in questo caso l'enunciato è concorde a quanto osservato, infatti, sempre riguardo
all'interferometro di Mach-Zehnder, conoscendo l'eetto di interferenza non è possibile
stabilire il cammino della particelle, e nel caso in cui venga rilevata la traiettoria della
particella, l'eetto d'interferenza scompare. Le informazioni sono complementari, non se
ne può conoscere più di una contemporaneamente.
2.3
Calcolo dell'esperimento dell'interferometro di MachZehnder
Nella prima sezione di questo capitolo abbiamo osservato gli esperimenti d'interferometria
dal lato puramente descrittivo. Qui di seguito verranno invece applicate alcune nozioni
trattate nel capitolo 1 per permetterne l'analisi e l'approfondimento dal punto di vista
matematico.
2.3.1 Formalismo di Dirac
La descrizione matematica degli esperimenti considerati nella sezione 2.1 necessita l'introduzione di alcuni nuovi concetti:
1. Vi è la necessità di una notazione per descrivere il caso in cui la particella intraprende il cammino x. Notiamo il caso in cui la particella si propaga nella direzione x
con il formalismo per descrivere uno stato quantistico, ossia
|xi, e il caso y
con
|yi.
2. È inoltre necessario introdurre una descrizione degli specchi completamente riettenti e degli specchi semitrasparenti
(beam-splitter). L'operazione di uno specchio
generale è descritta da
|xi −→
√
√
t |xi + i r |yi
2.3. Calcolo dell'esperimento dell'interferometro di Mach-Zehnder
|yi −→
11
√
√
t |yi + i r |xi
.
dove t e r sono le probabilità di trasmissione e riessione dello specchio in considerazione (t
+ r = 1).
Uno specchio completamente riettente è descritto da:
|xi −→ i |yi
e
|yi −→ i |xi.
Il beam-splitter considerato nella sezione 2.1 è per ipotesi semitrasparente, dunque
t=r=
1
2
e la sua descrizione è data da:
1 |xi −→ √ |xi + i |yi
2
e
1 |yi −→ √ |yi + i |xi .
2
3. Queste notazioni sono applicabili nel caso in cui i due percorsi possibili hanno la
stessa lunghezza. Negli esperimenti eettuati in precedenza è però stato analizzato
anche il caso con percorsi di diverse lunghezze. È dunque necessario introdurre una
notazione che tenga conto di questa variazione di lunghezza, così da poter calcolare
l'esperimento anche in questo caso. La variazione di lunghezza ` viene convertita da
iϕ
un fattore di fase e , numero complesso di norma uguale a 1, con ϕ proporzionale
a
`,
sul vettore che, nel nostro caso rappresenta il percorso modicato. Nel nostro
caso
|xi → eiϕ |xi
dato che la variazione di lunghezza si trova lungo il percorso
per incontrarla deve essere trasmessa al
BS1
B , e dunque la particella
(vedi gura 2.4).
Nel caso in cui una particella intraprende il cammino x calcoliamo l'evoluzione
dello stato:
•
Per prima cosa la particella passa attraverso il primo beam-splitter
1 BS1 : √ |xi + i |yi .
2
•
Nel suo cammino incontra la dierenza di lunghezza di percorso
1 ` : √ eiϕ |xi + i |yi .
2
•
In seguito viene riessa dallo specchio completamente riettente
1 iϕ
S : √ e |yi − i |xi .
2
`
notata
ϕ
12
Capitolo 2. Interferenza a una particella: l'interferometro di Mach-Zehnder
•
Per nire passa per il secondo beam-splitter
i
1 h 1
1 BS2 : √ eiϕ √ |yi + i |xi − √ |xi + i |yi
2
2
2
ϕ
ϕ
i
ϕ
ϕ
1 h
=
− 1 − eiϕ |xi + − 1 + eiϕ i |yi = −ei 2 cos
|xi + ei 2 sin
|yi
2
2
2
dove abbiamo utilizzato
sin α =
eiα + e−iα
e−iα − eiα
, cos α =
2i
2
L'evoluzione dello stato di una particella nell'interferometro di Mach-Zehnder viene
descritta dunque da:
iϕ
2
|xi −→ −e
ϕ
ϕ
iϕ
2
cos
|xi + ie sin
|yi .
2
2
4. Deniamo inoltre la probabilità di rilevare la particella nel rilevatore
vatore
D1
o nel rile-
D2 , che è il modulo al quadrato del numero complesso che moltiplica |xi o |yi.
Abbiamo dunque:
h
ϕ i2
1
iϕ
2 ϕ
2
Prob(D1 ) = − e cos
= cos
= 1 + cos ϕ
2
2
2
ϕ i2
h ϕ
ϕ 1
Prob(D2 ) = ei 2 sin
= sin2
= 1 − cos ϕ .
2
2
2
2.3. Calcolo dell'esperimento dell'interferometro di Mach-Zehnder
13
Alcune osservazioni:
•
la somma delle probabilità è 1;
•
il valore della dierenza di cammino
in
D1
o in
D2
ϕ determina se troviamo tutte le particelle
o se troviamo una parte in uno di essi e l'altra parte nell'altro.
2.3.2 Formalismo vettoriale esplicito
È possibile ricalcolare lo stato nale tramite l'utilizzo di matrici che permettono di esprimere l'evoluzione temporale
Gli stati
|xi
e
|yi
U.
saranno descritti nella seguente forma:
1
0
|xi =
, |yi =
.
0
1
Uno specchio semitrasparente invece:
√
√ t i√ r
.
S(t) = √
i r
t
La dierenza di cammino in x:
iϕ e
0
D(ϕ) =
.
0 1
Il calcolo dell'interferometro di Mach-Zehnder implica l'applicazione successiva su
S( 1 ) , D(ϕ) , S(0)
2
e
|xi
di
S( 1 ) .
2
Avremo quindi
U = S( 1 ) S(0) D(ϕ) S( 1 )
2
2
1
=−
2
1 + eiϕ −i(1 − eiϕ )
.
i(1 − eiϕ )
1 + eiϕ
Coerentemente a quanto detto nella sezione 1.4, si verica che tutte queste matrici
U ∗ = U −1 .
sono unitarie: soddisfano la condizione
Inoltre la matrice
U , che rappresenta l'evoluzione temporale, è esprimibile nella forma
vista nella sezione 2.3.1, infatti
1
U =−
2
1 + eiϕ −i(1 − eiϕ )
i(1 − eiϕ )
1 + eiϕ
che corrisponde a una rotazione di angolo
= − cos
ϕ
ϕ
2
I2 + i sin
rispetto al vettore
ϕ
~n · ~σ
2
~n
sulla sfera di Bloch
(vedi sezione 1.4). La rotazione descritta da questa matrice, come abbiamo denito, è
3
2
dunque la rappresentazione in R dell'evoluzione dello stato in C che le corrisponde.
14
Capitolo 2. Interferenza a una particella: l'interferometro di Mach-Zehnder
U per lo stato iniziale |ψin i = |xi
1
1
1 + eiϕ −i(1 − eiϕ )
1
1 + eiϕ
|ψf in i =U |xi = −
=−
1 + eiϕ
0
2 i(1 − eiϕ )
2 i(1 − eiϕ )
ϕ
ϕ
1 iϕ
iϕ
iϕ
iϕ
2
2
|xi + e sin
|yi
= − e + 1 |xi − i 1 − e |yi = −e cos
2
2
2
Per calcolare lo stato nale si moltiplica la matrice
e si osserva lo stesso risultato della sezione 2.3.1.
Le probabilità di rilevazione si ottengono tramite il calcolo dei prodotti scalari come
denito nella sezione 1.3
2
1
1 1 + eiϕ
2
Prob(D1 ) = | hψf in |xi | = −
0 2 i(1 − eiϕ )
2
1
0 1 + eiϕ
2
Prob(D2 ) = | hψf in |yi | = −
1 2 i(1 − eiϕ )
e dopo alcuni passaggi si ottiene, analogamente ai risultati con il formalismo di Dirac
ϕ
ϕ 1
ϕ
Prob(D1 ) = | − e−i 2 cos
|2 = cos2
= 1 + cos ϕ
2
2
2
ϕ 1
ϕ
ϕ
|2 = sin2
= 1 − cos ϕ .
Prob(D2 ) = |e−i 2 sin
2
2
2
Conclusioni: Il formalismo di Dirac e il formalismo vettoriale esplicito sono equivalenti; l'evoluzione temporale di uno stato quantistico può essere calcolata usando uno di
questi due metodi.
Capitolo 3
Interferenza a una particella: singola e
doppia fenditura
L'interferometro di Mach-Zehnder considerato nella sezione 2.1 non è l'unico esperimento
a singola particella che ha sorpreso la comunità scientica perché si sono osservati dei
fenomeni d'interferenza quantistica; i casi d'interferenza a singola e doppia fenditura che
verranno trattati in questo capitolo ne sono un esempio.
Inviando un fascio di neutroni o elettroni su di un cristallo a singola (o doppia) fenditura si è osservato che le particelle non si comportano in maniera classica, ma che mostrano
delle gure d'interferenza simile a quelle dei raggi X. Si è concluso che i neutroni e gli elettroni hanno un
comportamento ondulatorio ,
tipico della luce, e che non manifestano
i comportamenti tipici della materia.
3.1
Esperimenti
Nell'esperimento vengono inviati dei neutroni, prodotti grazie alla ssione di atomi di
uranio 235 in un reattore nucleare, nell'interferometro (gura 3.1) a singola o a doppia
fenditura, dove, dopo essere passati attraverso la/le cavità vengono rilevati su una sorta
di schermo rilevatore
Per i neutroni vale:
S.
E cin = kB T , p =
√
2mkB T .
Utilizzando la formula della lunghezza d'onda di de Broglie
λ=
h
è possibile calcolare e
p
associare al neutrone una lunghezza d'onda:
λ= √
h
.
2mkB T
Rareddando i neutroni a 25 K la lunghezza d'onda risulta essere
15
λ ≈ 19Å.
16
Capitolo 3. Interferenza a una particella: singola e doppia fenditura
Figura 3.1: Schema dell'esperimento: i neutroni sono inviati sull'interferometro
I
((a) Esperienza di dirazione di neutroni,
d'interferenza di neutroni) e poi rilevati sullo schermo
S
(b)
esperienza
composto da
rilevatori.
Eettuando l'esperimento
fenditura con
a = 90 µm,
(a), inviando dunque il fascio di neutroni sul cristallo a singola
si osserva la seguente gura di dirazione:
Figura 3.2: Dirazione di neutroni da una singola fenditura, la linea continua
rappresenta il calcolo teorico.
Eettuando invece l'esperimento
(b),
a doppia fenditura dove
a = 22 µm
e
d = 104 µm
con eetti di dirazione, dà invece una gura d'interferenza:
Figura 3.3: Interferenza di neutroni da doppia fenditura, la linea continua
rappresenta il calcolo teorico.
3.2. Interferenze quantistiche: origine classica?
3.2
17
Interferenze quantistiche: origine classica?
Nell'introduzione di questo capitolo è stato detto che i neutroni manifestano un comportamento ondulatorio. Questo fatto è constatabile confrontando i risultati degli esperimenti
appena visti con le gure d'interferenza manifestate dalla luce negli esperimenti con interferometri dello stesso tipo. È possibile constatare che i neutroni manifestano gli stessi
comportamenti della luce.
Infatti, inviando un raggio di luce negli interferometri a singola e doppia fenditura si
osservano le gure d'interferenza seguenti (3.4 e 3.5), molto simili a quelle degli esperimenti con i fasci di neutroni (3.2 e 3.3):
Figura 3.4: Figura di dirazione di un raggio di luce in un interferometro a
singola fenditura.
Figura 3.5: Esempio di gura d'interferenza di un raggio di luce in un
interferometro a doppia fenditura (interferometro di Young).
Gli esperimenti eettuati con le particelle quantistiche e quelli eettuati con
dei raggi di luce danno gli stessi risultati.
Risultati analoghi non implicano però che le cause dei fenomeni siano le stesse.
18
Capitolo 3. Interferenza a una particella: singola e doppia fenditura
Nell'esperimento della gura 3.5 viene inviato un raggio di luce, mentre in quello
proposto nella sezione 3.1 delle singole particelle quantistiche (neutroni) vengono inviate
singolarmente nell'interferometro. Le procedure dei due esperimenti dunque non sono le
stesse. Nella tabella sottostante discutiamo le condizioni in cui viene eettuato ciascun
esperimento al ne di poter stabilire se l'origine delle gure d'interferenza osservate sia
comune.
Mondo microscopico (sica quantistica)
Mondo macroscopico (sica classica)
L'onda inviata nell'interferometro si divide
Viene
in due al momento che incontra la doppia
ta,
fenditura.
nell'interferometro.
Dopo
il
passaggio
attraverso
le
fenditure
l'onda si ricombina e interferisce.
le
inviata
particelle
una
si
particella
trovano
alla
vol-
singolarmente
La particella inviata singolarmente, dopo essere passata attraverso la fenditura, continua il suo percorso no a schiantarsi sullo
schermo
S
ed essere rilevata.
La linearità dell'equazione d'onda che com-
L'impatto delle particelle sullo schermo crea
porta il principio di sovrapposizione lineare
la gura d'interferenza.
è causa della gura d'interferenza.
La
gura
d'interferenza
si
osserva
in
un
istante preciso.
La gura d'interferenza si osserva al momento che l'esperimento è terminato (dopo un numero sucientemente grande di
rilevazioni).
Conclusione: l'origine dei fenomeni d'interferenza e di dirazione appena osservati
deve sicuramente essere dierente da quella dei fenomeni classici, sebbene dia gli stessi
risultati, dato che la loro natura, la loro origine, è completamente diversa.
3.3
Tentativi di spiegazione
Abbiamo concluso che l'origine dei fenomeni d'interferenza osservati negli esperimenti
trattati in questo capitolo non è sicuramente classica. Il comportamento delle particelle
ci appare dunque inspiegabile; sembra impossibile che due fenomeni così diversi tra loro
diano gli stessi risultati. La causa è da cercare altrove.
Nel tentativo di spiegare le interferenze osservate viene nuovamente eettuato l'esperimento
(b) a doppia fenditura introducendo un apparecchio in grado di rilevare le particelle
prima delle cavità. In questo modo è possibile stabilire quale fenditura imbocca ogni singola particella senza modicare la struttura dell'interferometro. Ci si aspetta dunque di
osservare gli stessi risultati dell'esperimento 3.5.
3.3. Tentativi di spiegazione
19
D
C1
S
C2
Laser
Figura 3.6: Congegno laser per determinare la traiettoria intrapresa dalla
particella nell'esperimento della gura 3.3.
Tuttavia i risultati dell'esperimento rilevano che, analogamente al caso in cui si deniva
la traiettoria intrapresa dalla particella nell'interferometro di Mach-Zehnder (gura 2.5),
dal momento in cui viene stabilita la fenditura imboccata dalla particella le
interferenza scompaiono.
Al fenomeno osservato non si riesce a dare spiegazione ed esso ci appare
completamente controintuitivo.
Capitolo 4
Correlazioni a due particelle
Nei capitoli 2 e 3 abbiamo considerato alcuni esperimenti nei quali una particella veniva
inviata singolarmente negli interferometri e non aveva dunque alcuna possibilità di interferire con altre particelle. Si è inoltre osservato che il comportamento di queste particelle
dipende da alcuni parametri modicabili (lunghezza dei percorsi,
. . .)
dell'interferometro.
Questo vale però esclusivamente a condizione che i cammini siano indistinguibili e che in
particolare la particella non possa essere rilevata durante il tragitto nell'interferometro,
in caso contrario infatti gli eetti d'interferenza si annullano, e le particelle manifestano
un comportamento classico, non sensibile a modiche di questo genere.
In questo capitolo ci occuperemo delle correlazioni a due particelle analizzando nuovamente un esperimento eseguito in laboratorio; quello dell'interferometro di Franson.
Analogamente al capitolo 2 verrà dapprima trattato l'argomento in maniera descrittiva,
per poi analizzare le implicazioni dei risultati osservati. Saranno inne eettuati i calcoli
relativi all'interferometro e verrà introdotta la diseguaglianza di Bell.
A questo proposito introduciamo il concetto di località, fondamentale per la comprensione
di alcuni punti.
Principio delle cause locali
Il
principio delle cause locali
si basa sull'ipotesi della località; che qualitativamente
aerma che oggetti distanti non possono avere inuenza istantanea l'uno sull'altro: un
oggetto è inuenzato direttamente solo dalle sue immediate vicinanze .[12]
Due eventi distanti non possono dunque inuenzarsi a vicenda se sono separati
da un intervallo di tipo spazio.
La possibilità di un'inuenza tra due eventi può essere vericata, calcolando l'intervallo
spazio-temporale tra di essi, come viene spesso eettuato nella teoria relativistica.
Siano
A
e
B
due osservatori posti a una distanza
cano agli istanti
t1 , t2
in
A
rispettivamente
B.
21
L.
Siano
E1 , E2
due eventi che si veri-
22
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
|t1 − t2 | < L/c l'evento E1 può
inuenzare E2 e viceversa. Invece nel caso in cui |t1 − t2 | > L/c non si può vericare alcun
Secondo il principio delle cause locali, nel caso in cui
tipo di inuenza.
4.1
Interferometro di Franson
Focalizziamo ora la nostra attenzione sull'interferometro di Franson
1
(gura 4.1).
Figura 4.1: Interferometro di Franson.
In questo esperimento vengono emesse contemporaneamente due particelle (una in
direzione di Alice e l'altra in direzione di Bob) che vengono inviate in un interferometro
costituito da due parti distinte con struttura simile all'interferometro di Mach-Zehnder.
Ciascuna di esse è formata da due specchi completamente riettenti e un beam-splitter.
Ogni particella può intraprendere due percorsi, che hanno lunghezza uguale e dunque sono
indistinguibili.
La direzione in cui vengono inviate le particelle è sconosciuta all'osservatore, ma la
sorgente è unicamente in grado di emettere le particelle entrambe nella direzione
trambe nella direzione
x
o en-
y.
La direzione intrapresa dalle particelle è sconosciuta all'osservatore e dunque
considerata indistinguibile.
Le interferenze quantistiche sono osservabili nel caso in cui vi sia indiscernabilità, ossia
nel caso in cui vi sono delle possibilità indistinguibili.
l'esperimento soddisfa questa condizione ; infatti se rileviamo una
particella in uno dei quattro rilevatori non possiamo stabilire quale sia stato il percorso che ha intrapreso e l'osservatore non è in grado di stabilire in quale direzione
In questo caso
1 In
questa
sezione
viene
studiata
una
versione
modicata
dell'esperimento
interferometro di Franson viene inteso l'esperimento da noi considerato.
originale.
Con
4.2. Conclusioni e prime constatazioni
23
sono state inviate le particelle.
Possiamo dunque sperare di osservare dei
Dato che gli specchi
BS1
e
BS2
fenomeni d'interferenza.
sono semitrasparenti le particelle inviate in essi ven-
gono nella metà delle volte trasmesse, e nell'altra metà riesse, come vericato nel primo
esperimento della sezione 2.1. Analogamente a quanto abbiamo ipotizzato in quel caso possiamo dunque dire che vi sono quattro possibilità di rilevazione:
X1 Y2 , X 1 X2 , Y 1 X2 , Y 1 Y2
e che ciascuna di essa abbia la probabilità del 25% di vericarsi.
Risultati
Inviando delle coppie di particelle nell'interferometro si osserva che sia Alice
che Bob rilevano il 50% di esse in
X
e il 50% in
Y.
Fin qui niente di strano, anzi, possiamo sottolineare che le particelle si comportano
non si osservano dei fe-
secondo quanto il nostro intuito ci porta a ipotizzare e che
nomeni di interferenza a una particella
come abbiamo visto nella sezione 2.1.
Tuttavia, analizzando l'interferometro nel suo complesso, i risultati sorprendono an-
due particelle appartenenti alla stessa coppia
vengono sempre rilevate in due rilevatori opposti, ossia una in X e l'altra in Y o
cora una volta lo sperimentatore:
viceversa. Vi sono dunque solamente due risultati possibili:
Stiamo osservando delle
X 1 Y2
o
Y1 X2 .
anticorrelazioni perfette .
Analogamente a quanto abbiamo eettuato nel caso dell'interferometro di MachZehnder introduciamo delle variabili per tentare di spiegare i risultati osservati; per cominciare introduciamo la variazione di fase
Scegliendo
α
α,
di misura piccola, nella parte di Alice.
in modo appropriato osserviamo dei risultati sorprendenti: in questo caso
le particelle sono sempre rilevate nei rilevatori corrispondenti,
vengono rilevate in
X
o entrambe in
ossia entrambe
Y.
β si manifesta lo stesso fenomeno. Vi sono
X1 X2 o Y1 Y2 .
Anche facendo variare in modo appropriato
pure in questo caso due risultati possibili:
Stiamo osservando delle
4.2
correlazioni perfette .
Conclusioni e prime constatazioni
Abbiamo visto che nel caso delle interferenze a due particelle una modica di lunghezza di
un solo percorso causa il passaggio dall'anticorrelazione perfetta alla correlazione perfetta.
È importante sottolineare che le correlazioni e le anticorrelazioni si osservano solo con
coppie di particelle, mentre
i risultati delle singole particelle non cambiano.
in entrambi i casi il 50% viene rilevato in
X
e l'altro 50% in
Y.
Infatti
24
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
Anché venga osservato il fenomeno d'interferenza sono dunque necessari
due osservatori posti ai due rispettivi rilevatori che siano in grado di comunicare tra loro.
Nelle interferenze a una particella la modica di un solo percorso altera il comportamento di tutte le particelle, ma negli esperimenti a due particelle i risultati sono ancora
la modica di un solo percorso che solo una delle due particelle
può intraprendere modica il comportamento di tutte le particelle.
più sorprendenti;
Anche in questo caso parecchie domande sorgono spontanee: come fa una particella a
sapere che la sua corrispondente intraprende un cammino della stessa lunghezza? Come
mai una variazione di lunghezza appropriata dà risultati opposti?
I seguenti assiomi sono stati proposti per fornire una spiegazione ai fenomeni osservati.
Tutti e tre sono attualmente assunti e accettati da numerosi membri della comunità scientica, ma risultano incompatibili tra loro.
1.
Il principio di indiscernabilità è corretto e completo ;
negli esperimenti a due
particelle siamo confrontati a una sua ulteriore conferma.
2. Vi è uno
scambio di informazioni tra le particelle,
ecco perché osserviamo le
correlazioni perfette e perché una variazione di lunghezza porta al passaggio alle
anticorrelazioni perfette.
3. Esiste una
velocità limite c
per la propagazione delle informazioni (Einstein).
Questi tre punti sono incompatibili, non possono essere assunti contemporaneamente, ma
quale di loro è lecito abbandonare? Quale di questi non è da assumere perché risulta falso?
Consideriamo le diverse possibilità:
•
Assumere gli enunciati 2. e 3. signica
nabilità è incompleto,
aermare che il principio di indiscer-
infatti non sarebbe suciente che vi siano delle possibilità
indistinguibili, ma bisognerebbe includere nella denizione che anché le interfe-
è necessario che i rilevatori siano posti a una distanza
non troppo grande in modo che non ci sia un intervallo di tipo spazio e che dunque
sia possibile la comunicazione tra le particelle.
renze abbiano luogo
Questa possibilità è però stata esclusa a seguito di alcuni esperimenti eettuati in cui si
è vericato che le correlazioni a due particelle hanno luogo (e vengono dunque osservate)
anche con rilevatori a grandi distanze.
•
Un'altra possibilità può essere quella di
limite,
escludere l'esistenza di una velocità
e aermare dunque che uno scambio di informazioni istantaneo sia possibile,
e origine delle correlazioni.
L'ipotesi non è ancora stata confutata sperimentalmente, ma rimane poco plausibile e poco
accettata dall'intera comunità scientica, in particolare perché è in contrasto con la teoria
della relatività ristretta.
4.3. Entanglement
•
25
escludere dunque che tra le particelle avvenga uno scambio di informazioni. Questo porta all'assunzione del principio di
Si può scartare l'enunciato 2. e
indiscernabilità, che in sostanza è la teoria quantistica.
Attualmente e tendenzialmente si considera valido l'ultimo punto qui proposto perché
l'unico che non è né in contrasto con degli esperimenti eettuati né con dei principi fondamentali della sica classica come la velocità limite. Assumendo il principio d'indiscernabilità si è però dovuto formulare la teoria della sica quantistica, dato che il principio
non risultava compatibile alla descrizione e alle leggi proposte allora dalla scienza.
Osservazioni: Negli esperimenti descritti lo stato delle particelle prodotte alla sorgente
è detto entangled (intrecciato), nome dovuto al fatto che le particelle producono delle
correlazioni perfette e devono dunque essere in un qualche modo appunto intrecciate per
manifestare questo comportamento.
4.3
Entanglement
Nell'interferometro di Franson (sezione 4.1) due particelle appartenenti alla stessa coppia
non sono indipendenti tra loro, ma manifestano dei comportamenti collettivi, ossia delle
anticorrelazioni o correlazioni a dipendenza dei parametri
α e β . Il comportamento di una
particella dipende da quello dall'altra e viceversa. In conclusione alla sezione precedente è stato introdotto il concetto di particelle intrecciate , o, dal termine inglese, entangled.
Per manifestare le anticorrelazioni o le correlazioni è infatti necessario che due
particelle appartenenti alla stessa coppia instaurino una sorta di interazione.
La modica dello stato di una di essa comporta una modica dello stato dell'altra, questo
è in sostanza
l'entanglement .2
4.3.1 Stati fattorizzati
Nel caso in cui due sistemi sono separati la variazione in uno di essi non provoca un
cambiamento nell'altro.
Siano Σ1 , Σ2 due sistemi che non interagiscono tra loro e descritti dagli spazi di Hilbert
H1 , H2 e siano |ψ1 i ∈ H1 e |ψ2 i ∈ H2 due stati che descrivono i sottosistemi del sistema
composto Σ = Σ1 ∪ Σ2
Ogni stato
|ψi ∈ H = H1 ⊗ H2
è uno stato fattorizzato del sistema, la sua forma è:
|ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i .
2 L'entanglement è un fenomeno della sica quantistica molto studiato e complesso. In questa sezione
è stato introdotto il concetto in maniera molto superciale per darne un'idea e non compromettere il
proseguimento del discorso.
26
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
4.3.2 Stati intrecciati
Vi sono però, come nel caso dell'interferometro di Franson, dei sottosistemi intrecciati
(entangled).
|ψi non è descrivibile come |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i, ma
due stati ortogonali |xi , |yi.
Nel caso degli stati intrecciati uno stato
tramite una combinazione lineare di
La forma più semplice per descrivere uno stato di questo tipo è:
1
1
|ψi = √ |xi1 ⊗ |xi2 + √ |yi1 ⊗ |yi2 .
2
2
Questo stato descrive una coppia di particelle che hanno la proprietà comune di essere
inviate entrambe nella stessa direzione (entrambe in
x
o entrambe in
y ).
Si osserva che è
uno stato di sovrapposizione e che il cammino intrapreso dalle particelle non è denito.
4.4
Calcolo degli esperimenti con correlazioni a due
particelle
Nel primo esperimento considerato abbiamo visto che le particelle formano delle correlazioni o anticorrelazioni perfette in relazione ai valori delle variazioni di fase
α, β .
Analogamente a quanto fatto nel capitolo precedente applichiamo il formalismo matematico agli esperimenti studiati in modo da calcolarli.
Lo stato delle particelle alla sorgente è uno stato intrecciato, dunque può essere descritto
dalla forma appena considerata:
1
1
|ψi = √ |xi1 ⊗ |xi2 + √ |yi1 ⊗ |yi2 .
2
2
Il resto del calcolo non è che una (doppia) ripetizione di quello analizzato nella sezione 2.3,
dato che la struttura dell'interferometro in cui è inviata ciascuna delle due particelle è
analoga all'interferometro di Mach-Zehnder.
L'evoluzione del termine
•
|xi1 ⊗ |xi2
durante il percorso è data da:
Prima dell'incontro con uno specchio completamente riettente, lungo il cammino
si trovano due fattori di fase (α e
β)
α, β : eiα |xi1 ⊗ eiβ |xi2 .
•
Successivamente le particelle vengono riesse da uno specchio
percorso
S : eiα i |yi1 ] ⊗ eiβ i |y2 i .
(S) posto sul rispettivo
4.4. Calcolo degli esperimenti con correlazioni a due particelle
•
27
Per nire vengono trasmesse o riesse dopo essere passate attraverso un
BS
i h
i
h
1 1 BS : ieiα √ |yi1 + i |xi1 ⊗ ieiβ √ |yi2 + i |xi2
2
2
1
= − ei(α+β) |yi1 ⊗ |yi2 − |xi1 ⊗ |xi2 + i |xi1 ⊗ |yi2 + i |yi1 ⊗ |xi2 .
2
Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la proprietà distributiva di tutti i prodotti, e, facendo
questo, sono stati raggruppati i quattro possibili vettori di stato, ora preceduti dai rispettivi
coecienti complessi.
|yi1 ⊗ |yi2 :
Con lo stesso procedimento calcoliamo l'evoluzione del termine
•
Le particelle incontrano per prima cosa uno specchio
(S)
completamente riettente
S : i |xi1 ⊗ i |xi2 .
•
Successivamente, prima di essere rilevate, un
BS
i h 1
i
h 1 √
√
BS : i
|xi1 + i |yi1 ⊗ i
|xi2 + i |yi2
2
2
1
= −
|xi1 ⊗ |xi2 − |yi1 ⊗ |yi2 + i |xi1 ⊗ |yi2 + |yi1 ⊗ |xi2
2
Osservazioni: Evidentemente, visto che il montaggio dell'interferometro è simmetrico,
|yi1 ⊗ |yi2 è analoga a quella di |xi1 ⊗ |xi2 , i termini x e y
tra loro e α e β non compaiono, dato che lungo i percorsi y non vi
α = β = 0.
l'evoluzione del termine
sono
però scambiati
sono
fattori di fase;
Abbiamo visto che lo stato
|ψi
è dato da:
1
1
|ψi = √ |xi1 ⊗ |xi2 + √ |yi1 ⊗ |yi2 .
2
2
1
Dunque la somma dei risultati ottenuti preceduta dal fattore √ dà l'evoluzione di
2
|ψi.
Si ha:
|ψi −→ |ψf i
i α+β
i α+β
1 e
−1
1 e
+1
|ψf i = √
|xi1 ⊗ |xi2 − |yi1 ⊗ |yi2 − √
|xi1 ⊗ |yi2 − |yi1 ⊗ |xi2 =
2
2
2
2
i θ2 h
i
ie
√
=
sin θ |xi1 ⊗ |xi2 − |yi1 ⊗ |yi2 ) + cos θ |xi1 ⊗ |yi2 + |yi1 ⊗ |xi2 .
2
dove, nell'ultimo passaggio, abbiamo posto
θ=
α+β
e utilizzato le forme complesse delle
2
funzioni trigonometriche
sin x =
eix − e−ix
eix + e−ix
, cos x =
.
2i
2
28
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
Passiamo ora a calcolare le probabilità di ciascun risultato di misura, sempre secondo le
notazioni utilizzate nel capitolo precedente 2.3.
Abbiamo:
Dunque
Prob(x, x) = kP|xi1 ⊗|xi2 |ψf i k2 = 21 sin2 θ =
1
4
Prob(y, y) = kP|yi1 ⊗|yi2 |ψf i k2 = 21 sin2 θ =
1
4
1 − cos (α + β) ;
Prob(x, y) = kP|xi1 ⊗|yi2 |ψf i k2 = 21 cos2 θ =
1
4
1 + cos (α + β)
Prob(y, x) = kP|yi1 ⊗|xi2 |ψf i k2 = 21 cos2 θ =
1
4
1 + cos (α + β)
Prob(x, x) = Prob(y, y)
e
1 − cos (α + β)
;
;
.
Prob(x, y) = Prob(y, x).
Alcune osservazioni:
•
Nel caso in cui non vi fossero fattori di fase, ossia
Prob(x, x) = Prob(y, y) = 0,
α = β = 0,
si ha
infatti, le particelle vengono sempre rilevate negli
apparecchi opposti, ossia una in
X
e l'altra in
Y
o viceversa. Come osservato negli
esperimenti a due particelle (vedi sezione 4.1) si manifestano delle anticorrelazioni
perfette, infatti l'assenza di una variazione di fase equivale a dire che i percorsi hanno
la stessa lunghezza.
•
π
le particelle vengono rilevate entrambe in X o entrambe in Y .
2
In questo caso si osservano le correlazioni perfette. Scegliere in modo appropriato la
Se invece
α+β =
variazione di fase (vedi sezione 4.1) signica dunque che la somma tra
π
equivalere a .
2
•
α
e
β
deve
β = 0 e variare solamente il paraα. I calcoli confermano i risultati osservati; infatti con la variazione di
È possibile, come visto nella sezione 4.1, ssare
metro di fase
un solo parametro la probabilità di misura di entrambe le particelle è modicata.
•
Il comportamento delle particelle osservato singolarmente è completamente indipendente dai fattori di fase
α
e
β,
infatti:
per l'osservatore di sinistra (Alice)
Prob(x) = Prob(x, y) + Prob(x, x) =
1
2
analogamente per quello di destra (Bob)
Prob(y) = Prob(y, x) + Prob(y, y) = 21 .
Dunque le particelle rispetto ai singoli osservatori vengono sempre rilevate nel 50%
dei casi in
X
e nel 50% dei casi in
Y
indipendentemente dal fatto che formino
delle correlazioni o anticorrelazioni con la particella corrispondente. Questo risultato
conferma inoltre l'assenza delle interferenze a singola particella.
4.5. Breve storia delle correlazioni quantistiche
4.5
29
Breve storia delle correlazioni quantistiche
Le correlazioni a due particelle sono un fenomeno che suscita molto interesse e intorno al
quale sono state fatte numerose ipotesi. Alcune di esse le abbiamo già viste nella sezione
appena considerata. Qui di seguito tratteremo invece brevemente due tra le principali
teorie proposte da esponenti di spicco della sica quantistica.
Tra di esse vi è il celeberrimo Paradosso EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) che analizza il problema delle correlazioni sulla base di precise ipotesi, assumendo tra le altre
cose correlazioni istantanee anche tra particelle distanti, e dimostra che la teoria quantistica, benché corretta, è incompleta. Si apre la possibilità di avere delle variabili nascoste
locali, che unitamente allo stato quantistico, descrivono in modo completo il sistema. Successivamente il Paradosso EPR fu riutato, in particolare con il teorema di Bell e gli
esperimenti di Aspect, che dimostrarono la sua incorrettezza.
Schrödinger propose invece una nuova nozione: quella della
non-separabilità,
con-
cetto ancora oggi molto importante per la teoria quantistica.
Non-separabilità: Due particelle quantistiche possono trovarsi in uno stato tale in cui
solo le proprietà della coppia sono denite.
Secondo la teoria due particelle che si trovano in uno stato di non-separabilità
non sarebbero dunque descrivibili separatamente, malgrado siano separate sicamente e l'esistenza di due corpi distinti permarrebbe.
È il caso delle particelle considerate nell'interferometro di Franson dove la proprietà
della coppia di particelle è ben denita, contrariamente alle proprietà delle singole particelle. La proprietà conosciuta della coppia è la direzione di propagazione. Sappiamo che
le particelle, dalla sorgente, vengono inviate nella stessa direzione; o entrambe in
trambe in
y,
x
o en-
ma non conosciamo quale delle due direzioni intraprende la coppia.
Fu Schrödinger a introdurre il termine entangled per descrivere gli stati intrecciati, visti
nella sezione 4.3.
4.6
Teorema di Bell e correlazioni alla sorgente
In precedenza abbiamo visto che uno scambio di segnali tra le due particelle appartenenti
alla stessa coppia pone dei problemi nei casi in cui tra i rilevatori ci sia una distanza
considerevole e vi è dunque una separazione di tipo spazio tra gli eventi alla rilevazione.
Infatti in questo caso le particelle non possono scambiarsi informazioni.
Ma allora com'è possibile che avvengano le correlazioni? Si può ipotizzare che, in
mancanza di altre spiegazioni,
le correlazioni siano stabilite alla sorgente,
ossia che
prima di essere inviata nell'interferometro ogni particella porti con sé l'informazione che
decide dove verrà rilevata: in
X
o in
Y.
30
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
Questo è in sostanza quanto aerma il celeberrimo Teorema di Bell, che stabilisce una
diseguaglianza su una data quantità
S
qualora l'ipotesi della correlazione alla sorgente
fosse vericata.
4.6.1 Correlazione alla sorgente
L'ipotesi della correlazione alla sorgente è fondata su due punti principali:
i) La particella, al momento che parte dalla sorgente, è già programmata
e porta con
sé l'informazione riguardante dove verrà rilevata.
ii)
Non vi è alcuno scambio di informazioni tra le particelle.
Al ne di vericare l'ipotesi viene eettuato un altro esperimento che può essere considerato come una generalizzazione di quello di Franson.
4.6.2 Esperimento
Per vericare la correttezza dell'ipotesi della correlazione alla sorgente viene eettuato
un esperimento in laboratorio (gura 4.2) che può essere considerato una semplicazione
dell'interferometro di Franson.
Figura 4.2: Schema dell'esperimento. Gli osservatori Alice e Bob possono
0
0
entrambi eseguire due esperimenti (α o
possibili risultati sono
+1
o
α
Alice,
β
o
β
Bob), di cui gli unici
−1.
La struttura dell'esperimento risulta piuttosto semplice: una sorgente è posta in mezzo
a due rilevatori dicotomici, ossia che possono dare uno e unico tra due possibili risultati.
Sia Alice che Bob possono modicare il proprio esperimento scegliendo tra due possibilità:
α e α0 per Alice, β e β 0 per Bob.
0
0
il risultato di Alice se imposta l'esperimento con la variante α, a con α .
0
0
Per Bob applichiamo la notazione analoga: b con β e b con β . Vi sono dunque quattro
0
0
0 0
possibili risultati di misura: (a, b), (a , b) (a, b ) (a , b ).
Notiamo
a
Ipotesi: le correlazioni sono stabilite alla sorgente.
Si assume dunque che ogni particella, al momento che lascia la sorgente, porti con sé
l'informazione relativa a come, in relazione alle variabili che incontra durante il percorso,
dovrà comportarsi.
4.6. Teorema di Bell e correlazioni alla sorgente
31
Notiamo:
λA = {a, a0 }
λA
e
λB
sono chiamate
λB = {b, b0 }
queste informazioni.
variabili nascoste .
4.6.3 Teoria delle variabili nascoste
Abbiamo visto che i risultati di molti esperimenti quantistici ci appaiono inspiegabili.
Secondo la teoria delle
descritto dal vettore
questo stato,
|ψi
variabili nascoste
|ψi ∈ H
ciò è dovuto al fatto che lo stato generale
non include tutte le informazioni e le variabili relative a
non corrisponde dunque allo stato di conoscenza massima.
Questo stato di conoscenza massima sarebbe invece descritto da
λ = {λA , λB }.
La teoria si basa sull'idea che la sica quantistica dia una descrizione incompleta della
Natura. Viene infatti introdotta una nuova notazione e un nuovo concetto di stato. La
variabile nascosta
λ spiegherebbe le correlazioni (o anticorrelazioni) osservate, assumendo
che abbiano origine alla sorgente.
A ogni coppia è associato un
λ
che determinerà il comportamento delle due particelle
a dipendenza del tipo di percorso che la particella incontrerà.
4.6.4 Calcoli relativi all'esperimento
Ammettendo che l'informazione sia data alla sorgente, consegue che questa determini il
risultato di ogni misura possibile, ossia con quale probabilità l'osservatore osserverà un
risultato piuttosto che l'altro.
Inoltre ogni particella possederebbe le informazioni necessarie per calcolare il numero
S,
che dipende da
λ:
S = (a + a0 )b + (a − a0 )b0 = ab + a0 b + ab0 − a0 b0 .
Dato che
α, α0 , β
e
β0
possono valere
+1
o
−1, S darà come unici risultati +2 o −2.
Per l'osservatore singolo (corrispondente a uno dei due rilevatori, Alice o Bob) risulta
però impossibile stabilire il valore esatto di questo numero, potendo osservare i risultati
0
0
solamente con α o α (o β o β nel caso di Bob).
È però possibile calcolare il valore medio
hSi
dopo aver eseguito un numero sucien-
temente elevato di misure:
hSi = habi + ha0 bi + hab0 i − ha0 b0 i.
Se l'ipotesi della correlazione alla sorgente risultasse corretta, allora il valore medio
hSi
sarebbe compreso nell'intervallo
hSi ∈ [−2; +2].
32
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
4.6.5 Enunciato del teorema di Bell
Abbiamo appena stabilito che se le correlazioni fossero stabilite alla sorgente, allora il
valore medio
hSi
sarebbe compreso nell'intervallo
−2 ≤ hSi ≤ 2.
Questo è in sostanza quanto aerma il
teorema di Bell .
Questo teorema non si basa
su alcuna ipotesi di carattere quantistico, ha dunque valenza generale e si basa sull'indipendenza nella scelta delle variabili nascoste
λA
e
λB
data dal principio delle cause
locali.
4.6.6 Teoria quantistica
Abbiamo detto che
il teorema di Bell non ha alcuna natura quantistica
tiamo le due teorie calcolando il valore di
hSi
. Confron-
secondo la teoria quantistica.
Abbiamo visto che la sica quantistica non può determinare i valori esatti di una misura, ma ne può determinare i valori medi. Anche in questo caso calcoliamo dunque
Per prima cosa calcoliamo il valore medio
habi,
valore che interviene in
hSi.
hSi:
habi = 1 · 1 Prob(a = +1; b = +1) + 1 · (−1) Prob(a = +1; b = −1)
+ (−1) · 1 Prob(a = −1; b = 1) + (−1) · (−1) Prob(a = −1; b = −1)
= Prob(a = b) − Prob(a 6= b).
Con i risultati della sezione 4.4 e quanto abbiamo appena trovato possiamo calcolare:
habi = Prob(a = b) − Prob(a 6= b) = Prob(X1 = 1; X2 = 1) + Prob(Y1 = 1; Y2 = 1)
− Prob(X1 = 1; Y2 = 1) − Prob(Y1 = 1; X2 = 1)
= − cos (α + β).
Scegliendo appropriatamente
α, α0 , β, β 0
possiamo trovare dei valori di
hSi
tali che
hSi 6∈ [−2; 2].
Per esempio, ponendo
α = 0, α0 = π2 , β = − π4 , β 0 =
π
, si ottiene
4
√
hSi = 2 2.
il teorema di Bell non è
compatibile con la sica quantistica, il calcolo infatti esclude le correlazioni
alla sorgente.
Possiamo concludere che l'ipotesi di partenza, e quindi
È stato pure vericato sperimentalmente il valore di
hSi
ed è stato trovato
hSi > 2.
L'ipotesi che le correlazioni sono stabilite alla sorgente è quindi da abbandonare.
4.7. Teorie non quantistiche
Figura 4.3: Valori di
33
α, α0 , β , β 0
per i quali
√
hSi = 2 2.
4.6.7 Principio d'indiscernabilità per due particelle
Grazie ai risultati dell'esperimento che ha riutato le ipotesi del teorema di Bell è possibile riformulare il principio d'indiscernabilità già visto nella sezione 2.2 rendendolo più
esaustivo e compatibile alle correlazioni a due particelle grazie a quanto discusso in questo
capitolo.
i)Le correlazioni non scompaiono se la distanza tra due particelle risulta molto grande
(se la rilevazione delle particelle è separata da un intervallo di tipo spaziale), dunque
non possono essere regolate da uno scambio di informazioni.
ii)
I risultati osservati sono in contrasto con le predizioni del teorema di Bell e quindi
lo annullano. Si può aermare che le correlazioni non sono decise alla sorgente.
4.7
Teorie non quantistiche
Malgrado che il teorema di Bell risulti violato vi sono altre teorie non quantistiche che,
incapaci di accettare la non-località,
propongono diversi modelli per spiegare le cor-
relazioni a due particelle.
la prima coppia di particelle inviata esplora tutti i percorsi dell'interferometro per poi informare le particelle che verranno inviate
Una prima ipotesi sostiene che
successivamente, le quali si comporteranno di conseguenza per dare i risultati stabiliti
dalle predizioni quantistiche.
Questa teoria è fondata sulla località, ed è anch'essa stata confutata tramite degli esperimenti in cui, invece di modicare la lunghezza di percorso ogni volta che si ripetevano le
misure, veniva applicata la modica mentre le particelle si trovavano nell'interferometro.
34
Capitolo 4. Correlazioni a due particelle
Le misure sono risultate equivalenti a quelle degli esperimenti eseguiti in principio, la
teoria è dunque stata abbandonata.
i risultati (controintuitivi) osservati attualmente non possano essere considerati attendibili. Infatti solo circa il 50% delle particelle nell'interVi è pure chi sostiene che
ferometro è sperimentalmente rilevato. Si può dunque ipotizzare che solo le particelle che
possiedono delle caratteristiche determinate siano osservate, e che queste caratteristiche
siano in un qualche modo la causa dei risultati.
I fautori di questa teoria mettono in dubbio l'intera teoria quantistica, aermando
che il giorno in cui gli scienziati saranno in possesso di apparecchi perfetti i fenomeni
quantistici non saranno più osservati. L'ipotesi può apparire poco fondata, certo è che è
pure stata scartata dato che attualmente si è arrivati ad avere rilevatori quasi perfetti e
si è constatato che anche in questi casi le correlazioni permangono.
Capitolo 5
Un meccanismo which-way
Nei capitoli 2 e 3 abbiamo visto che dal momento in cui si cerca di determinare quale sia
il percorso intrapreso o la fenditura imboccata dalla particella i fenomeni d'interferenza
scompaiono inspiegabilmente. Questo fenomeno resta uno fra i più misteriosi e controintuitivi della sica quantistica.
In questo capitolo si analizzerà il meccanismo che permette di rilevare la particella
durante il tragitto in maniera più approfondita, cercando di dare una spiegazione, per
quanto sia possibile, alla scomparsa dei fenomeni d'interferenza. Con questo verrà ripreso
il principio d'indiscernabilità.
5.1
Il caso dell'interferometro di Mach-Zehnder: analisi
descrittiva
Nella sezione 2.1 ci siamo sorpresi osservando i risultati dell'esperimento quantistico dell'interferometro di Mach-Zehnder. Per cercare di capirlo si è proposto di introdurre un
apparecchio in grado di rilevare le particelle lungo il percorso e si è notato che questo
comporta la scomparsa delle interferenze. Il fenomeno ci appare del tutto inspiegabile.
Cerchiamo di analizzare la situazione: ponendo un apparecchio rilevatore dopo il passaggio nel primo
BS
e lungo il tratto
B
è possibile determinare se la particella inviata è
stata trasmessa oppure riessa. I percorsi sono distinguibili.
Stabilendo questo elemento però, malgrado che nessun parametro venga modicato, l'esperimento cambia.
Questo fatto sembra paradossale, ma si può capire con un semplice esperimento mentale e l'aiuto dello schema 5.1.
L'apparecchio di misura posto lungo il cammino
modica dello stato
|ψi
B
(dunque in direzione
x)
causa la
del sistema. Infatti, grazie a quanto visto nella sezione 2.3.1 è
possibile rappresentare lo stato generale del sistema dopo il passaggio nel primo beam
1
|xi
+
i
|yi
.
splitter (BS1 ) dalla superposizione |ψi = √
2
35
36
Capitolo 5. Un meccanismo which-way
Figura 5.1: Schema dell'esperimento mentale in grado di giusticare la
scomparsa dei fenomeni d'interferenza, la particella è marcata in rosso.
Questo stato non corrisponde però allo stato del sistema nel caso in cui l'apparecchio
rileva la particella in direzione
x.
In questo caso lo stato sarà
|ψi = |xi
nel caso in cui l'apparecchio non rileva la particella, ed essa dunque ha intrapreso il
cammino in direzione
y,
lo stato sarà
|ψi = |yi .
La probabilità che la particella intraprenda il cammino
x
è
1
dato che il
2
BS1
è semitra-
sparente.
Lo stato risulta
|xi
1
con probabilità 2 e
|yi
1
con probabilità 2 .
Conoscendo quindi il percorso intrapreso dalla particella dopo il
BS1
lo stato
del sistema cambia.
Questo fatto può anche essere spiegato intuitivamente`. Supponiamo che la particella venga rilevata lungo il percorso x. La particella proseguirà il suo cammino venendo
riessa dallo specchio
S1
e poi incontrerà nuovamente un
tenzione ci si accorge che questo percorso
equivale
BS .
Prestando un attimo d'at-
a quello eettuato dalle particelle nel
primo esperimento (gura 2.1) e darà dunque gli stessi risultati: il 50% delle particelle
D1 (e dunque il 25% del totale) e il 50% in D2 . Analogamente si
comporteranno le particelle che vengono riesse al primo BS e che intraprendono dunque
il percorso y . Le particelle non si comportano più come se fossero in un interferometro di
trasmesse verrà rilevato in
Mach-Zehnder perché la loro presenza viene rilevata da un apposito apparecchio lungo il
percorso prima del suo arrivo in uno dei due rilevatori.
Le particelle si comportano come se si trovassero in un interferometro equivalente a quello del primo esperimento eettuato (gura 2.1) dato che il loro
stato dopo la misura non è più descritto da una superposizione.
5.2. Interferometro a doppia fenditura
5.2
37
Interferometro a doppia fenditura
Nella sezione 3.3 abbiamo visto che i fenomeni d'interferenza quantistici scompaiono se si
cerca di determinare i percorsi intrapresi dalle particelle singole anche nell'interferometro
a doppia fenditura.
Lo scopo di questa sezione è quello di illustrare in maniera più approfondita l'esperimento che permette di determinare la fenditura imboccata e di studiarne il meccanismo.
Riprendiamo in considerazione l'esperimento della gura 3.6. La struttura è analoga
a quella della gura 3.3, ma a sinistra della doppia fenditura è posto un congegno laser
seguito dalle cavità
C1
e
C2 .
D
C1
S
C2
Laser
Figura 5.2: Congegno laser per determinare la traiettoria intrapresa dalla
particella nell'esperimento della gura 3.3.
La determinazione della fenditura imboccata dalle singole particelle non viene fatta
agendo direttamente su di esse, bensì grazie a una fascio emesso dal laser che le si induce
in uno
stato eccitato.
Questo stato delle particelle verrà nuovamente convertito allo sta-
to fondamentale durante il passaggio in
l'emissione di un fotone.
C1
o
C2 . Il cambiamento di stato comporta
Basterà dunque rilevare il fotone per poter determinare il
percorso della particella.
Si può aermare che questa misurazione non agisce in alcun modo sulla scelta
di traiettoria da parte della particella, i risultati dell'esperimento dovrebbero
quindi coincidere con quelli senza determinazione del percorso.
Dall'esperimento ci si aspetta di osservare gli stessi risultati; i risultati della gura 3.3.
Nella sezione 3.3 abbiamo però anticipato che eettuando l'esperimento la nostra ipotesi
risulta falsa.
Contrariamente alle nostre aspettative, anche in questo caso, dal momento
in cui viene determinato il percorso delle particelle, la gura d'interferenza
38
Capitolo 5. Un meccanismo which-way
sparisce (vedi gure 5.3 e 5.4).
Fig. 5.3: Nel caso in cui non ven-
Fig. 5.4: Determinando il percorso
ga determinata la traiettoria delle sin-
della particella la gura d'interferenza
gole particelle si osserva una
scompare.
d'interferenza.
gura
Analogamente a quanto abbiamo osservato studiando l'interferometro di Mach-Zehnder,
il solo fatto di determinare quale
delle due fenditure imboccano le particelle causa la scomparsa dei fenomeni
d'interferenza quantistici.
e malgrado le particelle non vengano perturbate,
Il meccanismo detto which-way causa la scomparsa delle gure d'interferenza.
5.3
Entanglement e `which-way
Concentriamoci nuovamente sull'esperimento dell'interferometro di Mach-Zehnder prendendo in considerazione la scomparsa delle interferenza da un altro punto di vista; utilizzando il concetto di entanglement tra il sistema e l'apparecchio di misura.
In questo caso consideriamo l'interferometro di Mach-Zehnder della gura 5.5 che differisce da quello considerato nella sezione 5.1 (gura 5.1) dato che presenta due apparecchi
distinti in grado di rilevare la particella lungo il cammino:
lungo la direzione
D̃x
lungo la direzione
x
e
D̃y
y.
In questo esperimento inviamo singolarmente degli atomi nell'interferometro, che passando attraverso un apparecchio
D̃
emettono un fotone. L'emissione di questo fotone
permette di stabilire quale sia il percorso intrapreso dall'atomo dato che è possibile rilevarlo nell'apparecchio, i percorsi sono dunque distinguibili.
Lo stato non potrà più essere descritto come un sistema a una particella, ma
come uno stato composto da un atomo (particella quantistica) e un fotone
emesso al momento della misurazione nell'apparecchio corrispondente al cammino scelto.
5.3. Entanglement e `which-way
39
Figura 5.5: L'interferometro di Mach-Zehnder e il meccanismo which-way.
|ψprop i ⊗ |ψint i lo stato iniziale dell'atomo dove |ψprop i indica la direzione
|ψint i indica il suo stato interno, una caratteristica propria dell'atomo
notato |ψ0 i indica lo stato fondamentale e |ψ1 i lo stato eccitato.
Notiamo
di propagazione e
stesso;
Lo stato del sistema composto da atomo e fotone emesso è descritto da un vettore del
tipo
|Ψi = |ψprop i ⊗ |abi ⊗ |ψ0 i .
Dove
|ψprop i
indica la direzione di propagazione (x o
nell'apparecchio
D̃ (|10i
y)
e
|abi
lo stato del fotone emesso
lo stato del fotone emesso nell'apparecchio
fotone emesso nell'apparecchio
D̃x
e
|01i
D̃y ).
Lo stato iniziale del sistema composto dall'atomo e dal fotone è descritto da:
|Ψin i = |xi ⊗ |00i ⊗ |ψ1 i.
Dopo il passaggio nel primo beam-splitter:
1
BS1 : √ |xi + i |yi ⊗ |00i ⊗ ψ1 .
2
Dopo la misura nell'apparecchio di rilevazione:
1
D̃ : √ |xi ⊗ |10i + i |yi ⊗ |01i ⊗ |ψ0 i .
2
E la riessione sulla specchio completamente riettente:
1
S : √ i |yi ⊗ |10i − |xi ⊗ |01i ⊗ |ψ0 i .
2
lo stato del
40
Capitolo 5. Un meccanismo which-way
Con il passaggio nel
BS2
si denisce lo stato nale:
i
1h
|Ψf in i =
i |yi − |xi ⊗ |10i − |xi + i |yi ⊗ |01i ⊗ |ψ0 i
2
h
i
1
= i |yi ⊗ |10i − |01i − |xi ⊗ |10i + |01i ⊗ |ψ0 i .
2
Conoscendo lo stato nale è possibile determinare la probabilità che l'atomo venga rilevato
in
D1
e in
D2 , in base al proiettore sullo stato x e y ; P|xi
e
P|yi , dato che è l'unica variabile
che ci interessa.
Prob(D1 ) = k(P|xi ⊗ I ⊗ I) |Ψf in i k2 = 41 k |10i + |01i k2 =
1
2
Prob(D2 ) = k(P|yi ⊗ I ⊗ I) |Ψf in i k2 = 41 k |10i − |01i k2 = 12 .
Con questo calcolo confermiamo anche dal punto di vista matematico la scomparsa delle
interferenze nel caso in cui vengano rilevate le particelle dopo il
BS1 .
Il meccanismo which-way, che permette di determinare il percorso intrapreso da ogni singola particella instaura un fenomeno di entanglement tra la
particella quantistica (atomo) e il fotone, distruggendo gli eetti d'interferenza. Il principio d'indiscernabilità viene confermato, infatti i percorsi risultano
distinguibili e le interferenze non vengono osservate.
5.4
Meccanismo di Heisenberg
Il meccanismo proposto dal sico Werner Karl Heisenberg consiste essenzialmente in ciò
che abbiamo appena trattato nelle sezioni 5.2 e 5.3. Per determinare il percorso intrapreso
da una particella è necessario che essa collida con un'altra; infatti solo dopo la collisione
l'osservatore è in grado di rilevare la seconda particella e determinare il percorso intrapreso. Una collisione implica però, secondo la meccanica classica, una deviazione della
traiettoria degli oggetti. Secondo Heisenberg la causa della scomparsa dei fenomeni d'interferenza è proprio da attribuire alla collisione dato che provoca una deviazione della
traiettoria.
La scomparsa dei fenomeni d'interferenza sarebbe dovuta dunque all'apparecchio rilevatore, non abbastanza delicato da non inuire sul moto della particella. Nel caso in cui si avessero degli strumenti di misura perfetti le gure
d'interferenza verrebbero osservate anche con la determinazione del percorso.
5.4.1 Esperimento interferometro di Mach-Zehnder
Per vericare la correttezza dell'aermazione torniamo a concentrarci sull'esperimento
dell'interferometro della gura 5.5 a cui apportiamo alcune modiche.
5.4. Meccanismo di Heisenberg
41
Esperimento
Si vuole fare in modo che il fotone, dopo essere stato rilevato in un apparecchio
riassorbito da un atomo
tistica .
A
posto al centro dell'interferometro e chiamato
D̃,
venga
gomma quan-
Il fotone deve dunque essere inviato verso questo atomo e per rendere possibile
l'operazione l'osservatore deve aprire i canali
x. In questo modo, malgrado vi sia l'appa-
recchio in grado di rilevare il percorso della particella lungo l'interferometro, l'osservatore
non può accedere all'informazione which-way e i percorsi risultano indistinguibili. Lo
schema dell'esperimento è illustrato nella gura 5.6.
L'assorbimento da parte dell'atomo
A
del fotone emesso non avviene nel 100% dei
casi, ma nel caso in cui si verica esso annulla la determinazione del percorso intrapreso
dalla particella.
Figura 5.6: Schema del nuovo esperimento proposto.
Nel caso in cui non venga osservato un fenomeno d'interferenza si può affermare che Heisenberg aveva ragione e che la scomparsa delle interferenze
è dovuta alla presenza dell'apparecchio
D̃,
il cui eetto sulle particelle non
sarebbe abbastanza delicato per non inuire sulla traiettoria di esse.
Notazione matematica e calcoli
Deniamo la transizione in cui l'atomo passa dallo stato non eccitato a quello eccitato a
causa dell'assorbimento dell'atomo
|ϕg i −→ |ϕe i
dove
|ϕg i
è lo stato non eccitato e
|ϕe i
quello eccitato.
42
Capitolo 5. Un meccanismo which-way
Lo stato nale del sistema prima che i canali
x vengano aperti,
e dunque prima che
A
possa assorbire l'atomo è dato da:
i
1h
|Φf in i = |Ψf in i ⊗ |ϕg i = i |yi ⊗ |10i − |01i − |xi ⊗ |10i + |01i ⊗ |ψ0 i ⊗ |ϕg i .
2
Nel caso in cui invece i canali
x
fossero aperti
|Φi = − |xi ⊗ |00i |ψ0 i ⊗ |ϕe i .
A questo punto è possibile calcolare le probabilità di rilevare le particelle in
che in
D1
piuttosto
D2
Prob(D1 ) = k(P|xi ⊗ I ⊗ I ⊗ I)Φk2 = 1
Prob(D2 ) = k(P|yi ⊗ I ⊗ I ⊗ I)Φk2 = 0.
Risultati
con la presenza della gomma quantistica in
grado di assorbire il fotone gli eetti di interferenza vengono nuovamente osservati.
Dal calcolo si può determinare che
Questo risultato viene confermato eettuando l'esperimento in laboratorio. Bisogna
però sottolineare che queste probabilità sono delle probabilità condizionali, infatti si vericano nel caso in cui il fotone emesso viene assorbito in
D̃,
cosa che avviene solo per una
parte degli atomi inviati.
5.4.2 Conclusioni e constatazioni
A questo punto si è certi che la causa della scomparsa degli eetti d'interferenza non è il meccanismo in grado di determinare il cammino intrapreso dalla
particella. Questa causa è da attribuire unicamente alla conoscenza di questa
informazione.
Heisenberg dunque non aveva ragione aermando che la causa fosse l'inuenza, troppo
poco delicata, sulla particella da parte dell'apparecchio di misura. Il principio d'indiscernabilità risulta anche in questo caso corretto; la presenza di percorsi indistinguibili permette
l'osservazione di un fenomeno d'interferenza.
La conclusione tratta nella sezione 5.3, dove abbiamo detto che il meccanismo
essenziale che causa la scomparsa dei fenomeni d'interferenza è l'entanglement
che si instaura tra la particella quantistica (atomo) e il fotone è nuovamente
confermata.
Capitolo 6
Filosoa quantistica
La sica quantistica è una branca sviluppata recentemente che ha sorpreso l'intera comunità scientica a causa dei risultati degli esperimenti eettuati. Nella lettura dei capitoli
precedenti, partendo dall'interferometro di Mach-Zehnder, passando per la dirazione a
doppia fenditura, per arrivare all' interferometro di Franson, abbiamo studiato alcuni di
essi e abbiamo potuto constatare come i risultati lascino a bocca aperta. Il comportamento delle particelle cosiddette quantistiche è infatti molto dierente da quello delle
particelle classiche, tanto dierente da costringere gli scienziati a formulare una nuova
teoria; appunto la
sica quantistica.
Nessuno sa tutt'ora perché alcuni tipi di particelle manifestano questi strani comportamenti come le interferenze o le correlazioni quantistiche. Sappiamo che per farlo devono
essere di dimensioni molto ridotte e che devono trovarsi in condizioni di indiscernabilità,
ma il motivo per cui esse non seguono le leggi della sica classica ci è sconosciuto, e le
ricerche condotte in questa direzione non hanno nora portato grandi risultati. Dato che
la causa ci è sconosciuta, oltre a formulare più ipotesi a riguardo si è passati a discutere le conseguenze dei comportamenti quantistici. A Zurigo sorge il Center for Quantum
Philosophy, il cui scopo è di proporre e discutere le implicazioni culturali e losoche che
scaturiscono dalle scoperte della sica quantistica. In questo capitolo verranno analizzati e presentati i principali punti su cui si focalizzano alcune pubblicazioni di questo centro.
Molte sono le ipotesi formulate riguardo alle cause delle interferenze quantistiche: la
presenza di più universi paralleli tra loro, lo scambio di informazioni a velocità istantanea o l'abbandono del concetto di traiettoria. Ma cosa comporta l'accettazione di una
piuttosto che un'altra? Quali di esse risultano incompatibili ai risultati di esperimenti
già eettuati o auto-contraddittorie? E se la particelle quantistiche non si comportano
secondo le leggi classiche, allora il nostro cervello da cosa è governato? Questi sono alcuni
dei punti principali che verranno trattati.
43
44
Capitolo 6. Filosoa quantistica
6.1
Principi generali [7]
Negli articoli vengono citati diversi principi e teorie, la cui conoscenza è necessaria per la
comprensione di quanto presentato.
•
Principio di località: vedi introduzione al capitolo 4 dove viene introdotto il
principio delle cause locali ,
la comprensione di questo punto è di fondamentale
importanza.
•
Teorema di Bell: vedi sezione 4.6, il teorema in sostanza stabilisce una diseguaglianza su una data quantità
•
S
qualora si sostenesse la correlazione alla sorgente.
Principio A: ogni entità nello spazio-tempo è in principio accessibile all'osservazione umana a meno che l'entità è l'osservatore abbiano una separazione di tipo spazio.
Dunque, l'unico modo per avere inaccessibilità all'interno dello spazio-tempo è avere
una separazione di tipo spazio.
•
Principio Q : non tutto ciò che inuisce nei fenomeni sici è contenuto nello spaziotempo.
Fisica quantistica
La sica quantistica assume i principi
A e Q e riuta il principio di località contrariamente
alla maggior parte delle altre teorie. Accetta dunque le inuenze non-locali tra eventi separati da un intervallo di tipo spazio e la presenza di un'entità esterna allo spazio-tempo,
responsabile dei fenomeni d'interferenza.
Sia
|ψi
il vettore che rappresenta lo stato di un sistema in
stato del sistema è denito da un certo vettore
un vettore
|ψ2 i
|ψ1 i,
H.
Se ad un certo istante lo
dopo una misura verrà descritto da
e si osserverà un valore dell'osservabile considerata: questo è il principio
di riduzione dello stato. Questo vettore è caratterizzato dal fatto che, se si ripetesse la
misura, la probabilità di ottenere lo stesso risultato è uguale a 1; infatti dopo lo scatto
del rilevatore la misura non varierà.
Il principio della riduzione dello stato non è nient'altro che l'esplicitazione del
fatto che il risultato è determinato alla rilevazione. Ciò è alla base dell'interpretazione standard, detta anche interpretazione di Copenhagen, della sica
quantistica.
Nel caso dell'interferometro di Mach-Zehnder (sezione 2.1) la riduzione del vettore di
stato è la modica irreversibile dello stato dopo la misura nel rilevatore
si rileva la particella in
D1
il suo stato sarà
|xi, se si osserva in D2
D1
o
D2 . Infatti se
|yi. Questi
lo stato sarà
stati, dopo che è stata eettuata la misura, sono immutabili, la particella, dal momento
che viene rilevata in
D1
non potrà essere successivamente rilevata in
D2 .
Determinismo
Il determinismo è il punto di vista che assume il principio
A e riuta il principio Q. Esclude
qualsiasi tipo di libertà e di scelta, ed è dunque in contrasto con la sica quantistica. Tutto
ciò che accade è conseguenza di eventi avvenuti nel passato, tutto è prestabilito.
6.2. Decisione al
6.2
BS
o alla rilevazione?
Decisione al
BS
45
o alla rilevazione? [7]
Nel primo esperimento visto nel capitolo 2 (vedi gura 2.3) viene inviata una particella
in un beam-splitter e successivamente rilevata grazie a appositi apparecchi.
Figura 6.1: Confronto tra le due interpretazioni possibili. A sinistra
decisione alla rilevazione : la particella intraprende entrambi i percorsi. A
destra la decisione al BS, la particella nel BS viene o riessa o trasmessa e
la
intraprende un unico percorso, verrà rilevata nel rilevatore posto lungo esso.
.
L'esperimento induce in due dierenti considerazioni: si può ipotizzare che la decisione
riguardo a quale dei due rilevatori scatterà venga fatta al
BS
stesso, o che questa decisione
venga presa nel momento della rilevazione.
6.2.1 Decisione al BS
Assumendo che la decisione riguardo a quale dei due apparecchi rileverà la particella è
presa al
BS si assume il concetto di traiettoria ;
la particella, dopo essere passata
attraverso lo specchio semitrasparente, intraprende uno dei due percorsi e il rilevatore che
scatta è quello relativo al percorso intrapreso.
In questo caso non si spiegherebbero però i risultati osservati nell'interferometro di
Mach-Zehnder e di Franson: la modica di un solo percorso dovrebbe concernere solo le
particelle che eettivamente intraprendono quel percorso, ma abbiamo visto che con l'introduzione di una variazione di fase
ϕ
le misure concernenti tutte le particelle cambiano.
Per spiegare il fenomeno viene introdotto il concetto di onda vuota (o pilota ), modello proposto da Louis de Broglie nel 1924: la particella viene trasmessa al beam-splitter,
(vedi gura 6.1, immagine a destra) intraprendendo dunque il cammino orizzontale, ma
al contempo vi sarà un'onda pilota, o onda vuota, non accessibile all'osservatore che segue l'altro cammino e informa la particella riguardo alla struttura dell'interferometro.
L'alterazione del comportamento di tutte le particelle nel caso in cui, nell'interferometro
di Mach-Zehnder solo lungo uno dei due percorsi viene introdotta una variazione di fase è
46
Capitolo 6. Filosoa quantistica
dunque giusticata. La particella, pur intraprendendo solamente un percorso, sarebbe informata sulla struttura di tutto dell'interferometro.
sono delle variabili nascoste locali,
Sia la particella che l'onda vuota
ossia delle entità che si propagano nello spazio-
tempo lungo una traiettoria denita, di cui l'onda vuota è inaccessibile all'osservatore.
Questa teoria riuta i principi
A
e
Q.
Il modello dell'onda pilota non risulta però essere compatibile con il fenomeno delle
correlazioni a due particelle. La teoria di de Broglie-Bohm è una sua estensione che introduce, oltre ad assumere l'onda vuota che si propaga nello spazio-tempo, un potenziale
quantistico non-locale, che permette un'inuenza istantanea sulle particelle, provocando
le correlazioni.
La scelta al
BS
è la conseguenza diretta dell'assumere le variabili nascoste
locali, ossia assumere il concetto di onde vuote. La teoria viola dunque la
diseguaglianza di Bell, che non accetta la possibilità di presenza di variabili
nascoste in una teoria locale.
6.2.2 Decisione alla rilevazione
Secondo l'ipotesi della decisione alla rilevazione le onde non possono essere considerate
entità che si propagano nello spazio-tempo e non vi sono variabili nascoste. Nell'esperimento (gura 2.3) un fotone è inviato su un beam-splitter dove verrà riesso o trasmesso.
Secondo il principio di sovrapposizione però la particella intraprende entrambi i cammini,
e
il risultato viene deciso al momento della rilevazione.
Questo è quanto aerma
la sica quantistica standard.
È importante sottolineare che ciò comporta l'abbandono del concetto di traiettoria.
Infatti la sua implicazione perde il proprio senso nella scelta alla rilevazione. Da una
rilevazione di un fotone in
posto più vicino al
BS
A
non consegue che nel caso in cui il rilevatore fosse stato
lo stesso fotone sarebbe anche stato rilevato in
aermare che il fotone abbia intrapreso il cammino
A:
A.
Non è possibile
non ha seguito una traiettoria.
Teoria locale
Supponiamo ora che i due rilevatori siano posti a una distanza molto grande e uguale dal
BS
in maniera che tra i due rilevatori non vi possa essere comunicazione, ossia che un
rilevatore non possa venire informato nel caso in cui l'altro sia scattato o meno (vi è una
separazione di tipo spazio tra i due). Da un punto di vista locale, ossia che un evento può
inuenzare solamente ciò che si trova nelle sue immediate vicinanze, si può in maniera
del tutto giusticata aermare che ciascun rilevatore scatti nel 50% dei casi e che questo
non sia in relazione al comportamento dell'altro rilevatore. Dunque nel 25% di essi si
assisterebbe allo scatto contemporaneo dei due rilevatori e in un altro 25% all'assenza di
scatti. Questo comporta però la violazione della legge di conservazione dell'energia, una
della più importanti della sica, infatti solo nel 50% dei casi rimanenti, ossia quando solo
uno dei due apparecchi rileva il fotone, essa rimarrebbe costante. In media, l'energia si
conserverebbe, ma non nel caso singolo.
6.2. Decisione al
BS
o alla rilevazione?
47
Teoria non-locale
La decisione non-locale alla rilevazione implica invece la conservazione dell'energia. In
questo caso infatti il rilevatore
A
sarebbe combinato al
B
e viceversa; l'invio di un fotone
nell'interferometro provocherebbe lo scatto di ciascun rilevatore nel 50% dei casi in modo
alternato.
Osservazioni:
il modello dell'onda vuota di de Broglie-Bohm visto nella sezione 6.2.1,
può essere convertito nella sica quantistica standard, che assume la non-località. Anch'esso infatti accetta la presenza di inuenze non-locali tra le particelle e predice i risultati
osservati nei fenomeni d'interferenza quantistici. Ovviamente tra le due teorie vi è però
un forte contrasto dato che una assume la decisione al
BS
e la presenza di onde che si
propagano nello spazio-tempo, mentre l'altra la decisione alla rilevazione, con inuenze
che non hanno origine nello spazio-tempo.
6.2.3 Gedanken-Experiment di Einstein [6]
Durante una conferenza nel 1927 Einstein propose un Gedanken-Experiment, esperimento
(mentale) in cui una particella, dopo essere passata attraverso una fenditura, si scontra
su un piatto rilevatore. Per semplicare l'esperimento sostituiamo il piatto con due rilevatori:
A
e
B.
Figura 6.2: Semplicazione dell'esperimento proposto da Einstein.
Secondo Einstein il fatto che solo uno dei due rilevatori scattasse era ovvio, dato che
altrimenti l'energia non sarebbe conservata. Lo turbava però il caso in cui i due apparecchi hanno una separazione di tipo spazio siccome, secondo la teoria della relatività, ciò
impedisce qualsiasi scambio di informazioni tra i rilevatori.
L'esperimento non fu mai realizzato, ma catturò l'attenzione di molti sici che proposero diverse teorie, tra i quali, nel 1952, David Bohm con il modello di de Brogli-Bohm
48
Capitolo 6. Filosoa quantistica
appena visto.
Ci si accorse che per giusticare le inuenze tra le particelle assumendo la decisione
alla rilevazione si sarebbe dovuto riutare almeno un principio fondamentale della sica classica. Si sarebbe potuto accettare la possibilità di uno scambio di informazioni a
velocità superluminare innita, ma ci si sarebbe trovati in forte contrasto con la teoria
della relatività ristretta dello stesso Einstein. Altrimenti si sarebbe potuto riutare la
conservazione dell'energia o assumere la possibilità di inuenze non-locali.
6.2.4 Esperimento senza scorciatoia [5] [6]
La teoria non-locale e il principio di conservazione d'energia possono essere provati con
un esperimento simile a quello visto nella sezione precedente, assumendo la decisione alla
rilevazione.
Figura 6.3: Struttura dell'interferometro utilizzato nell'esperimento.
Nell'esperimento i fotoni sono guidati dal beam-splitter ad
A
rispettivamente a
B
tramite delle singole bre ottiche in due congurazionie dierenti:
• Tipo spazio : la distanza tra i due rilevatori A e B è di 10 m, la lunghezza delle bre
che conducono ad A e B è la stessa, dato che viene inserito un ritardo di 10 m lungo
il percorso A. Il tempo di rilevazione è di circa 1 ns. La condizione che permette uno
−9
scambio di informazioni tra A e B è data da d ≤ 10
s × 3 · 108 ms = 0.3 m Dunque A
e B sono separati da un intervallo di tipo spazio, e non possono comunicare
tra loro. La rilevazione avviene simultaneamente nei due rilevatori.
• Tipo tempo :
I due rilevatori rimangono separati da una distanza di 10 m, ma
viene inserito un ritardo di 20 m lungo il percorso
B,
che risulterà dunque 30 m
più lungo dell'A. A e B possono comunicare tra loro in un intervallo di 30 m/(3 ·
108 ms ) = 100 ns. Dunque la condizione che permette lo scambio di informazioni è:
d ≤ (100 + 1)10−9 s × 3 · 108 ms ≈ 30 m.
A e B hanno una separazione di tipo tempo.
Notiamo SL il caso in cui vi è una separazione di tipo spazio e TL di tipo tempo.
Inoltre
RHA
il numero di coincidenze di scatti tra
H
e
A
durante il tempo di misura e
6.2. Decisione al
BS
o alla rilevazione?
49
Figura 6.4: Diagramma spazio-tempo della congurazione (i ) spaziale e (ii )
temporale.
AeB
rappresentano la posizione dei rilevatori,
DA
e
DB
gli eventi
corrispondenti alla rilevazione.
RH(A)
H durante la stessa misura. RHB e RH(B) hanno
B . RHAB e RH(AB) si riferiscono invece rispettivamente
il numero totale di scatti totali di
signicato analogo per il rilevatore
al numero di scatti tripli (A,
totali di
BeH
si attivano contemporaneamente) e al numero di scatti
H.
Siano:
• P (1, 0)
la probabilità che scatti il rilevatore
• P (0, 1)
la probabilità che non scatti
• P (1, 1)
la probabilità che scatti sia
• P (0, 0)
la probabilità che nessun rilevatore scatti.
A
A
A
e non scatti
ma scatti
che
B;
B;
B;
Inoltre si pone:
• P (A) = P (1, 0) + P (1, 1)
• P (B) = P (0, 1) + P (1, 1).
Le probabilità si ottengono dai dati sperimentali come segue:
P SL (A) =
RHA
,
RH(A)
P SL (B) =
RHB
,
RH(B)
P SL (1, 1) =
RHAB
.
RH(AB)
Secondo la teoria locale le probabilità di rilevazione sono:
P SL (1, 1) = P SL (0, 0) = P SL (1, 0) = P SL (0, 1) = 0.25
P TL (1, 1) = P TL (0, 0) = 0, P TL (1, 0) = P TL (0, 1) = 0.5.
50
Capitolo 6. Filosoa quantistica
Si ha dunque:
La
P SL (A) = P SL (B) = 0.5
teoria locale
e
P TL (A) = P TL (B) = 0.5.
prevede i seguenti risultati:
P SL (1, 1)
P TL (1, 1)
= 1,
= 0.
P SL (A) · P SL (B)
P TL (A) · P TL (B)
La
teoria non-locale
rimane invece invariante se si cambia dalla congurazione di se-
parazione spaziale a quella temporale, e i risultati coincidono con quelli della separazione
temporale nel caso locale. In entrambi i casi si ha:
P TL (1, 1)
P SL (1, 1)
=
0,
= 0.
P SL (A) · P SL (B)
P TL (A) · P TL (B)
Tra la teoria locale e quella non-locale vi è dunque discordanza per quanto riguarda la
separazione di tipo spazio, discordanza che può essere testata sperimentalmente.
Esperimento
L'idea dell'esperimento è di fare le misure con coppie di fotoni che sono intrecciati (entangled); uno serve per l'esperimento e viene rilevato in
in
H,
A o in B
mentre l'altro per controllo
in un esperimento ideale le due rilevazioni avvengono insieme.
Procedimento
Viene misurata la probabilità di rilevare un fotone in
corrispondente sia stato rilevato in
H.
A
o in
B
supponendo che il suo
Le misurazioni vengono fatte direttamente sia per
la congurazione di tipo spazio che di tipo tempo. Per prima cosa viene misurata la
probabilità di rilevare un fotone al rilevatore
complementare venga rilevato anche in
H.
A
o al rilevatore
B
nel caso in cui il suo
Successivamente la probabilità che
A
e
B
scattino contemporaneamente.
Risultati
Le misure danno i seguenti risultati illustrati nei graci delle gure 6.5, 6.6, 6.7 e
Il numero di eventi in cui sia
A che B
6.8.
hanno rilevato il fotone può essere stimato conside-
rando i risultati lontani dal picco, come esempio consideriamo la nestra di 1 ns evidenziata
in rosso nelle gure 6.6 e 6.8.
Dalla tabella dei risultati (gura 6.9) si derivano le seguenti probabilità:
P (A)SL · P (B)SL = 1.86 ± 0.01 · 10−4 , P SL (1, 1) = 0.002 ± 0.001 · 10−4
P (A)TL · P (B)TL = 1.65 ± 0.01 · 10−4 , P TL (1, 1) = 0.002 ± 0.001 · 10−4 .
6.2. Decisione al
BS
o alla rilevazione?
Fig. 6.5: Rilevazioni coincidenti tra
e
B
A (rosso)
(blu) con separazione di tipo spazio.
51
Fig. 6.6: Coincidenze triple tra i rilevatori
A
e
B
H,
con separazione di tipo spazio in un
intervallo di tempo di 30 minuti.
Fig. 6.7: Rilevazioni coincidenti tra
e
B
A (rosso)
(blu) con separazione di tipo tempo.
Fig. 6.8: Coincidenze triple tra i rilevatori
A
e
B
intervallo di tempo di 30 minuti.
Si ottiene:
P SL (1, 1)
0.002 ± 0.001 · 10−4
=
= 1.08 ± 0.01 · 10−4
SL
SL
−4
P (A) · P (B)
1.86 ± 0.01 · 10
0.002 ± 0.001 · 10−4
P TL (1, 1)
=
= 1.21 ± 0.01 · 10−4
P TL (A) · P TL (B)
1.65 ± 0.01 · 10−4
Questi risultati mostrano che non vi è dierenza tra la congurazione di tipo tempo e
di tipo spazio e che il valore della grandezza cercata è 4 ordini inferiore all'unità (risultato
previsto dalla teoria locale). Deve dunque esserci una coordinazione; ciò che succede in
deve in un qualche modo inuenzare ciò che succede in
H,
con separazione di tipo tempo in un
B
A
e viceversa.
Implicazioni
I risultati dell'esperimento escludono chiaramente la teoria locale. Viene trovato che la
conservazione dell'energia in ogni singolo processo quantistico è inseparabilmente collegata
alla decisione non-locale alla rilevazione. Dunque la legge fondamentale che coinvolge la
52
Capitolo 6. Filosoa quantistica
Figura 6.9: Riepilogo dei risultati, i valori ottenuti dalla congurazione
spaziale e congurazione temporale e le corrispondenti probabilità.
materia visibile emerge da principi immateriali e invisibili. Come spiegato in precedenza si
potrebbe contrastare la teoria non-locale semplicemente sostenendo che la scelta avvenga
al beam-splitter.
6.2.5 Conclusioni
La decisione al
BS
è la teoria che ci sembra più plausibile e più logica da accettare.
Tuttavia questa teoria, nel mondo quantistico, presenta delle lacune; negli esperimenti di
interferometria considerati precedentemente abbiamo visto che introducendo una variazione di fase in solamente uno dei percorsi possibili si assiste a un cambiamento dei risultati
che riguardano tutte le particelle, dunque in teoria anche quelle che non hanno intrapreso
il percorso variato. La teoria dell'onda vuota può sembrare una soluzione, ma pone dei
problemi nel caso in cui i rilevatori sono separati da un intervallo spazio-temporale, impedendo dunque qualsiasi comunicazione tra la particella e l'onda. Si potrebbe ipotizzare
che tra la particella e l'onda pilota vi sia uno scambio di informazioni a velocità maggiore
di quella della luce. Tale teoria non è mai stata confutata sperimentalmente, ma risulta
poco plausibile dato che il concetto di velocità limite sembra essere un principio inviolabile.
In alternativa vi è dunque la decisione alla rilevazione, teoria che ci appare controintuitiva, ma che è stata vericata sperimentalmente, e che sembra coincidere con le predizioni
6.3. Teorie alternative
53
della sica quantistica.
Essa può essere suddivisa in due categorie distinte; quella locale e quella non-locale.
Anche in questo caso bisogna abbandonare la teoria che ci sembra essere più plausibile,
ossia quella locale, perché ne viene provata l'incorrettezza con l'esperimento visto nella
sezione 6.2.4. La non-località alla rilevazione pare essere l'unica teoria compatibile con i
risultati osservati e con i principi fondamentali della sica quantistica.
6.3
Teorie alternative [7]
Vi sono alcune varianti e teorie possibili che cercano di conciliare, o confutare a seconda
del caso, le varie interpretazioni discusse nella sezione 6.2. Di seguito ne riportiamo alcune
e ne discutiamo le principali implicazioni.
6.3.1 Teorie con decisione al BS [4] [5]
Sono stati proposti dei modelli che assumono la decisione al
Q,
BS
e riutano i principi
A
e
possono essere suddivisi in due tipi dierenti.
Tipo I:
Vengono date le stesse predizioni della sica quantistica, ma sono in contrasto
con essa, in quanto assumono la decisione al
BS . Il modello di de Broglie-Bohm è il princi-
pale paradigma, e tutte le teorie di questo tipo possono essere ricondotte a questo modello.
Questi modelli non sono direttamente confutabili dato che propongono, come detto, gli
stessi risultati della teoria quantistica, che coincidono con quelli osservati negli esperimenti eettuati in laboratorio. Essi sono però in contrasto con questa teoria e dieriscono
in maniera più o meno marcata (a seconda del caso) tra loro.
Tipo II:
Il loro discostamento dalla sica quantistica è alla base dato che oltre ad
assumere la decisione al
BS
e riutare i principi
A
e
Q
non ne danno le stesse predizioni.
Tutte le teorie di questo tipo sono state falsicate sperimentalmente o perché presentano
problemi di coerenza interna. Qui di seguito verranno illustrati tre modelli: v-causal Mo-
dels, Multisimultaniety e Leggett.
-v-causal
models:
Accetta la possibilità di un'inuenza causale con uno scambio di
informazioni superluminari a velocità nita
c < v < ∞.
Nel caso in cui la separazione
tra i due rilevatori sia sucientemente grande la coordinazione non-locale crollerebbe.
Segue un principio di continuità che corrisponde ad una propagazione graduale e in modo
continuo nello spazio-tempo della coordinazione tra rilevatori. Nello spazio-tempo vi sarebbe dunque una storia. Queste teorie non vericano però l'ipotesi no-signalling, ossia
che le correlazioni possono essere utilizzate dagli osservatori per comunicare a distanza
arbitraria (e quindi lo scambio di informazione non può rimanere nascosto), vi è dunque
un problema di incoerenza interna.
-Multisimultaneity: Assume che la coordinazione è basata su delle inuenze ordinate temporalmente secondo un principio di causa-eetto. Anche questo modello prevede
54
Capitolo 6. Filosoa quantistica
una storia nello spazio-tempo. Secondo le ipotesi le correlazioni dovrebbero sparire in
una congurazione detta before-before.
Gli eventi before-before sono stati vericati sperimentalmente nel 2001-2002 sulla base
di un esperimento proposto da Suarez e Scarani nel 1997. Presuppongono la scomparsa delle correlazioni in quanto si è visto che ogni particella, rispetto al suo sistema di
riferimento inerziale, viene analizzata prima della sua compagna, e dunque non può ricevere informazioni riguardanti la misura eettuata sull'altra particella. In altre parole: la
particella 1, rispetto al sistema di riferimento del suo rilevatore è analizzata prima della
particella 2 e viceversa. La particella 1 non può dunque comportarsi di conseguenza a
come si comporta la particella 2, dato che rispetto al suo sistema sarà sempre la 1 a venire
analizzata per prima. Lo stesso vale per la particella 2, che relativamente al suo sistema
di riferimento inerziale verrà sempre analizzata prima della 1.
I risultati dell'esperimento, oltre ad aver portato alla conclusione che deve esistere
un'inuenza esterna allo spazio-tempo in grado di inuire e determinare il comportamento delle particelle, hanno dimostrato che il potenziale principio causa-eetto scompare,
sostenendo dunque il Principio Q. Le correlazioni a due particelle (capitolo 4) non sarebbero dunque causate da uno scambio di informazioni tra le particelle, ma piuttosto ad
un'inuenza di un agente esterno allo spazio-tempo. Il modello Multisimultaneity è quindi
stato falsicato sperimentalmente.
Figura 6.10: Diagramma di Minkowski che mostra la congurazione
before.
before-
Questi due modelli hanno in comune il fatto che includono dei protocolli sperimentali
ben deniti, che assumono la località in certe condizioni e accettano le inuenze non-locali
in altre. Inoltre la deviazione dalla sica quantistica viene assunta come assioma, da dimostrare, e non come un teorema. Entrambi sono stati contraddetti sperimentalmente.
-Leggett: In questo modello inuenze non-locali e parti locali vengono combinate, ma
contrariamente alle due teorie appena trattate non si spiega in che modo lo sperimenta-
6.3. Teorie alternative
55
tore possa contrastare la coordinazione non-locale per produrre un insieme di parti locali.
Il modello presuppone che la deviazione dalla sica quantistica risulti un teorema, e non
che sia inclusa nell'ipotesi principale come assioma.
Anche
Leggett
è stato escluso da un esperimento, che però non si riferisce a modelli
con inuenze non-locali tempo-ordinate e dunque non prova la falsità di essi. I risultati
dell'esperimento non possono essere considerati una risposta alla domanda se la sica
quantistica è il modo ottimale per predire i risultati di misura o meno.
Queste teorie sono da considerare contraddittorie in quanto formulate per giusticare
la decisione al
BS
e spiegare i risultati in maniera deterministica. Il determinismo è però
in evidente contrasto con la libertà di scelta, necessaria per escludere la località e assumere
dunque le inuenze non-locali su cui esse sono basate.
Multimondi:
La decisione al
BS
non può essere spiegata dal punto di vista locale utilizzando il modello
delle variabili nascoste, malgrado sia coerente con gli esperimenti a una particella. Ciò
non vuol dire che non è in alcun modo possibile considerarla locale; la teoria
multimondi
concilia la località con la violazione della diseguaglianza di Bell.
Secondo questo modello esistono più universi paralleli, non comunicanti, e ogni possibile risultato di una misura preesiste in modo deterministico in uno di essi. Ogni volta che
si ha una possibilità di scelta (ad esempio al
BS )
il mondo si divide in più alternative
entrando in uno stato complesso di sovrapposizione di risultati. Di fatto non vi è nessuna
decisione poiché tutti i risultati coesistono contemporaneamente e sono sullo stesso piano,
ossia le alternative si realizzano in universi diversi. Multimondi assume la decisione al
BS
non facendo uso di variabili nascoste. Rigetta i principi
A
e
Q
poiché tutti i mondi
paralleli sono inaccessibili a quello di un osservatore, è quindi un modello che non lascia
spazio alle scelte e al libero arbitrio.
Vite parallele:
È una teoria che deriva da multimondi e secondo la quale solo l'osservatore umano e il
suo apparecchio si dividono in mondi paralleli. L'osservatore posto in
A
vive con l'appa-
recchio all'interno di una bolla no al momento della misura; quando la bolla si scinde
in due bolle. L'osservatore vede un risultato da una bolla, e la sua copia, dall'altra bolla,
vede il risultato alternativo. Da quel momento le due bolle vivono vite parallele, non
possono più interagire e non si incontreranno mai. La teoria esclude la decisione, infatti
ipotizza che ogni risultato accade, ma in regioni dell'universo parallele tra loro.
Dierentemente dalle altre teorie alternative, multimondi e vite parallele non risultano essere auto-contraddittorie. I due modelli riutano le variabili nascoste e i principi
A
e
Q
assumendo però la località. Non sono teorie particolarmente esaustive e la presenza
di più universi paralleli e non comunicanti tra loro non è mai stata provata. Questi modelli sopravvivono perché non ci sono prove per confutarli, la loro assunzione implica una
concezione puramente deterministica della Natura, in cui non vi è spazio per la libertà di
56
Capitolo 6. Filosoa quantistica
scelta e per il libero arbitrio.
Assumendo il concetto di onda vuota non si possono riutare i modelli multimondi
e vite parallele, infatti questi tre punti di vista sono accomunati dal riuto del principio
A e non presentano caratteri contrastanti, benché siano piuttosto dierenti. Non è inoltre
possibile assumere solamente il concetto di libero arbitrio per sfuggire a multimondi o
vite parallele; è invece necessario riutare anche onde vuote, e accettare dunque anche
che la decisione venga presa alla rilevazione e non al
BS .
6.3.2 Teorie con decisione alla rilevazione
La non-località può essere dimostrata solamente assumendo la decisione alla rilevazione,
e senza di essa non si può sostenere la legge più importante della sica: quella della con-
servazione dell'energia.
Le teorie che assumono la decisione al
BS
sono innumerevoli e talvolta anche in
contraddizione tra loro. Riguardo alla decisione alla rilevazione non è invece possibile
formulare molte ipotesi dato che è necessario assumere la non-località. Sarebbe possibile
assumere un modello che implichi la presenza di variabili nascoste, ma la sica quantistica
sembra fornire una teoria plausibile e completa; non vi è la necessità di fornire ulteriori
spiegazioni e elaborare nuove teorie.
6.3.3 Confronto [5]
Riprendiamo il discorso della sezione 6.2 per riconsiderarlo brevemente e approfondirlo in
relazione a quanto discusso a proposito delle teorie alternative.
I due punti di vista assumono la presenza di entità che sono inaccessibili all'osservazione diretta, ma altrimenti sono in evidente contrasto.
Decisione al
BS : Secondo la decisione al BS l'onda vuota segue un percorso ben denito,
opposto a quello della particella, ma a dierenza di essa non è né osservabile né rilevabile.
L'onda informa la particella riguardo alla struttura del percorso da lei non intrapreso. La
località viene assunta come assioma e non viene provata. La non-località viene riutata
ma la sua falsità non è confermata sperimentalmente. Non è possibile riutare multimondi, le ipotesi della decisione al
BS
non sono in contraddizione con questa teoria. Si può
riutare la violazione della diseguaglianza di Bell. Per rendere compatibile la decisione al
BS
ai risultati degli esperimenti quantistici è necessario assumere una delle teorie discus-
se in precedenza, gran parte di esse è però stata confutata o si trova in contrasto con i
principi fondamentali della sica classica.
Decisione al rilevatore: Non esiste un'onda che si propaga nello spazio-tempo, ma
un'entità esterna all'osservazione diretta causa dei fenomeni di interferenze quantistiche.
Si può provare la non-località con un esperimento (vedi sezione 6.2.4) assumendola come
teorema. È possibile riutare multimondi. Infatti la decisione alla rilevazione implica
l'accettazione delle inuenze non-locali. Queste inuenze non potrebbero vericarsi nel
6.4. Decisione al
BS
o alla rilevazione: sintesi
57
caso in cui due eventi avvenissero in due universi paralleli, dato che essi non sono co-
1
municanti per denizione, e dunque qualsiasi tipo di inuenza sarebbe impossibile . La
diseguaglianza di Bell risulta violata. La decisione al rilevatore è compatibile a tutta la
sica quantistica, è la teoria quantistica stessa. Non è in contrasto ad alcun risultato degli
esperimenti eettuati.
6.4
Decisione al
BS
o alla rilevazione: sintesi [5] [7]
Nella prima parte di questo capitolo abbiamo discusso le dierenze tra l'assumere la decisione al
BS
e la decisione alla rilevazione. Si sono confrontate le implicazioni tra le
teorie che sono state proposte per giusticare i fenomeni d'interferenza e correlazione, e
per cercare di capire il comportamento delle particelle.
Nella tabella qui sotto vengono riassunte le principali dierenze tra le teorie locali,
non-locali, e quelle che assumono le variabili nascoste o meno.
Decisione al
Teorie locali senza va-
BS
Multimondi
Decisione alla rilevazione
Confutate
riabili nascoste
dall'esperimen-
to della sezione 6.2.4
Teorie locali con variabili nascoste
de Broglie
Confutate dalla violazione
Confutata dalla violazione
delle disuguaglianze di Bell
delle disuguaglianze di
Bell
Teorie
non-locali
con
variabili nascoste
de Broglie-Bohm
Non interessanti. L'intro-
posizione non confutabile
duzione delle variabili nascoste in questo contesto
non è necessaria.
v-causal models,
Multisimultaneity
confutati da no-sginalling
e sperimentalmente
Teorie non-locali senza
Non
variabili nascoste
d'interferenza
spiegano
Se si vuole assumere la decisione al
BS
gli
eetti
Fisica quantistica
è necessario accettare il modello multimondi.
Anche la teoria de Broglie-Bohm può essere accettata, ma non riutando multimondi,
che viene quindi assunto senza l'aggiunta di altre ipotesi, dato che fornisce una spiegazione
1 La teoria multimondi potrebbe però essere accettata anche assumendo l'ipotesi della decisione
alla rilevazione nel caso in cui si prende in considerazione una realtà più non-locale di quella della
sica quantistica, ossia una realtà in cui due eventi possono essere coordinati anche nel caso in cui
appartenessero a due universi diversi, paralleli tra loro e non comunicanti.
58
Capitolo 6. Filosoa quantistica
esaustiva. Tutti gli altri modelli sono infatti stati confutati sperimentalmente o riutati
perché auto-contraddittori. Come abbiamo visto nella sezione 6.3.1 l'assunzione di questa
teoria implica l'accettazione del determinismo; il libero arbitrio non sarebbe presente in
Natura.
Assumendo invece la decisione alla rilevazione è necessario assumere una teoria nonlocale senza variabili nascoste, che consiste nella sica quantistica. La decisione alla rilevazione è in contrasto con qualsiasi modello locale e l'introduzione delle variabili nascoste
non-locali risulterebbe inutile, dato che la sica quantistica propone un modello completo
e compatibile ai risultati sperimentali. La sica quantistica accetta la presenza del libero
arbitrio in Natura.
Il modello multimondi e la decisione non-locale alla rilevazione senza variabili nascoste sono entrambi tutt'ora validi e prevedono i risultati osservati
sperimentalmente. Tuttavia sono in evidente contrasto tra loro. La scelta di
assumerne uno piuttosto che l'altro è principalmente incentrata sulla volontà
di sostenere la presenza del libero arbitrio o credere nel determinismo.
6.5
Casualità quantistica e libero arbitrio [8]
Negli esperimenti che abbiamo considerato nei capitoli 2 e 4 abbiamo visto che le particelle vengono a volte trasmesse e a volte riesse. Sembra che questo comportamento
sia dovuto al caso, eppure inviando un numero sucientemente elevato di particelle si
osservano dei dati ben precisi. Ma allora cosa è determinato e cosa è casuale? A quale
legge obbediscono i fenomeni quantistici?
In questa sezione verranno trattati alcuni concetti, sempre dal punto di vista losoco,
che mirano a fornire una spiegazione ai fenomeni osservati.
6.5.1 Determinismo e libero arbitrio
Il mondo scientico ha un approccio deterministico nella descrizione della Natura. Il rapporto causa-eetto è assunto quasi come un principio. Tuttavia l'umanità non ne è completamente convinta; tutti noi crediamo di avere almeno una parte di margine di scelta
e di potere nelle nostre decisioni. Inoltre alcuni fenomeni vengono considerati puramente
casuali, come il passaggio di un fotone in un
BS ,
la cui casualità è anche stata provata
sperimentalmente, dato che è stato vericato che non sono le caratteristiche delle particelle a determinare se esse vengono trasmesse o riesse (vedi sezione 2.1).
Il determinismo è dunque in conitto con il libero arbitrio e la casualità.
Infatti se assumo che sia unicamente il passato di un evento e determinare l'evento
stesso allora devo accettare che tutto ciò che compio e penso sia stabilito da sempre, dal
momento in cui è avvenuto il Big-Bang (o forse addirittura prima) e dunque che la mia
libertà sia solo un'illusione.
6.5. Casualità quantistica e libero arbitrio
59
Con l'esperimento che ha scartato il modello Multisimultaneity è però stato provato
che la casualità quantistica può essere controllata da inussi esterni allo spazio-tempo,
e quindi
il determinismo è stato scartato 2 .
Questi inussi esterni consistono in una
sorta di libero arbitrio immateriale.
Il principio di libertà è in conitto con la descrizione deterministica della sica
classica, contrariamente a quella quantistica che accetta e assume eventi che
non sono completamente determinati dal passato né spiegabili unicamente per
mezzo di cause osservabili.
È importante però sottolineare che la teoria quantistica assume il libero arbitrio come
assioma, provato in un secondo tempo sperimentalmente, ma che non ne fornisce una
descrizione esaustiva. Infatti la sica quantistica è spesso erroneamente considerata come
modello per spiegare il libero arbitrio. Il libero arbitrio è invece da considerare come principio base per spiegare perché le leggi della natura sono quantistiche.
La sica quantistica deriva dal libero arbitrio, non il contrario.
6.5.2 Cosa determina la sica quantistica?
Riprendiamo in considerazione l'interfermetro di Mach-Zehnder (gura 6.11).
Figura 6.11: Interferometro di Mach-Zehnder con variazione di lunghezza
Nel caso in cui l'intensità di luce emessa dalla sorgente laser sia sucientemente debole
solo uno dei due rilevatori (D1 o
D2 )
scatta. La probabilità che ognuno di essi scatti può
2 Riutare il determinismo è però possibile solo se esso non viene assunto come assioma. In caso contrario, assumendo una sorta di super-determinismo si può sostenere che anche i risultati dell'esperimento
siano già decisi in partenza, allo scopo di confondere la mente umana, e dunque non rappresentativi della
realtà.
60
Capitolo 6. Filosoa quantistica
essere calcolata se si conoscono i due percorsi, dato che essa dipende dalla dierenza di
essi (vedi sezione 2.3.1).
Abbiamo visto che la probabilità di rilevare la particella nei rispettivi rilevatori è data da:
Prob(D1 ) = 12 (1 + cos ϕ),
dove
ϕ
Prob(D2 ) = 21 (1 − cos ϕ)
è la variazione di fase, parametro che dipende dalla dierenza di lunghezza dei
percorsi.
Conoscendo la dierenza di lunghezza dei percorsi possiamo quindi
babilità
stabilire la pro-
di rilevare una singola particella in un rilevatore piuttosto che nell'altro, ma non
possiamo determinare con certezza quale dei due scatti.
La sica quantistica non ha determinato una legge o un calcolo che permetta
di predire i risultati di un singolo evento.
Questo fatto potrebbe non sorprendere eccessivamente; sono molte infatti, le domande
a cui la scienza attualmente non riesce a dar risposta. E si potrebbe dunque concludere
che la teoria quantistica possa in futuro colmare questa lacuna sviluppando una teoria in
grado di determinare lo sviluppo di ogni singolo evento prima che esso si verichi.
La sica quantistica però non è alla ricerca di questa teoria. Per quale motivo?
La sica quantistica crede che questa teoria non esista.
L'evento in cui il rilevatore
D1
scatta e
D2
no viene considerato casuale. Nella teoria
quantistica il concetto di casualità è riferito alla situazione in cui un evento non dipenda
esclusivamente
dal passato, ma non implica che esso non abbia alcun tipo di inuenza.
Per una teoria scientica è insolito assumere che non esista una legge, una causa di ciò
che viene osservato. Tuttavia anche nel mondo macroscopico siamo confrontati a fenomeni
che manifestano, per motivi molto diversi, lo stesso comportamento casuale. Il classico
esempio del lancio della moneta ne è la prova. Ci risulta impossibile predire prima del
lancio se risulterà testa o croce, ma sappiamo (è stato vericato sperimentalmente grazie a
un numero elevatissimo di lanci compiuti) che la probabilità che si verichi uno piuttosto
che l'altro è all'incirca del 50%.
Possiamo concludere che la sica quantistica determina la distribuzione statistica nel
caso di un gran numero di risultati (senza stabilire quanto deve essere grande questo
numero), ma non è in grado di predire il risultato di un singolo evento. Inoltre non stabilisce né un ordine né un signicato alle sequenze dei risultati.
La sica quantistica non è una teoria completamente deterministica e ammette
il concetto di casualità.
6.5. Casualità quantistica e libero arbitrio
61
6.5.3 Coscienza umana e libero arbitrio [9]
Le neuroscienze vengono studiate e considerate da un punto di vista determi-
nistico, malgrado crediamo di essere delle menti libere, in grado di prendere
decisioni e scegliere.
Vi è dunque una rilevante incompatibilità che potrebbe essere giusticata aermando
che la libertà non sia altro che un'illusione, oppure ammettendo che le neuroscienze sono
tutt'altro che complete e che il proseguimento delle ricerche dovrà accettare che i processi
nel nostro cervello non sono completamente determinati dagli eventi avvenuti in passato. La prima ipotesi sostiene il determinismo, mentre la seconda è compatibile alla sica
quantistica, in quanto accetta la presenza del libero arbitrio.
Il punto centrale è che nella sica quantistica il libero arbitrio è assunto come assioma, da dimostrare e non come teorema. Questo assioma può essere
accettato o riutato a seconda di ciò che crediamo.
Assumere l'assioma equivale a dire che la casualità quantistica può essere controllata
da un libero arbitrio immateriale bilanciato con delle regole statisticamente deterministiche, come abbiamo visto nella sezione 6.5.2. Conoscendo infatti le lunghezze dei percorsi
nell'interferometro della gura 6.11 possiamo determinare con che probabilità le particelle
vengono rilevate in
D1
o in
D2 , ma non possiamo predire il comportamento di ogni singola
particella.
L'ipotesi deterministica, che riuta l'assioma quantistico, viene piuttosto trascurata
perché l'uomo vuole e crede di essere libero.
Negli ultimi anni si è iniziato a studiare il sistema nervoso dal punto di vista quantistico per giusticare il libero arbitrio, ma è sorto un ulteriore problema; si è osservato che il
cervello umano sembra sì obbedire alle leggi quantistiche, tuttavia è composto da macchine
molecolari sucientemente grandi per essere considerate degli oggetti classici, incapaci di
manifestare comportamenti quantistici. Come sarebbe possibile questo fenomeno?
Per giusticare quanto osservato si è ipotizzato che la decisione riguardante quale dei
rilevatori si attiva non avvenga al momento stesso dello scatto, bensì dopo una sorta di
cascata virtuale che coinvolge miliardi di elettroni innescati tra loro. Secondo questa
teoria dunque la decisione non è data dall'evento un fotone incontra
D1
o
D2 ,
ma da
un assembramento di elettroni in uno di questi due rilevatori che comporta un processo irreversibile e quindi misurabile; lo scatto. Quale dei rilevatori scatta è una decisione
compiuta da un libero arbitrio inosservabile.
L'ipotesi giustica la presenza di libertà nel nostro cervello; infatti si accetterebbe che l'assemblaggio di dierenti neuroni sia il risultato macroscopico di
eetti quantistici vericatisi. I processi osservabili sarebbero dunque dovuti
in parte a dei processi quantistici, appunto casuali e non determinati completamente dal passato.
62
Capitolo 6. Filosoa quantistica
Verrebbe inoltre sostenuto anche il concetto di
coscienza umana ;
se nel cervello
avvenissero unicamente dei processi quantistici, e dunque casuali, come si spiegherebbe
la produzione di frasi compiute, testi o melodie musicali? La nostra mente deve essere
condotta parzialmente da un'entità deterministica che faccia in modo che i nostri gesti,
le nostre azioni e i nostri comportamenti abbiano un ne e un senso. Se il nostro cervello
fosse condotto unicamente da processi casuali questo non sarebbe possibile. Al contempo
ci sembra che il nostro cervello non possa essere esclusivamente deterministico, infatti ci è
naturale attribuire il merito per un'invenzione o un'opera d'arte allo scienziato, all'artista.
Crediamo che sia la sua mente libera ad aver creato. Secondo il libero arbitrio nessuna
delle nostre azioni sarebbe conseguenza della nostra volontà.
La nostra concezione di libero arbitrio non è né completamente deterministica
né accetta completamente la casualità. Si può dire che la nostra concezione di
libero arbitrio è compatibile alla teoria quantistica.
6.5.4 Conclusione
Abbiamo visto che il libero arbitrio nella sica quantistica è fondamentalmente un assioma
che si può respingere o meno, ma che viene piuttosto accettato dalla comunità scientica
perché l'essere umano vuole essere libero, e deve dunque accettare che la libertà sia presente anche in Natura.
Il libero arbitrio è una sorta di principio primitivo che comporta un mondo
dove i fenomeni quantistici sono possibili.
Riessioni conclusive
Nell'introduzione ho anticipato gli argomenti trattati in questo lavoro sottolineando che
si sarebbe focalizzata l'attenzione, dal punto di vista losoco, sulle implicazioni della
teoria quantistica sulla visione della Natura.
Inizialmente sono stati analizzati e studiati vari esperimenti di interferometria. Partendo dalle interferenze a una particella dell'interferometro di Mach-Zehnder e dagli esperimenti a doppia e singola fenditura, per poi concentrarsi sulle correlazioni a due particelle,
sono stati toccati molti aspetti della sica quantistica. Il teorema di Bell, l'entanglement
e il meccanismo which-way ne sono un esempio. Gli esperimenti sono stati proposti sia
dal punto di vista descrittivo che da quello più matematico. I fenomeni che ci apparivano
controintuitivi sono stati confermati grazie ai calcoli degli esperimenti e si è visto come
l'informazione which-way è legata all'enatnglement tra la particella e l'apparecchio di misura causando la scomparsa degli eetti d'interferenza. Molti di questi elementi sono stati
ripresi nell'ultimo, e più corposo, capitolo; quello inerente alle implicazioni losoche che
conseguono alle scoperte della sica quantistica.
Gli eetti d'interferenza che vengono osservati nell'interferometro di Mach-Zehnder,
in quello di Franson e in molti altri esperimenti quantistici ci dicono che è necessario
rivalutare la nostra concezione dei fenomeni della Natura. Il comportamento delle particelle non segue le leggi classiche e sembra essere inspiegabile. Per giusticare i risultati
bisogna quindi proporre delle nuove ipotesi. Ognuna di esse assume dei principi, leggi o
concetti che sono in contrasto con la sica classica, o introduce nuove elementi. Altrimenti non potrebbe spiegare i fenomeni d'interferenza. Nel capitolo 6 sono state discusse le
implicazioni che comporterebbero queste teorie. Come detto, l'assunzione di ognuna di
esse condiziona una riformulazione della descrizione della Natura. Ma quale tra loro è più
lecito assumere? Da che presupposto si può partire per dire che la non-località è meno
contraddittoria dello scambio di informazioni istantaneo?
Il mondo scientico è stato confrontato numerose volte a questioni simili. Sono innumerevoli i casi in cui a un fenomeno venivano associate più possibili spiegazioni, incompatibili
tra loro, e non esistevano delle prove sperimentali certe per riutarne una piuttosto che
un'altra. La scienza però vuole dare risposte certe, non può accettare sia la decisione al
beam-splitter che la decisione alla rilevazione, dicendo che entrambe sono possibili, ma
che non siamo in grado di stabilire se e quale delle due risulta corretta; la scienza deve
scegliere, ma in che modo?
Le scoperte scientiche vengono tra le altre cose valutate in base alla loro compati-
bilità con i fenomeni osservati. La maggior parte delle teorie esposte in questo lavoro
sono compatibili con gli esperimenti di interferometria, chiaramente dato che sono state
coniate proprio per spiegare i fenomeni d'interferenza. Questo criterio non può quindi essere d'aiuto. Una teoria che è in contrasto con i principi fondamentali della scienza viene
solitamente scartata, ma in questo caso non si può ricorrere a questo criterio, dato che
63
ognuna di esse viola almeno un punto fondamentale su cui è basata la sica classica e se
Einstein avesse creduto il secondo criterio inconfutabile la teoria della relatività ristretta
non sarebbe mai nata. Nel nostro caso i primi due criteri non sono d'aiuto; si ricorre quindi
alla semplicità introducendo la teoria del rasoio di Occam : bisogna preferire le ipotesi più
semplici, ossia quelle che chiamano in causa il minor numero di entità. Essa non ha basi
scientiche, ma è risultata più volte, in seguito a nuove scoperte, essere la strada giusta
da seguire.
Nel caso delle interferenze quantistiche, secondo la teoria del rasoio di Occam bisogna
chiaramente preferire la decisione alla rilevazione. La decisione al beam-splitter infatti non
spiega i fenomeni d'interferenza se non accompagnata da un'altra ipotesi come la teoria
multimondi, vite parallele o le altre teorie alternative discusse nella sezione 6.3. Queste
teorie, sebbene in alcuni casi possano sembrare più facili da accettare, chiamano però
in causa un numero elevato di entità e sono più complicate: per assumerle, ad esempio,
bisogna accettare la presenza di più universi paralleli e non comunicanti tra loro o una
velocità maggiore a quella della luce combinata all'ipotesi della località. La decisione alla
rilevazione implica solo l'accettazione della non-località.
La grande parte della comunità scientica ha preferito assumere la decisione alla rilevazione di fronte alla scoperta dei fenomeni d'interferenza quantistici, seguendo quindi la
teoria del rasoio di Occam. E anche in questo caso gli esperimenti più recenti, di cui si è
discusso soprattutto nel capitolo 6 sembrano mostrare che la strada imboccata è quella
giusta. Nessun risultato ha ancora potuto confutare con certezza qualsiasi teoria che assuma la decisione al beam-splitter, ma si è visto che la decisione alla rilevazione risulta
più precisa e dotata di più potere di previsione. Per citare un esempio, nell'esperimento
proposto nella sezione 6.2.4 si mostra come, assumendo la non-località come ipotesi iniziale, essa può essere sperimentalmente provata. Un esperimento analogo per la decisione
al beam-splitter non sembra, almeno nora, esistere, e secondo i sostenitori della teoria
quantistica una prova di questo genere non potrà mai venire trovata, ma anzi, ogni esperimento che non assume la non-località risulterà contrario alle ipotesi iniziali.
La sica quantistica è un campo ancora aperto; l'ho anticipato nell'introduzione di
questo lavoro e concludo il lavoro ribadendolo. C'è chi crede che la teoria sia denitiva e chi no, ma in ogni caso sono necessarie ancora analisi e veriche sperimentali per
completarne lo studio. Analogamente a molte scoperte scientiche avvenute in passato, ad
esempio l'astronomia copernicana, forse le scoperte future ne favoriranno il distaccamento
dalla losoa, branca a cui, come abbiamo visto, è attualmente strettamente legata. Così
come le osservazioni dei pianeti di Galileo e i calcoli di Keplero permisero di vericare
la teoria eliocentrica e descrivere l'Universo come un insieme di fenomeni governato da
leggi matematiche, è possibile che le scoperte sperimentali, e non solo, future permettano
il completamento della teoria quantistica dal punto di vista puramente scientico.
La sica quantistica attualmente è frutto di numerose ipotesi e studi che hanno lo
scopo di confermare la teoria e, per quanto sia possibile, renderla più chiara e esplicita.
Indipendentemente da ciò, si può sicuramente asserire che la scoperta e lo studio della
sica quantistica hanno causato una rivoluzione nel mondo scientico, come è stato più
volte sottolineato in questo lavoro tramite l'esempio dei fenomeni d'interferenza. Gli eetti
64
d'interferometria cambiano il nostro modo di concepire la Natura. Così come Einstein,
con la sua teoria della relatività ristretta, distrusse il concetto di tempo assoluto e di
spazio invariato e immutabile, la sica quantistica abbandona il concetto di traiettoria, il
principio di località e altre componenti fondamentali della teoria scientica classica.
65
Bibliograa
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67
ultima visita 19.8.'14
Elenco delle gure e fonti
1.1
Sfera di Bloch
immagine tratta da http: // upload. wikimedia. org/ wikipedia/ commons/
thumb/ 6/ 6b/ Bloch_ sphere. svg/ 963px-Bloch_ sphere. svg. png
. . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1
Primo esperimento
2.2
Secondo esperimento
2.3
Interferometro di Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Interferometro di Mach-Zehnder con variazione di lunghezza
8
2.5
Interferometro di Mach-Zehnder con un apparecchio rilevatore lungo il
percorso B.
3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Interferometro a singola e interferometro a doppia fenditura
immagine tratta da A. Zeilinger et al., Single- and double-slit diraction of neutrons, Rev. Mod. Phys. p.60 (1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
6
.
16
Dirazione di neutroni da una singola fenditura
immagine tratta da A. Zeilinger et al., Single- and double-slit diraction of neutrons, Rev. Mod. Phys. p.60 (1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
16
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Interferenza di neutroni da doppia fenditura
3.4
Figura di dirazione di un raggio di luce in un interferometro a singola
fenditura
immagine tratta da http: // www. doitpoms. ac. uk/ tlplib/ diffraction/ printall.
php
3.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Esempio di gura d'interferenza di un raggio di luce in un interferometro
a doppia fenditura
immagine tratta da http: // berghemweb. com/ optikascience/ img/ cms/ 8403-2.
jpg
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.6
Congegno laser per determinare la traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.1
Interferometro di Franson
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Schema dell'esperimento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.3
Valori delle possibili misure per i quali la diseguaglianza di Bell risulta falsa
5.1
5.2
5.3
Schema dell'esperimento mentale in grado di giusticare la scomparsa dei
fenomeni d'interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Congegno laser per determinare la traiettoria intrapresa dalla particella . .
37
Risultato dell'esperimento senza rilevare la particella lungo il percorso
immagine tratta da [10]
5.4
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Risultati dell'esperimento rilevando il neutrone lungo il percorso
immagine tratta da [10]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
38
5.5
L'interferometro di Mach-Zehnder e il meccanismo which-way
5.6
Schema del nuovo esperimento proposto
6.1
Decisione al
6.2
BS
. . . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Diagramma spazio-tempo della congurazione spaziale e temporale
Rilevazioni coincidenti tra
immagine tratta da [6], p.3
6.6
41
Struttura dell'interferometro
immagine tratta da [6], p.2
6.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semplicazione dell'esperimento proposto da Einstein
immagine tratta da [6], p.2
6.4
39
o alla rilevazione: confronto
immagine tratta da [6], p.1
6.3
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
e
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coincidenze triple tra i rilevatori
49
con separazione di tipo spazio
H, A
e
B
51
con separazione di tipo spazio
in un intervallo di tempo di 30 minuti
immagine tratta da [6], p.3
6.7
Rilevazioni coincidenti tra
immagine tratta da [6], p.3
6.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
e
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coincidenze triple tra i rilevatori
51
con separazione di tipo tempo
H, A
e
B
51
con separazione di tipo tempo
in un intervallo di tempo di 30 minuti
immagine tratta da [6], p.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.10 Diagramma di Minkowski che mostra la congurazione before-before . . . .
54
6.11 Interferometro di Mach-Zehnder con variazione di lunghezza
59
6.9
Riepilogo dei risultati
immagine tratta da [6], p.4
70
. . . . . . . .