2007Tutti Compiti - E-learning del Polo di Ingegneria

FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 15 gennaio 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni esercizio
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(N ⋅ m 2 ); µ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m/A; g = 9.81 m/s 2 ; c = 3x108 m/s
Esercizio 1
v0
Una sbarretta sottile di massa M=6 kg e lunghezza d=100 cm e’
libera di ruotare senza attrito attorno a un asse orizzontale passante m
per il suo centro di massa O. La sbarretta e’ inizialmente in quiete in
posizione verticale (si veda la figura).
d
O
Un proiettile di massa m=100 g viene sparato orizzontalmente con
velocita’ v0=100 m/s contro l’estremita’ superiore della sbarretta e
M
rimane conficcato nella sbarretta.
Considerate le opportune leggi di conservazione:
1.1 (3) si calcoli la velocita’ angolare ω0 della sbarretta subito dopo l’urto
1.2 (4) si dica se l’energia meccanica del sistema (sbarretta+proiettile) si conserva nell’urto
oppure no. In caso negativo se ne calcoli la variazione (con segno) durante l’urto.
1.3 (4) dopo l’urto la sbarretta inizia a ruotare attorno al suo asse. Si calcoli la velocita’
angolare ω1 della sbarretta quando questa e’ ruotata di 180° cioe’ quando il proiettile si
trova nel punto piu’ basso.
Esercizio 2
La regione di spazio 0 ≤ x ≤ d , con d=5cm, è riempita con una lastra
infinita di materiale isolante caricata uniformemente con una densità
di carica ρ incognita. In x=0 e’ inoltre presente un piano infinito carico
uniformemente con densità di carica σ =1nC/m2.
All’esterno della lastra il campo elettrico e’ ovunque nullo.
2.1 (2) Determinare la densita’ di carica ρ della lastra
2.2 (4) Calcolare le tre componenti del campo elettrico ( Ex , E y , Ez ) in
ρ
O
P
d
σ
tutto lo spazio e si riporti su un grafico l’andamento di Ex in
funzione di x per y=z=0. Dare una valutazione numerica del
campo elettrico nell’origine.
2.3 (3) Calcolare la differenza di potenziale tra il punto O = (0,0,0) ed
il punto P = (d,0,0) .
2.4 (3) Un elettrone viene rilasciato da fermo nel punto P. Calcolare con quale velocità
l’elettrone passera’ nel punto O (carica elettrone Qe = -e = -1.6x10-19 C, massa
me=9.11x10-31 kg)
x
Esercizio 3
Un filo metallico di massa m=100g e resistenza
R=0.1Ω puo’ scivolare senza attrito su due rotaie
metalliche parallele poste a distanza d=10cm. Il
dispositivo e’ in un piano orizzontale, in presenza di
G
B
m, R
d
I
un campo magnetico B verticale, uniforme e
indipendente dal tempo, di modulo B=100mT.
x
Mediante il generatore di corrente G viene fatta
circolare nel circuito costituito dalle due rotaie e dal
filo metallico una corrente costante I=10A in senso antiorario. L’autoinduzione del circuito
e’ trascurabile.
3.1 (3) Calcolare la forza che si esercita sul filo mobile.
3.2 (3) Calcolare la velocita’ (modulo e verso) del filo mobile all’istante t0=10s, assumendo
che a t=0 esso sia fermo.
3.3 (5) Calcolare allo stesso istante t0 la forza elettromotrice indotta nel circuito e la
potenza totale che il generatore deve erogare per mantenere costante la corrente nel
circuito.
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 1 febbraio 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. +3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(N ⋅ m 2 ); μ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m/A; g = 9.81 m/s2 ; c = 3x108 m/s
Esercizio 1
Una molla di costante elastica K=50 N/m e lunghezza a riposo L0=1m è appesa al soffitto
di una stanza di altezza H=3m. All’altra estremità della molla è attaccata una pallina di
massa M=1kg. La pallina è vincolata da delle guide a muoversi solo in verticale.
1.1 (4) Si calcoli a quale distanza dal soffitto si trova la posizione di equilibrio del sistema.
1.2 (4) La molla viene allungata fino a che la pallina tocca il pavimento e poi rilasciata, con
velocità iniziale nulle. Dire se la pallina colpirà il soffitto ed in caso affermativo
calcolare con quale velocità lo colpisce.
1.3 (4) Si osserva che dopo aver rimbalzato sul soffitto la pallina non arriva di nuovo a
toccare il pavimento ma raggiunge, con velocita’ nulla, un’altezza h=1m da terra. Si
calcoli quanta energia si è persa nell’urto con il soffitto.
Esercizio 2 Un condensatore e’ composto da due piastre quadrate di area A = 10cm2
fra loro parallele e poste a distanza molto piccola rispetto al lato. Su una piastra e’
uniformemente distribuita una carica Q = 10pC, mentre sulla seconda e’ uniformemente
distribuita una carica –Q.
2.1 (4) Si calcoli il modulo della forza elettrica esercitata da una piastra sull’altra.
2.2 (4) Si calcoli il lavoro necessario per portare le piastre da una distanza molto piccola
(praticamente nulla) fino ad una distanza D = 1cm .
Esercizio 3
Un filo rettilineo infinito disposto lungo l’asse z e’ percorso da una corrente I0=1A diretta
lungo + ẑ .
3.1 (4) Calcolare il modulo | B | e le componenti (Bx , By , Bz ) del vettore campo magnetico
nel punto P 0 = (1 cm , 2 cm ,0 ) e nel punto − P 0
P0
3.2 (4) Si dica se l’integrale
∫ B ⋅ d s dipende dal percorso di integrazione e perche’. In caso
−P0
negativo se ne calcoli il valore lungo un percorso a scelta. In caso affermativo se ne
calcoli i valori su due percorsi a scelta e si mostri che sono diversi.
3.3 (4) Una particella carica con q=1nC si muove con velocita’ v 0 = + (100 m/s ) zˆ e passa al
tempo t=0 per il punto P0 . Calcolare il modulo e le componenti ( Fx , Fy , Fz ) della forza
magnetica agente sulla particella a t=0. Se invece la particella passasse con velocita’
− v 0 per il punto − P0 ,quanto sarebbe la forza magnetica ?
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 1 febbraio 2007 - SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 K(x – L0) = M g Æ x = L0 + M g/K = 1.20m
1.2 Si conserva l’energia meccanica perchè le forze in gioco (gravitazionale ed elastica)
sono conservative. Scelgo come 0 dell’energia potenziale gravitazionale il pavimento.
Ei = 1/2 K (H – L0)2 ; Ef = 1/2 K (L0)2 + M g H + 1/2 M v2; imponendo Ei = Ef si ottiene
v2 = (K/M) H (H – 2 L0) – 2 g H = 91.1 m2/s2 Dal valore positivo di v2 deduco che Ui>Uf
e la pallina colpira il soffitto Æ v = 9.55 m/s
1.3 Non si conserva l’energia nell’urto con il soffitto. Ei è quella del punto 1.2;
Ei = 100 J; Ef = 1/2 K ( H – h – L0)2+ M g h = 34.8J ; Ef – Ei = – 65.2J.
Esercizio 2
2.1 Il campo elettrico di una sola piastra ha modulo
modulo della forza elettrica sull’altra piastra vale
Q/ A
= 56V / m , per cui il
2ε 0
Q2
F = QE =
= 5.6nN . La forza
2 Aε 0
E=
e’, naturalmente, attrattiva.
2
2.2 Il lavoro e’ FD = Q D = 56 pJ ; si noti come esso sia uguale all’energia
2 Aε 0
2
immagazzinata (Q /2C) in un capacitore piano di area A e distanza D.
Esercizio 3
3.1 Il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinito percorso da corrente e’
tangente a circonferenze parallele al piano xy e centrate sull’asse z, l’espressione del
μI
μI ⎛ y
μ0 I 0
x ⎞
− yiö+ xöj .
campo e’ la seguente: B = 0 0 θö = 0 0 ⎜ − iö+ öj ⎟ =
r ⎠ 2π x 2 + y 2
2π r
2π r ⎝ r
(
(
)
)
μ0 I 0
μ0 I 0
le
componenti
=
= 8.9 μT ,
2π r 2π x 2 + y 2
y r
2 r
x r
1 r
B = −8.0 μT , By = B =
B = 4.0 μT , Bz = 0T .
Bx = − B = −
r
r
5
5
3.2 Il campo magnetico non e’ conservativo, quindi
Il
modulo
B =
e’
sono
P0
l’integrale di linea
∫ B ⋅ d s dipende
dal percorso di
P0
−P0
y
integrazione. Si considerino infatti come percorsi
alternativi le due semicirconferenze del piano xy,
x
con centro nell’origine, che vanno da − P 0 a P0
− P0
Nella semicirconferenza percorsa in verso antiorario B e d s sono paralleli e concordi, e
P0
l’integrale
∫B⋅ds
vale B π r =
μ0 I 0
2
−P0
= 0.628μT ⋅ m . Nella semicirconferenza percorsa in
P0
verso
orario
B
e
ds
sono
paralleli
e
discordi,
e
l’integrale
∫B⋅ds
vale
−P0
− B πr = −
μ0 I 0
2
= −0.628μT ⋅ m . Infine se uno sceglie un percorso rettilineo tra i due punti,
B e d s sono sempre ortogonali e l’integrale vale 0.
3.3 La forza magnetica e’ F = qv ∧ B . Dato che la velocita’ e il campo magnetico sono tra
loro perpendicolari, il modulo della forza magnetica a t=0 e’ dato semplicemente da
()
F = q v B P0 = 0.89 pN .
Le
componenti
Fx = −qvBy = −0.4 pN ,
sono
Fy = qvBx = −0.8 pN , Fz = 0 . La forza e’ diretta verso il centro della circonferenza. Se la
particella passa con velocita’
B − P0 = − B P0
− v 0 per il punto − P0 , la forza e’ identica perche’
e
( ) ()
F (− P ,− v )= q (− v )∧ B (− P )= −qv ∧ ⎡ − B (P )⎤ = qv ∧ B (P )= F (P , v )
⎣
⎦
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
quindi
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 16 febbraio 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti (inclusi
nei 36 totali) per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(N ⋅ m 2 ); μ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m/A; g = 9.81 m/s 2 ; c = 3x108 m/s
Esercizio 1
uUn cilindro “pieno” omogeneo di massa M=2kg e raggio R=5cm e un cilindro cavo con la
stessa massa M e lo stesso raggio R possono rotolare su un piano inclinato di un angolo
θ=30° rispetto all’orizzontale.
1.1 (4) Calcolare l’accelerazione del centro di massa di ciascun cilindro nell’ipotesi di puro
rotolamento
1.2 (4) I due cilindri vengono lasciati partire da fermi sul piano inclinato. Calcolare con
quale velocita’ si muovono i centri di massa dei due cilindri quando i loro centri di
massa sono scesi di una quota H=20cm rispetto alla posizione iniziale
1.3 (4) Se il coefficiente di attrito statico tra il piano inclinato e i cilindri e’ μs=0.2, dire se
sono verificate le condizioni di puro rotolamento per ciascuno dei due cilindri
Esercizio 2
Si consideri il cirucito illustrato di fianco. La forza elettromotrice
erogata dalla batteria e’ V0=12V, e le tre resistenze sono
identiche, R1=R2=R3≡R=1kΩ.
2.1 (4) Calcolare la resistenza equivalente della parte destra del
circuito tra i punti A e B
2.2 (4) Calcolare quanta corrente viene erogata dalla batteria
2.3 (4) Determinare quanta potenza viene dissipata in ciascuna
delle tre resistenze
A
R1
V0
R3
R2
B
Esercizio 3
Un cavo coassiale e’ costituito da un filo rettilineo infinito
disposto lungo l’asse z, percorso da una corrente I0=0.1A
diretta lungo + ẑ , e da un guscio conduttore cilindrico
(“schermo”) di raggio a=2mm, concentrico con il filo (l’asse del
guscio quindi coincide con l’asse z), percorso da una corrente I0
diretta lungo − zö (cioe’ in verso opposto alla corrente che scorre
nel filo) e distribuita uniformemente sullo schermo.
3.1 (4) Determinare il modulo | B | in un punto P generico
identificato dalle tre coordinate cilindriche (r,θ , z) nel caso
r<a (punto P collocato tra il filo e lo schermo) e nel caso r>a
y
z
schermo
B
A
C
x
filo
3.2 (4) Calcolare il valore di | B | e disegnare la proiezione del vettore B sul piano xy nei
punti A (r=1mm, θ=0, z=0), B (r=0.5mm, θ=π, z=0) e C (r=3mm, θ=0, z=0)
3.3 (4) Trovare la forza totale esercitata dal filo sullo schermo
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 16 febbraio 2007 - SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 a = α R =
τ
I
R=
MR 2
g sin θ
g sin θ =
.
I cm
I
1+
MR 2
cilindro cavo: I cm = MR 2 ⇒ a =
cilindro pieno: I cm =
g sin θ g
m
= = 2.45 2
2
4
s
1
2 g sin θ g
m
MR 2 ⇒ a =
= = 3.27 2
2
3
3
s
1.2 Nel moto di puro rotolamento si conserva l’energia meccanica, quindi
⎛
I cm ⎞
1
1
1
2
2
Mvcm
+ I cmω 2 = Mvcm
1
+
, da cui vcm =
⎜
2
2
2
MR 2 ⎟⎠
⎝
2 gH
. Lo stesso risultato
I cm
1+
MR 2
puo’ essere ricavato considerando che il moto e’ uniformemente accelerato con le
accelerazioni trovate in 1.1, e i cilindri percorrono una distanza L=H/sinθ.
Numericamente:
MgH =
cilindro cavo: vcm = gH = 1.40
cilindro pieno: vcm =
m
s
4
m
gH = 1.62
3
s
1.3 Nell’ipotesi di puro rotolamento le forze che agiscono sui cilindri sono la forza peso, la
reazione normale del piano e la forza di attrito statico tra il cilindro e il piano. La prima
equazione cardinale della dinamica, proiettata lungo la direzione perpendicolare al
piano inclinato e nella direzione del moto, da’ come risultato le due equazioni:
⎧ N = Mg cosθ
⎪
⎪
Mg sin θ
⎨ Mg sin θ + Fs = Ma =
I
⎪
1 + cm 2
⎪⎩
MR
⎛
⎞
I cm
2
⎜
⎟
1
Quindi la forza di attrito statico e’ Fs = Mg sin θ ⎜
− 1⎟ = − Mg sin θ MR , e la
I
⎜ 1+ I cm
⎟
1 + cm 2
2
⎝
⎠
MR
MR
I cm
condizione Fs ≤ μs N diventa μs ≥ tan θ
cilindro cavo: μs ≥
MR 2
I
1 + cm 2
MR
1
tan θ = 0.289 Æ il moto non e’ di puro rotolamento
2
1
cilindro pieno: μs ≥ tan θ = 0.192 Æ il moto e’ di puro rotolamento
3
Esercizio 2
3
2.1 Req = R = 1.5kΩ
2
V
2.2 I = 0 = 8mA
Req
2.3
R1 : P = I 2 R = 64mW
2
⎛ I⎞
R2 , R3 : P = ⎜ ⎟ R = 16mW
⎝ 2⎠
Esercizio 3
3.1 Il campo magnetico generato da una distribuzione di correnti con simmetria cilindrica
infinita e’, come nel caso del campo generato dal filo rettilineo infinito percorso da
corrente, tangente a circonferenze parallele al piano xy e centrate sull’asse z (cioe’
l’unica componente diversa da zero e’ la componente tangenziale Bθ) e dipende solo
dalla distanza r dall’asse z. Il modulo del campo si trova applicando la legge di Ampere
a una circonferenza di raggio r nel piano xy con centro sull’asse z
μI
r<R: B = Bθ = 0 0 ; r>R: B = 0
2π r
−5
3.2 A: B = 2 × 10 T
B: B = 4 × 10−5 T
C: B = 0T
3.3 La forza totale e’ nulla
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA PARZIALE del 22 febbraio 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. In aggiunta, c’è un
bonus da 0 a 3 punti per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche:
Esercizio 1
Una trave omogenea di m=120 kg ha la sua estremità
inferiore incernierata a terra ed è sorretta da un cavo
fissato alla parete come illustrato nella figura. Il cavo è
perpendicolare alla trave, la quale forma un angolo α di
65° con il pavimento. All’estremità superiore è appeso un
oggetto di M=200kg.
1.1 (4) Si determini la tensione del cavo.
1.2 (4) Si determinino le componenti x ed y della reazione
della cerniera sulla trave.
m
M
Esercizio 2
Si consideri un satellite di massa m=1000kg che orbita intorno alla terra, la quale può
essere considerata fissa nell’origine delle coordinate.
2.1 (4) Dire quali delle seguenti quantità si conservano nel moto del satellite, e si spieghi
perchè: energia meccanica, energia cinetica, energia potenziale, quantità di moto,
momento angolare. (Si noti che non viene specificato il tipo di orbita del satellite)
2.2 (4) Determinare il raggio dell’orbita se il satellite compie un’orbita circolare
geostazionaria.
2.3 (4) Calcolare il lavoro totale fatto dalla forza di gravità durante la traiettoria di lancio che
ha portato il satellite dalla superficie della terra all’orbita geostazionaria del punto 2.2.
Esercizio 3
Una massa puntiforme m=50.0g, attaccata ad un filo passante
per un piccolo foro, giace in un piano orizzontale privo di attrito,
come mostrato in figura. Inizialmente la massa compie un moto
di circolare uniforme di raggio ri=30cm e velocità vi=1.50m/s. Il
filo viene poi tirato molto lentamente (cioè mantenendo sempre
la condizione di equilibrio) verso il basso ed il raggio della
circonferenza diminuisce.
3.1 (4) Determinare la velocità della massa m quando il raggio è
diventato rf=ri/2.
3.2 (4) Determinare la tensione del filo T in funzione del raggio r
di rotazione della massa, e calcolarla numericamente per
r=ri.
3.3 (4) Determinare il lavoro che è stato necessario per spostare la massa dal raggio
iniziale ri al raggio finale rf=ri/2.
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 16 febbraio 2007 - SOLUZIONI
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA PARZIALE del 20 aprile 2007
NOTE: -
Tempo a disposizione: 2h 30m
Giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile le
risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. C’è un bonus
da 0 a 3 punti per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(N ⋅ m 2 );g = 9.81 m/s 2
Esercizio 1
A
Una sbarra AB, di lunghezza L=1m e massa y
M=5kg, e’ vincolata a ruotare senza attrito
attorno ad A. Per t<0 la sbarra forma un angolo
θ
θ=30° rispetto alla verticale ed e’ tenuta ferma in
tale posizione tramite una fune verticale collegata
B
x
in B e appesa al soffitto (vedi figura). Per le
risposte si utilizzi un sistema di coordinate
cartesiano xy come indicato nella figura.
1.1 (3) Si calcoli il modulo della tensione della fune e le componenti x e y della
reazione del vincolo nel punto A.
1.2 (4) Al tempo t=0 la fune viene rimossa: si calcoli l’accelerazione angolare
iniziale della sbarra e le componenti x e y della reazione del vincolo in A.
1.3 (4) Calcolare la velocita’ angolare della sbarra quando e’ in posizione
verticale (θ=0°), con il punto B piu’ in basso rispetto al punto A.
gravita’
Z
Esercizio 2
Una superficie cilindrica di lunghezza infinita e raggio a=1cm, e’
uniformemente caricata con una densita’ di carica elettrica
Per le risposte si utilizzi un sistema di coordinate
σ=2pC/cm2.
cilindrico (R,θ,z) con l’asse Z coincidente con l’asse della superficie
cilindrica.
2.1 (4) Si calcolino le componenti del campo elettrico a distanza R
dall’asse, distinguendo i due casi R< a ed R> a.
2.2 (4) L’integrale di linea del campo elettrico tra i punti A(R=0, Z=0,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
A
B
θ=0) e B(R=2a, Z=3a, θ=0),
∫ Eidl , dipende dal percorso? In
A
caso negativo se ne calcoli il valore, in caso affermativo si calcoli il valore su
un percorso scelto dallo studente
2.3 (4) Un elettrone (massa me = 9.1x10-31kg, carica –e = -1.6x10-19C) e’
inizialmente fermo nel punto B, e viene lasciato libero di muoversi sotto
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
R
l’azione del campo elettrico generato dalla superficie cilindrica. Determinare
le coordinate del punto in cui l’elettrone urta il cilindro, e il modulo della
velocita’ dell’elettrone nel momento dell’urto.
Esercizio 3
Si consideri il seguente circuito, costituito da un generatore di d.d.p. V0=12V, un
condensatore di capacita’ C=10pF, una resistenza R1=2kΩ e due resistenze
R2=8kΩ collegati come in figura. All’inizio il condensatore e’ scarico e
l’interruttore S e’ aperto. Successivamente l’interruttore S viene chiuso.
3.1 (3) Nell’ipotesi che l’interruttore sia stato chiuso per un tempo
sufficientemente lungo, si calcoli la carica Q0 accumulata sulle armature del
condensatore e la corrente che lo percorre.
3.2 (3) Nella stessa ipotesi del punto precedente, determinare le correnti che
attraversano le 3 resistenze.
3.3 (4) Dopo che il condensatore e’ stato caricato, l’interruttore S viene aperto.
Calcolare dopo quanto tempo dall’apertura dell’interruttore la carica sulle
armature del condensatore raggiunge il valore Q0/2
S
V0
R1
+
R2
C
R2
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA PARZIALE del 20 aprile 2007 - SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 La tensione e’ verticale, diretta verso l’alto, e dalla II equazione cardinale
(scegliendo il punto A come polo) si ricava
Mg
= 24.5N .
T=
2
La sbarretta ha accelerazione nulla quindi dalla I equazione cardinale si
ricava, imponendo che la somma totale delle forze esterne sia uguale a 0:
Mg
Rx = 0; Ry = Mg − T =
= 24.5N
2
1.2 Dalla II equazione cardinale (scegliendo il punto A come polo) si ricava
L
τ A Mg 2 sin θ 3g
rad
α=
=
=
= 7.36 2
1
IA
4L
s
ML2
3
Il centro di massa effettua un moto circolare. L’accelerazione del centro di
massa al tempo t=0, essendo nulla la sua velocita’, e’ puramente tangenziale
L
3 3
L
3
cosθ = −
g, a y = −α sin θ = − g
2
16
2
16
Dalla I equazione cardinale si ricava:
ax = −α
3 3
13
Mg = −15.9N , Ry = Mg + Ma y =
Mg = 39.9N
16
16
1.3 Dalla conservazione dell’energia meccanica della sbarra
1
L
I Aω 2 = −ΔU grav = Mg 1 − cosθ da cui
2
2
Rx = Max = −
(
ω=
(
3g 1− cosθ
L
si
ricava:
)
) = 1.99 rad
s
Esercizio 2
2.1 L’unica componente non nulla del campo elettrico e’ quella radiale:
⎧0
R<a
⎪
ER = ⎨ aσ
⎪ε R R > a
⎩ 0
(
(
)
)
2.2 Il campo elettrostatico e’ conservativo, quindi l’integrale di linea del campo
elettrico tra i punti A(R=0, Z=0, θ=0) e B(R=2a, Z=3a, θ=0) non dipende dal
R= 2a,Z =3a,θ =0
R= 2a
aσ ln 2
= 15.7V
percorso. Si ha
∫ Eidl = ∫ ER dR =
R=0,Z =0,θ =0
R=0
ε0
2.3 L’elettrone si muove su una retta perpendicolare all’asse z, a Z=cost=3a e
θ=cost=0, Il punto in cui urta il cilindro ha quindi coordinate R=a, Z=3a, θ=0.
La velocita’ al momento dell’urto si trova con la conservazione dell’energia:
R= a,Z =3a,θ =0
R= 2a
eaσ ln 2
1
2
me v = −ΔU el = e
E i dl = e ∫ ER dR =
∫
2
ε0
R= 2a,Z =3a,θ =0
R= a
da cui
v=
m
2eaσ ln 2
= 2.35 × 106
meε 0
s
Esercizio 3
(
)
⎞
⎛
R1
= 80 pC
3.1 I C = 0 A, Q0 = C V0 − I R R1 = CV0 ⎜ 1 −
1
R1 + R2 2 ⎟⎠
⎝
( )
3.2 I R1 =
3.3 t =
( )
( )
I R1
V0
= 2mA, I R2 =
= 1mA
R1 + R2 2
2
R2
C ln 2 = 28ns
2
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA PARZIALE del 28 maggio 2007
NOTE: -
Tempo a disposizione: 2h 30m
Giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile le
risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. C’è un bonus
da 0 a 3 punti per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(N ⋅ m 2 ); μ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m/A; g = 9.81 m/s 2
Esercizio 1
Una sbarretta di ferro OP di lunghezza L=50cm e sezione
S=2mm2 ha l’estremo O collegato ad un motore che la
mantiene in rotazione in senso antiorario attorno ad un asse
orizzontale perpendicolare alla sbarretta con la frequenza
costante di 1 giro al secondo. L’estremo P è in contatto
elettrico con una rotaia circolare di resistenza trascurabile
che è collegata elettricamente all’asse del motore e quindi
all’estremo O della sbarretta, chiudendo il circuito. Si g
consideri per il ferro le seguenti costanti:
densità ρM=7.87g/cm3 , resistività ρE=9.68x10-8Ω.m.
Inizialmente il campo magnetico esterno è nullo.
1.1 (4) Si calcoli la massa e la resistenza elettrica della sbarretta
1.2 (4) Si calcoli la massima potenza erogata dal motore.
B
O
P
Successivamente viene applicato un campo magnetico esterno perpendicolare
alla sbarretta di modulo B=0.5 T.
1.3 (4) Si calcoli la corrente indotta nel circuito formato dalla sbarretta OP, dalla
rotaia e dal collegamento tra rotaia ed asse del motore.
1.4 (4) Si calcoli la massima potenza erogata dal motore quando è presente il
campo magnetico esterno
Esercizio 2
Si consideri il circuito in figura con R1=10kΩ,
R2=1kΩ, C1=1nF, L1=1μH. Si consideri
V0=10V. Nella situazione stazionaria si calcoli:
2.1 (4) Le correnti che attraversano C1 e L1
(IC1, IL1) e le tensioni ai loro capi (VC1, VL1)
2.2 (4) L’energia immagazzinata nel condensatore e nell’induttanza.
Improvvisamente la tensione ai capi della batteria V0 viene portata a 0V. Si
calcoli:
2.3 (4) Dopo quanto tempo si dimezza la tensione ai capi del condensatore.
2.4 (4) Dopo quanto tempo si dimezza la corrente attraverso l’induttanza.
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA PARZIALE del 28 maggio 2007 - SOLUZIONI
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA dell’11 giugno 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
Scrivere solo sui fogli forniti e restituirli tutti
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(N ⋅ m 2 ); μ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m/A; g = 9.81 m/s 2 ; c = 3x108 m/s
Esercizio 1
Un proiettile di massa m=10g viene sparato con velocita’
v=500m/s contro un piattello di massa M=5kg in quiete. Il
piattello e’ collegato ad una molla di costante elastica
k=200N/m. L’urto e’ praticamente istantaneo e il proiettile
rimane conficcato nel piattello. Si trascuri la gravità.
1.1 (3) Determinare la velocita’ del piattello subito dopo
l’urto.
1.2 (4) Dire se nell’urto l’energia si conserva e perche’. Se l’energia non si conserva,
determinare la frazione dell’energia iniziale che viene persa nell’urto.
1.3 (4) Determinare ampiezza e frequenza delle oscillazioni del sistema piattello+proiettile
dopo l’urto
Esercizio 2
Quattro cariche (due positive, +Q, e due negative, -Q) sono
disposte ai vertici di un quadrato di lato 2d, come mostrato in
figura. Come valori numerici si considerino Q=10pC e d=2mm.
2.1 (3) Determinare il campo elettrico (modulo, direzione e
verso) al centro del quadrato (punto O)
2.2 (4) Determinare il potenziale elettrico V(x) lungo l’asse x, ed
in particolare il valore del potenziale nel punto x= -d
2.3 (4) Una carica di prova positiva con carica q=2pC e massa
m=1mg viene lasciata libera nel punto x=-d. Indicare in che
direzione si muove la carica, e qual è la sua velocità quando
essa si trova a grande distanza dalle altre cariche.
y
-Q
+Q
2d
O
+Q
x
-Q
Esercizio 3
Su un anello sottile circolare di raggio a=10cm e massa
M=25g e’ distribuita in modo uniforme una carica Q=100μC.
B
L’anello viene mantenuto in rotazione attorno al proprio asse
con velocita’ angolare costante di ω= 500 rad/s.
3.1 (3) Determinare la corrente dovuta al movimento della
carica Q ed il campo magnetico da essa generato al
centro dell’anello.
3.2 (4) Determinare il rapporto tra il momento magnetico ed
il momento angolare dell’anello e dire se dipende dalla
velocità di rotazione.
3.3 (4) Determinare il momento della forza sull’anello se viene applicato un campo
magnetico esterno B=0.1 T con un angolo di 30° rispetto all’asse di rotazione.
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA dell’11 giugno 2007 – SOLUZIONI
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 29 giugno 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10 −12 C 2 (N ⋅ m 2 ); μ 0 = 4π × 10 −7 T ⋅ m A; G = 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1s −2
Esercizio 1
La Terra (massa mT=5.97x1024 kg) orbita intorno al Sole (mS=1.99x1030kg) descrivendo
una traiettoria ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Si può considerare il sole
vincolato nell’origine. Nel punto di massimo allontanamento A, la distanza Terra-Sole e’
RA=1.521x1011 m e la velocita’ della Terra in quel punto e’ VA=29.27 km/s. Nel punto di
massimo avvicinamento P la velocita’ orbitale della Terra e’ VP=30.27 km/s.
1.1 (3) Dire (giustificando brevemente le risposte) quali tra le seguenti quantita’ sono
conservate nel moto della terra intorno al sole: quantita’ di moto della Terra, momento
angolare della Terra rispetto al Sole, energia meccanica della Terra.
1.2 (4) Determinare, nel punto P di massimo avvicinamento, la distanza della Terra dal
Sole e la sua energia meccanica, considerando il riferimento del potenziale all’infinito.
1.3 (4) Determinare la componente tangenziale dell’accelerazione della Terra e il raggio di
curvatura della traiettoria nel punto P di massimo avvicinamento.
Esercizio 2
Due anelli dielettrici sottili di raggio R=1cm sono disposti
come in figura, con gli assi allineati e diretti lungo l’asse
x. I loro centri giacciono nei punti x=-a e x=+a, con
a=2cm. I due anelli sono elettricamente carichi, con la
stessa densita’ lineare di carica λ=1pC/cm.
2.1 (4) Determinare il potenziale elettrico V(x) in ogni
punto (x,0,0) dell’asse x, e rappresentarlo in un
grafico {x,V(x)}. Valutare numericamente V(0) e V(a).
2.2 (4) Un protone (massa mp=1.67*10-24g, carica e=1.6*10-19C) viene rilasciato da fermo
nel punto (x=a,0,0). Dire in che direzione si muove e se si allontana indefinitamente
dai 2 anelli. In caso affermativo, determinare qual è la sua velocità quando esso si
trova a grande distanza dagli anelli.
2.3 (3) Come cambiano le risposte al punto precedente nel caso di un elettrone (massa
me=9.11*10-28g, carica -e)?
y
R
R
x
O
a
Esercizio 3
Un filo rettilineo infinito coincidente con l’asse z e’ percorso da una
corrente costante I=10A. Una sbarretta conduttrice sottile di lunghezza
l=80cm, perpendicolare al filo trasla con velocita’ v=10 m/s costante
parallela al filo. L’estremita’ della sbarretta piu’ vicina al filo dista da
esso r=5cm.
3.1 (3) Determinare il campo elettrico E(x) in ogni punto della sbarretta
una volta raggiunto l’equilibrio all’interno del conduttore.
3.2 (4) Calcolare la differenza di potenziale ai capi della sbarretta.
3.3 (4) Le estremita’ della sbarretta vengono collegate a una resistenza
R=0.1Ω. Determinare la forza che deve esercitare l’operatore
dall’esterno per mantenere costante la velocita’ della sbarretta.
a
z
I
v
r
l
x
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA dell’11 giugno 2007 – SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 La quantita’ di moto non si conserva perche’ la Terra e’ soggetta a una forza esterna
(l’attrazione gravitazionale del Sole).
Il momento angolare rispetto al Sole si conserva perche’ il momento meccanico
dell’attrazione gravitazionale, scegliendo il Sole come polo, e’ nullo (la forza e’ diretta
dalla Terra verso il Sole).
L’energia meccanica si conserva perche’ la Terra e’ soggetta soltanto alla forza
gravitazionale, che e’ conservativa.
1.2 Nei punti di minima e massima distanza la velocita’ della Terra e’ perpendicolare al
vettore che congiunge il Sole e la Terra, quindi il modulo del momento angolare in
questi 2 punti e’ mT rAVA e mT rPVP . Dalla conservazione del momento angolare si
V
ricava: rP = rA A = 1.471 ⋅1011 m .
VP
L’energia meccanica della Terra in tale punto e’:
GmT mS
1
2
E = mTV ( rP ) −
= −2.65 ⋅1033 J
2
rP
1.3 Nel punto di massimo avvicinamento, l’accelerazione e’ puramente radiale quindi
V2
VP 2 VP 2
V2
r 2V 2
=
= P = P P = 1.494 ⋅1011 m .
aPtan = 0 e aPrad = P , da cui rcurv = rad
FP GmS
rcurv
aP
GmS
2
mT
rP
Esercizio 2
2.1 Il potenziale elettrico generato da un singolo anello lungo il suo asse vale, a distanza
1
2πλR
d dal centro dell’anello, V =
(Esempio 25.5, Serway II Volume)
2
4πε 0 (d + R 2 )1 2
Il potenziale elettrico totale e’ la somma algebrica dei potenziali elettrici dovuti ai 2
⎧
⎫
λ ⎪
1
1
⎪
anelli. Lungo l’asse x, quindi, V (x ) =
⎨
12 +
1 2 ⎬ . In
2
2
2
2
2ε 0 ⎪ (x − a) + R
(x + a) + R ⎪⎭
⎩
(
particolare V (0) =
) (
)
⎫⎪
⎫⎪
1
λ ⎧⎪
2
λ ⎧⎪ 1
=
5.05V
,
V
(
a
)
=
+
⎬
⎬ = 7.02V
⎨
⎨
2ε 0 ⎪ (a 2 + R 2 )1 2 ⎪
2ε 0 ⎪ R (4a 2 + R 2 )1 2 ⎪
⎭
⎩
Il grafico di V(x) e’ mostrato in figura.
⎩
⎭
2.2 Il campo elettrico per x>=a e’ sempre diretto lungo +x, quindi il protone e’
costantemente accelerato verso x=+infinito. Dalla conservazione dell’energia del
1
2eV (a)
protone, m p v ∞2 = eV (a) , si ricava v ∞ =
= 3.67 ⋅10 4 m s
mp
2
2.3 Se al posto del protone ci fosse un elettrone, questo verrebbe inizialmente accelerato
verso le x negative, e la conservazione dell’energia implica che il suo moto sarebbe
limitato tra x=-a e x=+a.
Esercizio 3
JG
μI
3.1 Dentro la sbarra, a distanza x dal filo, c’e’ un campo magnetico B ( x ) = 0 ˆj .
2π x
All’equilibrio la forza magnetica deve essere bilanciata da quella elettrica, quindi
dentro
alla
sbarretta
deve
essere
presente
un
campo
elettrico
JG
G JG
μ0 Iv ˆ
E ( x ) = −v ∧ B ( x ) =
i
2π x
3.2 Tra
l’estremo
di
sinistra
e
quello
di
destra
c’e’
una
d.d.p.
r +l
r +l
μ Iv dx μ0 Iv ⎛ l ⎞
ΔV = ∫ E ( x ) dx = 0 ∫
=
ln ⎜ 1 + ⎟ = 56.7 μV
2π r x
2π
⎝ r⎠
r
ΔV
3.3 Nella sbarretta scorre una corrente I sb =
= 567 μ A da destra verso sinistra. Su ogni
R
tratto
di
sbarretta
agisce
una
forza
magnetica
2
JG
JG
( μ I ) v ⎛ l ⎞ dx d F ( x ) = I sb dxiˆ ∧ B ( x ) = − 0 2 ln ⎜1 + ⎟ k , e quindi l’operatore deve esercitare
4π R
⎝ r⎠ x
sulla sbarretta – per mantenerla a velocita’ costante – una forza totale
2
2
r + ; JG
JG
μ0 I ) v ⎡ ⎛ l ⎞ ⎤ ΔV 2 (
F ( x) = − ∫ d F ( x) =
k = (3.21nN )k . Si poteva giungere allo
ln ⎜1 + ⎟ ⎥ k =
⎢
2
Rv
4π R ⎣ ⎝ r ⎠ ⎦
r
stesso risultato anche da considerazioni energetiche: l’energia cinetica della sbarretta
ΔV 2
rimane costante, e nella resistenza viene dissipata per effetto Joule la potenza
.
R
Questa
deve essere fornita percio’ dall’operatore esterno, che sviluppa una potenza
JG G
F ⋅v .
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 20 luglio 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 × 10 −12 C 2 (N ⋅ m 2 ); μ 0 = 4π × 10 −7 T ⋅ m A; G = 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1s −2
Esercizio 1
Una corda inestensibile e priva di massa è avvolta attorno ad
M1
un rocchetto di massa M1=500g e raggio R=20cm appoggiato
su un piano orizzontale sul quale rotola senza strisciare. La
corda passa da una carrucola priva di massa e priva di attrito
ed è attaccata all’altra estremità ad una massa M2=750g libera
di cadere, partendo da ferma, sotto l’azione della gravità, come
mostrato in figura.
1.1 (2) Dire di quanto si sposta il centro di massa del rocchetto
M1 se la massa M2 cade di un altezza h=50cm.
1.2 (4) Determinare la velocità di M2 dopo che è caduta per un altezza h=50cm.
1.3 (5) Determinare l’accelerazione con cui cade M2.
Esercizio 2
Si consideri il circuito mostrato in figura. L’interruttore S1 è
inizialmente chiuso. Nota: i valori delle capacità si intendono in Farad,
quelli delle resistenze in Ohm.
2.1 (3) Determinare la corrente I3 e le due cariche sui condensatori
Q(C1) e Q(C2) in situazione stazionaria.
All’istante t=0 l’interruttore S1 viene aperto.
2.2 (4) Determinare i tempi t1 e t2 a cui le cariche sui condensatori C1
e C2 si sono dimezzate rispetto ai loro rispettivi valori iniziali.
2.3 (4) Determinare la tensione VAB(t) tra i punti A e B in funzione del
tempo e rappresentare tale funzione su un grafico.
Esercizio 3
Un protone (m=1.67x10-27 kg, q=1.6x10-19 C) viaggia con velocità v lungo l’asse x, in
direzione delle x positive. Nel semispazio x>0 è presente un campo magnetico costante
ed uniforme diretto lungo l’asse negativo delle z e con modulo B=6 mT. Nel piano x=0 è
posto uno schermo di spessore infinitesimo con un forellino in z=y=0 attraverso cui entra
il protone, ed un secondo forellino a distanza d=5cm da dove il protone dovrà uscire.
3.1 (4) Determinare il modulo della velocità v e le coordinate del secondo forellino per cui
il protone esce dalla regione di campo magnetico.
3.2 (4) Determinare quanto tempo impiega il protone dal primo al secondo forellino.
3.3 (3) Determinare il modulo della velocità v perchè il protone esca dalla regione di
campo magnetico se il protone, invece che lungo l’asse x, si muoveva inizialmente
lungo la retta di equazione y=x.
M2
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 21 settembre 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 ×10−12 C 2 ( N ⋅ m 2 ) ; μ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m A ; g = 9.81ms −2
Esercizio 1
Un cubo di lato 2a=40cm, massa M=2kg, scivola con
velcocità v=0.2m/s su un tavolo liscio che termina con un
ostacolo di altezza trascurabile rispetto ad L, come mostrato
in figura. Successivamente all’urto completamente anelastico
contro l’ostacolo il cubo ruota intorno al suo spigolo.
1.1 (4) Dire quali delle seguenti quantità si conservano
nell’urto e perché: quantità di moto, energia meccanica,
momento angolare rispetto allo spigolo.
1.2 (4) Calcolare la velocità angolare del blocco subito dopo
l’urto. Si ricorda che il momento di inerzia del cubo
rispetto al suo spigolo è I=(8/3)Ma2.
1.3 (4) Dire se il blocco cade dal tavolo e determinare il valore
minimo della velocità v per cui questo accade.
Esercizio 2
Due cilindri di rame (Cu) e di ferro (Fe) di uguale
raggio (R= 1mm) e uguale lunghezza (L= 2cm) sono
collegati come in figura. Le resistività dei materiali
sono ρ(Fe)=10-7Ωm e ρ(Cu)=1.7 x 10-8Ωm. Ai capi A
e B viene applicata una d.d.p. VB-VA = 10mV.
2.1 (3) Calcolare la resistenza tra il punto A ed il
punto B.
2.2 (3) Calcolare la corrente nei cilindri e la d.d.p. VC-VA
2.3 (3) Si supponga adesso che la giunzione C sia stata realizzata in modo imperfetto,
introducendo una resistenza di contatto RC= 5mΩ tra le due sbarrette. Calcolare la corrente
che scorre in tale caso.
Esercizio 3
Q
Una spira quadrata piana di lato L=10cm e resistenza
R=5Ω viene mantenuta in rotazione con una frequenza
costante f= 100 giri/s lungo un asse passante per il
R
punto medio di due suoi lati e giacente nel piano della P
spira in una regione con un campo magnetico uniforme
e costante diretto perpendicolarmente alla spira e di
B
modulo B = 2T. Si trascuri l’autoinduzione della spira.
3.1 (4) Calcolare la corrente che scorre nella spira in
funzione del tempo e determinare il suo valore massimo.
S
3.2 (4) Determinare la massima potenza dissipata nella spira.
3.3 (4) Determinare la forza su ciascun lato della spira nel momento in cui la corrente è
massima.
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Durante l’urto delle forze impulsive dissipative agiscono sullo spigolo del cubo a contatto con
l’ostacolo. La sua energia e la quantita’ di moto quindi non si conservano, mentre il momento
angolare rispetto a un asse passante per quello spigolo si conserva, essendo nullo il
momento meccanico di tali forze.
1.2 Imponendo la condizione che il momento angolare rispetto allo spigolo a contatto con
8
3v
= 0.375 rad s
l’ostacolo si conservi durante l’urto si ricava: Mva = I ω = Ma 2ω , da cui ω =
3
8a
1.3 Dopo l’urto, nella rotazione attorno lo spigolo a contatto con l’ostacolo l’energia del cubo si
conserva, poiché le forze di attrito esercitate dall’ostacolo – essendo applicate a dei punti
fissi – non compiono lavoro. Il cubo cade dal tavolo se arriva nella posizione di massima
energia potenziale (massima altezza del suo centro di massa) con velocita’ angolare ω’ non
nulla. L’energia subito dopo l’urto e’
2
1
1⎛8
3
⎞ ⎛ 3v ⎞
E1 = Mga + I ω 2 = Mga + ⎜ Ma 2 ⎟ ⎜ ⎟ = Mga + Mv 2
2
2⎝3
16
⎠ ⎝ 8a ⎠
1
e l’energia nel punto di massima energia potenziale e’: E2 = Mga 2 + I ω ′2 > Mga 2
2
dove la disuguaglianza finale segue dalla condizione ω’>0. Dalla conservazione dell’energia
(E1=E2) si ricava:
3
16
Mga + Mv 2 > Mga 2 , da cui v >
ga 2 − 1 = 2.08 m s . Di conseguenza il blocco non
16
3
cade dal tavolo.
(
)
Esercizio 2
2.1 Le resistenze dei due cilindri sono: R(Fe) = ρ(Fe) * L /(π R2) = 6.37 x 10-4Ω e R(Cu) = ρ(Cu) *
L /(π R2) = 1.08 x 10-4Ω. La resistenza totale è la somma delle due, che sono collegate in
serie: R = 7.45 x 10-4Ω.
2.2 La corrente che scorre è I = V/R = 13.4 A. La tensione VC-VA = I * R(Fe) = 8.55 mV.
2.3 In tal caso si tratta di 3 resistenze in serie, con resistenza totale R’ = R + Rc = 5.745mΩ. La
corrente che scorre è I’ = 10mV /R’ = 1.74 A
Esercizio 3
3.1 Il flusso del campo magnetico attraverso la superficie racchiusa dalla spira varia nel
G
tempo: Φ ( B) = L2 B cos(2π ft ) . Viene quindi indotta una forza elettromotrice e quindi una
corrente all’interno della spira: I ( t ) = −
corrente è: I max =
1 d Φ L2 B 2π f
=
sin(2π ft ) . Il valore massimo della
R dt
R
L2 B 2π f
= 2.51A
R
3.2 La potenza dissipata per effetto Joule nella spira è P ( t ) = I
suo valore massimo e’ Pmax = I
2
max
R = 31.5W
2
(t )
( L B2π f )
R=
2
R
2
sin 2 (2π ft ) e il
G
3.3 La corrente e’ massima per sin(2π ft ) = 1 , quindi cos(2π ft ) = 0 ovvero Φ( B) = 0 . Percio’
quando la corrente e’ massima la spira giace nel piano verticale passante per il suo asse. I
G G
due lati PQ e RS sono paralleli al campo magnetico e quindi la forza magnetica IL × B agente
su di essi e’ nulla. I due lati QR e PS sono perpendicolari al campo magnetico e la forza
magnetica su ciascuno dei due e’ I max LB = 0.5 N . Le due forze sono dirette
perpendicolarmente al lato in questione e al campo magnetico, e hanno versi opposti.
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA del 15 novembre 2007
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: g = 9.81ms −2
Esercizio 1
A
Un blocchetto di massa M=2kg scivola su
un profilo liscio partendo da fermo da
un'altezza H=3m. Il profilo termina con un
C
cerchio di raggio R=1m, come mostrato in
figura.
1.1 (5) Calcolare il lavoro di tutte le forze
che agiscono sul blocco nel percorso
H
B
dal punto A di partenza al punto B ad
altezza R.
R
1.2 (5) Determinare le componenti radiale
e tangenziale dei vettori velocità ed
accelerazione del blocchetto quando si
trova nel punto B..
1.3 (5) Il blocchetto successivamente procede ed arriva fino al punto C. Determinare in tale
punto il modulo, direzione e verso della reazione vincolare.
Esercizio 2
Un autocarro in quiete all’istante t=0 accelera
uniformemente
lungo
una
strada
orizzontale
d
M
raggiungendo una velocita’ v=20m/s in 10 secondi. Un
piccolo pacco di massa M=5kg sta appoggiato sul
h
pianale del camion, la cui altezza rispetto a terra e’
h=1m. Il pacco si trova inizialmente a una distanza
d=3m dall’estremita’ posteriore del pianale. Il pacchetto comincia a scivolare a t=0; i
coefficienti di attrito statico e dinamico tra il pacco e il pianale del camion sono μs=0.3 e
μd=0.15.
2.1 (5) Disegnare il diagramma di corpo libero per il pacco durante lo scivolamento e
calcolarne l’accelerazione (indicandone chiaramente il verso)
2.2 (5) Sia x l’asse orizzontale con origine nella posizione a t=0 dell'estremità posteriore del
pianale del camion. Rappresentare graficamente, durante lo scivolamento, la legge oraria
x(t) in un grafico (t,x) per il pacco e per l’estremita’ posteriore del pianale dell’autocarro.
Trovare l’istante t in cui il pacco raggiunge l’estremita’ posteriore del pianale di carico.
2.3 (5) Determinare le componenti x e y del vettore velocità del pacco nell’istante in cui esso,
una volta caduto dall’autocarro, raggiunge il suolo.
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Le forze che agiscono sono la forza di reazione vincolare (normale alla superficie) e la
forza di gravità. La forza normale non compie lavoro in quanto ortogonale allo
spostamento. Il lavoro della forza di gravità è Lg= –Mg(Δh), dove Δh è la variazione di
quota. Quindi Lg(AÆB) = –Mg(R–H) = –2kg * 9.81m s-2 * (– 2m) = +39.2 J
1.2 Il modulo della velocità in B si trova con il teorema delle forze vive:
ΔK=Lg Î vB2 = 2g(H–R) Î vB = 6.3 m/s. La velocità è lungo il profilo, e pertanto
puramente tangenziale: vR=0, vT=6.3 m/s (orientando l'asse tangenziale verso l'alto e
l'asse radiale verso destra). Le forze che agiscono sul blocco sono la forza peso Mg
(diretta tangenzialmente) e la reazione normale diretta radialmente. Tale reazione deve
corrispondere all'accelerazione centripeta.
Pertanto aR= – vB2 / R = – 4g = –39.2m/s2; aT= –g = –9.81 m/s2.
1.3 Nel punto C la velocità sarà data da vC2 = 2g(H–2R). La forza totale che agisce sul
blocchetto è data dalla somma della reazione vincolare N + Mg. Questa dovrà essere
uguale a M vC2 / R, da cui N = 2Mg(H–2R)/R – Mg = 2Mg - Mg= Mg = 19.6 N.
Esercizio 2
2.1 Il diagramma di corpo libero è rappresentato in figura. La forza di attrito
dinamico è diretta verso destra, poichè si oppone al moto relativo di pianale e
blocco. Finchè il blocco rimane sul pianale N=Mg, FD=μd * N = μd * Mg.
L'accelerazione, verso destra, sarà aB = FD /M = μd * g = 1.47 m/s2.
2.2 Il moto del camion è uniformemente
accelerato con ac = 20m/s / 10 s = 2.0 m/s2,
quindi xC = ½ * ac * t2. Il moto del blocco è
uniformemente accelerato con accelerazione
aB e posizione iniziale d, quindi xB = d+½ *
aB*t2
L'istante in cui il blocco raggiunge l'estremo
posteriore del pianale è ottenuto uguagliando
queste due quantità Æ ½ (ac – aB ) * t2 = d
t = ( 2 d / (ac – aB ) ) ½ = 3.36 s
2.3 Quando il blocco cade dal pianale, compie
un moto parabolico in campo gravitazionale.
La componente orizzontale della velocità è costante: vx = aB * t =1.47m/s2 * 3.36s = 4.95m/s
(diretta verso destra).
La componente verticale corrisponde alla caduta di un corpo sotto l'azione della gravità per
un tratto h: vy = - (2gh)½ = - 4.42 m/s (cioè diretta verso il basso)