ESERCIZIO DI ELETTROSTATICA “GUSCIO SFERICO BUCATO” Sia data una distribuzione di cariche con densità di carica di volume costante pari a ρ racchiusa tra due superfici sferiche concentriche di raggio R e 2 R . Si determini: a) Il potenziale ed il campo elettrico in tutte le regioni dello spazio b) Il lavoro compiuto dale forze elettrostatiche per spostare una carica puntiforme di intensità Q dalla posizione iniziale A = (2R, 0) alla posizione B = (0,R); In un secondo momento viene rimossa una parte delle distribuzione di carica racchiusa da una superficie sferica di raggio R/2 e centrata in (-­‐ 3/2 R, 0). Si determini il lavoro delle forze elettrostatiche per spostare la carica Q dalla posizione B = (0, R) alla posizione finale C = (-­‐2R, 0); ESERCIZIO CIRCUITO RC Il seguente circuito in regime stazionario è composto da sette resistenze, per cui vale che R = R1 = Ra = 100kΩ, cinque condensatori, con C1=C2=C 10 μF, ed un generatore ideale di tensione con V = 20 V. L’interruttore T viene chiuso sul circuito. Si determini: a) l’energia accumulata nel circuito nel regime stazionario; b) la potenza dissipata nel circuito nel regime stazionario; c) l’energia dissipata sulle resistenze R1 e R2 durante il transitorio; d) il potenziale nel punto A nel regime stazionario; Soluzione: Tenuto conto che in regime stazionario i condensatori sono delle interruzioni del circuito, ci si può ricondurre al seguente circuito equivalente: dove abbiamo espresso il parallelo delle tre resistenze in serie (R +R +R) con la 3R come un’unica resistenza di valore 3/2 R. La corrente che circola in R1 vale quindi V / (3/2 R + R ) =2 V/(5 R) = 8e-­‐5 A. a) Energia accumulata : dal punto di vista dei condensatori, considerando che essendo in regime stazionario, non in R1 né in R2 passa corrente. Allora il circuito può essere ridisegnato in questo modo, ovvero Quindi, all’energia totale ci sono due contributi: contributo 1) ai capi di 2 C c’e’ una d.d.P. pari a d.d.P(2C) = I * 3 R/2 = 2 V/(5 R) *3 R/2 = 3 V/5; contributo 2) : ai capi a C c’e’ una d.d.P. pari a V. Quindi, Energia = ½ (3 V/5)2 2 C + ½ V2 C = 9 V2 C/25+½ V2 C = 43 V2 C /50 = 1.72 e-­‐4 J. b) Potenza dissipata : I2 5 R/2 = 4 V2/ (25 R2) * 5 R /2 = 2 V2 /(5 R) = 1.6 e-­‐3 W. c) Energia dissipata sulle resistenze R1 e R2: equivale alla somma di due termini., 1) Il primo termine fa riferimento al circuito RC determinato dalla capacità C1 e dalla resistenza R1. Nel regime stazionario su R1 non passa corrente, quindi C1 si trova ad essere allo stesso potenziale di C2, che risulta essere, per quanto detto sopra, pari alla caduta ohmica della resistenza risultante 3 R/2. Quindi la d.d.P su C1 = I* 3 R/2 = 3 V/5 -­‐ si veda il punto a). L’energia accumulata su C1 vale pertanto 9 V2 C /50, e per come funziona un circuito RC, questa è l’energia dissipata sulla resistenza R1 durante il transitorio. 2) Il secondo termine corrisponde all’energia accumulata nel condensatore risultante dal parallelo delle due capacità C quest’ultimo messo in serie con la capacità 2 C. Per quanto visto prima, tale condensatore risultante presenta ai suoi capi direttamente la d.d.P. data dalla f.e.m, cioè V. Pertanto l’energia in questione vale ½ V2 C. Si trova infine che l’energia dissipata durante il transitorio sulle resistenze R1 e R2 vale 34 V2 C/50 = 1.36 e-­‐4 J d) Potenziale in A: corrisponde alla caduta ohmica sulla resistenza risultante pari a 3R/2, e cioè 3 V /5 = 12 V
