Indice - WordPress.com

Indice
1 Meccanica, Radiazione, Calore
1.1 Conservazione dell’energia . . . . . .
1.2 La teoria della gravitazione . . . . . .
1.3 Il moto . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Le leggi della dinamica di Newton . .
1.5 Conservazione della quantità di moto
1.6 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
5
5
6
6
8
2
INDICE
Capitolo 1
Meccanica, Radiazione, Calore
Questo .pdf non nasce con l’idea di svolgere una qualche attività informativa per i poveracci
che si troveranno a leggerlo. Voglio semplicemente un modo per usare un po’ il mio bellissimo
pc e ripassare, saldare, migliorare, condensare, distillare, ragionare sui concetti base della
fisica.
1.1
Conservazione dell’energia
1. La fisica di Feynman Vol. 1 - Capitolo 4
Esiste una proprietà che governa tutti i fenomeni naturali conosciuti. Essa è la conservazione
dell’energia. Essa stabilisce che una certa quantità, detta energia, non cambia nei molteplici
mutamenti subiti dalla natura. Esiste cioè una quantità numerica che non cambia qualisasi
cosa accada. È importante tener presente che nella fisica odierna, noi non abbiamo cognizione
di ciò che l’energia è.
Ricaviamo ora una espressione per l’energia gravitazionale studiando le macchine per
sollevare pesi. La prima ipotesi da fare è che non esiste il moto perpetuo. Se con una
macchina per sollevare pesi, dopo aver svolto varie azioni e averla riportata alla condizione
iniziale il risultato netto è di aver alzato un peso, allora abbiamo realizzato una macchina a
moto perpetuo, perché possiamo usare quel peso per sollevare qualcos’altro.
Consideriamo le macchine per sollevare tre pesi di un tratto X a fronte di un’abbassamento
di un peso di un tratto unitario. Esistono due tipi di queste macchine: quelle reali e quelle
ideali che sono reversibili, ovvero che possono funzionare indipendentemente sia in un verso
che nell’altro. Possiamo facilmente vedere che le macchine reversibili sono le migliori. Sia A
una macchina reversibile, e B una macchina reale. Supponiamo che A sollevi i tre pesi di un
tratto X. Allora Y non può essere maggiore di X, altrimenti si avrebbe moto perpetuo (vedi
figura 1.1). È ovvio quindi anche che tutte le macchine reversibili sollevano uno stesso peso a
una stessa quota X. La domanda della vita ora è ”Quanto vale X“. Per capirlo basta pensare
ad una rastrelliera fissa a tre palle su cui agisce una macchina reversibile. Evidentemente
X = 1/3.
3
4
CAPITOLO 1. MECCANICA, RADIAZIONE, CALORE
Figura 1.1: Esempio di moto perpetuo, ...potevo andare avanti all’infinto.
La morale è che: Data una configurazione iniziale di pesi a quote diverse, se sommiamo i
prodotti delle loro quote per il loro peso, indipendentemente dal modo in cui agiranno su essi
macchine reversibili, tale somma rimarrà invariata. Questa è la conservazione dell’energia
gravitazionale.
Tutto questo è molto bello. Ricordiamoci però che la natura non è obbligata a seguire i
nostri ragionamenti. Per esempio il moto perpetuo potrebbe anche essere possibile. Quello
che si può dire è che il ragionamento è sperimentalmente esatto 1 Quando un energia dipende
dalla posizione di un oggetto va sotto il nome di energia potenziale. Quindi questa si chiama
“energia potenziale gravitazionale”. Il principio generale è che la variazione di energia è data
da una forza per uno spostamento.
(variazione energia) = (forza) × (spostamento su cui agisce la forza) .
Possiamo usare facilmente la conservazione dell’energia per capire
quanto deve pesare un oggetto per controbilanciarne un altro su un
piano inclinato. Se il piano inclinato è di lati 3,4,5 sappiamo che
un peso si abbassa di 5 mentre l’altro sale di 3. Quindi sono l’uno i 3/5 dell’altro. Stevino ci godeva tantissimo di sta cosa (a ragione).
1
Quanto sei bravo Fey....mmmmmm se fossi una donna... viva...
1.2. LA TEORIA DELLA GRAVITAZIONE
5
In ultima analisi non comprendiamo in profondità le leggi di conservazione. In meccanica
quantistica però esse sono legate all’assolutezza del tempo (energia), all’isotropia (qdm),
all’omogeneità (maqdm). Altre leggi di conservazione sono quelle della carica, quella dei
barioni, dei leptoni e dei cojoni2 .
1.2
La teoria della gravitazione
1. La fisica di Feynman Vol. 1 - Capitolo 7
La legge della gravitazione è
mm0
.
r2
Se ad essa aggiungiamo il fatto che un oggetto risponde ad una forza accelerando nella
direzione della forza con intensità che è inversamente proporzionale alla sua massa abbiamo
detto quasi tutto. La massa può quindi essere intesa come un unità di misura dell’inerzia.
L’altro grande apporto di Newton è stata la modifica del principio di inerzia di Galielo.
Newton dice: il solo modo di cambiare il moto di un corpo è di usare una forza. Se il corpo
accelera, una forza è stata applicata nella direzione del mto. D’altra parte se il moto ha
cambiato direzione, è stata applicata una forza trasversalmente.
Ricordiamoci sempre che la luna cade sulla terra. È la terra che fa la furba e non si fa
prendere. Anche la luna è furba.
F =G
1.3
Il moto
1. La fisica di Feynman Vol. 1 - Capitolo 8
Il moto mandava in pappa il cervello dei greci perché loro non avevano sviluppato il calcolo
differenziale.
Esempio: una palla cade secondo la legge s(t) = 16t2 , e voglio conoscerne la velocità al
tempo t0 = 5s. So che
x
v = lim .
→0 Al tempo t0 si trova quindi a 400m, dopo un istante si trova a 16(t0 +)2 . Sviluppando quindi
la distanza percorsa nell’istante è x = 32t0 + 162 . quindi
v=
x
= 32t0 + 16
e al limite scrivo
v(t0 ) = 32t0 = 160 m/s.
2
L’omicidio è illegale (ma il suicidio no quindi vai dacci dentro).
6
CAPITOLO 1. MECCANICA, RADIAZIONE, CALORE
1.4
Le leggi della dinamica di Newton
1. La fisica di Feynman Vol. 1 - Capitolo 9
La seconda legge di Newton dice che la rapidità temporale della variazione di una quantità
chiamata quantità di moto è proporzionale alla forza. Matematicamente,
d mv
dt
Esempio: consideriamo il sistema massa-molla: una molla è un oggetto che applica una forza
proporzionale alla distanza diretta in senso opposto. L’equazione è
F =
−kx = m(dvx /dt).
(1.1)
Studiamo la dinamica nel caso in cui k/m = 1 e a t = 0 sia x = 1, vx = 0. Avremo
x(t + ) = x(t) + vx (t)
vx (t + ) = vx (t) + ax (t) = vx (t) − x(t).
Per risolvere numericamente il problema ci basta calcolare iterando le espressioni sopra fino
alla nausea. Una tecnica analoga può essere utilizzata per studiare il moto dei pianeti.
Semplicemente con metodi numerici risulta abbastanza semplice calcolare il moto dei pianeti.
1.5
Conservazione della quantità di moto
1. La fisica di Feynman Vol. 1 - Capitolo 10
In linea di principio, tutti i problemi della meccanica possono essere risolti partendo dalla
seconda legge del moto di Newton. Però sarebbe noioso e riduttivo limitare la nostra conoscenza a ciò che è efficace. Newton non aveva una descrizione per tutti i tipi di forze, ma
solo per quella gravitazionale. Però scoprı̀ una proprietà generale delle frorze, il suo terzo
principio
La reazione è uguale alla reazione.3
Conseguenza: consideriamo due particelle, di diversa massa, che stanno interagendo. Dette
p1 e p2 le loro qdm, per la terza legge si ha
dp1 /dt = −dp2 /dt.
Ovvero
d(p1 + p2 )/dt = 0.
Quindi finché non agiscono forze esterne al sistema, la quantità di moto totale di un insieme
arbitrario di particelle rimane costante. Ovviamente questo vale per ogni coordinata nelle
tre dimensioni.
Ora, visto che l’argomento stuzzica, ricaveremo la stessa legge di conservazione partendo
però dal principio di relatività Galileiano:
3
BOOOM!
1.5. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO
7
le leggi della fisica appaiono uguali sia che le osserviamo viaggiando ad una velocità
costante che stando fermi.
Prendiamo due oggetti identici, e mettiamoci dell’esplosivo nel mezzo. Dopo l’esplosione, per
simmetria, i due corpi si muoveranno in direzioni opposte con velocità v. Ora ipotizziamo
tale osservazione resti valida anche se gli oggetti non sono identici; basta che essi abbiano la
stessa massa (verifica sperimentale). La verifica sperimentale è l’unica logica alla base della
fisica. Esempio: se usiamo una esplosione di intensità maggiore, saranno uguali oppure no le
velocità ottenute in questo caso? Risulta che si: se due corpi hanno masse uguali misurate
ad una certa velocità, essi hanno masse uguali quando sono misurate ad un’altra velocità.
Se invece due oggetti identici si scontrano restando poi attaccati che succede? Per simmetria si fermano.
Problema: un corpo si muove con velocità v e sbatte contro un corpo a lui identico, fermo,
incollandocisi. cosa accadra del corpo di massa 2m? Usando Galileo, saliamo in automobile,
e guardiamo il caso in cui due masse di velocità v si scontrano (il caso precedente) seguendone una in macchina, che quindi ci sembrerà ferma. L’altra viaggierà a 2v. Dopo l’urto ci
sembrerà che il blocchetto viaggi con velocità v. Quindi questo è equivalente a dire che un
oggetto di massa m con velocità v che urta un obj fermo identico, formerà un blocco di massa
2m che si muove a velocità v/2. Osserviamo che inizialmente il prodotto delle masse per le
velocità era mv + 0 e dopo l’urto è 2m · v/2. Allo stesso modo possiamo analizzare il caso in
cui si urtino due obj con velocità diverse. Procedendo con esperimenti di carrellini e petardi,
giocando con masse diverse e velocità diverse, finiamo per riscoprire la conservazione della
quantità di moto.
L’urto descritto sopra era sempre di tipo anelastico. L’urto elastico è il caso in cui dopo
l’urto le palline schizzino via per i fatti loro. Questo si spiega con una compressione delle
due palline, che poi rilasciano l’energia accumulata dalla struttura atomica per ripartire. Gli
urti perfettamente elastici non ci sono praticamente mai cmq.
Studiamo come prima il caso in cui vi sia un urto elastico fra un corpo in moto ed uno
fermo. mettiamoci dietro la palla che si muove in macchina e inseguiamola in modo che
l’urto sembri simmetrico (se la palla viaggia a v, noi la inseguamo a v/2, quindi ci pare che
entrambe vadano a v/2). Urtano: la palla torna indietro con velocità −v/2, l’altra inizia
a muoversi con velocità v/2 da noi. Quindi fuori dalla macchina la prima palla è ferma, la
seconda viaggia con velocità v. Più in generale, se ambedue i corpi si muovono, con differenti
velocità, essi, urtando, si scambiano le velocità.
Anche in relatività la conservazione della quantità di moto resta valida, ma bisogna
cambiarla un pochetto, perché ivi la massa varia secondo
m0
m= p
1 − v 2 /c2
da cui, ad esempio
px = p
m0 vx
1 − v 2 /c2
ove v 2 = vx2 + vy2 + vz2 .
Curiosamente, poiché in realatività l’informazione ha bisogno di tempo per propagarsi, se ad
8
CAPITOLO 1. MECCANICA, RADIAZIONE, CALORE
esempio sposto velocissimo una particella, vi sarà un momento in cui la quantità di moto
non si conserva. Noi diciamo che la quantità di moto è dentro al campo elettromagnetico
se lo spostamento è stato dovuto a una forza generata da esso. In questo modo la nostra
rappresentazione continua a funzionare. E funziona.
1.6
Vettori
1. La fisica di Feynman Vol. 1 - Capitolo 11
Costruiamo due macchine identiche in due posti diversi. Funzioneranno allo stesso modo?
È chiaro che ciò che dobbiamo spostare sono solo le cose essenziali relative all’apparato,
ma non ogni cosa dell’universo, perché altrimenti sarebbe banale. Comunque curioso. Ma
matematicamente tutto torna: Joe e Moe che vivono traslati e descrivono fisicamente il
fenomeno nello stesso modo.
Adesso verifichiamo la stessa cosa nel caso in cui il sistema di Moe {x0 , y 0 , z 0 } risulti
ruotato di un angolo che secondo Joe {x, y, z} vale θ (facciamo coincidere le origini, visto che
sappiamo essere la nostra analisi invariante per traslazioni). Uno punto nel sistema di Joe
avrà coordinate nel sistema di Moe date da:

0

x = x cos θ + y sin θ
(1.2)
y 0 = y cos θ − x sin θ

 0
z = z.
Sia ora F una forza nel sistema di Joe, avente nei suoi assi proiezioni (Fx , Fy ). Le proiezioni
di questa forza nel sistema di Moe si scriveranno evidentemente come


Fx0 = Fx cos θ + Fy sin θ
Fy0 = Fy cos θ − Fx sin θ


Fz0 = Fz .
Le espressioni appena date, sono le Forze che Joe trova nel suo sistema, espresse nel sistema
di coordinate di Moe. Ora, se invece noi diamo a Moe le coordinate, e facciamo calcolare a
lui le forze, otteniamo le stesse espressioni? Se è cosı̀, le leggi della fisica sono invarianti per
una rotazione di un certo angolo θ degli assi. Cioè ci stiamo chiedendo se è vero o no che

2 0
2

m(d x /dt ) = Fx0
m(d2 y 0 /dt2 ) = Fy0


m(d2 z 0 /dt2 ) = Fz0 ?
In effetti, sfruttando le trasfromazioni di coordinate date sopra, vediamo facilmente che

2 0
2
2
2
2
2

Fx0 = m(d x /dt ) = m(d x/dt ) cos θ + m(d y/dt ) sin θ
Fy0 = m(d2 y 0 /dt2 ) = m(d2 y/dt2 ) cos θ − m(d2 x/dt2 ) sin θ


Fz0 = m(d2 z 0 /dt2 ) = m(d2 z/dt2 ).
1.6. VETTORI
9
Essendo i termini del tipo m(d2 x/dt2 ) le forze nel sistema di Joe, il risultato ottenuto ci dice
che un dispositivo completamente autonomo, con tutte le forze generatrici completamente
interne al dispositivo stesso, ruotato di un angolo funziona allo stesso modo.
Tutte le leggi della fisica mostrano invarianza per traslazione e rotazione. Per questa
ragione ai fisici piacciono molto i vettori. I vettori sono il nostro formalismo matematico
per rappresentare quantità aventi modulo direzione e verso. Cosı̀ ad esempio ~r è un oggetto
che rappresenta tre numeri (x, y, z), ma anche (x0 , y 0 , z 0 ) in un altro eventuale sistema di
riferimento. Questo formalismo si può usare con una qualunque quantità che modifichi le sue
componenti come quelle di un punto, come ad esempio la forza. Un’equazione del tipo
F~ = ~r
sarebbe valida in qualsiasi sistema di coordinate se è valida in uno solo. Se ad esempio
vogliamo capire se la velocità sia o meno un vettore, tutto quello che dobbiamo fare è prendere in considerazione le equazioni (1.2), differenziarle, e renderci conto che le componenti
dx/dt, dy/dt, dz/dt trasformano in accordo alle stesse leggi di x e y e quindi la derivata temporale è un vettore. D’altronde la velocità non è altro che la differenza fra due vettori per
uno scalare:
~v = lim (∆~r/∆t) = d~r/dt.
∆t→0
Quindi differenziare rispetto al tempo produce un nuovo vettore. Facciamo un esempio con
la velocità.
Secondo me qua Feynman fa un super-ragionamento di merda, probabilmente sono io a non
capire, ma poi tutto torna come si vede dai disegnetti. Comunque è poco chiaro, visto che
usa lettere di merda a caso. Comunque è vagamente spiegato nel foglio di brutta allegato,
che non ho voglia di rendere fico.
Andando avanti con l’analisi dei vettori ci rendiamo conto facilmente che se un vettore ha
una data lunghezza in un sistema di coordinate, esso ha la stessa lunghezza in ogni sistema
di coordinate (ovvio, altrimenti i ragionamenti fatti prima non starebbero in piedi). Questo
però suggerisce di valutare una nuova quantità che rimane invariante nei vari sistemi di
riferimento. Essa è il prodotto scalare:
~a · ~a = a2x + a2y + a2z .
10
CAPITOLO 1. MECCANICA, RADIAZIONE, CALORE
Figura 1.2: Un foglio di brutta fatto male, d’altra parte non mi paga nessuno.
Tale espressione è indipendente dagli assi a cui si fa riferimento. È invariante anche il prodotto
scalare fra due vettori, come si può vedere. Inoltre si ricava, ad esempio mettendo uno dei
1.6. VETTORI
11
due vettori orientato concordemente con l’asse x che
~a · ~b = ab cos(θ).
Ciò è vero in ogni sistema di riferimento perché è vero in un sistema di riferimento, visto che
~a · ~b è indipendente dal sistema di coordinate.