Esperienza 1 GENERATORE DI FUNZIONI A FREQUENZA

Esperienza 1
GENERATORE DI FUNZIONI A FREQUENZA FISSA
Lo scopo di questa esperienza è costruire dei generatori di onde quadre, triangolari e sinusoidali a frequenza
fissata. I componenti costitutivi del generatore sono gli amplificatori, i diodi e i componenti resistivi e capacitivi.
Generatore di onde quadre a frequenza fissa.
Ci proponiamo di costruire un genaratore di onde quadre a frequenza fissa. In figura mostriamo lo schema del
circuito.
R1=R 2=15 K 
R 3=18 K 
C =4,7 nF
Op− Amp :TL082
figura 1
Funzionamento
Per raggiungere il nostro obbiettivorsultano fondamentali i principi della controreazione positiva e negativa e le
caratteristiche dell'OP-AMP.
L'OP-AMP legge, per quanto piccola, la differenza di potenziale tra i nodi V+ & V- e la amplifica enormemente.
La differenza di tensione iniziale è causata o da una carica residua sul condensatore o da piccole fluttazioni
locali. L'uscita V q si posizionerà quindi a ± 12V (valore dell'alimentazione dell'OP-AMP). Il nostro circuito
ha quindi solo 2 possibili valori in uscita, cerchiamo ora di capire quale legge determina l'alternanza di tali valori.
Analizziamo la rete e determiniamo l'andamento del potenziale nei vari punti del circuito.
La tensione al nodo V .
V .=V 3=V q
R1
= V q con
R1R 2
=
R1
dalla formula del partitore.
R1R 2
La tensione al nodo V −.=V 1 segue l'andamento di carica e scarica di un condensatore di un circuito RC
(quello del ramo superiore).
Supponiamo V q =12 V e il condensatore inizialmente scarico: il condensatore si caricherà determinando
una differenza di potenziale rispetto a terra di
−
t
RC
.
V condensatore=V q e
Ne segue che il potenziale V 1 cresce, quando però V 1 diventa maggiore di V 3 (questo succederà
perchè V 1 può arrivare fino a +12V mentre V 3= 12 V ) si verifica l'inversione di Vq che salta a -12 V;
il condensatore si trova ora caricato inversamente e comincia quindi a scaricarsi secondo la legge
V c =1V q⋅e
−
t
RC
–Vq .
Il ciclo prosegue nello stesso modo ottenendo così un generatore di onde quadre.
Il circuito si basa quindi sul principio della controreazione: infatti il potenziale V q determina i valori di V+ &
V- che a loro volta (tramite la loro differenza) determinano il valore di Vq. Nella metà del cicuito con i soli
resistori la controreazione è immediata e positiva (ingresso non invertente), mentre nell'altra metà del circuito la
controreazione è negativa (ingresso invertente) ma non immediata poiché la presenza del condensatore,
tramite le proprie cariche e scariche, “impone” un andamento esponenziale al potenziale V 1 .
Forme d'onda e espressione del periodo
Quanto detto sul funzionamento del circuito può essere chiaramente riassunto mostrando in grafico
l'andamento dei potenziali V 3 , V 1 e V q .
figura 2
Dal grafico si capisce immediatamente come la controreazione positiva sia immediata mentre quella negativa
sia “inibita” dalla presenza del condensatore; tuttavia è proprio il ritardo della controreazione negativa che detta
i tempi dell'alternanza dei valori assunti da V q e quindi della frequenza del generatore di onde quadre.
Possiamo ora procedere al calcolo del periodo di oscillazione in funzione degli elementi passivi del circuito.
Esaminiamo i punti A e B:
figura 3
−
t
R3 C
t
−
R3 C
V 1 t =V A e
=1V 0 e
V  B=1−V 0
uguagliando si ottiene :V 1 t =V B ⇒ 1V 0 e
Poiché il periodo è
=2⋅t ⇒ =2 R3 C ln
−t
R3 C
t
−
R3 C
=1−V 0 ⇒ e
=
1−
1
⇒ t =R3 C⋅ln
1
1−
1
1−
Periodo a 5KHz nel rispetto della capacità dell'OP-AMP di erogare corrente
Vgliamo che il circuito oscilli attorno a 5 KHz.
Dalla curva caratteristica stampata sul data-sheet del TL082 si deduce che per avere un segnale stabile
bisogna fare in modo che il carico in uscita sia maggiore di 10 K  .
Facciamo quindi la richiesta che  R1 R 2 ∣∣ R 3Z c  sia maggiore di 10 K.  (1).
C =4,7 nF
Scegliamo: R3 =18 K 
R1=R 2=15 K 
=2 R 3 C ln
Con queste scelte
1
3
−9
−4
=2 R3 C ln 3=2 18⋅10 4,7⋅10 ln 3=1,86 10 secondi
1−
1
⇒ = =5,4 KHz

e inoltre risulta soddisfatta la condizione (1).
Osservazioni sul circuito
Riportiamo di seguito la forma d'onda rilevata con l'oscilloscopio:
Per rilevare il valore della frequenza ci siamo serviti dei cursori misurando 11 periodi:
−4
11T =1,9640 ms ⇒ T =1,78 10 secondi
1
= =5,6 KHz
T
Il fatto che la frequenza prevista si discosti del 3% da quella calcolata è dovuto alla fluttuazione di valori reali
introno ai valori nominali di componenti passivi (che è appunto nell'ordine del percento).
Variazione tensione di alimentazione
Il periodo di oscillazione non varia al variare dell'alimentazione del circuito perchè come si vede dal calcolo
dell'espressione analitica di questa grandezza, essa dipende solo dai valori degli elementi resistivi ( V 0 si
semplifica).
Variando l'ampiezza dell'alimentazione varia il valore dell'uscita dell'OP-AMP (che è appunto vincolato dal
valore dell'alimentazione) e di conseguenza il valore dei potenziale V 3 e V 1 .
Diodi Zener
Cambiamo leggermente il circuito inserendo una resistenza e due diodi Zener come mostrato in figura:
Rl =470 
Diodi Zener :1 N752
Con questo accorgimento riusciamo a stabilizzare la tensione in uscita, infatti porre due zener in serie e
contrapposti vincola la tensione in uscita a essere compresa tra circa ±5V. Questo valore è pari alla somma
della caduta di tensione diretta (circa 0,6V) e inversa (circa 4,5V) attraverso lo zener cioè V =±V 0.6 V 
q
Z
Infatti i diodi Zener hanno la particolarità di bloccare la corrente inversa fino
ad un potenziale di soglia oltre al quale si lasciano invece attraversare.
Ponendo una sonda tra i due zeener abbiamo osservato che su un
semiperiodo V= 4,6 V e nell'altro V= -0,6 V (cioè si osserva che su un
semiperiodo un diodo è in polarizzazione diretta mentre nell'altro semiperiodo
è in inversa). Il diodo Zener è dunque in grado di stabilizzare tensioni per
variazioni limitate di corrente.Il ruolo del resistore Rl è quello di l proteggere
i diodi, inolre
circuito.
Rl è sufficientemente piccola da non alterare il resto del
Mostriamo in tabella i dati raccolti per mostrare che il potenziale in uscita è ora indipendente dal valore
dell'alimentazione (per variazioni non troppo grandi).
ALIMENTAZIONE
±14 V
±12 V
±10 V
±9 V
±7 V
±5 V
Ι Vq I
5.04 V
5,06 V
5,06 V
5,06 V
4,69 V
3,38 V
Dalla tabella si nota come per piccole variazioni dell'alimentazione (da ±9V a ±14V) il valore di Vq è costante.
Ovvamenti la limitazione su V q si ripercuote anche su V 3 e V 1 (basta guardare le espressioni
analitiche).
PARTE 2: Generatore di onde tringolari a frequenza fissa.
Scopo dell'esperienza è costruire un generatore di onde triangolari a frequenza fissata.
Per raggiungere il nostro scopo poniamo in serie al generatore di onde quadre il seguente circuito:
Ri =9.5 K 
C 2=4.7 nF
Figura 8
Funzionamento
Questo circuto è un integratore ed è quindi ciò che ci occerre: integrando segnali costanti a tratti (onde quadre)
si ottengono segnali che crescono linearmente nel tempo (onde triangolari).
Giustifichiamo perché questo circuito è stato chiamato integratore:
L'OP-AMP legge in ingresso la differenza tra V+ e V-; in questo particolare caso V+ = 0 e quindi la tensione che
viene amplificata dall'OP-AMP è – V6. Poicè l'uscita ( V t ) è limitata dall'alimentazione ad una valore di
qualche volt e poiché il guadagno dell'OP-AMP è molto grande ( circa 105 ) il nodo V 6 deve essere ad
un valore molto piccolo di tensione. Si dice che V 6 è a massa virtuale. Risolviamo ora l'equazione al nodo
nel dominio della variabile complessa servendoci della trasformata di Laplace (supponendo C 2 inizialmente
scarico):
1
1 V
1 Vq
I  s=− ⋅ q =−
⋅
sC
sC Ri
RC s
(2)
t
1
antitrasformando ⇒ V T t =−
∫ V  d 
RC 0 q
V T  s=−
Il circuito integra quindi, nel senso dell'analisi matematica, il segnale il ingresso a meno di una costante di
proporzionalità −1/ RC
Segnali e ampiezze delle onde quadra e triangolare.
Disegnamo di seguito le forme d'onda dei segnali
V T e V q .:
Figura 9
Si noti che il periodo dell'onda triangolare è automaticamente uguale al periodo dell'onda quadra in quanto la
pendenza della prima si inverte quando la seconda cambia segno. Possiamo scegliere ora i valori degli
elementi passivi per fare in modo che le 'ampiezze delle due onde siano uguali.
∣h triangolare∣=∣−
t
1
1 
V 2 t  dt∣=
⋅ ⋅V
∫
t
Ri C 2
Ri C 2 4 0
B
A
h quadra =V 0
imponendo l ' uguaglianza si ottiene ⇒ Ri C 2=
Nel nostro caso

4
=1,86 10−4 secondi .Scegliamo quindi C 2=4,7 nF che implica Ri =9,5 K  .
Costruzione del circuito
Costruendo il circuito e osservando con l'oscilloscopio i potenziali V q e V T si nota che le due onde
(quadra e triangolare) pur avendo la stessa ampiezza non hanno lo stesso livello di zero. Nel nostro caso l'onda
triangolare si trova sopra l'onda quadra. Ciò è dovuto al fatto che l'onda quadra non è perfettamente simmetrica
rispetto allo zero e può essere quindi pensata come un segnale costante su cui è sovrapposto un onda quadra.
Il fatto che l'onda quadra sia asimmetrica è causato dai diodi zeener che non si comportano in modo
simmetrico rispetto alla variazione del segno della tensione e tendono a lasciar passare correnti disuguali in
modulo.
Inserimento del circuito di azzeramento
Per ovviare a questo problema modifichiamo leggermente il circuito come mostrato in figura:
R c =1 M 
Pot=50 K 
Figura 10
Colleghiamo un potenziometro tra l'alimentazione positiva, terra e il nodo invertente; forniamo così all'Op-Amp
un segnale costante il cui valore può essere impostato, tramite la regolazione del trimmer, con continuità tra
+12V e zero. Data la caratteristica dell' Op-Amp si vede che ogni minima variazione sull'ingresso si ripercuote
grandemente sul segnale in uscita, bisogna quindi scegliere dei valori di R c molto grandi (in tal modo la
corrente che entra in V- è piccola per ogni configurazione del potenziometro). Poiché l'OP-AMP è in
configurazione invertente un apporto positivo di tensione abbasserà la linea di zero dell'onda triangolare e
viceversa. Ruotando la vite del potenziometro notiamo che non riusciamo a traslare l'onda triangolare come
vorremmo, perchè l'onda non si muove in modo continuo ma a scatti. Questo accade perchè quando alteriamo
la corrente che fluisce in V −. e il circuito non ha modo di controreazionarsi istantaneamente attraverso il
condensatore; cioè la carica in eccesso è “intrappolata” tra il condensatore e l'uscita dell'OP-AMP e non ha
modo di scaricarsi nel circuito. Introduciamo una controreazione negativa per stabilizzare il segnale. Poniamo
un resistore in parallelo al condensatore. In questo modo le cariche in eccesso possono fluire attraverso il
resistore. La resistenza è grande, circa 10 M  , per alterare il meno possibile il circuito di partenza.
Regolando oportunamente il potenziometro è ora possibile far coincidere le due linee di zero delle due onde.
Simulazione con PSPICE
Simulando il circuito con PSPICE vediamo le forme d'onda che ci aspettiamo, tuttavia anche nella simulazione
le due linee di zero non coincidono. Per ovviare a questo problema bisogna introdurre le opportune condizioni
iniziali per C 2 . Infatti riprendendo l'equazione (2) e generalizzandola al caso in cui il condensatore non sia
inizialmente scarico si ottiene:
V T t =
Q0i
1 t
−
∫ V t  dt
C i RC i 0 q
dove Q 0 i è la carica inizialmente presente sul condensatore C i
Si vede quindi che con le opportune condizioni iniziali è possibile traslare il segnale in uscita.
PARTE 3: Estrazione dell'onda sinusoidale di frequenza fissa
Scopo dell'esperienza è estrarre un onda sinusoidale dall'onda triangolare precedentemente generata. Per fare
questo mettiamo in serie al generatore di onde triangolari il seguente circuito:
R8=10 K 
R9=18 K 
R f =6.4 K 
C =4.7 nF
Funzionamento
Figura 11
Il circuito in figura è un filtro passa-basso selettivo: è questo ciò di cui abbiamo bisogno. Infatti, secondo la
teoria delle serie di Fourier, un'onda triangolare può essere pensata come la sovrapposizione di un armonica
fondamentale (della stessa frequenza dell'onda triangolare) e delle armoniche sucessive (con frequenza
doppia, tripla ..). Il filtro passa-basso permette di far passare tutti i segnali con frequenze minori della frequenza
di taglio mentre i segnali di frequenza maggiore della frequenza di taglio vengono attenuati.
Iniziamo col studiare la funzione di trasferimento del circuito. Scriviamo le equazioni ai nodi V j ,V+ e V- nel
dominio della variabile complessa:
V j −V T V j −V s V j


=0
Rf
1/ s C f
R f 1/ sC f
V
R R9
nodo V −: V −.= s
con k = 8
k
R8
1/ sC f
1
nodo V : V .=V j⋅
=V j⋅
R f 1/ sC f
sR f C f 1
nodo V j :
Risolvendo questo sistema di equazioni si ottiene:
2
V S⋅[ s R f C f  3 s R f C f 1−ks R f C f ]=k V T
e quindi la funzione di trasferimento è:
H  s=
V s  s
k
=
2
V T  s  s R f C f  3−k  s R f C f 1
L'espressione della funzione di trasferimento mette in luce che:
• per k=1 si hanno due poli coincidenti
• per k=3 non si hanno poli
• per 1<k<3 l'espressione ottenuta è quella di un filtro selettivo passa-basso (due poli complessi coniugati).
Utilizziamo ora i risultati generali ottenuti dallo studio della funzione di trasferimento per determinare le
caratteristiche del circuito.
• Il filtro passa basso attenua le frequenze maggiori della frequenza di taglio
• il filtro passa basso lascia invariate le frequenze minori della frequenza di taglio
• il filtro passa basso amplifica le frequenze nell'intorno della frequenza di taglio
Calcolo del guadagno
Calcoliamo ora l'espressione del guadagno nell'intorno della frequenza di taglio.
Usando le relazioni generali del filtro passa-basso si vede che:
∣G  s∣=
k
3−k
scegliamo k=2,8 in maniera che il guadagno sia molto grande (mantenendo però un margine per rimanere nella
condizione di filtro passa-basso: k<3 ). Un guadagno molto alto permette di considerare il segnale in uscita dal
filtro (che sarebbe la somma di tutte le armoniche con pesi determinati dall'espressione del guadagno alla
frequenza dell'armonica considerata) come costituito dalla sola armonica fondamentale. Andando a misurare
l'ampiezza dell'onda in uscita verifichiamo che la sua ampiezza è 11 volte quella dell'onda in ingresso. Andiamo
quindi a sostituire R f con una coppia di resistenza R a e Rb tali che il comportamento del circuito non
cambi ma la tensione in
circuito:
V j venga ridotta di 11 volte. Mostriamo in figura la nuova configurazione del
R a =70.4 K 
Rb =7.04 K 
Figura 12
I valori delle resistenze e delle capacità sono stati determinati in base a queste relazioni:
R8R9
=k =2,8 ⇒ R8=10 K  R9=18 K 
R8
1
2) taglio =
=5,4 Khertz ⇒ R f =6,4 K  C f =4,7 nF
2 R f C f
Rb
1
3) Rb parallelo R a =R7=6,4 K  ∧
=
⇒ R a =70,4 K  ∧ Rb =7,04 K 
R a R b 11
1)
Simulazione filtro selettivo in PSPICE
Simuliamo il circuito con PSPICE e verifichiamo che il filtro amplifica solo uno stretto range di frequenze:
Collegamento del filtro alla rete
Colleghiamo ora il filtro al circuito costruito fino ad ora e verifichiamo che tutto funziona come atteso: l'onda in
uscita ha la frequenza e l'ampiezza desiderata. Si nota che l'oda triangolare e sinusoidale non sono
sovrapposte; questo fatto era prevedibile: infatti il filtro passa-basso introduce uno sfasamento che per la
frequenza di taglio è esattamnete −/ 4 .
Variazione tensioni di alimentazione
Variando le tensioni di alimentazione si osserva che la linea di zero dell'onda sinusoidale non è stabile, ma
viene traslata. Cio è dovuto al fatto che nelle equazioni che determinano Vs compaiono V t e V q che sono
funzioni dell'alimentazione. Il problema può essere risolto regolando di volta in volta il potenziometro ma come
vedremo nella parte 4 è possibile sviluppare una soluzione migliore.
PARTE 4: Stabilizzazione della linea di zero
L'obiettivo dell'esperienza è stabilizzare automaticamente la linea di zero dell'onda triangolare e sinusoidale.
Per realizzare l'obiettivo poniamo il circuito seguente tra l'uscita dell'onda sinusoidale e l'ingresso non invertente
dell'OP-AMP che genera l'onda triangolare.
R s =10 M 
C s =100 nF
Figura 13
Funzionamento
Come abbiamo già visto, questo circuito è un integratore. Scegliendo RC molto grande l'onda in uscita sarà il
segnale costante sovrapposto all'onda sinusoidale. Cioè questo circuito è un estrattore della parte continua
dell'onda. Il funzionamento di tale circuito può anche essere spiegato in base alla funzione di trasferimento.
H  s=
V z  s
1
=−
V s  s
s Rs C s
Per fare l'analisi in frequenza possiamo sostituire s=iw (andiamo ad analizzare la risposta ad un onda
sinusoidale).
H i =
V z i 
−1
i
1
=
=
⇒ G =
V s i  i  R s C s  R s C s
 Rs C s
Cioè il guadagno decresce al crescere di  ⇒ scegliendo RC sufficientemente grande tutte le frequenze
diverse da zero vengono pesantemente attenuate mentre i segnali costanti passano invariati.
Reiniettando questo segnale nell'ingresso non invertente dell' Op-Amp che genera l'onda triangolare si
stabilizza la linea di zero. Al segnale che entra in V- si sottrae esattamente il segnale costante che lo compone,
l'onda che viene quindi integrata è un onda quadra perfettamente simmetrica rispetto allo zero. Da qui in poi
tutti i segnali saranno simmetrici rispetto allo zero.
Costante di integrazione
Scegliendo il prodotto RC opportunamente grande (rispetto al periodo dell'onda) tutte le frequenze vengono
tagliate, viene così selezionata solo la parte continua.
Scegliamo R C =1 sec ⇒ R=10 M  C =100 nF
Realizziamo ora il circuito e osserviamo che la linea di zero è stabile, possiamo ora togliere il potenziomentro,
perchè il circuito è controreazionato e si auto regola.
Simulazione della rete completa con PSPICE
Simuliamo il circuito con PSPICE e verifichiamo che il circuito si conporta come previsto. Riportiamo di seguito
il codice completo:
*generatore di onde triangolari
VPIU 101 0 DC +12V
VMENO 102 0 DC -12V
R1 1 0 15K
R2 2 1 15K
RR 2 3 18K
RL 4 2 470
C1 3 0 4.7N
XA 1 3 101 102 4 TL082
D1 2 5 D1N752
D2 0 5 D1N752
*integratore per onda triangolare
Rl 2 6 9.5K
C2 7 6 4.7N IC=-6.3V
XB 14 6 101 102 7 TL082
RC 6 8 1M
RP 0 8 50K
*filtro
RF1A 9 7 70.4K
RF1B 9 0 7.04K
RF2 10 9 6.4K
R8 11 0 10K
R9 12 11 18K
CF1 10 0 4.7N
CF2 12 9 4.7N
XC 10 11 101 102 12 TL082
*stabilizzatore linea di zero
RS 13 12 10MEG
CS 14 13 100N
XD 0 13 101 102 14 TL082
.LIB
.TRAN 1U 2M UIC
.END
Schema del circuito complessivo