MODULAZIONE PAM Binaria

MODULAZIONE PAM
Binaria
s1(t) = gT(t)
s2(t) = - gT(t)
Ipotesi :
P[s1] = P[s2] = 1/2
T
gT(t) è definito in (0, T) e
M = 2
− Eb
N = 1
s2
2
g
∫ T (t )dt = Eb
0
Eb
0
s1
gT (t )
ψ (t ) =
Eb
r(t)
DEMODULATORE
r
Ipotesi : Trasmesso s1 =>
r(t)
RIVELATORE
r = s1 + n = Eb + n
T
X
gT (t )
ψ (t ) =
Eb
STIMA del
SEGNALE
TRASMESSO
RICEVITORE ottimo per la
Modulazione PAM binaria
∫
0
dt
r
RICEVITORE ottimo per la
Modulazione PAM binaria
DEMODULATORE
C1 = r Eb
r
C2 = −r Eb
r
r
RIVELATORE
C1
C2
Sceglie
il
maggiore
COMPARATORE di SOGLIA
r<0? o r>0?
STIMA del
SEGNALE
TRASMESSO
STIMA del
SEGNALE
TRASMESSO
r(t)
STIMA del
SEGNALE
TRASMESSO
Probabilità d’errore della
Modulazione PAM binaria
P(e s2 ) = P(r > 0 s2 )
P (e s1 ) = P(r < 0 s1 )
0
P (e s1 ) = P(r < 0 s1 ) = ∫ f (r s1 )dr
−∞
(
r−
−
0
1
=
∫e
πN 0 − ∞
 2 Eb 

= Q

N
0 

Eb
N0
)
2
dr
Probabilità d’errore della
Modulazione PAM binaria
P(e s1 ) = P(e s2 )
∞ −t 2
1
Q(x ) =
∫e
2π x
Pb (e )
 2 Eb 

= Q

N
0 

2 dt
 2 Eb 

= Q

N
0 

Rendere piccola la probabilità
d'errore significa aumentare il
rapporto segnale-rumore (SNR)
Probabilità d’errore della
Modulazione PAM binaria
Pb (e )
 2 Eb 

= Q

N
0 

d1,2 = d (s1, s2 ) = 2 Eb
Eb: energia di ciascuno dei due segnali
N0: densità spettrale di potenza del rumore gaussiano
sul canale
Due segnali, s1(t) e s2(t), a distanza euclidea d1,2 sono
rivelati con probabilità d' errore sul bit
Pb (e )
 d1,2 

= Q
 2N 
0 

Esempio: 2 segnali con energia Eb
a) ANTIPODALI
b) ORTOGONALI
2 Eb
− Eb
Pb (e )
0
Eb
Eb
 2 Eb 

= Q

N
0 

2 Eb
0
Pb (e )
Eb
 Eb 

= Q

N
0 

A parità di energia la distanza è minore
Probabilità d'errore sul bit per segnali binari
Modulazione PAM a M livelli
si(t) = Ai gT(t); i=1,2, ... , M
gT(t) è definito in (0 ,T) con energia Eg
Ai = 2i – 1 – M; i=1,2, ... , M
2 Eg
M=4
s1
− 3 Eg
s2
− Eg
s3
0
Eg
s4
ψ (t ) =
3 Eg
gT (t )
Eg
Modulazione PAM a M livelli
Energia media:
Eav
1 M
1 M 2
1 M
2
(
)
2
1
=
=
=
−
−
E
A
E
i
M
Eg =
∑ i
∑ i g
∑
M i =1
M i =1
M i =1
Eg M M 2 − 1 M 2 − 1
=
=
Eg
3
3
M
(
)
T
r(t)
∫
X
dt
Comparatore
di
(M-1) soglie
r
0
gT (t )
ψ (t ) =
Eg
Soglie:
τ i = (2i − M ) E g
i=1, 2, …, M-1
M=8
s1
s2
τ1
STIMA di Ai
RICEVITORE ottimo per la
Modulazione PAM a M livelli
s4 0
s3
τ2
τ3
τ4
s5
s6
τ5
s7
τ6
s8
τ7
ψ (t )
Probabilità d’errore della
Modulazione PAM a M livelli
Ipotesi: trasmesso
si interno
[
r = si + n = E g Ai + n
]
 2Eg 

PM (e si ) = P r − si > E g = 2Q
 N0 


Probabilità d’errore della
Modulazione PAM a M livelli
PM (e )
 2Eg 

1 M
1 
 + 2Q
=
∑ PM (e si ) = (M − 2)2Q

N0 
M i =1
M




6 Eav
2(M − 1)  2 E g  2(M − 1) 
=
=
Q
Q
 M 2 −1 N
 N0 
M
M
0



(
Eg =
3Eav
M 2 −1
)




2 E g 

N 0 

Probabilità d’errore della
Modulazione PAM a M livelli
Ebav
Energia media per
trasmettere un bit di
informazione
Eav
=
log 2 M
2(M − 1)  6 log 2 M ⋅ Ebav
PM (e ) =
Q
2

M
M
−1 N0

(
)




Probabilità d'errore sul simbolo per segnali M-PAM