UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI FIRENZE Scuola di Scienze M.F.N.

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Scuola di Scienze M.F.N.
Corso di Laurea in Matematica
Prof. Oscar Adriani
Appunti aggiuntivi al corso di
FISICA 2 CON LABORATORIO
MISURE DI CAMPI MAGNETICI
Versione del 29 Marzo 2014
Anno Accademico 2013-2014
1
1
Introduzione
In questo capitolo verrà presentata la strumentazione disponibile in laboratorio per la
generazione e la misura di campi magnetici, e saranno descritte le operazioni necessarie
per il suo corretto utilizzo nelle esperienze di laboratorio.
2
Campo magnetico sull’asse di una bobina composta da spire circolari
In laboratorio si studieranno i campi magnetici generati da bobine di forma circolare,
composte da molte spire avvolte in maniera compatta e percorse da una corrente continua. La formula fondamentale per ricavare il campo magnetico sull’asse di una spira
circolare è stata dimostrata a lezione1 . Definendo un sistema di riferimento cartesiano destrorso, che abbia l’origine degli assi nel centro della spira circolare, e con l’asse z diretto
ortogonalmente al piano della spira, si può dimostrare che il campo magnetico sull’asse
della spira ha la sola componente z, ha verso definito dalla regola della mano destra, e in
modulo vale:
R2
µ0
i
(1)
Bz (z) =
2 (R2 + z 2 )3/2
dove R è il raggio della spira, z è la quota del punto in cui si valuta il campo magnetico, e
µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, costante fondamentale dell’elettromagnetismo,
che vale esattamente 4π10−7N/A2 (vedi Fig. 1).
z y R x ~ generato sull’asse di una spira circolare percorsa da corrente.
Figura 1: Campo B
Se invece di una sola spira consideriamo una bobina composta da n spire, avvolte
in maniera compatta e percorse tutte dalla stessa corrente, per il principio di sopvrap1
Si veda per esempio Focardi-Massa-Uguzzoni, Fisica Generale - Elettromagnetismo, capitolo 5.
2
posizione il campo B complessivo sarà la somma dei campi generati dalle singole spire;
trascurando gli effetti dovuti alle piccole differenze di geometra tra le varie spire, possiamo
scrivere:
µ0
R2
n
Bz (z) =
in
(2)
2 (R2 + z 2 )3/2
Per avere una idea dell’ordine di grandezza dei campi che è possibile generare in laboratorio, ci possiamo riferire alla figura 2, che riporta il valore del campo B al variare di z,
per dei valori di R, n e i usati tipicamente in laboratorio (R=0.2 m, n=100, i=5 A).
2
n = 100
i=5A
R = 0.2
1.5
B (mT)
1
0.5
z (m)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 2: Modulo del campo B generato sull’asse di una bobina circolare composta da
n=100 spire, con R=0. 2m, e percorsa da una corrente i=5 A. I valori del campo ottenuti
sono dell’ordine di qualche mT.
In laboratorio sono a disposizione una bobina grande (con R ' 0.2 m) e due bobine
piccole (con R ' 0.05 m), con le quali dovranno essere effettuati due insiemi di misure.
3
Misure con la bobina grande
La bobina grande a disposizione in laboratorio ha R ' 0.2 m, è realizzata in un materiale
plastico, e sul suo bordo esterno sono avvolte n ' 100 spire di un particolare filo di rame
smaltato, utilizzato normalmente per i trasformatori. Sull’asse della bobina è posizionata
un’asta verticale, sulla quale sono stati praticati dei fori equispaziati, con passo 2 cm,
per permettere l’inserimento della sonda trasversale per la misura del campo magnetico
(descritta nella sezione 5).
Sulla parte superiore della bobina sono posizionate due boccole, che permettono di far
scorrere la corrente all’interno delle spire, connettendo i due poli di un alimentatore di
tensione, utilizzato in modalità generatore di corrente (si veda la sezione 6). E’ opportuno
utilizzare un multimetro in modalità misuratore di corrente per la misura precisa della
corrente i.
3
Con questo tipo di bobina è possibile fare misure di campo magnetico in diverse
configurazioni, seguendo le indicazioni presenti sul tabulato di laboratorio. In particolare
si potranno fare misure nelle seguenti condizioni.
• Misurare il campo B nel punto più possibile vicino al piano della bobina, variando
la corrente che circola nelle spire, per verificare la dipendenza lineare del campo
dalla corrente:
µ0
Bzn (z = 0, i) =
n i = k1 i
(3)
2R
In particolare, riportando i valori del campo B misurato in funzione di i, dal coefficiente angolare della retta che meglio interpola i dati sperimentali è possibile
determinare il numero n di spire avvolte sulla bobina.
• Mantenendo fissata la corrente che circola nelle spire, è possibile misurare il campo
B al variare della distanza z dal piano delle spire. In particolare è possibile verificare
R2
la dipendenza lineare di B dalla quantità FR,z = (R2 +z
2 )3/2 :
Bzn (FR,z ) =
µ0
R2
R2
ni
=
k
= k2 FR,z
2
2
(R2 + z 2 )3/2
(R2 + z 2 )3/2
(4)
In particolare, riportando i valori del campo B misurato in funzione di FR,z , dal
coefficiente angolare della retta che meglio interpola i dati sperimentali è possibile
determinare il numero n di spire avvolte sulla bobina.
ATTENZIONE: non superare mai il limite di 5 A per la corrente che scorre nella bobina. Inoltre, si presti attenzione a che la bobina non si riscaldi eccessivamente quando vi circolano correnti elevate (≥ 1-2 A) per tempi
lunghi.
4
Misure con le due bobine piccole
In laboratorio è disponibile anche una coppia di bobine più piccole rispetto alla bobina
grande (R ' 0.05 m), che possono essere fissate a una certa distanza l’una dall’altra
attraverso un’asta che passa per il centro delle due bobine, sulla quale sono stati praticati
dei fori, a passo 1 cm, per la misura del campo magnetico sull’asse del sistema. Per
determinare il campo magnetico generato dalla coppia di bobine percorse da corrente,
possiamo utilizzare il principio di sovrapposizione. Definendo un sistema di riferimento
con l’asse z coincidente con l’asse delle due bobine e il centro nel punto di mezzo del
segmento che congiunge i due centri, e facendo riferimento alle definizioni geometriche
della figura 3, si trova che2 :
BzT ot = Bz1 + Bz2 =
µ0 ni
1
1
[
±
]
2
2
3/2
2
2R (1 + (h/R) (1 − z/h) )
(1 + (h/R) (1 + z/h)2 )3/2
2
(5)
Si osservi che, per poter utilizzare la formula 1, è necessario operare una sostituzione di variabile,
diversa per le due bobine, che tenga conto della traslazione delle due bobine rispetto all’origine del sdr.
4
dove Bz1 e Bz2 sono i campi generati separatamente dalle bobine 1 e 2, R il raggio delle
spire, e 2h la distanza tra le due bobine. Si osservi che questa espressione può essere
utilizzata solamente se il numero di spire è uguale nelle due bobine, e se la corrente che
scorre nelle due bobine è la stessa. Il segno + deve essere utilizzato se le correnti scorrono
nelle due bobine nello stesso verso, in modo tale che i campi generati dalla due bobine
singolarmente si sommino in maniera costruttiva. Il segno - deve essere invece utilizzato
se le correnti scorrono nelle due bobine in versi opposti. Si osservi che l’andamento del
z 1 2h y 2 R x Figura 3: Definizione della geometria delle due bobine utilizzate in laboratorio
campo magnetico sull’asse del sistema è molto diverso nei due casi, come si può notare
dal confronto tra le figure 4 e 5, che riportano l’andamento del campo nei due casi per
R = 0.05 m, h = 0.05 m, n = 100 e i = 5 A, che sono dei valori tipici che possono essere
utilizzati in laboratorio.
10
10
n = 100
i=5A
R = 0.05 m
n = 100
i=5A
R = 0.05 m
7.5
5
B (mT)
B (mT)
5
-0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075
0.1
z (m)
2.5
-5
z (m)
-0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075
0.1
-10
Figura 4: Campo B generato quando le Figura 5: Campo B generato quando le
correnti nelle due bobine sono concordi
correnti nelle due bobine sono discordi
Sulla parte superiore delle bobina sono posizionate due boccole, che permettono di far
scorrere la corrente all’interno delle spire. E’ necessario costruire un circuito che, partendo
5
dall’alimentatore di tensione, utilizzato in modalità generatore di corrente, faccia passare
la corrente prima in una e poi nell’altra delle due bobine, scegliendo opportunamente le
connessioni in modo tale da avere correnti che scorrono o nello stesso verso o in verso opposto. Anche in questo caso è opportuno utilizzare un multimetro in modalità misuratore
di corrente per la misura della corrente i.
Con questo tipo di bobine è possibile fare misure di campo magnetico in diverse
configurazioni, seguendo le indicazioni presenti sul tabulato di laboratorio. In particolare
si potranno fare misure nelle seguenti condizioni.
• Misurare il campo B nel punto di mezzo tra le bobine, nella configurazione con
correnti concordi, per verificare la dipendenza lineare del campo dalla corrente:
Bzn (z = 0, i) =
2
µ0
ni
= k3 i
2R (1 + (h/R)2 )3/2
(6)
In particolare, riportando i valori del campo B misurato in funzione di i, dal coefficiente angolare della retta che meglio interpola i dati sperimentali è possibile
determinare il numero n di spire avvolte sulle due bobine.
• Mantenendo fissata la corrente che circola nelle spire, è possibile misurare il campo
B al variare della distanza z dal piano delle spire, sia nella configurazione con
correnti concordi che in quella con correnti discordi, per verificare gli andamenti
teorici previsti.
ATTENZIONE: non superare mai il limite di 5 A per la corrente che scorre
nelle bobina. Inoltre, si presti attenzione a che le bobine non si riscaldino eccessivamente quando vi circolano correnti elevate (≥ 1-2 A) per tempi
lunghi.
5
Descrizione del sistema per la misura del campo
magnetico
Per misurare il campo magnetico, viene utilizzato uno strumento, chiamato Gaussmetro,
basato sul principio di funzionamento di una sonda di Hall: facendo scorrere una corrente
in una piastrina metallica, immersa in un campo magnetico B ad essa ortogonale, sulle
facce della piastrina perpendicolari alla direzione di scorrimento della corrente e perpendicolari al campo magnetico si viene a creare una differenza di potenziale, detta di Hall,
proporzionale al campo magnetico B. La misura di questa differenza di potenziale, opportunamente calibrata, permette quindi la misura indiretta della componente del campo
magnetico perpendicolare alla superficie della piastrina. Nel sistema a disposizione in
laboratorio, la piastrina è inserita all’interno di una sonda sottile, di forma schiacciata,
interfacciata a uno strumento di misura, opportunamente calibrato. La sonda utilizzata,
chiamata trasversale, permette la misura della componente del campo perpendicolare alla
superficie della piastrina, nella zona terminale di essa.
6
Prima di iniziare ad effettuare le misure, lo strumento deve essere calibrato, imponendo
che la sua lettura sia nulla in assenza di campo magnetico. Per fare questo, in laboratorio
è a disposizione una cavità fatta di un materiale che funziona da schermo magnetico, che
garantisce l’assenza di campo B al suo interno. Inserendo quindi la sonda nella cavità, è
necessario azzerare lo strumento, con una procedura apposita che è descritta nel manuale
a disposizione in laboratorio.
Una volta effettuata questa procedura di azzeramento, lo strumento è pronto per
l’utilizzo. Si osservi che lo strumento è in grado di misurare anche il debole campo
magnetico terrestre (' 0.1 mT), che tuttavia non influenza la misura del campo sull’asse
della spira, dato che il campo terrestre è orientato nella direzione nord-sud, mentre il
campo generato dalle bobine è orientato lungo la verticale.
6
Descrizione del sistema per alimentare le bobine
Per generare il campo magnetico, in laboratorio è a disposizione un alimentatore che può
essere impostato in modalità generatore di corrente, per erogare una corrente costante,
indipendentemente dal carico ad esso applicato. In laboratorio sarà quindi necessario
impostare il valore della corrente tramite l’apposito sistema di controllo presente sull’alimentatore, e montare il circuito opportuno. Il valore della corrente circolante nelle spire
potrà poi essere letto collegando un multimetro in modalità misuratore di corrente in serie
all’interno del circuito.
Si presti la massima attenzione a che la corrente che circola nel circuito non cambi in
maniera significativa nel tempo, che potrebbe essere un indice di eccessivo riscaldamento
delle spire.
7