Indice dei temi svolti di fisica:
Autore: Antonio Pierro
Giochi matematici
Discutere la problematica connesssa alla massa inerziale e gravitazionale con particolare
riferimento agli aspetti sperimentali della loro misura
Il termine massa si può riferire a due quantità:
* La massa inerziale è la misura dell'inerzia di un corpo, che è la resistenza al cambiamento dello
stato di movimento quando viene applicata una forza. Un corpo con massa inerziale piccola cambia
il suo movimento più prontamente, e un corpo con massa inerziale alta reagisce più lentamente.
* La massa gravitazionale è la misura della intensità di interazione di un corpo con la forza
gravitazionale. All'interno dello stesso campo gravitazionale, un corpo con massa gravitazionale
piccola sperimenta una forza minore di quella di un corpo con massa gravitazionale grande. La
massa gravitazionale è proporzionale al peso, ma mentre quest'ultimo varia a seconda del campo
gravitazionale, la massa resta costante.
La massa inerziale e quella gravitazionale sono state sperimentalmente provate come equivalenti,
anche se concettualmente sono distinte. Una delle conseguenze dimostrata da Galilei e poi da
Evangelista Torricelli è la caduta dei gravi che viene spiegata di seguito.
Il riscontro a livello di teorie fondamentali del fenomeno della massa della fisica macroscopica è
correntemente in via di studio. Le teorie che cercano di dare una spiegazione della massa si
occupano dello studio della teoria delle stringhe e del bosone di Higgs, ma nessuna teoria ha avuto,
al momento, concrete conferme sperimentali.
Unità di misura
La massa si misura in chilogrammi secondo il Sistema Internazionale. Nel sistema CGS l'unità di
massa è il grammo. In fisica delle particelle si esprime la massa di una particella tramite la sua
energia equivalente (E = mc2) espressa in elettronvolt. Per esempio un elettrone ha una massa di
circa
.
Si usa dire comunemente che l'elettrone ha una massa di 511 keV.
Per un fisico, il chilogrammo è l'unità di massa, ma nell'uso comune "chilogrammo" è
un'abbreviazione per "il peso di un corpo di un chilogrammo di massa a livello del mare sulla terra".
Tramite la legge di caduta dei gravi, Galileo iniziò a poter stimare la misurazione della massa.
Questa legge è stata posta alla base della meccanica, come legge empirica fondamentale, ancor
prima che venisse chiaramente enunciato il secondo principio della dinamica.
Massa Inerziale
La massa inerziale viene determinata dalla seconda e dalla terza legge della dinamica.
Dalla seconda legge ricaviamo subito che la massa è una costante di proporzionalità tra la forza
risultante e l'accelerazione di un corpo. Quindi la massa è ciò che si oppone alla variazione della
velocità.
Applicando poi la terza legge, arriviamo ad una definizione più completa di massa con questo
procedimento: dato un corpo con massa inerziale conosciuta, possiamo ottenere la massa inerziale
di un secondo corpo, facendo sì che i due esercitino una forza l'uno sull'altro. In base alla terza
legge di Newton, le forze sperimentate dai due corpi avranno pari intensità. Questo ci permette di
studiare come i due corpi resistono all'applicazione di forze simili.
Supponiamo di avere due corpi, A e B, con massa inerziale mA (che è conosciuta) e mB (che
vogliamo determinare). Assumiamo queste masse come costanti. Isoliamo i due corpi da tutte le
altre influenze fisiche, in modo che le uniche forze presenti siano quelle esercitate da A su B, che
indicheremo con FAB, e quelle esercitate da B su A, che indicheremo con FBA. In base alla seconda
legge di Newton,
.
dove aA e aB sono le accelerazioni di A e B rispettivamente. Per procedere, dobbiamo assicurarci
che tali accelerazioni siano diverse da zero. Questo si può ottenere, ad esempio, facendo in modo
che i due corpi collidano ed eseguendo le nostre misurazioni durante la collisione .
La terza legge di Newton ci dice che le due forze sono uguali e opposte, ovvero:
.
Quando sostituiamo nelle equazioni di cui sopra, si ha che la massa di B è:
.
Quindi, misurando aA e aB siamo in grado di determinare mB in termini di mA, come desiderato. Si
noti che la nostra richiesta che aB sia diversa da zero, permette a questa equazione di essere ben
definita.
Nella discussione di cui sopra, abbiamo assunto che le masse di A e B siano costanti. Questa è
un'assunzione fondamentale, conosciuta come conservazione della massa, ed è basata
sull'aspettativa che la materia non possa mai essere creata o distrutta, ma solo suddivisa e
ricombinata (Le implicazioni della relatività speciale sono discusse più avanti). È a volte utile
trattare la massa di un corpo come variante nel tempo: ad esempio, la massa di un razzo, decresce
con il consumo del combustibile. Comunque, questa è un'approssimazione basata sulla non
considerazione delle parti di materia che entrano o escono dal sistema. Nel caso di un razzo queste
parti corrispondono al propellente espulso; se potessimo misurare la massa del razzo e del suo
propellente espulso, troveremmo che la somma delle masse corrisponde alla massa iniziale.
Massa gravitazionale [modifica]
Si considerino due corpi A e B con massa gravitazionale MA e MB, alla distanza di |rAB| l'uno
dall'altro. La legge di gravitazione di Newton afferma che la forza di gravità che ogni corpo esercita
sugli altri è:
dove G è la costante di gravitazione universale. La legge sopra menzionata può essere riformulata
nel seguente modo: data l'accelerazione g di una massa di riferimento in un campo gravitazionale
(come il campo gravitazionale della Terra), la forza gravitazionale su un corpo di massa
gravitazionale M è pari a:
.
Questa è il modo in cui si determinano le masse a partire dal peso. Si tenga presente, tuttavia, che la
massa si differenzia dal peso perché mentre la prima è una proprietà intrinseca del corpo, la seconda
non lo è e dipende dalla forza di gravità. La legge è stata accettata da Newton come la sola che
consentiva una descrizione corretta del moto dei pianeti.
Nei semplici pesapersone casalinghi, per esempio, la forza |F| è proporzionale allo spostamento di
una molla collegata al piatto (vedi legge di Hooke) e la scala è calibrata per tenere conto di g, in
modo da poter leggere direttamente la massa M.
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale [modifica]
Gli esperimenti hanno dimostrato che la massa inerziale e gravitazionale sono uguali, entro la
precisione delle misure effettuate sinora. Questi esperimenti sono essenzialmente misurazioni di
fenomeni ben conosciuti, il primo fu osservato da Galileo: i corpi cadono ad una velocità
indipendente dalla loro massa (in assenza di fattori come l'attrito). Supponiamo di avere un oggetto
di massa inerziale e gravitazionale rispettivamente m ed M. Se la gravità è la sola forza agente sugli
oggetti, la combinazione della seconda legge di Newton e della legge di gravitazione universale ci
permette di calcolare l'accelerazione a come:
Quindi, tutti i corpi nello stesso campo gravitazionale cadono alla stessa velocità se e solo se il
rapporto fra la massa gravitazionale ed inerziale è uguale ad una costante. Un esperimento di
verifica dell'equivalenza tra le due definizioni di massa potrebbe consistere, per esempio, nel
misurare a per diversi corpi cercando eventuali variazioni. È accertato che una particella elementare
(ad esempio un protone),spinto ad una velocità v incrementa la sua massa a riposo m0 di una
quantità dm = m0/(1-v2/c2)½ - m. Con c = velocità della luce nel "vuoto". L'incremento di massa,
come si deduce dalla formula, è apprezzabile solo se si spinge una particella a velocità comparabili
con quella della luce c. È logico ritenere, che per quanto non verificabile sperimentalmente,
l'incremento di massa per effetto della velocità, debba avvenire per qualsiasi velocità, perché, se
così non fosse, dovremmo quantomeno fissare una velocità limite oltre la quale si ferifica detto
fenomeno. Se lancio un sasso ad una certa velocità, tutte le sue componenti elementari (protoni e
neutroni), vedono aumentare la loro massa a riposo secondo quanto prima fissato, e dunque la
massa del sasso deve aumentare con identica legge. Se questo modesto e logico ragionamento ha un
senso, le due masse non sono quantitativamente uguali, ma diverse a seconda della velocità a cui si
muove il corpo in esame, perché la sua massa inerziale dipende da detta velocità. Per le usuali
velocità cui possono muoversi i corpi materiali la variazione di massa (desumibile dalla formula) è
dell'ordine di 10-16 Kg e dunque non misurabile dalla bilancia a torsione di Eotvos che è tarata per
variazioni massime di 10-12 kg.
Conseguenze della relatività
Nella relatività speciale, il termine "massa" si riferisce alla massa inerziale di un corpo così come
viene misurata nel sistema di riferimento in cui è a riposo (che è detto sistema a riposo). Il metodo
di cui sopra, per determinare la massa inerziale rimane valido, a patto che si faccia in modo che la
velocità del corpo sia molto più piccola di quella della luce, così facendo sono valide le leggi della
meccanica classica.
Storicamente, il termine "massa" venne usato per la quantità E/c². Questa venne chiamata la "massa
relativistica", e m era la "massa a riposo". Questa terminologia viene ora disincentivata in ambito scientifico,
poiché non c'è bisogno di due termini per descrivere l'energia di una particella, e perché crea confusione
quando si parla di particelle senza massa. In questo articolo, ci si riferisce alla massa a riposo ogni volta che
si parla di "massa".
Nella meccanica relativistica, la massa di una particella libera è legata alla sua energia e al
momento dalla seguente equazione:
.
Questa equazione può essere riarrangiata nel seguente modo:
Il limite classico corrisponde alla situazione in cui il momento p è molto inferiore a mc, in questo
caso possiamo espandere con una serie di Taylor la radice quadrata, ottenendo
Il primo termine, che è il più grande, è l'energia a riposo della particella. Posto che la massa non sia
zero, una particella ha sempre un quantitativo minimo di energia indipendentemente dal suo
momento. L'energia a riposo è normalmente inaccessibile, ma può essere sprigionata dalla divisione
o dalla combinazione delle particelle, così come accade durante la fusione nucleare e la fissione
nucleare. Il secondo termine è semplicemente la classica energia cinetica, come si può mostrare
usando la definizione classica del momento.
e sostituendo nell'equazione di cui sopra:
La relazione relativistica tra massa, energia e momento resta valida anche quando le particelle sono
senza massa, che nella meccanica classica è un concetto non valido. Quando m = 0, la relazione si
semplifica in
dove p è il momento relativistico.
L'equazione governa la meccanica di particelle senza massa quali i fotoni.
