25.01.2016 - Sezione di Fisica

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
A.A. 2015/2016, Sessione invernale
Esame di Fisica Generale I con Lab
25 Gennaio 2016, Prova Scritta
TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI
PROBLEMA 1 (Fis. Gen. I Lab.)
Supponiamo che la forza, applicata alla sfera nel lancio del peso ( m = 7, 2kg ) sia costante in direzione
e abbia l’andamento F = F0 sin ω t (
F0
ω
= 8, 52kgp ⋅ s ) nell’intervallo 0 < t <
π
, calcolare:
2ω
1. Il modulo della velocità con cui il peso lascia la mano dell’atleta
2. Il lavoro compiuto dall’atleta, se la quota del peso è aumentata di 1m durante la fase di lancio.
Soluzione
Dal secondo principio:
F
dv F0
=
sin ω t ⇒ v = 0
dt
m
m
t
∫
sin ω tdt =
0
π
F0
F
( − cos ω t ) 02ω = 0 = 11, 61m / s .
mω
mω
Il lavoro totale è:
1
1 F02
L = mgΔh + mv 2 = m( gΔh +
) = 7, 2(9,81 + 0,5 ⋅ 11,612 ) = 556J .
2
2 m 2ω 2
PROBLEMA 2 (Fis. Gen. I Lab.)
Una corona circolare conduttrice di raggi r1 = 10cm e r2 = 20cm è percorsa da una corrente di densità
j = 1,9 A / m2 .
1. Qual è il campo magnetico nel centro della corona circolare?
2. Quale è il momento magnetico?
Soluzione
Il campo magnetico generato nel suo centro da una corona circolare di larghezza dr è dato da:
dB =
Integrando troviamo:
B=
µ0
2π
r2
∫
r1
µ0 di µ0 jdr
.
=
2π r 2π r
r
jdr µ0
12,56
=
j ln 2 =
1,9ln 2 = 2,63T .
r
2π
r1
6, 28
Il momento magnetico è dato da:
r2
r2
m = dm = π j r 2dr = π j (
∫
r1
∫
r1
r23 r13
8 − 1 −2
− ) = 3,14 ⋅ 1,9(
10 ) = 43,75 ⋅ 10−2 A ⋅ m 2
3
3
3
PROBLEMA 3 (Fis. Gen. I Lab.)
Data l’identità ∫ fndS = ∫ ∇fdV , dimostrare la legge di Archimede.
S
V
Soluzione
Prendiamo come funzione f ( x , y , z ) = ρ gz che dà, come è noto, la pressione a profondità z in un
liquido di densità ρ e sostituiamola nell’identità, abbiamo:
∫ ρ gzndS = ∫ F dS =∫ ∇( ρ gz)dV
n
S
S
V
che separata in componenti, dà:
∫ ρ gzn dS = 0
x
S
∫ ρ gzn dS = 0
y
S
∫ ρ gzn dS = ∫ ρ gdV = gM ,
z
S
V
in cui nx , ny , nz sono le componenti cartesiane della normale alla superficie esterna S del corpo di
volume V .
Come si vede il membro a destra è il peso di liquido spostato dal corpo. Il primo membro rappresenta
invece la, componente lungo l’asse Z della somma delle forze dovute alla pressione applicate sulla
superficie.
PROBLEMA 4 (Fis. Gen. II Lab.)
Due conduttori f1 e f 2 sottili, infiniti, rettilinei giacciono in un piano perpendicolarmente l’uno
all’altro. Una spira rettangolare di lati a = 10cm e b = 20cm è disposta nel piano dei fili con i lati a
paralleli ad f1 . Il lato più vicino ad f1 dista l1 = 10cm da f1 ed il lato b più vicino a f 2 dista l2 = 20cm
da f 2 .
1. Se in f1 si lancia una corrente i1 = 10 A , quale corrente occorre lanciare in f 2 perché, nei due
casi, venga messa in moto la stessa quantità di carica nella spira?
2. Se la spira è percorsa da una corrente i = 1 A nel verso orario ed i versi di i1 e di i2 sono
positivi degli assi coordinati X-Y, calcolare il modulo della forza agente su ciascuno dei lati
più vicini ai fili.
Soluzione
La quantità di carica messa in moto durante la variazione della corrente da zero al valore finale è:
t
Q=
1 d
1
∫ R ( dt ∫ B ⋅ ndS )dt = R ∫ B ⋅ ndS ,
0
S
S
in parole la carica è data dal flusso finale diviso per la resistenza della spira. Nel nostro caso B è
perpendicolare alla superficie della spira e ha modulo B =
µ
Φ( B) = B ⋅ ndS = 0 i1a
2π
∫
S
l1 + b
∫
l1
µ0 i
. Pertanto il flusso generato da f1 è:
2π r
l +b
dr µ0
.
=
i1a ln 1
r
2π
l1
Equivalentemente il flusso generato da i2 è:
Φ( B ) =
µ0
l +a
.
i2 b ln 2
2π
l2
Eguagliando i due flussi e risolvendo per i2 , abbiamo:
l1 + b
l1
a
i2 = i1
= 13, 55 A .
b l2 + a
ln
l2
ln
Sul lato a agiscono le forze esercitate dalle correnti nei fili, che sono:
µ
a
F1a = iBa = 0 ii1 = 2 ⋅ 10−6 N
2π
l1
l2 + a
e
F2a = i
∫
l2
µ
Bdr = 0 ii2
2π
l2 + a
∫
l2
l +a
dr µ0
=
ii2 ln 2
= 1,1 ⋅ 10−6 N .
r
2π
l2
Le due forze sono disconcordi e la forza totale sarà così:
Ftot = F1a − F2a =
µ0 ⎛ a
l +a⎞
−6
i ⎜ i1 − i2 ln 2
⎟ = 0,9 ⋅ 10 N .
2π ⎝ l1
l2 ⎠
PROBLEMA 5 (Fis. Gen. II Lab.)
Il diametro del k-esimo anello nero di un sistema di anelli di Newton varia da d1 = 1, 25mm a d2 = 1mm
quando all’aria si sostituisce un liquido. Calcolare l’indice di rifrazione n del liquido.
Soluzione
Per gli anelli valgono le due relazioni:
d1 = 2 kr λ e d 2 = 2 kr
λ
n
;
dividendo membro a membro abbiamo:
n=(
d1 2
) =1.562.
d2
PROBLEMA 6 (Fis. Gen. II Lab.)
Una cellula fotoelettrica a vuoto è costituita da una lamina piana fotosensibile (catodo) e da una griglia
metallica (anodo) parallele ad una distanza tra loro l0 = 3mm . Tra di loro è applicata una differenza
di potenziale V = 100V , sufficiente ad avere una corrente di saturazione. Quando il catodo viene
illuminato da una sorgente posta a l1 = 60cm con luce con λ = 500nm , la corrente è i1 = 30µ A .
Calcolare:
1. Il numero di elettroni che in media arrivano all’anodo ogni 60 s.
2. Il valore della corrente quando la sorgente luminosa viene portata ad una distanza l2 = 90cm
3. Il tempo che in media impiega un elettrone ad attraversare la distanza tra catodo e anodo, se
il lavoro d’estrazione vale W0 = 2,08eV ( = 6, 62 ⋅ 10−34 Js , me = 9,1 ⋅ 10−31 kg ).
Soluzione
1. La carica che raggiunge l’anodo in t = 60 s è
Q = i1t = 30 ⋅ 10−6 A ⋅ 60s = 1,8 ⋅ 10−3 ,
il numero di elettroni sarà quindi:
n=
Q 1, 8 ⋅ 10−3 C
=
= 1,125 ⋅ 1016 .
−
19
e 1, 6 ⋅ 10 C
l
l2
2. La quantità di luce e conseguentemente il numero di elettroni sarà ridotto del rapporto ( 1 )2 .
Dunque la corrente sarà:
l
60cm 2
i2 = i1 ( 1 )2 = 30µ A(
) = 13, 3µ A
l2
90cm
3. L’energia del fotone incidente sull’anodo è:
Eγ = hν = h
3 ⋅ 108 m / s
−7
5 ⋅ 10 m
= 6,62 ⋅ 10−34 Js ⋅ 6 ⋅ 1014 s −1 = 39,7 ⋅ 10−20 J = 2,48eV .
L’energia dell’elettrone prodotto sarà:
Ee = Eγ − W0 = 2, 48eV − 2, 08eV = 0, 40eV = 0, 40 ⋅ 1, 6 ⋅ 10−19 J = 0, 64 ⋅ 10−19 J .
La velocità d’uscita dell’elettrone dal metallo è:
v0 =
2 Ee
=
me
2 ⋅ 0,64 ⋅ 10−19 J
9,1 ⋅ 10−31 kg
= 3,75 ⋅ 105 m / s
e la sua accelerazione sarà:
a=
eE eV
1, 6 ⋅ 10−19 C ⋅ 100V
=
=
= 5, 93 ⋅ 1015 m / s 2 .
m ml0 9,1 ⋅ 10−31 kg ⋅ 3 ⋅ 10−3 m
Dal secondo principio della dinamica abbiamo che
− v0 ± v02 + 2al0
1
.
l0 = v0 t + at 2 ⇒ t =
2
a
Scegliendo la soluzione col segno +, abbiamo t = 9,45 ⋅ 10−10 s .