Esercizi Algebra 9 Esercizio 1. Un elemento a = 0 contenuto in un

Esercizi Algebra 9
Esercizio 1. Un elemento a 6= 0 contenuto in un anello A si dice nilpotente
se esiste un intero n > 1 tale che an = 0. Provare che
1. se a ∈ A è nilpotente allora è un divisore dello zero;
2. se A è un anello con unità ed a ∈ A un elemento diverso da 0 e 1 tale
che a2 = a allora a è un divisore dello zero;
3. * se A è un anello commutativo con unità, a è un elemento invertibile
e b è un elemento nilpotente allora a + b è invertibile.
Esercizio 2. Siano I e J due ideali bilateri di un anello A; si verifichino i
seguenti fatti
1. I + J = {i + j|i ∈ I e j ∈ J} è un ideale bilatero di A;
2. I ∩ J è un ideale bilatero di A;
3. l’insieme IJ costituito dalle somme finite di elementi del tipo ij con
i ∈ I e j ∈ J è un ideale bilatero di A;
4. IJ ⊆ (I ∩ J) ⊆ I + J.
Esercizio 3.
1. Siano P1 e P2 due ideali primi di un anello A. Verificare
che se P1 ∩ P2 è un ideale primo, allora P1 ⊆ P2 o P2 ⊆ P1 .
2. Se ψ : A → B è un omomorfismo di anelli e P è un ideale primo di B,
provare che ψ −1 (P ) é un ideale primo di A.
3. Provare che in generale non è verificato che se ψ : A → B è un omomorfismo di anelli e P è un ideale massimale di B allora ψ −1 (P ) è un
ideale massimale di A.
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Esercizio 4. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di C (campo dei numeri
complessi).
√
A = {a + i 2b| a, b ∈ Z}
√
B = {2n + i 2m| n, m ∈ Z}
1. Si dimostri che A e B sono sottoanelli di C.
2. Si dimostri che B è un ideale in A.
3. Si dimostri che B è un ideale massimale di A.
Esercizio 5. Sia (L, ≤) un reticolo booleano e x, y, z, w elementi di L. Si
verifichi che:
1. x ≤ y e z ≤ w implicano x ∧ z ≤ y ∧ w;
2. x ≤ y se e solo se x ∧ y 0 = 0.
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