Le sezioni piane del cubo

Le sezioni piane del cubo
Versione provvisoria
9 dicembre 2006
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Simmetrie del cubo e sezioni speciali
Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli
assi di simmetria del cubo o perpendicolari ai pini di simmetria del cubo.
Richiamiamo alcuni fatti fondamentali relativi al gruppo delle trasformazioni ortogonali W ∗ che trasformano il cubo in sè.1
• |W ∗ | = 48
• Sia W = W ∗ ∩ SO(3, R). Allora W ∗ = W ∪ (−1)W
• W contiene le rotazioni di π rispetto ai sei assi congiungenti i punti medi
di lati opposti, quelle di π2 , π, 32 π rispetto ai tre assi congiungenti i centri
di facce opposte, quelle di 32 π, 43 π rispetto ai quattro assi congiungenti
coppie di vertici opposti.
• W ∗ \ W contiene le riflessioni rispetto ai 3 piani mediani delle coppie
di piani sostegno di coppie di facce opposte (Tipo I) e quelle rispetto ai
6 piani congiungenti coppie di spigoli opposti e ai tre piani (Tipo II).
I tre piani del primo tipo sono mutuamente ortogonali. Due piani del
secondo tipo formano un angolo di: π2 se hanno un asse di ordine 4 in
comune; π3 se hanno in comune un asse di ordine 3.
Un piano del primo tipo e uno del secondo tipo si incontrano formando
un angolo di: π4 se hanno un asse di ordine 4 in comune; π2 se hanno un
asse di ordine 2 in comune.
Assi di ordine 4 Sono gli assi per il centro e il centro di una faccia. Una
sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di
simmetria rotatoria di ordine 4. Quindi deve essere un quadrato.
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Si rimanda alla voce Octahedral symmetry dell’enciclopedia Wikipedia per maggiori
dettagli.
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Assi di ordine 3 Sono gli assi per il centro del cubo e un vertice. Una
sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di
simmetria rotatoria di ordine 3. Quando è un triangolo, deve essere equilatero. Non può essere un pentagono nè un quadrato. Possiamo avere degli
esagoni; in particolare si hanno esagoni regolari quando il piano passa per
l’origine.
Assi di ordine 2 Sono gli assi per il centro e il punto medio di uno
spigolo, ovvero gli assi che congiungono i due punti medi di due spigoli opposti. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un
gruppo di simmetria rotatoria di ordine 2. Possiamo dimostrare che è un
rettangolo.2 In particolare può essere un quadrato. Si può definire una curva
su ogni faccia tale che un piano perpendicolare alla faccia sega un quadrato
se e solo se è tangente a questa curva. Tale curva è un asteroide.
Piani di simmetria
Intersecando ortogonalmente ad un piano di simmetria, per esempio il
piano per due spigoli opposti, ottengo poligoni con un’asse di simmetria: triangoli isosceli, trapezi isosceli. Posso anche ottenere dei particolari pentagoni
ed esagoni. Si osservi che
1. Gli esagoni devono sempre avere i lati paralleli a coppie.
2. I pentagoni devono sempre avere due coppie di lati paralleli. In particolare non può esistere una sezione piana che sia un pentagono regolare.
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Tipi di sezioni piane
Tra le sezioni piane di un cubo ci sono trangoli, quadrilateri, pentagoni ed
esagoni, oltre alle sezioni degeneri costituite da un solo punto e da un solo
lato. Non ci possono evidentemente essere sezioni con un numero maggiore
di lati in quanto il numero di facce del cubo è 6 e deve esserci al più una
sezione su ogni faccia.
2.1
Triangoli
I triangoli devono necessariamente essere acutangoli e possono essere scaleni,
isosceli ed equilateri.
In una sezione piana triangolare i tre vertici della sezione stanno su lati
che hanno in comune un vertice del cubo.
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Infatti un piano perpendicolare all’asse congiungente due spigoli è parallela ad entrambi gli spigoli. Ma la sezioni che hanno angoli retti sono solo quelle perpendicolari ad
una delle facce, ovvero parallele ad uno degli spigoli (vedi oltre).
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Teorema 1 Sia πC un triangolo isoscele. Allora π è perpendicolare ad un
piano di tipo II.
Dimostrazione Siano A, B, C i vertici del triangolo e assumiamo che AB =
AC. Siano l1 , l2 , l3 gli spigoli di C intersecati da π in A, B e C rispettivamente
e sia V4 il vertice del cubo comune a l1 , l2 ed l3 . Siano V1 , V2 e V3 gli
altri vertici del cubo su l1 , l2 ed l3 rispettivamente. Da AB = AC segue
V4 C = V4 B e quindi CB è ortogonale alla bisettrice l dei lati l2 ed l3 . Sia V5
il vertice del cubo su l diverso da V4 . Sia σ =< V1 , V4 , V5 >. Il piano σ è un
piano di simmetria di tipo II. σ e π sono ortogonali in quanto σ contiene CB
che è ortogonale a π essendo ortogonale alle sue due rette hV4 , M i e hA, M i
Corollario 1 Sia πC un triangolo equilatero. Allora π è ortogonale ad un
asse di ordine 3.
Dimostrazione Siano A, B, C i vertici del triangolo e siano l1 , l2 , l3 gli
spigoli di C intersecati da π in A, B e C rispettivamente e sia V4 il vertice del
cubo comune a l1 , l2 ed l3 . Per il Teorema 1, π è perpendicolare a tutti e tre i
piani di simmetria del secondo tipo passanti per V4 e quindi è perpendicolare
alla loro intersezione r = OV4 , dove O è il centro del cubo C e quindi è un
asse di ordine 3.
Teorema 2 Un trangolo πC deve necessariamente essere acutangolo
Dimostrazione Una sezione piana è un triangolo se e solo se interseca i
tre spigoli l1 , l2 , l3 uscenti da un vertice V del cubo. Siano A, B, C le
intersezioni del piano con l1 , l2 , l3 . Sia r1 la perpendicolare a AB per V e
sia H1 la sua intersezione con la retta per A e B. Essendo AB l’ipotenusa
del triangolo rettangolo ABV , H1 è interno al segmento AB. Per il teorema
delle tre perpendicolari, AB è ortogonale al piano hr1 , l3 i e quindi la retta
per C e H1 , appartenendo a questo piano, deve essere ortogonale a AB in
H1 . Pertanto H1 è anche il piede della perpendicolare condotta da C a AB e,
come abbiamo già osservato, è interno ad AB. Quasto vale anche per il piede
della perpendicolare condotta da B ad AC e per il piede della perpendicolare
condotta da A a BC. Essendo il piede di ognuna delle tre perpendicolari
interno al relativo segmento, il triangolo é necessariamente acutangolo.
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2.2
Quadrilateri
Una sezione che intersechi quattro facce di un cubo ne interseca almeno due
che sono parallele. Allora in ogni quadrilatero sezione, almeno una coppia di
lati deve essere parallela.
Teorema 3 πC è un rettangolo se e solo se π è parallelo ad uno spigolo di
C.
Dimostrazione Supponiamo che πC sia un rettangolo. Siano F1 e F2 due
facce incidenti del cubo che intersecano π e contengano un vertice. Sia r la
retta sostegno dello spigolo comune a F1 e F2 e siano α1 e α2 i semipiani
passanti per r e contenenti F1 ed F2 . Siano s1 = α1 ∩ π e s2 = α2 ∩ π. Sia
P = s1 ∩ s2 . Per ipotesi s1 e s2 si intersecano ortogonalmente in P . Sia t la
semiretta di α1 ortogonale a r in P . La direzione di t coincide con quella di
uno degli spigoli del cubo. Se t = s1 , π è parallelo a t e quindi è parallelo
ad uno degli spigoli del cubo. Se t è diverso da s1 , s2 è perpendicolare a
due semirette distinte di α1 quindi la sua direzione coincide con la direzione
perpendicolare ad una delle facce del cubo, ovvero alla direzione di uno degli
spigoli del cubo. Come prima segue quindi che il piano π è parallelo ad uno
degli spigoli del cubo. Il viceversa è ovvio
Osserviamo che il Teorema 4 si può anche enunciare cosı̀: πC è un rettangolo se e solo se π è perpendicolare a una faccia C.
Lemma 1 Ogni sezione piane con un angolo retto è necessariamente un
rettangolo
Dimostrazione Se ci fosse un angolo rettangolo in πC , ragionando come
nella dimostrazione del Teorema 4 si dimostra che il piano π è parallelo ad
uno degli spigoli e quindi interseca in un rettangolo.
Corollario 2 Se una sezione piana è un trapezio rettangolo è un rettangolo.
Osservazione 1 Se πC è un rettangolo, uno dei suoi lati è √
congruente allo
spigolo del cubo. L’altro lato ha lunghezza compresa tra 0 e 2.
Ci sono quadrati (piani ortogonali a due facce ovvero ortogonali a uno
spigolo e anche ortogonali a una singola faccia ma tangenti ad un asteroide),
rettangoli (piani ortogonali a una faccia), parallelogrammi non rombi, rombi
(per esempio quello passante per due vertici opposti del cubo e per il punto
medio di un lato non adiacente ad alcuno dei due vertici, trapezi isosceli e
trapezi scaleni.
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Lemma 2 Un quadrilatero πC è un trapezio isoscele (non rettangolo) se e
solo se π è perpendicolare ad uno dei piani di simmetria del secondo tipo del
cubo.
Dimostrazione Muovendo il piano parallelamente a sè stesso si trasforma
il trapezio in un triangolo isoscele. Si usa quindi il Teorema 1
Commento : Caratterizzazione dei rombi. Quali rombi si ottengono?
(possibili rapporti tra le diagonali). Procedendo come per i triangoli isosceli
si dimostra che i rombi sono le sezioni con piani ortogonali e piani di tipo
II che sono quadrilatere. Allora il rapporto
√ tra la diagonale maggiore e
la diagonale minore varia nell’intervallo [1, √32 ]. I rombi si possono anche
descrivere guardando le proiezioni. Si fissi una faccia. La proiezione del
rombo sarà il parallelogramma ABCD, dove i vertici stanno su una coppia
di lati paralleli. Sia a = AB e b = BC. Sia BC il lato della sezione che
appartiene alla faccia su cui sto proiettando. Allora, il lato della seizione
√ che
viene proiettato su AB ha, per il teorema di Pitagora, lunghezza 1 + a2 .
Perché la sezione sia un rombo, deve essere 1 + a2 = b2 e ABC deve essere
un triangolo rettangolo e il parallelogramma ABCD deve essere tale che A
è il piede della perpendicolare ad AC condotta da B.
Osserviamo per curiosità che il quadrato di area maggiore che si può
iscrivere in un cubo non è una sezione piana, ma è parte propria di una
sezione esagonale.
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