Corrente elettrica
Sotto l’effetto di un campo elettrico le cariche si possono muovere
In un filo elettrico, se una carica dQ attraversa una sezione del filo nel
tempo dt abbiamo una corrente di intensità
dQ
dt
L’unità è l’Ampère, che corrisponde al passaggio di una carica di
1 Coulomb in 1 s
Se si muovono cariche di densità ρ per unità di volume con velocità ~v ,
definisco la densità di corrente come
I =
~J = ρ~v
La carica che attraversa la sezione S nel tempo dt è quella che sta in
un volume S v dt, quindi dQ = ρ S v dt, o , tenendo conto
dell’orientamento della sezione S
I = ~J · S n̂
Marcello Borromeo
corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12
Campo magnetico generato da correnti
Filo indefinito
Il campo magnetico può essere generato da una corrente elettrica
(Oersted)
Un filo indefinito genera un campo magnetico, a distanza r , dato da
B(r ) =
µ0 µr I
2π r
diretto tangenzialmente alle circonferenze poste su di un piano
perpendicolare al filo, concentriche ad esso
Il verso è quello della regola della mano destra
µ0 è una costante universale nota come permeabilità magnetica del
vuoto, e vale
µo = 4π · 10−7 T m/A
µr è la permeabilità magnetica relativa e dipende dal materiale in cui
il campo magnetico è immerso
Marcello Borromeo
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Campo magnetico generato da correnti
Solenoide
È utile avere un metodo per produrre campi magnetici costanti in una
zona dello spazio e nulli fuori
Un avvolgimento di N spire circolari, di lunghezza totale L, se le spire
sono abbastanza fitte, crea un campo con queste caratteristiche
definendo n = N/L si ha
B = µ0 µr nI
I è la corrente che passa in ciacuna delle spire
Il verso del campo magnetico è determinato dalla regola della mano
destra
Marcello Borromeo
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Campo magnetico generato da correnti
Spira percorsa da corrente
Anche una singola spira circolare genera un campo magnetico, ma la
sua forma è complicata (è un dipolo)
È possibile dare una formula per il campo sull’asse della spira
B(z) =
µ0 µr
S ·I
2
2π (r + z 2 )3/2
Per distanze dalla spira molto maggiori del suo raggio
B(z) =
µ 0 µr S · I
2π z 3
questa è la stessa formula che si ottiene per un dipolo elettrico
Posso allora definire un momento di dipolo magnetico µ
~ come
µ
~ = I S n̂
Qui n̂ è la normale alla spira presa con la solita regola della mano
destra
Marcello Borromeo
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Energia e momento torcente
dei dipoli magnetici
Analogamente a quanto fatto per il dipolo elettrico, anche qui posso
associare un’energia alla posizione del dipolo
~ = −µ B cos θ
W = −~
µ·B
C’è anche un momento torcente che tende a far ruotare il dipolo
~
~τ = µ
~ ×B
Sia per il comportamento passivo (energia e rotazione) che per quello
attivo (campo generato) una spira percorsa da corrente si comporta
come un ago magnetico
A livello microscopico questo si capisce, poiché gli atomi sono piccole
spire percorse da corrente
Marcello Borromeo
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Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo
Il comportamento degli atomi in un campo magnetico è di vario tipo
Se gli atomi non hanno momento magnetico (diamagnetici) si
oppongono debolmente al campo magnetico (1 − µr ∼ 10−5 )
Se gli atomi hanno un momento magnetico (materiali paramagnetici)
questo tende ad allinearsi al campo e ad incrementarlo
(µr − 1 ∼ 10−3 − 10−4 )
Non appena si toglie il campo, i momenti magnetici si orientano
casualmente, dando un campo nullo
Una terza categoria (materiali ferromagnetici) possiede un momento
magnetico che mantiene l’orientazione, formando magneti
permanenti. Questi possono essere distrutti scaldando il materiale, o
creati raffreddandolo lentamente in un campo magnetico
Nei materiali ferromagnetici tutti i dipoli vicini tendono a disporsi
parallelamente formando i domini di Weiss
Marcello Borromeo
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Cariche magnetiche
e teorema di Gauss per il campo magnetico
Sperimentalmente, non si sono mai trovate cariche magnetiche
Nessuna teoria ne proibisce l’esistenza, e l’elettromagnetismo
potrebbe essere adattato per descriverle
La loro esistenza spiegherebbe la quantizzazione della carica elettrica
Il fatto che non esistano sorgenti del campo magnetico, implica che
tutte le linee di campo siano chiuse
Se una linea di campo entra in una superficie, ne deve anche uscire.
Per il teorema di Gauss allora
~ =0
Φ(B)
attraverso qualunque superficie chiusa
Marcello Borromeo
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Moto di una carica in un campo magnetico unforme I
Se una carica si muove in un campo magnetico, senza campo
elettrico, la forza di Lorentz diventa
~
~ = m d~v = q~v × B
F
dt
~ diretto come l’asse z
Prendendo B
dvy
dvx
m
= qvy B
= −qvx B
dt
dt
Derivando una delle equazioni e sostituendo l’altra trovo
2
d 2 vx
qB
vx
=−
2
dt
m
Questi dice che vx e vy compiono un moto periodico armonico ed ha
la forma
qB
vx (t) = v0 sin(ωt), vy (t) = v0 cos(ωt) con ω =
m
Marcello Borromeo
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Moto di una carica in un campo magnetico unforme II
Posso calcolare l’evoluzione temporale delle coocrdinate
v0
v0
x(t) = − cos(ωt) e y (t) =
sin(ωt)
ω
ω
Vedo che x(t)2 + y (t)2 = v02 /ω 2 , quindi la carica segue una
traiettoria circolare di raggio
m v0
v0
=
R=
ω
qB
il periodo del moto è
2π
m
= 2π
ω
qB
Infine, se la particella ha una velocità lungo z, questa non è toccata
dal campo magnetico, quindi ci sarà un moto rettilineo uniforme
lungo z
la composizione del moto circolare e di quello rettilineo da’, in
generale un moto elicoidale
T =
Marcello Borromeo
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Circuitazione
Molti concetti dell’elettromagnetismo sono presi dalla fluidodinamica
Il vortice, viene descritto dalla circuitazione
Descrivo una linea chiusa orientata C, e calcolo, in ogni punto il
~ · d~s )
prodotto scalare tra campo ed elemento di linea (e.g. B
Sommo (integro) su di una linea chiusa
La circuitazione si scrive
I
~ · d~s
B
C
Marcello Borromeo
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Circuitazione del campo elettrico
La legge di Faraday afferma che la circuitazione del campo elettrico
lungo una linea è opposta alla derivata temporale del flusso del
campo magnetico attraverso la superficie delimitata da quella linea
~
~ · d~s = dΦS (B)
E
dt
δS
I
Questa legge, apparentemente complicata, ha infinite applicazioni
pratiche. Facendo variare il flusso magnetico, si può infatti produrre
un campo elettrico che metta in moto una corrente elettrica. Questo
è il sistema che si usa per produrre corrente da quasi tutte le sorgenti
di energia
Marcello Borromeo
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Circuitazione del campo magnetico
Considero un percorso C circolare centrato sul filo di lunghezza
infinita in cui passa una corrente I
Il campo magnetico è sempre parallelo all’elemento di linea, per cui
~ · d~s = B ds, per cui
B
I
I
µ0 I
dr
~
B · d~s =
= µ0 I
2π
r
Se non ci fosse corrente concatenata, la circuitazione sarebbe nulla
Se il cicuito girasse N volte attorno al filo, la circuitazione sarebbe N
volte più grande
In generale, si dimostra che è sempre vero che
La circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa
è uguale alla somma delle correnti concatenate al circuito
Marcello Borromeo
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Corrente di Maxwell
Se il campo elettrico dipende dal tempo, questa legge non funziona
più e va ampliata
La legge corretta diventa
I
~ · d~s = µ0
B
C
~)
dΦS (E
I + ε0
dt
!
S è una superficie che ha contorno C
esiste una forte correlazione tra campo elettrico e magnetico, tanto
che non si possono vedere come grandezze differenti ma come un
campo elettromagnetico
Marcello Borromeo
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Onde elettromagnetiche
In assenza di cariche e correnti elettriche, due delle equazioni di
Maxwell si possono scrivere come
~
~ · d~s = − dΦS (B)
E
dt
C
I
~
~ · d~s = µ0 ε0 dΦS (E )
B
dt
C
I
In assenza di carica elettrica, Un campo campo elettrico può generare
un campo magnetico, anch’esso variabile nel tempo
Questo campo magnetico può poi generare un campo elettrico, e
cosı̀ via
Troviamo quindi che campi elettrici e magnetici variabili nel tempo
possono esistere da soli, e che possono esistere le onde
elettromagnetiche
Marcello Borromeo
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Fotone
Nella fisica quantistica, tutte le particelle hanno una doppia natura, di
corpuscolo e di onda
Il comportamento corpuscolare delle onde elettromagnetiche è
descritto dal fotone, o quanto di luce
Le onde non viaggiano con energia distribuita arbitrariamente, ma
secondo ”quanti” di energia proporzionale alla frequenza
E = hν
h = 6.626 · 10−34 J · s
(costante di Planck)
questo aspetto si vede in alcuni fenomeni, come l’effetto fotoelettrico
e l’effetto Compton
Marcello Borromeo
corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12
