la divisione fra polinomi e la scomposizione in fattori

CAPITOLO
1
[numerazione araba]
[numerazione devanagari]
[numerazione cinese]
LA DIVISIONE
FRA POLINOMI E
LA SCOMPOSIZIONE
IN FATTORI
1729 Salire su un taxi numero 1729 lascerebbe indifferente la maggior parte delle persone. Ma
per il matematico indiano Srinivasa Ramanujan un episodio apparentemente banale fu l’occasione
di una celebre scoperta…
Éche cosa ha di speciale un numero cos“?
La risposta a pag. 13
TEORIA
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI
● 6 è divisibile per 3
perché 3 $ 2 dà come prodotto 6.
Nell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore.
Procediamo in modo analogo per i polinomi, fornendo prima la definizione di
divisibilità e poi il procedimento di calcolo.
La divisione di un polinomio
per un monomio
Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio
che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.
ESEMPIO
Il polinomio 4ab 2 - 6a 2b è divisibile per il monomio 2ab.
Infatti, esiste il polinomio
2b - 3a
tale che
(2b - 3a)2ab = 4ab 2 - 6a 2b.
In questo caso, per eseguire la divisione, possiamo applicare la proprietà
distributiva della divisione rispetto all’addizione.
(4ab 2 - 6a 2b) ; 2ab = (4ab 2 ; 2ab ) - (6a 2b ; 2ab) = 2b - 3a.
Un polinomio è divisibile per un monomio se ogni suo termine è divisibile per
tale monomio.
Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio
che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.
ESEMPIO
5 4
a - 3a 2 + a ;
2
b 7 a3 b2 + 1 a2 b - 5bl : b = 7 a3 b + 1 a2 - 5 .
3
2
3
2
(5a 6 - 6a 4 + 2a3) : 2a 2 =
Ci sono casi in cui un polinomio non è divisibile per un monomio.
ESEMPIO
a 2 + a + 1 non è divisibile per a 3.
La divisione esatta fra due polinomi
DEFINIZIONE
● Quando vogliamo indicare un polinomio generico,
senza precisare le variabili,
utilizziamo lettere maiuscole (P, Q, A, B, R, …).
2
Divisibilità fra polinomi
Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un polinomio Q
che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.
A ; B = Q se e solo se B $ Q = A.
PARAGRAFO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI
TEORIA
A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.
ESEMPIO
Il polinomio
A = 2x 7 + x 5 - 6x 3 + 8x 2 - 3x + 4
è divisibile per il polinomio
B = 2x 2 + 1.
Infatti, esiste il polinomio
Q = x 5 - 3x + 4
tale che
(2x 2 + 1)(x 5 - 3x + 4) = 2x 7 - 6x 3 + 8x 2 + x 5 - 3x + 4.
Il grado del polinomio quoziente
Sappiamo che il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi
fattori: dunque, poiché B $ Q = A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q
deve essere n - p, con n $ p.
● Il grado di B $ Q è la
somma del grado di B e del
grado di Q.
Nell’esempio precedente, il grado di A è 7, il grado di B è 2, il grado del polinomio
quoziente Q è 5, cioè 7 - 2.
La divisione con resto fra due polinomi
Analogamente a quanto succede nell’insieme dei numeri naturali, possiamo eseguire la divisione fra due polinomi anche se uno non è divisibile per l’altro.
Dati due polinomi A e B nella variabile x, con il grado di B minore o uguale al
grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q
e R tali che:
A = B $ Q + R,
dove Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.
Il grado di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore
del grado di B.
● Nei numeri naturali, per
esempio, abbiamo:
14 4
2 3
14 = 3 $ 4 + 2 .
● dividendo
A
R
resto
B
Q
divisore
quoziente
Nel caso particolare in cui R = 0, si ha A = B $ Q , ossia A è divisibile per B.
Vediamo ora con un esempio qual è la tecnica per eseguire la divisione tra due
polinomi.
ESEMPIO
Dividiamo il polinomio di terzo grado
A = 13x 2 + 6x 3 + 6 + 5x
per il polinomio di secondo grado
B = 2 - x + 3x 2.
Per eseguire la divisione bisogna ordinare i due polinomi secondo le potenze
decrescenti della variabile:
(6x 3 + 13x 2 + 5x + 6) ; (3x 2 - x + 2).
Il quoziente sarà un polinomio di primo grado.
La figura 1 mostra i passaggi della divisione.
3
TEORIA
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
A
B
6x3 + 13x2 + 5x + 6
3x2 − x + 2
2x
Q1
a. Dividiamo 6x3 per 3x 2 e scriviamo
il quoziente 2x, che rappresenta
il quoziente parziale Q1.
6x3 + 13x2 + 5x + 6
− 6x3 + 2x2 − 4x
”
15x2 + x + 6
3x2 − x + 2
2x
6x3 + 13x2 + 5x + 6
− 6x3 + 2x2 − 4x
3x2 − x + 2
2x
− Q1 ? B
b. Moltiplichiamo 2x per ogni
termine di B e scriviamo con il segno
cambiato i risultati al di sotto di A,
incolonnati, rispetto al grado,
con i termini di A.
6x3 + 13x2 + 5x + 6
− 6x3 + 2x2 − 4x
”
15x2 + x + 6
3x2 − x + 2
2x + 5
Q2
R1
c. Sommiamo in colonna i termini,
ottenendo un primo resto
parziale, R1. Questo resto è tale
che A = B ? Q1 + R1.
6x3 + 13x2 +
− 6x3 + 2x2 −
”
15x2 +
− 15x2 +
5x + 6 3x2 − x + 2
2x + 5
4x
x+ 6
5x − 10
− Q2 ? B
d. Ripetiamo il procedimento
considerando R1. Dividiamo 15x 2
per 3x 2, ottenendo 5 come secondo
quoziente parziale Q2.
6x3 + 13x2 +
− 6x3 + 2x2 −
”
15x2 +
− 15x2 +
”
5x
4x
x
5x
6x
+ 6
3x2 − x + 2
2x + 5
+ 6
− 10
− 4
Q
R
e. Moltiplichiamo 5 per tutti
i termini di B e scriviamo i prodotti,
con il segno cambiato, in colonna
sotto R1.
f. Eseguiamo l’addizione dei termini
in colonna e otteniamo il resto 6x − 4.
Poiché il grado di 6x − 4 è minore del
grado di B, la divisione è terminata e
6x − 4 è il resto R.
A = B ? Q + R.
c Figura 1
Verifica
La definizione di divisione con resto, in base alla quale si ha A = B $ Q + R,
permette di verificare l’esattezza del risultato.
Calcoliamo:
B $ Q + R = (3x 2 - x + 2)(2x + 5) + (6x - 4) =
B $ Q + R = 6x 3 + 15x 2 - 2x 2 - 5x + 4x + 10 + 6x - 4 =
B $ Q + R = 6x 3 + 13x 2 + 5x + 6.
Il risultato ottenuto coincide con il dividendo:
A = 6x 3 + 13x 2 + 5x + 6.
4
PARAGRAFO 2. LA REGOLA DI RUFFINI
TEORIA
2. LA REGOLA DI RUFFINI
Quando il polinomio divisore è un binomio del tipo x - a, dove a è un numero
reale qualunque, per determinare il quoziente Q e il resto R possiamo utilizzare un
procedimento rapido, detto regola di Ruffini.
● La regola e il teorema di
Ruffini prendono il nome
dal matematico Paolo
Ruffini. Nato nei pressi di
Roma nel 1765, nei primi
anni dell’infanzia si trasferì
con il padre a Modena, dove
restò fino alla morte, avvenuta nel 1822.
ESEMPIO
Eseguiamo la divisione (- 10x - 9 + 3x 2 ) ; (x - 4).
La regola di Ruffini
Scriviamo i polinomi ordinati in senso decrescente:
(3x 2 - 10x - 9) ; (x - 4).
La figura 2 illustra come si applica la regola di Ruffini.
termine
coefficienti
noto del
del dividendo dividendo
+3
−10
opposto
del termine
noto del divisore
−9
+3
−10
−9
+4
+3
+4
−10
+3
+3
b. A sinistra della prima linea verticale, c. Moltiplichiamo + 3 per + 4 e
sulla seconda riga, scriviamo + 4, ossia scriviamo il risultato nella colonna
successiva a + 3, ossia sotto − 10.
l’opposto del termine noto del
polinomio divisore x − 4. Abbassiamo
+ 3, ossia il primo coefficiente
del dividendo: esso è anche il primo
coefficiente del quoziente.
−9
+12
+2
+3
+4
+3
−10
−9
+12
+8
+3
+4
+2
+3
−10
−9
+12
+8
+2
−1
coefficienti
del quoziente
d. Sommiamo − 10 e + 12 e scriviamo
il risultato nella stessa colonna, sotto
la linea orizzontale. + 2 è il secondo
coefficiente del quoziente.
−9
+12
+4
+3
a. Scriviamo su una riga, nell’ordine, i
coefficienti dei termini del polinomio
dividendo, + 3 e − 10, e il termine
noto − 9. Tracciamo due linee verticali,
una a sinistra del primo coefficiente e
una fra l’ultimo e il termine noto.
Lasciamo una riga vuota e tracciamo
una linea orizzontale.
−10
+3
e. Ripetiamo il procedimento,
moltiplicando + 2 per + 4 e scrivendo
il risultato nella colonna a destra
di + 2, sopra la riga orizzontale.
resto
f. Sommiamo − 9 e + 8 e scriviamo
il risultato nella stessa colonna, sotto
la linea orizzontale: − 1 è il resto.
Scrittura del quoziente
I coefficienti del polinomio quoziente sono 3 e 2. Tenendo conto che il dividendo ha grado 2 e il divisore ha grado 1, il quoziente deve avere grado 1. Quindi
possiamo scrivere:
Q = 3x + 2;
R = - 1.
Verifica
Per verificare che il risultato è esatto, possiamo controllare che sia valida
l’uguaglianza A = B $ Q + R:
3x 2 - 10x - 9 = (x - 4)(3x + 2) + (- 1).
Se il divisore è del tipo x + a, osserviamo che: x + a = x - (- a).
m Fi
Figura 2
● Dividendo un polinomio
A(x ) di grado n per il
binomio x - a, di primo
grado, otteniamo per quoziente un polinomio Q(x)
di grado n - 1.
5
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
TEORIA
3. IL TEOREMA DEL RESTO
E IL TEOREMA DI RUFFINI
Il teorema del resto
Consideriamo ancora la divisione già esaminata
(3x 2 - 10x - 9) ; (x - 4),
che ha quoziente 3x + 2 e resto - 1.
Calcoliamo il valore che assume il polinomio dividendo 3x 2 - 10x - 9 per x = 4,
cioè per x uguale all’opposto del termine noto del divisore:
3(4)2 - 10 $ 4 - 9 = - 1.
Il resto della divisione coincide con il valore assunto dal polinomio per x = 4,
cioè, nella formula generale, per x = a.
In generale, vale il seguente teorema.
TEOREMA
● Se il divisore è x - 3, il
valore di a da sostituire a x
è 3; se il divisore è x + 2,
allora a = - 2.
● Illustriamo la dimostrazione con il seguente
esempio.
Data la divisione
(3x 3 - 2x 2 - 5) ; (x - 2),
(3x - 2x - 5) =
= (x - 2) $ Q(x ) + R;
3
2
3 $ 23 - 2 $ 22 - 5 =
= (2 - 2) $ Q(2) + R;
Teorema del resto
Data la divisione tra polinomi A(x) ; (x - a), il resto è dato dal valore che
assume A(x) quando alla variabile x si sostituisce il valore a:
R = A(a).
DIMOSTRAZIONE
Data la divisione A(x) ; (x - a), possiamo scrivere:
A(x) = (x - a)Q(x) + R.
Sostituendo a x il valore a, otteniamo:
A(a) = (a - a)Q(a) + R.
Essendo a - a = 0, il prodotto (a - a)Q(a) si annulla, quindi:
A(a) = R.
3 $ 8 - 2 $ 4 - 5 = R;
R = 11.
ESEMPIO
Calcoliamo il resto della divisione (- x 4 + 3x 2 - 5) ; (x + 2).
Poiché x + 2 = x - (- 2), possiamo sostituire il valore -2 a x. Abbiamo
quindi R = A(- 2):
R = - (- 2) 4 + 3(- 2) 2 - 5 = - 9.
Il teorema di Ruffini
Esaminiamo ora il seguente ragionamento.
Se il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5, allora la divisione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) ; (x + 5) dà resto 0; quindi, per il teorema del resto,
A(- 5) = 0.
Il ragionamento è invertibile.
Dato il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10, se A(- 5) = 0, allora la divisione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) ; (x + 5) dà resto 0, per il teorema del resto; quindi il
polinomio x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5.
6
PARAGRAFO 4. LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
TEORIA
In generale, vale il seguente teorema.
TEOREMA
Teorema di Ruffini
Un polinomio A(x) è divisibile per
un binomio x - a se e soltanto se
A(a ) è uguale a 0.
A(x)
è divisibile
per x – a
se e solo se
A(a) = 0
ESEMPIO
Il polinomio A(x) = 2x 3 + x 2 - 5x + 2 è divisibile sia per x - 1 sia per
x + 2; infatti:
A(1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0;
A(- 2) = 2(- 8) + 4 - 5(- 2) + 2 = - 16 + 4 + 10 + 2 = 0.
4. LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di
polinomi di grado inferiore.
ESEMPIO
x 4 - 1 = (x 2 - 1)(x 2 + 1).
● Riprendiamo in questo
paragrafo e in quello successivo alcuni concetti già
esaminati nel volume 1 di
Matematica.azzurro, completando l’argomento.
(x 2 - 1) può essere scomposto ulteriormente in (x + 1)(x - 1). Quindi:
x 4 - 1 = (x + 1)(x - 1)(x 2 + 1).
Invece, x 2 + 1 non è scomponibile. Puoi verificarlo applicando il teorema di
Ruffini.
DEFINIZIONE
Polinomio riducibile, polinomio irriducibile
Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore.
● x 4 - 1, scomponibile in
fattori, è riducibile, mentre
(x + 1), (x - 1), (x 2 + 1)
sono irriducibili.
Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.
● Possiamo fare un’analoESEMPIO
Il polinomio x 2 - 2x + 1 è riducibile. Infatti:
x 2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)2.
Sono irriducibili i polinomi: x 2 + 25,
x + 4,
2x 2 + 5.
Il raccoglimento a fattore comune
Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, lo mettiamo
in evidenza con un raccoglimento a fattore comune.
ESEMPIO
4a 6 - 8a5 + 2a 4 = 2a 4 (2a 2 - 4a + 1),
5 (x + 2) - x 2 (x + 2) = (x + 2) (5 - x 2).
gia fra i polinomi irriducibili e i numeri primi. Come
la scomposizione di un
numero naturale in fattori
primi è unica (a meno
dell’ordine), così anche la
scomposizione di un polinomio in polinomi irriducibili è unica (a meno dell’ordine).
● Il raccoglimento a fattore
comune si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
7
TEORIA
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Il raccoglimento parziale
Nel raccoglimento parziale, prima si raccolgono fattori comuni soltanto a parti
del polinomio, poi si raccoglie un fattore comune alle diverse parti.
ESEMPIO
● Il metodo che appli-
chiamo percorre in verso
contrario i passaggi che utilizziamo nella moltiplicazione di due polinomi.
x 2 + 3xy + 2x + 6y = x(x + 3y) + 2(x + 3y) = (x + 3y)(x + 2).
La scomposizione riconducibile a prodotti
notevoli
Ognuna delle seguenti uguaglianze si verifica calcolando il prodotto che si trova
nel secondo membro e fornisce una regola di scomposizione in fattori.
A2 - B 2 = (A + B)(A - B);
A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2;
A2 - 2AB + B 2 = (A - B)2;
A2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2;
A3 + 3A2B + 3AB 2 + B 3 = (A + B)3;
A3 - 3A2B + 3AB 2 - B 3 = (A - B)3;
A3 - B 3 = (A - B)(A2 + AB + B 2 );
A3 + B 3 = (A + B)(A2 - AB + B 2 ).
ESEMPIO
25a 2 - b 6 = (5a)2 - (b 3)2 = (5a + b 3)(5a - b 3).
9x 4 - 6x 2y + y 2 = (3x 2)2 - 2 $ 3x 2 $ y + y 2 = (3x 2 - y)2.
a 3 - 1 = a 3 - 13 = (a - 1)(a 2 + a + 1).
La scomposizione di particolari trinomi
di secondo grado
● s è l’iniziale di «somma»,
p di «prodotto».
Un trinomio di secondo grado del tipo x 2 + sx + p è scomponibile nel prodotto
(x + a)(x + b) se s = a + b e p = ab:
x2 + (a + b) x + ab = (x + a)(x + b).
ESEMPIO
y 2 - 3 y - 10 = (y - 5)(y + 2).
s=-5+2
p = ( - 5)( + 2)
La scomposizione mediante il teorema
e la regola di Ruffini
Il teorema di Ruffini permette spesso di scomporre in fattori un polinomio. Sappiamo infatti che se un polinomio A(x) assume il valore 0 quando alla variabile x
si sostituisce un valore a, allora il polinomio è divisibile per x - a.
8
PARAGRAFO 4. LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
TEORIA
Eseguendo la divisione A(x) ⬊ (x - a), otteniamo il polinomio quoziente Q(x) e,
poiché il resto è zero, scriviamo A(x) come prodotto di due fattori:
A(x) = (x - a) Q(x).
ESEMPIO
2x 3 - 5x 2 + 5x - 6
assume il valore 0 per x = 2, quindi è divisibile per x - 2.
Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.
2 -5
mio iniziale.
5-6
4 -2
2
● 2 è uno zero del polino-
2 -1
3
6
"
Q(x) = 2x 2 - x + 3.
0
(2x 3 - 5x 2 + 5x - 6) : (x - 2) = 2x 2 - x + 3.
Quindi: 2x 3 - 5x 2 + 5x - 6 = (x - 2)(2x 2 - x + 3).
Dunque, se troviamo uno zero a di un polinomio A(x), cioè un valore a tale che
A(a) = 0, sappiamo anche scomporre il polinomio di partenza nel prodotto di
due fattori.
Ma come trovare gli zeri di un polinomio? Per farlo può essere utile considerare
la seguente regola.
● Il polinomio iniziale è
stato scomposto nel prodotto di due fattori.
REGOLA
Zeri interi di un polinomio
Se un numero intero annulla un polinomio a coefficienti interi, allora esso
è divisore del termine noto.
Dalla regola possiamo dedurre un metodo per la ricerca degli zeri interi di un
polinomio: se esistono, essi sono fra i divisori del termine noto.
ESEMPIO
Dato il polinomio
A(x) = 5x 2 - x - 4,
i divisori di - 4 sono: 1, 2, 4, - 1, - 2, - 4.
Sostituendo a x il valore 1, otteniamo
A(1) = 5 - 1 - 4 = 0,
quindi 1 è uno zero di A(x), perciò il polinomio è divisibile per x - 1.
● Non è vero che tutti i
divisori del termine noto
sono zeri del polinomio. Per
esempio:
A(2) = 5 $ 4 - 2 - 4 =
= 20 - 6 = 14 ! 0.
Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.
5 -1-4
1
5
5
4
4
0
"
Q (x) = 5x + 4.
Pertanto, 5x 2 - x - 4 = (x - 1)(5x + 4).
9
TEORIA
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Più in generale si ha la seguente regola.
● Nell’esempio precedente
tutti i possibili casi sono:
1
2
4
! ,! ,! ,
5
5
5
1
2
4
! ,! ,! .
1
1
1
REGOLA
Zeri razionali di un polinomio
Tutti gli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi sono tra le fraziom
ni ! , dove m è divisore del termine noto e n è divisore del coefficiente
n
del termine di grado massimo.
5. APPLICAZIONI DELLA
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Il M.C.D. e il m.c.m. fra polinomi
DEFINIZIONE
M.C.D. e m.c.m. fra polinomi
Si dice massimo comune divisore (M.C.D.) fra due o più polinomi il polinomio di grado massimo che è divisore di tutti i polinomi dati.
Si dice minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più polinomi il polinomio di grado minimo che è divisibile per tutti i polinomi dati.
Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra polinomi, utilizziamo il procedimento già illustrato per i numeri naturali e per i
monomi.
Scomponiamo innanzitutto i polinomi in fattori irriducibili, raccogliendo anche
gli eventuali coefficienti numerici in comune.
Il calcolo del M.C.D.
Il M.C.D. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni,
presi una sola volta, con l’esponente minore.
ESEMPIO
Determiniamo il M.C.D. fra i seguenti polinomi:
x 2y - xy,
x 2y - y,
x 3y - 3x 2y + 3xy - y.
Scomponiamo in fattori:
x 2y - xy = xy(x - 1);
x 2y - y = y(x 2 - 1) = y(x + 1)(x - 1);
x 3y - 3x 2y + 3xy - y = y(x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = y(x - 1)3.
Mettiamo in colonna i fattori.
x
10
y
x-1
y
x-1
y
(x - 1)
x+1
3
PARAGRAFO 5. APPLICAZIONI DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
TEORIA
I fattori comuni sono y e (x - 1). Prendiamo (x - 1) con l’esponente minore:
M.C.D. = y(x - 1).
Il calcolo del m.c.m.
Il m.c.m. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni
e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.
ESEMPIO
Determiniamo il m.c.m. fra i tre polinomi dell’esempio precedente.
Dopo avere incolonnato i fattori, scegliamo quelli comuni e non comuni, ciascuno preso con l’esponente maggiore.
x
y
x-1
y
x-1
y
(x - 1)
x+1
3
Pertanto:
m.c.m. = xy(x - 1)3(x + 1).
Le condizioni di esistenza
delle frazioni algebriche
DEFINIZIONE
Frazione algebrica
Dati i polinomi A e B, con B diverso dal polinomio nullo, la frazione
A
viene detta frazione algebrica.
B
Ogni monomio o polinomio può essere considerato una frazione algebrica il cui
denominatore è il monomio 1. Dunque l’insieme delle frazioni algebriche include
l’insieme dei polinomi.
ESEMPIO
a3 + 2 si identifica con la frazione algebrica
ni algebric
zio
he
a
r
f
2 +–2–
5–x––x–
monomi
a +2
.
1
3
2
3x2
Una frazione algebrica assume valori che dipendono da quelli assegnati alle lettere
che vi compaiono, quindi è una funzione rispetto alle variabili contenute nei suoi
polinomi.
Essa può perdere significato per particolari valori dati alle lettere. Per esempio, la
frazione
x-3
x-2
x2 + 3
polinomi
m Figura 3 L’insieme delle
frazioni algebriche è un
ampliamento dell’insieme
dei polinomi.
non ha significato per x = 2, poiché non può avere denominatore nullo.
Una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che
annullano il denominatore.
11
TEORIA
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Chiamiamo condizioni di esistenza di una frazione algebrica tutte le disuguaglianze che le variabili devono verificare affinché il denominatore non sia nullo.
ESEMPIO
La frazione
x+2
,
x3 - 9x
scomponendo in fattori il denominatore, si può scrivere nella forma:
x+2
x (x - 3) (x + 3)
quindi perde significato quando x = 0, x = 3 e x = - 3. Scriviamo:
● Indichiamo con C.E. le
condizioni di esistenza.
C.E.: x ! 0 / x ! 3 / x ! - 3.
Il calcolo con le frazioni algebriche
Per semplificare espressioni contenenti frazioni algebriche, dove valgono regole
analoghe a quelle che applichiamo per espressioni con frazioni numeriche, utilizziamo la scomposizione in fattori dei polinomi.
ESEMPIO
Semplifichiamo
l’espressione:
Frazioni numeriche
Frazioni algebriche
b 1 + 8 - 1 l$ 3
45
15
6 49
b a2 + 3 - a2 - 2 + 1 l $ 2 a + 1
a a + 5a - 14
a -a
a +a
Nell’addizione,
scomponiamo in
b 1 + 8 - 1 l$ 3
3$5
2 $ 3 49
fattori i denominato- 3 2 $ 5
ri e poniamo le C.E.:
;
a+3
a-2
1
a+1
+ E$ 2
a (a - 1)
a (a + 1)
a a + 5a - 14
C.E.: a ! 0 / a ! 1 / a ! - 1
Riduciamo allo stesso denominatore
(m.c.m. dei
denominatori):
2+8$2$3-3$5 3
$
49
2 $ 32 $ 5
(a + 3) (a + 1) - (a - 2) (a - 1) + (a - 1) (a + 1)
a+1
$ 2
a (a - 1)(a + 1)
a + 5a - 14
Eseguiamo i calcoli a
numeratore:
2 + 48 - 15 3
$
49
2 $ 32 $ 5
a 2 + 3a + a + 3 - a 2 + 2a + a - 2 + a 2 - 1
a+1
$ 2
a (a - 1)(a + 1)
a + 5a - 14
Calcoliamo
la somma algebrica
a numeratore:
35
3
$
2 $ 3 2 $ 5 49
a 2 + 7a
a+1
$
a (a - 1)(a + 1) a 2 + 5a - 14
Scomponiamo in
fattori i numeratori e
i denominatori e
poniamo le C.E. per
la seconda frazione
algebrica:
7$5
3
$
2 $ 32 $ 5 72
Semplifichiamo:
7$5
3
$
2 $ 32 $ 5 72
a (a + 7 )
a+1
$
a (a - 1)(a + 1) (a - 2)(a + 7)
Calcoliamo il
prodotto:
1
1
=
2$3$7
42
1
1
= 2
(a - 1)(a - 2)
a - 3a + 2
12
a (a + 7)
a+1
$
a (a - 1)(a + 1) (a - 2)(a + 7)
C.E.: a ! 2 / a ! - 7
RISPOSTA AL QUESITO
TEORIA
1729
…che cosa ha di speciale un numero così?
Il quesito completo a pag. 1
Il numero 1729 è al centro di un
aneddoto che vide protagonisti due
matematici del secolo scorso, l’indiano Srinivasa Ramanujan e l’inglese
Godfrey Hardy. Un giorno del 1917
Hardy fece visita all’amico, ricoverato
per malattia all’ospedale londinese di
Putney. Gli raccontò di aver preso il
taxi 1729, un numero che suonava
piuttosto insulso alle sue orecchie.
Era forse di cattivo augurio? Ramanujan tranquillizzò il collega, replicando: «Ma no, Hardy! È un numero
molto interessante. È il più piccolo
numero intero esprimibile in due
modi diversi come somma di due
cubi positivi». Ramanujan faceva riferimento alla seguente uguaglianza:
1729 = 13 + 123 = 93 + 103.
Non sappiamo come il matematico
l’abbia scoperta, ma noi, al suo posto,
avremmo potuto utilizzare la scomposizione della somma di due cubi:
x3 + y 3 = (x + y) (x2 - xy + y 2).
Sapendo che gli unici fattori di 1729
sono 7, 13, 19 (ovvero:
1729 = 7 $ 13 $ 19), il problema si traduce in:
1729 = x3 + y3 =
= (x + y)(x2 - xy + y2) =
= 7 $ 13 $ 19.
b Srinivasa Ramanujan (al centro) e G.H.
Hardy (all’estrema destra), con altri colleghi,
al Trinity College,
Cambridge.
Si tratta di trovare due numeri naturali x e y tali che: (x + y) sia uguale a
7, 13 o 19 e (x 2 - xy + y 2) al prodotto dei due numeri rimanenti. Le
possibili scelte di x e y tali che il
primo fattore (x + y) sia uguale al
numero 7 sono: (6 + 1), (5 + 2),
(4 + 3). Nessuna di queste coppie dà
come somma di cubi 1729.
Passiamo al numero 13.
Le possibilità di esprimere il 13 come
somma di due numeri naturali sono:
(12 + 1), (11 + 2), (10 + 3), (9 + 4),
(8 + 5), (7 + 6). Elevando al cubo e
sommando i termini, si può vedere
che solo per la coppia 12 e 1 la somma
dei cubi è 1729. Ecco la prima soluzione. Analogamente si procede per il
numero 19, scoprendo, dopo un po’ di
calcoli, che 9 e 10 sono la seconda
soluzione del problema.
Ma Ramanujan ha detto qualcosa in
più: 1729 è il più piccolo numero
intero esprimibile come somma di
due cubi positivi in due modi diversi.
Esiste una dimostrazione di questa
affermazione, ma è decisamente laboriosa. E probabilmente il giovane
matematico non ne era a conoscenza.
Era, infatti, praticamente privo di
formazione universitaria. Nato in un
piccolo villaggio indiano nel 1887 da
una famiglia molto povera, aveva
dimostrato fin da bambino uno straordinario talento per i numeri ed era
arrivato a «intuire» da autodidatta
risultati complessi, pur non possedendo il formalismo per dimostrarli.
Grazie all’interessamento del matematico Hardy, che riconobbe le sue
intrinseche abilità, Ramanujan riuscì
a ottenere la laurea all’Università di
Cambridge senza dare alcun esame.
La scoperta delle proprietà del numero
1729 è solo un esempio delle sue eccezionali capacità di calcolo. Purtroppo
morì molto giovane, stroncato dalla
tubercolosi a soli 32 anni.
Citazioni famose
Il numero 1729 compare in diversi episodi della serie televisiva Futurama, ideata da
Matt Groening, padre dei Simpson. In un episodio, per esempio, 1729 è il numero
della navicella spaziale Nimbus; in un altro, il messaggio di una cartolina natalizia
inviata al robot Bender. Un riferimento al numero 1729 è presente anche nel film
Proof, dove Anthony Hopkins interpreta la parte di un genio matematico ai limiti
della follia.
13
TEORIA
CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
LABORATORIO DI MATEMATICA
LE FRAZIONI ALGEBRICHE CON DERIVE
ESERCITAZIONE GUIDATA
Con Derive determiniamo la somma delle frazioni algebriche:
3
a+1
e
.
a2 - a - 2
a 3 - 3a 2 + 2a
3
Per verifica sostituiamo il valore - alla lettera a nelle due frazioni e nella somma, operiamo le sem2
plificazioni e confrontiamo i risultati.
• Attiviamo Derive, assegniamo un nome alle due frazioni e le immettiamo nella zona algebrica (figura 1).
• Impostiamo ed eseguiamo la loro somma.
3
• Determiniamo i valori della prima frazione e della seconda frazione per a =2
(figura 2).
• Operiamo la somma di tali valori.
3
• Nella frazione somma che si trova in #4 sostituiamo - ad a e semplifichiamo,
2
ottenendo il medesimo risultato.
b Figura 1
m Figura 2
Nel sito: c Altre esercitazioni
Esercitazioni
Assegna un nome alle seguenti frazioni algebriche, effettua su di esse le operazioni indicate, svolgi una verifica
con una sostituzione numerica scelta da te. Determina quali condizioni devono soddisfare i numeri da sostituire
alle lettere affinchŽ le frazioni esistano.
1
a-3
a
,
.
a - 2 a3 - 3a 2 + 2a
a) Somma il quadrato della prima con la
seconda.
b) Sottrai dal cubo della prima il quoziente della
seconda per la prima.
c) Somma il cubo della prima con la reciproca
della seconda.
14
2
k3 - k 2 + k - 1 k3 - 1 k - 2
, 4
,
.
k
k2 - 4
k - 4k2
a) Somma i quozienti della prima per la seconda e della prima per la terza.
b) Sottrai al prodotto della prima per la seconda
il quadrato della terza.
c) Dividi la somma della seconda e della terza
per la prima.