Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale.
Corso di Analisi e Geometria 1
(Docente: Federico Lastaria)
Settembre 2012
Esercizi
Indice
1 Grafici e simmetrie di funzioni
1
1.1
Grafici di funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Composizioni di una funzione con modulo, traslazioni, dilatazioni . . . . . . .
2
1.3
Funzioni invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1
Grafici e simmetrie di funzioni
1.1
Grafici di funzioni elementari
Esercizio 1.1. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni, il cui dominio e codominio sono
R:
1. |x|, modulo di x, definita da
½
|x| =
2. segno(x), definita da
x
−x
segno(x) =
se x ≥ 0
se x < 0
1
0
−1
se x > 0
se x = 0
se x < 0
3. [x], parte intera di x, definita nel modo seguente: per ogni x ∈ R, [x] è il più grande
numero intero minore o uguale a x.
4. Mantissa di x, o parte decimale di x, definita come la differenza tra x e la sua parte
intera:
mantissa(x) = x − [x]
1
Esercizio 1.2. Di ciascuna delle seguenti funzioni, si trovino: l’insieme di definizione; eventuali simmetrie; eventuali inverse; il grafico qualitativo e il grafico qualitativo delle eventuali
inverse.
1. x, x2 , x3 , x4 ;
2. x−1 , x−2 ,x−3 ;
√ √
3. x, 3 x;
4.
1
√1 , √
3 x;
x
5. x2/3 , x3/2 ;
6. x−2/3 , x−3/2 ;
7. xπ .
Esercizio 1.3. Tracciare i grafici delle funzioni esponenziali expa e delle funzioni logaritmiche loga , a > 0, a 6= 1.
sin
arcsin
Esercizio 1.4. Si considerino le funzioni R −→ [−1, 1] e [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]. Disegnare
il grafico della funzione composta arcsin(sin(x)).
1.2
Composizioni di una funzione con modulo, traslazioni, dilatazioni
Esercizio 1.5. Trovare l’insieme di definizione, il grafico qualitativo e l’immagine delle
seguenti funzioni:
1. sin(x − π2 )
2. e|x|
3. −e|x+1|
4. ln(1 + x)
5. | ln x|
6. ln |x|
¯
¯
7. ¯e(x−1) − 3¯
8. ln(|x| − 2)
9. arctan(1 − x)
2
1.3
Funzioni invertibili
Esercizio 1.6. Specificare, al variare di α, l’insieme di definizione delle funzioni potenza,
cioè delle funzioni del tipo f (x) = xα , α ∈ R, α 6= 0. Disegnarne i grafici. Studiare il
problema dell’invertibilità di tali funzioni, su opportuni sottoinsiemi del loro dominio.
Esercizio 1.7. Studiare il problema dell’invertibilità delle funzioni sin, cos, tan. Specificare
dominio e codominio delle funzioni arcsin, arccos, arctan. Disegnarne i grafici.
fα
Esercizio 1.8. Determinare i valori di α ∈ R per i quali la funzione R −→ R,
fα (x) = x + α|x|,
è invertibile. Tracciare un grafico di fα e (quando esiste) di (fα )−1 .
f
g
Esercizio 1.9.
1. Siano −→ R e D −→ R due funzioni definite su uno stesso dominio
D ⊂ R, entrambi crescenti. La loro somma f + g è crescente? Il loro prodotto f.g è
crescente?
f −1
f
2. Se I −→ J è crescente e invertibile, l’inversa J −→ I è crescente?
3. Se due funzioni f e g sono entrambe crescenti e esiste g ◦ f , tale funzione composta è
crescente?
4. Se f è crescente, g è decrescente e esiste la funzione composta g ◦ f , tale funzione
composta è decrescente?
f
g
Esercizio 1.10. Siano R −→ R e R −→ R due funzioni.
1. Se f e g sono entrambe pari, la loro somma è pari? Il loro prodotto?
2. Se f e g sono entrambe dispari, quale tipo di simmetria hanno la loro somma f + g e
il loro prodotto (puntuale) f.g?
3. Se f è pari e g è dispari, cosa si può dire della loro somma e del loro prodotto?
f
Esercizio 1.11. Si consideri la funzione R −→ R,
f (x) =
x2
1 + x2
a) Dimostrare che f è pari;
b) Trovare Im f (l’immagine di f ) e sup(f )(= sup Im f );
c) Dimostrare che f è (strettamente) crescente sull’intervallo [0, +∞), usando la definizione
di funzione crescente (senza calcolare la derivata);
¯
d) Dimostrare che la restrizione f ¯J di f all’intervallo J = [0, +∞) è invertibile. Trovare
¡ ¯ ¢−1
l’espressione esplicita della funzione inversa g = f ¯J
. Specificare dominio e codominio
di g e disegnarne il grafico.
3
f
g
Esercizio 1.12. Dimostrare che se A −→ B e B −→ C (A, B, C insiemi) sono funzioni
g◦f
invertibili, allora la funzione composta A −→ C è invertibile e
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
4
