Esercizi proposti 1

Esercizi proposti 1
(capitoli 4 e 5 del testo)
1. [4.8] Rappresentare graficamente la funzione f (x) = ax3 + b al variare di a, b ∈ R.
2. [4.9] Si stima che la popolazione mondiale, attualmente di circa 6 miliardi di individui, aumenti dell’ 1.7% all’anno. Supponendo che il tasso di crescita rimanga
invariato nel tempo, calcolare entro quanti anni la popolazione raddoppierà o quadruplicherà.
ln 4
ln 2
' 41 anni, quadruplica in ln(1.017)
' 82 anni; il
[Risposta: raddoppia in ln(1.017)
risultato non dipende dalla numerosità della popolazione iniziale.]
3. [4.4, 4.5 ] La società A noleggia auto per 40 e al giorno e 0,15 e a Km, mentre la
società B noleggia con tariffa di 50 e al giorno e 0,10 e a Km.
a) Per ciascuna società descrivere una funzione di costo del noleggio dell’auto per
giorno in dipendenza dei Km percorsi;
b) Rappresentare graficamente le funzioni;
c) Quale società è la più conveniente?
[Risposta: a) yA = 40 + 0.15x; yB = 50 + 0.10x; c) per x ∈ [0, 200] conviene A, per
x ∈ [200, +∞) conviene B]
4. [4.4, 4.5 ] Le vendite dei CD di una casa discografica sono diminuite dal 1999. Erano
938,2 milioni nel 1999 e 745,9 milioni nel 2003.
a) Trova una funzione lineare che descriva le vendite di CD in funzione del tempo
dal 1999;
b) Interpreta la pendenza del grafico della funzione;
c) Dai una previsione delle vendite nel 2010.
[a) y = −48.075(x − 1999) + 938.2 b) −48.075 decremento medio annuo di vendita;
c) y(2010) = 409.375 ]
1
5. [4.9, 4.10] La popolazione del Kenya era 19,5 milioni nel 1984 e 32 milioni nel
2004. Supponiamo che cresca esponenzialmente. Trovare una relazione che esprima
la popolazione del Kenya in funzione del tempo.
[Risposta: P (t) = 19.5at , dove è a = 1.025075299 ' 2, 51%]
6. [4.4, 4.5 ] In un’azienda si sostengono costi di produzione in dipendenza dalla quantità q di bene prodotto pari a C(q) = 24.000 + 7q e si vende il prodotto al prezzo
p = 15. Scrivere la funzione di ricavo R(q) e rappresentare graficamente C(q) ed
R(q). Scrivere la funzione di profitto Π(q) e disegnarne il grafico. Calcolare il punto
q ∗ di intersezione tra tale grafico e l’asse delle ascisse: cosa rappresenta?
[Risposta: q ∗ = 3000, è la soglia di bene prodotto oltre la quale si realizza un profitto
positivo.]
7. [4.4, 4.5, 4.6 ] Supponete che la quantità venduta di un bene sia legata al prezzo di
vendita secondo la relazione q(p) = −2p + 150, e che i costi dell’azienda produttrice
siano C(q) = 27q + 270. Determinate il ricavo ed il profitto dell’azienda al variare
del prezzo e rappresentateli nel piano cartesiano.
[Risposta: R(q) = p ∗ q(p) = −2p2 + 150p; Π(p) = −2p2 + 204p − 4320.]
8. [4.4, 4.5 ] Un bene viene offerto sul mercato nella quantità S = 3p − 50 e richiesto
in quantità D = 100 − 2p.
a) Stabilire prezzo e quantità di equilibrio.
b) Se ora si suppone che il consumatore paghi una tassa di 5e per ogni unità di
prodotto, qual è il nuovo equilibrio di mercato?
c) Calcolare il ricavo totale all’equilibrio, prima e dopo l’imposizione della tassa.
d) Qual è l’incasso relativo alle tasse?
[Risposta: a) p∗ = 30, q ∗ = 40; b) p∗1 = 28, q1∗ = 34; c) R∗ = p∗ q ∗ = 1200;
R1∗ = p∗1 q1∗ = 952; d) T = 170]
9. [5.6] Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
q
√
3 −6x)
log5 (x2 −1)
3 (x
√
;
c)
f
(x)
=
a) f (x) = 22x − 10 ∗ 2x + 9; b) f (x) = log
x−2
log
x2 −1
1
3
√
√ √
[Risposta: a) D = (−∞, 0] ∪ [log2 9, +∞); b) D = − 6, − 2 ∪ − 2, −1 ∪
√
√ √
6, +∞ c) D =
2, −1 ∪ 1, 2 ∪ (2, +∞)]
2
10. [4.3, 4.9] Tracciare il grafico della funzione
|x|
1
f (x) =
2
11. [4.3, 5.3] Considerare la funzione f definita dala formula f (x) =
3x+6
x−2
a) Trovare il dominio di f ;
b) Mostrare che il numero 5 appartiene all’insieme immagine di f invertendo la
relazione f (x) = 5
c) Mostrare che il numero 3 non appartiene all’insieme immagine di f .
[Risposta: Df = R − {2}]
12. [4.3, 4.4] La spesa C di una famiglia in beni di consumo, è collegata al reddito Y
della famiglia stessa nel seguente modo: quando il reddito è di 1000, la spesa per
beni di consumo è 900 e quando il reddito viene incremetato di 100, la spesa per beni
di consumo aumenta di 80. Esprimere la spesa in funzione del reddito, supponendo
la relazione lineare.
[Risposta: C = 0.8Y + 100.]
13. [4.3, 4.4] Nel 1989 circa 30000 diplomati delle scuole superiori statunitensi erano
intenzionati a laurearsi in informatica. Questa cifra è scesa a circa 23000 nel 1994
ed è risalita a 60000 nel 1999. a) Modellate questo numero I(t) come funzione
definita a tratti del tempo t negli anni trascorsi dal 1989. b) Utilizzate il modello
per stimare il numero di diplomati intenzionati a laurearsi in informatica nel 1992.
−1400t + 30000, 0 ≤ t ≤ 5
[Risposta: a) I(t) =
; b) 25800.]
7400t − 14000, 5 < t ≤ 10
3
14. [4.4, 4.5, 4.6 ; Esercizio 8 p.119 con testo riformulato] Se un’impresa di spedizioni di
cocco vende Q tonnellate di cocco in Inghilterra, il prezzo che può applicare è dato
da P1 = α1 − 13 Q. D’altra parte, se acquista Q tonnellate di cocco in Ghana, il prezzo
che deve pagare è dato da P1 = α2 + 16 Q. Inoltre, costa γ alla tonnellata spedire
cocco dall’unico fornitore ghanese ai clienti in Inghilterra (il suo unico mercato di
sbocco). I numeri α1 , α2 , γ sono tutti positivi.
a) Esprimere il profitto Π dello spedizioniere di cocco come funzione di Q, il numero
di tonnellate spedite.
b) Assumendo che α1 − α2 − γ > 0, trovare le quantità spedite di cocco Q∗ che
massimizzano il profitto. Cosa succede se α1 − α2 − γ ≤ 0?
c) Si supponga che il Governo ghanese imponga una tassa sull’esportazione del
cocco di t alla tonellata. Determinare la nuova espressione del profitto Πt dello
spedizionere e la nuova quantità Q∗t spedita che lo massimizza.
d) Fissato Q = Q∗t , calcolare il ricavo T del governo ghanese derivante dalla tassa
sull’esportazione come funzione di t e indicare come può essere ottenuto il ricavo
massimo dall’imposizione della tassa.
[Risposta: a) Π(Q) = − 21 Q2 + (α1 − α2 − γ) Q; b) Q∗ = α1 − α2 − γ; c) Πt (Q) =
− 12 Q2 + (α1 − α2 − γ − t) Q; Q∗t = α1 − α2 − γ − t; d) T = −t2 + (α1 − α2 − γ) t,
t∗ = α1 −α2 2 −γ ]
15. [5.1] Date f (x) = 3x2 − 2x e g(x) = x − 3, determina f ◦ g e g ◦ f . [Risposta:
f ◦ g(x) = 3 (x − 3)2 − 2 (x − 3); g ◦ f (x) = (3x2 − 2x) − 3]
16. [5.3] Calcolare le inverse (e relativi domini) delle seguenti funzioni: a) f (x) = (x3 −
1
1) 3 b) f (x) = ln(2 + ex−3 )
√
[Risposta: a) f −1 (x) = 3 x3 + 1, Df −1 = Imf = R ; b) f −1 (x) = ln(ex − 2) + 3,
Df −1 = Imf = (ln 2, +∞)]
17. [4.9, 4.10] L’evoluzione di una popolazione in quattro diverse città viene rappresentata dalle seguenti funzioni:
P1 (t) = 60 e0.07t ,
P2 (t) = 120 e−0.02t ,
a) Qual’è la città più popolata inizialmente?
b) In quali città la popolazione decresce?
4
P3 (t) = 100 e0.03t ,
P4 (t) = 90 e0.15t
c) La popolazione cresce più velocemente per ogni valore di t, in una di tali città.
Quale?
[Risposta: a) la seconda; b) nella seconda; c) nella quarta]
18. [4.4, 4.5, 5.3] Sia f la funzione definita da
(
5 − x se 0 ≤ x ≤ 3,
f (x) =
9 − x2 se 3 < x ≤ .5
Dire se la funzione è invertibile sulla sua immagine e, in caso di risposta affermativa,
determinare l’inversa.
(
5−x
se 2 ≤ x ≤ 5,
]
[Risposta: f −1 : [−16, 0[∪[2, 5] → [0, 5], f −1 (x) = √
9 − x se − 16 ≤ x < 0
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