Esercizi proposti 1

Esercizi proposti 1
(capitoli 4 e 5 del testo)
1. [4.8] Rappresentare graficamente la funzione f (x) = ax3 + b al variare di a, b ∈ R.
2. [4.9] Si stima che la popolazione mondiale, attualmente di circa 6 miliardi di individui, aumenti dell’ 1.7% all’anno. Supponendo che il tasso di crescita rimanga
invariato nel tempo, calcolare entro quanti anni la popolazione raddoppierà o quadruplicherà.
ln 4
ln 2
' 41 anni, quadruplica in ln(1.017)
' 82 anni; il
[Risposta: raddoppia in ln(1.017)
risultato non dipende dalla numerosità della popolazione iniziale.]
3. [4.4, 4.5 ] La società A noleggia auto per 40 e al giorno e 0,15 e a Km, mentre la
società B noleggia con tariffa di 50 e al giorno e 0,10 e a Km.
a) Per ciascuna società descrivere una funzione di costo del noleggio dell’auto per
giorno in dipendenza dei Km percorsi;
b) Rappresentare graficamente le funzioni;
c) Quale società è la più conveniente?
[Risposta: a) yA = 40 + 0.15x; yB = 50 + 0.10x; c) per x ∈ [0, 200] conviene A, per
x ∈ [200, +∞) conviene B]
4. [4.4, 4.5 ] Le vendite dei CD di una casa discografica sono diminuite dal 1999. Erano
938,2 milioni nel 1999 e 745,9 milioni nel 2003.
a) Trova una funzione lineare che descriva le vendite di CD in funzione del tempo
dal 1999;
b) Interpreta la pendenza del grafico della funzione;
c) Dai una previsione delle vendite nel 2010.
[a) y = −48.075(x − 1999) + 938.2 b) −48.075 decremento medio annuo di vendita;
c) y(2010) = 409.375 ]
1
5. [4.9, 4.10] La popolazione del Kenya era 19,5 milioni nel 1984 e 32 milioni nel
2004. Supponiamo che cresca esponenzialmente. Trovare una relazione che esprima
la popolazione del Kenya in funzione del tempo.
[Risposta: P (t) = 19.5at , dove è a = 1.025075299 ' 2, 51%]
6. [4.4, 4.5 ] In un’azienda si sostengono costi di produzione in dipendenza dalla quantità q di bene prodotto pari a C(q) = 24.000 + 7q e si vende il prodotto al prezzo
p = 15. Scrivere la funzione di ricavo R(q) e rappresentare graficamente C(q) ed
R(q). Scrivere la funzione di profitto Π(q) e disegnarne il grafico. Calcolare il punto
q ∗ di intersezione tra tale grafico e l’asse delle ascisse: cosa rappresenta?
[Risposta: q ∗ = 3000, è la soglia di bene prodotto oltre la quale si realizza un profitto
positivo.]
7. [4.4, 4.5, 4.6 ] Supponete che la quantità venduta di un bene sia legata al prezzo di
vendita secondo la relazione q(p) = −2p + 150, e che i costi dell’azienda produttrice
siano C(q) = 27q + 270. Determinate il ricavo ed il profitto dell’azienda al variare
del prezzo e rappresentateli nel piano cartesiano.
[Risposta: R(q) = p ∗ q(p) = −2p2 + 150p; Π(p) = −2p2 + 204p − 4320.]
8. [4.4, 4.5 ] Un bene viene offerto sul mercato nella quantità S = 3p − 50 e richiesto
in quantità D = 100 − 2p.
a) Stabilire prezzo e quantità di equilibrio.
b) Se ora si suppone che il consumatore paghi una tassa di 5e per ogni unità di
prodotto, qual è il nuovo equilibrio di mercato?
c) Calcolare il ricavo totale all’equilibrio, prima e dopo l’imposizione della tassa.
d) Qual è l’incasso relativo alle tasse?
[Risposta: a) p∗ = 30, q ∗ = 40; b) p∗1 = 28, q1∗ = 34; c) R∗ = p∗ q ∗ = 1200;
R1∗ = p∗1 q1∗ = 952; d) T = 170]
9. [5.6] Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
q
√
3 −6x)
log5 (x2 −1)
3 (x
√
;
c)
f
(x)
=
a) f (x) = 22x − 10 ∗ 2x + 9; b) f (x) = log
x−2
log
x2 −1
1
3
√
√ √
[Risposta: a) D = (−∞, 0] ∪ [log2 9, +∞); b) D = − 6, − 2 ∪ − 2, −1 ∪
√
√ √
6, +∞ c) D =
2, −1 ∪ 1, 2 ∪ (2, +∞)]
2
10. [4.3, 4.9] Tracciare il grafico della funzione
|x|
1
f (x) =
2
11. [4.3, 5.3] Considerare la funzione f definita dala formula f (x) =
3x+6
x−2
a) Trovare il dominio di f ;
b) Mostrare che il numero 5 appartiene all’insieme immagine di f invertendo la
relazione f (x) = 5
c) Mostrare che il numero 3 non appartiene all’insieme immagine di f .
[Risposta: Df = R − {2}]
12. [4.3, 4.4] La spesa C di una famiglia in beni di consumo, è collegata al reddito Y
della famiglia stessa nel seguente modo: quando il reddito è di 1000, la spesa per
beni di consumo è 900 e quando il reddito viene incremetato di 100, la spesa per beni
di consumo aumenta di 80. Esprimere la spesa in funzione del reddito, supponendo
la relazione lineare.
[Risposta: C = 0.8Y + 100.]
13. [4.3, 4.4] Nel 1989 circa 30000 diplomati delle scuole superiori statunitensi erano
intenzionati a laurearsi in informatica. Questa cifra è scesa a circa 23000 nel 1994
ed è risalita a 60000 nel 1999. a) Modellate questo numero I(t) come funzione
definita a tratti del tempo t negli anni trascorsi dal 1989. b) Utilizzate il modello
per stimare il numero di diplomati intenzionati a laurearsi in informatica nel 1992.
−1400t + 30000, 0 ≤ t ≤ 5
[Risposta: a) I(t) =
; b) 25800.]
7400t − 14000, 5 < t ≤ 10
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14. [4.4, 4.5, 4.6 ; Esercizio 8 p.119 con testo riformulato] Se un’impresa di spedizioni di
cocco vende Q tonnellate di cocco in Inghilterra, il prezzo che può applicare è dato
da P1 = α1 − 13 Q. D’altra parte, se acquista Q tonnellate di cocco in Ghana, il prezzo
che deve pagare è dato da P1 = α2 + 16 Q. Inoltre, costa γ alla tonnellata spedire
cocco dall’unico fornitore ghanese ai clienti in Inghilterra (il suo unico mercato di
sbocco). I numeri α1 , α2 , γ sono tutti positivi.
a) Esprimere il profitto Π dello spedizioniere di cocco come funzione di Q, il numero
di tonnellate spedite.
b) Assumendo che α1 − α2 − γ > 0, trovare le quantità spedite di cocco Q∗ che
massimizzano il profitto. Cosa succede se α1 − α2 − γ ≤ 0?
c) Si supponga che il Governo ghanese imponga una tassa sull’esportazione del
cocco di t alla tonellata. Determinare la nuova espressione del profitto Πt dello
spedizionere e la nuova quantità Q∗t spedita che lo massimizza.
d) Fissato Q = Q∗t , calcolare il ricavo T del governo ghanese derivante dalla tassa
sull’esportazione come funzione di t e indicare come può essere ottenuto il ricavo
massimo dall’imposizione della tassa.
[Risposta: a) Π(Q) = − 21 Q2 + (α1 − α2 − γ) Q; b) Q∗ = α1 − α2 − γ; c) Πt (Q) =
− 12 Q2 + (α1 − α2 − γ − t) Q; Q∗t = α1 − α2 − γ − t; d) T = −t2 + (α1 − α2 − γ) t,
t∗ = α1 −α2 2 −γ ]
15. [5.1] Date f (x) = 3x2 − 2x e g(x) = x − 3, determina f ◦ g e g ◦ f . [Risposta:
f ◦ g(x) = 3 (x − 3)2 − 2 (x − 3); g ◦ f (x) = (3x2 − 2x) − 3]
16. [5.3] Calcolare le inverse (e relativi domini) delle seguenti funzioni: a) f (x) = (x3 −
1
1) 3 b) f (x) = ln(2 + ex−3 )
√
[Risposta: a) f −1 (x) = 3 x3 + 1, Df −1 = Imf = R ; b) f −1 (x) = ln(ex − 2) + 3,
Df −1 = Imf = (ln 2, +∞)]
17. [4.9, 4.10] L’evoluzione di una popolazione in quattro diverse città viene rappresentata dalle seguenti funzioni:
P1 (t) = 60 e0.07t ,
P2 (t) = 120 e−0.02t ,
a) Qual’è la città più popolata inizialmente?
b) In quali città la popolazione decresce?
4
P3 (t) = 100 e0.03t ,
P4 (t) = 90 e0.15t
c) La popolazione cresce più velocemente per ogni valore di t, in una di tali città.
Quale?
[Risposta: a) la seconda; b) nella seconda; c) nella quarta]
18. [4.4, 4.5, 5.3] Sia f la funzione definita da
(
5 − x se 0 ≤ x ≤ 3,
f (x) =
9 − x2 se 3 < x ≤ .5
Dire se la funzione è invertibile sulla sua immagine e, in caso di risposta affermativa,
determinare l’inversa.
(
5−x
se 2 ≤ x ≤ 5,
]
[Risposta: f −1 : [−16, 0[∪[2, 5] → [0, 5], f −1 (x) = √
9 − x se − 16 ≤ x < 0
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