METODI E TECNOLOGIE
PER L’INSEGNAMENTO
DELLA MATEMATICA
Lezione n° 9
«La geometria può essere significativa solo se esprime
le sue relazioni con lo spazio dell’esperienza….essa è
una delle migliori opportunità per matematizzare la
realtà»
Hans Freudental
«La matematica in generale e la geometria in
particolare debbono la loro esistenza al nostro bisogno
di sapere qualcosa circa il comportamento degli oggetti
reali»
Albert Einstein
QUANDO USIAMO LA
GEOMETRIA?
Proviamo a rispondere:
Brevissimi cenni storici
• La geometria è la più antica tra le teorie create dall’uomo
• Inizialmente è uno strumento che si presenta sotto la forma di
un insieme di semplici regole prive di connessione fra loro,
rispondenti a problemi che nascono nella vita quotidiana della
gente. (Egizi, Babilonesi,…)
• È solo nel mondo greco, intorno al 600 a.C., che avviene il
passaggio che fonda la geometria come scienza formale, le cui
dimostrazioni si conducono per via logica, anziché con l’ausilio
di metodi sperimentali.
ELEMENTI DI EUCLIDE
Prima sistemazione del pensiero geometrico come teoria
razionale.
nozioni comuni, postulati, definizioni
Regole della logica
Teoremi
DEFINIZIONI
• DEFINIZIONE 1: Punto è ciò che non ha parti
• DEFINIZIONE 2: Linea è lunghezza senza larghezza
• DEFINIZIONE 3: Estremi di una linea sono i punti
• DEFINIZIONE 4: Linea retta è quella che giace ugualmente
rispetto ai suoi punti.
• DEFINIZIONE 5: Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e
larghezza.
• DEFINIZIONE 6: Estremi di una superficie sono linee
• DEFINIZIONE 7: Superficie piana è quella che giace
ugualmente rispetto alle sue rette.
• ………..
POSTULATI
(verità evidenti della geometria)
1.Risulti postulato: che da qualsiasi punto si possa condurre una
retta ad ogni altro punto.
2.E che si possa prolungare una linea retta finita continuamente in
linea retta
3.E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni
distanza
4.E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
5.E che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli
angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le
due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte
in cui sono i due angoli minori di due retti
NOZIONI COMUNI
(verità relative a tutte le scienze)
1.
2.
3.
4.
5.
Le cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali tra
loro
E se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme
sono uguali
E se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono
uguali
E le cose che coincidono fra loro sono tra loro uguali
E il tutto è maggiore della parte
La geometria ,quindi, nel mondo greco ma fino a tutto il secolo
XVIII, viene considerata come una trattazione razionale delle
esperienze spaziali dell’uomo, una scienza perfetta e certa.
Si presuppone una realtà esterna, la cui esistenza stessa garantisce
la coerenza delle esperienze, cosicché, partendo da alcune
proposizioni “vere perché evidenti” , si possono dedurre
proposizioni ugualmente vere, anche se non evidenti.
Tale certezza ha però un punto debole:
il V postulato
IL PROBLEMA DEL QUINTO POSTULATO
E che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma
gli angoli interni da una stessa parte minori di due
angoli retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si
incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di
due retti
Non è evidente come tutti gli
altri
La formulazione di Euclide è equivalente a
quella riportata sui nostri testi:
«Data una retta r e un punto P fuori di essa,
esiste ed è unica la retta passante per P e
parallela alla retta data.»
Di fatto l’esistenza della parallela si dimostra
con i soli primi quattro postulati di Euclide;
dimostrare l’unicità della parallela necessita
invece del V postulato
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TENTATIVI DI SOLUZIONE
A partire dall’epoca dei Greci fino all’inizio
dell’Ottocento furono tentati due approcci:
•sostituire l’assioma delle parallele con un
enunciato più evidente
•dedurre l’assioma dagli altri nove
(quattro
postulati e cinque nozioni comuni)
Ogni sforzo è però risultato inutile
Karl Friedrich Gauss (1777-1856)
Janos Bolyai (1802-1860)
Nicolai Ivanovic Lobacevskij
(1793-1856)
Ad opera di questi tre grandi matematici il lungo
cammino di riflessione iniziato all’epoca di Euclide
sfocia nella consapevolezza dell’indipendenza logica
del V postulato dagli altri e quindi nella possibilità di
costruire diverse geometrie
GEOMETRIA EUCLIDEA
I postulati di Euclide
Conseguenza
Somma degli angoli interni di un triangolo = 2 retti
GEOMETRIA NON EUCLIDEA
IPERBOLICA
I primi quattro postulati + negazione del VP
in un piano, data una retta r ed un punto fuori di essa, esistono almeno due rette passanti
per P e parallele ad r “(V’)
Conseguenza
Somma degli angoli interni di un triangolo < 2 retti
Poiché dai primi quattro postulati si deduce l’esistenza di
rette parallele, non è possibile aggiungere ai suoi postulati
la seconda possibile negazione del V: Due rette
complanari hanno sempre un punto comune(V”)
Si deve in gran parte a G.F.B.Riemann (1826-1866) la:
GEOMETRIA ELLITTICA
Assiomi: V”+ primi quattro postulati leggermente
modificati
(ad es. si può negare che per due punti distinti passi una sola retta)
Conseguenza
Somma degli angoli interni di un triangolo > 2 retti
La scoperta delle geometrie non euclidee
costringe i matematici a rivedere:
• il concetto di verità.
VERO = conseguenza dei postulati ammessi
FALSO = in contraddizione con i postulati
ammessi
•il criterio dell’ evidenza
LA GEOMETRIA OGGI
Giunge a maturità l’idea della geometria come scienza
formale, teoria ipotetico-deduttiva:
• gli assiomi non descrivono più proprietà dello spazio
fisico, ma sono solo affermazioni prese come punto di
partenza
• la validità delle dimostrazioni riposa sulla struttura
piuttosto che sulla natura particolare del loro
contenuto.
LA GEOMETRIA OGGI
Giunge a maturità l’idea della geometria come scienza
formale, teoria ipotetico-deduttiva:
Concetti primitivi:
punto, retta piano
Regole di formazione del
linguaggio
Definizioni
Assiomi (Hilbert)
Regole della logica
Teoremi
Henri Poincaré (1854 – 1912)
L’esperienza svolge un ruolo indispensabile nella genesi della
geometria; sarebbe, però, un errore concluderne che la geometria
è una scienza sperimentale, sia pure in parte. Se fosse
sperimentale non sarebbe che approssimativa e provvisoria. E che
approssimazione grossolana!
La geometria non sarebbe che lo studio dei movimenti dei solidi;
in realtà, essa non si occupa dei solidi naturali, ma ha per oggetto
certi solidi ideali, assolutamente invariabili, i quali non sono che
un’immagine dei primi semplificata e molto lontana.
La nozione di questi corpi ideali è interamente frutto della nostra
mente e l’esperienza non è altro che l’occasione che ci spinge a
farla emergere.
Quello che è accaduto nella
storia riaccade per ogni
persona che si avvicina allo
studio della geometria.
Livelli di sviluppo
nella formazione dei concetti geometrici
proposti dai coniugi van Hiele (scuola olandese
montessoriana) nel 1986
È centrale il concetto di Struttura, con valenze cognitive e non
solo matematiche: la struttura è contemporaneamente
strumento e oggetto di conoscenza; la formazione e la
trasformazione di strutture guidano allo sviluppo dei simboli.
1) Livello visivo o del simbolo
Le figure geometriche vengono identificate in base al loro aspetto
e alla loro forma ma le proprietà matematiche non giocano alcun
ruolo esplicito in tale identificazione.
A questo livello, una figura è un rettangolo “perché è simile ad
una porta”, non vi è, pertanto, una comprensione delle proprietà
delle figure.
Il bambino di questo livello opera su figure geometriche di cui ha
avuto esperienza, ma non ne parla, non ne identifica
esplicitamente le proprietà; può però apprendere il vocabolario
geometrico, identificare e riprodurre le figure in modo corretto.
2) Livello descrittivo-analitico
Il bambino inizia a riconoscere le figure in base alle loro
proprietà. I simboli diventano segnali: ad esempio, tra tutte le
proprietà del rombo, emerge quella, lati uguali, che diventa il
segnale significativo per l’identificazione della figura. Simboli e
segnali del livello 1 diventano oggetto di studio.
In questo livello le immagini iniziano a perdere di importanza
rispetto alle loro proprietà, ma il bambino non è ancora in grado
di differenziarle in termini di definizioni e proposizioni, e non è
ancora capace di spiegare le relazioni tra le varie figure
geometriche: ad esempio un quadrato non è ancora riconosciuto
come un particolare rettangolo.
3) Livello delle deduzioni informali o della geometria
euclidea
Si iniziano ad osservare le varie relazioni tra le figure dal punto di
vista logico: ad esempio il quadrato è un caso particolare di rettangolo
poiché soddisfa una possibile definizione di rettangolo; si riconoscono
legami, gerarchie e relazioni tra proprietà, tra figure e tra proprietà e
figure (livello astratto relazionale)
Questo presuppone la conoscenza di una terminologia specifica
appropriata e delle definizioni (che possono venire anche costruite) così
da poter riconoscere classi di figure e dedurne alcune proprietà.
A questo livello appaiono le prime argomentazioni, anche per
giustificare congetture, ma il significato intrinseco della deduzione non
è ancora chiaro.
Cominciano ad emergere nuovi principi organizzatori: questa è,
secondo Van Hiele, l’essenza della geometria.
4) Livello deduttivo, o della logica formale
I ragazzi cominciano ad essere in grado di distinguere
formalmente tra una proposizione e la sua inversa, e possono
capire le dimostrazioni, i postulati, gli assiomi ed i teoremi.
5) Livello del rigore geometrico
Gli studenti possono apprendere la geometria non-euclidea e
confrontare diversi sistemi di assiomi. La geometria viene
pertanto rappresentata in modo astratto
NOTA BENE
Sulla base di alcuni studi sperimentali, Clements e
Battista (1992) hanno inserito un livello precedente a
quello visivo, un livello zero, denominato di prericonoscimento, nel quale i bambini percepiscono le
forme in modo corretto ma non sono in grado di
classificarle o di riprodurle attraverso il disegno; non
sono in grado di identificare molte forme comuni perché
non prestano adeguata attenzione a tutte le loro
caratteristiche visive.
Proprietà del modello "van Hiele"
1)Proprietà del passaggio tra i livelli.
I progressi da un livello al successivo dipendono non tanto
dall’età ma dall’educazione fornita al bambino. La completa
assenza di un’istruzione formale non consentirebbe alcuno
sviluppo, pertanto i metodi di insegnamento sono fondamentali,
alcuni favoriscono il passaggio ad un livello successivo, altri lo
impediscono. La maturazione che conduce ad un livello superiore
sembra essere un processo essenzialmente legato
all’apprendimento e all’istruzione e non di ordine biologico. È
possibile dunque favorire ed accelerare tale processo.
Proprietà del modello "van Hiele"
2) Proprietà linguistica
Ogni livello è caratterizzato da un utilizzo specifico del
linguaggio che può essere considerato corretto all’interno di quel
particolare livello, ma può essere ulteriormente ampliato ad un
livello successivo. Ad esempio una figura può avere più di un
nome: un quadrato è un rettangolo, ma è anche un
parallelogramma, un trapezio e un quadrilatero. Tali distinzioni
non sono utilizzabili al secondo livello, ma diventano
fondamentali dal terzo livello in avanti.
Proprietà del modello "van Hiele"
3) Proprietà della discrepanza
Il tipo di educazione fornita deve essere coerente con il livello
dello studente; se viene fornita un’istruzione che si colloca ad un
livello più alto, lo studente incontrerà difficoltà nel seguire i
processi di pensiero formulati dall’insegnante. Come sostenevano
gli stessi van Hiele, infatti, due persone che ragionano a due
diversi livelli hanno difficoltà nel comprendersi. Ciò accade
spesso tra insegnante e studente. Nessuno dei due riesce a capire
il percorso mentale dell’altro ed il loro dialogo continua
unicamente poiché lo studente tenta di intuire il pensiero
dell’insegnante e ad esso si uniforma.
Fasi dell’apprendimento
Le fasi dell’apprendimento stimolano il passaggio da un livello
inferiore ad un livello superiore; con la crescita del ragazzo
possono subire una contrazione temporale, ma nessuna può essere
considerata eliminabile
1. Fase di informazione
Gli alunni familiarizzano con il dominio del lavoro,
utilizzando il materiale didattico; tale materiale li mette
in contatto con una struttura che garantisce una base
comune su cui impiantare una discussione, consentendo
ai ragazzi uno scambio di opinioni.
Es. fase 1: si sottopone all’attenzione degli studenti una
certa figura, chiamata " rombo ". Si mostrano altre
figure geometriche e si chiede loro se anche queste sono
rombi.
2. Fase di orientazione guidata
Gli studenti esplorano il campo di investigazione per
mezzo del materiale, che viene scelto in modo che le
strutture caratteristiche vi appaiano a poco a poco. Essi
hanno già capito in quale direzione è diretto lo studio
Es. fase 2: si effettua un piegamento del rombo intorno
al suo asse di simmetria. Si comincia a dare qualche
informazione riguardo le diagonali e gli angoli.
3. Fase di esplicitazione
Gli studenti acquisiscono coscienza delle relazioni, le
esperienze effettuate sono collegate a simboli linguistici
adeguati; in tal modo gli allievi imparano ad esprimersi sulle
strutture osservate e a comunicare le idee con un linguaggio
idoneo.
Es. fase 3: gli studenti si confrontano sulle proprie idee
riguardo alle proprietà del rombo.
.
4. Fase di orientazione libera
Per mezzo di compiti che hanno diversi metodi di
soluzione, gli studenti scoprono la loro strada nella rete
delle relazioni. Ogni segnale che compare all’interno
del campo di indagine matura in loro la via da seguire
verso i simboli
Es. fase 4: si richiede di completare la figura del rombo,
assegnando la collocazione di uno o due vertici e di un
lato.
5. Fase di integrazione
Gli studenti devono ancora acquisire la visione totale degli
strumenti a loro disposizione; tentano di condensare tutto il
campo che il loro pensiero ha esplorato; in questo momento
l’insegnante può favorire il lavoro fornendo delle visioni globali,
che però devono essere unicamente una sintesi di ciò che i
ragazzi conoscono già.
Es. fase 5 :le proprietà del rombo sono assimilate e
memorizzate.
Al termine della quinta fase si giunge al nuovo livello di pensiero.
Indicazioni
nazionali
Nella scuola dell’infanzia
• Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo
criteri diversi, ne identifica alcune proprietà, confronta e valuta
quantità; utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni
usando strumenti alla sua portata.
• ………..
• Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando
termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.;
segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni
verbali.
Nella scuola primaria:
Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola
primaria
Spazio e figure
•
Percepire la propria posizione nello spazio e stimare distanze e
volumi a partire dal proprio corpo.
•
Comunicare la posizione di oggetti nello spazio fisico, sia
rispetto al soggetto, sia rispetto ad altre persone o oggetti,
usando termini adeguati (sopra/sotto, davanti/dietro,
destra/sinistra, dentro/fuori).
•
Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione
verbale o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo
e dare le istruzioni a qualcuno perché compia un percorso
desiderato.
•
Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche.
•
Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali
anche nello spazio.
Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria
Spazio e figure
• Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi
significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.
• Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti
opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria).
• Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti.
• Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a
una prima capacità di visualizzazione.
• Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse.
• Confrontare e misurare angoli utilizzando proprietà e strumenti.
• Utilizzare e distinguere fra loro i concetti di perpendicolarità, parallelismo,
orizzontalità, verticalità, parallelismo.
• Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando, ad esempio, la carta a
quadretti).
• Determinare il perimetro di una figura utilizzando le più comuni formule o altri
procedimenti.
• Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per scomposizione o
utilizzando le più comuni formule.
• Riconoscere rappresentazioni piane di oggetti tridimensionali, identificare punti
di vista diversi di uno stesso oggetto (dall’alto, di fronte, ecc.).
