METODI E TECNOLOGIE PER L`INSEGNAMENTO DELLA
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METODI E TECNOLOGIE PER L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n° 9 «La geometria può essere significativa solo se esprime le sue relazioni con lo spazio dell’esperienza….essa è una delle migliori opportunità per matematizzare la realtà» Hans Freudental «La matematica in generale e la geometria in particolare debbono la loro esistenza al nostro bisogno di sapere qualcosa circa il comportamento degli oggetti reali» Albert Einstein QUANDO USIAMO LA GEOMETRIA? Proviamo a rispondere: Brevissimi cenni storici • La geometria è la più antica tra le teorie create dall’uomo • Inizialmente è uno strumento che si presenta sotto la forma di un insieme di semplici regole prive di connessione fra loro, rispondenti a problemi che nascono nella vita quotidiana della gente. (Egizi, Babilonesi,…) • È solo nel mondo greco, intorno al 600 a.C., che avviene il passaggio che fonda la geometria come scienza formale, le cui dimostrazioni si conducono per via logica, anziché con l’ausilio di metodi sperimentali. ELEMENTI DI EUCLIDE Prima sistemazione del pensiero geometrico come teoria razionale. nozioni comuni, postulati, definizioni Regole della logica Teoremi DEFINIZIONI • DEFINIZIONE 1: Punto è ciò che non ha parti • DEFINIZIONE 2: Linea è lunghezza senza larghezza • DEFINIZIONE 3: Estremi di una linea sono i punti • DEFINIZIONE 4: Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. • DEFINIZIONE 5: Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza. • DEFINIZIONE 6: Estremi di una superficie sono linee • DEFINIZIONE 7: Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette. • ……….. POSTULATI (verità evidenti della geometria) 1.Risulti postulato: che da qualsiasi punto si possa condurre una retta ad ogni altro punto. 2.E che si possa prolungare una linea retta finita continuamente in linea retta 3.E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza 4.E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro 5.E che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti NOZIONI COMUNI (verità relative a tutte le scienze) 1. 2. 3. 4. 5. Le cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro E se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali E se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali E le cose che coincidono fra loro sono tra loro uguali E il tutto è maggiore della parte La geometria ,quindi, nel mondo greco ma fino a tutto il secolo XVIII, viene considerata come una trattazione razionale delle esperienze spaziali dell’uomo, una scienza perfetta e certa. Si presuppone una realtà esterna, la cui esistenza stessa garantisce la coerenza delle esperienze, cosicché, partendo da alcune proposizioni “vere perché evidenti” , si possono dedurre proposizioni ugualmente vere, anche se non evidenti. Tale certezza ha però un punto debole: il V postulato IL PROBLEMA DEL QUINTO POSTULATO E che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti Non è evidente come tutti gli altri La formulazione di Euclide è equivalente a quella riportata sui nostri testi: «Data una retta r e un punto P fuori di essa, esiste ed è unica la retta passante per P e parallela alla retta data.» Di fatto l’esistenza della parallela si dimostra con i soli primi quattro postulati di Euclide; dimostrare l’unicità della parallela necessita invece del V postulato 12 TENTATIVI DI SOLUZIONE A partire dall’epoca dei Greci fino all’inizio dell’Ottocento furono tentati due approcci: •sostituire l’assioma delle parallele con un enunciato più evidente •dedurre l’assioma dagli altri nove (quattro postulati e cinque nozioni comuni) Ogni sforzo è però risultato inutile Karl Friedrich Gauss (1777-1856) Janos Bolyai (1802-1860) Nicolai Ivanovic Lobacevskij (1793-1856) Ad opera di questi tre grandi matematici il lungo cammino di riflessione iniziato all’epoca di Euclide sfocia nella consapevolezza dell’indipendenza logica del V postulato dagli altri e quindi nella possibilità di costruire diverse geometrie GEOMETRIA EUCLIDEA I postulati di Euclide Conseguenza Somma degli angoli interni di un triangolo = 2 retti GEOMETRIA NON EUCLIDEA IPERBOLICA I primi quattro postulati + negazione del VP in un piano, data una retta r ed un punto fuori di essa, esistono almeno due rette passanti per P e parallele ad r “(V’) Conseguenza Somma degli angoli interni di un triangolo < 2 retti Poiché dai primi quattro postulati si deduce l’esistenza di rette parallele, non è possibile aggiungere ai suoi postulati la seconda possibile negazione del V: Due rette complanari hanno sempre un punto comune(V”) Si deve in gran parte a G.F.B.Riemann (1826-1866) la: GEOMETRIA ELLITTICA Assiomi: V”+ primi quattro postulati leggermente modificati (ad es. si può negare che per due punti distinti passi una sola retta) Conseguenza Somma degli angoli interni di un triangolo > 2 retti La scoperta delle geometrie non euclidee costringe i matematici a rivedere: • il concetto di verità. VERO = conseguenza dei postulati ammessi FALSO = in contraddizione con i postulati ammessi •il criterio dell’ evidenza LA GEOMETRIA OGGI Giunge a maturità l’idea della geometria come scienza formale, teoria ipotetico-deduttiva: • gli assiomi non descrivono più proprietà dello spazio fisico, ma sono solo affermazioni prese come punto di partenza • la validità delle dimostrazioni riposa sulla struttura piuttosto che sulla natura particolare del loro contenuto. LA GEOMETRIA OGGI Giunge a maturità l’idea della geometria come scienza formale, teoria ipotetico-deduttiva: Concetti primitivi: punto, retta piano Regole di formazione del linguaggio Definizioni Assiomi (Hilbert) Regole della logica Teoremi Henri Poincaré (1854 – 1912) L’esperienza svolge un ruolo indispensabile nella genesi della geometria; sarebbe, però, un errore concluderne che la geometria è una scienza sperimentale, sia pure in parte. Se fosse sperimentale non sarebbe che approssimativa e provvisoria. E che approssimazione grossolana! La geometria non sarebbe che lo studio dei movimenti dei solidi; in realtà, essa non si occupa dei solidi naturali, ma ha per oggetto certi solidi ideali, assolutamente invariabili, i quali non sono che un’immagine dei primi semplificata e molto lontana. La nozione di questi corpi ideali è interamente frutto della nostra mente e l’esperienza non è altro che l’occasione che ci spinge a farla emergere. Quello che è accaduto nella storia riaccade per ogni persona che si avvicina allo studio della geometria. Livelli di sviluppo nella formazione dei concetti geometrici proposti dai coniugi van Hiele (scuola olandese montessoriana) nel 1986 È centrale il concetto di Struttura, con valenze cognitive e non solo matematiche: la struttura è contemporaneamente strumento e oggetto di conoscenza; la formazione e la trasformazione di strutture guidano allo sviluppo dei simboli. 1) Livello visivo o del simbolo Le figure geometriche vengono identificate in base al loro aspetto e alla loro forma ma le proprietà matematiche non giocano alcun ruolo esplicito in tale identificazione. A questo livello, una figura è un rettangolo “perché è simile ad una porta”, non vi è, pertanto, una comprensione delle proprietà delle figure. Il bambino di questo livello opera su figure geometriche di cui ha avuto esperienza, ma non ne parla, non ne identifica esplicitamente le proprietà; può però apprendere il vocabolario geometrico, identificare e riprodurre le figure in modo corretto. 2) Livello descrittivo-analitico Il bambino inizia a riconoscere le figure in base alle loro proprietà. I simboli diventano segnali: ad esempio, tra tutte le proprietà del rombo, emerge quella, lati uguali, che diventa il segnale significativo per l’identificazione della figura. Simboli e segnali del livello 1 diventano oggetto di studio. In questo livello le immagini iniziano a perdere di importanza rispetto alle loro proprietà, ma il bambino non è ancora in grado di differenziarle in termini di definizioni e proposizioni, e non è ancora capace di spiegare le relazioni tra le varie figure geometriche: ad esempio un quadrato non è ancora riconosciuto come un particolare rettangolo. 3) Livello delle deduzioni informali o della geometria euclidea Si iniziano ad osservare le varie relazioni tra le figure dal punto di vista logico: ad esempio il quadrato è un caso particolare di rettangolo poiché soddisfa una possibile definizione di rettangolo; si riconoscono legami, gerarchie e relazioni tra proprietà, tra figure e tra proprietà e figure (livello astratto relazionale) Questo presuppone la conoscenza di una terminologia specifica appropriata e delle definizioni (che possono venire anche costruite) così da poter riconoscere classi di figure e dedurne alcune proprietà. A questo livello appaiono le prime argomentazioni, anche per giustificare congetture, ma il significato intrinseco della deduzione non è ancora chiaro. Cominciano ad emergere nuovi principi organizzatori: questa è, secondo Van Hiele, l’essenza della geometria. 4) Livello deduttivo, o della logica formale I ragazzi cominciano ad essere in grado di distinguere formalmente tra una proposizione e la sua inversa, e possono capire le dimostrazioni, i postulati, gli assiomi ed i teoremi. 5) Livello del rigore geometrico Gli studenti possono apprendere la geometria non-euclidea e confrontare diversi sistemi di assiomi. La geometria viene pertanto rappresentata in modo astratto NOTA BENE Sulla base di alcuni studi sperimentali, Clements e Battista (1992) hanno inserito un livello precedente a quello visivo, un livello zero, denominato di prericonoscimento, nel quale i bambini percepiscono le forme in modo corretto ma non sono in grado di classificarle o di riprodurle attraverso il disegno; non sono in grado di identificare molte forme comuni perché non prestano adeguata attenzione a tutte le loro caratteristiche visive. Proprietà del modello "van Hiele" 1)Proprietà del passaggio tra i livelli. I progressi da un livello al successivo dipendono non tanto dall’età ma dall’educazione fornita al bambino. La completa assenza di un’istruzione formale non consentirebbe alcuno sviluppo, pertanto i metodi di insegnamento sono fondamentali, alcuni favoriscono il passaggio ad un livello successivo, altri lo impediscono. La maturazione che conduce ad un livello superiore sembra essere un processo essenzialmente legato all’apprendimento e all’istruzione e non di ordine biologico. È possibile dunque favorire ed accelerare tale processo. Proprietà del modello "van Hiele" 2) Proprietà linguistica Ogni livello è caratterizzato da un utilizzo specifico del linguaggio che può essere considerato corretto all’interno di quel particolare livello, ma può essere ulteriormente ampliato ad un livello successivo. Ad esempio una figura può avere più di un nome: un quadrato è un rettangolo, ma è anche un parallelogramma, un trapezio e un quadrilatero. Tali distinzioni non sono utilizzabili al secondo livello, ma diventano fondamentali dal terzo livello in avanti. Proprietà del modello "van Hiele" 3) Proprietà della discrepanza Il tipo di educazione fornita deve essere coerente con il livello dello studente; se viene fornita un’istruzione che si colloca ad un livello più alto, lo studente incontrerà difficoltà nel seguire i processi di pensiero formulati dall’insegnante. Come sostenevano gli stessi van Hiele, infatti, due persone che ragionano a due diversi livelli hanno difficoltà nel comprendersi. Ciò accade spesso tra insegnante e studente. Nessuno dei due riesce a capire il percorso mentale dell’altro ed il loro dialogo continua unicamente poiché lo studente tenta di intuire il pensiero dell’insegnante e ad esso si uniforma. Fasi dell’apprendimento Le fasi dell’apprendimento stimolano il passaggio da un livello inferiore ad un livello superiore; con la crescita del ragazzo possono subire una contrazione temporale, ma nessuna può essere considerata eliminabile 1. Fase di informazione Gli alunni familiarizzano con il dominio del lavoro, utilizzando il materiale didattico; tale materiale li mette in contatto con una struttura che garantisce una base comune su cui impiantare una discussione, consentendo ai ragazzi uno scambio di opinioni. Es. fase 1: si sottopone all’attenzione degli studenti una certa figura, chiamata " rombo ". Si mostrano altre figure geometriche e si chiede loro se anche queste sono rombi. 2. Fase di orientazione guidata Gli studenti esplorano il campo di investigazione per mezzo del materiale, che viene scelto in modo che le strutture caratteristiche vi appaiano a poco a poco. Essi hanno già capito in quale direzione è diretto lo studio Es. fase 2: si effettua un piegamento del rombo intorno al suo asse di simmetria. Si comincia a dare qualche informazione riguardo le diagonali e gli angoli. 3. Fase di esplicitazione Gli studenti acquisiscono coscienza delle relazioni, le esperienze effettuate sono collegate a simboli linguistici adeguati; in tal modo gli allievi imparano ad esprimersi sulle strutture osservate e a comunicare le idee con un linguaggio idoneo. Es. fase 3: gli studenti si confrontano sulle proprie idee riguardo alle proprietà del rombo. . 4. Fase di orientazione libera Per mezzo di compiti che hanno diversi metodi di soluzione, gli studenti scoprono la loro strada nella rete delle relazioni. Ogni segnale che compare all’interno del campo di indagine matura in loro la via da seguire verso i simboli Es. fase 4: si richiede di completare la figura del rombo, assegnando la collocazione di uno o due vertici e di un lato. 5. Fase di integrazione Gli studenti devono ancora acquisire la visione totale degli strumenti a loro disposizione; tentano di condensare tutto il campo che il loro pensiero ha esplorato; in questo momento l’insegnante può favorire il lavoro fornendo delle visioni globali, che però devono essere unicamente una sintesi di ciò che i ragazzi conoscono già. Es. fase 5 :le proprietà del rombo sono assimilate e memorizzate. Al termine della quinta fase si giunge al nuovo livello di pensiero. Indicazioni nazionali Nella scuola dell’infanzia • Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri diversi, ne identifica alcune proprietà, confronta e valuta quantità; utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni usando strumenti alla sua portata. • ……….. • Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.; segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali. Nella scuola primaria: Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Spazio e figure • Percepire la propria posizione nello spazio e stimare distanze e volumi a partire dal proprio corpo. • Comunicare la posizione di oggetti nello spazio fisico, sia rispetto al soggetto, sia rispetto ad altre persone o oggetti, usando termini adeguati (sopra/sotto, davanti/dietro, destra/sinistra, dentro/fuori). • Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare le istruzioni a qualcuno perché compia un percorso desiderato. • Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. • Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali anche nello spazio. Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Spazio e figure • Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri. • Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria). • Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti. • Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione. • Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse. • Confrontare e misurare angoli utilizzando proprietà e strumenti. • Utilizzare e distinguere fra loro i concetti di perpendicolarità, parallelismo, orizzontalità, verticalità, parallelismo. • Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando, ad esempio, la carta a quadretti). • Determinare il perimetro di una figura utilizzando le più comuni formule o altri procedimenti. • Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per scomposizione o utilizzando le più comuni formule. • Riconoscere rappresentazioni piane di oggetti tridimensionali, identificare punti di vista diversi di uno stesso oggetto (dall’alto, di fronte, ecc.).
