CAP. 6 - CONDUZIONE ELETTRONICA NEI SOLIDI.
Teoria di Drude per la conduzione nei metalli.
Tre anni dopo la scoperta dell'elettrone, Drude costruì la sua teoria della
conduzione elettrica e termica dei metalli, considerando l'insieme degli elettroni
come un gas al quale applicò le leggi della teoria cinetica dei gas perfetti. Un
metallo deve essere considerato come costituito da un gas di particelle cariche
negativamente e uno di particelle cariche positivamente; Drude assunse che
queste ultime particelle fossero praticamente ferme e che il gas di particelle
negative fosse costituito dai soli elettroni di conduzione e non da quelli di core.
Tipicamente la densità di elettroni è 1022 cm-3, una densità molto maggiore di
quella dei gas ai quali si applica la teoria cinetica. Inoltre, vi sono le seguenti
assunzioni fondamentali:
1) tra un urto e il successivo, l'interazione e-e ed e-ione è trascurabile, per cui
senza campi esterni gli elettroni si muovono in linea retta tra un urto e il
successivo e se vi sono campi esterni il loro moto è governato dalla II legge della
dinamica. L'ipotesi di interazione trascurabile e-e è nota come 'approssimazione
di elettrone indipendente' e quella riguardante l'elettrone - ione di
'approssimazione di elettrone libero'.
2) Gli urti che cambiano le velocità degli elettroni sono quelli con gli ioni (quelli
tra elettroni non sono importanti).
3) La probabilità che un elettrone subisca un urto nell'intervallo di tempo dt è
dt/τ, τ essendo il tempo di rilassamento ovvero il tempo medio che intercorre tra
un urto e il successivo.
4) La velocità con cui un elettrone emerge da una collisione dipende dalla
temperatura locale e nonr dipende dalla velocità prima dell'urto.
La densità di corrente
r
j = − en v
dove
r
v
è la velocità elettronica media che è
r
r
nulla in assenza di campi esterni. In presenza di un campo elettrico E , sia v o la
velocità
di
un
elettrone
subito
dopo
un
urto:
all'istante
t,
r
⎛ −eE ⎞
r
r
r r
v = v o + at = v o + ⎜
⎟ t . Essendo la direzione di emergenza, casuale
⎝ m ⎠r
r
r
eE
r
eEτ
, v o = 0 per cui v = −
e quindi
t =−
m
m
r e 2 nτ r
r
j=
E = σE
m
V.AUGELLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 – Conduzione elettronica nei solidi
1
essendo σ la conducibilità elettrica. Tipicamente, a R.T.,
τ ≈ 10 −14 ÷ 10 −15
s.
1
3
mv o 2 = kT si trova v o ≈ 10 7 cm/s, e quindi il libero cammino
2
2
medio l = v o τ = 1 ÷ 10 Å.
Assumendo
Vogliamo ora calcolare l'impulso medio per elettrone all'istante t+dt, noto quello
all'istante t. La probabilità che un elettrone non collida rdopo un tempo dt è 1dt/ τ e se vi sono forze esterne l'impulso aumenterà di f (t )dt ; il contributo di
tutti gli elettroni che non urtano nell'intervallo dt all'impulso per elettrone sarà
il prodotto della frazione (1 - dt / τ ) per il loro impulso medio per elettrone:
r
r
r
p ( t + dt ) = (1 - dt / τ) p ( t ) + f ( t ) dt =
r
r
dt r
= p (t ) −
p (t ) + f ( t)dt + O(dt) 2
[
]
τ
Il contributo all'impulso per elettrone
degli elettroni che urtano (con probabilità
r
dt/ ) è del II ordine (dt/τ f (t )dt ) e quindi possiamo scrivere considerando il
contributo di tutti gli elettroni:
r
r
r
dt r
p (t + dt) - p (t ) = − p (t ) + f ( t)dt + O(dt) 2
e passando al limite:
τ
r
r
d p(t )
p ( t) r
=−
+ f (t )
dt
τ
L'effetto degli urti è , pertanto, quello di introdurre un termine di smorzamento
nell'equazione del moto dell'elettrone.
Il modello di Drude può rendere conto, anche se solo in parte, del valore del
coefficiente Hall e della magnetoresistenza. Applichiamolo al calcolo del
coefficiente Hall.
z
y
v
x
x
B
-e v x B
B
+++++++++++++++++++++++++++++
E
x
E
y
-----------------------------
r
j
x
r
r
r
La forza agente su ciascun elettrone è: f = -e( E + v × B ) ; essendo la velocità
degli elettroni diversa, tale forza deve essere intesa come forza media.
L'equazione del moto è:
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2
r
r
r
⎛ r p r⎞ p
d p(t )
= − e⎜ E + × B ⎟ −
⎝
⎠ τ
dt
m
r
r
p
eB
ed essendo j = − en , si ottiene:
In condizioni stazionarie, posto ω c =
m
m
σ o E x = ω c τ jy + jx
σ o E y = −ω c τ j x + j y
2
ω cτ
B
ne τ
. Posto j y =0, la tensione Hall è: E y = −
jx = −
jx ;
con σ o =
σo
ne
m
Ey
1
=−
il coefficiente Hall è: R =
e permette di calcolare n in un metallo.
Bj x
ne
In realtà R dipende da B, T e da come è preparato il campione. La teoria di Drude
non riesce a spiegare valori positivi di R, corrispondenti a cariche elettriche
positive.
Essendo ω c la frequenza di rivoluzione di un elettrone libero in un campo
magnetico,
ωc τ
piccolo significa che gli elettroni descrivono un piccolo arco di
circonferenza prima di urtare nuovamente, mentre ω c τ grande significa che gli
elettroni descrivono più rivoluzioni prima di urtare nuovamente.
Calcolo della conducibilità a.c. col modello di Drude.
Calcoliamo
lar corrente indotta in un metallo da un campo elettrico variabile
r
è:
E ( t ) = Re( E ( ω )e −i ωt ) . L'equazione
r
r del moto
r
dp( t )
p( t )
=−
− eE
(1)
dt
τ
r
r
=
Re
p
(t
)
p
(ω )e − i ωt ].
[
Cerchiamo soluzioni stazionarie della forma:
r
eE ( ω )
r
Sostituendo nella (1) si ha: p ( ω ) =
e quindi:
1
iω −
τ
r
r
ne r
j (ω ) = − p (ω ) = σ (ω )E(ω )
m
dove σ ( ω ) è la conducibilità elettrica a.c., dipendente dalla frequenza:
σ dc
ne 2 / m
σ (ω ) =
=
.
1
1
−
i
ωτ
− iω
τ
Applichiamo questo risultato alla propagazione della radiazione e.m.r in un metallo.
Il risultato che abbiamo ottenuto non tiene conto del fatto che
E ha associato
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3
un campo
r
r
B per cui nell'equazione (1) dovremmo considerare un termine
r
− ev × B , ma essendo B=E/c, tale termine è v/c più piccolo di quellor dovuto ad E
e quindi è trascurabile (v=j/ne ≈ 10-1 cm/s, v/c ≈ 10-9). Inoltre E è funzione
r
anche di r per cui la forza, in realtà dipende dal punto; per lunghezze d'onda
della radiazione molto maggiore del libero cammino medio, E si può assumere
costante. Pertanto, usando le
di Maxwell e ricercando soluzioni
r equazioni
r
E = E o e −i ωt , si
r ha:
r r
∂Β
⇒
∇×E =−
∂t
r
r
r r
r
r
∂
∂ r r
∂E
2
∇ × (∇ × E) = − ∇ E = − ∇ × B = − (µ o j + ε o µ o
)=
∂
t
∂
t
∂
t
r
r 1 ∂E
iω ⎛ σ r iω r ⎞ ω 2 ⎛
iσ ⎞ r
∂
E−
⎜
E⎟ =
⎜ 1+
⎟E
)=
= − ( µ o σE + 2
c ⎝ ε oc
c ⎠ c2 ⎝
ε oω ⎠
c ∂t
∂t
dipendenti dal tempo del tipo
(2)
Definiamo la costante dielettrica complessa:
ε (ω ) = 1 +
Ad alte frequenze
ωτ > > 1 e quindi:
σ (ω ) =
ωp
iσ ( ω )
εoω
σo
σ i
≅ o
1 − iωτ ωτ
ωp2
i2 σ o
ε(ω ) = 1 + 2
= 1− 2
ω τε o
ω
,
ωp
2
σo
ne 2
;
=
=
τε o ε o m
è detta frequenza di plasma.
Le soluzioni dell’equazione
r ω2
r
− ∇ E = 2 ε (ω ) E
c
hanno, per ε reale e negativo ( ω p > ω ), un decadimento esponenziale per cui la
radiazione non si propaga; per ε positivo, la soluzione ha andamento oscillatorio
2
e si propaga nel metallo (naturalmente per alte frequenze). La frequenza di
soglia alla quale il metallo diventa trasparente è
νp =
ωp
2π
. L'accordo con i dati
sperimentali è molto buono per i metalli alcalini.
Se si assume che la densità di carica possa avere un comportamento oscillatorio
ρ ( t ) = ρ ( ω )e − i ωt ,
l'equazione
r di continuità è:
r
∇ ⋅ j ( ω ) = iωρ ( ω ) ;
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per la legge di Gauss:
r r
ρ(ω )
∇ ⋅ E(ω ) =
e quindi
εo
⎛ σ (ω )
⎞
ρ (ω )
iσ ( ω )
iωρ ( ω ) = σ
⇒ ρ ( ω )⎜
− iω ⎟ = 0 ⇒ 1 +
= 0.
εo
εoω
⎝ εo
⎠
ω = ω p;
2
infatti, se a σ ( ω ) sostituiamo σ o i / ωτ otteniamo ω = σ o / ε o τ = ω p .
Abbiamo trovato, quindi, che l'onda di densità di carica si propaga se ω ≥ ω p ;
Ma abbiamo trovato che condizione affinchè l'onda si propaghi è:
2
tale onda si chiama oscillazione di plasma ed è una oscillazione collettiva
longitudinale di un gas elettronico. Il quanto di tale oscillazione è il plasmone.
Conducibilità termica di un metallo.
La legge sperimentale di Wiedemann- Franz stabilisce che il rapporto tra
conducibilità termica ed elettrica k/σ è proporzionale alla temperatura T e il
numero di Lorentz k/ σ T è circa lo stesso per un gran numero di metalli. Drude
assunse che la corrente termica fosse portata dagli elettroni di conduzione nei
metalli. Stabilite le condizioni stazionarie in una barra metallica in cui esiste un
gradienterdi temperatura e un flusso di calore, definiamo la densità di corrente
termica
jq
come un vettore parallelo al flusso di calore di modulo pari
all'energia
r termica per unità di tempor e di area normale al flusso. Per la legge di
jq
r
r
q
j
∇T :
=-k ∇ T . Sebbene la velocità media degli
è proporzionale al
Fourier,
elettroni che arrivano in un punto può essere nulla, per l'assunzione 4 fatta
all'inizio di questo capitolo, gli elettroni provenienti da una regione a
temperatura più alta avranno una energia media maggiore di quelli provenienti da
regioni a più bassa temperatura, per cui ci sarà un flusso netto verso la regione a
temperatura più bassa. Supponiamo che il moto degli elettroni sia lungo l'asse x e
che in un punto x metà elettroni provengono da regioni a più alta T e metà da
regioni a più bassa T. Sia E (T) l'energia media per elettrone in un metallo in
equilibrio alla temperatura T. Gli elettroni che giungono in x dalle regioni a più
alta T hanno subìto l'ultimo urto, in media, in x-vτ, per cui avranno energia media
E (T(x-vτ)) e la densità di corrente termica a loro dovuta sarà : E (T(x-vτ)) n/2 v
, dove n è il numero di elettroni per unità di volume; gli elettroni provenienti da
regioni a più basse T porteranno una densità di corrente termica pari a E
(T(x+vτ)) n/2 (-v); pertanto:
r
j q =n/2 v[E (T(x-vτ)) - E (T(x+vτ))]
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T1>T2
T2
x-vτ
X
x+vτ
x
jt=E(T(x+vτ))(n/2)(-v)
jt=E(T(x-vτ))(n/2)v
Sviluppando in serie di Taylor per vτ piccolo:
⎛ ∂ E ∂T ⎞
n ⎡
∂E ∂T
∂E ∂ T ⎤
= nv 2 τ ⎜ −
v ⎢ E(T ( x)) − v τ
− E(T (x )) − v τ
⎟
⎥
⎝ ∂ T ∂x ⎠
2 ⎣
∂T ∂x
∂T ∂x ⎦
v2
2
2
2
Nel caso tridimensionale: v x
= vy = vz =
3
r q 1 2 dE r
per cui:
j = nv τ
( − ∇T ) .
3
dT
dE
Essendo E l'energia termica per elettrone,
è la capacità termica per
dT
jq =
elettrone e se N è il numero di elettroni , NE=E è l'energia termica totale per
dE N dE 1 d E
=
=
. Posto cv la capacità
dT V dT V dT
r
r
rq 1 2
j = v τc v (− ∇T ) = k (− ∇T )
scrivere:
3
1 2
1
dove k = v τ c v = vlc v è la conducibilità termica.
3
3
1 2
21
v τc v
mv 2 c v
k 3
=
= 32 2
,
Il rapporto
2
σ
ne τ
ne
m
1
3
3
2
assumendo mv = k B T e c v = nk B si ha:
2
2
2
2
k 3⎛kB⎞
= ⎜
⎟ T
σ 2⎝ e ⎠
cui: n
termica specifica, possiamo
che è la legge di Wiedemann - Franz.
Il valore sperimentale di
k
σT
è circa il doppio del numero di Lorentz
2
3 ⎛ kB ⎞
⎜ ⎟ .
2⎝ e ⎠
Nel modello che abbiamo sviluppato vi sono due errori che implicano un fattore
100 ciascuno, ma che si elidono: il primo è che il calore specifico elettronico è
circa 100 volte più piccolo di
3
nk B
2
, il secondo è che
v2
degli elettroni è
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6
circa 100 volte più grande. Infine, avendo assunto l'energia termica dipendente
dal punto dell'urto in relazione alla temperatura del posto, ciò implicherebbe
velocità maggiori dove la T è più alta, cioè avremmo dovuto assumere la velocità
dipendente dalla posizione, ma ciò introduce un fattore dell'ordine dell'unità.
La teoria di Sommerfeld per la conduzione nei metalli.
Sebbene il modello di Drude spieghi molti fatti sperimentali, esso fa predizioni
errate, per esempio, circa il calore specifico elettronico. La teoria di
Sommerfeld considera ancora un gas di elettroni liberi e indipendenti, ma ad
esso applica la statistica di Fermi-Dirac
r 1⎛ m ⎞
f (v ) = ⎜ ⎟
4 ⎝ πh ⎠
3
1
⎡⎛ 1
⎤
⎞
exp⎢⎜ mv 2 − µ ⎟ kT ⎥ + 1
⎠
⎣⎝ 2
⎦
invece di quella di Maxwell
r
⎛ m ⎞
f B (v ) = n⎜
⎟
⎝ 2πkT ⎠
3/ 2
⎛ mv 2
exp⎜⎜ −
⎝ 2kT
⎞
⎟⎟ ;
⎠
inoltre, l'equazione del moto è quella di Schroedinger. Determiniamo le proprietà
fondamentali di un gas di elettroni nello stato fondamentale, confinati in un
volume cubico V. Supponiamo che il potenziale all'interno del cubo sia nullo e
infinito all'esterno. Questa è la situazione assunta da Sommerfeld per gli
elettroni liberi in un metallo.
z
L
V → I
out
Vin =0
O
L
y
L
x
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7
Nell'approssimazione di elettroni indipendenti, determiniamo i livelli energetici
di un singolo elettrone e poi riempiamo questi livelli tenendo conto del principio
di Pauli. L'equazione di Schroedinger per un elettrone libero è:
h2 ⎛ ∂ 2
∂2
∂2 ⎞ r
r
−
(3)
⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ψ ( r ) = Eψ ( r )
2 m ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
Se poniamo Ψ (x, y, z ) = X ( x)Y (y )Z (z ) la (3) può essere separata in tre
d2X 2m
equazioni; per la X(x) si avrà, per esempio:
+ 2 Ex X = 0 .
dx 2
h
1/2
⎛ n πx ⎞
⎛ 2⎞
La soluzione è:
(4)
X (x ) = ⎜ ⎟ sin ⎜ x ⎟
⎝L⎠
⎝ L ⎠
h2π2 2
con autovalore E x =
n x , con n x intero.
2 mL 2
πn y
πn x
πn z
, ky =
, kz =
kx =
L
L
L l'energia è quindi data da:
Posto
2 2
h π
h2 r 2
2
2
2
(4a)
En n n =
(n x + n y + n z ) = 2 m k ;
2 mL 2
3h 2 π 2
l'energia dello stato fondamentale è E 111 =
. Gli stati 111 o 222 sono non
2mL 2
h2 π 2
è 9 volte degenere poichè
degeneri, ma, per esempio, E n n n = 41
2mL 2
x
y
z
x
y
z
corrisponde alle seguenti terne: 126, 162, 216, 261, 621,612, 434, 443, 344.
Ciascuna terna corrisponde ad uno stato diverso, cioè, ad una diversa
configurazione nello spazio della densità di probabilità, ma tutti hanno la stessa
energia e corrispondono ad un unico livello.
Una quantità di grande importanza nello studio delle proprietà elettroniche dei
solidi è la densità degli stati N(E). Definiamo
E
N(E)= ∫0 N (E )dE
il numero di stati con energia minore di E, per cui N(E)=
numero di stati con energia fra E e E+dE.
d
N(E);
dE
N(E)dE è il
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8
Per valutare N(E), teniamo presente che:
2 mL 2
n + n + n = 2 2 En n n = R2
h π
2
x
2
y
2
z
x
y
z
(5)
Tale equazione rappresenta una sfera di raggio R, nello spazio n. Il numero di
stati N(E) con energia minore di E è dato dal numero di punti rappresentativi che
si trovano nel primo ottante per cui solo valori positivi di n hanno senso; poichè
ogni punto si trova ad un vertice delle celle unitarie in figura, N(E) è il volume
dell'ottante:
3/ 2
L 3 ⎛ 2 m ⎞ 3/ 2 3/ 2
1 4 π ⎛ 2mL 2 ⎞
E⎟
=
N(E) =
⎜
⎟ E
⎜
6π 2 ⎝ h2 ⎠
8 3 ⎝ h2π 2 ⎠
La densità di stati sarà:
L 3 ⎛ 2 m ⎞ 3/2 1/2
d
N(E)=
N(E)=
⎜
⎟ E
4π 2 ⎝ h2 ⎠
dE
(6)
e tenendo conto dello spin , la densità di stati totale sarà
L3 ⎛ 2m ⎞
⎜
⎟
2N(E)=Nt=
2π 2 ⎝ h 2 ⎠
3/ 2
E 1/ 2 .
V.AUGELLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 – Conduzione elettronica nei solidi
9
N(E)
E
E
F
Densità totale degli stati in funzione dell'energia per il modello
dell'elettrone libero. A T=0 K tutti gli stati sono occupati fino
alla energia di Fermi.
La soluzione della (3) è un'onda stazionaria soggetta alle condizioni al contorno
ψ = 0 a x=0 e x=L. Il valore di aspettazione dell'impulso dell'elettrone che
oscilla tra le pareti della scatola di potenziale è zero e quindi l'onda stazionaria
non è idonea a descrivere una corrente in un metallo. Ar tale scopo è conveniente
r
i k⋅ r
usare come soluzione della (3) un'onda piana, del tipo e , che però non soddisfa
le precedenti condizioni al contorno. Se avessimo una regione unidimensionale
piuttosto che una scatola, potremmo immaginare di chiudere su sé stesso il filo
per permettere la circolazione di una corrente (l'analogo tridimensionale è
difficile da immaginare). Con una tale operazione x=0 viene a coincidere con x=L
e la condizione al contorno diventa ψ (0 ) = ψ (L ) e
dψ
dx
x =0
dψ
dx
=
x =L
. In
generale, nel caso tridimensionale tali condizioni sono note come condizioni al
contorno di Born-von Karman e si scrivono come:
ψ (x ,y ,z + L ) = ψ (x , y , z)
ψ (x ,y + L , z ) = ψ (x, y, z)
ψ (x + L , y , z ) = ψ (x , y , z)
ikL
Considerando quindi che deve essere ψ (0 ) = ψ (L ) , si ha 1 = e
e quindi
kL = 2πn con n=0, ± 1, ± 2, ........ (onde che si muovono in verso opposto hanno lo
r
1 ikr⋅rr
e , gli autovalori dell'energia
stesso autovalore dell'energia). Se Ψ (r ) =
V
h2 2 h2 π2
2
k =
saranno: E k =
2 (2n ) e, in generale,
2m
2 mL
2 2
hπ
2
2
2
Ek =
2 (2 nx ) + (2n y ) + (2 n z )
2mL
[
]
V.AUGELLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 – Conduzione elettronica nei solidi
10
Sebbene questa espressione sia diversa dalla (4a), la densità degli stati che si
ottiene è la stessa. Possiamo verificare che
r
Ψkr (r )
è un autostato dell’impulso,
h ∂ hr
r
r= ∇
i ∂r i con autovalore hk :
r ikr⋅rr
h ∂ ikr⋅rr
r e = hk e
i ∂r
per cui un elettrone nel livello
r
Ψkr (r )
r
h
k
ha un impulso
e quindi una velocità
r
hk /m.
Passiamo a calcolare il numero totale di elettroni liberi in un metallo. Ogni stato
è occupato da due elettroni con spin opposto (principio di Pauli). Gli elettroni
liberi nel metallo, N e , occuperanno i livelli fino ad una certa energia E F , per cui
risulterà:
V ⎛ 2 m ⎞ 3/2 3/2
N e = ∫0 N t (E )dE =
⎜
⎟ EF
3π 2 ⎝ h2 ⎠
h2
Posto n= N e / V, si ha E F =
(3π 2 n) 2/ 3 . Possiamo esprimere
2m
cinetica degli elettroni in termini di E F :
E
V ⎛ 2 m ⎞ 3/2 5/2 3
E c = ∫0 N t (E )EdE =
⎜
⎟ E F = N e EF
5π 2 ⎝ h 2 ⎠
5
3
L'energia cinetica media per elettrone è quindi
EF.
5
EF
l'energia
F
La correlazione che esiste tra spazio n e spazio k si ottiene dalle relazioni che
legano k ad n. Il numero di stati possibili nello spazio k, ovvero il numero di punti
in una regione molto grande, è praticamente il volume contenuto in quella regione
diviso il volume per punto che nel caso 3d è
(2 π / L )3 , cioè: Ω / (2 π / L )3.
ky
kx
2π/L
V.AUGELLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 – Conduzione elettronica nei solidi
11
Pertanto il numero di valori permessi di k per unità di volume nello spazio k è:
V / 8 π 3 . Possiamo sistemare un elettrone in ciascuno stato e associare due
elettroni con spin opposti alla stessa onda piana. Il raggio della sfera dello spazio
k in cui sistemiamo tutti gli elettroni si indica con kF e il numero di k permessi è:
2
V 4 3
πk F ;
8π 3 3
il numero di elettroni per unità di volume sarà:
k 3F
N 1 k 3F V
n= = 2 2 =
3π 2
V V 6π
La sfera di Fermi è la sfera che contiene i livelli occupati e la superficie della
sfera separa i livelli occupati da quelli vuoti.
L'impulso, la velocità e l'energia di Fermi sono definiti come:
h 2 k 2F
h2
p F = hk F , v F = p F / m , E( k F ) =
=
( 3 π 2 n) 2/ 3 = E F
2m
2m
Possiamo ricavare una espressione generale della densità degli stati, nel caso in
cui l'energia dipende solo dal modulo di k (superficie sferica di energia):
3
4 3 k V
N(E)= V / 8 π ⋅ πk =
3
6π2
3
e quindi
d
d
dk Vk 2 ⎛ dE ⎞ −1
N(E)=
N(E)=
N(E)
=
⎜ ⎟
dE 2 π 2 ⎝ dk ⎠
dE
dk
Calcoliamo la densità degli stati nel caso di un metallo bidimensionale.
L'espressione (5) diventa:
2 mL 2
n + n = 2 2 E = R2 ,
h π
2
x
2
y
che è l'equazione di una
circonferenza. N(E) sarà l'area del I quadrante:
π 2 mL 2
E
N(E)=
4 h2π2
e la densità degli stati sarà indipendente dall'energia:
d
1 mL2
N(E)=
N(E)=
dE
2 h2π
Nel caso unidimensionale, si ha:
N(E)=
l = ( 2 m ) 1/ 2
L 1/ 2
E
hπ
N(E)=
2 mL 2
n = 2 2 E = l2,
h π
2
essendo l la lunghezza;
e
d
1/ 2 L
N(E)= (m / 2 )
E −1/ 2
hπ
dE
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In tutto quanto detto si è assunto lo stato fondamentale alla temperatura T=0 K;
se T è diverso da zero, dobbiamo considerare gli stati eccitati. Abbiamo visto
che a T=0 K solo gli stati con E<EF sono occupati, ciò significa che la funzione
distribuzione di Fermi è
r
f rks = 1, E k < E F
r
r
f ks = 0, E k > E F
1
f = (E − µ )/kT
e
r +1
= 1 per E k < µ ⇒ lim µ = E F .
()
()
Essendo
lim f krs
T→0
()
T→0
La densità di distribuzione degli stati di energia permessa è data dalla densità
per unità di volume, mentre quella degli stati occupati è data da:
N t ( E)
1 ⎛ 2m ⎞ 3/ 2
E 1/2
n(E )dE =
f ( E)dE =
dE
⎜
⎟
V
2π 2 ⎝ h 2 ⎠ e(E − E )/ kT + 1
F
Calore specifico elettronico.
L'energia interna
U e sarà l'energia
numero medio di elettroni nel livello:
∞
r
E(k)
dell'elettrone nel livello per il
∞
U e = ∫0 En(E )dE = ∫0 EN t (E )f (E )dE
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e
ce =
∂ Ue
∂T
; si può dimostrare che, con qualche approssimazione,
ce =
π2
3
k Tg( E F ) =
2
B
π2
3
k 2B T
3 n
2 EF
g( E F ) è la densità degli stati al livello di Fermi; tale risultato è da
3
confrontare con nk B della statistica classica che è circa 100 volte più grande.
2
dove
Effetto termoionico .
Affinchè un elettrone in un metallo possa passare dalla superficie al livello di
vuoto, esso deve possedere una energia almeno pari alla funzione lavoro, , più
l'energia di Fermi,
E F . Con riferimento alla figura poniamo: Φ = E − E
o
F
livello di vuoto
Φ
E
livello di Fermi
O
E
F
fondo della B.C.
Metallo
x
Vuoto
Superficie
Nell'approssimazione di elettrone libero, l'energia è tutta cinetica, per cui la
densità di stati occupati nel metallo, è data da:
8 πm 3
v 2 dv
n(E )dE = N t ( E)f ( E)dE =
h 3 e (E− E )/kT + 1
F
Per calcolare la densità di corrente termoionica consideriamo il prodotto della
densità di stati occupati per la carica per la componente x della velocità degli
elettroni. Consideriamo
la componente v x della velocità essendo questa
perpendicolare alla superficie del metallo. Per integrare su tutte le velocità degli
2
elettroni, sostituiamo l'integrazione su 4 πv dv con una integrazione su
dv x dv y dv z tenendo conto che solo gli elettroni con energia maggiore di
Φ + EF
possono sfuggire dalla superficie:
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∞
2em 3 + ∞
j=
∫ ∫ dv y dv z
∫
h 3 −∞
⎡ 2( Φ+ E
⎣
essendo
m
v x dv x
1/ 2
F
)⎤
⎦
e (E −E
F
) /kT
+1
E − E F > > kT possiamo trascurare l'unità al denominatore e
riscrivere come:
2em 3 E
j=
e
h3
F / kT
+∞
∞
−∞
x
1/2
⎡ 2(Φ + E F ) ⎤
⎣
⎦
m
∫ ∫ dv ydv z
∫v
⎡ m(v 2x + v 2y + v 2z ) ⎤
⎥ dv x
exp ⎢ −
2 kT
⎢⎣
⎥⎦
da cui si ottiene la formula di Richardson:
4πem
(kT) 2 e − Φ /kT = AT 2 e −Φ / kT
3
h
+∞
π
−βx
e
dx
=
). La costante A vale 120 A/cm2K2.
∫
β
−∞
j=
(Si tenga conto che
2
Il grafico del logj/T2 in funzione di 1/kT permette di ricavare la funzione lavoro
del metallo (dell'ordine di qualche eV). La costante A non risulta la stessa per
tutti i metalli e ciò può essere dovuto al diverso stato della superficie, alla
dipendenza da T della funzione lavoro, alla riflessione degli elettroni alla
superficie del metallo.
La teoria di Sommerfeld trova anche il giusto valore del numero di Lorentz.
Tuttavia, nonostante i successi , la teoria dell'elettrone libero non spiega la
dipendenza della costante Hall dal campo magnetico e da T, il segno di RH, la
dipendenza della conducibilità dalla temperatura, ecc., per cui sarà necessario
abbandonare questo modello.
Effetto termoionico in un metallo 1D
N (E) =
m / 2 −1 / 2
E
hπ
j x = e ( m / 2)
=
1/ 2
e
E −1 / 2 =
∞
E f / kT
hπ
(
∫
1
m / 2v x
dE = mv x dv x
exp( − mv x2 / 2kT )
)
⎡ 2 Φ+ E f ⎤
⎢
⎥
m
⎣
⎦
m / 2v x
v x ( mv x dv x ) =
em E f / kT ⎡ kT
⎤ 2e
e
E
kT
=
kTe −Φ / kT
exp(
(
)
/
)
−
Φ
+
f
⎢
⎥
hπ
⎣m
⎦ h
come si può osservare la dipendenza complessiva dalla temperatura cambia
rispetto al caso 3D.
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