il principio di cavalieri

DIDATTICA DELLA
GEOMETRIA
Lezione n° 3
PERCORSI NELLA
GEOMETRIA SOLIDA
LA RELAZIONE DI EULERO
f+v=s+2
Possiamo fare un po’ di algebra con la
Geometria solida!
• Quanti vertici ha un prisma a base triangolare? Quanti
spigoli? Quante facce?
• E un prisma a base quadrangolare?
• ……..
• E un prisma con base un poligono di n lati?
vertici=2n ; facce= n+2; spigoli = 3n
(2n)+ (n+2)= (3n)+2
E la piramide?
Provare!!!!
IL PRINCIPIO DI
CAVALIERI
(Bonaventura Cavalieri, 1598-1647)
Nel piano
“Due figure piane sono equivalenti se esiste una
retta tale che ogni altra retta parallela ad essa le
interseca secondo segmenti di uguale
lunghezza”.
Possiamo costruire un modello materiale per rendere più concreto il principio
costruendo una figura piana con bastoncini impilati e poi spostando da una
parte i loro estremi con un righello.
RETTANGOLO E PARALLELOGRAMMA
Il rettangolo e il parallelogramma in figura hanno basi congruenti e altezze
congruenti. Ogni retta parallela alle basi taglia le due figure con segmenti
congruenti alle basi stesse. Per le proprietà dei parallelogrammi, tali
segmenti sono congruenti alle basi, perciò congruenti tra loro.
Le due figure quindi sono equivalenti per il principio di Cavalieri.
TRIANGOLI
I due triangoli in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti;
utilizzando la similitudine si può capire che ogni retta parallela alle basi taglia
i due triangoli con segmenti congruenti, perché proporzionali alle basi stesse
con lo stesso rapporto; quindi i due triangoli sono equivalenti.
Nello spazio
“Due solidi sono equivalenti se esiste un piano
tale che ogni altro piano parallelo ad esso li
interseca secondo sezioni equivalenti”.
Possiamo costruire un modello materiale per rendere più concreto il principio
costruendo due solidi con un ugual numero di strati di cartone dello stesso
spessore aventi per base due figure piane equivalenti.
In prima battuta può bastare anche un mazzo di carte!!!
PARALLELEPIPEDO RETTI E NON
I due parallelepipedi hanno basi e altezze congruenti; piani paralleli alle basi li
tagliano secondo poligoni congruenti alle basi, perciò congruenti tra loro; i due
poliedri sono perciò equivalenti per il principio di Cavalieri.
PARALLELEPIPEDI E PRISMI
Il parallelepipedo e il prisma in figura hanno basi equivalenti e altezze
congruenti. Per motivazioni analoghe alle precedenti i due solidi sono
equivalenti.
In generale: prismi aventi basi equivalenti ed altezze congruenti sono
equivalenti.
PIRAMIDI
Utilizzando la similitudine possiamo concludere che, se le basi delle
piramidi sono equivalenti, anche le sezioni parallele sono equivalenti;
quindi le due piramidi sono equivalenti per il principio di Cavalieri .
In generale: piramidi aventi basi equivalenti ed altezze congruenti sono
equivalenti.
PIRAMIDI E PRISMI
Quindi: quella piramide occupa la
terza base di un prisma avente
base ed altezza ad esso congruenti.
Ma per il principio di Cavalieri:
una piramide è 1/3 di un prisma
con base equivalente ed altezza
congruente a quelle della piramide
stessa.
Si può anche fare un bellissimo modello!!!
Coni e cilindri
Sempre con il principio di Cavalieri si può
giustificare che:
• un cilindro è equivalente ad un prisma avente
base equivalente ed altezza congruente a
quelle del cilindro stesso.
• un cono è equivalente ad una piramide avente
base equivalente ed altezza congruente a
quelle del cono stesso
E la sfera? La scodella di Galilei
Se in un cilindro di altezza pari al raggio di base
scaviamo una semisfera, otteniamo un solido
chiamato scodella di Galilei .
Utilizzando il principio di Cavalieri , facendo
vedere che l’area del cerchio in figura è sempre
uguale a quello della corona circolare
corrispondente, si può dimostrare che la scodella
è equivalente al cono avente base e altezza
congruenti a quelle del cilindro. Quindi la
semisfera è i 2/3 del cilindro. Da qui il suo
volume.
POLIEDRI
REGOLARI
Quanti sono i poligoni regolari?
In quanti modi si può dividere una circonferenza in parti uguali?
In infiniti modi
i poligoni regolari sono infiniti
Quanti sono i poliedri
regolari?
Scopriamolo!!!!!
DEFINIZIONE
Un poliedro è regolare se
tutti i suoi diedri sono
congruenti e tutte le sue
facce sono poligoni regolari.
Triangolo equilatero
Quanti triangoli possono concorrere in un vertice?
Il numero minimo è 3, altrimenti non si forma l’angoloide
Facciamo esperienza:
Risposta: 3 , 4 , 5. Perché?
La somma degli angoli concorrenti in un vertice ( cioè la
somma degli angoli dell’angoloide) deve essere inferiore ad
un angolo giro, quindi:
• 3 × 60° = 180°
• 4 × 60° = 240°
• 5 × 60° = 300°
Quadrato
Proviamo:
solo tre quadrati in
un vertice!!!
3 × 90° = 270°
4 × 90° = 360°
𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒‼‼
Pentagono
• Quanto vale l’angolo al
vertice del pentagono?
5 − 2 × 180°: 5 = 108°
108° × 3 = 324°
possibile!
Esagono
Quanto vale l’angolo
al vertice
dell’esagono?
6 − 2 × 180°: 6
= 120°
120° × 3 = 360°
impossibile!
In sintesi
• 3 poliedri con il triangolo equilatero
• 1 poliedro con il quadrato
• 1 poliedro con il pentagono
Come contare facce, spigoli, vertici?
Tetraedro, cubo , ottaedro: facile!
Dodecaedro
12 facce, ognuna con 5 spigoli, ma ogni spigolo è
comune a 2 facce, quindi:
12 × 5: 2 = 30
Icosaedro
Idem!
20 × 3: 2 = 30
E i vertici? Relazione di Eulero!!!!!!