1 Matematica Avanzata Per La Fisica

1
Matematica Avanzata Per La Fisica - I accertamento, 13 2 2004
1. Sia X un insieme. Sia H(X) l’insieme delle trasformazioni f : X → X.
Sia G ⊆ H(X), tale che f ∈ G sse f è una bijezione.
a) Dimostrare che G è un gruppo rispetto al prodotto (f ·g)(x) = f (g(x)).
b) Sia K ⊆ H(X) un gruppo rispetto al prodotto del punto (a). Verificare se K ⊆ G.
2. Dimostrare che il gruppo delle matrici reali di ordine n, O(n) = {A ∈
GL(n, R) | A∗ = A−1 } è un gruppo topologico che non è connesso.
Matematica Avanzata Per La Fisica - I accertamento, 15 2 2005
1. Trattare la questione della riducibilita’ di rappresentazioni di gruppi.
2. Si considerino i gruppi O(2, R) e SO(2, R). Stabilire se sono gruppi
topologici, se sono connessi o semplicemente connessi.
2
Matematica Avanzata per la Fisica - I accertamento, A.A. 2005/06
1. Sia T la distribuzione di Schwartz generata dalla funzione f (t) = |t|:
R
T ϕ = |t|ϕ(t)dt. Trovare T 00 .
2. Descrivere la relazione tra analiticità e causalità nella teoria delle
relazioni di dispersione.
3. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e
causale è caratterizzato dall’equazione
IIm G(ω) =
ω2
ω
+1
,
dove G è la trasformata della funzione di Green.
a) Determinare G(ω).
b) Determinare la funzione di Green g(t).
c) Determinare l’equazione differenziale che governa il sistema.
3
Matematica Avanzata per la Fisica - 11 4 2007
1.
a) Determinare la derivata della distribuzione ln |x|.
b) Determinare la trasformata di Fourier della distribuzione eikx .
2. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e
causale è caratterizzato dall’equazione
IIm G(ω) = −
ω2
ω
−ω+1
,
dove G è la trasformata della funzione di Green.
a) Indicare le relazioni di dispersione valide per questo caso.
b) Determinare G(ω)
c) Determinare la funzione di Green g(t).
3. Sia SL(2, C) l’insieme delle matrici Λ ∈ GL(2, C) tali che detΛ = 1.
a) Dimostrare che SL(2, C) è un gruppo topologico connesso.
b) Verificare che SL(2, C) è un gruppo di Lie.
c) Dimostrare che l’algebra di Lie sl(2, C) di SL(2, C) è l’insieme delle
matrici complesse 2 × 2 di traccia nulla.
4
Matematica Avanzata per la Fisica - 10 4 2008
1. a. Determinare la derivata della distribuzione ln |x|.
b. Determinare la trasformata di Fourier della distribuzione eikx .
2. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e
causale è caratterizzato dall’equazione
IIm G(ω) = −
1
ω 2 − 2ω + 2
,
dove G è la trasformata della funzione di Green.
a) Indicare le relazioni di dispersione valide per questo caso.
b) Determinare G(ω)
c) Determinare la funzione di Green g(t).
3. Rispondere a uno dei seguenti quesiti.
I. Sia G un gruppo abeliano. Usare i lemmi di Schur per dimostrare
che ogni rappresentazione unitaria irriducibile di G è unidimensionale.
II. Siano H1 , H2 sottogruppi invarianti del gruppo G tali che
(i)H1 ∩ H2 = {e},
(ii) ∀g ∈ G, ∃h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 per cui g = h1 · h2 . Dimostrare che per
ogni g ∈ G la coppia (h1 , h2 ) ∈ H1 × H2 per cui g = h1 · h2 è unica.
4. Trovare l’algebra di Lie del gruppo SU (n).
5. Rispondere a uno dei seguenti quesiti.
I. a. Determinare l’algebra di Lie di SU (2).
b. Stabilire un omomorfismo SU (2) → SO(3).
c. Trovare una rappresentazione irriducibile di SO(3) in SU (2).
II. Sia G il gruppo di Euclide, cioè il gruppo delle rototraslazioni dello
spazio tridimensionale.
5
a) Dimostrare che ogni rappresentazione proiettiva di G deve essere unitaria.
b) Se tale gruppo G è un gruppo di simmetria per una particella localizzabile in un punto di R3 ,
1. Determinare il commutatore [Jx , Jy ] dove Jx , Jy sono i generatori
hermitiani corrispondenti alle rotazioni attorno all’asse x e y rispettivamente.
2. Determinare le regole di commutazione canoniche [Qα , Pβ ] = δα,β 1
(Qα è l’operatore autoaggiunto che rappresenta la componente xα
dell’osservabile posizione e Pβ è il generatore hermitiano corrispondente alle traslazioni spaziali della coordinata xβ ).
6
Matematica Avanzata per la Fisica - II accertamento, 31 3 2004
1. Sia h0 (2) l’insieme della matrici complesse 2 × 2 hermitiane e a traccia
nulla:
·
a b
h0 (2) = {A =
c d
¸
|
A = A∗ , trA = 0}.
a) Qual’é la relazione
esistente
tra h0 (2) e su(2) (l’algebra di Lie di
·
¸
a b
SU (2) = {U =
| U ∗ = U −1 , det U = 1})?
c d
b) Verificare che le matrici di Pauli cosituiscono una base di h0 (2).
c) Verificare che l’applicazione
·
z
r = (x, y, z) → A(r) =
x + iy
x − iy
−z
¸
= r · σ,
dove σ = σx , σy , σz é la terna delle matrici di Pauli, definisce un
isomorfismo A : R3 → h0 (2).
d) Stabilire un omomorfismo
SU (2) → SO(3).
2. Trattare la relazione tra causalitá e analiticitá nell’ambito della teoria
generale delle relazioni di dispersione.
7
Matematica Avanzata per la Fisica - II accertamento, A.A.
2005/06
1. Trovare l’algebra di Lie del gruppo lineare
·
¸
a b
SU (2) = {U =
, a, b, c, d ∈ C | U ∗ = U −1 , det U = 1}.
c d
3. Sia h0 (2) l’insieme della matrici complesse 2 × 2 hermitiane e a
traccia nulla:
·
a b
h0 (2) = {A =
c d
¸
|
A = A∗ , trA = 0}.
a) Qual’é la relazione
esistente
tra h0 (2) e su(2) (l’algebra di Lie di
·
¸
a b
SU (2) = {U =
| U ∗ = U −1 , det U = 1})?
c d
b) Verificare che le matrici di Pauli cosituiscono una base di h0 (2).
c) Verificare che l’applicazione
·
z
r = (x, y, z) → A(r) =
x + iy
x − iy
−z
¸
= r · σ,
dove σ = σx , σy , σz é la terna delle matrici di Pauli, definisce un
isomorfismo A : R3 → h0 (2).
d) Stabilire un omomorfismo
SU (2) → SO(3).
3.
Trattare il problema della trasformata di Fourier di una dis-
tribuzione.
4. (solo per coloro che non hanno fatto la prova intermedia.)
Trattare la questione della riducibilita’ di rappresentazioni di gruppi.
Matematica Avanzata per la Fisica - 29 3 2006
8
1. Dimostrare che l’algebra di Lie del gruppo lineare
·
¸
a b
SL(2, C) = {U =
, det U = 1}.
c d
è data da
sl(2) = {X ∈ gl(2, C) | tr(X) = 0}.
2. Sfruttare l’isomorfinsmo A : R3 → h0 (2),
·
¸
z
x + iy
r = (x, y, z) → A(r) =
= r · σ,
x − iy
−z
dove
·
a b
h0 (2) = {A =
c d
¸
|
A = A∗ , trA = 0}.
per definire un omomorfismo
SU (2) → SO(3).
3. Sia U : G → GL(n, C) una rappresentazione unitaria del gruppo G.
Dimostrare che se esiste una matrice A 6= λ1 tale che [A, U (g)] = 0 per
ogni g, allora U è riducibile.
4. (solo per coloro che non hanno sostenuto o superato la prova intermedia.)
Trattare il problema della trasformata di Fourier di una distribuzione.
Trattare la relazione tra causalitá e analiticitá nell’ambito della teoria
generale delle relazioni di dispersione.
9
Matematica Avanzata per la Fisica - recupero 26 7 2004
1. Sia O(3, 1) l’insieme delle matrici Λ ∈ GL(4, R) tali che

Λt GΛ = G,
−1
 0
dove G = 
0
0

0
0 0
−1 0 0 
.
0 −1 0 
0
0 1
(1)
a) Dimostrare che O(3, 1) è un gruppo.
b) Derivare dalla (1) che ogni matrice A appartenente all’algebra di Lie
o(3, 1) di O(3, 1) deve soddisfare la relazione

0
 −a
A=
−b
c
a b
0 d
−d 0
e f

c
e
.
f
0
(2)
c) Viceversa, fare vedere che se A soddisfa la (2), allora appartiene a
o(3, 1).
d) trovare una base di o(3, 1).
2.
a) Dare la definizione di distribuzione secondo Schwartz.
b) Illustrare, anche con esempi, la nozione di derivata di una distribuzione.
10
Matematica Avanzata per la Fisica - recupero 16 9 2006
1. Sia O(3, 1) l’insieme delle matrici Λ ∈ GL(4, R) tali che

Λt GΛ = G,
−1
 0
dove G = 
0
0

0
0 0
−1 0 0 
.
0 −1 0 
0
0 1
(1)
a) Dimostrare che O(3, 1) è un gruppo.
b) Derivare dalla (1) che ogni matrice A appartenente all’algebra di Lie
o(3, 1) di O(3, 1) deve soddisfare la relazione

0
 −a
A=
−b
c
a b
0 d
−d 0
e f

c
e
.
f
0
(2)
c) Viceversa, fare vedere che se A soddisfa la (2), allora appartiene a
o(3, 1).
d) trovare una base di o(3, 1).
2. Illustrare, anche con esempi, la nozione di derivata di una distribuzione.
3. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e
causale è caratterizzato dall’equazione
RIm G(ω) =
ω2
ω
+1
,
dove G è la trasformata della funzione di Green.
a) Utilizzare le relazioni di dispersione per determinare G(ω).
b) Determinare la funzione di Green g(t).
11
Matematica Avanzata per la Fisica - 10 7 2008
1.
a) Calcolare la derivata della distribuzione dente di sega
∞
X
1/2 +
e2πint .
=−∞,n6=0
b) Trattare il problema della trasformata di Fourier nella teoria delle
distribuzioni.
2. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e
causale è caratterizzato dall’equazione
ω
,
+ω+1
dove G è la trasformata della funzione di Green.
IIm G(ω) = −
ω2
a) Indicare le relazioni di dispersione valide per questo caso.
b) Determinare G(ω)
c) Determinare la funzione di Green g(t).
3. Sia SL(2, C) l’insieme delle matrici Λ ∈ GL(2, C) tali che detΛ = 1.
a) Dimostrare che SL(2, C) è un gruppo topologico connesso.
b) Verificare che SL(2, C) è un gruppo di Lie.
c) Determinare l’algebra di Lie sl(2, C) di SL(2, C).
4. Sia G il gruppo di Euclide, cioè il gruppo delle rototraslazioni dello
spazio tridimensionale.
a) Dimostrare che ogni rappresentazione proiettiva di G deve essere unitaria.
b) Se tale gruppo G è un gruppo di simmetria per una particella localizzabile in un punto di R3 , determinare il commutatore [Jx , Py ] dove
Jx ,Jy sono i generatori hermitiani corrispondenti rispettivamente alle
rotazioni attorno all’asse x e alle traslazioni lungo l’asse y.