Prima parte della nuova dispensa

Università di Roma «La Sapienza»
Facoltà d’Architettura Valle Giulia
APPUNTI DI
ISTITUZIONI DI MATEMATICA I
di Sergio Camiz
Dipartimento di Matematica
«Guido Castelnuovo»
Corso di Laurea in Architettura U.E.
Diffusione gratuita
APPUNTI DI
ISTITUZIONI DI MATEMATICA I
di Sergio CAMIZ
Sesta Bozza
Roma, Dicembre 2002
Appunti di Matematica
Premessa
Premessa
Questi appunti sono la raccolta di quaderni, appunti di lezioni, brani di tesi di laurea, aventi
il solo scopo di fornire agli studenti del corso di Istituzioni di Matematica I una base di
riferimento per affrontare alcuni argomenti, dei quali è difficile trovare una trattazione non
specialistica. L’obiettivo è quello di proporre la matematica moderna in modo che siano
chiare le basi di logica, di teoria degli insiemi e delle strutture matematiche (soprattutto
algebriche e topologiche) sulle quali essa si fonda.
Raccolti con urgenza, per poter far fronte a quest’esigenza, non hanno alcuna pretesa
d’esser un testo completo, corretto od esauriente. Per questo sarò grato a chi mi vorrà
segnalare gli ancora numerosi errori che immagino che ci si possano trovare, nonché a chi
mi vorrà suggerire modi migliori per affrontare la trattazione di questi argomenti, senza
però perder di vista l’obiettivo di semplificazione dei processi logici e strutturali che
costituiscono la matematica.
Ringrazio per l’aiuto che m’hanno dato a metter insieme questi appunti le mie allieve
Simona Antognini ed Anastasia Mazzucchi.
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Appunti di Matematica
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Premessa
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Appunti di Matematica
Indice
Indice
Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. A cosa serve la matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Sono belle le soluzioni matematiche? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La sezione aurea ed i numeri di Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Problemi di minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Le superellissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
7
3. La logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 La logica ed il pensiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Il sillogismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Il ragionamento logico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Le tavole di verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 I connettivi logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6.1 La negazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6.2 La Congiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6.3 La disgiunzione inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6.4 La disgiunzione esclusiva o alternanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6.5 L’implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.6 La coimplicazione (o doppia implicazione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Funzioni proposizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Tautologie e contraddizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8.1 Le tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8.2 Le contraddizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 La deduzione logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.10 Metodi di dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.11 La doppia deduzione logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.12 Gli enunciati associati ad un teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. Formalizzazione del processo logico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Teorie logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Teorie quantificate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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Appunti di Matematica
Indice
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Costruzione d’una teoria matematica formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 I criteri di verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Teorie ugualitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Cos’è un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Prime definizioni ed assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Operazioni fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Coppie, prodotto e relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Corrispondenze e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 Insiemi finiti e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7 Insiemi numerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.8 Insiemi più che numerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.9 Principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
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Appunti di Matematica
A cosa serve la matematica
1. A cosa serve la matematica
1.1 Introduzione
Un tempo e forse anche oggi, un profano, quando pensava Matematica, pensava
immediatamente a dei numeri, e questo perché i numeri sono un mezzo tipicamente da
matematico per entrare in contatto col mondo, per lo meno il più conosciuto. Ma non solo.
Difatti, se è vero che l'aritmetica («voglio leggere, scrivere e far di conto» dice Pinocchio,
Collodi) occupava una parte essenziale dell'attività dei matematici, oggi affidata quasi
completamente agli elaboratori elettronici, una parte enorme è occupata da altri tipi
d'attività che coi numeri hanno poco a che vedere.
Un esempio molto rappresentativo, anche perché molto antico, è costituito dalla geometria.
Chi abbia studiato nelle scuole secondarie gli elementi della Geometria d'Euclide (cercare
il vecchio libro di Enriques-Amaldi per il ginnasio-liceo) sa a cosa mi riferisco: si tratta della
dimostrazione, per via unicamente logica, di tutta una serie di proprietà sempre più nascoste
e complicate, di cui sono dotati oggetti geometrici quali punti, rette, piani, angoli, figure
regolari, solidi e via dicendo. In questo tipo di trattazione i numeri sono completamente
esclusi, eppure si tratta di matematica, e di una parte anche importante di essa.
Un'altra branca attualmente assai importante della matematica è quella legata ai calcolatori
elettronici. Questi oggetti enormi, rapidissimi, ma, anche se non sembra, completamente
idioti, sono in grado di comunicare secondo un linguaggio codificato e costruito in modo
adeguato alla loro struttura: era compito un tempo dei matematici, ora degl’informatici,
trovare i linguaggi più adeguati, costruirne di nuovi, tradurre in termini opportuni i dati
(non necessariamente numerici) d’un problema in modo da trovare delle soluzioni
applicabili al mondo esterno.
Si tratta d’un lavoro nient'affatto facile, anche perché dal modo d'impostare i dati dipende
il tipo e magari l'esistenza della soluzione: infatti un calcolatore, poveretto, è in grado solo
di elaborare quel che gli si dà e solo nel modo in cui gli si dice di farlo: se le istruzioni sono
sbagliate, nonostante tutta la buona volontà di cui lo dota la corrente elettrica che ci gira
dentro, non c'è speranza che dia risultati validi.
Il progressivo estendersi di metodi d'analisi numerica, di ricerca operativa, d'analisi dei dati
e di statistica, a discipline scientifiche un tempo puramente qualitative, fa sì che la
matematica, se non proprio esplicitamente, tenda tuttavia ad essere sempre più un sostegno
fondamentale per la scienza moderna, ed è certamente alla matematica che la moderna
tecnologia deve il livello dei risultati raggiunti, nel bene e nel male. Se già Galileo ipotizzava
che «la matematica è il linguaggio col quale è scritto il libro della natura», si può oggi
senz'altro affermare che l'intuizione era più che fondata, per lo meno nel senso che con essa
si può descrivere molto efficacemente ogni fenomeno.
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Appunti di Matematica
A cosa serve la matematica
Queste considerazioni interessano anche un architetto, oltre che per una conoscenza
generale della realtà in cui vive, anche per altri motivi. Prima di tutto, perché, benché
affiancato da ingegneri, geometri, informatici, ecc., dovrebbe conoscere le condizioni di
realizzabilità d’un suo progetto, dunque conoscere i principi matematici e fisici che
governano le costruzioni, qualunque esse siano. Inoltre, l'uso di metodi statistico-matematici
risulta d'importanza determinante per tutti i problemi di carattere urbanistico-territoriale.
Infine, a prescindere da queste condizioni, la cui verifica spesso è demandata ad altri tecnici,
la matematica o l'uso dei calcolatori può spesso portare a risultati altrimenti impensati ed
a volte molto brillanti dal punto di vista della funzionalità e dell'estetica.
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Appunti di Matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
2. Sono belle le soluzioni matematiche?
2.1 Introduzione
A chi per la prima volta capita di combattere con la matematica, può sembrare che i risultati
ottenuti dalla sua applicazione siano artificiosi e comunque lontani dall'esperienza estetica
o creativa, quale può essere quella d'un architetto. Se infatti per un tecnico, od un ingegnere,
la matematica è il pane quotidiano, non è detto a priori che un approccio estetico ad un
problema debba coinvolgere della matematica.
Questi punti di vista possono essere riconsiderati, giacché a volte le soluzioni matematiche
d'un problema, ottenute usando metodi matematici sia di valutazione che di calcolo,
risultano essere quelle esteticamente più valide. Naturalmente non è vero che, al contrario,
qualunque soluzione non matematica sia orribile, ma va notato che certe soluzioni
matematicamente semplici sono assai eleganti dal punto di vista estetico e risultano anche
molto funzionali.
Queste considerazioni sono banalmente valide nelle scienze fisiche, perché è sulla fisica che
la matematica è cresciuta molto; è però vero che anche nelle scienze naturali ci sono
soluzioni inconsciamente matematiche, trovate da specie di animali per meglio sopravvivere.
L'uso della matematica su scala umana invece è ovviamente dipendente dalla struttura
sociale dell'epoca, e così di volta in volta i problemi da affrontare sono stati di natura
geometrica, architettonica, tecnica, economica, ahimè bellica, e così via, mentre le soluzioni
hanno dovuto necessariamente tener conto delle restrizioni imposte dai livelli tecnici e socioeconomici del particolare periodo. È però interessante notare che c'è una strana rispondenza
fra soluzioni o interpretazioni matematiche anche di situazioni molto diverse fra loro.
2.2 La sezione aurea ed i numeri di Fibonacci
Si chiama sezione aurea d'un segmento la sua parte che è media proporzionale tra il
segmento e quel che resta, togliendo dal segmento la parte aurea. In simboli, se l è la
lunghezza del segmento, la sua parte aurea x è definita come e quindi, risolvendo per x,
risulta
Si può verificare che lo stesso valore si ottiene facendo il rapporto fra il lato d'un decagono
regolare ed il raggio del cerchio in cui esso è iscritto.
Il matematico Fibonacci studiò in passato la successione dei numeri (che ora porta il suo
nome), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ..... dove ogni numero è la somma dei due precedenti. Il
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Appunti di Matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
limite del rapporto di due numeri successivi di questa somma è ancora legato al rapporto
aureo
.
Siano infatti detti Mn i numeri di Fibonacci, definiti come:
M0 = 0
M1 = 1
Mn = Mn-1 + Mn-2
risulta
e dunque, chiamando " tale limite, risulta
È certo singolare scoprire che la disposizione delle foglie sui rami degli alberi ha a che fare
con i numeri di Fibonacci e dunque col rapporto aureo...
Figura 1 - La successione di rettangoli aurei.
Il frontale del Partenone è costruito secondo un rapporto aureo, nel senso che l'altezza delle
colonne è la parte aurea della base del tempio. I Greci infatti si erano resi conto che il
rettangolo aureo (Figura 1, Figura 5), quello cioè la cui altezza è la sezione aurea della base,
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Appunti di Matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
è il più armonico come proporzioni fra tutti i rettangoli: non troppo schiacciato né troppo
quadrato. È facile vedere che la parte che resta è la parte aurea del lato minore, dando così
luogo alla successione che si vede in Figura 1, Figura 5. Ed ecco che ci si trova di fronte alla
codificazione matematica d'un problema estetico.
2.3 Problemi di minimo
Tutta una serie di problemi matematici è in
qualche modo riconducibile alla soluzione
d'un problema di minimo. Con questo
termine s’intende in matematica un
problema la cui soluzione consiste nel
rendere minima una certa grandezza che vi
compare. Nell'osservazione dei fenomeni
naturali è facile rilevare che alcuni si
possono esprimere come ricerca del minimo
di qualche grandezza. In particolare per
quanto riguarda gl’esseri viventi, si tratta di
Figura 2 - La rifrazione della luce al passaggio minimizzare l'energia, il lavoro, lo sforzo, la
dall'aria all'acqua.
quantità di materiale, ecc. Naturalmente, la
scelta della grandezza da rendere minima dipende dal problema particolare, ma nelle
costruzioni si può supporre che tale grandezza è costituita il più delle volte dal denaro1.
Un semplice esempio di carattere fisico è dato dalla rifrazione della luce nel passaggio tra
due mezzi differenti, ad esempio fra l'aria e l'acqua. A questo proposito si osservi la Figura
2. Per andare da P1 a P2 la luce non viaggia in linea retta, ma fa un percorso quale quello
descritto dalla spezzata P1 O P2. Il motivo è molto semplice: poiché in n1 la luce va più veloce
che in n2, conviene che il cammino in n1 s'allunghi se risulta così più breve quello in n2: non
si deve però allungare troppo, perché altrimenti diventerebbe troppo lungo il cammino in
n1 ed il guadagno di tempo si perderebbe. Il cammino percorso è esattamente il più veloce,
tenendo conto delle velocità della luce nei due mezzi.
Nella storia naturale gli esempi di minimo sono numerosi: interessante sembra quello delle
celle delle api. Nella costruzione d'un alveare il problema è quello di costruire le celle in
modo da consumare la minor quantità di cera. La struttura esagonale è quella che risolve
il problema; infatti le celle sono tutte uguali e regolari, cosa molto più semplice da pensare
che farle differenti e irregolari: per ricoprire un piano con le figure regolari sono utilizzabili
il triangolo, il quadrato e l'esagono (Figura 3). Il problema allora si può tradurre così: a
parità di superficie, qual è la figura che ha perimetro minore (cioè richiede meno cera)?
1
È da ricordare, a conferma che la vita italiana ha degli aspetti assai particolari, per non dir di peggio, che
le scelte compiute dai politici della prima repubblica, sono sembrate basarsi piuttosto su un principio di
massimo: quali scelte compiere per poter massimizzare i costi e quindi le tangenti?
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Appunti di Matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
Figura 3 - Le possibili tassellazioni del piano con poligoni regolari.
Bisogna fare in modo che il perimetro P della cella (da cui dipende la quantità di cera
necessaria) sia minimo a parità di superficie. Ora P = 2 S / a, dove S è la superficie del
poligono regolare, ed a l'apotema. Poiché a è massimo nell'esagono (rispetto a triangolo e
quadrato), P risulta così minimo.
Sempre guardando alle celle c'è ancora un piccolo problema, che è quello della loro
chiusura. Infatti la chiusura non è piatta, ma fatta da tre rombi che la rendono un pò
sporgente: questo per far entrare più miele. Ma che inclinazione scegliere? Il problema è
anche questa volta di risparmiare la cera e la soluzione naturale è proprio quella che
minimizza la cera.
Figura 4 - La forma sferica e quella d’una goccia di
mercurio.
Se si prova ad osservare una goccia di mercurio, si nota che non ha forma sferica bensì una
forma schiacciata: si tratta d'una forma che risulta dall'equilibrio fra tensione superficiale
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Appunti di Matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
del mercurio e forza di gravità. Per chi deve costruire un serbatoio, in cui contenere dei gas
o dei liquidi sotto pressione, si pone il problema di trovare una forma che renda più
uniformi possibili gli sforzi che la struttura deve sopportare, ripartendo il peso del
contenuto equamente su tutta la parete, in questo modo, lo spessore del serbatoio può essere
costante. La soluzione è, fatte le debite proporzioni, una forma identica a quella delle gocce
di mercurio (Figura 4).
Così, un altro problema di minimo è quello di costruire delle superfici del genere delle vele,
quelle ad esempio che raccordano le cupole con la struttura sottostante. Più generalmente
si può pensare di voler trovare la superficie d'area minima, limitata da un contorno non
piano. Questo è un problema di scienza delle costruzioni ed il minimo cui ci si riferisce è in
genere costituito dal materiale. La soluzione è la stessa data dal naturale disporsi d'una bolla
di sapone sopra lo stesso contorno. Ora, tanto la goccia di mercurio, quanto la superficie
della bolla di sapone hanno certamente quell'aspetto armonico dato dalla loro semplicità ed
essenzialità e la soluzione trovata vi corrisponde.
Senza fare confronti con la natura, si pensi ora ad un ponte: trattandosi di qualcosa di
sospeso, è ovvio che l'economia dei materiali è un fattore di leggerezza e, d'altra parte, è raro
che esistano delle particolari richieste estetiche alternative (se si esclude il monumentale
ponte Flaminio di Roma, in cui l'esigenza di mostrare la costruzione autarchica superava
l'economia richiesta dall'autarchia stessa). In questo caso avviene allora che l'aspetto statico,
e dunque il ragionamento matematico che porta alla sua soluzione, diventi un fatto estetico,
evidenziato com'è nella forma del ponte stesso.
Si pensi in particolare ad un ponte in ferro sospeso: in esso i cavi di sostegno assumono una
forma particolare, detta catenaria, uguale alla forma che assume una corda pesante, tesa
orizzontalmente, come risulta dai calcoli e sotto ad essi si sottende il ponte vero e proprio.
Ma, a proposito di ponti, è interessante far notare il tipo d’evoluzione che ha avuto la
costruzione di ponti in Italia, e mi riferisco alla serie interminabile di viadotti delle
autostrade italiane. Sono in genere tutti uguali, salvo casi eccezionali: travi costruite in serie,
appoggiate a piloni. Se poi c'è una ferrovia che passa sopra o sotto formando un angolo non
retto, essi sono ugualmente perfettamente rettangolari, con una buona parte di ponte
inutilizzata. Sono il segno di un cambiamento: non è più l'economia di materiale che si
impone al progettista, bensì l'economia di uomini e di mezzi, ma forse anche di idee. Queste
travi infatti si costruiscono in serie da qualche parte e si posano poi in opera senza dover
ricorrere a costose centine e ad enormi cantieri. Ma perché il risparmio sulla mano d'opera
ha risultati così brutti?
2.4 Le superellissi
Se la matematica può essere un supporto per l'architettura anche dal punto di vista estetico,
talvolta accade il contrario: ecco un esempio di soluzione d’un problema urbanistico che è
stata fatta secondo uno sviluppo matematico.
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Appunti di Matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
Durante la ricostruzione del centro di Stoccolma, sorse il problema di dare una forma al
centro di Sergels Torg, la piazza centrale progettata su un modulo ovoidale inserito in un
rettangolo, in modo che si risolvesse facilmente il compromesso fra forma e funzionalità. Si
era scartato il modulo ellittico perché risultava troppo appuntito (il traffico ne avrebbe
sofferto) e perché si inseriva nel rettangolo in modo poco armonico. Si tentò allora di
raccordare otto segmenti circolari di diverso raggio, ma il risultato era discontinuo e
sgradevole.
La soluzione fu trovata da un matematico che si mise a studiare delle curve che poi chiamò
superellissi. Si tratta di curve la cui equazione è del tipo:
Come è noto, per n = 2 la curva è un'ellissi, per n = 1 si tratta d'un rombo, per n = 4 risulta
un rettangolo, mentre per valori maggiori di 2 risultano delle curve più dolci dell'ellissi e
che, aumentando n, si avvicinano ad un rettangolo, con gli angoli più o meno smussati.
La scelta cadde su n = 2.5, e da allora non solo fu fatta la piazza, ma molto del design
nordico deriva proprio da questa forma a metà fra ellissi e rettangolo (Figura 5).
Figura 5 - Le superellissi di Sergels Torg.
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Appunti di Matematica
La logica
3. La logica
3.1 Introduzione
Esiste un’ampia gamma di punti di vista filosofici sulla natura e l’acquisizione della
conoscenza umana in generale, e di quella matematica in particolare. I più comuni sulla
natura delle cose sono quattro (Reale ed Antiseri, 1983; Barrow, 1992):
1. La posizione empirista secondo la quale tutti i concetti vengono acquisiti tramite
l’esperienza. L’empirismo è un movimento filosofico che ha avuto storicamente sviluppo
nel Circolo di Vienna (fra i suoi rappresentanti, Schlick e Hahn), e s’è arricchito dei
contributi della scuola di Berlino (fra cui Lewin ed Herzeberg). Essi facevano loro
proprie le tesi già sostenute da Frege e poi approfondite da Russell sulle strutture logicomatematiche del discorso scientifico. L’empirismo logico è considerato come metodologia
della ricerca scientifica, cioè delle molteplici tecniche logico-concettuali secondo le quali
essa si articola e si realizza. Le componenti principali dell’empirismo sono: 1) l’esigenza
di un rigoroso sperimentalismo metodologico e il ripudio di ogni altra forma di
conoscenza che non sia quella scientifica e 2) l’interpretazione delle strutture e delle
tecniche dei discorsi scientifici non in termini di psicologia del conoscere, ma di analisi
logica e metodologica.
2. La posizione idealista, i cui fautori principali sono Hegel e Fichte, i quali credono
nell’esistenza d’un mondo esterno alla nostra mente in cui le cose esistono
indipendentemente da noi e la nostra conoscenza è il risultato d’un processo di scoperta.
3. La posizione operazionalista, che cerca di definire il significato delle cose tramite la
sequenza di passaggi, od operazioni che si dovrebbero eseguire per misurarle.
4. La posizione logistica, che troviamo nella seconda metà dell’Ottocento, dove spiccano
nomi come Russell, Bertband e Frege, che condivide la stessa mentalità limitativa e cerca
di codificare tutta la nostra conoscenza entro un sistema d’assiomi e regole d’inferenza,
cosicché la conoscenza viene ad essere definita come la serie di tutte le sequenze
deduttive che possono partire da tutti i possibili assunti iniziali logicamente coerenti.
Il punto di vista logistico viene rappresentato dalla teoria del formalismo matematico
sviluppatasi alla fine del diciannovesimo secolo. Paradossi logici come quello del barbiere
(«In un paese, il barbiere fa la barba a tutti coloro che non se la fanno da soli. Chi fa la
barba al barbiere?»), quello di Epimenide («Questa proposizione è falsa»), quello riportato
da Paolo di Tarso, quando scrive a Tito: «Tutti i cretesi sono bugiardi, lo afferma uno dei
loro stessi poeti», o ancora il dilemma dell’insieme degli insiemi (se faccia parte di sé stesso
o no), minacciavano di minare l’intero edificio matematico. Di fronte a questi dilemmi, si
definì la matematica come niente di più e niente di meno dell’arazzo di formule che si può
creare a partire da qualsiasi insieme d’assiomi iniziali, manipolando i simboli in base a
regole precedentemente specificate. Il vasto ricamo di connessioni logiche intrecciate, che
risulta dalla manipolazione di tutti i possibili assiomi di partenza, in base a tutte le possibili
serie non contraddittorie di regole, è la matematica: ecco il formalismo. La bandiera del
formalismo è stata sorretta soprattutto da un consorzio di matematici francesi, noto con lo
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La logica
pseudonimo di Nicolas Bourbaki, ove trionfano l’assiomatica, il rigore e l’eleganza
senz’anima, si rifugge dagli esempi e dal particolare a favore dell’astratto e del generale. Lo
scopo del gruppo Bourbaki non è tanto la scoperta di nuovi risultati, quanto la codificazione
del noto in modi nuovi, più succinti ed astratti: in particolare, collocando ogni teorema alla
sua massima generalità, si riesce, in questo contesto, ad avere una visione organica
dell’edificio matematico nel suo insieme.
Jean Dieudonné, che è il propagandista principale del Bourbakismo, è convinto che questo
approccio formale esemplifichi ciò a cui ogni scienza dovrebbe aspirare, poiché
«lo studio scientifico d’un’intera classe d’oggetti presuppone che le peculiarità, che
distinguono questi oggetti gli uni dagli altri, vengano di proposito dimenticate e che solo
i loro tratti comuni vengano presi in considerazione. Ciò che differenzia la matematica,
da questo punto di vista, è la sua singolare insistenza nel perseguire questo programma,
fino alle ultime conseguenze. Gli oggetti matematici vanno considerati come
completamente definiti dagli assiomi che vengono utilizzati nella teoria che riguarda
questi oggetti; o, come dice Poincaré, gli assiomi sono «definizioni mascherate» degli
oggetti di cui si occupano.»
La matematica diventa una struttura che vive e si sviluppa ed alla quale è necessario
imporre un’organizzazione, se si vogliono evitare il caos e la frammentazione in futuro. Il
lavoro del matematico è quello di spiegare le strutture basilari della logica: se esplorate a
fondo, esse arrivano ad includere tutte le interrelazioni sanzionate dalla logica. Il mondo che
ci circonda è visto come la specializzazione d’alcune di queste strutture, in modo tale che
possano essere esemplificate e modellate dalle particolari interrelazioni che connettono le
cose reali. In che modo questo sia possibile si vede nella descrizione della matematica
formale, mostrando che tutta la matematica attuale si può costruire sulla base della logica
classica, deducendo cioè, da un certo numero d’asserzioni, una serie di teoremi (asserzioni
vere), in modo tale che, una volta verificate per un oggetto le asserzioni iniziali, le altre ne
discendano necessariamente.
3.2 La logica ed il pensiero
Spesso si teme che mettere i calcoli logici in posizione centrale e fondante contraddica la
descrizione più usuale e più amata dai matematici, quella secondo cui «la matematica è
l’arte di evitare i calcoli» (Kac e Ulam, 1968). La matematica non è calcolo, ma il formale
sembra che invece lo riduca a quello. Non è così: la matematica evita i calcoli ricorrendo a
notazioni più compatte o più comprensive. Tutta la matematica è la ricerca di tecniche che
sostituiscano il contare, quando questo è troppo lungo o non è possibile. E sostituire il
contare si può solo con tecniche che siano formali, perché comporta di staccare il dito dagli
oggetti che si devono contare. La matematica s’applica anche a sé stessa, da che la logica l’ha
afferrata bene, e si potrebbe proporre lo slogan che «la logica è l’arte di evitare le
dimostrazioni», senza per questo espellere dalla logica il formale, così come non si espellono
i calcoli della matematica. La definizione formale, con la quale si fonda la logica, può
sembrare estranea al pensiero umano, mentre in realtà la si può definire come scienza del
ragionamento.
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La logica
Con logica, infatti, s’intese anticamente il semplice procedimento discorsivo senza alcuna
forza di dimostrazione, per l’assenza di premesse necessariamente vere su cui basare la
deduzione. Successivamente Cicerone (106-43 a.C.) riferisce che, ai suoi tempi, con logica
s’intendeva probabilmente quella disciplina che s’occupava dei principi e dei ragionamenti
certi e probabili. Oggi, in accordo con l’etimologia che fa risalire il termine al vocabolo
8`(@H (lògos) cioè ragione, essa sta a significare qualcosa di relativo alla ragione, quella
parte della filosofia che indica i mezzi e le norme e i principi del ragionare e del discorrere.
Non si tratta però solo del corretto ragionare e discorrere, bensì del ragionare in senso più
vasto: lògos vuol dire infatti, non solo ragione, ma anche parola, rapporto. L’evoluzione
storica e concettuale d’una scienza come la logica, ha portato radicali mutamenti nella sua
struttura e nel suo oggetto, e analizzando vari enunciati, come per esempio:
S Antonio parla con Bruno;
S e è un numero trascendente;
S la somma di cinque e sette è uguale a dodici;
S e non è un numero algebrico;
S Roma è la capitale d’Italia e Parigi è la capitale della Francia;
S se tutti gli uomini sono mortali e alcuni bipedi sono mortali, allora alcuni bipedi sono
mortali;
ecc.,
si sottolinea la necessità di disporre di strumenti tecnici fondamentali logici per
comprenderne l’esame degli enunciati stessi e della loro struttura, e infine la precisazione
di alcuni concetti fondamentali: il linguaggio ed il calcolo logico.
La logica s’occupa dei ragionamenti dopo che essi son stati espressi, in qualche forma di
linguaggio, quindi non dell’attività del pensare, cioè dei meccanismi interni della nostra
mente. Essa s’occupa piuttosto del pensato dopo che questo è stato comunicato ed uno dei
suoi scopi è quello di caratterizzare quali sono i ragionamenti corretti. Un ragionamento si
presenta come una sequenza finita di proposizioni, dove con proposizione s’intende
un’espressione linguistica per la quale ha senso chiedersi se è vera o falsa, a prescindere dal
fatto che si sappia quale delle due circostanze si verifica. Da un punto di vista grammaticale
la parola proposizione sta ad indicare l’espressione d’un pensiero compiuto, formato almeno
da un soggetto ed un predicato ai quali possono fare eventualmente seguito alcuni
complementi. Da un punto di vista grammaticale sono dunque delle proposizioni le
asserzioni:
S la zebra è un animale mammifero;
S 120 è un numero primo;
S Firenze è la più bella città italiana;
non sono invece proposizioni le frasi
S reguna mecoides praecorum satis dis;
S la zebra un animale;
S parla con;
S sono andato a comprare un;
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perché non sono l’espressione d’un pensiero compiuto. Delle frasi sopra enunciate che sono
proposizioni, si può osservare che la prima è vera, la seconda è falsa, mentre la terza non
è né vera né falsa, perché esprime un giudizio del tutto soggettivo. La logica formale s’occupa
unicamente di quelle asserzioni alle quali compete uno ed uno solo degli attributi vero o
falso.
Dunque, una proposizione può assumere, come si usa dire, uno ed uno solo di due valori di
verità, il vero (V) ed il falso (F). Questa ipotesi preliminare è detta principio di bivalenza.
Aristotele (384-322) lo introduce parlando della logica nell’Organon (in greco, strumento),
inteso appunto come strumento necessario a chiunque voglia affrontare la scienze teoretiche,
che per Aristotele sono la matematica, la fisica e la teologia. In questo tipo di logica
sussistono i tre principi fondamentali della logica aristotelica. Si tratta di:
1. il principio di non contraddizione, secondo il quale una proposizione non può essere sia
vera che falsa;
2. il principio del terzo escluso, secondo il quale i valori di verità d’una proposizione sono
soltanto due (il vero o il falso; non esiste un terzo valore di verità);
3. il principio d’identità, secondo il quale una proposizione del tipo A uguale ad A è
sempre vera, qualunque sia A.
L’ultima proposizione d’un ragionamento è chiamata conclusione ed è preceduta
solitamente dalla connessione «quindi» od espressioni analoghe, come «ne segue che»,
«allora», «pertanto», ecc.. Le altre proposizioni si chiamano premesse ed il loro ordine è
inessenziale.
Chi propone un ragionamento vuole ricondurre la verità della conclusione a quella delle
premesse. Tipici esempi di ragionamento sono le dimostrazioni matematiche, le quali si
sviluppano mediante passaggi che conservano la verità. Il nesso chiave, quindi, è quello di
conseguenza logica: un ragionamento è corretto quando la conclusione è conseguenza logica
dell’insieme delle premesse, ossia quando non può darsi il caso che le premesse siano tutte
vere e la conclusione falsa.
3.3 Il sillogismo
Il sillogismo è uno schema di ragionamento che s’attribuisce completamente ad Aristotele,
rimasto proverbialmente quale esempio di ragionamento corretto. Con la teoria del
sillogismo si perviene ad una teoria dell’inferenza formale e cioè, come dice lo stesso
Aristotele: «Un discorso in cui, posti taluni oggetti, alcunché di diverso dagli oggetti
stabiliti risulta necessariamente (...) per il fatto che questi oggetti sussistono» (An.Pr.
24b,18-20). La derivazione del sillogismo ha inizio con il seguente famosissimo brano:
«Orbene, quando tre termini stanno tra loro in rapporti tali che il minore sia contenuto
nella totalità del medio, e il medio sia contenuto o non sia contenuto nella totalità del
primo, è necessario che tra gli estremi sussista un sillogismo perfetto» (An.Pr. 25b, 32-35).
Come esempio può servire il seguente: «l’arte remunerativa è contenuta nella totalità delle
arti in generale; l’arte della caccia è contenuta nella totalità dell’arte remunerativa; di
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conseguenza l’arte della caccia è contenuta nella totalità dell’arte in generale». L’esempio
è tratto dalla divisione platonica (Sofista 218d, 221c) da cui sembra che il sillogismo
aristotelico abbia tratto origine. Possiamo scriverlo nel seguente modo, per metter in
evidenza l’aspetto di calcolo logico:
l’arte remunerativa è contenuta nella totalità delle arti in generale;
l’arte della caccia è contenuta nella totalità dell’arte remunerativa;
------------------------------------------------------------------------------------di conseguenza l’arte della caccia è contenuta nella totalità dell’arte in generale
In un sillogismo, dice Aristotele, vi sono tre termini, che indicheremo con A, B e C,
consistenti in concetti, classi quale uomo, animale, mortale, bianco, ecc., a due a due
costituenti proposizioni poste secondo uno schema del tipo:
p1) se ogni B è A
p2) C è B
--------------------------c) allora C è A
(B soggetto, A predicato)
(C soggetto, B predicato)
(C soggetto, A predicato)
Le prime due proposizioni costituiscono le premesse, distinte in prima premessa (p1) o
premessa maggiore e seconda premessa (p2) o premessa minore; il terzo giudizio (c) è la
conclusione. Nell’esempio, B è il termine medio e deve essere presente in entrambe le
premesse ma non nella conclusione (c); A è il termine maggiore che è il predicato nella (c);
C è il termine minore, soggetto nella (c). Dunque, se A si predica di ogni B e se B si predica
di ogni C, allora è necessario che A venga predicato di ogni C. Si noti che le parole di
conseguenza o dunque si sono sottintese in questa rappresentazione formale: ora e nel
seguito, si supporrà che siano rappresentate dalla riga orizzontale che separa le due
premesse dalla conclusione.
La sillogistica d’Aristotele è un sistema di logica dei termini che consiste di leggi e non di
regole: si noti che una regola è un termine generalissimo che può anche essere privo di
necessità: regola d’arte, della tecnica, ecc. .Per legge s’intende invece una regola dotata di
necessità logica. Per necessità logica s’intende che la verità o falsità d’una proposizione
discendano in modo ineluttabile da proposizioni precedentemente accettate come vere o
false. Quest’aspetto va distinto dal principio di causa ed effetto che governa la fisica e che
discende dall’osservazione che due aspetti d’un fenomeno osservato siano uno cosneguenza
dall’altro.
Esempio: se al biliardo si colpisce con una certa forza una palla con la stecca, essa, se è
libera di muoversi, si muoverà. Inoltre, a seconda della forza con cui si colpisce la palla e
della posizione della stecca rispetto al centro della palla, deriveranno la velocità, la direzione
e l’effetto con i quali la palla si muove. Pertanto, dalla causa «urto della palla con la stecca
in un certo modo», segue l’effetto «moto particolare della palle».
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La logica
La necessità logica, invece non è il risultato d’un’osservazione sperimentale, dunque d’una
legge che governa il fenomeno indotta dall’osservazione, ma piuttosto è la conseguenza del
fatto che una proposizione è implicitamente contenuta in proposizioni già precedentemente
assunte come tali. La verità della proposizione è quindi esclusivamente conseguenza dei
significati che si danno alle parole contenute nelle varie proposizioni considerate ed alla
forma delle proposizioni stesse. Si consideri il ragionamento seguente:
Se una persona è nipote di un’altra, allora quest’ultima è zio della prima,
Ugo è nipote di Giuseppe,
-----------------------------------------------------------------------------------Giuseppe è zio di Ugo.
È chiaro che la correttezza di questo ragionamento dipende dal fatto che s’è stabilito nella
prima premessa che «esser zio» ed «esser nipote» sono la prima conseguenza logica della
seconda. La verità di questa asserzione è insita nei concetti stessi di zio e nipote e pertanto
la conclusione è effettivamente una necessità logica delle premesse.
Esempio: Consideriamo il ragionamento
Se non si studia sufficientemente non si può superare l’esame
Giovanni non studia sufficientemente
-----------------------------------------------------------------------------Giovanni non può superare l’esame
La verità di «Giovanni non può superare l’esame» è implicita nell’assunta verità delle due
proposizioni precedenti. Infatti, qualora Giovanni superasse l’esame, delle due l’una: o
Giovanni ha studiato sufficientemente, e dunque non è vero quel che si dice di lui, o
Giovanni è raccomandato, e quindi non è vero che se non si studia sufficientemente non si
può superare l’esame: ci sono altre possibilità.
Analoghe considerazioni si possono svolgere a proposito dei seguenti ragionamenti:
Tutti gli uomini sono mortali,
Socrate è un uomo
------------------------------------Socrate è mortale.
Se un numero è minore di un altro, allora il secondo è maggiore del primo,
3 è minore di 7,
------------------------------------------------------------------------------------------------7 è maggiore di 3.
Se una retta è perpendicolare ad un’altra, allora la seconda è incidente alla prima,
la retta r è perpendicolare alla retta s,
----------------------------------------------------------------------------------------------s è incidente ad r.
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La logica
In tutti e tre gli ultimi ragionamenti, la prima premessa afferma che il sussistere di una
relazione fra due termini qualsiasi comporta, di necessità il sussistere d’un’altra relazione
fra il secondo ed il primo termine; la seconda afferma che sussiste la prima relazione fra due
termini specificati; la conclusione afferma che la seconda relazione sussiste fra i due termini
specificati nella seconda premessa. Per il sussistere del nesso di conseguenza logica non è
importante la natura dei termini coinvolti (numeri, rette, persone), né delle relazioni
(minore e maggiore, perpendicolare e incidente, nipote e zio), quanto i nessi stabiliti tra essi
nelle premesse e nella conclusione. Per questo motivo si può mette in evidenza questa forma
di ragionamento, indicando con le lettere x et y due termini generici, che non sono stati cioè
specificati, con le lettere a e b i due termini specificati, e con le lettere maiuscole R ed S le
due relazioni utilizzate e risulta quindi:
per ogni due termini x e y, se R(x,y) allora S(y,x)
R(a,b)
--------------------------------------------------------S(b,a)
In questa scrittura, nella prima proposizione s’intende indicare, con R(x,y) che i termini x
ed y si trovano nella relazione R in una certa posizione, con S(y,x) che essi si trovano nella
relazione S in una certa posizione, con R(a,b) che i termini a e b si trovano nella relazione
R. Si può utilizzare questa scrittura formale come una specie di schema, nel quale R, S, a,
b vanno sostituiti con relazioni e termini specificati. Se, per esempio, si vuole formalizzare
che «se 2 < 3, allora 3 > 2» si può prendere il ragionamento indicato e sostituire a = 2, b
= 3, R = «x < y», S = «y > x». In seguito, R(a,b) = «2 < 3» ed S(b,a) = «3 > 2»
s’ottengono sostituendo i termini a e b al posto delle lettere x ed y. La funzione di x ed y è
meramente strumentale: si tratta di posizioni in R ed S destinate ad esser occupate da un
termine. Esse sono diverse, perché i termini che le occuperanno potranno esser diversi fra
loro.
L’individuazione della forma logica d’una proposizione o d’un ragionamento avviene con
riferimento ad un linguaggio le cui espressioni non sono da considerarsi a priori né vere né
false, ma che sono suscettibili di molteplici interpretazioni; il nesso di conseguenza logica,
e quindi la correttezza del ragionamento, sussiste perché, qualsiasi siano i termini denotati
da a e da b, e le proposizioni denotate da R e da S, se le premesse sono vere, allora è vera
anche la conclusione. Tuttavia, si badi che in queste considerazioni non c’è modo di sapere
a priori se le premesse siano effettivamente vere.
Più in generale, si può vedere che tutti i ragionamenti fatti finora si possono considerare
forme particolari d’un unico tipo di ragionamento:
Se R allora S
R
------------------S
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La logica
Si tratta del modus ponens, la regola fondamentale dell’inferenza logica. Con tale regola
s’intende dire che se sono vere due premesse costituite da un’implicazione fra due
proposizioni e la prima fra di esse, allora come conclusione è necessariamente vera la
seconda proposizione. Si deduce cioè la verità della seconda dalla prima attraverso
l’implicazione.
In sostanza tutta la matematica si fonda sul modus ponens, nel senso che il processo che
porta da una relazione vera (o più d’una) ad una relazione vera avviene attraverso una
dimostrazione, che non è altro che una catena d’implicazioni.
3.4 Il ragionamento logico
Come s’è cercato di mettere in luce, la logica esplicita e fissa le condizioni tra asserti, e si può
quindi definire, in parole povere, come l’indagine sul ragionare corretto. Occorre tuttavia
fare qualche ulteriore specificazione. Infatti, nel linguaggio corrente, noi possiamo
certamente distinguere fra diversi tipi di ragionamento secondo tipi di logica affatto diversi
(almeno nell’apparenza) gli uni dagli altri. Si pensi infatti alla logica infantile, legata alla
soddisfazione dei bisogni primari consci od inconsci, e del suo linguaggio apparentemente
più assurdo: quello dei sogni. A tutti noi è capitato di stupirci nel constatare l’apparente
assurdità di certi sogni, in cui sembra che si sovrappongano realtà e fantasia, l’azione si
svolge in tempi e luoghi diversi, i personaggi appaiono improvvisamente trasformati. Solo
agli inizi del novecento Freud è riuscito a decodificare questo linguaggio, almeno nelle sue
grandi linee, sicché ora la psicoanalisi permette di comprendere immagini oniriche, ma
anche eventi reali, secondo una logica apparentemente assurda, ma tuttavia operante con
un’intensità inimmaginabile. La logica dei sentimenti è ad essa imparentata, e questo spiega
il nostro comportamento a volte apparentemente assai irrazionale.
Pensiamo ora al ragionamento legato alla parola, alla verbalizzazione, al linguaggio. In
questo caso, esiste una logica consequenziale, legata al pensiero umano cosciente, quindi alla
parola e la sua logica appare più evidente. A differenza della sintesi onirica, è con il
ragionamento che si riescono a descrivere gli eventi, in modo da esplicitare gli aspetti
consequenziali. Si badi che la verbalizzazione, attraverso l’interpretazione psicoanalitica,
permette di metter in evidenza le relazioni consequenziali anche della logica onirica. Se ne
può dedurre che anche nel mondo primitivo infantile sussiste un ben impiantato principio
di causa ed effetto, anche se spesso riposto e misterioso. Di conseguenza, il principio del
sillogismo resterebbe universale. È il linguaggio, dunque, a permettere la sintesi,
l’espressione dei pensieri e della loro complessità e ciò comporta la conoscenza di formalità.
Solo nelle espressioni esplicite, finite ed analizzabili, è possibile praticare un lavoro di
catalogazione, di scomposizione e di classificazione dal quale ricavare regole di
combinazione esplicite e precise.
Si potrebbe pensare che sia difficile la traduzione del linguaggio corrente in forma
effettivamente logica, e nulla porterebbe a credere il contrario. Il torto però non è della
logica, ma piuttosto della lingua comune che è per lo più ambigua, inesatta, indeterminata.
Questi tuttavia possono essere anche vantaggi, se si pensa all’uso che se ne può fare in poesia
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La logica
o in politica, dove la contraddizione è pratica corrente (si pensi alle convergenze parallele
di Aldo Moro, od alle alleanze fra Lega, Forza Italia ed Alleanza Nazionale, quando Bossi
tuonava contro Berluskaiser ed i fascisti) mentre gli scienziati ne vedono solo la parte
negativa. Per questo motivo il linguaggio della logica serve ad eliminare le ambiguità ed a
dare la possibilità di dire in maniera chiara ed inequivocabile ciò che veramente si vuol dire.
Dunque la logica non aiuta solo la matematica, ma anche la linguistica e le altre scienze.
Finché non si traduce una proposizione dalla lingua comune, che è imprecisa, nel linguaggio
preciso della logica, rimane sempre il pericolo di fraintendimento. Si può intraprendere una
classificazione esatta delle proposizioni solo dopo aver eliminato gli elementi casuali della
lingua comune, traducendo le sue proposizioni, formalizzandole nel linguaggio della logica,
cioè modellizzando il reale con regole logiche.
Tra il linguaggio comune ed il linguaggio matematico esistono alcune analogie, ma anche
notevoli differenze. Per esempio, la lingua comune è spesso volutamente ambigua ed inesatta
in quanto intende, giustamente, lasciare spazio all’espressività; nella lingua matematica
concessioni di questo tipo, sul piano della significazione, non sono assolutamente ammesse:
qui il significato di ogni asserzione deve essere in ogni caso preciso ed inequivocabile.
Il linguaggio della logica formale è quello che accorda le esigenze della lingua comune con
quelle della lingua matematica. Quindi, la logica formale rappresenta un tentativo
d’eliminare dal linguaggio ogni forma d’ambiguità, dando la possibilità d’esprimere, in
maniera chiara ed inequivocabile ciò che si vuol dire, senza rinunciare all’espressività. La
logica diventa quindi uno strumento d’indagine sull’aspetto strutturale della lingua stessa.
Essa quindi può essere definita come la disciplina che s’occupa del corretto dedurre. La
logica pura si può esteriorizzare rispetto al pensiero stesso, partendo dai più semplici
enunciati possibili, esaminando i legami che possono unire tali enunciati in modo da stabilire
la verità del composto. Entrano così in gioco i cosiddetti connettivi logici e le loro relative
tavole di verità; che nascono dalla necessità di associare ad ogni proposizione un suo valore
di verità ed a trasferirlo a proposizioni composte secondo il modo in cui ogni connettivo le
trasforma. In questo modo, si ha il diritto di prescindere dal contenuto delle proposizioni,
la correttezza dei ragionamenti dipendendo solo dalla loro forma esteriore.
3.5 Le tavole di verità
Nell’esaminare la figure di ragionamento si prescinderà dalle proposizioni particolari,
analogamente a quanto si fa in algebra quando si fa ricorso al calcolo simbolico. È noto che
certi risultati che s’ottengono per calcolo simbolico sono validi per qualunque valore si
sostituisca alle lettere: ad esempio, una volta dimostrato che
,
è inutile verificarlo per qualunque coppia di numeri, ma il risultato s’utilizzerà per due
numeri qualunque:
. Indicando con A e B due
proposizioni, considerando i loro valori di verità vero (V) o falso (F), si può calcolare la
verità che s’ottiene mediante la composizione con i connettivi logici. La tavola di verità è
allora una tabella nella quale, a partire dai valori di verità possibili delle proposizioni di
partenza, permette di evidenziare il risultato, in termini di verità, delle connessioni logiche
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La logica
utilizzate. Per esempio, se si considera il connettivo e la tavola di verità che si può costruire
è la seguente:
A
B
AeB
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
Si badi che la decisione se le proposizioni A e B siano vere o false non riguarda la logica (e
pertanto non si decide), è invece un problema logico quello di decidere se la proposizione
A e B sia vera o falsa in dipendenza della verità o falsità di A e di B. Il calcolo dei valori di
verità è un modo rigido ed obbligato di ottenere il valore delle proposizioni, eliminando
vaghezze ed ambiguità.
Si consideri ora il seguente elenco di proposizioni che soddisfano i principi della logica
bivalente:
P1: Maria mangia una mela;
P2: il numero 15 è multiplo di 4;
P3: questa sera guardo la televisione oppure leggo un libro;
P4: 7 è un numero primo e le diagonali di un parallelogrammo si tagliano
scambievolmente a metà;
P5: se piove allora esco con l’ombrello.
Si vede che le proposizioni P1 e P2 non sono decomponibili in altre proposizioni più semplici,
per le quali sia ancora possibile dire se sono vere o false. Per questo motivo vengono
denominate proposizioni atomiche. Al contrario, le proposizioni P3, P4 e P5 sono
decomponibili in proposizioni elementari, in corrispondenza delle quali si può ancora
attribuire un ben determinato valore di verità. La P3 risulta infatti composta dalle due
proposizioni: «questa sera guardo la televisione» e «questa sera leggo un libro», collegate
tra loro dalla disgiunzione oppure. La P4 è composta dalle due proposizioni: «7 è un numero
primo» e «le diagonali di un parallelogramma si tagliano scambievolmente a metà»,
collegate dalla congiunzione e. La P5 è composta dalle proposizioni: «piove», «esco con
l’ombrello», collegate dall’implicazione se...allora. Tutte le proposizioni che sono composte
da due o più proposizioni atomiche, si dicono proposizioni molecolari.
3.6 I connettivi logici
3.6.1 La negazione
Se, per esempio, è:
: 18 è multiplo di 3,
(vera)
è:
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non
La logica
: 18 non è multiplo di 3
(falsa).
Se è:
: Milano è la capitale dell’Italia
(falsa)
è:
non
(vera).
: Milano non è la capitale dell’Italia
La negazione è un’operazione detta unaria, perché s’applica ad una sola proposizione (in
contrapposizione a quelle descritte nel seguito, che s’applicano a due proposizioni e per tale
motivo vengono dette binarie).
La negazione d’una proposizione s’ottiene premettendo non alla proposizione. Si scrive
pertanto:
non P, oppure in simboli: ¬P.
Il valore di verità della proposizione non P è in ogni caso l’opposto di quello della P: La
tavola di verità della negazione è pertanto:
P
¬P
V
F
F
V
Si osservi che se P = ¬Q, è anche ¬P = ¬¬Q = Q. La doppia negazione equivale ad una
affermazione. Questa regola viene rigorosamente osservata nella lingua inglese; non è così
invece nella lingua naturale italiana, il che crea spesso degli equivoci.
3.6.2 La Congiunzione
Si considerino, ad esempio, le proposizioni:
A: il ghiaccio è un solido
B: 5 è un numero dispari
C: 25 è minore di 12
D: Roma è la capitale della Francia
(vera);
(vera);
(falsa);
(falsa);
esse possono essere composte a due a due mediante la congiunzione e: così la congiunzione
A e B dà la proposizione molecolare:
Il ghiaccio è un solido e 5 è un numero dispari
che risulta vera essendo vere le proposizioni componenti; la congiunzione A e C dà la
proposizione molecolare:
Il ghiaccio è un solido e 25 è minore di 12
che risulta falsa perché è falsa la seconda componente; analogamente risulta falsa la
proposizione D e C:
Roma è la capitale della Francia e 25 è minore di 12
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perché sono false entrambe le componenti.
Dunque la congiunzione è un’operazione che fa corrispondere ad ogni coppia ordinata
(
) di proposizioni una nuova proposizione composta
, ottenuta collegandole
mediante la congiunzione e; si scrive pertanto:
:
oppure in simboli
:
.
La proposizione composta è vera quando e soltando quando le due proposizioni e sono
entrambe vere. Come s’è detto, quindi, la tavola di verità dell’operazione e è la seguente:
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
3.6.3 La disgiunzione inclusiva
Se si considerano ancora le quattro proposizioni A, B, C, D enunciate prima, queste possono
essere composte a due a due mediante la disgiunzione inclusiva o (che si indica anche con
vel. Risultano
A o B: il ghiaccio è un solido o 5 è un numero dispari,
che è una proposizione vera perché sono vere entrambe le componenti;
B o D: 5 è un numero dispari o Roma è la capitale della Francia,
che è una proposizione vera perché è vera la prima componente;
C o D: 25 è minore di 12 o Roma è la capitale della Francia;
che è una proposizione falsa perché sono false entrambe le componenti.
Dunque la disgiunzione inclusiva è un’operazione che fa corrispondere ad ogni coppia
ordinata (
) di proposizioni una nuova proposizione composta , ottenuta collegando
mediante la disgiunzione inclusiva o. Si scrive pertanto:
:
oppure in simboli
:
.
La composizione composta è vera quando almeno una della due componenti
, è vera,
è falsa solo nel caso in cui le componenti siano entrambe false. La tavola di verità
dell’operazione o è pertanto:
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V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
3.6.4 La disgiunzione esclusiva o alternanza
Come esempio esplicativo della disgiunzione esclusiva od alternanza, si consideri la
seguente situazione: si è nella necessità di acquistare un’automobile e nel frattempo nella
necessità di estinguere un debito di valore pari al costo dell’automobile; la cifra di denaro
di cui si dispone è giusto sufficiente per compiere una ed una soltanto delle due azioni.
Pertanto, la proposizione composta:
A: domani con questo denaro si compra l’automobile o si estingue il debito,
è decomponibile nelle due proposizioni:
B: Domani con questo denaro si compra l’automobile,
C. Domani con questo denaro si estingue il debito.
La proposizione A, composta dalle B e C, va intesa nel senso che una sola delle due
proposizioni può essere vera, come nel costrutto latino aut...aut..., dunque è possibile
enunciarla così:
A: o B o C
È facile constatare che la A risulta vera se e soltanto se una delle due proposizioni B, C è
vera e l’altra è falsa. Il significato dell’o è in questo caso esclusivo. Dunque la disgiunzione
esclusiva è un’operazione che fa corrispondere ad ogni coppia ordinata di proposizioni
(
) una nuova proposizione composta
, ottenuta collegando mediante la
disgiunzione esclusiva o che si indica con o ... o .... Si scrive pertanto:
:
oppure in simboli
:
.
Questa proposizione composta è vera se e soltanto se una delle due componenti è vera e
l’altra è falsa; si chiama disgiunzione esclusiva perché è falsa quando entrambe le
componenti sono vere ed anche quando entrambe le componenti sono false. La tavola di
verità dell’operazione o...o... è quindi:
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V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
Purtroppo, la lingua italiana non prevede la possibilità di distinguere i due tipi di o,
inclusivo ed esclusivo, generando a volte degli equivoci. Al contrario, gli antichi romani, più
attenti ad una chiara ed univoca costruzione del linguaggio scritto e parlato, usavano le due
diverse disgiunzioni vel ed aut.
3.6.5 L’implicazione
Il risultato P di questa operazione binaria s’ottiene collegando due proposizioni d’una
coppia ordinata (
) mediante l’implicazione se...allora.... Si osservino le due
proposizioni atomiche:
: x è un numero pari,
: esco con l’ombrello.
La proposizione molecolare composta sarà:
: se x è un numero pari allora esco con l’ombrello.
Si scrive allora
: se
La
allora
, oppure in simboli
:
.
è vera in ogni caso, ad eccezione dell’eventualità che la
risulti vera e la
risulti
falsa. La tavola di verità di questa operazione è quindi la seguente:
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
La logica dei valori di verità di questa tavola potrebbe risultare un pò strana, soprattutto
perché può sembrare strana l’implicazione fra le due proposizioni proposte. In effetti,
nell’implicazione logica non è richiesto che le due proposizioni componenti siano in un
rapporto di causa ed effetto, come nel caso d’un fenomeno fisico. Si può obiettare sul fatto
che anche se x non è un numero pari ed io esco coll’ombrello l’implicazione resti vera.
Tuttavia, se si considera su un’implicazione che riflette una relazione di causa/effetto, come
«se piove allora senza ombrello mi bagno», ci si può convincere che questo è corretto,
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considerando che uno può bagnarsi anche se non piove, ad esempio passando sotto una
doccia: tuttavia l’implicazione resta valida. Sarà più chiaro questo concetto se s’esamina la
proposizione ottenuta dall’esempio precedente: è facile constatare che si possono verificare
quattro diverse situazioni, corrispondenti rispettivamente ai quattro casi dei valori di verità
della tabella:
S se x è pari ( vera) ed io esco con l’ombrello ( vera), la
è da ritenersi vera;
S
se x non è pari (
falsa) ed io non esco con l’ombrello (
falsa), la
S
ancora vera;
se x è pari ( vera) ed io non esco con l’ombrello (
S
infatti, l’essere x pari, avrebbe dovuto implicare che io uscissi con l’ombrello;
se x non è pari ( falsa) ed io esco con l’ombrello ( vera), la
è da ritenersi vera;
falsa), la
è da ritenersi
è da ritenersi falsa;
infatti, il fatto che x non fosse pari non implicava che io non dovessi uscire con
l’ombrello per forza.
Anche se la cosa sembra strana, è possibile darsi una regola di vita consistente nell’affidare
le proprie scelte nel lancio d’una monetina (cfr. Paperino e la filosofia flippista, Carl Barks)
o d’un dado: in quest’ultimo caso potrei decidere d’uscire con l’ombrello ogni volta in cui
il risultato del lancio è un numero pari e l’implicazione logica rifletterebbe questa scelta di
vita. Per ulteriori chiarimenti si osservino i seguenti esempi:
Se la benzina finisce, l’automobile si ferma
La benzina non finisce
---------------------------------------------------------------L’automobile non si ferma
è una figura di ragionamento, non valida, del tipo (1)
Se A, allora B
Non A
----------------------Non B.
Essa non è valida perché è ovvio che ci si può fermare anche se non è finita la benzina: per
esempio se il guidatore decide di frenare, o se l’automobile va a sbattere contro un albero.
Si veda invece il ragionamento seguente:
Se Paolo corresse i cento metri in meno di 10 secondi, sarebbe scelto per le Olimpiadi
Paolo non è scelto per le Olimpiadi
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Paolo non corre i cento metri in meno di 10 secondi.
Questa è una figura di ragionamento valida del tipo (2)
Se A, allora B
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Non B
---------------------Non A
A proposito del primo esempio, qualcuno potrebbe replicare che il ragionamento sia
sbagliato. Infatti è possibile che l’automobile non si fermi anche se ha finito la benzina: ciò
può accadere se la macchina è trainata o se si trova in discesa. Tuttavia, si può riconoscere
che queste due condizioni sono casi particolari e che, per rendere preciso il ragionamento,
basterebbe aggiungere nella prima premessa una frase del tipo «se non c’è qualcos’altro a
farla muovere». D’altra parte, nel ragionamento, quello che interessa è verificare se, assunta
vere le premesse, se ne possa dedurre la conclusione o no. Ora, nel caso (1),
indipendentemente dal fatto che fossero vere le premesse era la conclusione ad esser
sbagliata. Pertanto, i dubbi sulla giustezza della prima premessa vanno tenuti accuratamente
distinti dal dubbio se dalle premesse date segua la conclusione data; infatti la questione
dell’esattezza della premesse e la questione se da premesse date derivi veramente una
conclusione data sono due problemi distinti tra loro. La stessa osservazione può essere
applicata a tutti i ragionamenti aventi la stessa figura di ragionamento.
Questi esempi permettono di riconoscere che delle due figure di ragionamento studiate (1)
e (2), la figura di ragionamento (1) è sbagliata in tutti i casi. Se ne deduce che, sostituendo
ad A e B delle proposizioni qualunque, si può ottenere, in almeno un caso, una conclusione
falsa, sebbene entrambe le premesse siano vere. Si dice quindi che la figura di ragionamento
non è valida. La figura di ragionamento (2) al contrario si presume valida: ciò significa che,
se le premesse sono vere, è sempre vera anche la conclusione, indipendentemente dalle
proposizioni considerate.
Se si scrive nella forma di ragionamento (2) valida la stessa proposizione noi non ci
bagniamo sia per A sia per B, si ottiene il seguente ragionamento, non troppo profondo:
Se noi ci bagniamo, noi ci bagniamo
Noi non ci bagniamo
--------------------------------------------Noi non ci bagniamo.
La prima premessa non dice niente, ma senza dubbio è vera, mentre la seconda è vera a
seconda delle circostanze: essa può essere vera e può essere anche falsa. Se è vera, allora è
vera anche la conclusione, perché questa concorda esattamente con la seconda premessa
Questa figura di ragionamento ha la forma:
Se A, allora A
Non A
-----------------Non A
Essa è sicuramente valida: infatti, la sua prima premessa non dice niente, ma è vera, e se la
sua seconda premessa è vera, allora è vera anche la conclusione, indipendentemente da
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quale proposizione si sostituisca ad A. Dunque, una figura di ragionamento è valida se,
indipendentemente da quali proposizioni particolari si sostituiscano alle lettere, non accade
mai che le sue premesse siano tutte vere, e ciò nonostante la sua conclusione sia falsa. Si dice
che essa non è valida, se questo caso si può verificare. Si dice che un ragionamento è corretto
in ogni caso, se la figura di ragionamento che ne deriva è valida.
3.6.6 La coimplicazione (o doppia implicazione)
Si considerino le due proposizioni atomiche:
: la temperatura è al di sotto di 8° C,
: esco con il cappotto,
la proposizione composta mediante la coimplicazione è:
: la temperatura è al di sotto di 8° C se e soltanto se esco con il cappotto.
Il risultato
di quest’operazione binaria s’ottiene collegando due proposizioni d’una
coppia ordinata (
) mediante la coimplicazione ...se e soltanto se.... Si scrive pertanto:
: se e soltanto se oppure in simboli:
La
è vera soltanto quando
.
sono entrambe vere oppure entrambe false, com’è
descritto nella seguente tavola di verità:
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
Infatti, se si esamina la proposizione precedente, è evidente che questa è vera se la
temperatura è al di sotto di 8°C ed io esco con il cappotto ed anche se la temperatura non
è al di sotto di 8°C e non esco con il cappotto. È invece falsa se la temperatura è al di sotto
di 8°C e non esco con il cappotto ed anche se la temperatura non è al di sotto di 8°C, ma esco
con il cappotto lo stesso.
Esercizi:
1) Mostrare che le tavole di verità delle operazioni logiche «A e B» e «non (non A o non B)»
sono identiche.
2) Mostrare che le tavole di verità delle operazioni logiche «o A o B» e «(A o B) e non (A e
B)» sono identiche.
3) Mostrare che le tavole di verità delle operazioni logiche «(non A) o B» e «A implica B»
sono identiche.
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3.7 Funzioni proposizionali
Sia data la frase:
«se piove o tira vento, esco con il cappotto»:
si può notare che le tre proposizioni atomiche che la compongono sono:
«piove», «tira vento», «esco con il cappotto».
Se s’indicano rispettivamente con P la prima proposizione, con T la seconda e con C la terza,
la funzione proposizionale che rappresenta la frase data risulta essere:
I suoi valori di verità sono rappresentati nella tavola seguente:
P
T
C
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La frase proposta, cioè la proposizione molecolare, risulta quindi falsa solo in tre degli otto
casi che si possono presentare, e precisamente quando: o piove, o tira vento, o piove e
contemporaneamente tira vento ed io esco senza cappotto. Risulta vera in tutti gli altri casi,
compreso quello in cui esco con il cappotto anche se né piove né tira vento.
Sia ora data la frase:
«Maria arriva con il treno se e soltanto se ha la macchina rotta e c’è lo sciopero degli
aerei».
Le proposizioni atomiche che la compongono sono:
T: «Maria arriva con il treno»,
M: «Maria ha la macchina rotta»,
A: «c’è lo sciopero degli aerei».
La codifica della frase nel linguaggio della logica formale è:
e la corrispondente tavola di verità è:
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La logica
T
M
A
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
La frase proposta (proposizione molecolare) risulta dunque vera quando si verifica uno dei
due casi:
- la macchina è rotta, c’è lo sciopero degli aerei e Maria arriva con il treno;
- la macchina non è rotta, o non c’è sciopero degli aerei, o funzionano sia la macchina che
gli aerei, e Maria non arriva con il treno.
Vediamo ora la frase:
«Mangio la mela e non la pera e bevo un caffè oppure un amaro»
dove con oppure s’intende qui indicare un o inclusivo). Le proposizioni atomiche sono:
M: «mangio la mela»;
P: «mangio la pera»;
C: «bevo un caffè»;
A: «bevo un amaro».
Quest’espressione proposizionale nel linguaggio della logica formale s’indica con:
La tavola di verità conterrebbe ben 16 casi e si lascia come esercizio: l’espressione risulta
comunque vera quando mangio la mela, non mangio la pera e poi bevo un caffè, oppure un
amaro, oppure sia l’uno che l’altro.
Sia data una sequenza P di n proposizioni atomiche:
se si compongono mediante le operazioni elementari introdotte nel paragrafo precedente,
s’ottengono delle scritture dette espressioni proposizionali. Le espressioni proposizionali
costituiscono delle proposizioni molecolari i cui valori di verità dipendono da quelli delle
proposizioni
che sono considerate variabili indipendenti in P. Per questo
motivo, queste espressioni vengono chiamate anche funzioni proposizionali. Indicando con
E un’espressione proposizionale, funzione delle proposizioni di P, in simboli si può scrivere:
E=f(
)
e si legge «E è funzione di
».
Sono esempi di funzioni proposizionali:
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e (non
(
(
o
o
)e
);
;
) se e soltanto se (
e
).
I valori di verità di queste espressioni vengono determinati mediante le consuete tavole di
verità e si lasciano come esercizio.
3.8 Tautologie e contraddizioni
3.8.1 Le tautologie
Le seguenti espressioni:
«Il 6 è pari oppure il 6 non è pari»,
«Il 100 è primo oppure il 100 non è primo»,
sono entrambi del tipo
= P o (non P);
l’espressione
«Non è vero che 8+5 è uguale a 13 e nello stesso tempo che 8+5 non è uguale a 13»
è del tipo
= non(P e (non P)),
con P generica proposizione di P, ma sempre la stessa: la tavola di verità delle due
espressioni è:
P
V
F
F
V
V
V
V
V
Come si nota, le due espressioni godono di una particolare proprietà: sono sempre vere,
qualunque proposizione P si scelga. Le espressioni proposizionali del tipo
che risultano sempre vere, per qualunque valore di verità delle variabili
,
vengono denominate tautologie.
S’osservi che le due tautologie esaminate esprimono i due principi fondamentali della logica
bivalente: infatti
P o (non P)
esprime il principio del terzo escluso, e
non (P e (non P))
esprime il principio di non contraddizione.
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Con equiveridiche s’intendono due espressioni, funzioni delle medesime variabili
proposizionali, che assumono gli stessi valori di verità in corrispondenza degli stessi valori
di verità delle variabili indipendenti. La coimplicazione di due proposizioni equiveridiche
(vedi caso appena considerato) è sempre una tautologia.
Esercizi:
1) Si dimostri che le seguenti espressioni sono delle tautologie:
1) (A o A) implica A
2) A implica (A o B)
3) (A o B) implica (B o A)
4) (A implica B) implica ((A o C) implica (B o C)).
2) Si dimostri che è una tautologia
(A implica B) equivale a (non B implica non A)
3.8.2 Le contraddizioni
Osserviamo ora le seguenti espressioni:
«non è vero che 7 è un numero primo oppure 7 non è un numero primo», del tipo
;
«60 è divisibile per 12 e nel contempo 60 non è divisibile per 12», del tipo
.
Si tratta delle espressioni proposizionali:
= non (P o (non P))
e
= P e (non P),
con P generica proposizione dell’insieme P, le tavole dei valori di verità sono:
P
V
F
F
V
F
F
F
F
Dal momento che sono rispettivamente la negazione delle tautologie
, le due
espressioni risultano sempre false. Le espressioni che risultano sempre false, qualunque sia
il valore di verità delle proposizioni variabili di cui sono funzioni, vengono denominate
contraddizioni.
3.9 La deduzione logica
Esempi:
1) Siano date le due proposizioni
P: «un numero è divisibile per 6»,
Q: «un numero è divisibile per 3».
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La logica
Poichè, come è facile constatare, la proposizione
P Y Q: «se un numero è divisibile per 6 allora è divisibile per 3»
è vera, ogni qualvolta un numero è divisibile per 6 lo è certamente anche per 3.
2) Siano ancora date le due proposizioni P, Q dell’esempio precedente, per le quali è vera
l’implicazione P Y Q. Ebbene, ogni qualvolta un numero non è divisibile per 3 non lo è
neppure per 6. Dunque è vera l’implicazione non Q Y non P.
Il ragionamento logico, di tipo ipotetico deduttivo, caratteristico delle scienze matematiche,
poggia su un processo di deduzione, in base al quale, partendo da alcune premesse, le
ipotesi, si perviene ad una conclusione, la tesi. Tale tipo di ragionamento, condotto
applicando determinate regole, dette appunto regole di deduzione, o d’inferenza, costituisce
quella che viene chiamata una dimostrazione. Le due più semplici regole d’inferenza sono:
il modus ponens ed il modus tollens.
Per il modus ponens, date due proposizioni P, Q se è vera l’implicazione P Y Q e se è vera
P, allora è vera anche Q. In simboli s’usa scrivere:
PYQ
P
----------Q
che si può anche esprimere simbolicamente come ((P Y Q) e P) Y Q. La tavola di verità è la
seguente:
P
Q
PYQ
(P Y Q) e P
((P Y Q) e P) Y Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
Per il modus tollens, date due proposizioni P, Q, se è vera l’implicazione P Y Q e se è vera
non Q, cioè falsa Q, allora è vera anche non P, cioè è falsa la P. In simboli si scrive:
PYQ
non Q
----------non P
od anche ((P Y Q) e non Q) Y non P.
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La logica
P
Q
non P
non Q
PYQ
(P Y Q) e non Q
((P Y Q) e non Q) Y non P
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
Come si vede dalle tavole di verità, si tratta in entrambi i casi di tautologie, il che giustifica
il loro uso.
3.10 Metodi di dimostrazione
Come si è potuto osservare, non si deve confondere l’implicazione materiale con
l’implicazione o deduzione logica; quest’ultima, dall’ipotesi I di un teorema, conduce alla
dimostrazione della sua tesi T. Facendo uso dell’implicazione, si sintetizza così:
I (ipotesi) Y T (tesi).
Per l’implicazione materiale se
allora
, la verità dipende unicamente dai valori di
verità delle proposizioni che la compongono; si tratta di proposizioni tra loro autonome, nel
senso che possono riguardare argomenti che nulla hanno a che vedere gli uni con gli altri.
La deduzione logica, invece, è alla base delle dimostrazioni dei teoremi. Essa consiste in una
successione di ragionamenti che, a partire dall’ipotesi I (che nell’enunciazione d’un teorema
si suppone sempre che sia vera) conduce ad affermare che anche la tesi T è vera.
Naturalmente gli argomenti trattati in I e in T sono della stessa natura, cioè omogenei,
attinenti allo stesso argomento.
Per dimostrazione s’intende dunque quel procedimento in virtù del quale si verifica quali
conseguenze o deduzioni è lecito trarre da certe proposizioni assunte come premesse (ipotesi,
proposizioni originarie, o come si usa dire con la logica tradizionale, assiomi, postulati,
definizioni, principi, ecc...). Le dimostrazioni possono essere dirette od indirette. Tuttavia,
una dimostrazione non costituisce una prova di legittimità in un senso assoluto di una
qualsiasi proposizione, ma solo rispetto a criteri liberamente scelti per la costruzione d’un
qualsiasi sistema di regole logico-sintattiche, per l’uso di certi simboli matematici, o per la
possibilità di verificare effettivamente eventi che le ipotesi interpretative stesse prevedono.
I procedimenti, ossia le tecniche della dimostrazione, non sono pertanto codificabili una
volta per tutte, ma devono essere di volta in volta stabiliti in conformità con tali regole e con
i criteri impliciti nel sistema logico-concettuale, presupposto e fondamento della ricerca
logica o matematica in corso. La dimostrazione è quindi la certificazione del legame di
conseguenza logica tra assiomi e teorema, ed è l’obiettivo finale della ricerca matematica. Ad
essa si può arrivare in diversi modi: solo raramente la si elabora direttamente in un calcolo
formale, ma di solito si può arrivare con dei ragionamenti che assomigliano ad un calcolo
logico e che, per successivi approssimazioni e raffinamenti, conducono ad esso.
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La logica
Se la dimostrazione d’un teorema viene condotta così come detto, mediante una successione
di ragionamenti che partono dall’ipotesi I (vera) e conducono a concludere che è vera anche
la tesi T, si dice che la dimostrazione viene effettuata con il metodo diretto. Il procedimento
indiretto (o per assurdo), consiste nel supporre non vera la tesi (T falsa) e nel mostrare, con
una successione di ragionamenti, che in tal caso anche l’ipotesi non risulta vera (I falsa). La
conclusione immediata potrebbe anche essere che si è in contraddizione con una
proposizione precedente, accettata per vera o rigorosamente dimostrata tale. In ogni caso
si finisce con l’essere in contraddizione con l’ipotesi. Ora, non potendo essere la I sia vera
che falsa (principio di non contraddizione) e non potendosi ammettere non vera la I
(l’ipotesi di un teorema si suppone sempre vera), se ne deduce che non si può ammettere la
falsità della T: la T dovrà pertanto essere ritenuta vera. Aristotele accenna questo tipo di
dimostrazione nei Primi Analitici per dimostrare che la diagonale d’un quadrato di lato 1
è irrazionale.
Ipotesi: «l, d sono le misure del lato e della diagonale d’un quadrato».
Tesi: «d / l non è un numero razionale».
Dimostrazione per assurdo: Supponiamo che
sia un numero razionale e
supponiamo quindi vero che m ed n siano primi fra loro. Per il teorema di Pitagora ed
elevando al quadrato s’ottiene che:
. Dunque m è pari, poiché il quadrato di un
2
numero dispari è dispari. Pertanto m dev’esser divisibile per 4 e di conseguenza n
dev’essere pari. Ma questo è assurdo, perché se n ed m sono entrambi pari, allora non sono
primi fra loro.
Si noti che l’accenno ad’Aristotele è fatto per esemplificare il metodo di dimostrazione per
assurdo, nel quale vengono applicati, più o meno esplicitamente, due dei tre fondamentali
principi di logica già enunciati: il principio di non contraddizione e quello del terzo escluso.
Infatti, il primo vieta la contemporanea assunzione o dimostrazione d’una proprietà A e
della sua negazione ¬A; il secondo stabilisce la verità di una proposizione A quando s’è
assunta o dimostrata la falsità della sua negazione ¬A.
Non tutti i logici accettano la dimostrazione per assurdo, per il fatto che non ammettono la
deducibilità di tutte le proposizioni. Essi cioè non ammettono che, data una proposizione A,
si possa sempre effettivamente stabilire la verità di A o di ¬A.
Osserviamo un passaggio della dimostrazione precedente: in essa si stabilisce che se il
quadrato d’un numero è pari, dev’esser pari anche il numero stesso. Per dimostrarlo si
dichiara vero che il quadrato di un numero dispari è sempre dispari . Dal punto di vista
logico, questo passaggio corrisponde ad una tecnica dimostrativa che successivamente
diventò una regola d’inferenza stoica:
«Se dal primo deriva il secondo
e se il secondo non è vero,
allora si può dedurre che neppure il primo è vero».
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La logica
Infatti, basta sostituire al posto di primo e secondo rispettivamente «m è dispari» e il
quadrato di m è dispari per ottenere la dimostrazione del passaggio detto:
se m è dispari, il quadrato di m è dispari,
[ma] non [è vero che] il quadrato di m è dispari
allora non [è vero che] m è dispari.
Storicamente, sembra proprio che furono le analisi delle dimostrazioni matematiche a
mettere in evidenza le loro implicazioni logiche ed a favorire la nascita della logica formale.
Enriques e De Santillana (1953) rilevano a proposito del metodo di dimostrazione per
assurdo che con esso si esce dal controllo estrinseco dato dall’esperienza:
«pertanto il ragionare è costretto a sottoporre i passaggi del suo pensiero ad una
rigida disciplina; altrimento il discorso perde ogni valore dimostrativo, svanendo
come un castello di parole costruito sul nulla. E si noti la particolare difficoltà che
offre la scoperta della logica. Come chi respira normalmente non ha
consapevolezza che il respiro è essenziale per vivere, così vi sono verità e leggi del
pensiero tanto ovvie che è difficile scoprirle, non perché su di esse cada dubbio, ma
all’opposto perché sembrano troppo futili, per la loro evidenza».
Ad esempio, ciò accade per il principio di non contraddizione, che risale «all’invettiva di
Parmenide contro coloro per cui qualcosa può essere ad un tempo lo stesso e non lo stesso;
per rilevarne il valore occorreva dunque che il pensiero fosse indotto a fingere l’esistenza
di alcunché dotato di proprietà incompatibili tra loro».
I due schemi di ragionamento della dimostrazione con il metodo diretto e con il metodo
indiretto s’equivalgono.
Esempio
Si dimostri che
«se
è dispari allora n è dispari»
con il metodo diretto e con quello indiretto.
L’asserzione, scomposta in ipotesi e tesi si presenta così:
I: «
è dispari»,
T: «n è dispari».
Dimostrazione diretta:
Se
è dispari, nella sua scomposizione in fattori primi non figura 2, ma solo numeri
dispari. Essi inoltre figurano ad una potenza pari. Pertanto la scomposizione di n in fattori
primi è fatta di soli numeri dispari con esponente la metà di quello nella scomposizione di
. Dunque n è dispari.
Dimostrazione indiretta:
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La logica
Se fosse vera la negazione della tesi: non T: «n è pari», allora esisterebbe un numero
naturale q per il quale risulterebbe n = 2 @ q. Ne verrebbe di conseguenza che:
il che porterebbe a concludere che
è pari, in contrasto con l’ipotesi secondo la quale è
dispari. La negazione della tesi porta quindi ad una contraddizione. La tesi non può
pertanto essere negata: la tesi è vera.
3.11 La doppia deduzione logica
Come non si deve confondere l’implicazione materiale con la deduzione logica, in modo
analogo non si deve confondere la coimplicazione materiale con la doppia deduzione logica.
La doppia deduzione logica consiste nella validità d’un teorema:
I (ipotesi) Y T (tesi)
e contemporaneamente nella validità del teorema inverso:
T (ipotesi) Y I (tesi)
che s’ottiene dal precedente scambiando l’ipotesi con la tesi. Le due proposizioni I e T si
dicono in tal caso logicamente equivalenti. Se I e T sono logicamente equivalenti i due
teoremi sopra scritti si possono unificare in un unico teorema, che si enuncia così:
«la T è vera se e soltanto se è vera la I»;
oppure:
«condizione necessaria e sufficiente affinché la T sia vera è che sia vera la I ».
La condizione sufficiente è espressa da I Y T; la condizione necessaria è espressa da T Y I.
L’equivalenza logica tra le due asserzioni I e T è indicata simbolicamente con I ] T. Non
tutti i teoremi ammettono il teorema inverso; la sussistenza del teorema inverso va
dimostrata, così come la sussistenza del teorema diretto. I teoremi esaminati negli esempi
riportati ammettono l’inverso:
«se n è multiplo di 9 allora n è multiplo di 3»,
«se n è dispari allora è dispari ».
Non così il teorema che dice che se di due numeri uno è divisibile per 3 ed uno è divisibile
per 2, allora il loro prodotto è divisibile per 6 (dimostrare). L’inverso è falso; infatti, se il
prodotto di due numeri è divisibile per 6 non è detto che uno dei due fattori sia divisibile
per 2 e l’altro sia divisibile per 3 (portare un esempio).
3.12 Gli enunciati associati ad un teorema
Il teorema, come si è detto, è un enunciato che si presenta nella forma:
«se I allora T»
dove I e T sono due proposizioni, denominate rispettivamente ipotesi e tesi.
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(a)
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La logica
La dimostrazione d’un teorema è un ragionamento deduttivo in base al quale, a partire dalla
verità dell’ipotesi, si giunge a concludere che è vera anche la tesi.
All’enunciato d’un teorema se ne possono associare altri tre:
- l’enunciato inverso:
«se T allora I»
(b)
del quale non si può dire in generale se sia vero o falso, basandosi esclusivamente su (a);
- l’enunciato contrario:
«
»
(c)
del quale non si può dire in generale se sia vero o falso, basandosi esclusivamente su (a);
- l’enunciato controinverso (o contronominale):
«
»
(d)
che è una proposizione sicuramente vera se è vera la (a), e viceversa.
Analogamente, s’osservi che, se è vera la proposizione (b) allora è vera anche la (c), e
viceversa. Se tanto (a) che (b) sono vere, allora sono vere tutte e quattro e T ] I.
Esempi
1) Sia n numero naturale e sia l’enunciato:
«se n è minore di 100 allora n è minore di 200»
che esprime un teorema facilmente dimostrabile.
- il suo inverso è:
«se n è minore di 200 allora n è minore di 100»
che esprime una proposizione non vera (150, ad esempio, è minore di 200 ma non di 100);
- il suo contrario è:
«se n non è minore di 100 allora n non è minore di 200»
che esprime anch’essa una proposizione non vera (120, ad esempio, non è minore di 100 ma
è invece minore di 200);
- il suo controinverso è:
«se n non è minore di 200 allora n non è minore di 100»
che esprime una proposizione sempre vera, se, come in questo caso, è vera la proposizione
inizialmente data.
2) Sia dato il seguente enunciato relativo ad un numero naturale n:
«se n è pari allora
è multiplo di 4 »
Esso è vero e costituisce pertanto un teorema.
Dimostrazione:
Se n è pari si può scrivere n = 2m (con m numero naturale). Risulta allora
.
Anche l’enunciato inverso:
«se
è multiplo di 4 allora n è pari»
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La logica
questa volta è vero. Ne consegue che, oltre ad essere vero l’enunciato controinverso:
«se
non è divisibile per 4 allora n non è pari»
è vero anche l’enunciato contrario:
«se n non è pari allora
non è multiplo di 4».
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Formalizzazione del processo logico
4. Formalizzazione del processo logico
4.1 Introduzione
In genere, nell'esposizione della matematica si suppone che il processo logico deduttivo sia
conosciuto alla perfezione dall'ascoltatore, considerandolo una parte così rilevante del
pensiero stesso, da ritenersi non solo alla portata di tutti, ma anche come un modo di
ragionare assolutamente ovvio. Questo è assolutamente falso, giacché in altre discipline le
regole del ragionamento sono altre: si pensi alla psicoanalisi che studia il linguaggio
dell'inconscio, la cui logica è completamente diversa. Cerchiamo di dare dunque delle
indicazioni sul metodo logico-deduttivo.
Quanto esposto nel capitolo precedente circa la logica è sufficientemente preciso, ma non
consente d’andare molto al di là del calcolo della verità e falsità di proposizioni via via più
complicate a partire da proposizioni date. Per poter far uso di regole di ragionamento più
consistenti e precise, occorre formalizzare le regole del ragionamento, in modo da renderle
esplicite. In questo modo, nuove tecniche possono esser introdotte, che superano il semplice
calcolo logico, descritto precedentemente, ciò che rende più agevole il ragionamento. Ma non
solo. Si può dimostrare che la potenza di queste nuove regole è maggiore del calcolo logico
delle tavole di verità, sicché è possibile avere dei risultati che altrimenti non potrebbero
esser ottenuti.
Il problema del ragionamento consiste soprattutto nel modo nel quale dalle verità d’alcune
frasi si possono dedurre le verità di frasi ottenute dalle precedenti attraverso l’uso di
connettivi logici. L’idea della formalizzazione consiste nel chiarire che il trasferimento della
verità avviene sulla base della forma che le frasi assumono, indipendentemente dal loro
contenuto semantico. Infatti, come s’è visto negli esempi del capitolo precedente, il contenuto
semantico influisce sulla verità delle frasi atomiche, ma non influisce sulla verità delle frasi
molecolari, perché la loro verità dipende da come sono usati i connettivi logici per
concatenare le frasi atomiche.
Come s’è detto, le regole formali è difficile poterle applicare al linguaggio naturale, per via
delle tante ambiguità delle espressioni che si usano correntemente. Nulla però vieta
d’imporsi di ragionare in un linguaggio, derivato da quello naturale, nel quale tuttavia si
siano sciolte tutte le ambiguità, i doppi sensi, le contraddizioni, ecc. Si tratta d’un linguaggio
artificiale che ha il vantaggio di poter garantire la correttezza delle frasi che si enunciano
e di poter trasferire con sicurezza la verità da frasi atomiche a frasi molecolari e ad altre
frasi atomiche soltanto in base a regole formali, cioè a come i connettivi logici sono utilizzati.
Quello di cui si occupa la logica è di studiare regole, prima sconosciute o non riconosciute
nei dettagli, che venivano usate solo euristicamente e non erano oggetto di studio dettagliato
(Casari, 1966, Cellucci, 1978). Queste regole servono a stabilire un metodo comune di
ragionamento. Per chiarire meglio questo concetto, s’immagini che ad ogni segno, finora
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Formalizzazione del processo logico
indicato con una frase, corrisponda un simbolo, e che di detto simbolo non si conosca il
significato a parole. Analoga situazione risulta quando si spiega l’addizione ai bambini,
dicendo loro che «sommare 2 + 2 vuol dire contare fino a due e poi contare ancora due
unità dopo». Si insegna, allora, la seguente regola: «il segno + messo tra due numeri indica
che bisogna contare di seguito al primo numero tutte le unità del secondo». Conoscere il
significato intuitivo d'un segno logico è già sufficiente per poterlo usare, ma andare più a
fondo permette d'assicurarsi circa la correttezza delle concatenazioni di proposizioni che si
stanno facendo.
Si tratta allora di costruire una teoria logica, ovvero un insieme di enunciati, che vertono
su un campo di oggetti qualsiasi, ordinati sistematicamente in modo da mostrarne i
concatenamenti. Per una tale teoria logica sono necessari:
1. un insieme di segni semplici atti a denotare gli oggetti della teoria. Tali segni possono
essere:
a) costanti, ossia gli oggetti di cui e con cui si parla: termini e proposizioni atomiche
concernenti tali termini: s’indicano di norma con lettere, maiuscole o minuscole; nel
seguito useremo lettere maiuscole per indicare le proposizioni e lettere minuscole per
indicare i termini;
b) variabili, ossia oggetti indeterminati: s’indicheranno in genere con le lettere x, y, z
minuscole;
c) segni d’interpunzione, che servono per staccare od isolare le proposizioni, come le
parentesi (), che vengono usate per racchiudere una proposizione da considerarsi
come un’unità nel seguito;
d) segni logici, ossia i connettivi logici che s’intendono utilizzare all’interno della teoria;
nel seguito se ne utilizzeranno quattro: w, ¬, J, ~;
e) simboli logici, ossia simboli che stanno ad indicare un particolare costrutto di segni
logici e proposizioni; nel seguito se ne utilizzeranno sei: v, x, Y, ], ›, œ;
2. un insieme di regole per la formazione della teoria, regole che indicano come combinare
i segni introdotti, in modo da dar luogo alle proposizioni che si posson considerare come
facenti parte della teoria: basti qui dire che le regole consistono nello scrivere le
proposizioni in modo grammaticalmente e sintatticamente corretto e consistente col
significato che esse hanno;
3. un insieme di schemi d’assioma che descrivono come si trasferisce il contenuto di verità
da proposizione a proposizione attraverso l’uso di segni e simboli logici;
4. una regola d’inferenza logica o deduzione, che determini come dalla verità di
proposizioni consegua la verità d’un’altra.
Una teoria logica formale è, se si vuole, un modo essenziale di ragionare, se s’ammette che
il formale è una «lisciatura o ripulitura della realtà in modo da mettere in evidenza solo lo
scheletro generale ed essenziale» (M. Trinchero, 1970; Lolli, 1992). In effetti, una volta
fissato l’universo di proposizioni e termini che s’intende considerare ed i segni logici che
s’introducono collo scopo di concatenare tali proposizioni e termini, le regole servono a
spiegare come si opera con i segni logici e gli schemi d’assioma servono ad indicare come la
verità si trasferisce da proposizione a proposizione, una volta che i segni logici sono stati
usati a dovere. Si può quindi dire che una teoria logica non è altro che l’insieme delle
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Formalizzazione del processo logico
istruzioni per l’uso dei segni logici, la cui funzione è identica alle regole del gioco, da
condividere fra i vari giocatori all’inizio e durante lo svolgimento d’una partita a scacchi,
a tresette, a bridge, ecc. Naturalmente, come s’è detto, in logica non ci si domanda se una
proposizione atomica è vera o falsa, giacché il loro valore di verità dipende da fatti esterni
al ragionamento stesso.
Gli schemi d’assiomi sono come i moduli di conto corrente postale: questi sono vuoti fin
tanto che non si vanno a riempire con parole e numeri negli appositi spazi. A quel punto,
dopo una fila più o meno lunga, magari con tanto di timbro, diventano la ricevuta del conto
corrente postale che attesta il pagamento di qualcosa. Essi assumono cioè una realtà
d’oggetto che prima avevano solo ipoteticamente. Uno schema d'assioma è come un modulo:
si tratta in genere una successione di segni e di spazi, da riempire con termini e/o
proposizioni, che diventa una proposizione vera quando si sono messi i termini e le
proposizioni negli spazi indicati. Analogamente al conto corrente postale, che una volta
riempito debitamente si può pagare, lo schema d'assioma opportunamente riempito diventa
una proposizione comunque vera, indipendentemente dai termini e le proposizioni che ci
si sono messe.
Esempio:
A o A Y A è uno schema d’assioma.
4.2 Teorie logiche
«“Perhaps” is not enough. We must decide, and we
must do it according to the principles of deductive logic.
Guesswork has no place in our thinking.
Let us stick to the facts of the matter,
and follow them wherever they lead.»2
Supponiamo d’aver una maniera per stabilire che certi oggetti possono esser considerati
termini primitivi della teoria logica che vogliamo costruire e che certe frasi che li
concernono possono esser considerate delle proposizioni primitive od atomiche della teoria
logica, cioè proposizioni il più semplici possibili. Inoltre supponiamo che ad ognuna di esse
può esser associato uno ed un solo valore di verità, scelto fra vero (V) e falso (F).
Una teoria logica è dotata di segni logici; ad essi s’associano gli schemi d’assioma, che sono
le loro regole d’uso: la loro applicazione consente d’ottenere proposizioni vere concatenando
con i segni logici altre proposizioni. Esse devono esser considerate sempre vere, a
prescindere dalla verità o falsità delle proposizioni concatenate. Il loro uso permette di
dedurre la verità di proposizioni derivate da quelle atomiche.
2
«“Forse” non basta. Noi dobbiamo prendere una decisione, e dobbiamo farlo secondo i principi della logica
deduttiva. Non c’è posto per le congetture, atteniamoci ai fatti, e seguiamoli ovunque ci conducano.» (Mr. E.
Harranby della Metropolitan Police, 1855).
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Formalizzazione del processo logico
I segni d’una teoria logica sono almeno due: w e ¬.
w: Il segno w s’usa fra due proposizioni R ed S, dando luogo alla proposizione R w S, che
s’usa leggere «R o S».
¬: il segno ¬ s’antepone ad una proposizione R, dando luogo alla proposizione «¬R», che
s’usa leggere «non R».
Ad essi vanno aggiunti quattro simboli: v, x, Y, ]:
v: il simbolo s’usa fra due proposizioni R ed S, dando luogo alla proposizione R v S, che
s’usa leggere «R e S» e corrisponde al costrutto ¬((¬R) w (¬S)), ovvero «non (nonR
o nonS)».
x: il simbolo s’usa fra due proposizioni R ed S, dando luogo alla proposizione R x S, che
s’usa leggere «o R o S» e corrisponde al costrutto (R v ¬S) w (¬R v S)), ovvero «(R e
non S) o (non R e S)».
Y: il simbolo s’usa fra due proposizioni R ed S, dando luogo alla proposizione R Y S, che
s’usa leggere «R implica S» e corrisponde al costrutto (¬R w S)), ovvero «(nonR o S)».
]: il simbolo s’usa fra due proposizioni R ed S, dando luogo alla proposizione R ] S, che
s’usa leggere «R equivalente a S» e corrisponde al costrutto (R Y S) v (S Y R), ovvero
«(R implica S) e (S implica R).
Si noti che ai segni ed ai simboli logici si fanno corrispondere dei connettivi, che ne
chiariscono il senso nel linguaggio corrente. Se però si resta fedeli al linguaggio artificiale
che s’intende costruire, questo senso è diverso dai segni almeno quanto è diverso da un
triangolo ideale un triangolo che si può scrivere a mano libera col gesso sulla lavagna.
Prima di enunciare gli schemi d’assioma, occorre precisare come in una teoria logica si può
trasferire la verità da una proposizione ad un’altra. In effetti, un teorema d’una teoria
logica, cioè una proposizione vera nella teoria, è dimostrato esserlo a seguito
dall’applicazione ripetuta delle due regole seguenti:
R1): Ogni proposizione ottenuta dall’applicazione d’uno schema d’assioma è vera.
R2): Siano date le proposizioni R e S, se la proposizione (R Y S) è vera, e se la
proposizione R è vera, allora la proposizione S è vera.
Si riconosce nella regola R2) il modus ponens. Si vedrà fra poco che gli schemi d’assioma
saranno tutti proposizioni del tipo (R Y S) e pertanto, applicati ad una proposizione R già
dimostrata vera, essendo veri per R1), permetteranno per R2) di dimostrare la verità di S.
Tuttavia, occorre ribadire che la verità delle proposizioni atomiche va appurata a priori,
su basi empiriche.
Si chiama teoria logica ogni teoria in cui compaiono i seguenti quattro schemi d'assioma:
AL1) Se A è una proposizione, la proposizione «(A w A) Y A» è vera.
Applicando la regola R2), questo significa che se la proposizione (A w A) è vera, sarà vera
A.
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Formalizzazione del processo logico
AL2) Se A e B sono proposizioni, la proposizione «A Y (A w B)» è vera.
Applicando la regola R2), questo significa che se A è vera, sarà vera anche (A w B).
AL3) Se A e B sono proposizioni, la proposizione «(A w B) Y (B w A)» è vera.
Applicando R2), questo significa una specie di proprietà commutativa del segno w. Inoltre,
combinando AL2) ed AL3), si vede che se B è vera lo è anche (A o B); quindi risulta che
(A o B) è vera se almeno una delle due proposizioni A, B è vera.
AL4) Se A, B, C, sono proposizioni, la proposizione «(A Y B) Y ((C w A) Y (C w B))» è
vera.
Applicando la regola R2), questo significa che se A implica B, allora è vero che la
proposizione (A o C) implica la proposizione (B o C).
Si noti che, dal momento che il simbolo Y abbrevia l’uso di w e ¬, gli schemi d’assioma sono
effettivamente regole d’impiego meccanico dei segni corrispondenti ad o, non ed
all’implicazione. Se ci si riflette queste regole corrispondono effettivamente a delle
proposizioni che nel linguaggio corrente risultano sempre vere, anche se in genere sono
molto poco interessanti.
Questa è una situazione del tutto generale: si vedrà in seguito che ogni qualvolta verrà
introdotto un segno logico, verranno introdotti anche degli schemi che ne illustrano l’uso.
La stessa cosa avverrà poi in matematica, quando s’introdurranno dei segni matematici.
Una proposizione si dice falsa se la sua negazione è vera in T. Una teoria si dice
contraddittoria se in essa si riesce a trovare una proposizione allo stesso tempo vera e falsa.
Anche questo dipende evidentemente dallo stato della teoria.
Teorema:
Se T è contraddittoria, ogni proposizione di T è vera in T.
Dimostrazione. Siano infatti A e non A vere entrambe e sia B una proposizione qualunque.
Per AL2) si ha che (non A) Y ((non A) o B) è un teorema, dunque per R2) non A o B è un
teorema, cioè A Y B; ancora per R2) segue che B è un teorema.
D’ora in avanti si indicherà con T una teoria logica.
Si enunceranno ora dei criteri deduttivi, alcuni con un breve cenno di come s’ottengano
dagli schemi d’assiomi introdotti e dai criteri precedenti. Essi sono detti anche tautologie,
perché come gli assiomi sono da considerare sempre veri.
C1)
Siano A, B, C delle proposizioni di T . Se A Y B e B Y C sono vere allora A Y C è
vera.
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Formalizzazione del processo logico
Dimostrazione: Si applichi AL4), sostituendo A, B e C con B, C e (non A) rispettivamente;
si vede che la proposizione
(B Y C) Y ((B o (non A)) Y (C o (non A)))
è vera; vista la definizione del segno Y, questo significa che la proposizione
(B Y C) Y ((A Y B) Y (A Y C))
è vera; per ipotesi la proposizione (B Y C) è vera; per la regola R2), la proposizione
(A Y B) Y (A Y C)
è vera; siccome la proposizione (A Y B) è vera per ipotesi, si vede applicando di nuovo la
R2) che (A Y C) è vera.
C2)
Se A è una proposizione, A Y A è vera.
Dimostrazione: Le proposizioni
A Y (A o A) ed (A o A) Y A
sono vere per AL1) e AL2); per concludere basta applicare C1).
C3) Se A è una proposizione ,«A o non A» è vera (C2, AL3, R2).
Questo criterio indica che una proposizione dev’essere vera o falsa, tertium non datur,
ovvero che la logica ha due valori di verità soltanto.
C4)
C5)
C6)
Se A è una proposizione, A Y (non non A) è vera. (C3)
Se A, B sono proposizioni, (A Y B) Y ((non B) Y (non A)) è vera. (C4, S4, R2, S3,
C1).
(deduzione) Siano A una proposizione di T e T ‘ la teoria ottenuta aggiungendo A
agli assiomi di T. Se B è vera in T ‘, A Y B è vera in T.
Questo criterio s’usa in genere al seguente modo: si dice «supponiamo che A sia vera» e si
dimostra B. Allora, se A si verifica, per R2) si verifica B.
C7)
(assurdo) Siano A una proposizione di T e T ‘ la teoria ottenuta aggiungendo non
A agli assiomi di T. Se T ' è contraddittoria, A è un teorema di T.
Infatti A è vera in T ', perché T ' è contraddittoria ed in essa qualunque proposizione è vera.
Quindi, per C6) non A Y A è vera in T. Resta da dimostrare che A stessa è vera. Per AL4),
sostituendo ad A, B e C le proposizioni (non A), A e A rispettivamente, la proposizione
((non A) Y A) Y )((non A) o A) Y (A o A))
è vera. Siccome s’è visto che ((non A) Y A) è vera, per R2) è vera anche
((non A) o A)Y (A o A)
poiché non A è supposta vera, per AL3) è vera ((non A) o A), dunque (A o A) è vera, e per
AL1) è vera A.
Questo criterio s’usa al modo seguente: si dice «supponiamo A falsa». In base a questo, si
cerca di stabilire due teoremi del tipo B e non B. Si conclude allora dicendo «ma questo è
assurdo, dunque A è vera».
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C8)
Formalizzazione del processo logico
Se A è una proposizione (non non A) Y A è vera.
Questo criterio si dimostra per assurdo, come pure il seguente:
C9)
Se A e B sono proposizioni ((non B) Y (non A)) Y (A Y B) è vera.
C10) (disgiunzione dei casi). Siano A, B, C proposizioni. Se “A o B”, A Y C, B Y C, sono
vere, allora C è vera.
Da B implica C segue, per AL4), (B o A) implica (C o A); analogamente da A implica C, segue
che (A o C) implica (C o C); siccome (C o A) implica (A o C) per AL3), si vede che (B o A)
implica (C o C); ma (A o B) è vera e implica che (B o A) è vera; da ciò segue che (C o C) è
vera, e quindi per AL1) C è vera.
Nella pratica questo metodo s’utilizza prendendo come B la negazione di A; per mostrare
che C è vera, è sufficiente far vedere che A implica C e che (non A) implica C.
C11) Se A e B sono vere, «A e B» è vera.
Dimostrazione: A e B sta per non ((non A) o (non B)). Supponiamo per assurdo che A e B
sia falsa e dunque vera (non A) o (non B). Questa si scrive anche A implica non B e per R2)
siccome A è vera è vera non B, assurdo perché si è supposta vera B.
C12)
Se A e B sono proposizioni, (A e B) Y A, (A e B) Y B sono vere.
C13)
Se A è una proposizione, A ] (non non A) è vera.
C14) Se A, B sono proposizioni, (A Y B) ] ((non B) Y (non A)) è vera.
Questi due criteri derivano da C4) e C8) e da C5) e C9) rispettivamente.
Conseguenza di C14) è che, per stabilire che A implica B, è necessario e sufficiente provare
che la negazione di B implica quella di A. Al contrario, l’enunciato
(A Y B) Y ((non A) Y (non B))
è falso, ed è l’origine di numerosi errori di ragionamenti: dal momento che tutti gli uomini
sono mortali, questo enunciato potrebbe servire a provare che tutti i cani sono immortali.
Con l'espressione «perché R occorre e basta S» si intende dire che R ] S, che cioè R ed S
sono equivalenti, dunque sostituibili. L'equivalenza s’usa indicare anche con le espressioni
«condizione necessaria e sufficiente perché R è S» o con «R se e solo se S». Allora la
relazione S Y R corrisponde alla condizione necessaria, l'occorre, e ad R se S, mentre invece
S Y R corrisponde alla condizione sufficiente, al basta, ed al solo se.
Se si assumono gli schemi d’assioma AL1) ... AL4), e di conseguenza tutte le tautologie che
ne discendono, è possibile ricostruire, anzi dimostrare le tavole di verità già discusse
precedentemente.
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Formalizzazione del processo logico
Precisamente, si assumono come dati i segni logici w (o) e ¬ (non), i simboli Y (implica, dove
A Y B ha il significato di non A o B, ¬A wB), v (e, dove A v B ha il significato di non (non
A o non B), ¬(¬ A w¬ B)), x (o...o..., col significato di (R e non S) o (non R e S)) e ]
(equivale a, dove A ] B ha il significato di (A Y B) v (B Y A)), il sillogismo, i quattro schemi
d’assioma AL1) ... AL4) e tutte le tautologie che ne conseguono.
Occorre ricordare innanzitutto che una proposizione si dice falsa quando la sua negazione
è vera. Pertanto, la prima tavola di verità, quella relativa al segno ¬ (non) è la seguente,
derivando dalla definizione di proposizione falsa e dalla tautologia non non A implica A:
P
¬P
V
F
F
V
La tavola di verità relativa al segno w (o) deriva da AL2) e da AL3), nei tre casi in cui almeno
una fra A e B risulti vera. Se invece sono entrambe false, sono quindi vere non A e non B,
si supponga per assurdo che sia vera A o B. Per AL4) allora, da A Y non non A vera segue
vera (A o B) Y (non non A o B), dunque per R2) segue vera (non non A o B), che si scrive
anche (non A Y B) per la definizione di implica. Poiché non A è vera per ipotesi, ancora per
R2) segue vera B, assurdo perché per ipotesi B era falsa. Dunque A o B è falsa.
Conseguentemente, la tavola di verità relativa al segno w (o) è la seguente:
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
La tavola di verità dell’implicazione deriva da questa, considerando che A Y B sta per non
A o B. Pertanto, A Y B è falsa quando sono false sia non A che B, dunque quando A è vera
e B è falsa.
La tavola di verità di A e B discende direttamente dalle due tautologie C12) e C13). Dunque
A e B è vera soltanto quando sono vere entrambe A e B, altrimenti è falsa.
Esercizio:
Costruire sulla base delle tautologie le tavola di verità di A x B, o A o B , e di ], equivale a.
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Formalizzazione del processo logico
4.3 Teorie quantificate
Nella teoria studiata finora non si sono considerati che i segni logici w, ¬ ed i simboli da essi
derivati. Si è constatato che la teoria logica costruita a partire da questi con i quattro schemi
d’assioma AL1).... AL4) permette di costruire le tavole di verità da cui s’era partiti. Pertanto
essa può sostituire completamente i ragionamenti basati sul calcolo della verità delle
proposizioni, come s’è visto che si può fare con le tabelle.
Ora si tratta di studiare cosa avviene se oltre alle proposizioni consideriamo anche gli oggetti
delle proposizioni stesse.
Si consideri la proposizione M: «x miagola». In essa si trova la variabile x che non è
determinata in alcun modo, Pertanto, prima di attribuire ad M un valore di verità, occorre
stabilire che cosa mettere al posto della x, ovvero che valore attribuire ad x. Infatti se al
posto di x si mette un gatto, ed esso miagola, si potrà dire che «il gatto miagola» è vera;
viceversa se al posto di x si mette un cane, esso è certo che non miagolerà (almeno al difuori
d’un film...) e quindi si potrà dire con certezza che «il cane miagola» è falsa.
Quando in una proposizione compare una variabile x non specificata o, come si dice, libera,
alla quale cioè non è attribuito alcun valore. conviene indicare la proposizione come R(x).
Sia allora R(x) è una proposizione in cui compare la variabile x libera e t un termine
costante, con (t|x)R s’intende la proposizione R(t) che risulta dalla R(x) sostituendo in essa
ad ogni occorrenza la x con il termine t. Se (t*x)R è una proposizione vera, s’usa anche dire
che t verifica la R.
Esempio:
La frase precedente M(x): «x miagola» diventa rispettivamente M(gatto) = (gatto |x) M =
«il gatto miagola», e M(cane) = (cane |x) M = «il cane miagola». Da quanto detto, non può
darsi un valore di verità ad M(x), mentre si può dire che M(gatto) è vera quando il gatto sta
miagolando, ed M(cane) è certamente falsa, a meno che si tratti d’un cane che conosce le
lingue...
Questa operazione si chiama sostituzione ed è tale che, se t è un termine di T, A una
proposizione od un termine, x una lettera, allora (t*x)A è una relazione di T (o un termine).
Intuitivamente, ciò significa che se con A si enuncia una proprietà di x, (t*x)A vuol dire
affermare che t possiede la proprietà A; se invece A è un termine dipendente dall’oggetto x,
(t*x)A è l’oggetto ottenuto prendendo come oggetto x proprio t.
Il criterio seguente fa uso di questo tipo di costrutto:
C15) (costante ausiliaria). Siano x una lettera, A, B proposizioni di T tali che x non è
una costante e non figura in B, e si conosce un termine t tale che (t|x)A sia vera in
T. Sia allora T ’ la teoria ottenuta aggiungendo A agli assiomi di T. Se B è vera in
T ', B è vera inT.
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Formalizzazione del processo logico
Questo criterio si usa al modo seguente: si dice «Sia x un oggetto tale che A» ammesso che
vi sia un teorema di legittimazione (t|x)A che garantisce l’esistenza di un tale oggetto. Si
dimostra poi B, che può non concernere per nulla la x.
Introduciamo ora i due segni J, ~ ed illustriamone con un esempio l’uso, mirante a costruire,
a partire da una proposizione R(x) un termine JxR che non contiene la x.
Sia M(x):
si scrive J davanti ad M
«x miagola».
J x miagola
poi si lega J con ogni x
e si sostituisce ogni x con G
S’indicherà questo termine con
JxM
JxM è un termine che non contiene la x ed al quale si deve attribuire un significato. In effetti,
si darà a JxM il significato di termine tipico per il quale M(JxM) è vera: in questo caso, il
termine tipico che miagola può esser reso in linguaggio corrente come «colui che miagola»,
ovvero il gatto, inteso come concetto astratto indicante l’animale dotato della capacità di
miagolare. In conclusione, partendo da M(x): «x miagola», la proposizione (JxM |x)M =
M(JxM) assume il senso di «colui che miagola miagola», che naturalmente è vera se il gatto
che abbiamo davanti sta miagolando, falsa altrimenti.
Quando si ha a che fare con una proposizione del tipo R(x), non è possibile stabilirne la
verità, se non valutandola su un termine t. Occorre dunque trovare un tale termine, per il
quale R(t) è vera, nel nostro esempio trovare un gatto (Fuffi) e farlo miagolare. Solo dopo
aver stabilito che Fuffi miagola, possiamo dire che M(Fuffi) è vera. In questo caso è possibile
anche dir di più, perché dal momento che Fuffi miagola, è possibile dire che «esiste un
gatto» nel senso di «esiste colui che miagola», visto che Fuffi fa parte di coloro che
miagolano, e quindi che è vera la proposizione (JxM |x)M: «colui che miagola miagola».
In generale, partendo da una proposizione R(x) che sia vera per qualche termine, si darà
allora a JxR il significato di termine tipico tale che (JxR|x)R, cioè R(JxR), è vera, altrimenti
di esso non potrà dirsi niente. D’altra parte, non è possibile dimostrare che R(x) e (JxR|x)R
sono vere con il semplice calcolo proposizionale, perché la verità di R dipende dal termine
che si sostituisce ad x. In questo senso, il ragionamento logico supera in potenza il calcolo
proposizionale.
In genere, l’espressione (JxR|x)R non s’utilizza, né tutta la costruzione che s’è vista poc’anzi.
Per (JxR|x)R s’usa scrivere (› x)R, che si legge «esiste un x tale che R» ed il simbolo ›
prende il nome di quantificatore esistenziale. Con questo termine s’intende dire che alla
variabile è stata attribuita un’indicazione di quantità di termini che, sostituiti ad essa,
rendono vera la proposizione: in questo caso l’esistenza (almeno d’un termine).
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Formalizzazione del processo logico
Dal quantificatore esistenziale se ne può costruire un’altro: il quantificatore universale œ.
Si pensi alla negazione della proposizione (› x)R: non(› x)R. Essa significa che non esiste
nessun termine per cui R è vera, dunque la R è falsa per ogni termine possibile. Questo lo
si indica con (œ x)nonR, cioè non(› x)R e dunque con (œ x)R s’intende che la R è vera per
ogni termine possibile, cioè che non esiste nessun termine per il quale la R non sia vera. (œ
x)R s’identifica dunque con non ((› x) (non R)).
Una teoria logica si dice quantificata se contiene i quattro segni introdotti e, oltre agli
schemi d'assioma AL1)...AL4) vale il seguente schema:
AL5) Se R è una proposizione, x una lettera, t un termine, allora la proposizione
“(t | x)R Y (› x)R” è vera.
Lo schema AL5) dice che se c’è un oggetto per cui vale la proposizione R, allora la
proposizione (› x) R è vera. Nella pratica, si fa lo stesso: il miglior modo di provare esistono
dei banchieri onesti è di presentarne uno esplicitamente.
Si consideri il ragionamento:
se Socrate è un uomo, Socrate è mortale
Socrate è un uomo
----------------------------------------------------------Socrate è mortale
se si indicano le ultime due proposizioni rispettivamente con P e Q, in virtù del fatto che
((P Y Q) v P) Y Q
è una tautologia, si deduce che ((P Y Q) v P) implica logicamente Q.
Si consideri ora ragionamento seguente:
R: ogni uomo è mortale
P: Socrate è un uomo
----------------------------------------Q: Socrate è mortale
nella logica comune, la sequenza indicata è un’argomentazione valida. In questo caso però,
diversamente dal primo esempio, la validità dell’argomentazione non dipende da una
relazione tra la premessa P v R e la conclusione Q, ma piuttosto dalla particolare struttura
della proposizione R. Si osservi, che da un punto di vasti grammaticale, una proposizione
è costituita da un soggetto e un predicato:
ogni uomo è mortale
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la parte in corsivo è il soggetto e la parte restante è il predicato. Se A(x) sta per x è mortale
introducendo il quantificatore universale, la R diventa
(œ x)A(x)
Si ha dunque un enunciato di natura particolare: vi è un predicato A(x), ove x è una
variabile, e il quantificatore universale œ, che satura, o lega, la variabile x: in tal modo la
scrittura œ x (A(x)) diventa una proposizione.
Analogo discorso se si prende in esame la proposizione
esiste un mammifero acquatico;
indicato con B(x) il predicato x è un mammifero acquatico, introducendo il quantificatore
esistenziale› per legare la x, la precedente proposizione può scriversi:
(› x)B(x).
Esempio: Tradurre in simboli la proposizione (falsa):
esiste un intero maggiore di ogni numero reale.
Posto I(x): x è intero, R(y): y è un numero reale, la precedente proposizione può scriversi
(› x)(I(x) v ((œy)R(y)(x>y)).
C’è una relazione logica tra i quantificatori œ e › ; considerata la proposizione
P: non tutti i mammiferi sono acquatici,
che significa che esiste almeno un mammifero che non è acquatico (per esempio un gatto),
e indicati con A(x) e B(x) i predicati
A(x): x è un mammifero
B(x): x è acquatico,
la P può essere tradotta in simboli nei due modi diversi
¬(œx) (A(x) Y B(x)),
oppure
(› x)(A(x) v ¬B(x)).
Si noti che la lettera x non figura nei raggruppamenti (›x)R e (œx)R. In base a quanto è già
noto si può senz’altro asserire che se R è una proposizione di T , (› x)R e (œ x)R sono
proposizioni di T, ed è altresì ovvio il loro significato intuitivo. Osservando attentamente gli
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esempi precedenti, si può notare, come è stato detto, che Q è la conclusione di P v R ed
esprime il fatto che Socrate è mortale, ciò significa che nella proposizione A(x), alla la
variabile x è stato dato il valore di «Socrate», ovvero si è ottenuta la proposizione
A(Socrate).
Si indicherà d’ora in poi con T una teoria quantificata. Si posson stabilire i seguenti criteri:
C16) Siano R una proposizione vera ed x una lettera non costante di T. Allora la
proposizione (œx)R è vera.
C16) Siano R una proposizione, x una lettera e t un termine. Allora la proposizione
(œx)R Y (t| x)R è vera.
Questo criterio significa che se la proposizione (œx)R è vera, si ottiene ancora una
proposizione vera sostituendo ad x in R un termine qualunque. Per esempio, se si dimostra
che la relazione
(œ x)(x = x),
ove x è una lettera, è vera, allora per ogni oggetto a la proposizione
a=a
sarà vera. Un procedimento analogo si usa nella vita: tutti gli intellettuali sono dei
pederasti, implica che ogni intellettuale esplicitamente chiamato è un pederasta, a
prescindere se la cosa sia vera o no.
C17) Siano R una proposizione e x una lettera. La proposizione
non((› x) R) ] (œ x)(non R) è vera.
Dire che la proposizione (› x) R è falsa significa dire che la relazione (œ x)(non R) è vera,
ovvero che ogni oggetto t verifica (non R).
C18) Siano R e S delle proposizioni e x una lettera. La proposizione
(œ x) (R e S) ] ((œ x)R e (œ x)S ) è vera.
Ciò è vero intuitivamente, mentre va osservato che al contrario la proposizione
(œ x)( R o S) ] ((œ x)R o (œ x)S)
non è vera in generale; per esempio tutti gli intellettuali sono dei traditori o dei pederasti
non implica che tutti gli intellettuali sono dei traditori o tutti gli intellettuali sono dei
pederasti, perché potrebbero esistere allo stesso tempo degli intellettuali che sono dei
traditori senza essere dei pederasti e degli intellettuali che sono dei pederasti senza essere
dei traditori.
C19) Siano R e S della proposizioni e x una lettera. La relazione
(› x) (R o S) ] ((› x)R o (› x)S) è vera.
Ciò è evidente intuitivamente, mentre va osservato al contrario che la proposizione
(› x) (R e S) ] ((› x)R e (› x)S)
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Formalizzazione del processo logico
non è vera in generale, perché nella proposizione a destra dell’equivalenza i termini per cui
R è vera ed S è vera possono non esser lo stesso, mentre a sinistra si dice che esiste un
termine per cui R e S. Per esempio: la proposizione esistono delle persone ricche e oneste,
implica la proposizione esistono delle persone ricche e esistono delle persone oneste, ma
l’implicazione opposta non è corretta, poiché i ragionamenti logici non sono sufficienti a
dimostrare che le persone ricche sono anche oneste e viceversa che quelle oneste sono anche
ricche.
C 20) Siano R una proposizione, x e y delle lettere distinte. Allora le proposizioni
(› x) (› y)R ] (› y) (› x)R ,
(œ x) (œ y)R ] (œ y) (œ x)R,
(› x) (œ y)R Y (œ y) (› x)R sono vere.
Siano ora A ed R delle proposizioni ed x una lettera. Se nel corso del ragionamento s’intende
mantenere l’attenzione sui termini per i quali A è vera, in luogo delle notazioni
«(› x) (A e R)» e «(œ x) (A e R)»
si preferiscono rispettivamente le notazioni
(›Ax)R e (œAx)R.
I simboli ›A e œA prendono il nome di quantificatori tipici. L’uso che si fa dei quantificatori
tipici è molto più vasto di quanto non si creda, forse superiore all’uso dei quantificatori
stessi.
Esempio: Nel ragionamento che inizia con «ogni uomo è mortale», «ogni uomo» è un
quantificatore tipico. In effetti la proposizione «ogni uomo è mortale» andrebbe scritta come
«(per ogni x) (x è un uomo e x è mortale)».
Esempio: In teoria degli insiemi s’usa dire che una proposizione R è vera per ogni elemento
dell’insieme S. Il per ogni in questo caso è un quantificatore tipico: infatti non è richiesto
che la relazione sia vera per ogni oggetto possibile, dunque in questo caso si può scrivere
(œAx)R dove A è la relazione x 0 S.
Per i quantificatori tipici s’hanno, oltre a criteri affatto simili a quelli dei quantificatori,
anche i seguenti tre:
C21) (œAx)R ] (œ x) (A Y R).
C22) Se T ' è la teoria ottenuta aggiungendo A agli assiomi di T ed R è vera in T ', allora
(œAx)R è vera in T.
C23) Se T ', ottenuta aggiungendo A e (non R) agli assiomi di T, è contraddittoria, (œAx)R
è un teorema di T.
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Formalizzazione del processo logico
L’uso degli ultimi due criteri viene in genere indicato rispettivamente con le frasi: «sia un
oggetto tale che A» e si dimostra R; o «sia x un oggetto tale che A e per il quale R sia falsa»
e si cerca una contraddizione.
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Teoria degli insiemi
5. Teoria degli insiemi
5.1 Introduzione
La matematica che serviva a risolvere il problema armonico d'un tempio greco è certamente
diversa da quella necessaria alla costruzione d'un hangar, da quella per la definizione d'un
centro commerciale cittadino o per la ripartizione fra vari comuni di strutture sociali
differenti. C'è però un modo comune d'impostare, discutere e risolvere il problema, fatto
d'un ragionamento molto rigoroso dal punto di vista del procedimento logico che lo guida,
il solo che garantisca un'effettiva relazione consequenziale al succedersi degli enunciati. È
questa la ragione del successo della matematica e val la pena quindi di capire cos’è una
teoria matematica.
Poiché, come s'è già detto, di teorie matematiche ce n'è più d’una, gli oggetti propri di
ciascuna teoria possono essere diversi. Conviene tuttavia fissare l'attenzione, prima che su
questi oggetti, proprio sulle teorie matematiche. Che cosa è una teoria matematica? C’è una
frase del linguaggio corrente che ne dà un’idea intuitiva ma esatta: la frase è «è
matematicamente certo che...» che viene in genere usata per esprimere in modo enfatico una
certezza assoluta. La ragione di questo va cercata nel fatto che fare matematica significa in
realtà fare dimostrazioni.
Nella geometria euclidea, vengono effettivamente dimostrate le proprietà di cui godono gli
oggetti geometrici di cui si tratta: rette, piani, triangoli, cerchi, sfere, ecc. Ci sarebbe da
chiedersi se al di fuori d'una teoria matematica vi siano delle dimostrazioni nel senso
matematico della parola. Se nella fisica ci s'aspetta una precisione matematica nell'avvenire
dei fenomeni, è perché si tratta di fenomeni di cui è in genere totalmente noto l'insieme dei
fattori che li influenzano; è quindi sulle anomalie rispetto a tali comportamenti che si
concentra la ricerca, per poterne dare una spiegazione compiuta. In scienze nelle quali la
conoscenza dei fenomeni è meno sviluppata, di essi si tende invece a dare un'interpretazione
più statistica, nel senso che si danno indicazioni di tendenza, dipendente questa dai fattori
la cui influenza è nota. Nella scienza medica ad esempio, l’efficacia d’un farmaco si dimostra
rilevando statisticamente gli effetti che provoca la sua somministrazione ad un certo numero
di pazienti: com’è noto, questo non esclude i pericoli derivanti da casi d’organismi che non
tollerano alcuni medicinali o che non ne provino alcun sollievo, ma non impedisce di
dichiarare efficace un farmaco.
In matematica questo non può avvenire, nel senso che un’asserzione, vera per un oggetto
s’esige che sia ancora vera per tutti gli oggetti considerati affini al primo. Questo ovviamente
restringe il campo dell’indagine, o per lo meno lo specializza allo studio d’alcune proprietà
di alcuni oggetti (e non di tutte le proprietà di tutti gli oggetti): d’altra parte però si ha in
questo studio la certezza matematica che ciò che si è potuto stabilire vero per un oggetto
d’un certo tipo sarà certamente vero per tutti gli oggetti dello stesso tipo.
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Appunti di Matematica
Teoria degli insiemi
In che modo questo sia possibile, lo vedremo in una descrizione della matematica formale,
mostrando che, come la geometria euclidea, tutta la matematica attuale si può costruire sulla
base della logica classica, deducendo cioé da un certo numero di proposizioni che sono da
ritenersi vere, altre proposizioni, in modo tale che, una volta verificate per un oggetto le
condizioni fissate dalle proposizioni iniziali, le altre ne discendano necessariamente.
In matematica non si può enunciare nessuna verità assoluta in matematica. In matematica
infatti i criteri di verità non possono che essere relativi. Nelle scienze naturali, la verità di
un fenomeno dipende dalla possibilità d’osservarlo, sempre allo stesso modo, in natura o di
riprodurlo in laboratorio. La non perfetta riproducibilità di fenomeni nel mondo umano,
e l'impossibilità di riprodurli in laboratorio, fanno sì che le scienze umane siano di fatto
molto più opinabili, le verità spesso essendo più legate a scuole di pensiero, quale più quale
meno autorevole. In matematica apparentemente non c'è nulla d'esterno al ragionamento
stesso su cui fondarsi e dunque, sebbene il ragionamento matematico abbia il pregio d’essere
completamente puro come metodo speculativo (ma forse anche qui ci sarebbe parecchio da
discutere), esso ha anche il difetto di poter essere, per così dire onnipotente. Con questo
s'intende dire che è lecito al matematico costruire proposizioni e termini col solo uso dei
termini che ha a sua disposizione senza, in fondo dover renderne conto a nessuno.
Ma allora, come si fa a fondarsi in qualche modo? Per fondarsi occorre fissare a priori delle
relazioni da considerare vere. Fra queste ci sono delle precise regole d'uso dei vari segni
logici. Queste servono a stabilire un metodo comune di ragionamento. Immaginiamoci
davanti ad una scacchiera: per poter giocare a scacchi bisogna non solo riconoscere i pezzi,
ma sapere come si muovono, e poi ancora quali sono le regole del gioco, e come si vince. Una
volta noto tutto questo, si può iniziare a giocare. Analogamente, bisogna stabilire come si
gioca e come si vince in matematica, cioè quali sono le regole da usare, e come si stabilisce
se una relazione è vera oppure no.
Per fare questo, in una particolare teoria matematica si fissano una volta per tutte un certo
numero di relazioni: esse si chiamano gli assiomi (o postulati) della teoria, e si considerano
vere comunque, in questo modo ponendosi come basi della teoria matematica che ci si
accinge a costruire. Assieme agli assiomi si definiscono gli schemi d'assioma. Questi ultimi
sono come i moduli di conto corrente postale: sono vuoti fin tanto che non si vanno a
riempire con parole e numeri negli appositi spazi. A quel punto, dopo una fila più o meno
lunga, magari con tanto di timbro, diventano la ricevuta del conto corrente postale che
attesta il pagamento di qualcosa. Essi assumono cioè una realtà d’oggetto che prima avevano
solo in potenza. Uno schema d'assioma è come un modulo: in genere una successione di spazi
da riempire con termini e/o relazioni e di segni che diventa una relazione vera quando si
vadano a mettere termini e relazioni negli spazi indicati. Analogamente al conto corrente
postale, che una volta riempito debitamente si può pagare, lo schema d'assioma
opportunamente riempito diventa un assioma, cioè la relazione che si è costruita è comunque
vera, indipendentemente dai termini e le relazioni che ci si sono messe.
In genere gli schemi d'assiomi vengono introdotti assieme ad un segno matematico o logico
o a dei simboli: si tratta in pratica delle istruzioni per l'uso del segno o del simbolo: esse
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Teoria degli insiemi
sono necessarie perché tutto quello che si usa in matematica va definito nel suo uso in
maniera precisa, perché solo con assoluto rigore si può costruire una struttura formale come
la matematica. Così, introducendo assieme ai segni i corrispondenti schemi d'assioma, si sa
come costruire con i segni delle relazioni vere.
Che la matematica abbia bisogno d'un fondamento formale perfetto si spiega con la necessità
di garantire la coerenza di tutto l'impianto della teoria. Noi ci concentreremo su quegli
insiemi d'oggetti d'uso più frequente nella nostra matematica. E si tratta d’oggetti costruiti
a partire dai più semplici: punti e numeri. Si costruiranno quindi insiemi di punti, insiemi
di numeri, e si darà ad essi un nome appropriato: per fare questo si farà ogni volta uso d'una
definizione. Ma anche il termine insieme dev'essere oggetto d'una definizione appropriata
ed è per questo che conviene fare ben attenzione al modo in cui si definiscono gli oggetti.
Dal punto di vista assiomatico e costruttivo la teoria è quella adottata da Bourbaki nei suoi
Éléments de Mathématiques (Paris, Hermann). Tuttavia, assieme alla costruzione formale,
tenteremo una proposta più discorsiva, introducendo la teoria degli insiemi direttamente e
presentando i problemi man mano che si proporranno.
5.2 Costruzione d’una teoria matematica formale
Qui e nel seguito, sono descritti, in modo formalmente corretto, i vari passi necessari alla
fondazione d’una teoria matematica. Di seguito s’introdurrà la teoria degli insiemi, seguendo
un percorso assiomatico.
È bene precisare che una qualsiasi teoria matematica si basa, nel suo procedere per
dimostrazioni, sulla logica quantificata: è quindi una teoria logica quantificata, nel senso che
di essa fanno parte i quattro segni logici ed i cinque assiomi che caratterizzano qualunque
teoria logica quantificata. Pertanto, tutte le tautologie e tutte le dimostrazioni che si sono
viste in precedenza fanno parte integrante di qualunque teoria matematica. In particolare,
questo significa che di esse fanno parte tutte le tecniche di dimostrazione che si sono già
introdotte.
Chiameremo con T una qualunque teoria matematica.
I segni d'una teoria matematica T sono:
1) I segni logici ¬ , w , J , ~.
2) Le lettere, cioè le lettere d'un qualunque alfabeto, possibilmente munite d’apici,
sottolineature, asterischi e, in generale, di tutto quello atto a distinguerne una dall’altra3.
3) I segni specifici, che dipendono dalla teoria stessa.
Esempio: in teoria degli insiemi, = e 0 sono segni specifici.
3
Capiterà a volte di fare anche uso di numeri. Questo potrebbe contraddire il fatto che i numeri verranno
anch’essi introdotti nella teoria degli insiemi: si ovvia a questo tenendo conto che si tratterà sempre di simboli
sostituibili con qualunque altro, ad esempio, le lettere dell’alfabeto giapponese.
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Teoria degli insiemi
Un raggruppamento di T è una successione di segni, alcuni dei quali possono essere collegati
da dei legami che passano al di sopra degli altri.
Esempio: in teoria degli insiemi
è un raggruppamento.
Ovviamente l’uso esclusivo di questi segni darebbe luogo a delle difficoltà pratiche
insormontabili (si pensi ad esempio che il numero 1 sarebbe rappresentato da un
raggruppamento d’alcune decine di migliaia di segni): si fa pertanto uso di simboli
abbreviatori di raggruppamenti, che possono essere parole del linguaggio comune, o veri e
propri simboli, quali numeri, segni speciali (come ad esempio 3 o I), o addirittura lettere.
L'introduzione di simboli dà luogo alle definizioni, le quali pertanto hanno una importanza
relativa, giacché nella matematica formale non vi è posto per esse; il loro uso è fatto solo per
rendere più rapida e semplice una trattazione altrimenti incomprensibile.
Introduciamo immediatamente un simbolo: Y che indica il raggruppamento w¬. Poiché
useremo altresì delle lettere come simboli, faremo la convenzione che le lettere maiuscole
saranno usate come simboli, mentre le minuscole saranno delle lettere vere e proprie, cioè
dei segni di T.
L’uso dei simboli comporta un certo numero d'osservazioni:
1) Se A e B sono raggruppamenti si indica con AB il raggruppamento ottenuto scrivendo
B di seguito ad A.
2) Se A, B sono raggruppamenti, x una lettera, si indica con (B|x) A il raggruppamento
ottenuto scrivendo in A il raggruppamento B ovunque compaia una lettera x. È quindi
il raggruppamento ottenuto da A sostituendo B ad x in A.
3) Se A è un raggruppamento ed x una lettera si indica con JxA il raggruppamento ottenuto
al modo seguente:
a) si scrive J davanti ad A,
b) si unisce con dei legami J con ogni x che compare in A,
c) si sostituisce ad ogni x collegata con J il segno ~. Il raggruppamento così ottenuto
non contiene perciò la x .
Esempio: Se A è il raggruppamento
.
, il raggruppamento JxA è
Vi sono dei criteri per stabilire l’identita di raggruppamenti ottenuti operando da uno stesso
in modo differente, utilizzando queste tre regole: li tralasciamo per non entrare troppo nei
dettagli tecnici della descrizione; per dare un’idea di cosa siano, ne citiamo solo uno e cioè:
«Se A e B sono raggruppamenti, x e y lettere e y non figura in A, allora il raggruppamento
(B * x ) A è identico a (B * y) (y * x)A».
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Teoria degli insiemi
Occorre fare un’osservazione di carattere critico: dal momento che i segni logici hanno il
significato che conosciamo ed i segni specifici ne avranno uno che verrà da noi attribuito di
volta in volta, è chiaro che un raggruppamento può avere un senso compiuto, intendendo
per tale una frase del linguaggio corrente, riguardante una certa quantità di lettere.
Pertanto è intuitivo che, di tutti i raggruppamenti possibili, avranno interesse solo quelli
che, tradotti in linguaggio corrente, hanno un senso compiuto, giacché occorre tener
presente che la matematica formale ricalca la matematica classica e ad essa è collegata.
Si rende quindi necessario un metodo per fare una selezione fra tutti i raggruppamenti
possibili; il metodo di cui faremo uso è quello delle costruzioni formative. Prima di esporlo
vogliamo però fare una prima distinzione fra i raggruppamenti: chiameremo
raggruppamenti di I specie quelli ridotti ad una sola lettera e quelli che cominciano con J;
diremo di II specie tutti gli altri.
Una costruzione formativa di T è una successione di raggruppamenti tale che per ogni suo
raggruppamento A sia vera una delle seguenti condizioni:
1) A è una lettera,
2) Nella costruzione c’è un raggruppamento di II specie B che precede A, tale che A sia ¬
B.
3) Nella costruzione ci sono due raggruppamenti di II specie, B e C che precedono A tali
che A sia w BC .
4) Nella costruzione c’è un raggruppamento di II specie B, che precede A e una lettera x
tale che A sia Jx (B).
5) Nella costruzione c’è un segno specifico s di T e due raggruppamenti di I specie B e C,
che precedono A, tali che A sia sBC.
Si chiamano termini di T i raggruppamenti di I specie che compaiono in costruzioni
formative di T ; relazioni di T i raggruppamenti di II specie che compaiono in costruzioni
formative di T .
Esempio: In teoria degli insiemi il raggruppamento è un termine: si ha infatti la seguente
.
costruzione formativa: x, a, y, 0xa, =xy, w¬0xa=xy,
Osserviamo per un momento la costruzione formativa dianzi scritta: notiamo che all’inizio
figurano delle lettere. Ciò è ovvio giacché non vi sono raggruppamenti che le precedono. Si
comincia perciò una costruzione con dei termini, cioè degli oggetti di cui vogliamo
investigare delle proprietà. Dopo di ciò seguono dei raggruppamenti che fanno precedere
un segno specifico a dei termini: questa è infatti l’unica costruzione possibile su delle lettere
per ottenere delle relazioni, cioè delle proposizioni. Intuitivamente, i segni specifici
rappresentano dunque delle asserzioni fatte su due oggetti: è quindi evidente che due teorie
matematiche si distinguono, riguardo a termini e relazioni, proprio dai diversi segni
specifici. In particolare, una teoria matematica non può essere priva di segni specifici,
giacchè non sarebbe possibile formare relazioni. Sulle relazioni sono invece possibili le
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operazioni logiche, consistenti nel passaggio da A a B a ¬ A, wAB, Jx (A), e (t*x)A, dove t è
un raggruppamento di I specie. Conosciamo già il significato di queste operazioni, come pure
dei simboli logici introdotti, degli schemi d’assioma e delle tautologie. S’osservi che le
operazioni logiche sono effettivamente quelle descritte precedentemente, colla differenza
che, al momento di costruire della matematica in modo formale, i segni e simboli logici
vengono anteposti alle due proposizioni invece che interposti: si scrive dunque wAB invece
di A w B e così con gli altri segni. In effetti, non appena ci si allontana dalla scrittura
formale, troppo pesante e difficile, A o B si scriverà di nuovo A w B. Questa differente
notazione imporrà l’uso di parentesi per stabilire la priorità di certe connessioni rispetto alle
altre, cosa che altrimenti non sarebbe necessaria.
5.3 I criteri di verità
Si tratta ora di stabilire come dare valore di verità ad alcune relazioni; per far questo
occorre intanto convenire cosa si intenda con la frase la relazione R è vera nella teoria T.
Nello studio delle teorie logiche non s’era discusso il problema, perché s’era detto che la
verità delle proposizioni atomiche era da stabilirsi con criteri esterni alla teoria stessa. In
effetti, quelli delle altre proposizioni sono conseguenza dell’applicazione degli schemi
d’assioma e delle tautologie, nonché delle dimostrazioni a partire da proposizioni atomiche.
Orbene, quando si dice che una relazione R è vera nella teoria T, o per meglio dire è un
teorema di T, s’intende dire che la relazione R può essere ottenuta, per deduzione logica da
alcune relazioni supposte vere una volta per tutte. Una scelta di tali relazioni poggia su
criteri variabili di volta in volta ed in generale si può dire che si tratta d’alcune proprietà
degli oggetti che si vogliono studiare mediante la teoria matematica T , da supporsi vere per
essi. In sostanza il porre queste relazioni non significa altro che concentrare l’attenzione su
una certa categoria d’oggetti. Dal punto di vista intuitivo, ma piuttosto inesatto, si tratta di
decidere a priori che alcune relazioni sono da ritenersi vere, perché caratteristiche degli
oggetti che vogliamo studiare.
Si procede allora al modo seguente:
1) Si scrivono prima delle relazioni di T . Si dice che questi sono gli assiomi espliciti di T.
Le lettere che vi figurano si chiamano le costanti di T .
2) Si considerano tutti gli schemi d’assioma delle teorie logiche quantificate, nonché i
metodi di dimostrazione in esse presenti.
3) Si danno delle regole, dette schemi di T . Essi sono delle combinazioni di operazioni
logiche e di segni specifici che devono avere le seguenti caratteristiche:
a) applicando uno schema S si ottiene una relazione di T .
b) se t è un termine di T , x una lettera, R una relazione costruita applicando lo schema
S, allora (t * x)R si deve poter costruire applicando S.
Ogni relazione ottenuta applicando uno schema a termini a relazioni di T è uno schema
d’assioma di T .
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Gli assiomi sono quindi delle ipotesi dalle quali si intende trarre delle conseguenze. Le
costanti rappresentano degli oggetti ben determinati, che godono delle proprietà enunciate
dagli assiomi. Se invece una lettera non è una costante, allora essa rappresenta un oggetto
indeterminato, di modo che, se x figura in un assioma, questo è implicito e la proprietà, che
è detto valga per x, continua a valere per ogni oggetto t. Analogamente agli schemi d’assiomi
logici, gli schemi sono le regole d’uso dei segni specifici di T.
Gli assiomi espliciti sono da ritenersi asserzioni vere nella teoria T . Per stabilire ora la
verità d’una relazione, si fa uso d’un testo dimostrativo che è composto di: 1) una
costruzione formativa ausiliaria di T , e 2) una dimostrazione di T , cioè una successione di
relazioni che compaiono nella costruzione formativa ausiliaria, tale che per ogni relazione
della successione sia vera una delle seguenti condizioni:
1) R è un assioma esplicito di T .
2) R è un assioma implicito, ottenuto applicando uno schema di T a termini o relazioni della
costruzione formativa ausiliaria.
3) Ci sono due relazioni S e T precedenti R, tali che T sia S Y R.
Si dirà allora che una relazione R è vera in T, ovvero che è un teorema di T, se R compare
in un dimostrazione di T .
In teoria degli insiemi, s’usano quindi metodi di dimostrazione derivanti dagli schemi
d'assioma detti. Il primo è quello che deriva dalla regola 3 per i teoremi e si chiama
deduzione. Se si hanno due relazioni R ed S, si suppone R vera; poi, mediante tautologie,
assiomi, schemi od altri teoremi, si dimostra che S è vera. Quello che in realtà si è dimostrato
è che R Y S è vera.
È da dire che l’essere una relazione vera dipende essenzialmente dallo stato di sviluppo della
teoria che si considera: una relazione diventa un teorema, quando la si riesce ad inserire in
una dimostrazione di T . Sono sinonimi di teorema i termini proposizione, lemma,
corollario, anche se storicamente s’usa dare ai diversi termini una diversa sfumatura di
significato. Se (t*x)R è un teorema, s’usa anche dire che t verifica in T la R, ovvero che t è
soluzione di R, quando R sia considerata come relazione nella x. Una relazione si dice falsa
se la sua negazione è vera in T . Una teoria si dice contraddittoria se in essa si riesce a
trovare una relazione allo stesso tempo vera e falsa. Anche questo dipende dallo stato della
teoria, ma s’è già visto che una teoria contraddittoria non è ammissibile, perché in essa tutte
le relazioni e le loro negazioni sono teoremi. Una tale teoria è assolutamente priva
d’interesse e ciò spiega il perché ci si creino tanti problemi quando si trovano delle
contraddizioni in una teoria matematica. Tuttavia, trovare una contraddizione in una teoria
matematica porta a pensare di aver fatto una dimostrazione per assurdo. Se infatti A è tale
assioma, si è dimostrato che non A è un teorema della teoria ottenuta da T escludendo A.
Occorre pertanto cercare qual è l’assioma o l’ipotesi di cui è stata dimostrata la falsità ed
abolirli.
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Purtroppo, anche se si sono trovati una spiegazione ed un metodo per superare le
contraddizioni incontrate in passato, come pure altre che si potrebbero incontrare,
spiegazione e metodo che vedremo più avanti, resta sempre la possibilità di trovare,
continuando a sviluppare la teoria, nuove contraddizioni, che renderebbero necessario un
nuovo esame critico degli assiomi, con un probabile restringimento dei risultati raggiunti.
Non ci resta che sperare...
Se T è una teoria matematica, si indicherà con (T*x)T , dove T è un termine di T , la teoria
ottenuta sostituendo T ad x negli assiomi espliciti di T , rimanendo invece immutati i segni
e gli schemi.
C24) Se A è un teorema di T , (T * x)A è un teorema di (T * x)T .
È chiaro che se x non è una costante (T*x)T è identica a T , e che quindi (T*x)A è in questo
caso un teorema di T . Omettiamo una giustificazione esplicita di C24), lasciandola come
esercizio a chi ne abbia voglia.
Una teoria matematica T ’si dice più forte di T , se gli schemi e i segni di T sono schemi e
segni di T '. Si ha allora il seguente criterio, abbastanza ovvio:
C25) Se T ' è più forte di T , allora tutti i teoremi di T sono teoremi T '.
Se anche T è più forte di T ’ si dice che T e T ' sono equivalenti.
Esempio - La teoria dei gruppi definita secondo i due sistemi di assiomi.
L’utilità di tali criteri è quella di abbreviare delle dimostrazioni, altrimenti assai lunghe e
complicate: essi però non possono che discendere dagli assiomi o dagli schemi.
C26) Sia T una teoria; A1 , A2 , ..., Ai i suoi assiomi espliciti, a1 , a2 , ..., aj le sue costanti, T1
, T2 , ..., Tj , dei termini di T . Supponiamo ora che (T1 | a1 )(T2 | a2 )...(Tj | aj )Ai
siano teoremi di una teoria T ' avente fra i suoi segni e i suoi schemi quelli di T .
Allora, se A è un teorema di T , (T1 | a1 )(T2 | a2 )...(Tj | aj )A è un teorema di T .
Infatti T ' è più forte della teoria T , e basta applicare i criteri C24) e C25).
Quando si deduce con questo criterio un teorema di T ' da un teorema di T , si dice che si
applicano a T ' i risultati di T . Intuitivamente, ciò significa sostituire alle costanti di T degli
oggetti di T ' che verificano gli assiomi di T . Allora per tali oggetti sono valide tutte le
proprietà conseguenza di tali assiomi.
Esempio: La teoria dei gruppi ha negli assiomi due costanti: il gruppo G e la legge di
composizione u. Nella teoria degl’insiemi si definiscono due termini: l’insieme delle biiezioni
d’un insieme S e il prodotto fra biiezioni. Se si sostituiscono questi ultimi due termini alle
costanti G e u, gli assiomi gruppali diventano dei teoremi della teoria degli insiemi. Inoltre
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segni e schemi sono gli stessi nelle due teorie. Si possono perciò applicare al prodotto fra
biiezioni i risultati della teoria dei gruppi.
Si noti che il processo riportato è lo stesso quando generalmente (anche se spesso in modo
approssimato) s’applica la matematica, o meglio s’applicano i risultati della matematica, ad
altre scienze. Dati alcuni oggetti o alcuni fenomeni se ne enucleano alcune caratteristiche e,
dimenticando gli oggetti ed i fenomeni in sè, che vengono trattati come semplici termini
ovvero come costanti, si cerca di dedurre da essi delle proprietà. Si crea così una teoria
matematica che ha come assiomi le caratteristiche in questione e come schemi e segni quelli
che sarà più opportuno utilizzare. Si applicheranno poi i risultati di tale teoria agli oggetti
e fenomeni che abbiano le caratteristiche richieste.
5.4 Teorie ugualitarie
Finora ci siamo limitati a studiare gl’aspetti logici di una teoria matematica, nella quale non
comparivano esplicitamente dei segni specifici: in effetti, questi ultimi erano stati
presupposti, dal momento che senza di essi non si sarebbe potuto parlare di relazioni. Non
se ne era però tenuto conto e s’erano esaminati soltanto dei criteri per dedurre dei teoremi
dalle relazioni, per mezzo degli schemi d'assioma.
Prima d’introdurre la teoria degli insiemi, introduciamo la cosiddetta teoria ugualitaria.
Essa ha un solo segno specifico, che, insieme a due schemi, ci permetterà di costruire delle
relazioni e di dimostrare tre teoremi. Il segno è « = » e, se T e U sono due termini della
teoria T, ove compare tale simbolo, il raggruppamento =TU è una relazione, detta di
uguaglianza, che si scrive correntemente T = U. Una teoria matematica T si chiama
ugualitaria se è una teoria logica quantificata e se i due schemi che seguono forniscono degli
assiomi impliciti:
AU6) Siano x una lettera, T, U termini e R una relazione di T. La relazione
«(T = U) Y ((T | x)R ] (U| x)R)» è un assioma implicito di T.
AU7) Se R e S sono relazioni di T ed x è una lettera, la relazione «((œ x) (R ] S) Y
((JxR = JxS))» è un assioma implicito di T.
Intuitivamente, lo schema AU6) significa che, se due oggetti sono uguali, essi hanno le stesse
proprietà. Lo schema AU7) significa invece che se due relazioni sono equivalenti per ogni
oggetto, allora gli oggetti privilegiati che le verificano rispettivamente, sono uguali. La
negazione di T = U è T … U.
D'ora in avanti si indicherà con T una teoria ugualitaria.
Teorema 1. - x = x.
Dimostrazione: Indichiamo con S la relazione x = x. Per C16), se R è una relazione,
(œ x) (R ] R) è un teorema. Per AU7) JxR = JxR è un teorema, cioè (JxR | x)S. Se si prende
R come «non S», per C18) (œ x)S è un teorema. Allora per C21) S è un teorema.
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Teorema 2. - (x = y) ] (y = x).
Dimostrazione: Supponiamo vera x = y.
Per AU6) la relazione (x = y) Y ((x | y) (y = x)) ] (y | y) (y = x) ovvero (x = x) Y ((x =
x) ] (y = x)) è vera. Dunque (x = x) ] (y = x) è vera e quindi, per il teorema 1, y = x è
vera. Per simmetria si dimostra il viceversa.
Teorema 3. - ((x = y) e (y = z)) Y (x = z).
Dimostrazione: Supponiamo vera la ((x = y) e (y = z)).
Per AU6) la relazione (x = y) Y ((x = z) ] (y = z)) è vera. Dunque (x = z) ] (y = z) è vera,
come pure x = z.
C27) Se T, U, V sono termini di T, (T = U) Y ((T | x)V = (U | x)V) è un teorema.
Sia R una relazione, x una lettera e siano y, z lettere distinte fra di loro e da x non figuranti
in R. Si dice che la relazione R è univoca in x, se la relazione U, definita come
(œ y) (œ z) (((y*x)R e (z*x)R) Y (y = z))
è un teorema. Tale relazione U viene indicata con «esiste al più un x tale che R»: infatti,
intuitivamente la relazione significa che se R è vera per due oggetti, questi devono essere
uguali.
Per provare l'univocità d’una relazione basta mostrare che y = z nella teoria dedotta da T
aggiungendo gli assiomi (y*x)R e (z*x)R. È chiaro che se R è univoca in x s’ha che R Y (x =
JxR)) è un teorema; viceversa, se per un termine T si ha che R Y (x = T) è un teorema,
allora R è univoca in x.
Sia R una relazione di T. La relazione «R è univoca in x e (› x)R» si indica con «esiste uno
ed un solo x tale che R». Se tale relazione è un teorema si dice che R è funzionale in x in T.
Tale espressione si usa sintetizzarla con la notazione «(›! x)R». Il simbolo ›! indica un
quantificatore tipico, giacché la x non figura nella relazione U, e quindi la relazione «(› x)R
e U» è identica alla «(› x)(R e U)», cioè (›U x)R, che s’indica appunto con (›! x)R.
In base a quanto osservato nel caso di una relazione univoca, si ha che se R è funzionale
allora «R ] (x = JxR)» è un teorema di T; se poi per un termine T s’ha che R ] (x = T) è
un teorema, R è funzionale: in tal caso s’ha che T = JxR.
Quando R è funzionale in x, la relazione x = JxR è spesso più comoda da usare. In questo
caso, s’usa introdurre un simbolo abbreviatore, che rappresenti proprio JxR. Il simbolo
rappresenta intuitivamente l'unico oggetto (esistente) che gode della proprietà R.
Esempio: La relazione «x è un numero reale $ 0 e y = x2» è funzionale in x. Si prende come
simbolo funzionale
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. Nel caso della funzione composta da f e g il simbolo è gBf.
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Teoria degli insiemi
L'introduzione di simboli, nomi appropriati per termini dotati di certe proprietà, dà luogo
a definizioni, di grande importanza in matematica. Se infatti un simbolo fosse introdotto
senza una precisa spiegazione, ci si troverebbe in seria difficoltà ad usarlo.
5.5 Teoria degli insiemi
5.5.1 Cos’è un insieme
Nel paragrafo precedente s'è dato un primo esempio di teoria matematica, anche se molto
semplice. Vogliamo ora costruirne un'altra, legata alla prima e che è di importanza
fondamentale per la costruzione di tutte le altre teorie matematiche. Si tratta della teoria
degli insiemi.
Supponiamo d’avere a disposizione due collezioni di oggetti A e B ed una legge, che permetta
di collegare ad ogni oggetto di A un preciso oggetto di B. Questa situazione in matematica
capita così spesso che s’è pensato di rappresentarla secondo un disegnino standard, che è
il seguente:
A μf B
e di dare a questa rappresentazione simbolica un nome ben preciso e determinato.
Così si chiama diagramma questo disegnino, A e B si chiamano insiemi ed f si chiama
funzione avente come dominio l’insieme A e come codominio l’insieme B.
Per mettere in evidenza la funzione rispetto al resto, s'usa scrivere
f: A 6 B.
Inoltre, se x rappresenta un oggetto di A, s’usa scrivere
x0A
e si dice che x è elemento di A; se poi y, che è un elemento di B e dunque y 0 B, è proprio
l'oggetto collegato a x dalla f, si scrive anche
x μf y oppure f: x 6 y.
Si usa anche dire che y è immagine di x tramite la f e lo si indica con
f(x).
Ancora, si usa dire che, se due scritture rappresentano lo stesso oggetto, esse sono uguali,
e se C e D sono tali scritture, si scrive
C = D.
Pertanto se f: x 6 y si può anche scrivere
y = f(x).
A partire da queste definizioni è possibile, andando via via a complicare le cose, dare tutta
una serie di nomi a diagrammi, insiemi, elementi e funzioni in modo da stabilire tutta una
serie di relazioni fra essi.
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Teoria degli insiemi
Precisiamo allora subito che, d'ora in avanti, si chiamerà termine un oggetto qualunque, non
appena se ne sarà stabilita la consistenza come oggetto matematico; se uno o più termini
si potranno raccogliere in una frase di senso compiuto, e se questa frase ha senso dal punto
di vista matematico, essa si chiamerà relazione.
Allora, ad esempio, già il diagramma A μf B esprime la relazione che coinvolge tre termini
«A e B sono insiemi e f: A 6 B è una funzione avente dominio A e codominio B».
Naturalmente, converrà cercar di formalizzare meglio tutto quanto s’è detto finora, in modo
da costruire la teoria degli insiemi.
La teoria degli insiemi è innanzitutto una teoria quantificata, figurando in essa gli schemi
AL1)... AL5) ed ugualitaria, essendo segno specifico = e figurando gli schemi AU6) ed AU7).
Inoltre in essa s’usa il segno specifico 0, detto simbolo di appartenenza, che dà luogo alla
relazione d'appartenenza. In luogo di dire «S è un termine della teoria degli insiemi»
diremo più brevemente: S è un insieme. Se S, T sono insiemi, la relazione 0 ST si scriverà
«S 0 T» e si leggerà «S è elemento di T», la relazione non S 0 T si scriverà S ó T.
Dal punto di vista intuitivo si può dire, ma molto rozzamente, che si chiama insieme di certi
elementi qualunque oggetto d’una teoria matematica del quale si possa stabilire con certezza
e senza contraddizioni se contenga o meno altri oggetti della stessa teoria. Si dice in questo
caso che tali elementi appartengono all'insieme dato.
In genere un insieme non è altro che un modo per indicare collettivamente certi oggetti: così
si parla di popolo italiano per indicare l'insieme di tutte le persone che parlano italiano e
abitano in una ben definita zona geografica; si dice il proletariato per indicare l'insieme
degli individui che hanno come unica proprietà i figli, il potere per indicare coloro che
hanno la possibilità di influenzare con le loro decisioni una gran parte d’altri, i numeri
interi positivi per indicare i numeri 0, 1, 2, 3 ... e via di seguito; i film degli anni '50, le
attrici americane bionde, le sigarette col filtro, «io, tu e le rose» sono tutti insiemi, i cui
elementi sono facilmente deducibili. Non così semplice è trovare gli elementi di insiemi del
genere «le frazioni tali che il loro quadrato è fra 2 e 3», «tutti gli interpreti di Via col
vento (comprese le comparse)», però anche in questo caso c'è un criterio per determinare
l'appartenenza di certi oggetti a questi insiemi, ed è da verificare di volta in volta se un
numero ha il quadrato fra 2 e 3 o se il tale attore è apparso o no in Via col vento. Non
possono esser considerati insiemi né «le buone intenzioni», perché si può esser in disaccordo
su quali siano, né «quelli di un paese che non si fanno la barba da soli ma se la fanno fare
dall'unico barbiere del paese»: infatti il barbiere non si sa se ci sta o no.
A volte capita che in una relazione, ovvero in un termine, compaia qualcosa che non è ben
precisato: ad esempio, nella frase «l'insieme di tutti i numeri pari» non figura di fatto nessun
numero pari, ma è semplice rendersi conto che il termine indicato con questa frase non è
altro che la collezione dei numeri del tipo x = 2y con y intero qualunque. In questo modo
si sono indicati genericamente gli elementi dell'insieme in questione, che per comodità si
indicherà con 2N, mediante una proprietà che essi hanno in comune, quella cioè d'essere
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pari. Tale proprietà s'esprime mediante la relazione «x è un numero pari» ed allora s'usa
scrivere:
2N = {x | x è un numero pari}
dove la parte a destra del segno = si legge «l'insieme degli x tali che x è un numero pari».
In generale, data una relazione R s'indica con
{x|R}
l'insieme composto da tutti e soli gli elementi che verificano la relazione R, che si legge
quindi
«l'insieme degli x tali che R».
Nella definizione originaria della teoria degli insiemi, George Cantor (1845-1918) non
fornisce una definizione logicamente soddisfacente del concetto di insieme, ma si limita a
delucidarlo. Egli afferma, infatti, d’intendere per insieme una collezione M, concepita come
un tutto, di oggetti determinati e fra loro ben distinti della nostra intuizione o del nostro
pensiero (chiamati elementi di M), ove è chiaro che almeno due sono i punti poco precisi:
1) il concetto di collezione, che dovrebbe servire a spiegare quello di insieme, mentre in
sostanza non differisce da esso; 2) l’espressione concepita come un tutto, che risolleva il
problema tradizionale circa la possibilità di concepire come unico ente ciò che in realtà è
costituito da più enti. Altre difficoltà non meno gravi emergono, poi, rispetto a taluni casi
particolari di insieme: per esempio, rispetto al caso dell’insieme vuoto, in cui sembra venir
meno il concetto stesso di collezione (come si fa a collezionare nulla?) o rispetto al caso
dell’insieme unitario, in cui non si sa in che modo distinguere la presunta collezione
dall’unico ente collezionato. A prescindere da queste oscurità, la delucidazione di Cantor
vale comunque a porre in evidenza che la relazione essenziale, su cui si fonda la nozione di
insieme, è quella di appartenenza, indicata con 0, di un elemento all’insieme: si parlerà di
insieme M solo quando, preso un oggetto qualunque a, si saprà riconoscere se a appartiene
o no a M, cioè se:
a0 M oppure aó M.
In una trattazione formale non conviene tuttavia entrare troppo nel merito di che cosa sia
in realtà un insieme: infatti, per quel che riguarda questa trattazione, che un insieme sia una
collezione di oggetti (frase che peraltro non definisce nulla giacché insieme e collezione sono
sinonimi), non riveste il minimo interesse. Avremo ovviamente occasione di prendere in
considerazione insiemi che facciano parte d’altri insiemi, ma questo ci interessa solo nel
senso che, dati due insiemi S e T, potremo enunciare il teorema S 0 T, se l'elemento S
appartiene all'insieme T.
Sviluppata inizialmente con una definizione d’insieme onnicomprensiva, la teoria degli
insiemi si rivelò contraddittoria. La contraddizione corrisponde al paradosso del barbiere:
«Se il barbiere fa la barba a tutti coloro che non se la fanno da soli, chi fa la barba al
barbiere?», che non ammette risposta se non contraddittoria. Infatti, in termini matematici,
un’analogo paradosso s’enuncia così: «Se X è l’insieme di tutti gli insiemi che non si
contengono, X si contiene o no?» e la contraddizione non è altro che la dimostrazione (per
assurdo) del:
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Teoria degli insiemi
Teorema: {x | xó x} non è un insieme.
Dimostrazione:
Se (x ó x), allora (x 0 x); viceversa, se (x 0 x), allora (x ó x): contraddizione!
Complessivamente, gli schemi d'assioma della teoria degli insiemi sono otto: cinque sono
quelli d’una teoria logica quantificata, uno è della teoria ugualitaria, e l'ottavo verrà
introdotto poco più avanti. Gli assiomi espliciti sono quattro: anch'essi verranno introdotti
via via che se ne mostrerà il bisogno. Vogliamo fin d'ora notare che in questi assiomi non
compaiono lettere, per cui la teoria degli insiemi è una teoria senza costanti, ogni assioma
potendosi scrivere per mezzo dei quattro segni logici e dei due segni specifici.
5.5.2 Prime definizioni ed assiomi
Avendo specificato più o meno che cosa si intenda per insieme, gli insiemi che costituiscono
un altro insieme si chiamano elementi dell’insieme. Gli insiemi generici si indicheranno, nel
seguito, con lettere maiuscole: A, B, C,...e i loro elementi con le lettere minuscole: a, b, c,...
La relazione che un individuo ha con un insieme di cui è elemento è detta relazione
d’appartenenza, come è già stato osservato, ed è data dal simbolo d’appartenenza 0 :
a0 A significa che a è elemento di A (a appartiene ad A);
al contrario
aó A significa che a non è elemento di A (a non appartiene ad A).
La relazione (œ z) ((z 0 x) Y (z 0 y)) si chiama relazione di inclusione e si indica con il
simbolo x f y, che si legge «x è contenuto in y» o anche «x è un sottoinsieme di y». Questo
significa che gl’elementi dell'insieme x (contenuto) stanno fra gli elementi dell'insieme y
(contenente).
Quelli seguenti sono teoremi di immediata dimostrazione:
Teorema 4. - x f x.
Teorema 5. - ((x f y) e (y f z)) Y (x f z).
Non c’è modo di dimostrare che f sia simmetrica, antisimmetrica o nessuna delle due. In
effetti che sia antisimmetrica lo si introduce con un assioma esplicito, che si chiama assioma
di estensionalità:
AI1) (œ x) (œ y) ((x f y e y f x) Y (x = y)
Oltre che ad enunciare che l’inclusione è da considerare una relazione antisimmetrica,
intuitivamente tale assioma dice quand’è che due insiemi sono da ritenere uguali: essi sono
uguali quando hanno gli stessi elementi. In questo modo, il segno d’uguale acquista un senso
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Teoria degli insiemi
in teoria degli insiemi. Di più ci fornisce un metodo per verificare l'uguaglianza di due
insiemi, secondo la tecnica contenente-contenuto. Notiamo esplicitamente come
effettivamente in AI1) non figurino lettere: la presenza di due quantificatori, uno per la x
e uno per la y, fa sì che esse non ci siano. Si noti per inciso, a titolo di curiosità, che scrivere
quest’assioma in linguaggio formale richiederebbe più d’una pagina come questa: io ci ho
provato e mi sono fermato a metà circa, stremato, dopo un'ora e mezza...
Per descrivere un insieme, se ne possono elencare gli elementi racchiudendoli fra parentesi
graffe. Ad esempio:
A={a, e, i, o, u} B={0, 2, 4, 6, 8}.
Questa tecnica si adopera anche per insiemi illimitati, quando è chiaro come si possono
determinare tutti gli elementi dell’insieme:
C={1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} D={1, 2, 4, 6, 8, 16, 32, ...}
Sia R una relazione, x, y lettere ed y non figurante in R; s’indica con CollxR la relazione
«esiste un insieme composto da tutti e soli gli insiemi I tali che (I|x)R(x) è vera»
e che in simboli si scrive «(› y)(œ x)((x 0 y) ] R)», che non contiene la x.
Quando CollxR è un teorema, si dice che R è collettivizzante in x. In questo caso, si può
introdurre una costante ausiliaria A, con l'assioma introduttore (œ x) ((x 0 A) ] R). Il
termine A è, come si verifica facilmente, unico ed è intuitivamente «l'insieme degli x tale che
R». Dire che R è collettivizzante significa dunque che esiste un insieme tale che i suoi
elementi sono tutti e soli quelli che verificano la R. Se CollxR è un teorema, la relazione (œ
x)((x 0 y) ] R) è funzionale in y e per il termine JyR(œx)((x 0 y) ] R) s’introduce il simbolo
funzionale {x*R}.
Fissata R, perché un tale insieme abbia elementi, è necessario che esista almeno un termine
T per il quale la R è vera. Se R{x} è la relazione in cui compare la x come lettera variabile,
R{T} è la stessa relazione con scritto T al posto di x. Perchè {x | R} abbia elementi occorre
che R{T} sia una relazione vera. Viceversa, tale insieme ha elementi non appena sia
accertata l'esistenza d’un termine T per cui R{T} sia vera. Allora si può convenire d'indicare
con JxR un termine che verifichi la R non appena sia sostituito alla x in R. Dire che JxR
esiste è lo stesso che dire che l'insieme {x | R} ha elementi, ed in tal caso, d'ora in avanti, JxR
verrà considerato come termine privilegiato tale che R. Se per una relazione R si può
definire {x | R} si dirà anche che R è collettivizzante in x.
Esempio: La relazione (x 0 y) è evidentemente collettivizzante in x. La relazione (x ó x) non
è invece collettivizzante in x; in altre parole (non(Collx(x ó x))) è un teorema. La
dimostrazione si fa per assurdo, supponendo che Collx(x ó x) sia un teorema. Si perviene
con questo ad una contraddizione, la ben nota antinomia di Russel, e dunque (x ó x) non
è collettivizzante. Il procedimento che abbiamo seguito per la costruzione degli insiemi,
facendo cioè a meno dell'assioma di comprensione, che asseriva l'esistenza di insiemi intesi
come collezioni di oggetti verificanti tutti una determinata proprietà, ci ha messo al riparo
già da una delle contraddizioni che erano comparse nella teoria ingenua degli insiemi.
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Teoria degli insiemi
Si consideri ora come relazione R la «x è un asino che vola»: è collettivizzante? Ovvero,
esiste {x | R}? Certamente... sì, non perché esistono asini di tal fatta, ma perché l'insieme
esiste anche se è ovviamente privo d'elementi: lo si chiama insieme vuoto e si indica con i.
Si può definire l'insieme vuoto come «l'insieme di tutti gli x tali che R, quando R è una
relazione falsa per x». La relazione relativa agli asini, va dunque benissimo per definire
l'insieme vuoto, e perciò
{x | x è un asino che vola} = i.
L’insieme vuoto è caratterizzato dal fatto che la relazione «xói» è sempre vera:
Teorema 6. - La relazione (œ x) (x ó X) è funzionale in X.
Dimostrazione: La relazione (œ x) (x ó X) implica (œ Y) (X f Y). Per l'assioma
d’estensionalità la relazione (œ x)(x ó X) è univoca in X. D'altra parte la relazione (œ x)(x
ó CY Y) è vera, il che prova che la relazione (› X)(œ x)(x ó X) è vera. Il termine JX((œ x)(x
ó X)) corrispondente a questa relazione funzionale si rappresenta con il simbolo funzionale
i e si chiama l'insieme vuoto.
Introduciamo ora l'assioma dell'insieme a due elementi:
AI2) (œ x) (œ y) Collz((z = x) o ( z = y)).
Tale assioma esprime il fatto che, dati due insiemi, esiste un insieme i cui soli elementi sono
i due insiemi dati. Indicheremo con {x, y} tale insieme. {z | z = x o z = y}; con {x}
l'insieme {x, x}, insieme composto cioè dal solo elemento x. Tale insieme ridotta ad un solo
elemento si chiama anche singleton, e si scrive E={x}. È importante distinguere l’elemento
a dall’insieme {a} che lo contiene come elemento. In questo caso è corretto scrivere a 0 {a}.
Si è già detto che l’ordine nel quale si scrivono gli elementi di un insieme può essere
qualsiasi, dunque gli insiemi {a, b} e {b, a} sono uguali: dati due elementi distinti si può
costruire uno ed un solo insieme contenente i due elementi.
Esempio:
Siano A={2, 3, 5, 7} e B={5, 2, 3, 7, 5} due insiemi: essi sono uguali, perché contengono gli
stessi elementi. Infatti non contano l’ordine degli elementi né le eventuali ripetizioni. Dire
che due insiemi A e C sono distinti, cioè A…C, significa che esiste almeno un elemento
dell’uno che è differente da tutti gli elementi dell’altro. Ad esempio, A è differente da C={2,
3, 5, 8} infatti 70A e 7óC.
Definita in base all’assioma AI1), la relazione di uguaglianza è:
1) riflessiva: per ogni insieme A, si ha: A = A;
2) simmetrica: se A = B allora B = A;
3) transitiva: se A = B e B = C allora A = C.
Un assioma importante è l’assioma dell’insieme delle parti:
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AI3) (œX)
che enuncia che i sottoinsiemi d’un insieme costituiscono un insieme, che s’indica con (X):
(X)={Y : Yf X}
detto l’insieme delle parti di X.
Esempio:
Si consideri l’insieme E={a, b, c} e si faccia la lista dei suoi sottoinsiemi. Si trova che essi
sono: i; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}. Pertanto, l’insieme delle parti di E
è:
(E)={i; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}}.
L’insieme (E) delle pari di E contiene due elementi notevoli: l’insieme vuoto, i, ed E stesso,
cioè:
i0(E) e E0(E).
Si osservi che, poichè i0(E), l’insieme (E) non è mai vuoto: (E)…i. Questa è vero, in
particolare, se E è l’insieme vuoto, dunque (i)…i , poiché in questo caso l’insieme vuoto
è il solo sottoinsieme di i dunque (i) = {i}. Si può applicare a (E) il ragionamento fatto
per E, cioè considere l’insieme delle parti di (E), cioè ((E)).
Esempio: E={a}, (E)={i; {a}}, {(E)}={i; {i}; {{a}}; {i, {a}}}.
Si osservi che se un insieme A ha n elementi, allora (A)=
Esempio: A={a, b} , (A)=
elementi.
=4={i; {a}; {b}; {a, b}}.
Si consideri ora il criterio:
Se P è una proposizione qualunque ed A un insieme, la proposizione «P e (x0 A)» è
collettivizzante in x.
Questo criterio stabilisce che qualunque proposizione è collettivizzante all’interno d’un
insieme. Esso è di per se intuitivo, giacché, dato un insieme è possibile considerare i suoi
sottoinsiemi, dunque in particolare quello composto da tutti e soli quegli elementi per i quali
la P è vera. Pertanto, per evitare di trovarsi in difficoltà nello stabilire se una relazione è
o no collettivizzante, si potrebbe pensare che potrebbe bastare dotarsi d’un insieme
abbastanza grande ed utilizzare soltanto i suoi sottoinsiemi: ad esempio l’universo. Tuttavia,
se
Definizione: Si dice universo o classe totale, la collezione di tutti gli insiemi
si può dimostrare che
Teorema: L’universo non è un insieme,
che formalmente si enuncia con:
non(› X)(œ x)(x0 X).
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Dimostrazione: Se fosse un insieme, ogni proposizione sarebbe collettivizzante, e si è
dimostrato che (x ó x) non lo è.
Occorre dunque una grande cautela nel dire che un termine è un insieme. Per i nostri scopi
è comunque sufficiente stabilire che: si chiama insieme un qualunque oggetto d’una teoria
matematica del quale si possa stabilire a priori, con certezza e senza contraddizioni, quali
altri oggetti della teoria contenga, detti elementi dell’insieme.
Esempi:
A={x | x è una vocale dell’alfabeto},
B={x | x è un numero naturale pari minore di 10},
C={x | x è un numero naturale dispari},
D={x | x è u numero naturale potenza di 2}.
Tuttavia, se nella pratica questa definizione va abbastanza bene, non è così nella teoria
formale. Il fatto che la teoria degli insiemi non abbia costanti, significa che non si può
verificare a priori, come in altre teorie matematiche, se un termine possa o no esser incluso
nella teoria, perché verifica gli assiomi iniziali. Dunque, non appena si costruisce un insieme
a partire da altri insiemi, occorre in pratica accettarlo come tale attraverso un assioma od
uno schema d’assioma.
Si chiama schema di selezione ed unione il seguente:
AI8) Siano R una relazione, x, y, X, Y, lettere distinte, X, Y non figuranti in R. La
relazione ((œ y) (› X)(œ x)(R Y (x 0 X))) Y ((œ Y) Collx((› y) ((y 0 Y) e R))) è un
assioma inplicito di T.
Intuitivamente, la relazione (œ y) (› X) (œ x) (R Y (x 0 X)) significa che per ogni insieme y
esiste un insieme X, che può dipendere da y, i cui elementi sono tutti e soli gli insiemi x che
si trovano in relazione R con y. Ciò significa che, dato y qualunque, esiste l’insieme X = {x
| R(x, y)} degli x tali che R(x, y). La seconda relazione ((œ Y)
((› y)((y0 Y) e R))),
asserisce che per ogni Y esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli insiemi x che si
trovano in relazione R con almeno un elemento y di Y. Ciò significa che per ogni Y esiste
l’insieme X={x|(› y)(y0 Y) e R(x, y)}, di tutti gli x che sono in relazione R con almeno un
y di Y.
Lo schema AI8) afferma l’implicazione fra le due relazioni dette. Cioè esprime che, se per
un qualunque y, esiste l’insieme degli x che stanno nella relazione R con lui, allora se Y è un
insieme qualunque, esiste un insieme i cui elementi sono esattamente tutti gli oggetti x che
si trovano in relazione R con almeno un elemento y di Y.
Esempio: Sia la relazione R(x, y):= x è parente di y. Allora, dato y, esiste l’insieme X dei
suoi parenti. Per questo motivo, dato un qualunque insieme di persone Y, esiste l’insieme
di quelli che sono parenti d’almeno un y in Y. Ovvero, se per ogni persona esiste l’insieme
dei suoi parenti, allora, per ogni insieme di persone, tutti coloro che sono parenti d’almeno
una delle persone dell’insieme costituiscono un insieme.
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Questo schema permette, a partire da insiemi esistenti, di costruirne di più grandi, la cui
esistenza come insiemi potrebbe essere dubbia.
5.5.3 Operazioni fra insiemi
Si chiamano operazioni fra insiemi le costruzioni di nuovi insiemi o sottoinsiemi a partire
da insiemi dati, secondo certe regole. Se poi gli insiemi dati derivano da relazioni
collettivizzanti, tali operazioni corrispondono esattamente ad operazioni logiche sulle
relazioni.
Unione: unire due insiemi A e B vuol dire costruire l'insieme C che ha come elementi tanto
quelli di A che quelli di B. Si usa scrivere allora C = A c B.
C = A c B = {x | x0A w x0 B}
Esempio: A={a, b, c}, B={a, b, d, e} Y C=Ac B={a, b, c, d, e}.
Si può scrivere naturalmente che
e che la relazione sia
collettivizzante deriva dagli schemi AU5) ed AI8).
Se R ed S sono relazioni, e A =
B=
AcB=
, allora
.
Risultano le due proprietà associativa e commutativa
A c (B c C) = (A c B) c C,
AcB=BcA
ed inoltre A c i = A.
Intersezione: Si chiama così l'insieme D = A 1 B che ha come elementi tutti e soli quelli
comuni ad A e B. Cioè:
D = A 1 B = {x | x0 A v x0 B}.
Esempio: considerando gli insiemi dell’esempio precedente, D = A 1 B = {a, b}.
Si può scrivere naturalmente che A 1 B=
e la relazione è collettivizzante
perché A 1 B è sottoinsieme sia di A che di B.
Se R ed S sono relazioni, e A =
B=
A1B=
, allora
.
Risultano le due proprietà associativa e commutativa.
A 1 (B 1 C)= (A 1 B) 1 C,
A1B=B1A
eA1i=i
inoltre valgono le due leggi distributive
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A c (B 1 C) = (A c B) 1 (A c C)
A 1 (B c C) = (A 1 B) c (A 1 C).
Differenza: A ! B = E è l'insieme costituito da tutti gli elementi di A che non sono di B:
E = A ! B = {x | x0A v xóB}.
Esempio: Se A={a, b, c}, B={a, b, d, e}, E=A!B={c}.
Se R e S sono relazioni, e A=
e B=
A!B=
Esempio:
.
A={le attrici americane}
B={le attrici bionde}
A! B={le attrici americane che non sono bionde}
Nel caso in cui B f A, E si chiama il complementare di B rispetto ad A. Siano A ed X insiemi;
per il C29) la relazione «x ó A e x 0 X» è collettivizzante in x: si definisce allora come
complementare di A rispetto ad X l'insieme {x | x ó A e x 0 X}, e s’indica con CX A.
Esempio:
A={le attrici americane}
B={le attrici americane bionde}
={le attrici americane non bionde}
Valgono le leggi di De Morgan:
A! (Bc C)=(A!B)1 (A!C)
A! (B1C)=(A!B)c (A!C)
Differenza simmetrica: Aª B={x : x0Ac B e xóA1 B} si legge A aut B ed è un sottoinsieme
di A. E’ l’unione degli insiemi (x0A e xóB) ed (x0B e xóA), cioè
A ª B = (A c B) ! (A 1 B) = ( A ! B) c ( B ! A).
Esempio: A={a, d, b, x, u}, B={c, d, b, y}, Aª B={a, x, c, u, y}
Se R ed S sono relazioni e A=
AªB=
Esempio:
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e B=
.
A = {le attrici americane},
B = {le attrici bionde},
Aª B = {le attrici americane non bionde e le attrici bionde non americane}.
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5.5.4 Coppie, prodotto e relazioni
Un concetto che ha una grande importanza nella teoria degli insiemi è quello di coppia (o
coppia ordinata). Si tratta di qualcosa di ben diverso dall'insieme a due elementi di cui si
è postulata l'esistenza; nella coppia s’ha infatti l'esigenza d’avere una sorta di precedenza
fra i due elementi, un loro diverso ruolo all'interno della coppia. Si dice coppia ordinata
avente x come prima proiezione e y come seconda proiezione un oggetto che s’indica con
(x,y). Se (a,b) è un'altra coppia ordinata si definisce la loro uguaglianza:
((a,b) = (x,y)) ] (a = x e b = y) .
Questa definizione permette di dire che in generale (x,y) … (y,x) a meno che non risulti x =
y.
S’osservi che non s'è detto cosa sia l'oggetto (x,y): in effetti, si può considerare un insieme,
una funzione o un diagramma, qualcosa comunque di preesistente alla sua definizione,
perché in pratica serve solo sapere quand'è che due coppie sono uguali. D'abitudine si
definisce come «coppia formata da x come prima proiezione e y come seconda proiezione
» o, più brevemente, «coppia x, y» l'insieme (x, y) = {{x}, {x, y}}. In tal caso la sua
esistenza è assicurata dall’assioma AI2).
Definire una coppia come un insieme che contiene l'insieme composto dalla sola x e quello
composto da x ed y non è molto rilevante, ma serve per poter identificare una coppia con
un insieme ben determinato. Resta il fatto che così si mette in evidenza il fatto che l'insieme
{x, y} appartiene alla coppia (x, y), carattere del tutto marginale e completamente privo di
interesse per l'uso che della coppia si farà in seguito. Si potrebbe evitare questa seccatura
introducendo il concetto di coppia con un simbolo puramente matematico:
osservi il seguente criterio:
Se A e B sono dei termini, il raggruppamento
B), è un termine.
Å, il quale
ÅAB, che si indicherà praticamente con (A,
La cosa è indifferente, giacché vale il seguente teorema::
Teorema 7. La relazione «{x}, {x, y}} = {{x'}, {x', y'}}» è equivalente alla «x = x' e y =
y'».
Dimostrazione: poiché due coppie non ordinate sono uguali solo se hanno gli stessi elementi,
vi sono due possibilità:
i) {x} = {x’}, {x, y} = {x’, y’}. In tal caso x =x’, y =y’
ii) {x} = {x’, y’}, {x’} ={x, y}. Ma allora x = x’ = y’, x’= x = y.
In entrambi i casi si è dimostrato quanto voluto.
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Risulta quindi che due coppie sono uguali quando sono uguali fra loro le prime e le seconde
proiezioni rispettivamente. Non sorgono difficoltà di sorta, giacché ci si possono dimenticare
le altre proprietà della definizione di coppia così data, conservando soltanto quella espressa
dal teorema 7, che è quella che servirà in seguito.
Formalmente s’indica con «z è una coppia» la relazione «(› x) (› y) (z = (x, y))» e con pr1z
e pr2z, i termini Jx(› y) (z = (x, y)) e Jy(› x)(z = (x, y)), che si chiamano rispettivamente
prima e seconda proiezione di z.
Il seguente teorema permetterà l'introduzione del prodotto di due insiemi.
Teorema 8. La relazione «z è una coppia e pr1z 0 A e pr2z 0 B» è collettivizzante in z.
L'insieme di cui si afferma l'esistenza nel teorema s’indica con A × B e si chiama insieme
prodotto di A per B. Siano ora A e B due insiemi qualsiasi: risulta allora
A × B = {(a,b) | a 0 a, b 0 B}.
A partire dalla coppia, si può definire la terna (x,y,z) = ((x,y),z), una coppia avente la
coppia (x,y) come prima proiezione; la quaterna (x,y,z,t) = ((x,y,z),t) e così via, definendo
la n-pla (x1,x2,...xn) = ((x1,...xn-1), xn) in modo ricorsivo. Si definiranno così le n proiezioni
della n-pla, dicendo che x1 è la prima, x2 la seconda, ..., xn l'n-esima.. Risulta A × B … B ×
A e si conviene che i prodotti di terne,..., n-ple, siano definiti ricorsivamente sul tipo di (A
× B) × C = A × (B × C) = A × B × C , anche se non sono proprio la stessa cosa.
E' ovvio che A × B … B × A.
Esempio: Se A={b, d, e}, B={2, 8}
A× B={(b, 2), (b, 8), (d, 2), (d, 8), (e, 2), (e; 8)}
B× A={(2, b), (8, b), (2, d), (8, d), (2, e), (8, e)}
Questo esempio mostra che in generale risulta A × B … B × A e dunque il prodotto non è
commutativo. Si osservi, inoltre, che se (x, y) è un elemento di A × B, allora (y, x) è un
elemento di B × A, cioè:
((x, y)0 A×B) ] ((y, x) 0 B×A).
Casi particolari: 1) Se A=B, il prodotto cartesiano A×A si indica anche con
Esempio: A={a, b, c},
.
={(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
2) Dall’insieme
, si consideri il sottoinsieme )(A), formato dalle coppie che hanno le
componenti uguali:
)(A)={(a, a), (b, b), (c, c),...}
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si chiama diagonale di A.
5.5.5 Corrispondenze e funzioni
Dal punto di vista degl’insiemi, le operazioni proposte giocano un ruolo simile a quelle usate
per il normale calcolo numerico. Per occuparsi invece di relazioni fra elementi d’insiemi,
occorre introdurre delle leggi che permettano d’associare elementi d’ insiemi ad elementi
d’altri insiemi. Basta pensare alla legge che ad ogni persona fa corrispondere i propri
genitori, ad ogni automobile la propria targa, ad ogni luogo la propria temperatura, ad ogni
numero il proprio quadrato: si tratta di relazioni fra elementi d’insiemi che, a seconda degli
elementi considerati si scelgono si rivelano vere (se per es. ho preso i genitori veri della
persona scelta) o false (nel caso che siano altre persone).
Sia R una proprietà definita in A×B e vera per qualche elemento; essa individua le coppie
(x,y) per le quali R è vera. Ciò si può interpretare dicendo che R stabilisce una relazione o
corrispondenza fra elementi di A ed elementi di B: si dice che x0 A è in relazione con y0 B,
e si scrive
xR y,
se R è vera per (x, y); si dice anche che R individua una relazione o corrispondenza da A a
B: se xRy, si dice anche che x è in corrispondenza con y, oppure che y è corrispondente di
x.
L’insieme G:= {(x, y) 0 A× B *R } costituito da tutte le coppie per cui la relazione sussiste,
si dirà grafico di R. Si definisce grafico un insieme i cui elementi sono coppie. Una
corrispondenza tra A e B è una terna ' = (G, A, B), dove G è un grafico, tale che pr1G f A
e pr2G f B, sono gli insiemi:
{x 0 A * › y(xR y)}
e
= {y 0 B* › x(xR y)}
e rispettivamente sono il dominio e codominio di R.
Esempio: Sia A={1, 2, ..., 8}, B={2, 3, 4, 5, 6}, e la relazione da A a B
xR y ] (x e y sono pari).
In questa relazione ogni elemento dispari di A non è in corrispondenza con alcun elemento
di B e ogni elemento dispari di B non è corrispondente di alcun elemento di A.
Esempio: Se A è l’insieme delle parole di un certo dizionario e B=ù* è l’insieme dei numeri
naturali positivi, considerata la relazione
x Rn] la parola x è costituita da n lettere;
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chiaramente si avranno più parole a cui corrisponde il medesimo numero n, mentre i numeri
naturali maggiori di un certo valore (massima lunghezza delle parole contenute in A) non
sono corrispondenti di alcun elemento di A.
Si possono quindi introdurre le funzioni canoniche che ad ogni coppia associa ciascuna delle
sue proiezioni. Si usano chiamare canoniche le funzioni, come ad esempio la funzione
identica f:A : A definita da f:a 6 a, per ogni a 0 A, la cui legge di definizione è naturalmente
legata alla struttura degl’insiemi dominio e codominio. Così, canonica è la biiezione (a,b) 6
(b,a), se B f A è canonica l'immersione f: b 6 b in quanto f: B 6 A, canoniche infine sono le
proiezioni del prodotto cartesiano.
A 7P1r AxB 6P2r B
a 7P1r (a,b) 6P2r b
Per tornare al prodotto A × B, si possono definire, a partire dalla definizione di terna e di
n-pla, i vari prodotti A × B × C, A1 × A2 × ... × An, con le relative proiezioni canoniche.
In sostanza il prodotto cartesiano è l’insieme delle coppie ordinate aventi primo elemento
in A e secondo elemento in B:
A×B={(x, y) : x0 A e y0 B}.
Assegnata una relazione R da A a B, la relazione da B a A individuata dal sottoinsieme
di B×A inverso di G è detta inversa di R; per essa s’ utilizzerà il simbolo
.
Formalmente:
= {(y, x) 0 B×A * (x, y) 0R}.
Una relazione R da A a B, se B=A, si dice relazione binaria in A; in tal caso R è una
proprietà definita in
. Sia R una relazione binaria in A; seguono le seguenti definizioni:
R è riflessiva ] œ x(x Rx),
R è simmetrica ] œ xœ y(xR yY yRx),
R è transitiva ] œ xœ yœ z(xR y e yR z YxR z),
R è antisimmetrica ] œ xœ y(xR y e yR xY x=y).
Esempi: Verranno considerate quattro relazioni binarie in ù ; con (
gli elementi di
1)
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) si indicheranno
:
;
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non è riflessiva, non è simmetrica, non è transitiva, è antisimmetrica.
2)
;
è riflessiva, simmetrica, transitiva, non è antisimmetrica.
3)
;
non è riflessiva, è simmetrica, non è transitiva, non è antisimmetrica.
4)
;
non è riflessiva, è simmetrica, non è transitiva, non è antisimmetrica.
Esempio: R=relazione di matrimonio, xR y significa che x è un uomo, y una donna e x, y
sono sposati fra loro.
Una relazione binaria R di A si dice relazione di equivalenza in A se essa è riflessiva,
simmetrica e transitiva; si chiama classe di equivalenza dell’elemento x0 A l’insieme
costituito dagli elementi di A in relazione di equivalenza con x. Per indicare che x è in
relazione di equivalenza con y si scrive:
x - y,
e si legge x è equivalente ad y. Per la classe di equivalenza dell’elemento x si usa il simbolo
[x]: dunque
[x]:={y 0 A * y - x}.
In virtù della riflessività di R, x appartiene alla propria classe di equivalenza; in
conseguenza della transitività di R, classi di equivalenza distinte sono disgiunte, cioè classi
di equivalenza non coincidenti non hanno punti in comune. Infatti se [x] e [y] hanno un
elemento in comune, per esempio z, allora da x- z e z - y segue x - y, e quindi [x]=[y]. In
conclusione: le classi di equivalenza costituiscono una partizione di A. Inversamente, se ö
d (A) è una partizione di A stesso, la relazione
xR y ] › X(x0X e y0 X),
dove la proposizione a secondo membro è relativa agli insiemi X 0ö, è chiaramente una
relazione di equivalenza in A, avente come classi di equivalenza esattamente gli insiemi della
famiglia assegnata; x è in relazione con y se e solo se esiste un insieme della famiglia ö a cui
appartengono entrambi gli elementi. In generale, assegnata nell’insieme A una relazione di
equivalenza R, l’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza si indica con il simbolo
A/R e si chiama insieme quoziente di A rispetto ad R.
Esempio: La relazione binaria in Z
R ] › k(
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= 2k),
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cioè la differenza è pari, è una relazione d’equivalenza detta congruenza in Z modulo 2. Le
proproetà riflessiva e simmetrica sono ovvie, quanto alla proprietà transitiva, se
con k’, k”0 Z, sommando membro a membro si ottiene, come si voleva,
I numeri e
sono in relazione se e solo se i resti delle divisioni di per 2 e di per 2 sono
uguali; poiché tali resti possono solo essere 0 o 1, le classi di equivalenza individuate da R
sono due: quella dei numeri pari, [0], e quella dei numeri dispari, [1]. Se è in relazione con
si scrive
che si legge è congruo a modulo 2.
Una corrispondenza f = (F, A, B) è una funzione se, per ogni x 0 A, la relazione «(x, y) 0 F»
è funzionale in y. Si indicheranno a volte grafico e funzione con la stessa lettera.
Così il grafico della prima corrispondenza detta, ha tutte coppie del tipo le due (persona, sua
madre) e (persona, suo padre); quello della seconda è costituito dalle coppie (automobile,
targa), quello della terza la tabellina (luogo, temperatura) che si legge sui giornali.
Naturalmente si può verificare che, la seconda è una funzione.
Se f è una funzione da A a B s’usa scrivere
f: A 6 B
se poi x 0 A, per indicare l'elemento corrispondente y 0 B si può scrivere
y = f(x)
Intuitivamente una funzione è una legge che associa ad ogni elemente di A uno e un solo
elemento di B; A si dice dominio e B codominio.
Si definisce grafico un insieme i cui elementi sono coppie. Una corrispondenza tra A e B è
una terna ' = (G, A, B), dove G è un grafico, tale che pr1G f A e pr2G f B, con ovvio
significato dei simboli pr1G e pr2G.
Una corrispondenza f = (F, A, B) è una funzione se, per ogni x 0 A, la relazione «(x, y) 0 F»
è funzionale in y. Si indicheranno a volte grafico e funzione con la stessa lettera.
Così il grafico della prima corrispondenza detta ha come coppie, per ogni persona le due
coppie (persona, sua madre) e (persona, suo padre); quello della seconda è costituito dalle
coppie (automobile, targa), quello della terza la tabellina luogo-temperatura che si legge sui
giornali. Naturalmente si può verificare che le ultime due corrispondenze sono funzioni.
Se f è una funzione da A a B s’usa scrivere
f: A 6 B
se poi x 0 A, per indicare l'elemento corrispondente y 0 B si può scrivere
y = f(x)
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Intuitivamente una funzione è una legge che associa ad ogni elemente di A uno e un solo
elemento di B; A si dice dominio e B codominio.
Per sapere se una corrispondenza è una funzione bisogna allora verificare due cose:
1) che ogni elemento del dominio abbia un corrispondente
2) che questo corrispondente sia unico.
Ad esempio, la corrispondenza fra numeri reali non soddisfa nessuna delle due ipotesi:
difatti, se x è negativo la radice non si può fare, e poi per x positivo ci sono due valori, +x
e -x e quindi non valgono né la 1 né la 2.
Vale la pena di segnalare un'ulteriore suddivisione fra funzioni secondo certe proprietà
particolari. Così le funzioni possono assumere dei nomi particolari se valgono queste
condizioni (che naturalmente possono non valere):
1) ogni elemento del codominio ha al massimo un corrispondente ma anche nessuno nel
dominio: la funzione si chiama iniettiva, o iniezione.
2) ogni elemento del codominio ha corrispondenti nel dominio: la funzione si chiama
suriettiva o suriezione.
3) la funzione è suriettiva e iniettiva: la si chiama biiettiva o biiezione.
Torniamo ora alle funzioni: esse si possono classificare secondo quattro tipi in base alle
possibili relazioni che esse stabiliscono fra elementi del dominio ed elementi del codominio.
Funzione è il termine che s’usa per il tipo più generale: una legge che permette d’associare
ad ogni elemento del dominio un preciso elemento del codominio. Essa s’indica con f: A 6 B.
In particolare, due elementi di A possono essere associati allo stesso elemento di B e possono
esistere elementi di B che non sono associati ad alcun elemento di A.
Si chiama iniezione o funzione iniettiva una funzione per la quale nessun elemento del
codominio sia immagine di più d'un elemento del dominio e s'indica con
.
Si chiama suriezione o funzione suriettiva una funzione per la quale ogni elemento del
codominio è immagine d'almeno un elemento del dominio e s'indica con
.
Si chiama biiezione o funzione biiettiva (ma anche corrispondenza biunivoca) una funzione
allo stesso tempo iniettiva e suriettiva e s'indica con A : B. Una biiezione associa dunque
ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B e viceversa.
Precisando, si dice che una funzione f : A 6 B è suriettiva se e solo se, per ogni b 0 B, esiste
a0A tale che (a, b) 0 f, ossia f(a) =b.
Se gli insiemi A o B sono finiti e il numero di elementi di B è maggiore di quello degli
elementi di A, allora non può esistere alcuna funzione suriettiva da A a B.
Esempio: Se C={4, 6, 8, 10, 12} e D={3, 5, 7, 10}, la funzione da C a D ,
g={(4, 3), (6, 7), (8, 5), (10, 10), (12, 3)}
è suriettiva.
Se E={2, 4, 6, 8, 10, 12} e F={6, 8, 12, 14, 18, 20}, la funzione da E a F,
h={(2, 6), (4, 8), (6, 8), (8, 8), (12, 20), (10, 12)}
non è suriettiva, né iniettiva.
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Si dice che una funzione f :A6 B è iniettiva se e solo se, per ogni a, a’0 A, se (a, b) 0 f e
(a’,b)0 f , allora a=a’(se a… a’, allora f (a) … f (a’)),ossia ad elementi distinti di A
corrispondono elementi distinti di B. Se gli elementi A e B sono finiti e il numero di elementi
di A è maggiore del numero di elementi di B, allora non esiste alcuna funzione iniettiva da
A in B.
Esempio:
Se A={3, 5, 6, 7} e B={4, 8, 9, 10, 12}, la funzione da A a B,
f ={(5, 10), (3, 12), (7, 9), (6, 4)}
è iniettiva.
Supponiamo d'avere un diagramma del tipo qui a fianco, dove figurano due
funzioni f: A 6 B e g: B 6 C. Si capisce che, se b 0 B, può capitare che sia
b = f(a) per qualche a 0 A; in tal caso l'elemento c 0 C tale che c = g(b) risulta
associato all'elemento a tale che f(a) = b. Si può allora scrivere c = g(f(a)), visto
che f(a) non è altro che l'elemento b. In questo modo, per ogni a 0 A risulta determinato un
c, ed uno solo, tale che c = g(f(a)). Risulta quindi definita una legge h: A 6 C che ad ogni
elemento di A associa h(a) = g(f(a)). Questa funzione h si suole indicare h = g B f, e si
chiama funzione composta di f e g. Si noti che per esigenze di scrittura ci si trova a scrivere
in ordine inverso le funzioni f e g dal momento che dev'essere (g B f)(a) = g(f(a)).
Aggiungendo la h = g B f il diagramma risulta quello a fianco, dove seguendo
comunque le frecce, si giunge sempre allo stesso punto. Questo fatto si usa
esprimerlo dicendo che il diagramma è commutativo, che, per spiegarsi meglio,
significa che applicando ai diversi insiemi le funzioni indicate secondo la
successione data dalle frecce, si ottengono comunque gli stessi risultati.
Ricordiamo solo che un grafico funzionale (cioè il grafico d’una funzione) si chiama anche
una famiglia: in questo caso l'insieme di partenza si chiama insieme degl’indici, quello di
arrivo insieme degli elementi della famiglia, anche se la locuzione non è esatta.
Sia X una famiglia, I il suo insieme di indici. Per accordarci con la notazione abituale la
indicheremo con (Xi)i0I, dove gli insiemi Xi non sono altro che le seconde proiezioni delle
coppie che appartengono alla famiglia. Poichè la relazione (œx)((i 0 I e x 0 Xi) Y (x 0 Xi))
è vera, risulta da S5) e C19) che la relazione (œ i)(› Z)(œ x)((i 0 I e x 0 Xi) Y (x 0 Z)) è vera.
Per lo schema S8), la relazione (› i) (i 0 I e x 0 Xi) è collettivizzante in x. L'insieme così
definito definisce l'unione degli elementi della famiglia.
Cerchiamo ora di vedere più da vicino come si dimostra che gBf è una funzione. Innanzitutto
bisogna ricordare che cosa è una funzione: si è detto che è una legge che permette di
collegare ogni elemento del dominio con un preciso elemento del codominio. Ora bisogna far
vedere che per ogni a 0 A esiste un elemento c 0 C, unico, tale che sia
g B f(a) = c.
Sia a° 0 A un elemento di A: essendo f una funzione, esiste uno ed un solo b° 0 B tale che sia
b° = f(a°); inoltre, per ogni b 0 B, dunque anche per b°, esiste un unico c° 0 C tale che sia
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c° = g(b°), perché anche g è una funzione. Dunque, se c° = g(b°) si può scrivere c°=g(f(a°)).
Sia ora a' 0 A. Analogamente esisterà in C un c' = g(f(a')) e così via. Si può allora definire,
attraverso l' uguaglianza gBf(a) = g(f(a)), il comportamento della funzione gBf sugli elementi
di A: precisamente
gBf: A 6 C è gBf: a 6 g(f(a)).
Supponiamo ora per assurdo che esista in C un c^ … c° tale che risulti g(f(a°)) = c^. Allora
deve'essere c^ = g(b^) per qualche b^ 0 B, perché c^ 0 g(B), ma allora bisogna che sia
b^ … b° = f(a°) perché altrimenti g non sarebbe una funzione, per la quale ad ogni
elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio, mentre invece
risulterebbe g(b°) = c° = c^. Per lo stesso motivo però deve essere b^ = f(a^) con a^
… a°, perché f è una funzione. E così si arriva all' assurdo che c^ = g(f(a^)) con a^ … a°
contrariamente all' ipotesi che s'era fatta che fosse c^ = g(f(a°)). Dunque sarà c^ = c°.
Questa dimostrazione è stata data in modo molto esplicito ed è fatta di due parti: nella prima
s’è dimostrato, deduttivamente e costruttivamente che c'è un modo per associare ad ogni a
un c, a partire dalle due funzioni f e g date; nella seconda, s’è dimostrato per assurdo che
tale c è unico, e che dunque g B f è una funzione.
Sia ora f: A 6 B una funzione. Allora si può definire l'insieme
Gf = {(a,b)|a0A e b0B e b=f(a)}.
Per ogni funzione f esiste un tale insieme, che risulta Gf f A × B e che si chiama grafico
della funzione. Viceversa, consideriamo ora un sottoinsieme qualunque di A × B, e sia esso
C e domandiamoci quando accade che esso sia il grafico di una funzione.
Questa domanda non è banale, dal momento che A × B stesso non è il grafico di una
funzione non appena B contiene almeno due elementi distinti b, b': se infatti a 0 A, sia (a,b)
che (a,b') sono elementi di A × B e dunque sarebbe b = f(a), ma anche b'= f(a), assurdo
rispette alla definizione di funzione. Tenendo conto di questo, si può quindi dire che,
affinché C sia il grafico d’una funzione occorre che per ogni a 0 A esista e sia unica in C una
coppia avente proprio quello come prima proiezione. Si può anche dire che, affinché
Ff f A × B sia il grafico d’una funzione, ovvero sia un grafico funzionale, occorre e basta
che la if: A : Ff definita da a μi (a,x), con x qualunque sia una biiezione.
Riprendendo il problema del grafico funzionale, dimostriamo che la condizione sufficiente.
Esista dunque la biiezione in questione; allora, per ogni a 0 A esiste ed è unica la coppia
(a,x) 0 Ff. Si fissa allora x = f(a) e la f è la funzione di cui Ff è il grafico: difatti, essa è
definita su tutto A e ad ogni elemento corrisponde un solo x 0 B. Di più, da x = f(a) si vede
che una coppia di Ff si può scrivere come (a,f(a)). Dimostriamo ora la condizione
necessaria: se Ff è un grafico funzionale, significa che ogni elemento è del tipo (a,f(a)). Ma
allora, siccome f è una funzione, f(a) è definita per ogni a 0 A ed è un elemento ben definito
di B.Allora la corrispondenza a μ (a,f(a)) è certamente la biiezione cercata.
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Un'interessante conseguenza di questo teorema è che una
funzione f:A 6 B qualsiasi si può sempre fattorizzare in
una composizione di funzioni, secondo i diagrammi
commutativi a fianco indicati, con
if:a μ (a,f(a)) sempre iniettiva e pf: (a,b) μ b.
Si può allora vedere anche che :
Se f è iniettiva Pf è iniettiva
Se f è suriettiva Pf è suriettiva
Se f è biiettiva Pf è biiettiva.
Le proprietà d'una funzione si ritrovano anche nei corrispondenti grafici. Conviene dunque
fare una digressione sui grafici, intesi come sottoinsiemi d’un prodotto cartesiano.
Supponiamo d’avere due grafici, G f A × B e G' f B × C. Allora hanno senso i due termini
così definiti:
G-1 = {(b,a)| (a,b) 0 G}
che si chiama inverso di G ed è G' f B x A e
G' B G= {(a,c)| (›b)((a,b) 0 G e (b,c) 0 G')}
che si chiama grafico composto di G e G', G' B G f A × C.
Si definisce poi IA = {(a,a)| a 0 A}, IA f A × A e si chiama grafico identico.
Inoltre, si definiscono i due insiemi proiezioni del grafico, Pr1(G) = {a|(a,b) 0 G} e
Pr2(G) = {b|(a,b) 0 G}. Se si tiene conto che ad ogni funzione si può associare un grafico
funzionale e che ogni grafico definisce una funzione, si può definire una funzione in base al
suo grafico, al dominio ed al codominio: essa infatti è ben definita non appena siano dati
questi tre termini. Effettivamente in questo modo non s’impone nulla di troppo, giacché due
funzioni possono avere ugual grafico, ma diverso dominio e codominio.
Definizione: Una funzione f è una terna f = (F,A,B), con F f A × B che verifica:
1) F è un grafico funzionale
2) Pr1F = A.
Si noti che, lasciando cadere le due condizioni date, la terna non definisce più una funzione,
ma una corrispondenza fra A e B. Se poi anche A = B, la terna (F,A,A) si chiama relazione
binaria in A.
A partire dalle definizioni date di grafico identico, inverso e composto di due, si possono
dare le definizioni di corrispondenza inversa, composta e di funzione identica.
Precisamente, se C = (G,A,B), C' = (G',B,C) sono corrispondenze, si definisce
corrispondenza inversa della C la corrispondenza
C-1 = (G-1,B,A),
e corrispondenza composta di C e C' la
C'B C = ( G'B G,A,C).
Si noti che la corrispondenza composta si scrive all'incontrario dei grafici composti, per
poter poi scrivere la funzione composta nel modo già definito precedentemente. Inoltre, la
funzione identica è IA=(IA,A,A).
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Si dimostra che, se G, G', G'' sono grafici, vale la cosiddetta proprietà associativa della
composizione:
(G'' B G')B G = G''B (G' B G).
La dimostrazione si fa tenendo conto di quali sono gli elementi dei due grafici, cioè tenendo
conto dell'assioma A1: basta dunque far vedere che ognuno è contenuto nell'altro. Ora un
elemento di (G'' B G') B G è una coppia (a,d) 0 A × D, tale che esistono b 0 B e (a,b) 0 G f
A × B, e (b,d) 0 G'' B G' f B × D. Quest'ultima asserzione significa che che esiste c 0 C tale
che (b,c) 0 G' e (c,d) 0 G''. Ma allora la coppia (a,c) 0 G' B G, e quindi la coppia (a,d) può
risultare dall'aver composto (a,c) con (c,d). Risulta dunque che (a,d) 0 G'' B (G' B G) . Si può
ragionare analogamente in senso inverso per dimostrare l' altra inclusione.
E' abbastanza facile verificare allora che per le corrispondenze vale la stessa proprietà ed
anche per le funzioni: occorre per le prime verificare che dominio e codominio siano gli
stessi e per le seconde che i grafici composti siano funzionali e che il dominio sia quello che
deve essere.
Vediamo ora come si comporta la composizione fra funzioni e grafici funzionali
relativamente all'essere le funzioni iniettive, suriettive o biiettive.Si può immaginare che i
grafici di funzioni iniettive, suriettive, o biiettive, avranno certamente certe proprietà in più
degli altri, così come le funzioni con tale nome hanno qualche proprietà in più delle altre.
Vediamo allora come si traduce in termini di grafico, nel caso d'una funzione iniettiva, il
fatto che ad elementi diversi del dominio A di f corrispondono diversi elementi di B. Basta
tradurre il concetto in simboli: a … a' Y f(a) … f(a'), dunque F è il grafico d’una funzione
iniettiva se, date due coppie (a,b) e (c,d) 0 F risulta (a…c) Y (b…d). Se invece la funzione f
è suriettiva, la condizione Im(f) = B diventa Pr2F = B. Per una funzione biiettiva devono
valere entrambe le condizioni e dunque entrambe saranno richieste per il grafico d'una
funzione biiettiva.
Allora, tenendo conto del diagramma commutativo:
A 61i F
ove i1: a μ (a,f(a)) (sempre biiettiva) e Pr2: (a,f(a)) μ f(a) 0 B
sono tali che f= Pr2 B i1,
f ` 9Pr
B
si può dire che Pr2 è iniettiva, suriettiva o biiettiva secondo quello che è f.
2
Cercando di sintetizzare, nel grafico F compaiono coppie che, se f è iniettiva, hanno seconde
proiezioni tutte differenti e, se f è suriettiva, hanno tutti gli elementi di B come seconde
proiezioni. Naturalmente, nel caso di f biiettiva, valgono l'una e l'altra proprietà.
Supponiamo ora fissata f:A 6 B. Si dice che una funzione fs:B 6 A è un'inversa sinistra di
f, se fs B f = IA dove IA:a μ a è l'identità in A e che fd:B 6 A è un'inversa destra se f B fd = IB,
dove IB:b μ b è l'identità in B.
Teorema:
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Una funzione f possiede un'inversa sinistra fs se e solo se è iniettiva, ed un'inversa destra fD
se e solo se è suriettiva. In tal caso, fs è suriettiva ed fd è iniettiva. Se è biiettiva le possiede
tutte e due, che si riducono ad un'unica funzione inversa, f-1:B 6 A biiettiva anch'essa e tale
che
f B f-1 = IB e f-1 B f = IA.
Dimostrazione:
Supponiamo che f sia iniettiva e mostriamo che esiste l'inversa sinistra. Si definisca fs:B 6 A
come segue: se b 0 Im(f) f B e b = f(a) si pone senz'altro fs(b) = a, senza pericolo
d’ambiguità, perché la funzione f iniettiva fa sì che ogni b provenga da un a soltanto. Se
invece b ó Im(f), allora si pone fs(b) = a 0 A qualsiasi (magari sempre lo stesso ed uguale
all'oggetto privilegiato Jx(x0A) = fs(b). Risulta che fs B f = IA: infatti risulta
fs B f(a) = fs(f(a)) = a per la definizione di fs. Inoltre fs è suriettiva, dal momento che ogni
a ha un corrispondente in B, che viene dunque dalla fs rimandato nell'elemento a di
partenza.
Sia ora f tale che esista fs sua inversa sinistra. Questo vuol dire che fs B f = IA, ovvero che
fs(f(a)) = a. Se allora c'è un b tale che f(a) = b = f(a') con a … a', si perviene all'assurdo che
fs non può essere definita per b se non contraddicendo l'ipotesi che fs sia inversa sinistra. Si
noti che, data f, secondo il modo in cui si definiscono le immagini tramite la fs di
b 0 (B - Imf), ci si trova di fronte a tante diverse inverse sinistre.
Dimostriamo ora la seconda parte di teorema:
Sia f suriettiva e per ogni b 0 B poniamo Fd(b) = Jx(x 0 A e f(x) = b), esistente, perché f è
suriettiva. Ne risulta che f B fd = IB, ovvero f(fd(b)) = f(Jx(x 0 A e f(x) = b)) = b e che fd è
iniettiva, perché certamente b diversi provengono da elementi diversi di A, mediante f , che
è una funzione, e dunque b … b' Y Jx(x 0 A e f(x) = b) … Jx(x 0 A e f(x) = b'), cioè
fd(b) … fd(b').
Anche in questo caso ci si trova di fronte a tante diverse inverse destre.
Sia ora f biiettiva e si definisca, se b = f(a), a = f-1(b). Questa è certamente biiettiva e risulta
f-1B f(a) = a e f B f-1(b) = b. Se poi f* è tale che f B f* = IB, moltiplicando a sinistra per f-1
risulta ( f-1 B fB f*) = (f-1B f) B f * = IA B f * = f * = f-1 B IB = f-1. Analogamente per f° tale che
f° B f = IA.
5.5.6 Insiemi finiti e infiniti
Siano ora (Xi)i0I una famiglia d’insiemi, F un grafico funzionale avente I come insieme di
definizione e tale che per ogni i 0 I s’abbia F(i) 0 Xi. Si ha che e quindi che F è un elemento
di P(I × A).
Si chiama prodotto degli insiemi della famiglia (Xi)i0I e s’indica
simbolicamente con l'insieme di tutti i grafici funzionali del tipo sopra indicato. Per ogni
i 0 I, Xi si chiama fattore di indice i del prodotto; la funzione F 6 F(i) si chiama i-esima
proiezione del prodotto.
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Teoria degli insiemi
Teorema 9. Perchè
sia vuoto occorre e basta cha sia vuoto almeno uno dei suoi
fattori.
Dimostrazione: Se per ogni i 0 I, Xi … i; sia Ti il termine Jy(y 0 Xi) (il fatto che Xi sia non
vuoto ci assicura che Ti 0 Xi). Allora il grafico F = è un grafico funzionale che soddisfa alle
condizioni richieste per appartenere a
. Viceversa, se
, la relazione per ogni
j 0 I, mostra che Xj … i.
Si vede pertanto che utilizzando i due segni logici J e ~, insieme allo schema S5) s’è
dimostrato il teorema 9 che è una delle enunciazioni dell'assioma della scelta, che si vedrà
fra poco. S’è pertanto liberi, qualora si debba scegliere un oggetto da ogni insieme di una
data famiglia, di farlo, senza bisogno d’un assioma che ce ne dia l'autorizzazione. Le basi
assiomatiche della teoria degli insiemi hanno ancora un assioma d’estrema utilità,
soprattutto quando si deve trattare con insiemi infiniti:
AI4) Esiste un insieme infinito.
Ovvero,
definizione: per ogni insieme x, il successivo di x è l’insieme ottenuto aggiungendo x agli
elementi di x.
AI4) Esiste un insieme che contiene 0 e il successivo di ciascuno dei suoi elementi.
Il dover stabilire una gerarchia tra insiemi anche infiniti, fu uno dei punti essenziali del
programma di Cantor. Nella teoria degli insiemi, egli dava per evidente il cosiddetto assioma
di scelta: si ammetteva che, assegnata una famiglia di insiemi non vuoti, fosse possibile
effettuare una scelta simultanea di un elemento in ognuno di tali insiemi, In altri termini,
assegnata una famiglia ö di insiemi, esiste una funzione f definita in ö e tale che indicato
con X elemento di ö , si ha
œ X(f(X)0 X).
Dopo grandi discussioni all’inizio del secolo, si è riconosciuto che tale possibilità di scelta
può solo discendere da un assioma. A porre per primo la questione fu il matematico tedesco
Ernest Zermelo (1871-1956): essa emerse nello studio relativo alla possibilità di buon
ordinamento di un generico insieme; Zermelo dimostrò che l’assioma di scelta è equivalente
all’esistenza di una relazione di buon ordine in un qualsiasi insieme fissato.L’assioma di
scelta (o Zermelo) è oggi un assioma della teoria degli insiemi, come è già stato accennato.
Sulla sua accettazione si sono accese numeroso discussioni, ma che riveste un ruolo
fondamentale per lo sviluppo della matematica dell’infinito (e anche della logica
matematica). Esso afferma, in una delle sue numerose formulazioni equivalenti, che: data
una collezione qualsiasi di insiemi non vuoti a due a due disgiunti (con intersezione
vuota), esiste un insieme, detto insieme di scelta, che ha in comune uno ed un solo elemento
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Teoria degli insiemi
con ciascun insieme della collezione. Un altro modo di formulare l’assioma di scelta consiste
nell’affermare che esiste una funzione di scelta su (A), vale a dire una funzione f che a
ciascun sottoinsieme non vuoto X di A (A insieme non vuoto) associa un elemento del
sottoinsieme stesso, ossia tale che f(X) 0 X.
Prima di vedere le tecniche mediante le quali Cantor riuscì a dominare gli insiemi infiniti,
si premettano alcune nozioni preliminari.
Due insiemi S e T si dicono equipotenti se esiste un biezione di S su T: evidentemente, se S
è equipotente a T, T è equipotente a S. Si scriverà
S- T
per indicare che S e T sono equipotenti ed in tal caso si dirà anche che la potenza di S è
uguale a quella di T. La relazione di equipotenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Si osservi che la relazione di equipotenza non può essere considerata una relazione nel senso
della definizione introdotta precedentemente, in quanto lì si è data la nozione di relazione
in un insieme; la relazione di equipotenza sarebbe una relazione (di equivalenza)
nell’insieme di tutti gli insiemi: tale insieme si vedrà che non può esistere. Si osservi però
che, fissato un insieme non vuoto S, la relazione binaria in (S)-{i} così definita
XRY]X-Y
è una relazione d’equivalenza.
Cantor, per dominare gli insiemi infiniti, li assoggettò a relazioni d’ordine e un’articolata
aritmetica. Lo strumento principale è quello della corrispondenza biunivoca: se tra due
insiemi A e B esiste una corrispondenza biunivoca, i due insiemi sono detti equipotenti e ad
essi viene attribuito, per definizione, lo stesso numero cardinale, cioè se A / B, allora
CardA=CardB; se si può istituire una corrispondenza iniettiva da A in B, allora il numero
cardinale di A è minore o uguale di quello di B, cioè se A / B’ f B, allora CardA # CardB.
L’idea quindi è quella di individuare dei rappresentanti canonici, numeri cardinali, in modo
che a ciascun insieme sia associato uno ed un solo numero cardinale che, per così dire, ne
misura la grandezza. Restando a livello intuitivo, si può identificare il numero cardinale di
un insieme A con la collezione degli insiemi equipotenti ad A . Essendo / una relazione
d’equivalenza tra insiemi, i numeri cardinali risultano le classi di equivalenza rispetto ad
essa. Se si pone:
0 = Card i =
1 = Card {0} =
2 = Card {0, 1} =
3 = Card {0, 1, 2} =
n = Card {0, 1, 2, ..., n-1} =
si ottiene induttivamente la definizione insiemistica dei numeri naturali.
In teoria degli insiemi s’introducono i numeri naturali e con l’assioma AI4) s’ammette che
i numeri naturali formino un insieme ù. Si può quindi definire finito un insieme equipotente
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a un numero naturale, e quindi infinito un insieme che non può essere posto in
corrispondenza biunivoca con alcun numero naturale (e, quindi infinito un insieme che non
può essere posto in corrispondenza biunivoca con alcun numero naturale).
D’altra parte, seguendo Dedekind (1831-1916), si possono caratterizzare gli insiemi infiniti
come quelli che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con una loro parte
propria, facendo così divenire una definizione quella che, come si è accennato, è stata
considerata per secoli una caratteristica paradossale che rendeva razionalmente
impraticabile l’infinito. In quest’ottica un insieme è finito se e solo se non può essere posto
in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.
L’insieme ù dei numeri naturali, è infinito secondo entrambe le accezioni menzionate in
precedenza in quanto equipotente a una sua parte propria e non equipotente ad alcun
numero naturale. Dato un insieme infinito secondo Dedekind, esso non può essere
equipotente a un numero naturale, altrimenti anche quest’ultimo risulterebbe equipotente
a una sua parte, cosa che si dimostra impossibile. Per dimostrare l’implicazione inversa
occorre impiegare l’assioma di scelta. Sia A un insieme non equipotente a un numero
naturale. Si sceglie un elemento in A, poi un elemento
in A-{ }, poi un elemento
in
A-{
}, e così via, sfruttando una funzione di scelta in P(A). Si costruisce in tal modo
una successione X={
} di elementi di A; tale processo, infatti, non si arresta
poiché, ad ogni stadio, A-{
A={
} non è vuoto (se fosse A-{
}=i, allora
} e A sarebbe equipotente ad un numero naturale) e la funzione di scelta
individua il successivo elemento della successione. Si ha allora che la funzione f che lascia
fissi gli elementi di A-X e associa ad ogni elemento di X il suo successivo (f(
) è una
corrispondenza biunivoca fra A e la sua parte propria A-{
}. Quindi, un insieme non
equipotente a un numero naturale è equipotente a una sua parte propria. Questo
ragionamento consente anche di concludere che, conformemente all’intuizione, l’insieme dei
numeri naturali è l’insieme infinito puù piccolo, e il suo numero cardinale il minimo
cardinale tranfinito, e si indica solitamente, con
(aleph con zero).
5.5.7 Insiemi numerabili
Si dicono numerabili gli insiemi aventi numero cardinale
, ossia che possono essere posti
in corrispondenza biunivoca con l’insieme ù dei numeri naturali. Si dice allora che un
insieme è numerabile se ha la potenza del numerabile, cioè se:
Card ù =
.
Esempio: Se A è un insieme numerabile e f una corrispondenza biunivoca f : ù6 A, ponendo
f(0)= , f(1)= , f(2)= ,...,f(n)= ,..., dato che f è biiettiva, si ha
A={
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...},
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ossia gli elementi di A possono essere posti in una successione infinita senza ripetizioni (e
viceversa, se gli elementi di un insieme possono essere posti in una successione infinita senza
ripetizioni, allora l’insieme è numerabile).
Si constata allora facilmente che sono numerabili l’insieme dei numeri pari, dei numeri
dispari, dei numeri primi (e, in generale, un sottoinsieme infinito di un insieme numerabile
è numerabile), come pure l’insieme Z dei numeri interi che si può scrivere {0, +1, -1, +2,
-2, +3, -3, ...}.
Esempio: Sia ora
... una successione infinita senza ripetizioni di insiemi
numerabili e si pongano in una successione gli elementi di ciascuno di essi indicando con il
k-esimo elemento dell’insieme
:
...
...
...
...
... .....................................
Gli elementi che figurano in questo quadro doppiamente infinito (verso destra e verso il
basso) possono essere disposti in un’unica successione mettendo prima gli elementi con
somma minore degli indici e, a parità di somma degli indici, mettendo prima quello con
primo indice minore:
.....
L’unione di tutti gli insiemi della successione, essendo un sottoinsieme infinito di
quest’ultima successione, è numerabile; in generale:
l’unione di una collezione numerabile di insiemi numerabili è un insieme numerabile.
In base a questo si vede che il prodotto di due insiemi numerabili è ancora un insieme
numerabile. Infatti, se i due insiemi sono:
A={
...} B={
}
si può scrivere il prodotto A×B come un quadro doppiamente infinito analogo al precedente
in cui al posto hk figura la coppia ordinata (
).
Pertanto, è numerabile l’insieme della frazioni (essendo l’unione dell’insieme numerabile
della frazioni di denominatore 1, di quello delle frazioni di denominatore 2, di quello delle
frazioni di denominatore 3, ecc.) e, quindi, è numerabile l’insieme dei numeri razionali.
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Esempio: Sia S l’insieme delle successioni infinite dei numeri 0 e 1 che, da un certo punto
in poi, sono costituite da tutti 0. Sono elementi di S, ad esempio:
=1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
= 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
Si dimostrerà che l’insieme S è numerabile individuando una funzione f : S6 ù che sia
biiettiva. Un generico elemento s di S si può scrivere:
s=
...
dove ciascun è 0 o 1 ed è costantemente uguale a 0 da un certo punto in poi. Se si pone:
f (s)=
(la somma contiene un numero finito di addendi) .
Nei due esempi precedenti risulta:
f ( )=
f ( )=
=749
=846
Si vede facilmente che a successioni diverse corrispondono numeri naturali diversi, per cui
f è iniettiva. Per vedere che f è suriettiva basta osservare che, dato un qualsiasi numero
naturale n, esprimendolo in forma binaria, ponendo s la successione delle cifre in
rappresentazione binaria di n in ordine inverso seguita da infiniti 0, allora f (s) = n.
Ad esempio:
se n = 270, allora n = 100001110 e s = 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
se n = 92, allora n = 1011100 e s = 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
se n = 35, allora n = 100011 e s = 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
L’insieme S ora considerato è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei sottoinsiemi
finiti dell’insieme dei numeri naturali: basta considerare la funzione f che ad ogni
sottoinsieme finito A di ù associa la successione s di 0 e 1 che ha gli 1 in corrispondenza dei
posti degli elementi che appartengono al sottoinsieme, vale a dire: = 1 se e solo se n 0 A.
Ad esempio:
se B ={2, 4, 10, 11, 13}, allora f (B) = 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...
se C = {1, 3, 5, 7, 9, 11} allora f (C) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...
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Trattandosi di sottoinsiemi finiti, ad ogni sottoinsieme finito è associata una successione di
0 e 1 che contiene tutti 0 da un certo punto in poi. Si riconosce subito che f è una
corrispondenza biunivoca e, quindi :
l’insieme dei sottoinsiemi finiti di ù è numerabile.
Sia ora K l’insieme di tutte le n-ple di numeri naturali, per n = 1, 2, 3, ...Sono elementi di
K, ad esempio, (2, 4, 5), (3, 4, 0, 2), (7, 1, 2, 0, 2, 1). Si dimostra che l’insieme K è
numerabile: ad ogni numero naturale n si associ la sequenza costituita da n+1.
Ad esempio:
=1, 1, 1, 1, 1, 1; =1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; =1; =1, 1; =1, 1, 1, 1.
Dato un qualsiasi elemento di K, (
), ad esso si associ la sequenza di 0 e 1 così
definita:
f ((
))= 0,
....
Ad esempio:
f ((2, 4, 5))=0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
f ((3, 4, 0, 2)) = 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
f ((7, 1, 2, 0, 2, 1)) =0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, ...
Evidentemente f è una funzione iniettiva da K nell’insieme S prima considerato, per cui,
essendo S numerabile e K in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme infinito di S,
anche K è numerabile.
5.5.8 Insiemi più che numerabili
Una delle scoperte più importanti di Cantor è l’individuazione di insiemi infiniti che hanno
cardinalità maggiore di
.
Si consideri l’insieme
costituito da tutte le successioni dei numeri 0 e 1 (senza la
restrizione che da un certo punto in poi siano costituite da tutti 0). Si dimostra che
che numerabile.
Si supponga, per assurdo che l’insieme sia numerabile, e tale che
={
è più
}
ove nella successione in parentesi devono figurare tutte le possibili successioni di 0 e di 1.
Indicando con il k-esimo elemento (che è o 0 o 1) della successione , si può scrivere:
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... ............................
Si consideri la successione di 0 e 1 costituita dagli elementi della diagonale principale del
quadro doppiamente infinito:
Si definisce una nuova successione d =
ponendo: (ossia scambiando nella
successione precedente ogni 0 con 1 e ogni 1 con 0).
Si constata immediatamente che d è una successione di 0 e 1 diversa da tutte le
da almeno per il primo elemento (essendo
elemento (essendo
), è diversa da
: è diversa
almeno per il secondo
), e così via. Ma ciò è assurdo poiché nella successione
... avrebbero dovuto comparire tutte le successioni di 0 e 1.
è un esempio di insieme infinito che non si può porre in corrispondenza biunivoca con
l’insieme ù dei numeri naturali e, quindi, ha un numero cardinale maggiore di
(è più che
numerabile).
Si dimostra facilmente che è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle parti (ù)
dell’insieme ù dei numeri naturali.
Basta considerare la funzione f già introdotta precedentemente, che ad ogni sottoinsieme A
di ù associa la successione s di 0 e 1 che ha gli 1 in corrispondenza dei posti degli elementi
che appartengonon al sottoinsieme: = 1 se e solo se n 0 A.
Trattandosi di sottoinsiemi qualsiasi di ù (e non solo quelli finiti), le successioni
corrispondenti di 0 e 1 non sono più costituite da tutti 0 da un certo punto in poi:
se B={1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, allora f (B)=0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
se C={0, 5, 10, 15,...} allora f (C)=1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...
Si riconosce facilmente che f è una corrispondenza biunivoca. Quindi:
 (ù) è un insieme più che numerabile, e ricordando quanto visto, l’insieme delle proprietà
di ù è più che numerabile.
Si dimostra inoltre che è in corrispondenza biunivoca con l’insieme ú dei numeri reali
compresi fra 0 e 1; basta osservare che, se si usa la base 2, ossia solo le cifre 0 e 1, ogni
numero reale compreso tra 0 e 1 ha uno sviluppo decimale infinito che è una successione di
e, vicebersa, ogni successione di è lo svilupo di un numero reale compreso fra 0 e 1. Si può
sistemare questa corrispondenza in modo che sia biunivoca e, quindi, l’insieme dei numeri
reali compresi tra 0 e 1 è più che numerabile. Qundi:
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l’insieme ú dei numeri reali è più che numerabile.
Pertanto, oltre alla cardinalità del numerabile, vi è la cardinalità infinta, detta potenza del
continuo, dell’insieme ú dei numeri reali, dell’insieme (ù), dell’insieme delle proprietà dei
numeri naturali.
Molti altri insiemi matematicamente significativi hanno la potenza del continuo. Poichè si
dimostra facilmente che, togliendo da un insieme che ha la potenza del continuo un insieme
finito o numerabile di elementi, si ottiene un insieme che ha ancora la potenza del continuo,
dato che l’insieme dei numeri razionali è numerabile, ne segue che l’insieme dei numeri
irrazionali ha la potanza del continuo e, dato che l’insieme dei numeri algebrici è
numerabile, ne segue che l’insieme dei numeri trascendenti ha la potenza del continuo.
Uno dei risultati più significativi delle ricerche di Cantor è che, oltre ai due tipi di infinito il numerabile e il continuo - ne esistono infiniti altri.
Ciò segue da un importante teorema:
per ogni insieme A, Card A < Card  (A).
Dimostrazione: se la funzione h che ad ogni a0 A associa l’elemento {a} di  (A) (h: A6(A),
h(a) ={a}),essa è evidentemente iniettiva, per cui:
Card A # Card  (A).
Per dimostrare che la disuguaglianza vale in senso stretto bisogna dimostrare che tra A e
(A) non si può istituire alcuna corrispondenza biunivoca. Si proceda per assurdo
supponendo che esista una f : A6 (A) che sia biiettiva e, quindi, in particolare, suriettiva.
Si consideri il sottoinsieme B di A (B 0 (A)) costituito dagli elementi di A che non
appartengono al sottoinsieme ad ssi associato dalla funzione f:
B={x 0 A : xó f (x)}.
Essendo per ipotesi, f suriettiva, esiste b 0 A tale che f (b) = B.
Si ricava alloara la seguente conttraddizione:
b 0 B se e sole se bó f (b) se e solo se bó B.
la dimostrazione per assurdo è conclusa.
Sfruttando quanto appena dimostrato si ottiene facilmente una gerarchia crescente di
numeri cardinali di grandezza sempre maggiore:
0, 1, 2, 3, .....,Card ù, Carsd  (ù), Card ((ù)),...
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Si dimostra facilmenteche l’unione M della collezione ù, (ù), ((ù)),... ha numero
cardinale maggiore di tutti quelli della sequenza precedente, per cui Card M dà origine ad
una nuova sequenza crescente di numeri cardinali:
Card M, Card (M), Card  ((M),...
è così via, e si ottiene una gerarchia di numeri cardinali transfiniti più ricca di quella dei
cardinali finiti.
Un problema tuttora al centro di discussioni consiste nello stabilire se tra ù e (ù) (in
generale tra A e (A),se A è infinito) esistano insiemi di cardinalità intermedia. La situazione
è per così dire aperta, nel senso che, come dimostrato da Godel e da Cohen, è coerente con
gli usuali principi della teoria degli insiemi sia assumere che tali insiemi non esistano, e
allora si dice che si accetta l’ipotesi del continuo (in generale, l’ipotesi generalizzata del
continuo), sia assumere che esistano.
Concludendo dal teorema di Cantor segue la potenza del continuo:
e si accetta l’ipotesi che ogni sottoinsieme infinito di o ha la potenza del numerabile o quella
del continuo, cioè che non esistono potenze intermedie tra le due , tale ipotesi è detta ipotesi
del continuo:
da cui l’ipotesi del continuo generalizzata:
.
5.5.9 Principio di induzione
L’induzione matematica ha un significato completamente diverso dall’induzione empirica.
Quest’ultima, usata nelle scienze naturali, partendo da una particolare serie di osservazioni
di un certo fenomeno, arriva a formulare una legge generale che governa il verificarsi del
fenomeno stesso: il grado di certezza con cui la legge è in tal modo stabilita dipende dal
numero delle osservazioni effettuate e delle conferme ottenute. Questo tipo di ragionamento
è spesso convincente per le scienze sperimentali, ma non ha lo stesso carattere di un
ragionamento strettamente logico.
L’induziona matamatica si usa per stabilire la verità di un teorema matematico in una
successione infinita di casi: il primo, il secondo, il terzo, e così via senza eccezioni. Dunque
se si vuole dimostrare una proposizione generale A per tutta la successione di infiniti casi
particolari
,... il principio d’induzione asserisce che il teorema risulta
dimostrato se sono verificarele due seguenti condizioni:
a) è noto che la prima proposizione è vera;
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b) esiste un metodo generale per dimostrare che se una proposizione è vera allora è vera
anche la proposizione successiva
Le due condizioni a) e b) sono sufficienti a garantire la verità di tutte le infinite proposizioni
,... che seguono la (talvolta la che garantisce la verità di
,....). La
condizione b), infatti, garantisce che se è vera la
lo è anche la
, allora lo è anche la
, di conseguenza
, e così via.
Esempio: Si verifichi che la somma dei primi n numeri naturali non nulli è uguale a:
1+2+3+...+n = n(n+1) /2
Dimostrazione: Per n=1 Y
=1 vera
si supponga vera per n, 1+2+...+n=
si dimostri per n+1:
= 1+2+...+n+n+1
come volevasi dimostrare.
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