a.a. 2010/11
Laurea triennale in Scienze della Natura
Matematica ed Elementi di Statistica
L’insieme dei numeri reali
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
1 / 39
L’insieme dei numeri razionali
Tutti conoscono l’insieme Q dei numeri razionali.
Precisiamo tuttavia alcuni concetti:
• frazioni
• frazioni equivalenti
• classi di equivalenza di frazioni
Osservazione
Gli insiemi dei numeri naturali e dei numeri interi sono sottoinsiemi
dell’insieme dei numeri razionali: N ⊂ Z ⊂ Q
(a meno di una identificazione; quale?)
2 / 39
L’addizione nell’insieme Q
• addizione di frazioni con denominatore uguale
• addizione di frazioni con denominatore diverso
m.c.m. di numeri naturali. . .
• invarianza del risultato rispetto alla scelta di frazioni equivalenti
Esempi
Calcolare
2 5
+ ,
3 3
2 5
+ ,
3 4
2 5
+ ,
9 6
2+
5
3
La moltiplicazione nell’insieme Q
• invarianza del risultato rispetto alla scelta di frazioni equivalenti
Esempi
Calcolare
2 5
· ,
3 3
2 5
· ,
3 4
2 5
· ,
9 6
2·
5
3
3 / 39
Dal test di ingresso. . .
Il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo dei numeri
45, 75, 90 sono, rispettivamente,
• 15 e 450
[41/60]
• 15 e 6750
[2/60]
• 5 e 303750
[2/60]
• 5 e 450
[15/60]
Il triplo della somma di 2/5 e 1/7 è
• 3/4
[0/60]
• 7/12
[0/60]
• 47/35
[8/60]
• 57/35
[47/60]
4 / 39
Proprietà (assiomatiche) di addizione e moltiplicazione
Proprietà commutativa: a + b = b + a,
a·b =b·a
Proprietà associativa:
(a + b) + c = a + (b + c),
(a · b) · c = a · (b · c)
Proprietà distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Esistenza degli elementi neutri: esistono in Q due numeri distinti 0 e 1
tali che
a + 0 = a, a · 1 = a
Esistenza degli inversi: per ogni numero razionale a esiste un unico
numero razionale, che si denota con −a e si chiama opposto di a ,
tale che
a + (−a) = 0;
per ogni numero razionale a 6= 0 esiste un unico numero razionale,
che si denota con a−1 (o con 1a ) e si chiama reciproco di a , tale che
a · a−1 = 1
Esempi. . .
5 / 39
Operazioni inverse
La sottrazione si definisce ponendo, per ogni a, b ,
a − b := a + (−b).
La divisione si definisce ponendo, per ogni a e per ogni b 6= 0,
a
:= a · b −1 .
b
Non si può dividere per 0. Perché?
6 / 39
A partire dalle proprietà assiomatiche di addizione e moltiplicazione
si possono dedurre in modo rigoroso le usuali regole di calcolo.
Alcuni esempi:
a+b =a+c
a · b = a · c,
a·b =0
=⇒
a 6= 0
⇐⇒
b=c
=⇒
a=0
(regole di semplificazione)
b=c
oppure b = 0
−(−a) = a
(−a) · b = −(a · b),
(regola di annullamento
del prodotto)
(regole dei segni)
(−a) · (−b) = a · b
Per ulteriori proprietà, vedere la nota Regole di calcolo
7 / 39
Dal test di ingresso . . .
Si considerino le seguenti affermazioni:
1
il prodotto di due numeri dispari è dispari;
2
la somma di un numero intero e del suo successivo è dispari;
3
la differenza di due numeri interi dispari è dispari.
• Tutte e tre le affermazioni sono vere
• Solo la prima e la seconda affermazione sono vere
[3/60]
[47/60]
• Solo la prima e la terza affermazione sono vere
[2/60]
• Solo la seconda e la terza affermazione sono vere
[5/60]
8 / 39
Relazione d’ordine totale
• relazione in un insieme X : R ⊆ X × X
• relazione d’ordine: relazione che soddisfa le proprietà
(a, a) ∈ R
riflessiva
(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R
=⇒
(a, c) ∈ R
(a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R
=⇒
a=b
transitiva
antisimmetrica
• relazione d’ordine totale:
per ogni a, b ∈ X si ha (a, b) ∈ R oppure (b, a) ∈ R
Esempio di relazione d’ordine non totale?
9 / 39
Relazione d’ordine totale in Q
Si chiama relazione di minore o uguale; se a e b sono in relazione,
si scrive a ≤ b .
• Confronto di frazioni con numeratore o denominatore uguale
• Confronto di frazioni nel caso generale
• Invarianza del risultato rispetto alla scelta di frazioni equivalenti
Esempio: confrontare
7
5 7
7 7
19
e ,
e
,
e
.
8
8 8
22 8
22
10 / 39
Dal test di ingresso. . .
La sequenza in ordine crescente dei numeri
6 19 23 5
,
,
,
è
5 13 17 7
•
5 6 19 23
, ,
,
7 5 13 17
[14/60]
•
6 5 19 23
, ,
,
5 7 13 17
[8/60]
•
5 6 23 19
, ,
,
7 5 17 13
[30/60]
•
6 5 23 19
, ,
,
5 7 17 13
[6/60]
11 / 39
Un procedimento alternativo per confrontare numeri razionali si basa
sulla rappresentazione decimale.
Un numero decimale è un’espressione della forma
±c0 . c1 c2 c3 . . .
(∗)
dove c0 è un numero naturale e c1 , c2 , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 8, 9}.
Un numero decimale si dice finito se nella sua rappresentazione
decimale le cifre c1 , c2 , . . . diverse da 0 sono in numero finito.
In questo caso, (∗) si interpreta come somma finita:
c1
ck ± c0 +
+ ··· + k
10
10
In caso contrario, il numero decimale si dice infinito.
Per interpretare correttamente (∗) è necessaria la nozione di serie
numerica convergente, che si basa sulla nozione di limite.
(Ne parleremo in seguito.)
12 / 39
Se esiste un blocco di cifre che si ripete, il numero decimale si dice
periodico.
Un numero decimale infinito con periodo 9 si identifica con un numero
decimale finito. Per esempio: 4.9̄ = 5, 4.359̄ = 4.36.
Osservazioni
• Possiamo ottenere la rappresentazione decimale di un numero
razionale eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore.
• Il numero decimale corrispondente a un numero razionale è
necessariamente finito oppure infinito periodico.
Perché?
• Vale anche il viceversa: a ogni numero decimale finito oppure
infinito periodico corrisponde un numero razionale.
Esercizio
Rispondere al quesito del test di ingresso utilizzando la
rappresentazione decimale.
13 / 39
A partire dalla relazione d’ordine totale minore o uguale si definisce la
relazione maggiore o uguale, ponendo
def
a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a.
è una relazione
d’ordine totale
Si definiscono anche le relazioni minore e maggiore:
def
a<b
⇐⇒
a>b
⇐⇒
def
a ≤ b e a 6= b
a ≥ b e a 6= b
non sono
relazioni
d’ordine
a≤0
negativo
a≥0
positivo
Se
diciamo che a è
a<0
strettamente negativo
a>0
strettamente positivo
14 / 39
Proprietà (assiomatiche) della relazione d’ordine
Compatibilità rispetto all’addizione:
per ogni a, b, c :
a≤b
=⇒
a+c ≤b+c
Compatibilità rispetto alla moltiplicazione:
per ogni a, b, c :
a ≤ b,
c ≥0
=⇒
a·c ≤b·c
Alcune conseguenze:
a + b ≤ c ⇐⇒ a ≤ c − b
(regole del trasporto)
a ≤ b + c ⇐⇒ a − c ≤ b
a ≤ b ⇐⇒ −a ≥ −b
a ≤ 0 ⇐⇒ −a ≥ 0
a ≥ 0 ⇐⇒ −a ≤ 0
a ≤ b, c ≤ 0
=⇒
−a non è
necessariamente
negativo!
a·c ≥b·c
15 / 39
a ≥ 0, b ≥ 0
=⇒
a·b ≥0
a ≤ 0, b ≤ 0
=⇒
a·b ≥0
a ≥ 0, b ≤ 0
=⇒
a·b ≤0
(regole dei segni)
a2 ≥ 0
a2 = 0 ⇐⇒ a = 0
a2 > 0 ⇐⇒ a 6= 0
0<a≤b
=⇒
a≤b<0
=⇒
a<0<b
=⇒
1
1
≤
b
a
1
≤ <0
a
1
<0<
b
0<
1
b
1
a
Per ulteriori proprietà, vedere Regole di calcolo
16 / 39
Osservazione
Da un punto di vista “pratico”, l’insieme dei numeri razionali è
sufficiente per esprimere tutte le grandezze. Ad esempio, il tasso di
cambio dollaro-euro e la lunghezza in metri di un tavolo si esprimono
tramite numeri decimali finiti, cioè numeri razionali.
Da un punto di vista concettuale, però, i numeri razionali non sono
sufficienti.
Esempio (importante!)
Non esiste alcun numero razionale che permetta di esprimere
esattamente la lunghezza della diagonale di un quadrato.
Verifica . . .
Come possiamo visualizzare la “lacunosità” di Q ?
17 / 39
Rappresentazione geometrica di Q
Sia data una retta r .
Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unità);
essi individuano:
• un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta
da O a U ;
• una unità di misura, cioè il segmento OU .
La retta r prende il nome di retta orientata.
Osservazione
La scelta dell’origine, del verso di percorrenza e dell’unità di misura
è arbitraria; dipende dal contesto, cioè dal problema che si vuole
studiare. Esempi. . .
18 / 39
Possiamo definire una “corrispondenza” tra numeri razionali e punti
di una retta orientata. Precisamente, definiamo una funzione che ha
• dominio = insieme dei numeri razionali
• codominio = la retta orientata
• legge = . . . . . . . . .
Questa funzione
• è ingettiva
perché?
• non è surgettiva
perché?
19 / 39
L’insieme dei numeri reali
Esiste un insieme, che denotiamo con R e chiamiamo insieme dei
numeri reali con le seguenti proprietà:
1
R contiene strettamente Q ;
2
in R sono definite le operazioni e la relazione di ordine totale,
e soddisfano le stesse proprietà che valgono in Q ;
3
l’insieme R è in corrispondenza biunivoca con la retta orientata r .
In virtù della terza propretà, possiamo identificare ogni numero reale x
con il punto P a esso corrispondente sulla retta orientata r .
In base a tale identificazione, non distinguiamo tra l’insieme numerico
R e la retta geometrica r e parliamo di retta reale.
20 / 39
Osservazione
La relazione di ordine totale in R si interpreta “geometricamente”:
se x, y ∈ R , si ha x ≤ y se e solo se il punto corrispondente a x sulla
retta orientata precede o coincide con il punto corrispondente a y .
Altre corrispondenze tra concetti “numerici” e concetti “geometrici”:
concetto geometrico
concetto numerico
segmento
intervallo limitato
???
semiretta
intervallo illimitato
???
distanza
valore assoluto
???
21 / 39
Intervalli limitati
Siano a, b ∈ R , con a ≤ b :
:= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
intervallo chiuso
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
intervallo aperto
[a, b]
[a, b)
:= {x ∈ R | a ≤ x < b}
int. chiuso a sinistra, aperto a destra
(a, b]
:= {x ∈ R | a < x ≤ b}
int. aperto a sinistra, chiuso a destra
Intervalli illimitati
Sia a ∈ R :
:= {x ∈ R | x ≥ a}
interv. chiuso illimitato superiormente
(a, +∞) := {x ∈ R | x > a}
interv. aperto illimitato superiormente
[a, +∞)
:= {x ∈ R | x ≤ a}
interv. chiuso illimitato inferiormente
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a}
interv. aperto illimitato inferiormente
(−∞, a]
22 / 39
Nota
Alcuni autori scrivono ]a, b[ invece di (a, b), e analogamente negli
altri casi.
Casi particolari:
[a, a] = {a};
(a, a) = [a, a) = (a, a] = ∅
R+ := [0, +∞), R− := (−∞, 0], R =: (−∞, +∞)
R∗+ := (0, +∞), R∗− := (−∞, 0)
R∗ := (−∞, 0) ∪ (0, +∞) = R \ {0}
Notazione
N∗ := N \ {0},
Z∗ := Z \ {0},
Q∗ := Q \ {0}
Esempio
Rappresentare gli intervalli [−1, 2) e (1, +∞) e determinare
[−1, 2) ∪ (1, +∞),
[−1, 2) ∩ (1, +∞),
[−1, 2) \ (1, +∞)
23 / 39
Definizione
Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x
il numero reale, denotato con |x|, definito come
x se x ≥ 0
|x| :=
−x se x < 0.
Osservazioni
• |x| coincide con la distanza dall’origine del punto che corrisponde
al numero x sulla retta orientata. Giustificare . . .
• |x − y | coincide con la distanza tra i punti corrispondenti ai
numeri x e y sulla retta reale. Giustificare . . .
Proprietà immediate del valore assoluto
• |x| ≥ 0 per ogni x ∈ R
• |x| = 0 ⇐⇒ x = 0;
|x| > 0 ⇐⇒ x 6= 0
• |−x| = |x| per ogni x ∈ R
24 / 39
Ulteriori proprietà del valore assoluto
• r > 0, |x| = r
⇐⇒ x = −r oppure x = r
|x| < r ⇐⇒ −r < x < r
|x| > r ⇐⇒ x < −r oppure x > r
• r < 0, |x| = r mai
|x| < r mai
|x| > r per ogni x
• |x · y | = |x| · |y | per ogni x, y ∈ R
• |x/y | = |x|/|y | per ogni x, y ∈ R , y 6= 0
• −|x| ≤ x ≤ |x| per ogni x ∈ R
• |x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ R
(disuguaglianza triangolare)
• |x| − |y | ≤ |x − y |
25 / 39
Potenze
Potenze con esponente naturale
Sia n ∈ N∗ . Per ogni x ∈ R , poniamo
x n := x · x · . . . x
| {z }
n fattori
Proprietà
(1) x m · x n = x m+n
(2)
xm
= x m−n
xn
(x 6= 0, m > n)
(4) (x · y )n = x n · y n
n
x
xn
(5)
= n (y 6= 0)
y
y
(3) (x m )n = x m·n
Giustificare in base alle proprietà assiomatiche. . .
26 / 39
Dal test di ingresso. . .
Una sola delle seguenti affermazioni è corretta. Quale?
• 56 − 53 = 53
[0/60]
• 56 + 53 = 59
[2/60]
• 56 · 53 = 518
[10/60]
• 56 /53 = 53
[45/60]
L’espressione (x 2 y 3 )4 (x 3 z 2 ) è uguale a
• x 24 y 12 z 2
[13/60]
• x 11 y 12 z 2
[34/60]
• x 9y 7z 2
[4/60]
• nessuna delle risposte precedenti è corretta
[6/60]
27 / 39
Ancora dal test di ingresso. . .
Se x è un numero reale diverso da zero, allora (x 3 + x 6 )2 è uguale a
• x 18
[17/60]
• x 36
[3/60]
• x 6 (1 + x 3 )
[6/60]
• x 6 (1 + x 3 )2
[24/60]
La metà di (1/4)20 è uguale a
• (1/4)10
[18/60]
• (1/8)20
[26/60]
• (1/2)23
[4/60]
41
[10/60]
• (1/2)
28 / 39
Potenze con esponente intero
Sia n ∈ Z .
n≥1
già definito
n=0
x 0 := 1
n ≤ −1
x n := (x −n )−1 =
1
x −n
per ogni x ∈ R∗
Perché R∗ ?
Proprietà
Sono le stesse di pagina 26, senza la condizione m > n in (2), con le
restrizioni x 6= 0 e y 6= 0 dove necessario.
Giustificare in base alle proprietà delle potenze con esponente naturale
e alle proprietà relative al reciproco . . .
29 / 39
Dal test di ingresso. . .
L’espressione
1 2 1 3 1 3 −1
−
:
equivale a
−
3
3
3
•
27
[7/60]
•
1
9
[15/60]
• −9
[33/60]
• −
1
27
[2/60]
30 / 39
Potenze con esponente frazionario ???
Teorema
Sia n ∈ N∗ . Sia x ∈ R , x > 0.
Esiste un unico numero reale y > 0 tale che y n = x .
Tale numero si chiama radice n -esima aritmetica di x e si denota
√
con n x oppure x 1/n .
Esempi. . .
Notazione
√
√
Scriviamo x invece di 2 x .
Osservazione
Questo teorema non è valido in Q .
Controesempio?
31 / 39
Osservazione
In base al teorema, per ogni x > 0 e y > 0 si ha
√
def
n
x = y ⇐⇒ y n = x.
Dato che 0n = 0, è naturale porre
√
n
0 := 0.
Supponiamo che n sia dispari.
√
Fissiamo x < 0 e poniamo y := − n −x . È lecito?
Osserviamo che
√
√
y n = (− n −x)n = (−1)n ( n −x)n = (−1)(−x) = x.
√
√
Ciò ci autorizza a porre n x := − n −x .
In questo modo abbiamo dato significato al simbolo
√
n
x
• per ogni x ∈ R , se n è dispari,
• per ogni x ∈ R+ , se n è pari.
Solo R+ ; perché?
32 / 39
Osservazione
In base alle considerazioni della pagina precedente, abbiamo che
√
• l’uguaglianza ( n x)n = x
per n dispari è vera per ogni x ∈ R ;
per n pari è vera per ogni x ∈ R+ ed è priva di significato
per x < 0;
√
• l’uguaglianza n x n = x
per n dispari è vera per ogni x ∈ R ;
per n √
pari è vera per ogni x ∈ R+ √ed è falsa per x < 0, in quanto
si ha n x n = −x ; in altre parole, n x n = |x| per ogni x ∈ R .
Ne consegue che
√
• per n dispari le funzioni x ∈ R 7→ x n ∈ R e x ∈ R 7→ n x ∈ R
sono una l’inversa dell’altra;
√
• per n pari le funzioni x ∈ R+ 7→ x n ∈ R+ e x ∈ R+ 7→ n x ∈ R+
sono una l’inversa dell’altra.
33 / 39
Potenze con esponente frazionario
Siano m ∈ Z∗ e n ∈ N∗ . Poniamo
√
n
x m/n := x m = (x m )1/n .
Questa definizione ha senso nei seguenti casi (giustificare. . . )
m≥1
m ≤ −1
n dispari
x ∈R
x ∈ R∗
n pari, m pari
x ∈R
x ∈ R∗
n pari, m dispari
x ∈ R+
x ∈ R∗+
Esempi. . .
Proprietà
Sono le stesse di pagina 26, con m, n ∈ Q e con le opportune
restrizioni su x e y .
34 / 39
Dal test di ingresso. . .
L’uguaglianza
p
6
x 8 y 9 = xy
p
6
x 2y 3
• non è mai verificata
[10/60]
• è corretta se x e y sono numeri reali positivi
[40/60]
• è corretta se x e y sono numeri reali negativi
[1/60]
• è corretta se x e y sono numeri reali discordi
[4/60]
35 / 39
Resta da definire il simbolo x y nel caso in cui l’esponente y è un
numero non razionale, ossia un numero irrazionale.
Osservazione
Abbiamo già visto che un numero è razionale se e solo se il numero
decimale corrispondente è finito oppure infinito periodico.
Ne segue che un numero è irrazionale se e solo se il numero decimale
corrispondente è infinito non periodico.
Esempi di numeri irrazionali:
1. 234 567 891 011 121 314 151 617 181 920 212 223 . . .
0. 101 001 000 100 001 000 001 000 000 1000 000 010 . . .
√
2 = 1. 414 213 562 . . .
È possibile “separare” i numeri razionali dai numeri irrazionali?
36 / 39
Proprietà di densità
Se a, b ∈ R con a < b , esistono un numero razionale x e un numero
irrazionale y tali che a < x < b, a < y < b .
Corollario
Tra due numeri reali distinti sono compresi infiniti numeri razionali e
infiniti numeri irrazionali.
Esempi
a = 2. 368 026 472 643 285 89 . . .
b = 2. 368 026 475 273 498 70 . . .
x = 2. 368 026 475
y = 2. 368 026 475 010 100 100 010 000 1 . . .
a = 2. 368 026 472 643 285 89 . . .
b = 2. 368 026 475 000 273 49 . . .
x = 2. 368 026 475
y = 2. 368 026 475 000 010 100 100 010 000 1 . . .
37 / 39
Osservazione
È impossibile scrivere l’allineamento decimale completo di un numero
irrazionale; si ricorre perciò all’approssimazione con allineamenti
decimali finiti, cioè con numeri razionali.
Parleremo diffusamente di questo e di alcuni argomenti collegati in
una prossima lezione.
Cenno alla definizione di x y , con y ∈ R \ Q . . .
38 / 39
Per finire, dal test di ingresso. . .
Un cerchio e un quadrato hanno la stessa area; il lato del quadrato
misura 9 cm. Quanto misura il raggio del cerchio?
• 9π cm
√
• 9 π cm
[17/60]
[5/60]
√
• 9/ π cm
[26/60]
• 81/π cm
[5/60]
In un triangolo rettangolo un angolo è di 45◦ e l’ipotenusa è di 5 cm.
Quanto misura il perimetro del triangolo?
• I dati del problema non sono sufficienti a fornire la risposta
√
• 5( 2 + 1) cm
√
• 5 2 + 1 cm
• 10 cm
[14/60]
[21/60]
[10/60]
[8/60]
39 / 39
