TEORIA DEI NUMERI (lezione I): Sei pezzi facili Sei pezzi meno facili

TEORIA DEI NUMERI (lezione I):
• cambiamenti di base
• divisibilità, numeri primi e fattorizzazione (divisori di un intero);
• MCD e mcm
• congruenze;
• criteri di divisibilità e congruenza;
• sistemi di congruenze.
Sei pezzi facili
1. Quanti sono i numeri di 6 cifre, formati dalle cifre 1,2,3,4,5,6 che sono divisibili per 1,2,3,4,5,6?
2. Quanti sono i numeri compresi tra 1 e 100 che sono uguali al quadrato del numero dei propri
divisori positivi?
3. Sulla lavagna sono scritti i numeri n minori di 100 con esattamente 12 divisori interi positivi,
e di cui solo uno è un quadrato perfetto. Quanto vale la somma di tutti questi numeri?
4. Risolvere il sistema di congruenze
(
7x ≡ 3 (mod 7);
x ≡ 2 (mod 5).
5. Un testo antico dichiara che Matusalemme visse 150 anni, dove il simbolo sostituisce la
cifra delle unità, che gli studiosi non riescono a leggere. Fortunatamente siamo in possesso
di altri tre manoscritti sulla vita di Matusalemme; il primo sostiene che egli visse un numero
pari di anni, il secondo che ne visse un numero multiplo di 3, il terzo che ne visse un numero
multiplo di 5. Sapendo che esattamente uno di questi tre manoscritti contiene un’informazione
falsa, quante diverse cifre potrebbero celarsi dietro il simbolo ?
6. Una pulce si trova inizialmente su un vertice di un poligono regolare di 2015 lati; compie una
sequenza di salti in senso antiorario: al primo salto si sposta di un vertice (da quello iniziale al
vicino), al secondo di tre, al terzo di cinque, e così via, di modo che all’n − esimo parte da un
vertice e atterra 2n − 1 vertici più in là, sempre in senso antiorario. Dopo quanti salti accadrà
per la prima volta che la pulce atterri su un vertice che aveva già visitato?
Sei pezzi meno facili
1. Per sconfiggere le astronavi aliene, è necessario determinare tutti i numeri interi positivi tali
che sono uguali a 245 volte la somma delle loro cifre scritti in base 7. Quanto vale la somma
di questi numeri (scritta in base 10)?
2. Il direttore di un ristorante con capienza di 600 posti non ricorda quante erano le persone da
lui servite in occasione di un grande pranzo collettivo. Ricorda però che volendole sistemare
in tavoli da 3 ne restava fuori esattamente una, e lo stessa cosa accadeva sistemandoli in tavoli
da 4, da 5 o da 6. Invece, sistemandoli in tavoli da 7 non ne rimaneva fuori nessuna. Quanti
erano i commensali?
3. Bozz si trova ora di fronte al Capitano Giacomo, che, riposandosi dalla lunga verifica di Filosofia, medita su di un pezzo di carta spiegazzato. “Ho scritto tutti i divisori interi maggiori di
0 di un numero M intero, includendo anche 1 ed M stesso. Ho contato 606 quadrati perfetti,
ed anche 165 numeri che ho scoperto essere anche divisori di 1014 . E come se non bastasse, i
multipli di 5 sono in numero dispari. Dite quanti numeri sono scritti sul mio foglio ed entrate!”
4. Il lemmang (plurale lemmings) è un simpatico animaletto protagonista di un gioco molto amato da Mario. Nell’ultimo livello ci sono delle buche, numerate da 0 a un certo numero n. In
ciascuna di esse si possono imprigionare dei lemmings e in ogni momento sullo sfondo viene
visualizzato il polinomio p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , dove ai è il numero di lemmings
nella buca i. Per completare il livello occorre che fare in modo che p(7) = 33611. Mario ci
riesce riempiendo ogni buca con un numero di lemmings compreso tra 1 e 6. Determinare il
prodotto dei coefficienti del polinomio in quel momento.
Federico Fighera
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5. Ellisseo e i suoi compagni giungono nella grotta di Polinomio e scoprono ben presto che il
ciclope possiede una gran quantità di pecore. Dividendo le pecore in gruppi da 5, ne avanzano
3, mentre dividendole in gruppi da 7 ne rimangono 2; infine dividendo le pecore in gruppi da
11, ne avanzano 7. Sapendo che ogni pecora ha 11 agnelli e che tutti gli agnelli sono meno di
5000, quanti sono gli agnelli?
6. Tra gli dei dell’Olimpo della Matematica, alcuni sono mentitori e dicono sempre il falso, mentre gli altri dicono sempre la verità. Una volta ad un consesso erano presenti 4029 dei, seduti ad
intervalli regolari ad un tavolo circolare. A un certo punto, ognuno di loro contemporaneamente puntò il dito accusatore verso i due immortali seduti proprio di fronte a sé dal lato opposto
del tavolo ed esclamò: “Quei due sono mentitori!”. Quanti di loro, come minimo, dicevano la
verità?
Federico Fighera
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