TEORIA DEI NUMERI (lezione I): • cambiamenti di base • divisibilità, numeri primi e fattorizzazione (divisori di un intero); • MCD e mcm • congruenze; • criteri di divisibilità e congruenza; • sistemi di congruenze. Sei pezzi facili 1. Quanti sono i numeri di 6 cifre, formati dalle cifre 1,2,3,4,5,6 che sono divisibili per 1,2,3,4,5,6? 2. Quanti sono i numeri compresi tra 1 e 100 che sono uguali al quadrato del numero dei propri divisori positivi? 3. Sulla lavagna sono scritti i numeri n minori di 100 con esattamente 12 divisori interi positivi, e di cui solo uno è un quadrato perfetto. Quanto vale la somma di tutti questi numeri? 4. Risolvere il sistema di congruenze ( 7x ≡ 3 (mod 7); x ≡ 2 (mod 5). 5. Un testo antico dichiara che Matusalemme visse 150 anni, dove il simbolo sostituisce la cifra delle unità, che gli studiosi non riescono a leggere. Fortunatamente siamo in possesso di altri tre manoscritti sulla vita di Matusalemme; il primo sostiene che egli visse un numero pari di anni, il secondo che ne visse un numero multiplo di 3, il terzo che ne visse un numero multiplo di 5. Sapendo che esattamente uno di questi tre manoscritti contiene un’informazione falsa, quante diverse cifre potrebbero celarsi dietro il simbolo ? 6. Una pulce si trova inizialmente su un vertice di un poligono regolare di 2015 lati; compie una sequenza di salti in senso antiorario: al primo salto si sposta di un vertice (da quello iniziale al vicino), al secondo di tre, al terzo di cinque, e così via, di modo che all’n − esimo parte da un vertice e atterra 2n − 1 vertici più in là, sempre in senso antiorario. Dopo quanti salti accadrà per la prima volta che la pulce atterri su un vertice che aveva già visitato? Sei pezzi meno facili 1. Per sconfiggere le astronavi aliene, è necessario determinare tutti i numeri interi positivi tali che sono uguali a 245 volte la somma delle loro cifre scritti in base 7. Quanto vale la somma di questi numeri (scritta in base 10)? 2. Il direttore di un ristorante con capienza di 600 posti non ricorda quante erano le persone da lui servite in occasione di un grande pranzo collettivo. Ricorda però che volendole sistemare in tavoli da 3 ne restava fuori esattamente una, e lo stessa cosa accadeva sistemandoli in tavoli da 4, da 5 o da 6. Invece, sistemandoli in tavoli da 7 non ne rimaneva fuori nessuna. Quanti erano i commensali? 3. Bozz si trova ora di fronte al Capitano Giacomo, che, riposandosi dalla lunga verifica di Filosofia, medita su di un pezzo di carta spiegazzato. “Ho scritto tutti i divisori interi maggiori di 0 di un numero M intero, includendo anche 1 ed M stesso. Ho contato 606 quadrati perfetti, ed anche 165 numeri che ho scoperto essere anche divisori di 1014 . E come se non bastasse, i multipli di 5 sono in numero dispari. Dite quanti numeri sono scritti sul mio foglio ed entrate!” 4. Il lemmang (plurale lemmings) è un simpatico animaletto protagonista di un gioco molto amato da Mario. Nell’ultimo livello ci sono delle buche, numerate da 0 a un certo numero n. In ciascuna di esse si possono imprigionare dei lemmings e in ogni momento sullo sfondo viene visualizzato il polinomio p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , dove ai è il numero di lemmings nella buca i. Per completare il livello occorre che fare in modo che p(7) = 33611. Mario ci riesce riempiendo ogni buca con un numero di lemmings compreso tra 1 e 6. Determinare il prodotto dei coefficienti del polinomio in quel momento. Federico Fighera 1 5. Ellisseo e i suoi compagni giungono nella grotta di Polinomio e scoprono ben presto che il ciclope possiede una gran quantità di pecore. Dividendo le pecore in gruppi da 5, ne avanzano 3, mentre dividendole in gruppi da 7 ne rimangono 2; infine dividendo le pecore in gruppi da 11, ne avanzano 7. Sapendo che ogni pecora ha 11 agnelli e che tutti gli agnelli sono meno di 5000, quanti sono gli agnelli? 6. Tra gli dei dell’Olimpo della Matematica, alcuni sono mentitori e dicono sempre il falso, mentre gli altri dicono sempre la verità. Una volta ad un consesso erano presenti 4029 dei, seduti ad intervalli regolari ad un tavolo circolare. A un certo punto, ognuno di loro contemporaneamente puntò il dito accusatore verso i due immortali seduti proprio di fronte a sé dal lato opposto del tavolo ed esclamò: “Quei due sono mentitori!”. Quanti di loro, come minimo, dicevano la verità? Federico Fighera 2