Numeri-Complessi(Ric..

Richiami sui numeri complessi per il corso di
Fondamenti di Automatica
Augusto Ferrante
September 28, 2012
1
Numeri complessi: definizione
Si consideri l’insieme R2 delle coppie ordinate di numeri reali. Su tale insieme si considerino due operazioni binarie interne (cioè operazioni che a coppie di elementi di R2
associano un terzo elemento ancora interno all’insieme R2 ):
1. Somma, che verrà indicata con il simbolo +C e che associa agli elementi (a, b) ∈ R2 e
(c, d) ∈ R2 l’elemento
(a, b) +C (c, d) = (a + c, b + d) ∈ R2
(1.1)
2. Prodotto, che verrà indicato con il simbolo ·C e che associa agli elementi (a, b) ∈ R2 e
(c, d) ∈ R2 l’elemento
(a, b) ·C (c, d) = (ac − bd, ad + bc) ∈ R2
(1.2)
È facile verificare che le due operazioni sopra definite rendono l’insieme R2 un campo
(cioè un corpo commutativo) dove l’unità è l’elemento (1, 0) ∈ R2 lo zero è l’elemento
(0, 0) ∈ R2 .
1
Definizione 1.1 Il campo complesso che verrà indicato con C è per definizione la terna
(R2 , +C , ·C ). I numeri complessi sono quindi gli elementi dell’insieme R2 con le operazioni
di somma e prodotto sopra definite.
1.1
Notazione
È immediato verificare che il sottoinsieme R0 di R2 definito da
R0 := {(a, 0) : a ∈ R},
costituito da coppie il cui secondo elemento è nullo, è isomorfo a R. Infatti, la relazione
χ : R → R0 che associa a ciascun numero reale a ∈ R il numero complesso χ(a) := (a, 0) ∈
R0 , è ovviamente biunivoca. Inoltre, la relazione χ commuta con le operazioni di somma
e prodotto in R e in R0 :
χ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) +C (b, 0) = χ(a) +C χ(b)
χ(a · b) = (a · b, 0) = (a, 0) ·C (b, 0) = χ(a) ·C χ(b)
Ciò significa che se si identificano i numeri reali con il sottoinsieme R0 dei numeri complessi, allora le operazioni di somma e prodotto complesse sono consistenti con le consuete
operazioni di somma e prodotto in R. Pertanto, da questo momento in poi si potranno
indicare i numeri complessi del sottoinsieme R0 con il solo numero reale corrispondente,
si indicherà cioè con a il numero complesso (a, 0). Inoltre si elimineranno i pedici C da
somma e prodotto e si utilizzeranno solo i simboli + e · (sia per somma e prodotto in R
sia per somma e prodotto in C).
Si consideri ora il numero complesso j definto da j := (0, 1) detto unità immaginaria. È
immediato verificare che
j 2 = −1.
(1.3)
Inoltre qualunque numero complesso del tipo (0, b) si può rappresentare come il prodotto
di j per il numero reale b: (0, b) = j · b = jb.
2
Con la notazione introdotta è immediato verificare che per ogni (a, b) ∈ R2 , si ha
(a, b) = a + jb.
(1.4)
La notazione a secondo membro risulta particolarmente comoda perché in tal modo somma
e prodotto tra numeri complessi si comportano i modo consistente con la somma e prodotto
di polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata j pur di tener conto della (1.3):
(a, b) + (c, d) = a + jb + c + jd = a + c + j(b + d) = (a + c, b + d)
(1.5)
(a, b)·(c, d) = (a+jb)·(c+jd) = ac+j(bc+ad)+j 2 bd = ac−bd+j(bc+ad) = (ac−bd, bc+ad).
(1.6)
In conclusione, da questo momento si indicherà il numero complesso (a, b) nella forma
a+jb dove j gode della proprietà (1.3). Con questa notazione somme e prodotti fra numeri
complessi si potranno eseguire con le solite regole di somma e prodotto fra polinomi.
2
Parte reale, parte immaginaria, coniugio
Definizione 2.1 Dato il numero complesso s = a + jb, si dice parte reale di s, e si indica
con Re(s), il numero reale a:
Re(a + jb) := a.
Si dice parte immaginaria1 di s, e si indica con Im(s), il numero reale b:
Im(a + jb) := b.
Si dice coniugato di s, il numero complesso, indicato con s, definito da
s = a + jb := a − jb.
1
Nella letteratura matematica scritta in italiano si usava definire coefficiente dell’immaginario il numero reale b e riservando l’espressione “parte immaginaria” per la quantità jb. Qui si segue invece la
tendenza più moderna coerente con il termine inglese imaginary part con cui si denota appunto il numero
reale b.
3
Si invita il lettore a dimostrare le seguenti proprietà. Se s, s1 , s2 sono numeri complessi,
si ha:
s=s
1.
2.
s1 + s2 = s1 + s2
s1 · s2 = s1 · s2
3.
(1/s) = 1/s
s 6= 0
4.
5.
s=s ⇔ s∈R
6.
Re(s) = s+s
2
7.
Im(s) = s−s
2j
8.
s · s = [Re(s)]2 + [Im(s)]2
3
Rappresentazione cartesiana e rappresentazione polare
I numeri reali si possono considerare come il sottoinsieme di C costituito dai numeri
complessi a parte immaginaria nulla. Inoltre, cosı̀ come si rappresentano i numeri reali
come punti di una retta (la retta reale), i numeri complessi si rappresentano come punti
di un piano cartesiano (piano complesso o piano di Gauss). Precisamente il numero
a + jb viene rappresentato dal punto di ascissa a e ordinata b. In questo modo la retta
reale coincide con l’asse delle ascisse mentre i punti nell’asse delle ordinate rappresentano
i numeri puramente immaginari ossia quelli a parte reale nulla (si noti che lo zero è
l’unico numero che è sia reale sia puramente immaginario). La scrittura di un numero
complesso s nella forma a + jb ne mette in evidenza parte reale e parte immaginaria ossia
le coordinate cartesiane del corrispondente punto nel piano di Gauss; per questa ragione
si parla di rappresentazione cartesiana del numero complesso s. Una rappresentazione
alternativa che risulta particolarmente utile è quella che mette in evidenza le coordinate
polari del punto che rappresenta s e precisamente:
il modulo di s che viene indicato con |s| ed è la distanza del punto s dall’origine degli assi.
4
Dal Teorema di Pitagora risulta immediato che ∀s ∈ C si ha:
|s| =
p
[Re(s)]2 + [Im(s)]2
(3.1)
e l’argomento o fase di s che viene indicato con arg(s) ed è l’angolo (con segno) compreso
tra il semiasse reale positivo e il segmento che unisce l’origine degli assi cartesiani con il
punto s. È facile verificare che ∀s ∈ C si ha:

Im(s)

Re(s) > 0
arctan

Re(s)

arg(s) =
sign(Im(s))· π2 

 π + arctan Im(s)
Re(s)
Re(s) = 0
(3.2)
Re(s) < 0
dove sign(·) è la funzione segno che vale 1, 0 o −1 a seconda che il suo argomento sia
positivo, nullo o negativo.
Osservazione. Si noti che la formula precedente assegna convenzionalmente il valore 0
all’argomento del numero complesso 0 per il quale l’angolo relativo non è definito.
Si noti anche che l’argomento di un numero complesso è stato definito a meno di multipli
interi di 2π; la formula (3.2) produce un valore dell’argomento compreso tra − π2 e 23 π:
naturalmente a questo valore si può aggiungere un arbitrario multiplo intero di 2π.
Le formule (3.1) e (3.2) permettono di calcolare modulo e fase di un numero complesso a
partire dalla conoscenza di parte reale e parte immaginaria. Utilizzando le note proprietà
dei triangoli rettangoli risulta immediato invertire tali relazioni e ottenere parte reale e
parte immaginaria di un numero complesso in funzione di modulo e fase. Precisamente,
∀s ∈ C si ha:
Re(s) = |s| cos(arg(s))
(3.3)
e
Im(s) = |s| sin(arg(s)).
(3.4)
Pertanto, indicando con ρ e ϑ modulo e fase di un numero complesso s = a + jb, si può
scrivere
s = a + jb = |s| cos(arg(s)) + j|s| sin(arg(s)) = ρ[cos(ϑ) + j sin(ϑ)].
5
(3.5)
La scrittura s = ρ[cos(ϑ) + j sin(ϑ)] mette in evidenza modulo e fase (e cioè le coordinate
polari) di s e pertanto è chiamata rappresentazione polare. Nel prossimo paragrafo si
vedrà una seconda forma di rappresentazione polare.
I 6
C
b
r
ρ = |s|
s = a + jb
ϑ = arg(s)
a
-
R
Figure 1: Rappresentazione cartesiana e polare di un numero complesso nel piano di
Gauss.
3.1
Esponenziali complessi
Si vuole ora definire l’esponenziale complesso ossia la quantità es con s ∈ C. La definizione
dovrà essere consistente con la corrispondente definizione nel caso reale. Si richiede cioè
che, nel caso in cui s sia un numero complesso a parte immaginaria nulla (ossia un numero
reale) il suo esponenziale coincida con il consueto esponenziale reale. Il seguente risultato
sarà utile allo scopo:
Proposizione 3.1 Sia a ∈ R. Allora la serie
reale ea . In formule:
∞
X
ai
= ea
i!
i=0
P∞
ai
i=0 i!
converge assolutamente al numero
∀a ∈ R
(3.6)
Analogamente, si ha:
∞
X
a2i
(−1)i
= cos(a)
(2i)!
i=0
∞
X
i=0
6
(−1)i
a2i+1
= sin(a)
(2i + 1)!
(3.7)
La (3.6) suggerisce la seguente definizione
Definizione 3.1 Sia s ∈ C. L’esponenziale complesso es è definito da:
s
e :=
∞
X
si
i=0
i!
.
(3.8)
La Proposizione 3.1 garantisce che la precedente definizione sia consistente con l’esponenziale reale. Inoltre si può dimostrare che la serie a secondo membro della (3.8) converge
per ogni s ∈ C e pertanto l’esponenziale è ben definito per ogni s ∈ C. Infine, si può
dimostrare che per ogni s1 , s2 ∈ C si ha
es1 +s2 = es1 es2 .
Sia ora ϑ reale. Si vuole calcolare ejϑ . Si ha:
e
jϑ
=
∞
X
(jϑ)i
i=0
i!
= 1 + jϑ −
ϑ2
ϑ3 ϑ4
−j +
+ ···
2!
3!
4!
(3.9)
Si possono riarrangiare i termini della sommatoria in due gruppi uno composto di numeri
reali e uno di numeri puramente immaginari. Si ha cosı̀
X
∞
∞
X
ϑ2 ϑ4 ϑ6
ϑ3 ϑ5
ϑ2i
ϑ2i+1
jϑ
e = 1− + − +···+j ϑ −
+
+ ··· =
(−1)i
+j
(−1)i
2! 4! 6!
3!
5!
2i!
(2i + 1)!
i=0
i=0
(3.10)
e quindi, tenendo conto della (3.7),
ejϑ = cos(ϑ) + j sin(ϑ)
(3.11)
Confrontando quest’ultima espressione con la (3.5) si ottiene la seguente espressione
che rappresenta un arbitrario numero complesso s come prodotto del suo modulo per
l’esponenziale di jϑ:
s = ρejϑ ;
con ρ := |s| e ϑ := arg(s).
7
(3.12)
La (3.12) è una forma alternativa (e più comune) di rappresentazione polare del numero
complesso s.
Dalla (3.11) consegue immediatamente che e−jϑ = cos(−ϑ) + j sin(−ϑ), ossia
e−jϑ = cos(ϑ) − j sin(ϑ).
(3.13)
Quest’ultima e la (3.11) sono le celebri formule di Eulero. Combinando assieme la (3.11)
e la (3.13) si ottengono le formule
ejϑ + e−jϑ
2
ejϑ − e−jϑ
sin(ϑ) =
2j
cos(ϑ) =
(3.14a)
(3.14b)
che permettono di esprimere seno e coseno come combinazioni lineari di esponenziali
immaginari.
Siano s1 = ρ1 ejϑ1 e s2 = ρ2 ejϑ2 . È immediato verificare che
s1 s2 = ρ1 ρ2 ejϑ1 ejϑ2 = ρ1 ρ2 ej(ϑ1 +ϑ2 ) .
(3.15)
s1 /s2 = (ρ1 /ρ2 )ejϑ1 e−jϑ2 = (ρ1 /ρ2 )ej(ϑ1 −ϑ2 ) .
(3.16)
Analogamente, se s2 6= 0
Queste relazioni si possono esprimere con le seguenti regole:
Nel prodotto di numeri complessi, il modulo del prodotto è pari al prodotto dei moduli dei
fattori e l’argomento del prodotto è pari alla somma degli argomenti dei fattori.
Nel rapporto di numeri complessi, il modulo del rapporto è pari al rapporto dei moduli e
l’argomento del rapporto è pari alla differenza fra l’argomento del numeratore e quello del
denominatore.
Sia n ∈ N. In modo analogo al calcolo del prodotto si può calcolare la potenza n-esima
di un numero complesso s = ρejϑ :
sn = ρn ejnϑ .
(3.17)
8
Dalla relazione precedente si può ricavare la seguente regola
Nella potenza n-esima di un numero complesso s, il modulo è pari alla potenza n-esima
del modulo di s e l’argomento è pari all’argomento di s moltiplicato per n.
3.2
Radici n-esime complesse
Sia s = ρejϑ un numero complesso fissato. Si desidera risolvere l’equazione
zn = s
(3.18)
nell’incognita z ∈ C. Ciò significa calcolare tutti i numeri complessi z che soddisfano
tale relazione. Si indichino con ρz e ϑz rispettivamente modulo e argomento di z. Poiché
√
due numeri complessi coincidenti devono avere lo stesso modulo è evidente che ρz = n ρ
ossia tutte le soluzioni della (3.18) hanno il medesimo modulo e questo è pari alla radice
n-esima del modulo di s. Rimane da imporre che primo e secondo membro della (3.18)
abbiano il medesimo argomento2 . Nell’imporre questo vincolo bisogna tenere presente
che l’argomento è definito a meno di multipli interi di 2π. Pertanto, non si deve imporre
nϑz = ϑ ma
nϑz = ϑ + k2π,
k = 0, ±1, ±2, . . .
(3.19)
Quest’ultima ammette le soluzioni
ϑz =
ϑ + k2π
,
n
k = 0, ±1, ±2, . . .
(3.20)
però solo n di tali soluzioni corrispondono ad argomenti diversi. Infatti, a valori di k
che differiscono per multipli interi di n corrispondono valori di ϑz che differiscono per
multipli interi di 2π e che pertanto individuano il medesimo argomento. In conclusione,
la (3.18) ammette esattamente n soluzioni z0 , z1 , . . . , zn−1 che hanno tutte il medesimo
√
modulo ρzk = n ρ, k = 0, 1, . . . , n − 1, e i cui argomenti sono
ϑzk =
ϑ k
+ 2π,
n n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
2
(3.21)
Questo vicolo va imposto nel caso in cui ρ > 0. Si ricordi infatti, che se ρ = 0, l’argomento non è
definito. In tal caso, l’unica soluzione della (3.18) è z = 0.
9
Queste n soluzioni vengono chiamate radici n-esime complesse di s. È facile vedere che,
nel piano complesso, esse sono disposte ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto
√
in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio pari a ρzk = n ρ.
Esercizio. Si calcolino le radici complesse terze quarte e quinte di 1, −1, j, 1 + j.
Esercizio. Si dimostri che quando s è reale e la sua (unica!) radice n-esima reale esiste,
essa è una delle n radici n-esime complesse di s.
4
Polinomi in s
In questa sezione si considerano polinomi nell’indeterminata complessa s e a coefficienti
complessi, ossia oggetti del tipo
P (s) = an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 ,
ai ∈ C.
(4.22)
Senza perdita di generalità, se n > 0 si assumerà an 6= 0 (invece, nel caso n = 0 in cui il
polinomio si riduce ad una costante complessa, tale costante può anche essere nulla). Gli
ai si dicono coefficienti del polinomio P (s). Se an = 1 il polinomio si dice monico.
Definizione 4.1 Dato un polinomio P (s) non nullo rappresentato dalla (4.22), il numero
naturale n si dice grado di P (s) e si indica con deg(P (s)).3
Definizione 4.2 Un numero complesso z si dice zero del polinomio P (s) se P (z) = 0.
Come è noto, se z è uno zero del polinomio P (s) allora P (s) è divisibile per s − z ossia
P (s) ammette la rappresentazione
P (s) = (s − z)P1 (s),
(4.23)
dove P1 (s) è un polinomio tale che deg(P1 (s)) = deg(P (s)) − 1.
3
Di solito il grado del polinomio nullo non viene definito oppure viene convenzionalmente posto al
valore −∞.
10
Definizione 4.3 Sia z uno zero del polinomio P (s). Si dice molteplicità di z (come zero
di P (s)) il massimo valore di ν per il quale (s − z)ν divide P (s) ossia tale che P (s)
ammette la rappresentazione
P (s) = (s − z)ν P1 (s),
(4.24)
dove P1 (s) è un polinomio.
In particolare, uno zero semplice è uno zero di molteplicità unitaria ossia un numero
complesso z tale che
P (s) = (s − z)P1 (s),
(4.25)
dove P1 (s) è un polinomio che non ha z tra i suoi zeri.
Uno zero di molteplicità pari a 2 o zero doppio è un numero complesso z tale che
P (s) = (s − z)2 P1 (s),
(4.26)
dove P1 (s) è un polinomio che non ha z tra i suoi zeri.
Esercizio. Si indichi con P (i) (s) la derivata i-esima di P (s) ossia P (i) (s) =
di
P (s).
dsi
1. Si dimostri che z è uno zero semplice di P (s) se e solo se P (z) = 0 e P (1) (z) 6= 0.
2. Si dimostri che z è uno zero doppio di P (s) se e solo se P (z) = P (1) (z) = 0 e P (2) (z) 6= 0.
3. Più in generale si dimostri che z è uno zero di molteplicità ν di P (s) se e solo se
P (z) = P (1) (z) = . . . = P (ν−1) (z) = 0 e P (ν) (z) 6= 0.
Continuità degli zeri di un polinomio
Un risultato molto importante sancisce che gli zeri di un polinomio sono funzioni continue
dei coefficienti. In altre parole se i coefficienti di un polinomio variano con continuità i
corrispondenti zeri del polinomio descrivono curve continue nel piano complesso. Ciò è
reso rigoroso dal seguente teorema.
Teorema 4.1 Sia dato un polinomio P (s) = an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 . Siano
zi , i = 1, 2, . . . , m i suoi zeri e νi le corrispondenti molteplicità. Si indichi con I(z, r)
11
il cerchio aperto (nel piano complesso) di raggio r centrato in z. Per ogni ε > 0 esiste
δ > 0 tale che se |bi − ai | < δ ∀i = 1, 2, . . . , n, allora per ogni i = 1, 2, . . . , m, il polinomio
P1 (s) := bn sn + bn−1 sn−1 + . . . + b1 s + b0 ha νi zeri (contati con la loro molteplicità) in
I(zi , ε).
Teorema fondamentale dell’algebra e rappresentazioni di polinomi a coefficienti complessi
Il seguente risultato garantisce che ogni polinomio non costante ammette zeri in C. Esso
è noto come Teorema fondamentale dell’algebra.
Teorema 4.2 Sia P (s) un polinomio a coefficienti complessi e sia deg(P (s)) ≥ 1. Allora
esiste z ∈ C tale che P (z) = 0.
Esercizio. Si dimostrino i seguenti corollari.
Corollario 4.1 Dato un polinomio di grado n descritto dalla (4.22) esistono n numeri
complessi zi , i = 1, 2 . . . , n (non necessariamente distinti) tali che
n
Y
P (s) = an (s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zn ) = an (s − zi ).
(4.27)
i=1
Nella (4.27), raggruppando fra di loro gli zi coincidenti (e supponendo, senza perdita di
generalità, che gli zi tutti diversi fra loro siano i primi m) si ottiene
P (s) = an (s − z1 )ν1 (s − z2 )ν2 · · · (s − zm )νm = an
m
Y
(s − zi )νi .
(4.28)
i=1
dove si sono messi in evidenza, oltre che gli zeri zi del polinomio anche le loro molteplicità
νi . I due casi estremi sono: (1) νi = 1 ∀i. In tal caso m = n e tutti gli zeri hanno
molteplicità unitaria e (2) ν1 = n. In tal caso m = 1 e P (s) ha un solo zero di molteplicità
pari a n.
12
Corollario 4.2 La somma delle molteplicità degli zeri di un polinomio P (s) è pari al
grado di P (s).
La rappresentazione (4.22) mette in evidenza i coefficienti di P (s), le (4.27) e (4.28) ne
mettono in evidenza gli zeri. La (4.28) mette in evidenza anche le moteplicità degli zeri
di P (s). Oltre a tali rappresentazioni vi è un’ulteriore forma che mette in evidenza i
reciproci degli zeri non nulli. Precisamente, a partire dalla (4.28) si considerino i seguenti
due casi:
1. P (s) ha uno zero nell’origine ossia uno degli zi è nullo. Senza perdita di generalità
si assuma che sia il primo: z1 = 0. Allora
m
Y
(s − zi )νi .
P (s) = an s
ν1
(4.29)
i=2
νi
= (−zi )νi (1 + τi s)νi dove si sono definiti
Si osservi che (s − zi )νi = (−zi )νi 1 − zsi
gli opposti dei reciproci degli zeri τi := −1/zi . Definendo inoltre la costante complesQ
νi
sa bn := an m
i=2 (−zi ) , si ottiene agevolmente la
P (s) = bn s
ν1
m
Y
(1 + τi s)νi
(4.30)
i=2
che mette in evidenza lo zero nell’origine con la sua molteplicità e gli opposti dei
reciproci degli zeri non nulli.
2. P (s) non ha uno zero nell’origine ossia P (0) 6= 0. In tal caso con passaggi del tutto
analoghi al caso precedente si ottiene
P (s) = bn
m
Y
(1 + τi s)νi
(4.31)
i=1
con τi := −1/zi e bn := an
Qm
νi
i=1 (−zi ) .
Si vede facilmente che, rinominando opportunamente i simboli, le rappresentazioni (4.30)
e (4.31) si possono vedere come casi particolari della seguente rappresentazione valida per
13
tutti i polinomi:
P (s) = bn s
ν
p
Y
(1 + τi s)νi ,
(4.32)
i=1
dove ν = 0 se P (0) 6= 0. Se invece P (0) = 0, ν > 0 è la molteplicità dello zero nell’origine
di P (s).
4.1
Polinomi a coefficienti reali
Si considereranno ora i polinomi nell’indeterminata s a coefficienti reali. Naturalmente,
essendo questi un caso particolare di polinomi a coefficienti complessi, continuano a valere
tutti i risultati fino ad ora enunciati. In particolare, tutti i polinomi a coefficienti reali
possono essere rappresentati da ciascuna delle formule (4.22), (4.27), (4.28) e (4.32).
Tuttavia, tali formule non rappresentano solo i polinomi a coefficienti reali.
Nel seguito si individueranno espressioni analoghe che però rappresentano tutti e soli i
polinomi a coefficienti reali.
L’analoga della (4.22) è ovviamente la
P (s) = an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 ,
ai ∈ R.
(4.33)
Per ottenere l’analoga della (4.28) si utilizza il seguente risultato.
Lemma 4.1 Dato un polinomio P (s) a coefficienti reali, sia z 6∈ R uno zero a parte
immaginaria non nulla di P (s). Allora, anche z̄ è zero di P (s) e la sua molteplicità è la
medesima di quella di z.
Esercizio. Si dimostri il lemma precedente.
Siano r e c rispettivamente il numero di zeri reali e di coppie di zeri complessi coniugati.
Per semplicità di notazioni risulta conveniente distinguere gli zeri reali da quelli non reali.
14
Si indichino quindi con zi , i = 1, . . . , r gli zeri reali e con ζi , ζ̄i , i = 1, . . . , c, le coppie
di zeri complessi coniugati (a parte immaginaria non nulla). La (4.28) si particolarizza
allora nella
r
c
Y
Y
νi
P (s) = an (s − zi )
[(s − ζi )(s − ζ̄i )]µi .
(4.34)
i=1
i=1
Si definiscano ora i parametri reali
(ζi + ζ̄i )
−2Re(ζi )
−Re(ζi )
=
=
2ωi
2ωi
ωi
p
dove si ha −1 < ξi < 1 perchè ωi = |ζi | = [Re(ζi )]2 + [Im(ζi )]2 . Si osservi che
ωi :=
q
ζi ζ̄i = |ζi | > 0,
e ξi := −
(s − ζi )(s − ζ̄i ) = s2 − (ζi + ζ̄i )s + ζi ζ̄i = s2 + 2ξi ωi s + ωi2
(4.35)
(4.36)
che, sostituita nella (4.34) fornisce l’espressione
P (s) = an
r
c
Y
Y
(s − zi )νi
(s2 + 2ξi ωi s + ωi2 )µi ,
i=1
an , zi , ξi , ωi ∈ R, ωi > 0, −1 < ξi < 1
i=1
(4.37)
Rimane cosı̀ dimostrato che, al variare dei parametri reali an , zi , ξi , ωi e delle molteplicità
νi , µi ∈ N, la (4.37) rappresenta tutti e soli i polinomi a coefficienti reali. Inoltre, in
questa rappresentazione, se ωi > 0 e −1 < ξi < 1 allora zi sono gli zeri reali di P (s) e ωi
sono i moduli degli zeri non reali di P (s). Rimane da dare un significato ai parametri ξi .
Ricordando le (4.35) e (3.3) si ha:
ξi =
−Re(ζi )
−|ζi | cos(arg(ζi ))
=
= − cos(arg(ζi )) = cos(ϕi ).
ωi
ωi
(4.38)
dove si è definito ϕi := π − arg(ζi ). ϕi ha pertanto il significato di angolo compreso
fra il segmento che unisce lo zero ζi con l’origine del piano complesso e il semiasse reale
negativo. In conclusione ξi hanno il significato dell’opposto del coseno dell’argomento
degli zeri non reali di P (s) oppure del coseno degli angoli ϕi .
Da ultimo, per ottenere un formula analoga alla (4.32) ma che rappresenti tutti e soli
polinomi a coefficienti reali, si tratta di fare i seguenti passaggi. A partire dalla rappreQ
sentazione (4.37) si consideri il solo fattore an ri=1 (s − zi )νi relativo agli zeri reali. Con
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gli stessi passaggi che hanno permesso di passare dalla (4.28) alla (4.32) si può ottenere
la
p
r
Y
Y
νi
ν
(1 + τi s)νi
an (s − zi ) = b̂n s
i=1
i=1
dove τi = −1/zi sono gli opposti dei reciproci degli zeri reali di P (s) e b̂n è un parametro
reale. A questo punto, raccogliendo gli ωi2 dai fattori della seconda produttoria nella
(4.37) si ottiene la
P (s) = bn s
ν
p
Y
i=1
(1 + τi s)
νi
c Y
i=1
s2
s
1 + 2ξi + 2
ωi ωi
µi
,
(4.39)
Q
dove bn , τi , ξi , ωi sono tutti parametri reali. In particolare, bn = b̂n ci=1 ωi2µi ∈ R. Inoltre,
ωi > 0 e −1 < ξi < 1 sono gli stessi parametri che appaiono nella (4.37) (e quindi hanno
la stessa interpretazione in termini degli zeri di P (s)).
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