11 Componenti dotati di memoria (dinamici) Si tratta di componenti elettrici che esprimono una relazione costitutiva tra tensione e corrente che richiama anche valori di tensione e/o corrente riferiti ad istanti di tempo precedenti. La relazione costitutiva è in questo caso di tipo dinamico, tipicamente integro-differenziale. Per tali componenti il legame v-i non è quindi espresso da una semplice funzione algebrica. Una rete elettrica che contiene componenti dinamici (almeno uno) è detta rete dinamica, in contrapposizione con una rete algebrica, detta per questo anche adinamica. Si considerano nella trattazione solo i principali componenti dinamici: condensatore ed induttore. Parte II – A.A. 2011/2012 22 Condensatore Il condensatore è un bipolo che presenta una relazione di legame tra la carica q immagazzinata e la tensione v ai suoi morsetti. Nel caso di condensatore lineare tempo-invariante si ha: q(t) = C v(t) i v C ≡ capacità [Farad, F] La capacità C non dipende in tal caso dal tempo t nè dalla tensione v. Differenziando tale espressione, essendo i = dq/dt, si ottiene: dv i (t ) = C dt relazione costitutiva del condensatore Tale relazione evidenzia la dinamicità del condensatore. Parte II – A.A. 2011/2012 C 33 Condensatore: proprietà di memoria La relazione costitutiva del condensatore può essere riscritta esplicitando la tensione in funzione della corrente: 1 v(t ) = C t ∫ -∞ q(t ) i (t' ) dt' = C Tale relazione evidenzia il fatto che la tensione dipende anche dai valori assunti dalla corrente negli istanti precedenti a quello attuale. Il condensatore è quindi un componente dotato di memoria. Considerando la tensione all’istante to , v(to), si può scrivere: v(t ) = Parte II – A.A. 2011/2012 1 C to ∫ -∞ i (t' ) dt' + 1 C t ∫ to i (t' ) dt' = v(to ) + q(to ) C 1 C t ∫ to i (t' ) dt' 44 Condensatore: proprietà di continuità Se la corrente ha valore limitato (non infinito), la tensione ai capi del condensatore varia con continuità. Si ha infatti: 1 dv = i (t ) dt , C i(t) < ∞ Æ variazione dv infinitesima Rispetto alla forma d’onda di una corrente impressa nel condensatore, che può essere anche discontinua, la forma d’onda della tensione ha quindi un andamento continuo e “smussato”, per effetto della relazione di integrazione che sussiste tra corrente e tensione. Viceversa, imprimendo rapide variazioni di tensione ai morsetti del condensatore si hanno elevati valori di corrente, per effetto della relazione di derivazione che sussiste tra tensione e corrente. vedi esempi lavagna Parte II – A.A. 2011/2012 55 Condensatore: comportamento energetico Dalla definizione di potenza elettrica entrante è possibile risalire all’espressione dell’energia w immagazzinata nel condensatore (e viceversa): w(t ) = t t t -∞ -∞ -∞ ∫ p dt = ∫ v i dt = ∫ ( v dv 1 2 v C dt = C v dv = C v dt 2 1 ∆w = w(t2 ) − w(t1 ) = C v22 − v12 2 ∫ 0 ) Una discontinuità dell’energia (quindi della tensione) comporterebbe un picco di potenza infinita. L’energia immagazzinata in fase di carica, essendo funzione della sola tensione, viene completamente restituita nella scarica. Per questa sua caratteristica il condensatore è un componente reattivo, ed è privo di perdite. Parte II – A.A. 2011/2012 66 Condensatori in serie Due o più condensatori si dicono in serie quando, per ogni condizione elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono attraversato dalla stessa corrente (osservazione su stessa carica ed i=0). Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre la capacità equivalente, Ceq , imponendo la stessa relazione costitutiva: i dv1 i1 dt = C = C 1 1 dv i i 2 = 2 = dt C2 C2 1 d dv 1 i (v1 + v2 ) = = + dt dt C1 C2 1 1 1 = + +L Ceq C1 C2 Parte II – A.A. 2011/2012 77 Condensatori in parallelo Due o più condensatori si dicono in parallelo quando, per ogni condizione elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono sottoposti alla stessa tensione, ovvero, sono collegati tra la stessa coppia di nodi. Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre la capacità equivalente, Ceq , imponendo la stessa relazione costitutiva: dv1 dv i = C = C 1 1 1 dt dt i = C dv2 = C dv 2 2 2 dt dt i1 + i2 = i = (C1 + C2 ) Ceq = C1 + C2 + L Parte II – A.A. 2011/2012 dv dt 88 Partitore capacitivo serie t v1 = 1 i dt C1 −∞ t 1 i dt v2 = C2 −∞ parallelo Per i collegamenti serie e parallelo di condensatori è possibile introdurre il concetto di partitore di tensione e di corrente, rispettivamente. dv1 dv i C C = = 1 1 1 dt dt i = C dv2 = C dv 2 2 2 dt dt Parte II – A.A. 2011/2012 ∫ v1 C2 = , C1v1 = C2v2 (= q, stessa carica) v2 C1 ∫ la tensione si ripartisce in modo proporzionale all’inverso della capacità. i1 C1 = i2 C2 la corrente si ripartisce in modo proporzionale alla capacità. 99 Induttore L’induttore è un bipolo che presenta una relazione di legame tra il flusso magnetico concatenato ϕ e la corrente i ai suoi morsetti. Nel caso di induttore lineare tempo-invariante si ha: ϕ(t) = L i(t) v L ≡ induttanza [Henry, H] L’induttanza L non dipende in tal caso dal tempo t nè dalla corrente i. Differenziando tale espressione, essendo v = dϕ/dt, si ottiene: di v(t ) = L dt relazione costitutiva dell’induttore Tale relazione evidenzia la dinamicità dell’induttore. Parte II – A.A. 2011/2012 i L 1100 Induttore: proprietà di memoria La relazione costitutiva dell’induttore può essere riscritta esplicitando la corrente in funzione della tensione: 1 i (t ) = L t ∫ -∞ ϕ(t ) v(t' ) dt' = L Tale relazione evidenzia il fatto che la corrente dipende anche dai valori assunti dalla tensione negli istanti precedenti a quello attuale. L’induttore è quindi un componente dotato di memoria. Considerando la corrente all’istante to , i(to), si può scrivere: 1 i (t ) = L Parte II – A.A. 2011/2012 to ∫ -∞ 1 v(t' ) dt' + L t ∫ to t 1 v(t' ) dt' = i (to ) + v(t' ) dt' L to ϕ(to ) L ∫ 1111 Induttore: proprietà di continuità Se la tensione ha valore limitato (non infinito), la corrente che attraversa l’induttore varia con continuità. Si ha infatti: 1 di = v(t ) dt , L v(t) < ∞ Æ variazione di infinitesima Rispetto alla forma d’onda di una tensione impressa nell’induttore, che può essere anche discontinua, la forma d’onda della corrente ha quindi un andamento continuo e “smussato”, per effetto della relazione di integrazione che sussiste tra tensione e corrente. Viceversa, imprimendo rapide variazioni della corrente nell’induttore si hanno elevati valori di tensione, per effetto della relazione di derivazione che sussiste tra corrente e tensione. vedi esempi lavagna Parte II – A.A. 2011/2012 1122 Induttore: comportamento energetico Dalla definizione di potenza elettrica entrante è possibile risalire all’espressione dell’energia w immagazzinata nell’induttore (e viceversa): t w(t ) = ∫ -∞ t p dt = ∫ -∞ t v i dt = ( ∫ -∞ i L di 1 i dt = L i di = Li 2 dt 2 1 2 2 ∆w = w(t2 ) − w(t1 ) = L i2 − i1 2 ∫ ) 0 Una discontinuità dell’energia (quindi della corrente) comporterebbe un picco di potenza infinita. L’energia immagazzinata in fase di magnetizzazione è funzione della sola corrente e viene completamente restituita nella smagnetizzazione. Per questa caratteristica l’induttore è un componente reattivo, ed è privo di perdite. Nota: osservazioni sul dualismo v ↔ i e C ↔ L tra condensatore ed induttore. Parte II – A.A. 2011/2012 1133 Induttori in serie Due o più induttori si dicono in serie quando, per ogni condizione elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono attraversato dalla stessa corrente. Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre l’induttanza equivalente, Leq , imponendo la stessa relazione costitutiva: di1 di v L L = = 1 1 1 dt dt v = L di2 = L di 2 2 2 dt dt v1 + v2 = v = (L1 + L2 ) Leq = L1 + L2 + L Parte II – A.A. 2011/2012 di dt 1144 Induttori in parallelo Due o più induttori si dicono in parallelo quando, per ogni condizione elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono sottoposti alla stessa tensione, ovvero, sono collegati tra la stessa coppia di nodi. Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre l’induttanza, Leq , imponendo la stessa relazione costitutiva: di1 v1 v dt = L = L 1 1 di v2 v 2 = = dt L2 L2 d di 1 1 (i1 + i2 ) = = + v dt dt L1 L2 1 1 1 = + +L Leq L1 L2 Parte II – A.A. 2011/2012 1155 Partitore induttivo serie di1 di v1 = L1 dt = L1 dt v = L di2 = L di 2 2 2 dt dt parallelo Per i collegamenti serie e parallelo di induttori è possibile introdurre il concetto di partitore di tensione e di corrente, rispettivamente. i1 = i2 = Parte II – A.A. 2011/2012 1 L1 1 L2 t ∫ v dt −∞ t ∫ −∞ v dt v1 L1 = v2 L2 la tensione si ripartisce in modo proporzionale all’induttanza. i1 L2 = , L1i1 = L2i2 (= ϕ, stesso flusso) i2 L1 la corrente si ripartisce in modo proporzionale all’inverso dell’induttanza. 1166 Osservazioni sui valori dei parametri di C ed L Il costo di un resistore non varia in generale con il valore della resistenza ma è funzione della potenza massima (quindi dimensioni) che il componente deve dissipare (ovvero dipende dalla tensione e dalla corrente). Per quanto riguarda condensatori ed induttori, si ha in generale che il loro costo dipende rispettivamente della capacità e dell’induttanza. Tali componenti divengono infatti più voluminosi all’aumentare di questi parametri. Si ha inoltre che il loro costo (ed in generale il volume) aumentano all’aumentare della tensione nominale (per i condensatori) e della corrente nominale (per gli induttori). Possiamo quindi dire che il costo per C ed L aumenta all’aumentare dell’energia immagazzinabile. Grazie alle connessioni serie/parallelo tra questi componenti è possibile adattare sia i valori dei parametri sia i valori di tensione e corrente, tenendo però conto che in generale si hanno benefici in controtendenza. Parte II – A.A. 2011/2012 1177 Reti degeneri Nello studio dei circuiti dinamici è necessario specificare se si tratta o meno di reti degeneri: una rete elettrica si dice degenere se contiene maglie di condensatori e/o tagli di induttori. z per maglia di condensatori si intende una maglia formata da soli condensatori ed eventuali generatori di tensione; z per taglio di induttori si intende un insieme di taglio formato da soli induttori ed eventuali generatori di corrente. Esiste un’importante differenza concettuale tra i casi in cui l’insieme degenere di lati (maglia o taglio) contiene o non contiene dei generatori: • nel caso non vi siano generatori, il caso degenere non ha particolari implicazioni fisiche ma solo matematiche per la diversa procedura risolutiva. Un caso particolare che può essere semplicemente risolto è quello di condensatori parallelo e/o induttori serie; Parte II – A.A. 2011/2012 1188 Reti degeneri • nel caso siano presenti anche generatori, è immediato verificare che eventuali discontinuità di questi sono in contrasto con le proprietà di continuità di condensatori o induttori: se i generatori sono in grado di fornire picchi illimitati di corrente o tensione (potenza ∞) allora vi è una discontinuità; se i generatori non sono in grado di fornire tali picchi allora essi stessi sono vincolati ad imprimere grandezze continue. Nota: vedi alla lavagna casi semplici di vo // C ed io -- L In questa trattazione le reti degeneri saranno trattate specificamente caso per caso. Un loro studio sistematico è rimandato a corsi seguenti. Eventuali condensatori in parallelo e/o induttori in serie, casi degeneri particolari, saranno trattati semplicemente considerando il componente equivalente. Parte II – A.A. 2011/2012