UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI MILANO Corso di ISTITUZIONI DI

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI MILANO
Corso di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
a.a. 2005/2006
per i C.d.L. in CHIMICA INDUSTRIALE e CHIMICA APPLICATA E AMBIENTALE
Argomento 1. Numeri reali e complessi
Numeri reali e loro proprietà
Numeri complessi (oltre al testo indicato sotto, vedi dispensa)
Rappresentazione algebrica e trigonometrica, operazioni, radici n-esime
Argomento 2. Vettori nel piano e nello spazio e applicazioni alla geometria analitica
Somma e prodotto per uno scalare, prodotto scalare, vettoriale, misto
Rappresentazione cartesiana ed espressione delle varie operazioni per componenti
Equazioni di rette e piani nello spazio tridimensionale
Argomento 3. Matrici e sistemi lineari
Operazioni fra matrici, determinante, matrice inversa, autovalori e autovettori
Matrici e trasformazioni geometriche del piano o dello spazio (vedi esercizi e soluzioni)
Sistemi lineari: teorema di Cramer, metodo di Gauss (vedi dispensa)
Calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss
Argomento 4. Successioni e serie
Successioni numeriche e loro limiti, teoremi sui limiti, forme di indecisione
Limiti notevoli, il numero “e”
Cenno alle serie numeriche
Argomento 5. Funzioni reali di variabile reale: Limiti e Derivate
Funzioni reali di variabile reale, funzioni elementari e loro grafici
Funzioni composte e inverse
Limiti, continuità; teoremi degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi
Derivate, regole di derivazione, teorema di Fermat, di Lagrange, e di de L’Hospital
Massimi e minimi, convessità, studio del grafico di una funzione
Differenziale e approssimazione lineare
Argomento 6. Formula e serie di Taylor- McLaurin
Formula col resto nelle forme di Peano e di Lagrange
Ordini di infinitesimo, applicazioni al calcolo dei limiti (con la forma di Peano)
Sviluppabilità in serie di Taylor-Mc Laurin delle funzioni elementari, esponenziale complesso
Applicazioni alle approssimazioni numeriche (con la forma di Lagrange) (facoltativo)
Argomento 7. Cenni di calcolo differenziale in più variabili
Derivate parziali e massimi e minimi di funzioni di due variabili
Metodo dei minimi quadrati: regressione lineare
Argomento 8. Integrali
Integrale definito, sue proprietà, teorema de lla media
Teorema Fondamentale del calcolo (con dimostrazione)
Calcolo delle primitive per decomposizione (cenni), per sostituzione e per parti
Integrali impropri ( o generalizzati) e criteri di confronto
Argomento 9. Equazioni differenziali
Equazioni in forma normale, problema di Cauchy, esistenza e unicità della soluzione
Equazioni a variabili separabili
Equazioni lineari del primo ordine
Cenno alle equazioni lineari del secondo ordine
(Vedi esercizi e soluzioni)
PREREQUISITI AL CORSO
I concetti fondamentali dell’algebra, della geometria analitica, della trigonometria, come delineati, per
esempio, nelle prime 7 lezioni del programma MINIMAT, scaricabili dall’indirizzo:
http://ariel.ctu.unimi.it/corsi/minimat
Testo consigliato: Pagani - Salsa, Matematica. Ed. Zanichelli
Il programma coincide approssimativamente con i primi 8 capitoli del testo. Dove il programma si discosta
dal testo indicato, è presente un link per scaricare una dispensa integrativa.
In prima lettura, possono essere saltati i seguenti argomenti (peraltro utili come approfondimenti):
Cap. 1
§2
§7
Cap. 2
§ 7 e 8 tutti. (sostituire con la dispensa “Metodo di Gauss …..” di cui sopra)
Cap. 3
§ 6 e 7 tutti.
Cap. 4
§ 5
Dimostrazione Teo. degli zeri, pag. 113 e 114.
Cap 5.
§
§
§
§
§
§
seconda metà di pag. 134 (elasticità).
Dimostraz. Teo. di Lagrange (in fondo a pag.140)
tutto.
pag. 151 tutta.
da pag. 152 (Per precisare meglio il soggetto ...) a pag. 153 (Esempio).
pag. 155 Dimostrazione della (21) (9 righe).
Cap. 6
§ 3
§ 6
§ 8
Dimostraz. Teo pag 172
tutto. (consigliato agli Studenti C.A.A.)
tutto.
Cap. 7
§ 4
tutto.
4
6
7
8
9
10
pag. 4 prima mezza pagina.
dall’ultima riga di pag. 16 fino a pag. 17 a metà (dimostrazione di (12) e (13)).
Cap. 8
§ 1
da pag. 215 (Metodi di integraz. numerica) a fine paragrafo a pag. 216.
§ 3
da pag. 220 in fondo (Circuiti con ..) a fine paragrafo a pag. 222.
§ 5
da pag. 227 (Vibrazioni meccaniche) fino a fine paragrafo a pag. 231.
Vedi anche Errata Corrige
Per gli esercizi, oltre a quelli in fondo a ogni capitolo del testo, si consigliano quelli della serie
“MATEMATICA ASSISTITA” elaborati da un gruppo di docenti della nostra Facoltà, scaricabili, insieme
alle soluzioni, dall’indirizzo:
http://ariel.ctu.unimi.it/corsi/mateassistita
Per esempi di temi d’esame scritto vedere TEMI D’ESAME CON SOLUZIONI
N.B. I numeri degli esercizi nei temi d’esame coincidono con i numeri dei relativi argomenti in questo
programma (ignorare un eventuale esercizio n. 4)
N.B. I numeri degli argomenti in questo programma NON coincidono con i numeri degli argomenti della
serie MATEMATICA ASSISTITA, e nemmeno con quelli dei capitoli del testo consigliato
Alcuni esempi di possibili domande all’esame orale:
Interpretazione trigonometrica della moltiplicazione fra numeri complessi. Radici di n.c.
Operazioni lineari fra vettori.
Definire un tipo di prodotto fra vettori e ricavarne l’espressione per componenti.
Equazioni di rette e piani nello spazio
Proprietà del determinante di una matrice
Inversa di una matrice
Rappresentabilità di trasformazioni lineari mediante matrici.
Metodo di Gauss.
Definizione e ricerca di autovalori e autovettori.
Definizione di limite di una successione.
Il numero “e”.
Confronti di infiniti e infinitesimi.
Definizione e carattere di una serie.
La serie geometrica e quella armonica.
Definizione di funzione.
Grafico e proprietà di una funzione (monotonia, simmetrie…).
Definizione di limite di una funzione.
Descrizione di una famiglia di funzioni elementari (potenze, esponenziali, …..)
Definizione di f. composta o di f. inversa.
Def. di f. continua.
Enunciare i principali teo. sulle f. continue su un intervallo chiuso e limitato.
Dimostrazione del limite notevole riguardante la funzione sen(x).
Enunciato di altri limiti notevoli.
Definizione di asintotico con esempi.
Definizione e significato geometrico della derivata.
Equazione della retta tangente al grafico.
Calcolo de lla derivata di qualche funzione elementare (per esempio dimostrare che la derivata di sen(x) è cos(x))
Enunciare il teo. di de L’Hospital.
Enunciare e dimostrare il teo. di Fermat.
Enunciare il teo. di Lagrange e darne l’interpretazione geometrica.
Dimostrare le relazioni fra segno della derivata e monotonia della funzione.
Def. e significato geometrico del differenziale.
Formula di Taylor con i due tipi di resto.
Relazioni fra convessità e derivata seconda: spiegazione intuitiva.
Sviluppabilità in serie di Taylor.
L’esponenziale complesso.
Def. di integrale definito.
Proprietà dell’integrale definito.
Def. di primitiva.
Enunciato e dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Dimostrazione della formula di calcolo di un integrale (corollario del teorema precedente).
Ricavare le regole di integrazione per parti o per sostituzione.
Definizione di integrale generalizzato (improprio).
Criteri di confronto per integrali impropri.
Definizione e significato geometrico della derivata parziale.
Def. e significato geometrico di gradiente.
Equazione del piano tangente al grafico di una f(x,y).
Regola dell’ Hessiano.
Applicazione ai minimi quadrati.
Giustificare il metodo di integrazione delle equazioni differenziali a variabili separabili.
Ricavare la formula dell’integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine.