Leggi di Biot-Savart e di Ampère - dipartimento di fisica della

Leggi di Biot-Savart e di Ampère
P
q
r
R
i
q
dx
Fisica II - CdL Chimica
i
x

dl
Osservazioni sperimentali
Fisica II - CdL Chimica
Legge di Biot-Savart
esperimento:
dB
 r
ds
q
dB  ds
dB  r
dB  1
dB  i
r
X
dB
dB  ds
dB  sen q 
... riassumendo in formula
i
Fisica II - CdL Chimica
r
2
I ds  rˆ
dB  km
2
r
Legge di Biot-Savart
dB
 r
ds
q
r
μ0 I ds  rˆ
I ds  rˆ
dB  km

2
r
4π
r2
Tm
permeabilità magnetica   4 107
0
A
1
X
dB
i
c
 0 0
Il campo magnetico “è
distribuito” intorno al filo
La legge di B-S fornisce il
valore del campo magnetico
generato in un punto
dall’elemento di corrente I ds
Per calcolare il valore totale occorre sommare vettorialmente i
contributi di tutti gli elementi di corrente (integrare)
Fisica II - CdL Chimica
B dovuto a un filo  rettilineo
• Calcoliamo il campo in P usando
la legge di Biot-Savart :
μ0i dx  r
dB 
3
4π r
Direzione di B ?

B   dB  

q
r
R
q
z
dx
i
x
μ0i (dx)r sin θ
4π
r3
Il risultato finale è:
Fisica II - CdL Chimica
y P
μ0i
B
2πR
vediamo come ...
B dovuto a un filo  rettilineo
y
• Calcoliamo il campo in P usando
la legge di Biot-Savart
μ0i dx  r
dB 
3
4π r
Direzione di B ?
z

B   dB  

μ0i (dx)r sin θ
4π
r3
P
q
r
R
q
i
dx
• scriviamo q in termini di R :
R
r
sin θ

R
tan θ 
x
1 

quindi, dx   R  
 dθ 
2
 sin θ 
Fisica II - CdL Chimica

x  R cot θ
r 2 dθ
dx 
R
x
B dovuto a un filo  rettilineo
π
B
0
P
μ0i dθ
sin θ
4π R
q
r
q
dx
π
μ0 I
B
sin θdθ

4πR 0
quindi,
Fisica II - CdL Chimica
R

μ0i
B
2πR
i
μ0i
π
B
  cos θ 0
4πR
x
B dovuto ad un filo di lunghezza finita
P
q1
q2
y
i
y = lunghezza segmento
B
2


1
2
0 i
dB 
cos d

4 y 
1
2
0 i
0 i
B
sin 

sin 2  sin(1 ) 
4 y
4 y

1
0 i

sin 2  sin(1 )
4 y
Fisica II - CdL Chimica
Esempio 1
Qual è il valore del campo magnetico
al centro della spira di raggio R, in cui
scorre una corrente i ?
(a) B = 0
(b) B = (0i)/(2R)
i
R
(c) B = (0i)/(2R)
Usiamo Biot-Savart per calcolare il campo magnetico al centro
r r
r
della spira:
μ i ds  r
dB 
0
4π
r3
Teniamo conto che:
• ids è sempre perpendicolare a r
• r è costante (r = R)
μ0i (ds ) R
μ0i
μ0i
μ0i
B   dB  

(2 π R) 
 ds 
3
2
2
4π R
2R
4π R
4π R
Fisica II - CdL Chimica
Legge di Ampere
L’integrale di linea di B·dl lungo un qualsiasi percorso chiuso
è uguale a 0I, con I corrente continua totale concatenata col
percorso chiuso.
 r
“Elevata simmetria”  B  dl   0 I
Integrale lungo un cammino …
sperabilmente uno semplice

Fisica II - CdL Chimica
Corrente “racchiusa” dal
cammino
I
•
B dovuto ad un filo rettilineo 
Calcoliamo il campo a
distanza R dal filo usando
 B  ds  0i
la legge di Ampere:
• Scegliamo come linea chiusa un cerchio di
raggio R centrato sul filo in un piano  al filo.
– Perchè ?
• Il valore di B è costante (funzione di R
soltanto)
• La direzione di B è parallela al percorso.
dl

i
R
r r
 B  ds  B(2πR)
– Calcoliamo l’integrale di linea:
– La corrente racchiusa dal percorso vale i
– Applichiamo la Legge di Ampere:
μ0 i
B

2πRB  μ0 i
2πR
Fisica II - CdL Chimica
La legge di Ampere semplifica il calcolo grazie alla
simmetria della corrente ! (assiale/cilindrica)
Esempio 2
Una corrente i fluisce in un filo rettililineo
infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un
cilindro infinito concentrico di raggio R porta
una corrente 2i nella direzione -z.
– Quanto vale il campo magnetico Bx(a) nel
punto a, appena al di fuori del cilindro ?
y
x
x
a
x
b
x
x 2i
i
x
x
x
x
(a) Bx(a) < 0
(b) Bx(a) = 0
(c) Bx(a) > 0
• Lo schema ha una simmetria cilindrica
• Applicando la legge di Ampere, si vede che il campo nel
punto a deve essere il campo prodotto
B
da un filo infinito percorso da
una corrente i nella direzione –z !
x
B
i
B
B
Fisica II - CdL Chimica
Esempio 3
Una corrente i fluisce in un filo rettililineo
infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un
cilindro infinito concentrico di raggio R porta
una corrente 2i nella direzione -z.
– Quanto vale il campo magnetico Bx(a) nel
punto b, appena dentro il cilindro ?
y
x
x
a
x
b
x
x 2i
i
x
x
x
x
(a) Bx(b) < 0
(b) Bx(b) = 0
(c) Bx(b) > 0
• Questa volta, il percorso di Ampere racchiude solo la corrente i
in direzione +z — il percorso è interno al cilindro !
• La corrente nel tubo cilindrico non contribuisce al valore di B
B
nel punto b.
Fisica II - CdL Chimica
i
Domanda
• Come facciamo a verificare il risultato precedente ?
Ci aspettiamo che B generato dal filo sia  i/R.
• Misuriamo la FORZA agente sul filo che porta la
corrente, dovuta al campo B generato da UN
SECONDO FILO attraversato da corrente !
F
ib
d
ia
• Come dipende questa forza dalle correnti e dalla
distanza di separazione ?
Fisica II - CdL Chimica
F su 2 Fili Paralleli
percorsi da corrente
• Calcoliamo la forza su una lunghezza L
del filo b dovuta al campo generato da a:
Il campo in b dovuto ad a è :
F
B
L
ib
d
ia
μ0ia
Modulo di F
r r

Ba 
= Fb  ib L  Ba  0ia ib L
agente su b
2πd
2d
• Calcoliamo la forza sulla lunghezza L
ib
L
del filo a dovuta al campo generato
da b:
ia
Il campo in a dovuto a b è :
μ0ib
r r
Modulo
di
F
Bb 

= Fa  ia L  Bb  0ia ib L
2πd
2d
agente su a
Fisica II - CdL Chimica
d
B
F
Forza tra due conduttori paralleli
• Correnti parallele e concordi si attraggono,
mentre correnti parallele e discordi si
respingono.
• La forza che agisce tra fili paralleli percorsi
da correnti è utilizzata per definire l’ampere:
L’Ampere è quella corrente costante che, se
mantenuta in due conduttori rettilinei di
lunghezza infinita, di sezione circolare
trascurabile, e posti ad 1 m di distanza,
producono su ognuno di questi conduttori una
forza pari a 2•10-7 N per m di lunghezza.
Fisica II - CdL Chimica
B all’interno di un filo rettilineo infinito
• Supponiamo che una corrente totale
i scorra attraverso il filo di raggio a
verso l’interno dello schermo.
• Calcoliamo B in funzione di r, la
distanza dal centro del filo.
xxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxx
x x x x x xrx x
a
• Il campo B è funzione solo di r  scegliamo
un percorso circolare di raggio r :
Corrente che scorre nella sezione di raggio r :
Legge di Ampere :
Fisica II - CdL Chimica
xxxxx
r r
  B  dl  B(2 π r )
iracchiusa
 B  dl  μoiracchiusa 
r2
 2i
a
μ0i r
B
2 π a2
B all’interno di un filo rettilineo infinito
• All’interno del filo: (r < a)
yy ==
a
b1(x);b2(x)
b1(x);b2(x)
11
μ0i r
B
2
2π a
B
• All’esterno del filo: ( r > a )
μ0 i
B
2πr
Fisica II - CdL Chimica
00
00
44
r
xx==
xx
B di un Solenoide
• Un campo magnetico costante può essere prodotto (in
linea di principio) da una lamina  di corrente. In
pratica, però, si preferisce usare un solenoide.
• Un solenoide è caratterizzato da una
corrente I che score in un filo avvolto a
spirale n volte per unità di lunghezza intorno
ad un cilindro di raggio a e lunghezza L.
• Se a << L, B è, in prima approssimazione, contenuto
all’interno del solenoide, in direzione assiale, con
intensità costante. In queste condizioni (ideali),
calcoliamone il valore con la legge di Ampere.
Fisica II - CdL Chimica
L
a
B di un Solenoide 
• Per calcolare il campo B di un solenoide  usando la
legge di Ampere, giustifichiamo l’ipotesi che B sia
nullo all’esterno del solenoide.
• Consideriamo il solenoide  come
xxxxxxxxxxx
composto da 2  lamine di corrente.
••••••••••••••
• I campi risultano concordi nella regione interna
e discordi in quella esterna (cancellandosi).
l
• Disegnamo un percorso rettangolare
di l x w:
xxxxxxxx
 B  dl  Bl  solo il contributo di linterno  0
•••••••••••
I  nli
Fisica II - CdL Chimica

B  μ0 ni
w
Toroide
•
•
•
•
•
• Il Toroide è descritto da un
xxx
numero totale N di spire percorse •
•
x
x
dalla corrente i.
x
x
x
•
x
•
• B=0 all’esterno ! (Supponiamo di
r
x
x
integrare B lungo un cerchio esterno) •
x
•
xx
• Per trovare B all’interno, consideriamo un •
cerchio di raggio r, centrato al centro del
toroide.
r r
 B  dl  B(2 π r )
I  Ni
Applichiamo Ampere:
r r
 B  dl  μ0 I 
Fisica II - CdL Chimica
μ0 Ni
B
2πr
x x
•
• B•
•
Leggi fondamentali per il calcolo di B
• Legge di Biot-Savart (“forza bruta”)
• Legge di Ampere
(“elevata simmetria”)
• Esempio: campo generato da un filo rettilineo 
• da legge di Biot-Savart
• da legge di Ampere
• Forza esercitata su due conduttori paralleli
percorsi da corrente
Fisica II - CdL Chimica
Analogia: Calcolo del Campo Elettrico
• due metodi di calcolo
– legge di Coulomb
r
E
1
q
rˆ
2
40 r
“forza bruta"
– legge Gauss
r r
 0  E  dS  q
“alta simmetria"
Quali sono le analoghe equazioni per il
Campo Magnetico ?
Fisica II - CdL Chimica
Calcolo del Campo Magnetico
• due metodi di calcolo
– legge di Biot-Savart
r μ0i dsr  rr
dB 
4π r 3

i
“forza bruta"
– legge di Ampere
r r
 B  ds  0i
“alta simmetria"
Sono equazioni analoghe
Fisica II - CdL Chimica
Elettromagnetismo e sistemi di riferimento
Nel sistema di riferimento S, a riposo rispetto
ad una particella q. La corrente i vista come una
distribuzione lineare di carica che genera in q
un campo E   2 r

0
Gli ioni positivi generano un analogo campo
elettrico tale che ++-= 0 e quindi Etot=0 in q.
Il campo magnetico non è nullo ma la particella
è ferma e, quindi, la forza magnetica è nulla.
Nel sistema di riferimento S’, in moto con velocità vd (velocità di deriva
elettroni) gli elettroni sono a riposo, gli ioni e la particella q si muovono
verso destra determinando una forza magnetica FB in q.
Tuttavia in sistemi di riferimento inerziali (S ed S’) l’accelerazione deve
essere nulla, quindi deve esserci una forza che controbilancia FB.
Pensiamo al filo come costituito da due barrette di cariche (+)ioni , (-)elettroni
La barretta di elettroni ha una lunghezza contratta in S, perché in moto,
in S :    in S’ i campi non si compensano esattamente (FE) !
FE+FB =0 : i campi elettrici e magnetici non hanno esistenza
in S  :    separata (relatività ristretta) ma sono connessi !!!
Fisica II - CdL Chimica
Eq. elettromagnetismo invarianti per trasformazioni di Lorentz !