FISICA

FISICA
A.A. 2012-2013
Ingegneria Gestionale
14°prova
B
1. Calcolare il vettore induzione magnetica Bo nel centro della spira quadrata
di lato a percorsa dalla corrente continua I. Confrontare il risultato con quello
che si avrebbe nel caso di una spira circolare di raggio R=a/2
I
a
2. Quattro fili indefiniti percorsi da corrente sono posti ai vertici di un
quadrato di lato a come indicato in figura. Si calcoli l’intensità, la direzione
ed il verso della forza per unità di lunghezza agente sul filo percorso dalla
corrente I1 [Dati: I1=4mA, I2=4mA, I3=6mA, I4=4mA, a=1mm].
I1
I4
y
a
x
I3
a
I
3. Un filo rettilineo indefinitamente lungo forma in un suo punto A un anello
circolare come mostrato in figura. Sapendo che il filo è percorso da una corrente
continua pari a I=3A e che il modulo del vettore induzione magnetica misurato al
centro dell’anello C vale B=50µT, determinare il valore del raggio R dell’anello.
4. Due fili infinitamente lunghi paralleli sono percorsi dalle correnti I1
ed I2 disegnate in figura. Una spira rettangolare di lati a,b giace nel
piano formato dai due fili paralleli ed è percorsa dalla corrente I3.
Determinare la forza agente sulla spira.
I2
R
I1
I3
I2
a
b
b
b
y
i(t)
5. Una spira quadrata di lato L giace ad una distanza d=3L da un filo rettilineo
indefinito percorso dalla corrente sinusoidale i(t)=imax cos(ωt). Nota la resistenza
elettrica R della spira, calcolare l’intensità della corrente massima indotta. Si trascuri
l’autoinduzione presente nella spira [Dati: L = 10 cm, imax= 2mA, ω=314rad/s, R=1Ω]
6. Un filo infinitamente lungo è percorso dalla corrente I1(t)=Io(1-t/τ)
nell’intervallo di tempo [0,τ]. Una spira rettangolare di lati b,c giace con il filo nel
piano del foglio come indicato in figura ad una distanza minima a dal filo. La
spira è inoltre costituita da 3 lati fissi ed un lato mobile inizialmente disposto alla
distanza a+b dal filo e dotato della velocità v=3m/s. Assumendo R=2Ω la
resistenza elettrica della spira, determinare l’espressione della forza elettromotrice
indotta, della corrente indotta e della forza agente sul lato mobile della spira al
tempo t=0.[Dati:τ=400ms, Io=10A, a=1m, b=2m, c=4m]
C
A
L
x
L
3L
I1(t)
R
a
ca
b
v
FISICA
A.A. 2012-2013
Ingegneria Gestionale
Soluzioni della 14a prova
1. La spira quadrata è formata da 4 tratti rettilinei di lato a percorsi dalla comune
corrente I. Ciascun lato genera nel centro della spira un contributo di vettore
induzione magnetica uscente dal piano del foglio. In generale il contributo Bo1
µ I cos β − cosα
generato da un segmento rettilineo vale B01 = o
dove nel nostro
4π
R
µ I
caso essendo β=π/4, α=3π/4, R=a/2 si ottiene B01 = 2 2 o . Anche gli altri
4πa
tre lati generano singolarmente lo stesso contributo (in modulo, direzione e
2 2 µo I
verso). Il valore complessivo è quindi Bquadrato = 4 B01 =
. Esso è
π a
inferiore al campo generato da una spira circolare di raggio R=a/2, che vale
µ I
Bcerchio = o . Il loro rapporto infatti vale Bquadrato / Bcerchio = 2 2 π ≅ 0.9
a
I
β
Bo1
a/2
α
I
Bo
a/2
2. Forze per unità di lunghezza agenti sul filo n.1
dF13, x
µ I I  2
µ II

=− o 1 4 ,
lungo x
= + o 1 3 
dl
2πa
dl
2πa 2  2 
dR1, x
µ I (I − 2 I 4 )
con risultante
=+ o 1 3
= -8·10-10 N/m
dl
4πa
dF14, x
µ o I 1 I 2 dF13, y
µ I I  2

,
= + o 1 3 
dl
2πa
dl
2πa 2  2 
dR1, y
µ I (I − 2 I 2 )
con risultante
=+ o 1 3
= -8·10-10 N/m
dl
4πa
lungo y
dF12, y
=−
I4
F43
F41
F14
F42
R1
I1
F13
F12
y
a
x
a 2 F24
F32
F21
I3
F34
I2 F23
a
F31
2
2
dR1
 dR1x   dR1 y 
 = 1.1·10-9 N/m
La forza per unità di lunghezza risultante sarà quindi
= 
 + 
dl
 dl   dl 
3. Un filo rettilineo indefinitamente lungo percorso dalla corrente I genera nel
punto C un vettore induzione magnetica in accordo alle legge di Biot-Savart
B1 =
µo I
2πR
I
R
da cui il raggio R =
µo I
2 Btot
µo I  1 
 + 1
2R  π 
C
filo rett.
Una spira circolare percorsa dalla corrente I genera nel suo centro C un vettore
induzione magnetica equiverso al precedente
µ I
B2 = o
2R
Il vettore induzione complessivo è Btot =
B1
A
I
spira circ
B2
A
C
R
1 
 + 1 = 5cm
π 
4. La spira rettangolare ACDE è sottoposta a forze magnetiche
C
interne ed esterne. Le forze magnetiche interne dovute al campo
I1 A I3
magnetico da essa stessa generato hanno risultante nulla e quindi
Bo1
nel caso di una spira rigida non danno alcun effetto. Le forze
F31CD
F31AE
magnetiche esterne sono quelle dovute ai campi magnetici Bo1
D
E
generato dalla corrente I1 e Bo2 dalla I2. Tali forze esterne sono
a
descritte in generale dalla 2
formula di Laplace
r r
r r
r r
r
b
b
I2
F = F31 + F32 = I 3 ∫ dl3 ×Bo1 + I3 ∫ dl × Bo 2 . Calcoliamo prima la
I
A 3
C
r
forza F31 che può pensarsi come somma la risultante delle 4 forze
Bo2
agenti sui 4 lati della
AE
F32CD
spira rettangolar. Le 2 forze sui due lati AC ed ED sono uguali ed opposte e F32
D
E
non danno alcun effetto, mentre sul lato AE c’è una forza attrattiva di valore
µo
b
b
I1I 3a maggiore della forza repulsiva sul lato CD che
2πb
AE
µo
F31
CD
vale F31 = Bo1I 3a =
I1I 3a =
.
4πb
2
µ II a
La risultante F31 = o 1 3 è quindi attrattiva verso il primo filo. Ragionamento analogo deve
4πb
r
AE
F31
= Bo1I3a =
essere fatto per trovare la forza risultante F32 , dove le forze che non compensate sono sul lato CD
µo
I 2 I 3a repulsiva e doppia rispetto a quella attrattiva sul lato AE
2πb
µ
µ I I a
= Bo 2 I 3a = o I 2 I 3a . La risultante F32 = o 2 3 è quindi repulsiva ed ha ho stesso verso
4πb
4πb
CD
F32
= Bo 2 I 3a =
AE
F32
della F31. La risulatnte totale è quindi diretta
µ a
F3 = o ( I1I3 + I 2 I3 )
4πb
verso il primo filo con intensità
5. Il campo magnetico nonuniforme generato dal filo rettilineo vale, per la
µ i (t )
legge di Biot e Savart, Bo ( x, t ) = o
con direzione e verso indicati in
2πx
figura. Dopo aver scelto una opportuna orientazione per la spira quadrata in
r
modo che la normale alla spira n̂ abbia la stessa direzione e verso di Bo ,
procediamo al calcolo del flusso concatenato con la spira Φc:
L 4L
r
dx µ oi (t )L
µ oi (t )
Φ c = ∫ Bo ⋅ nˆ dS = ∫ Bo dS =
dy ∫
=
ln(4 3) . Applicando la
∫
2π
x
2π
o
y
Bo
i(t)
n
x
3L
L
3L
legge di Faraday-Neuman-Lenz possiamo calcolare la forza elettromotrice indotta nella spira con
µ L  4 d
µ Li ω  4 
dΦ c
l’equazione fi = −
= − o ln  i(t ) = o max ln  sin(ωt ) . Infine l’intensità di
2π  3  dt
2π
dt
 3
corrente indotta nel circuito si ottiene i2 (t ) = fi R . Tale corrente è alternata ed ha valore massimo
i2, max
µo Limaxω  4  4π 10−710−1 ⋅ 2 ⋅ 10−3 ⋅ 314
=
ln  =
0.288 = 3.61 nA.
2πR
2π ⋅ 1
 3
6. Il campo magnetico non uniforme generato dal primo filo è Bo1 ( x, t ) =
µ o I 1 (t )
.
2πx
Dopo aver scelto una opportuna orientazione per la spira quadrata
r
I1(t)
(la normale alla spira n̂ ha lo stesso verso di Bo1 )
y
si ricava il flusso concatenato:
R
a + b (t )
r
µ o I 1 (t ) c
dx µ o I 1 (t )c  b(t ) 
dy ∫
ln1 +
Φ c = ∫ Bo1 ⋅ nˆ dS = ∫ Bo1dS =
=
.
2π ∫o
x
2π
a 

a
a
la forza elettromotrice indotta nella spira
Bo1
ca
b
F
v
x
dΦ c
µ c  dI  b(t ) 
d  b(t )  µ o c  I 0  b(t ) 
 t v 
ln1 +
= − o  1 ln1 +
 − I o 1 − 
 + I 1 ln1 +
 =


a 
dt
2π  dt 
a 
dt 
a  2π  τ 
 τ  a + b(t ) 
µ I c 1  b 
v 
che al tempo t=0 vale f io = o o  ln1 +  −
= 14.0 µV
2π  τ  a  a + b 
fi = −
la corrente indotta al tempo t=0
I 2o =
f i0
= 7.0 µA
R
L