Capitolo 9

———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Cap. 9
Il campo elettrostatico nel vuoto
9.1 - Legge sperimentale di Coulomb e definizione di campo elettrico
Tutte le leggi dell’elettrostatica possono essere dedotte dalla legge sperimentale di
Coulomb con la quale iniziamo questo capitolo. Questa legge stabilisce che l’intensitá
della forza fra due oggetti carichi, molto piccoli (puntiformi) e fermi, varia
proporzionalmente al prodotto delle quantitá di cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Le prime accurate misure di questa legge
furono fatte nel 1785 da Charles Augustin Coulomb, utilizzando la sua bilancia di torsione
recentemente inventata.
............................................................................................
........
.... .................................................................................................
.......
... .....
... ...
...
... ...
.
....
.. ..
... ...
....
.. ..
...
.. ..
...
... ...
...
.. ..
...
.. ..
...
... ...
...
.. ..
...
... ..
...
.. ...
.. ..
...
... ..
.....
.. ...
...
.. ..
... ..
...
.. ...
....
.. ..
...
... ...
........................
.
.
.. ..
......................
..
.
... ..
.
.
..
.
..... ....................................
.
.. ...
..................
...
...
.. ..
..................
...
.
... ..
.
.
..................
...
....
...................
.. ...
...
..................
.
.
.. ..
.
..
..................
........................................................................
..
.
.
.
... ..
.
.
.
..................
...
........................................................
.
.
.
.........
.
.
.. ...
.
.................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.. .. ......
.
.............................................
........ .. ...................................... .
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
... .. ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............. ....
........
...................
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.........................................................
.......
.. ................................. .... ............................ ..
.
.
... ......
.
................................
..................................................................
......
....
.. .....
............................................................
......
.. .......
.... ....
.....................................................
......
...............................................................
.
.. ..
.......................................
.........
. ......
..................... .... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.... .. .. ..
..
.........
..... .... .. .......... ..............
...... ..
.......
.... ....
......................
.....
... . .
.... ..... .. ..... ......... ...............................
.. ..
..
......
......
... ... ..
... ...
..
.........
...............................................................................................................................................................................................................
.
.
... ... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................... ...............
.
..
....
.... ...
.... ...
........
.........................................................................................................................................
...
...
............................................................................................... .........
.
.......
...
.......
.. ...
.............................................. ....................... .... .... ........ .................. ..........
...
.. ..
..........
.............
. .. .. ....
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
..
.
...
..
.... ....
...
..................... ......... .... .... ..........................
......
.
........... .....
.. ..
....
.......
........................................................
........
...
......
........
...
.
.
.
.
....
........
......
....
......
........................................................
........
.................. ..................
.
.
.
.................. ..................
.................. ..................
.......
.................. ..................
.......
.................. ..................
......
.................. ..................
.........
.
.................. ..................
.
...
.................. ..................
.......
.................. ..................
.................. .........................
...................
•
•
fig.1.1-1
La legge di Coulomb si scrive:
(~r1 − ~r2 )
F~21 = kq1 q2
|~r1 − ~r2 |3
k=1
nel
sistema
C.G.S.;
k=
1
4π0
nel
sistema SI;
(9.1.1)
0 = 8.854 · 10−12 F/m
F~21 é la forza agente su una carica puntiforme q1 in quiete posta in un punto dello
spazio definito dal vettore posizione ~r1 , e dovuta ad un’altra carica puntiforme q2 in
quiete posta in ~r2 .
9-1
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
I vettori posizione ~r1 ed ~r2 sono riferiti ad una comune origine O.
Analogamente, dalla legge espressa dalla (9.1.1) ed in modo conforme alla terza legge
della dinamica, si deduce che
(~r2 − ~r1 )
F~12 = kq1 q2
(9.1.2)
|~r2 − ~r1 |3
esprime la forza agente sulla carica q2 dovuta alla carica q1 .
Dalle (9.1.1) e (9.1.2) si deduce che se le cariche sono dello stesso segno (o entrambe
+, o entrambe -), la forza é repulsiva; viceversa é attrattiva.
Se abbiamo un certo corpo carico (anche non puntiforme) e poniamo nelle sue vicinanze
una piccola carica q, denominata ”carica test” (di prova), si trova sperimentalmente che
la forza che si esercita sulla carica q si puó esprimere come:
~
F~ = Eq
(9.1.3)
~ = E(~
~ r) prende il nome di campo elettrico.
dove la funzione vettoriale E
Il problema fondamentale dell’elettrostatica é quello di determinare il campo elettrico
generato da una assegnata distribuzione di cariche sia isolata nello spazio che in presenza
di altri corpi materiali. Se una distribuzione isolata é di estensione finita, essa prende il
nome di distribuzione localizzata.
Per esempio, il campo elettrico nel punto ~r2 , generato dalla carica puntiforme q1 si
puó dedurre dalla legge di Coulomb dividendo la forza F~12 per la ”carica test” q2 sulla
quale agisce la forza. Risulta:
~ (q ) (~r2 ) = kq1 (~r2 − ~r1 )
E
1
|~r2 − ~r1 |3
(9.1.4)
~ (q ) (~r) = kq1 (~r − ~r1 )
E
1
|~r − ~r1 |3
(9.1.5)
Se q1 é positiva il verso del campo elettrico é ”uscente” da q1 .
Generalizzando la (9.1.4) per una carica di prova q posta in una generica posizione
definita dal vettore ~r, si puó scrivere:
9.2 - Principio di sovrapposizione lineare
Da osservazioni sperimentali che le forze dovute a piú cariche si sovrappongono linearmente si deduce che: Il campo elettrico nel punto ~r dovuto ad un sistema di cariche
puntiformi qi disposte nelle posizioni ~ri (i = 1, 2, .....n) si puó scrivere come una somma
vettoriale
n
X
(~r − ~ri )
~
E(~r) = k
qi
(9.2.1)
3
|~
r
−
~
r
|
i
i=1
Se le cariche sono cosí piccole e cosí numerose da poter considerare il corpo sul quale
esse sono depositate come un ”continuo” si puó definire una densitá volumica di carica
come:
dq 0
Coulomb
0
ρ(~r ) = 3 0
(9.2.2)
d r
m3
9-2
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
dove: d3 r 0 é il volumetto infinitesimo della distribuzione di carica, dq 0 é la carica contenuta
in esso, ~r 0 il vettore posizione dell’elemento considerato.
In questo caso il campo elettrico si puó esprimere come:
~ r) = k
E(~
Z
(~r − ~r 0 )
dq
=k
|~r − ~r 0 |3
0
V
Z
(~r − ~r 0 ) 3
ρ(~r )
d r
|~r − ~r 0 |3
0
V
0
(9.2.3)
Se il corpo in questione ha una sola dimensione dominante (per es: la lunghezza nel
caso di una barra) si definisce una densitá lineare di carica come:
0
dq
λ(~r ) =
dr
0
0
coulomb
m
(9.2.4)
ed in questo caso il campo elettrico si puó esprimere come:
~ r) = k
E(~
Z
λ(~r 0 )
L
(~r − ~r 0 )
dr
|~r − ~r 0 |3
0
(9.2.5)
Analogamente se esso ha due dimensioni dominanti (per es: un disco) si definisce una
densitá superficiale di carica come:
dq 0
σ(~r ) = 2 0
d r
0
coulomb
m2
(9.2.6)
ed in questo caso il campo elettrico si puó esprimere come:
~ r) = k
E(~
Z
σ(~r 0 )
S
(~r − ~r 0 ) 2
d r
|~r − ~r 0 |3
0
(9.2.7)
Si é assunto (e cosí faremo in seguito) indicare con l’apice il vettore posizione di un
punto sede di carica (punto sorgente) e senza apice il vettore posizione di un punto dove
si vuole calcolare il campo elettrico (punto campo).
Se le derivate al secondo membro della (9.2.2), (9.2.4) e (9.2.6) sono costanti, le relative
densitá sono costanti e le distribuzioni si dicono uniformemente cariche.
9.3 - Calcolo di campi elettrici di alcune distribuzioni continue di carica:
Distribuzione lineare ed uniforme
9-3
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
..
.......
........
....
..
..
..
...
...
..
..
..
y≡y
P
dl •..................
0
xb
x − yb
y
p
2
x + y2
..
0
.......
... ......
..... ....
............. .
.......
..........
.............
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
...............................................................................................................................................................................................................................................
.....
...
.
.
.....
..
....
...
.....
....
.
.
....
.
...
.....
.
.
....
..
.
.
.....
..
.
.
....
.
.
.
.
.
.....
........
.
.
....
.
...
.
.
...
.
.
P
•
O
x
z
fig.9.3-1
Si abbia una distribuzione lineare di carica infinitamente estesa. Si calcoli il campo
elettrico in un punto generico P .
Per motivi di simmetria, il campo si ripete identicamente su tutti i semipiani del fascio
che ha per asse la distribuzione assegnata.
Individuiamo il semipiano che contiene P e scegliamo un sistema di assi cartesiani con
l’asse ~y coincidente con la distribuzione lineare di carica e l’asse ~x passante per P .
~ r) = k
E(~
Z
(~r − ~r 0 )
λ(~r )
dr 0 = k
|~r − ~r 0 |3
0
Z
+∞
λ (xb
x − yb
y)
3
−∞
(x2 + y 2 ) 2
dy
(9.3.1)
in quanto il punto sorgente P 0 é individuato dalla terna (0, y 0 , 0) con y 0 ≡ y, ed il punto
campo P dalla terna (x, 0, 0).
Dalla (9.3.1) segue:
Z +∞
x
Ex (P ) = kλ
(9.3.2)
3 dy
−∞ (x2 + y 2 ) 2
Z +∞
−y
Ey (P ) = kλ
(9.3.3)
3 dy
−∞ (x2 + y 2 ) 2
Poiché:
Z
Z
dt
(a2 + t2 )
3
2
tdt
(a2 + t2 )
3
2
=
t
1
a2 (a2 + t2 ) 2
=−
1
1
(a2 + t2 ) 2
9-4
+C
(9.3.4)
+C
(9.3.5)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Si ha:
Ex = kλx
"
y
p
x2 x 2 + y 2
#+∞
= 2k
−∞
λ
x
(9.3.6)
Nell’equazione (9.3.6) si é tenuto conto che:
y
lim p
= ±1
y→±∞
x2 + y 2
"
1
Ey = kλ p
x2 + y 2
#+∞
=0
(9.3.7)
(9.3.8)
−∞
come ci si doveva aspettare per evidenti ragioni di simmetria.
Quindi il campo risultante nel punto P é diretto lungo l’asse ~x nel verso positivo se λ
é positivo, nel verso negativo se λ é negativo. Se la distribuzione lineare é limitata ad un
segmento di lunghezza 2L ed il punto P si trova sull’asse di esso, gli estremi di integrazione
negli integrali (9.3.2) e (9.3.3) sono −L e +L; in tal caso, risulta:
λ
2L
Ex = k √
x x2 + L 2
Ey = 0
(9.3.9)
9.4 - Distribuzione piana o ”strato piano”
Consideriamo una distribuzione di cariche con densitá superficiale σ costante su una
superficie piana Π indefinita, e calcoliamo il campo da essa prodotto in un generico punto
P posto a distanza d dal piano Π.
Per comoditá, scegliamo un sistema di assi cartesiani con l’asse ~z normale a Π e
passante per P e con gli assi ~x e y~ orientati come in figura.
9-5
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
.........
.........
......
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ...............
... ........
.....
..........
.
.
...... ..
.
.
.
.
... ..
...... ......
.
.
.
.
.
.
....................
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
........
.... ........................
........
.. ..
.......
........ ......
.......
........................
.
.
.
.
.
. .
............... .. ......
....... ...... ....
.
...
...... .......
...
.......
..
..................
.
.
...
......
.
.
...
.
......
...
.... ......
..
......
...
......
..
... ............
......
...
.........
..
...... .....
..
...
......
.
.
.
.
...
.
...
.
.
.. ............
...............................................................................................................
.
.
.
.
....
... ...
.
.
.
.
.
..... ..
......
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.......
.......
..
......
...
......
......
.
.
.
............
.
.
..
...
.
...... ......
.
.
.
..
.
...
..................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
......
.... ........................
..............
..............
.........
..
.....................
.
.
.
......
.
.
.
.......
..... ..... .
.......
.................. ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..............
... .............
...... ......
. ......
...................
...........
.
.
...
.
.
.
.
..
....... ....
......
.
......
......
.
.
.
.
.
.
.
........
x ............
dξ
ξ
r
α •P
O
z
−ξ
y
fig.9.4-1
Considerate poi due distribuzioni lineari di carica di spessore dξ, poste simmetricamente a distanza ξ dall’asse ~y, si verifica subito, sulla base dei risultati dell’esempio
precedente, (9.3.6), e per evidenti ragioni di simmetria, che il campo da esse prodotto in
P é diretto secondo l’asse ~z.
σdξ
cos α
(9.4.1)
dEz = 2dE cos α = 2 2k
r
dq
dqdξ
=
= σdξ
dy
dydξ
p
Si ha: r = d2 + ξ 2 , d = r cos α,
in quanto: λ =
Ne segue:
Posto x =
d
cos α = p
d2 + ξ 2
Z ∞
d
Ez = 4kσ
dξ
d2 + ξ 2
0
ξ
, da cui dξ = d · (dx), segue:
d
Z ∞
dx
π
∞
Ez = 4kσ
= 4kσ [arctan x]0 = 4kσ
2
1+x
2
0
(9.4.2)
Nel sistema SI la (9.4.2) diventa:
Ez =
σ
20
9-6
(9.4.3)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
che esprime l’uniformitá del campo generato dalla distribuzione piana.
Ez ...........
σ .........
..
20 ........
...
..
..
..
...
..
...
...
..
..
...
..
................................................................................................................................................................................................
...
..
...
..
..
...
..
...
...
..
..
...
..
...
..
...
...
..
..
0
...
..
.
z
−
σ
2
fig.9.4-2
9.5 - Doppio strato piano di cariche
Ez ..............
σ .........
..
0 .......
.....
..
..
..
...
...
..
..
...
..
...
.........................................................................................................................................................................................................................
...
...
..
...
..
...
...
..
..
...
..
...
..
...
...
..
..
...
..
...
.
d
fig.9.5-1
9-7
z
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Consideriamo una distribuzione di cariche costituita da due piani Π1 e Π2 paralleli
fra loro e separati da una distanza d; siano rispettivamente +σ e −σ i valori uniformi delle
densitá di carica distribuite su essi.
Applicando il principio di sovrapposizione e utilizzando i risultati relativi allo ”strato
piano”, si deduce che il campo é nullo nelle zone esterne ed é confinato nella zona compresa
fra i due piani, dove esso vale:
σ
E=
(9.5.1)
0
9.6 - Legge di Gauss
Si abbia una carica puntiforme q interna ad una superficie chiusa S. Calcoliamo
q
~ ·n
E
bda = k 2 cos θda
r
(9.6.1)
............................................
.......
.......
..........
.....
.
..................
.....
.......................
....... ....
.
.
.
.... ..... ....
.....................
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ... ................
..
..
.. .....................
.....
... ...
................ ..
....
... ..
...
... ... ..............................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.
.
.
. ..
.........
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.. .
...
.
.
..
...
..................................... .... ....
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.. . .
.
..
...
.................................. ..
. .
...
.....
........ ................... ....... .. .. .. ...........
...
...
...
..
..
...
...
...
.
.
.
....
...
.....
....
.....
.....
.....
.....
........
.....
...
...................
....
.
.
..
.
..
.....
...
.....
...
....
...
...
.
.....
...
.......
..
......
...
......
....
.
..........
.
.
.
........................
~
E
S
q•
da
•
P
θ
n
b
fig.9.6-1
Si definisce angolo solido infinitesimo l’elemento
dΩ =
Ne segue:
da cos θ
r2
~ ·n
E
bda = kqdΩ
9-8
(9.6.2)
(9.6.3)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Integrando su tutta la superficie chiusa si ha:
I
S
Dimostriamo che
I
~ ·n
E
bda = k
I
qdΩ = kq
S
I
dΩ
(9.6.4)
S
dΩ = 4π.
S
Consideriamo una sfera e, a partire dal centro posto sulla carica puntiforme, stac2
chiamo una superficie infinitesima dS; si ha, in questo caso, dS = rsf
era dΩ in quanto
l’angolo solido sotteso
é lo stesso.
I
I
I
I
2
dS = rsf
era
Integrando:
S (sf era)
2
2
dΩ cioé 4πrsf
era = rsf era
S
dΩ →
S
dΩ = 4π.
S
Ne segue la legge di Gauss:
I
S
~ ·n
E
bda = 4πkq
(9.6.5)
Se invece di una singola carica q abbiamo un insieme discreto di cariche otteniamo:
I
S
~ ·n
E
bda = 4πk
X
qi
(9.6.6)
i
Analogamente per un insieme continuo di cariche di densitá ρ(~r 0 ) si ha:
I
S
~ ·n
E
bda = 4πk
Z
ρ(~r 0 )d3 r
0
(9.6.7)
V
dove V é il volume racchiuso da S.
~ attraverso la superficie
Il primo membro prende il nome di flusso del vettore E
chiusa S.
9.7 - Ulteriori esempi di calcolo del campo elettrostatico
Applicazioni del teorema di Gauss
In certe situazioni di simmetria, é conveniente procedere al calcolo del campo elettrico
per mezzo del teorema di Gauss.
Sfera omogenea piena di cariche.
9-9
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Si abbia una distribuzione sferica, di raggio a, di carica positiva con densitá volumica
ρ = costante.
...........................................................
...
...
.....
...
....
..
..
...
...............................................
...
...
.
..
...
...
....
.
...........................................................................................................
......
.
..
.
..
.
.
..
.
.
...
...............................................................................
...
.....
......
....
....
......
....
.
.....
...................................................................................................
.....
.
......
.......
.
......
.
....
......
............................................................................
......
.
......
.
......
.
......
.
........
......................................................................................
.......
..........
........
.
........
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.........
.......................................................................................................................
...........
.........
...........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
..........
..........
............
..........
.............................................................................................................................................
..........
..........
.............
..
.........................................................
..........
.............
...........
...........
..........................................................r
......................................................
...........
...........
...........
.
..............
..
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
...........
.............
...........
...........
............................................................................................
....................................................................•
.............................
...........
...........
..........
...........
..........
...........
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
.
..
...........
.......................................................
...........
............
..................................................O
.
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
.
.
.
...........
..........
..............
............
............................................................................................................
..........
..........
.
...........
...........
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
.
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
................... ................
............
.
...........
..........
...........................................................................................................................................
..........
.........
.........
...........
........
........... .....................
..........
.........
..........
........
..........
.........
........
.................................................................................................................................
........
..........
........
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
......
........
.......
......................................................................................................
.......
......
....
......
......
....
.....................................................
......
...
.....
..
....
....
...
..
.........................................................................................................................................................................................................................................
......
................................................................................
a
fig.9.7-1
Applichiamo il teorema di Gauss. Sia Si una superficie sferica interna di raggio r, si
ha:
I
Si
~ ·n
E
bda = 4πkqi
(9.7.1)
Poiché, per simmetria, il campo elettrico dipende soltanto dal modulo della distanza
e la sua direzione coincide con la normale in ciascun punto della sfera di superficie Si , la
(9.5.1) diventa:
4
4
E4πr 2 = 4πkρ πr 3 essendo qi = ρ πr 3
3
3
Ne segue, quindi, che in ciascun punto interno alla sfera il campo elettrico si scrive:
E=
4
kπρr
3
0≤r≤a
(9.7.2)
Per r > a la superficie gaussiana si prende all’esterno della sfera piena di cariche e si
ha:
4
E4πr 2 = 4πkρ πa3
3
per cui
E=
4
a3
kρπ 2
3
r
(r > a)
(9.7.3)
Nel SI, la (9.7.2) e la (9.7.3) diventano:
Eint =
ρ
r
30
Eext =
9 - 10
ρ a3
30 r 2
(9.7.4)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Campo elettrico di una sfera piena di cariche
..
1.0
.....
.....
.... ....
. ..
a=1
... ..
.. ...
.... ....
... ...
0.8
.. ....
.
...
0.6
E(r)
Emax
0.4
0.2
0.0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
.....
.....
.....
.....
......
.......
.........
..........
.............
........................
..................................
...........................................................................
.
..
...
....
.
..
..
....
.
...
..
....
.
...
..
....
.
...
..
....
.
..
...
....
.
...
..
....
.
..
...
...
.
0
a
2
4
6
8
distanza r dal centro della sfera
fig.2.5-2
Calcoliamo, ora, l’energia potenziale della sfera applicando la formula (9.1.16). Per
questo, riscriviamo i campi elettrici nei punti interni e in quelli esterni alla sfera.
Eint =
4
kπρr
3
Eext =
4
a3
kρπ 2
3
r
0≤r≤a
(9.7.5)
(r > a)
(9.7.6)
9.8 - Sfera cava omogenea
Consideriamo una distribuzione di carica compresa fra due sfere concentriche di raggi
9 - 11
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
R1 e R2 ed applichiamo il teorema di Gauss nelle tre regioni in cui é suddivisa la sfera.
...............................
............
.................
.....................
.....................
.........................
.
........
..........................
...........................
.............................
.
..........
.
..............................
.
...............................
.
.....
.
................................
.
.
.................................
.
..................................
.
.
...................................
.
.........
.
.
..................
.....................................
........................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
..
.................................
......................................
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..............................
.
.
.
.
..
........................................
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................
..
..
...
......................................
....
R2.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........................................................................
......... .
..
..............................................................
....
... R..1
....................................................
....
.
.
.
.
.......................................................................................
.
..
.........
...
... ......
................................................................................
......................................................
.............
.
........
......................................................
......
..............................................
..........................................................
...........................................
..
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................................................
..........................................
.
...
..
...
................................................................
..........................................
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.......................................
...........................................................
.
.
.
.
.............
...
.......................................
..
....
...........
..
..
..........................................................................
..
...
...........................................................
.
.......................................
...
.....................................................
......
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.........................................
......................................
.....................................
.....
...................................
.
..................................
.
.................................
.
................................
.
...............................
.
..............................
..........................
.
.
.........................
..........................
...
......................
.....................
.................
............
.........................
fig.9.8-1
Per r < R1 segue immediatamente che E=0.
Per R1 < r < R2 si ha:
I
Si
~ ·n
E
bda = 4πkqi
2
da cui
E4πr = 4πkρ
4 3 4
πr − πR13
3
3
Pertanto:
4
R13
E = πkρ r − 2
3
r
R1 ≤ r ≤ R 2
(9.8.1)
Per r ≥ R2 si ha:
2
E4πr = 4πkρ
4
4
πR23 − πR13
3
3
→E=
4
πkρ R23 − R13 /r 2
3
9 - 12
r ≥ R2
(9.8.2)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Campo elettrico di una sfera cava omogenea
.
1.0
.......
... ....
.
.
.
... ....
R1 = 1
... ...
... ..
0.8
0.6
E(r)
Emax
0.4
0.2
0.0
..
...
...
...
.
...
...
....
.
...
..
....
.
..
...
...
.
...
..
....
.
...
..
.....
.
..
...
...
.
...
..
....
.
..
..
.....
.................................
0
R1
...
...
...
...
...
...
...
...
2
..
..
..
...
...
...
...
..
...
...
...
....
...
....
....
.....
.....
.....
.....
......
......
......
.......
........
.........
..........
............
...............
..................
.........................
.................
R =2
R2
4
6
distanza r dal centro della sfera
fig.9.8-2
9 - 13
8
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
9.9 - Potenziale elettrostatico Φ(~r)
Consideriamo il lavoro compiuto nel trasportare una carica di prova da un punto A
~ r).
ad un punto B in presenza di un campo elettrico E(~
La forza che in ogni posizione agisce sulla carica é:
~
F~ = q E
ed il lavoro fatto trasportandola da A a B é:
W =−
Z
B
A
F~ · d~r = −q
Z
B
A
~ · d~r
E
(9.9.1)
Il segno meno deriva dal fatto che stiamo calcolando il lavoro fatto sulla carica, contro
le azioni del campo.
Ne segue, anche, che l’integrale di linea del campo elettrico fra due punti é indipendente
dal cammino percorso ed é eguale alla differenza di potenziale fra il punto di arrivo ed il
punto di partenza, cambiata di segno:
Z
B
A
~ · d~l = − (ΦB − ΦA )
E
Se il percorso di integrazione é chiuso l’integrale di linea é zero.
9 - 14
(9.9.2)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
9.10 - Esempi di calcolo di potenziale elettrostatico: Potenziale di una
carica puntiforme
Cominciamo con l’osservare che il potenziale di una carica puntiforme q, posta nel
punto ~r 0 , valutato nel punto ~r, in virtú delle formule (9.1.5), (9.9.2) e (9.9.3), é:
Φpuntif orme = k
q
|~r − ~r 0 |
(9.10.1)
Tale formula esprime anche il potenziale generato da una distribuzione infinitesima
di cariche ed é quindi utilissima per il calcolo integrale del potenziale generato da una
distribuzione finita.
Se la carica sorgente é posta nell’origine delle coordinate, nella (1.11.1) si pone
0
~r = 0 e si scriverá:
q
Φpuntif orme = k
(9.10.2)
|~r|
9.11 - Potenziale di un anello circolare nei punti dell’asse
.........
..... .......
...
...
..
..
.
... ..... .......
.
.
.
. .. .
.... ...... .......... .....
. .
...............................
2
2
...................
... ..
..... ..
...................
.. ...
........ ....
...................
.
.
.... ....
...................
.. ... ...
.
.
.
.
.
.. ..
.
.
...................
.........
. .
... .. ...
.................................................................................................................................................................................................................................................................
. .
... ..
.... ...
.. ..
... ...
. ...
.. ...
... .
... ..
... .....
.
.
.
.. ..
... .... ..... ...
... ........ ...
.
...
...
...
..
...
..... .......
.........
dq = λdl
a
•
R=
√
z
z +a
•
P
z
γ
fig.9.11-1
Si abbia una distribuzione di cariche sorgenti con densitá lineare uniforme λ su una
circonferenza γ di raggio a.
9 - 15
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Potenziale lungo l’asse di un anello carico
1.0
..
.........
... ..
... ..
... ....
...
.
...
...
...
...
...
....
...
.
..
..
.
...
...
...
.
.
.
...
.
.
..
.
...
.
..
..
.
...
..
.
...
.
..
...
.
.
...
.
..
...
.
.
.
...
.
..
...
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...
..
.
...
..
.
...
.
.
.
....
.
.
.
....
.
..
.
....
.
.
..
.....
.
.
.
.
......
..
.
.
.
.
.
......
..
.
.
.
......
.
.
...
.
.......
.
.
.
.
........
...
.
.
.
.
.
.
.
..........
...
.
.
.
.
.
.
.
............
.
.
.
.....
.
.
.
.
...............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.....................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
a=1
0.8
Φ(z)
Φmax
0.6
0.4
0.2
0.0
−10
−5
0
z
5
10
fig.9.11-2
Calcoliamo il potenziale prodotto sui punti dell’asse di γ:
λdl
dΦ = k
R
→Φ=
I
γ
k
λdl
λ
λ2πa
= k 2πa = k √
R
R
a2 + z 2
(9.11.1)
La funzione presenta un massimo in corrispondenza di z = 0 che vale: Φmax = kλ2π.
In figura (9.11.2) é graficata la funzione potenziale normalizzata cioé Φ(z)/Φ max .
a
Si verifichi che la curva ha un flesso per z = ± √ .
2
Il campo elettrico é:
Ez = −
P er z << a → Ez (z<<a) '
2kπλ
z;
a2
∂Φ
2kπaλz
=
3
∂z
(a2 + z 2 ) 2
P er z >> a → Ez (z>>a) '
(9.11.2)
2kπaλ
z2
Il massimo del campo elettrico corrisponde ai punti di flesso del potenziale.
9 - 16
(9.11.3)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Campo elettrico lungo l’asse di un anello carico
...
1.0
... ....
... ...
a=1
.... ....
.. ..
0.5
E(z)
Emax
0.0
−0.5
..
...
..
....
.
..
...
...
.
...
..
....
.
..
...
....
.
..
................................................
...................
...
...........
.
.
.........
..
......
.....
..
....
...
....
.
.
....
...
...
...
..
...
..
..
....
..
...
..
..
..
...
..
.
.
..
...
..
... ....
... ..
... ..
... ..
........
−1.0
−10
−5
...
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
....
....
.....
......
.........
..........
................
....................................
..................
0
z
5
10
fig.9.11-3
Un risultato importante che possiamo dedurre dall’esempio discusso é che, come si
puó osservare dalla (9.11.1) e dalla (9.11.3), il potenziale ed il campo elettrico di una
distribuzione localizzata di cariche elettriche si annullano all’infinito con legge
1
1
r e r 2 rispettivamente. Tale risultato sará rigorosamente dimostrato in seguito. Lo stesso
non si puó affermare nel caso di distribuzioni infinitamente estese di cariche.
9 - 17
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
9.12 - Calcolo diretto del campo elettrostatico dovuto ad un anello circolare
carico, nei punti dell’asse
~ 2 | = dE
~ 1 | = |dE
|dE
........
...... ......
... ... ... ...
... .... ............ .......
.
.
.
... .. ... .. ...... ... ... ...
... ... .
... ............... ...
.. ... ..
.. ... .. .... ...
. ... ...
.... .... .... .... ....
... ... .
... ... .. ... ...
.. ... ..
2
. ... ...
.. .. .. .. ...
.
............
... ... .
...
.. .. ... ... ..
...........
.. ... .
.......
... ... .. .. ...
...........
.. .. .....................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
..
... ..
... ..
. ... ... ...... ....................
... ...
...........
.. ... ..
.. ..
......
...............
...... .
... ...
.. ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ....
.. ..
. ... ...
... ..
.. ... ..
... ..
... ... .
... ....
.. ..
. ......
.
1
.
... .... ...... ....
.
.
.
.
... .......... ... ... ... ... ..
... ... ...... .........
... .. ...... ...
... .. ... ...
...... ....
........
1
+ +
a
•
O
R
~
dE
z
P
•
θ
γ+ +
2
z
~
dE
fig.1.13-1
Consideriamo sull’anello due elementi infinitesimi diametralmente opposti; per evidenti ragioni di simmetria il campo elettrico risultante é diretto lungo l’asse ~z:
dEz = 2dE cos θ = 2k
Ma z = R cos θ e R =
Quindi:
λdl
cos θ
R2
(9.12.1)
p
z
a2 + z 2 per cui: cos θ = √
2
a + z2
dEz = k
2λz
3 dl
(a2 + z 2 ) 2
Z π
2λz
2πλaz
adα = k
Ez = k
3
3
(a2 + z 2 ) 2 0
(a2 + z 2 ) 2
(9.12.2)
9.13 - Potenziale di un disco circolare uniformemente carico in un punto
situato sull’asse di simmetria perpendicolare al disco nel suo centro
Sia un disco di raggio R situato sul piano xy con il centro nell’origine delle coordinate.
9 - 18
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
Consideriamo una corona circolare di raggi r e r + dr. Detta σ la densitá superficiale
di carica che supponiamo uniforme, il potenziale Φ in un generico punto P sull’asse é dato
da:
Z
1
σ
Φ=
dS
(9.13.1)
4π0 Σ l
essendo Σ la superficie totale del disco, dS la superficie infinitesima staccata sulla corona
circolare e l la distanza del punto P dall’elemento dS.
.............
................... .................
. .
..............
....... ........
...............
..................
...
.
.
.
...
.........
...
.
.
.
.
.
....
...
.......................
...................
...
....
.....
.
.
.
.
.
.
.
. ................ ....
...
..............
.
.
.
. ..... .. ..... ....
...
.
....................
.
.
..........
.... ............. .... ............................................................
...............
... ... ....... ... .. ..
............
...............
.. .. .....................................................................................................................................................
.
... ..
.............
.. ...
.
.
..
.
.
.
.
.
...........
... ... ... ... ...
...
...............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... .... ... ... ..
..............
.
... ............. ....
...............
..
.....
.
.............
...
....... .........
.............
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............
..
...
.............
.......
...
..............
.
.....
.................
............... . ...........
............................
R
l
•
D P
r•
O
z
dr
fig.9.13-1
Poiché come si vede dalla figura: dS = rdαdr, si ha:
σ
Φ(P ) =
4π0
Z
R
0
Z
2π
0
rdαdr
σ
√
=
20
r2 + D2
Z
R
0
√
√ i
rdr
σ hp 2
=
R + D2 − D2
20
r2 + D2
(9.13.2)
Per P situato sull’asse z positivo, si ha:
Φ(P ) =
i
σ hp 2
R + D2 − D
20
per
i
σ hp 2
R + D2 + D
20
per
D≥0
(9.13.3)
√
in quanto si é presa la radice positiva + D 2 per fare in modo che Φ → 0 quando R → 0
(cioé in assenza del disco).
Per P situato sull’asse z negativo si ha:
Φ(P ) =
9 - 19
D≤0
(9.13.4)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
La formula generale é:
i
σ hp 2
2
Φ(P ) =
R + D − |D|
20
(9.13.5)
La figura mostra l’andamento di Φ (normalizzato a 1) in funzione della distanza.
Potenziale di un disco circolare carico lungo l’asse di simmetria
.
1.0
.....
....
........
...
.. ...
R=1
... ...
... ....
... ....
.
0.8
.. ..
.. ...
Φ(z)
Φmax
0.6
0.4
0.2
. .
.. ...
... ...
.... ....
. ....
...
...
..
..
...
...
...
....
..
.
..
...
..
..
..
..
...
.
...
....
...
.
.
..
.
.
...
.
..
...
.
.
.
...
..
.
..
.
..
.
...
..
.
.
...
.
.
.....
..
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
......
.
.
..
.
.
.......
.
.
.
.
..
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
..............
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...................
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
............................
....................................
0.0
−10
−5
0
z
5
10
fig.9.13-2
9.14 - Potenziale di un guscio sferico carico
Consideriamo una superficie sferica Σ di raggio R0 sulla quale sia distribuita una
carica con densitá uniforme σ.
Suddividendo la superficie in ”nastri circolari” infinitesimi di carica dq e di asse z, é
possibile calcolare il potenziale in un punto generico P.
dΦ = k
dS = 2πaR0 dθ
dq
σdS
=k
R
R
a = R0 sin θ
(9.14.1)
dS = 2πR02 sin θdθ
dS
= dΩ = 2π sin θdθ.
R02
Per il teorema di Carnot:
Per inciso:
1
R = (R02 + z 2 − 2R0 z cos θ) 2
9 - 20
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
dΦ = k
σ2πR02 sin θdθ
(1.15.2)
1
(R02 + z 2 − 2R0 z cos θ) 2
x ..........
.......
...
.
.
.
..........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.......
....
.
.
.
.......
.
.
.
....
......
......
.....
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.....
.
..
.
.
...
.
..
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...................... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
..........................................
..
.
.
.
.
... .....
............... ... .
.
.
.
.
.
.
.
........ .. ... ...
0........ ...
... ... ...
..
.......
... .. .... ....
... ... ...
..
....
. ...
... ... ...
..
.. ...
........θ
..
.
.
.
...
.
.
.
.
... ...
...................................................................................................................................
.... .
.
...
.
.
.
... ..
.
.
.
.
...
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
... ...
...
...
...
... .....
.......
...
..........
.... ......
...
..
..... ..............................
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................. ..
...
..
.
...
...
...
...
...
..
...
...
..
..
.
.
....
.
.
..
.... .......
..... .....
....
..
.....
............
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
......... ..........
.......
......
.....
......
........
........
...........
..............................................
R
a
O
Σ
R
P (0, 0, z)
•
z
y
fig.1.15-1
Integrando sull’intera superficie sferica con θ che varia da 0 a π, si ha:
Φ(0, 0, z) = k
=
Ne segue:
kσ2πR02
Z
1
R0 z
π
0
σ2πR02 sin θdθ
1 =
(R02 + z 2 − 2R0 z cos θ) 2
12 π
2
2
R0 + z − 2R0 z cos θ
=
0
1
1 i
k2πσR0 h 2
=
R0 + z 2 + 2R0 z 2 − R02 + z 2 − 2R0 z 2 =
z
k2πσR0
=
[|R0 + z| − |R0 − z|]
z


 k2πσR0 [(R0 + z) − (R0 − z)] per z ≤ R0

z
Φ(0, 0, z) =

k2πσR0


[(R0 + z) − (z − R0 )] per z ≥ R0
z
Φ(0, 0, z) =


 4πkσR0
per z ≤ R0 (punti interni)
2

 4πkσR0
z
per z ≥ R0 (punti esterni)
9 - 21
(9.14.3)
(9.14.4)
(9.14.5)
———— S.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie ————
In funzione di Q = 4πR02 σ si ha:
~ é:
Il campo E
~ = −∇Φ;
~
E

Q


k
R0
Φ(0, 0, z) =

Q

k
z
per z ≤ R0 (punti interni)
(9.14.6)
per z ≥ R0 (punti esterni)
~ = 0,
per z < R0 → E
~ = k Q zb
per z > R0 → E
z2
(9.14.7)
Dalla (9.14.7) si evince che il campo competente ad una distribuzione sferica
di cariche si comporta, nei punti esterni, come se fosse generato da una carica
puntiforme.
Fine del Cap 9
9 - 22