Esercizi di Algebra I

Esercizi di Algebra I
8 marzo 2017 # 1
Esercizio 1 Dimostrare che
(1) ∀z ∈ Z 2 | z(z + 1),
(2) ∀z ∈ Z 3 | z(z + 1)(z + 2),
(3) ∀z ∈ Z 6 | z(z + 1)(z + 2),
(4) ∀z ∈ Z 24 | z(z + 1)(z + 2)(z + 3).
Esercizio 2
(1) Dimostrare che 8 | z 2 − 1, per ogni numero intero dispari z.
(2) Dimostrare che 3 | 4n + 2, per ogni n ∈ N0 .
(3) Dimostrare che 4 | (−1)n (2n + 1) − 1, per ogni n ∈ N0 .
Esercizio 3 Dimostrare che, per ogni a, b, c ∈ Z, valgono
(1) a | c =⇒ mcd(a, b) | mcd(c, b),
(2) mcd(a, b) = mcd(−a, b)
(3) mcd(a, b) = mcd(a, b + ac)
(4) mcd(ca, cb) = |c| · mcd(a, b)
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Esercizio 4 Dimostrare che mcd(ab, a + b) | mcd(a2 , b2 ), per ogni a, b ∈ Z.
Esercizio 5 Dimostrare che mcd(3z + 4, 4z + 5) = 1, per ogni z ∈ Z.
Esercizio 6
(1) Dimostrare che per ogni z ∈ Z vale
1 se z è dispari
mcd(z, z + 2) =
2 se z è pari
(2) Dimostrare che mcd(z + 2, 2z) ∈ {1, 2, 4}, per ogni z ∈ Z.
(3) Dimostrare che, per ogni a, b ∈ Z, se mcd(a, b) = 2, allora
mcd(ab, a + b) ∈ {2, 4}
.
Esercizio 7 Dimostrare che, per ogni a, b ∈ Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale
mcd(ab, a + b) = 1
Esercizio 8 Dimostrare che, per ogni a, b ∈ Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale
mcd(a − b, a + b) ∈ {1, 2}
Esercizio 9 (Prova scritta del 15 settembre 2016 )
Sia p un numero primo. Dimostrare che, per ogni z ∈ Z, valgono
(1) mcd(2p + z, 3p + 2z) ∈ {1, p};
(2) mcd(2p + z, 3p + 2z) = p ⇐⇒ p | z.
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