Superconduttori • Molti metalli presentano una temperatura critica al di sotto della quale ρ – Espellono il campo magnetico interno (B=0) – La loro resistivita’ si annulla • Questa transizione di fase e’ detta transizione superconduttiva. • La temperatura critica e’ indicata Tc e puo’ variare da circa 10K al di sotto di 0.1 K a seconda del metallo, della presenza di difetti nel reticolo cristallino, della presenza di un campo magnetico e/o di pressione. Tc Β T T=cost Hc H Applicazioni della superconduttivita’ • Nei superconduttori possono scorrere correnti di migliaia di A senza dissipare alcuna potenza • Una volta iniettata nel circuito superconduttore una forte corrente puo’ continuare per centinaia di migliaia di anni senza bisogno di generatori esterni. • I superconduttori vengono quindi usati per mantenere le correnti necessarie per generare forti campi magnetici (magneti superconduttori) • Queste servono ad es. per ottenere levitazione magnetica o per fare NMR o per curvare le traiettorie di particelle cariche in un collisore di particelle (CERN LHC) o … • La superconduttivita’ fu scoperta da H.K. Onnes nel mercurio nel 1911. • Solo nel 1957 J. Bardeen, L.N. Cooper e J.R. Schrieffer riuscirono a formulare una teoria microscopica della superconduttivita’, basata sulla meccanica quantistica (teoria BCS). • Secondo la BCS il moto di un elettrone di conduzione distorce leggermente il reticolo cristallino, facendo avvicinare gli ioni positivi piu’ vicini al suo passaggio. • Questa sovradensita’ di ioni positivi causa l’ attrazione di un altro elettrone, ed il risultato netto e’ una forza attrattiva tra elettroni. Il suo effetto e’ la creazione di coppie di elettroni debolmente legati (coppie di Cooper, energia 2ε). • Le coppie si muovono insieme senza scambiare energia col reticolo. Applicazioni della superconduttivita’ • Con l’ avvento di materiali superconduttori ad alta temperatura le applicazioni si sono moltiplicate. • Si possono costruire filtri elettronici senza perdite, quindi con molti piu’ stadi e maggiore efficienza per selezionare le frequenze desiderate (quando la resistenza interna di una induttanza superconduttiva va a zero il fattore di qualita’ del filtro tende all’ infinito…) • Si possono costruire motori con avvolgimenti superconduttori molto piu’ compatti e piu’ efficienti (motori da 5000 CV !!) • Si possono costruire CPU incredibilmente veloci… Super conduttivita’ 2ε ≅ 3.. 4 kT c Coppie di Cooper • Ogni coppia di Cooper puo’ essere trattata come una singola particella con massa e carica pari al doppio di quella di un elettrone. • La lunghezza di coerenza della funzione d’onda di un elettrone di conduzione normalmente e’ molto corta, a cuasa dei continui scattering. • Ma le coppie di Cooper non sono diffuse, e quindi le loro funzioni d’onda sono coerenti su distanze molto grandi (dell’ ordine di 10-4 cm). • La funzione d’ onda puo’ essere scritta i ( P⋅r ) / h Φ P = Φe 1 Coerenza a lungo raggio • In una densita’ di corrente uniforme tutte le coppie hanno funzioni d’ onda coerenti e formano un’ unica funzione d’ onda. • Questa coerenza a lungo raggio permette di calcolare fase ed ampiezza della funzione d’ onda in un punto qualsiasi a partire dal loro valore in un punto di riferimento. Si puo’ riscrivere come una onda unidimensionale: x ψ P = ψ sin 2π − vt λ • La frequenza ν e’ legata all’ energia della coppia di Cooper, mentre la lunghezza d’ onda e’ legata all’ impulso: λ = h / P Differenza di fase • Allora λ= Y ∆ϕ 2πm r r = ϕX − ϕY = ℑs ⋅ d l hn s e ∫X Y • Se ns e’ la densita’ di elettroni superconduttori, ns/2 e’ la densita’ di coppie di Cooper, e quindi la supercorrente e’ ns ℑs = Flussoide e quanto di flusso magnetico ∆ϕ XY ∫X r r A ⋅ dl • Da questa formula si puo’ calcolare la quantizzazione del flusso magnetico in un anello superconduttore. • Se nel superconduttore S scorre una supercorrente, nella zona non superconduttiva interna N si genera un campo magnetico B. • La variazione di fase lungo un cammino chiuso del tipo XYZX deve essere un multiplo di 2π in modo da avere una funzione d’ omda univoca. Quindi 2πm r r 4π e r r ℑ s ⋅ dl + A ⋅ dl → hns e ∫ h ∫ r r h m = ℑ ⋅ dl + ∫ B ⋅ dS n 2e 2ns e 2 ∫ s S flussoide n2π = quanto di flusso Φo = −15 h = 2 .07 × 10 Wb 2e 2 2ev = ns ev Effetto del campo magnetico • Dove A e’ il potenziale vettore del campo magnetico. Nel caso delle coppie di Cooper P = 2 m v + 2 eA • e quindi • che descrive la variazione di fase delle coppie di Cooper in un superconduttore. Y xˆ ⋅ dl λ X = ϕ X − ϕY = 2π ∫ P = m v + qA • e quindi Y 2 π m r r 4π e = ℑs ⋅ dl + hn s e ∫X h XY • In presenza di un campo magnetico la fase viene modificata. Infatti il momento diventa hn e h h = = s P mv mℑ s ∆ϕ XY Coerenza a lungo raggio • Dalla funzione d’ onda si puo’ calcolare la differenza di fase tra due punti di un superconduttore nel quale circola corrente. x • Per un’ onda piana ψ P = ψ sin 2π − vt λ • La differenza di fase dal punto X al punto Y e’ ∆ϕ XY = ∆ϕ i + ∆ϕ B = = 2π m Y r r 4π e ℑ s ⋅ dl + ∫ hn s e X h Y ∫ r r A ⋅ dl X Tunnelling Josephson • Una conseguenza importante della quantizzazione del flusso e’ il tunnelling Josephson. • Due zone superconduttrici completamente isolate tra loro hanno funzioni d’onda con fasi scorrelate. • Ma se le due regioni vengono avvicinate molto, gli elettroni potranno diffondere per effetto tunnel da una regione all’ altra. • Le due funzioni d’ onda dovranno quindi accoppiarsi. L’ accoppiamento sara’ tanto piu’ forte quanto piu’ vicini saranno i due superconduttori. • Il tunnelling degli elettroni comporta una corrente superconduttiva predetta per la prima volta da B.D.Josephson nel 1962. • La giunzione tra i due superconduttori e’ detta Giunzione Josephson. La corrente che vi scorre e’ i s = ic sin ∆ ϕ 2 SQUID SQUID • Se si accende un campo magnetico perpendicolare all’ anello, si genera una differenza di fase delle onde che passano da XYW rispetto a quelle che passano da WZX. Inoltre si genera una piccola corrente che produce una differenza di fase ai capi di ciascuno degli weak links. • Avremo • Lo SQUID (Superconducting Quantum interference Device) e’ un anello superconduttore interrotto da due giunzioni (link deboli in X e W) la cui corrente critica ic e’ molto inferiore alla corrente critica dell’ anello. • Questo produce una supercorrente molto bassa, quindi con impulso delle coppie anch’esso molto basso. La lunghezza d’ onda e’ quindi molto lunga, e quindi la differenza di fase tra due punti qualsiasi dell’ anello e’ trascurabile. n2π = 2∆ϕ i + ∆ϕ B = 2∆ϕi + 2π • Quindi alla fase dovuta a B si sottrae o somma una fase dovuta alla corrente (i- o i+): φ(B ) i − = i c sin ∆ ϕi = i c sin π φo SQUID Magnetometria SQUID • Finche’ il flusso e’ tra 0 e Φo/2 e’ piu’ favorevole energeticamente una corrente in senso antiorario, che quindi sottrae una differenza di fase a quella dovuta a B, in modo che il flussoide valga 0. • Quando il flusso e’ tra Φo/2 e Φo, e’ piu’ favorevole una corrente in senso orario, che aggiunge una differenza di fase a quella del flusso in modo da ottenere un flussoide pari ad h/2e. • Se il flusso aumenta ancora avremo una corrente negativa fino 3Φo/2 , in modo da matenere il flussoide di h/2e; poi una positiva per arrivare a 2h/2e e cosi’ via. • Siccome sinδ non puo’ essere maggiore di 1, otteniamo la corrente critica di misura: • La Ic e’ una funzione periodica del campo B, con massimi quando il suo flusso concatenato con lo SQUID e’ un multiplo intero del quanto di flusso h/2e, e minimi per multipli seminteri. φ (B) φo • • • Lo SQUID puo’ essere usato come un sensibilissimo magnetometro. Si fa entrare da Y una corrente di misura I (che uscira’ da Z dopo essere fluita in parte da X e in parte da Y). Finche’ I e’ piccola non succede nulla, ma quando raggiunge il valore della corrente critica negli weak links X e W allora si genera una tensione. La condizione di supercodnuttivita’ di tutto l’ anello e’ φ( B) α+ β + 2π • • • I c = 2ic cos(π φ( B ) ) φo φo = 2πn Dove α e β sono le variazioni di fase dovute alla corrente totale nei weak links. Quando si applica I, α e β non sono piu’ uguali, ma la loro somma deve rimanere costante. Quindi φ( B) α = πn − −δ φo φ(B) β = π n − +δ φo Dove δ e’ dovuto alla corrente di misura I. Quindi 1 I + i = i sin(α) − 12 I + i = ic sin( β) c 2 I = 2ic cos(π φ( B) ) cos δ φo Uso dello SQUID • Di solito non si usa la caratteristica periodica dello SQUID per misurare il campo, perche’ non essendo univoca e’ difficile determinare univocamente il flusso. • Si preferisce usare il cosi’ detto “flux locked feedback loop” in cui si avvolge una bobina intorno alla SQUID e si genera un flusso che annulla esattamente quello da misurare. Dalla misura della corrente che si deve applicare per ottenere l’ annullamento si stima il flusso da misurare. • In questo modo lo SQUID lavora sempre in prossimita’ di zero flusso. La sua sensibilita’ e’ molto inferiore a Φo . 3 • • • • Invece di misurare un campo magnetico, si puo’ misurare una corrente. Basta far scorrere la corrente da misurare in un coil “di misura” avvolto intorno allo SQUID. Il sistema sara’ quindi composto da: – 1 SQUID – 1 avvolgimento di misura superconduttore – 1 avvolgimento di feedback superconduttore – 1 cilindro superconduttore che scherma il sistema da campi magnetici indesiderati – 1 sistema elettronico per realizzare il flux-locked loop. Si crea cosi’ un amperometro estremamente sensibile (fA) e con resistenza interna nulla: l’ amperometro ideale. Ha comunque una induttanza diversa da zero, anche se piccola (nH) Uso dello SQUID SQUID CS-Blue (Supracon) ISQUID IMEAS IFEEDBACK Nb •Size of superconductive screen only 24mm x ø10mm •Low input inductance of 320 nH •Effective coupling of integrated on chip input coil to the SQUID with mutual inductance of 10 nH •Feedback coil integrated on chip coupled to SQUID with mutual inductance of 230 pH •Very low current noise better than 1.5 pA/Hz1/2 •Integrated on chip heater to expel frozen flux Uso dello SQUID • Lo SQUID e’ il circuito ideale per misurare il segnale di corrente proveniente da un bolometro TES alimentato a tensione costante. 4 Time-domain multiplexing Multiplexing • Ge and Si thermistors are read out using JFETs at 100K. There is no pratical way to multiplex many sensors on a single amplifier. The number of wires entering the cryostat would be huge for a large format array. Practical limit: the JFET boxes of Planck and Hershel… • TES sensors have very low impedance (about 1 Ω) • They can be readout by a SQUID with no power dissipation and large noise margin. Time multiplex and frequency multiplex are being developed (NIST, Berkeley, Helsinki ..) From: Chervenak et al. 99 frequency-domain multiplexing row i bias row i+1 bias j j+1 Ref: Berkeley/NIST design 5