Matematica (per Chimica) - IX foglio di esercizi
1. Nel piano R2 consideriamo i vettori v = 12 e w = −1
1 .
(a) mostrare che ogni vettore x = xx12 del piano si scrive in modo unico come combinazione lineare
x = αv + βw (determinare α e β in funzione di x1 ed x2 );
(b) disegnare e caratterizzare (tramite equazioni o disequazioni) i sottoinsiemi di R2 formati dagli estremi
finali dei vettori del tipo αv + βw ove α e β sono numeri reali soggetti alle seguenti condizioni:
(C) α, β ∈ [0, ∞) (R) α + β = 1
(S) α + β = 1 con α, β ∈ [0, 1]
(P ) α, β ∈ [0, 1]
(T ) α + β 6 1 con α, β ∈ [0, 1] (X) α + β 6 1
(c) specificare le relazioni di inclusione tra gli insiemi precedenti.
1
−1 2. Nello spazio R3 consideriamo i vettori v = 2 e w = −1 .
0
2
x1 (a) mostrare che un vettore x = xx2 appartiene al piano generato da v e w se e solo se vale la relazione
3
4x1 − 2x2 + x3 = 0;
(b) descrivere i sottoinsiemi analoghi a quelli dell’esercizio precedente.
1
1
−1 3. Nello spazio R3 consideriamo i vettori u = 0 v = 2 e w = 1 .
1
0
2
(a) verificare che sono
linearmente indipendenti e risolvere in α, β, γ la relazione x = αu + βv + γw per un
x1
x
vettore x = x2 generico;
3
(b) disegnare e caratterizzare (tramite equazioni o disequazioni) i sottoinsiemi di R3 formati dagli estremi
finali dei vettori del tipo αu + βv + γw ove α, β e γ sono numeri reali soggetti alle seguenti condizioni:
(C) α, β, γ ∈ [0, ∞)
(P a) α, β, γ ∈ [0, 1]
(P i) α + β + γ = 1
(T r) α + β + γ = 1 con α, β, γ ∈ [0, 1]
(T e) α + β + γ 6 1 con α, β, γ ∈ [0, 1] (X) α + β + γ 6 1
(c) specificare le relazioni di inclusione tra gli insiemi precedenti.
1
4. Verificare che l’insieme dei vettori u = 12 , v = −1
, e w = −2
di R2 è generatore, ed estrarne
2
2
tutte le basi possibili di R .
1 0 −1 1
5. Verificare che l’insieme dei vettori u = 2 , v = 0 , w = −1 , e z = 2 di R3 è generatore,
−1
0
−2
1
ed estrarne tutte le basi possibili di R3 .
6. Nello spazio euclideo R3 si considerino i vettori v =
1
1
1
ew=
2
2
1
.
(a) Si decomponga il vettore v come somma v1 + v2 ove v1 sia ortogonale a w, e v2 parallelo a w.
(b) Si determinino le superfici dei due parallelogrammi aventi come lati i vettori v,v1 (primo parallelogramma) e v,v2 (secondo parallelogramma)
(c) Le due superfici del punto precedente risultano uguali: dire se si tratta di un risultato generale (indipendente dai vettori v e w scelti), ed eventualmente giustificarlo e darne una interpretazione in termini di
geometria (piana) elementare.
2 0 7. Nello spazio euclideo R3 si considerino i vettori v1 = 0 e v2 = −2 .
−1
1
(a) determinare il sottospazio ortogonale
a hv1 , v2 i;
1 (b) decomporre il vettore w = −1 come somma w = w1 + w2 + w3 ove w1 sia parallelo a v1 , w2 sia
−9
parallelo a v2 e w3 sia ortogonale sia a v1 che a v2 .
(c) mostrare che i volumi dei tre tetraedri formati rispettivamente da w, w1 , w2 , w, w1 , w3
sono uguali tra loro (senza calcolarli).
(o)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
e
w, w2 , w3
8. Triangoli. Nel piano euclideo R2 si consideri un triangolo T .
Si ricordi che le rette che contengono le tre mediane di T appartengono ad un fascio;
Si mostri che le rette che contengono le tre altezze di T appartengono ad un fascio;
Si mostri che gli assi dei lati di T appartengono ad un fascio (l’asse di un segmento è la retta ortogonale
al segmento passante per il suo punto di mezzo);
Si mostri che le bisettrici degli angoli interni di T appartengono ad un fascio;
Si mostri che le bisettrici degli angoli esterni di T intersecano i lati opposti in tre punti allineati.
1
9. Nello spazio euclideo R3 si considerino le rette r ed s di equazioni rispettive X − 1 = Y, X + Y =
Z; X = Z, X − Y = 2.
(i) Trovare la retta n normale ad r ed s ed incidente sia r che s;
(ii) Trovare la distanza tra r ed s.
(
(
x=1+t
x = 2 + 2t
3
10. Nello spazio euclideo R , si considerino le rette r : y = 2 + t
, s: y =3+t .
z = −1 + 2t
z =1+t
(a) Si mostri che r, s sono incidenti e si trovi un’equazione del piano che le contiene.
(b) Si trovino delle equazioni cartesiane delle rette passanti per r∩s, parallele al piano di equazione x+y+z =
0, e formanti angoli uguali con r ed s.
1 11. Si scriva l’equazione del piano di R3 passante per il punto P = 0 e parallelo alle rette r, s di
−2
equazioni rispettive X = Y = Z e X + 3Y = 0 = X − Y + Z − 1.
Si scriva l’equazione della retta t di R3 passante per il punto P =
12.
1
0
−2
complanare alle rette
r, s di equazioni rispettive X = Y = Z e X + 3Y = 0 = X − Y + Z − 1. Si verifichi poi se t è incidente o
parallela a r ed s.
1
0
13. Nello spazio euclideo tridimensionale si consideri la retta r per P = 1 , e direzione v = 1 .
0
1
(a) si scriva l’equazione cartesiana del cilindro C formato dai punti che distano 1 da r.
(b) Si determinino i punti di intersezione di C con i tre assi coordinati.
(c) Si calcoli il volume del tetraedro definito dai punti trovati in (b).
0
1
14. Nello spazio euclideo tridimensionale si consideri la retta r per P = 1 , e direzione v = 0 .
0
(a) si scriva l’equazione cartesiana del cono C, di asse r, vertice P e semiapertura π3 .
1
(b) Si determinino i punti di intersezione, Q1 e Q2 , tra il cono C e la retta s per 1 e direzione
0
1
1
1
−1
.
(c) trovare l’equazione del piano π contenente s e perpendicolare ad r; sia R = π ∩ r.
(d) Si calcoli il volume del tetraedro di vertici P , Q1 , Q2 , R.
1
1
1 15. Calcolare le proiezioni ortogonali del punto P = 1 , e delle rette r1 = 1 + h −1 i, r2 =
1
1
0
1
1
1
1
0 + h 1 i, r3 = 0 + h 0 i sul piano di equazione X + Y + Z = 1.
0
1
0
1
16. Formulario per distanze, angoli, aree nel piano. Nel piano R2 usiamo i punti Pi = xyii e le
rette ri = Qi + hui i di equazione ai X + bi Y + ci = 0:
√
• distanza punto-retta: d(P, r) = |ax+by+c|
= | det(Q−P,u)|
kuk
a2 +b2
·u2 |
√2 b22 |
• angolo tra rette: ϑ(r1 , r2 ) = ϑ(v1 , v2 ) = arccos ku|u11kku
= arccos √ |a21 b12+a
2k
a1 +b1
• area del triangolo: A(P0 , P1 , P2 ) =
1
2 | det(P1
a2 +b22
− P0 , P2 − P0 )|
17.
per distanze, angoli, aree, volumi nello spazio. Nello spazio R3 usiamo i punti
xi Formulario
Pi = yzi , le rette ri = Qi + hui i, e i piani πi = Qi + hvi , wi i di equazione ai X + bi Y + ci Z + di = 0:
i
k(Q−P )×uk
kuk
√
= |ax+by+cz+d|
a2 +b2 +c2
• distanza punto-retta: d(P, r) =
• distanza punto-piano: d(P, π)
• distanza retta-retta: per rette non parallele
rette parallele d(r1 , r2 ) =
|(Q−P )·(v×w)|
= | det(Q−P,v,w)|
kv×wk
kv×wk
|(Q2 −Q1 )·(u1 ×u2 )|
1 ,u1 ,u2 )|
d(r1 , r2 ) =
= | det(Qku2 −Q
,
ku1 ×u2 k
1 ×u2 k
=
per
k(Q2 −Q1 )×u1 k
ku1 k
·u2 |
• angolo tra rette: ϑ(r1 , r2 ) = ϑ(u1 , u2 ) = arccos ku|u11kku
2k
• angolo retta-piano: ϑ(r, π) = π2 − ϑ(u, v × w)
• angolo tra piani: ϑ(π1 , π2 ) = ϑ(v1 × w1 , v2 × w2 ) = ϑ(
a1
b1
c1
a2 , cb2 )
2
• area del triangolo: A(P0 , P1 , P2 ) = 12 k(P1 − P0 ) × (P2 − P0 )k
• volume del tetraedro: A(P0 , P1 , P2 , P3 ) = 16 |(P1 − P0 ) · (P2 − P0 ) × (P3 − P0 )| = 16 | det(P1 − P0 , P2 −
P0 , P3 − P0 )|
2
