Notazione esponenziale – appunti (RBossi 2012)
NOTAZIONE ESPONENZIALE
E’ un tipo di scrittura utilizzato in matematica e nelle scienze per scrivere numeri molto grandi o
molto piccoli. Questa scrittura si compone di due parti moltiplicate fra loro; un moltiplicatore, cioè
un numero decimale e una potenza del 10.
Ecco un esempio di una misura molto grande, come 8 milioni di metri, scritta con la notazione
esponenziale:
8 ⋅ 106 m
Moltiplicatore
Potenza del 10
La forma standard
La notazione esponenziale di uno stesso numero essendo fatta da due parti da moltiplicare (fattori)
può assumere forme diverse; ad esempio la misura scritta sopra, 8 milioni, potrebbe essere scritta
anche in modi differenti se modifico il moltiplicatore secondo un fattore di 10. Se moltiplico l’8 per
10 ottengo un moltiplicatore di 80 e, per compensare, dovrò diminuire la potenza di 1 esponente.
Potrei scrivere quindi molte notazioni della stessa misura e tutte equivalenti
8 ⋅ 106 m
oppure
80 ⋅ 105 m
oppure
800 ⋅ 104 m
oppure
0,08 ⋅ 108 m
oppure
0,008 ⋅ 109 m eccetera …
oppure
8000 ⋅ 103 m
Ma anche
0,8 ⋅ 107 m
Quale scegliere?
Si sceglie quella il cui moltiplicatore ha una sola cifra diversa da zero prima della virgola.
Questa scrittura è detta forma standard. Quindi nel nostro esempio sceglieremo 8 ⋅ 106 m.
Le notazioni dei numeri molto piccoli sono caratterizzate dall’avere esponenti negativi; infatti
moltiplicare per una potenza con l’esponente negativo è equivalente a dividere per quella potenza
con l’esponente positivo, per cui moltiplicare un numero per 10-4 è come dividerlo per 104.
In generale
10 −n =
1
10 n
Ecco quindi che numeri piccoli come ad esempio 58 miliardesimi possono essere scritti
58
58
= 9 = 58 ⋅10 −9 = 5,8 ⋅10 −8
1000 000 000 10
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Notazioni esponenziali equivalenti
Per capire bene come devi spostare la virgola nel moltiplicatore e compensare con l’esponente del
10, memorizza questi schemi ( # rappresenta le cifre, n l’esponente):
# # # #, # # #
# # # #, # # #
⋅
⋅
10
n
Se devi spostare la virgola a
sinistra allora aumenta
l’esponente del 10.
10
n
Se devi spostare la virgola a
destra allora diminuisci
l’esponente del 10.
In questo modo potrai scrivere tutte le notazioni che vuoi (anche la forma standard).
Uso delle notazioni nei calcoli.
Problemi vari:
In una carta geografica in scala 1: 30 000 000 due città sono distanti 12,5 cm. Quanti kilometri ci
sono tra le due città?
Passo alle notazioni: il rapporto di scala è 1: (3⋅107). A questo punto devo moltiplicare i 12,5 cm per (3⋅107) e
saprò quanti centimetri ci sono fra le due città. Devo però, ovviamente, farli diventare km dividendo per 100 000
(in potenza 105). Vediamo i passaggi dei calcoli:
12,5 ⋅ 3 ⋅10 7
= 12,5 ⋅ 3 ⋅10 2 = 37,5 ⋅10 2 = 3 750 km
10 5
Come puoi vedere viene molto utile applicare la proprietà delle potenze; ho semplificato le due potenze del 10
facendo semplicemente la differenza degli esponenti.
Una centrale elettrica produce 1,8 Gw ogni ora. Una abitazione civile consuma, mediamente, 1,2
kw all’ora. Quante abitazioni può servire quella centrale?
Devo fare una divisione fra la potenza fatta dalla centrale e quella consumata dalle abitazioni. Prima però devo
uniformare le unità di misura. Devi ricordare che Giga vale 109 e kilo 103.
1,8 ⋅10 9 18 ⋅108 3
= ⋅10 6 = 1,5 ⋅10 6 = 1500 000 abitazioni
=
3
2
2
1,2 ⋅10 12 ⋅10
Voglio rappresentare su un foglio da disegno i pianeti Terra e Giove in scala. Da internet ho
scoperto che la Terra ha un raggio di 6,4⋅103 km e Giove di 7⋅104 km. Apro il compasso e faccio il
cerchio che rappresenta la Terra con un raggio di 5 cm, quanto dovrò aprire il compasso per
disegnare anche Giove?
E’ un problema di proporzionalità.
raggio Terra : raggio Giove = 5 cm : x
6,4 ⋅10 3 : 7 ⋅10 4 = 5 : x
x=
7 ⋅10 4 ⋅ 5 350 ⋅10 3
=
≅ 5,5 ⋅10 ≅ 55 cm
6,4 ⋅10 3
64 ⋅10 2
Un compasso così grande non ce l’ho! ☺
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Notazioni esponenziali nelle equivalenze
L’uso delle notazioni esponenziali è utile anche quando bisogna effettuare l’equivalenza di una
misura da una unità ad un'altra.
Ricordiamoci le potenze del 10, i nomi e i simboli assegnate dal Sistema Internazionale alle
grandezze decimali:
DIVIDI PER 10
MOLTIPLICA PER 10
Inoltre ricorda la regola per le equivalenze:
SE DEVI SALIRE, DIVIDI PER 10; SE DEVI SCENDERE MOLTIPLICA PER 10.
Alcuni esempi: (Per convenzione si usa scrivere i risultati nella forma standard)
Trasforma in centimetri la distanza Terra-Luna che misura 380 000 km.
Da km a cm devo scendere la scala di 5 gradini; devo quindi moltiplicare per 105.
380000 km = 380000 ⋅105 cm
Trasformo ora nella forma standard 380000 ⋅105 cm = 3,8 ⋅1010 cm (sono 38 miliardi di cm)
Calcola a quanti kilogrammi corrispondono 3500 microgrammi.
Da µg a kg devo salire la scala di 7 gradini; devo quindi dividere per 107 (o moltiplicare per 10-7).
3500 µg = 3500⋅10-7 kg = 3,5⋅10-4 kg
Un moderno HardDisk per computer da tavolo ha una capacità di 2 TeraByte (TB). Una chiavetta
USB, invece, ha una capacità di ½ GigaByte (GB).
Calcola il rapporto fra le due capacità (cioè quante volte l’HardDisk può contenere i dati della chiavetta USB).
Per trovare il rapporto devo fare una divisione fra le due capacità, ma prima devo uniformare le misure a quella
più piccola. Trasformo quindi i 2 TB in GB e metto ½ GB in forma standard; da TB a GB devo scendere di 3
gradini, moltiplico quindi per 103.
2 TB = 2⋅103 GB
ora trovo la forma standard di ½ GB.
½ GB = 0,5 GB = 5⋅10-1 GB
calcolo il rapporto richiesto.
capacità HD 2 ⋅10 3 GB 2 ⋅10 3
=
=
⋅10 = 4 ⋅10 3 = 4 000
5
capacità USB 5 ⋅10 −1 GB
l’HardDisk contiene l’equivalente di 4000 chiavette USB.
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