Convezione termica

Convezione termica
Coefficiente di convezione
Lo scambio termico convettivo presuppone una differenza di temperatura tra la superficie
solida ed il fluido in contatto con essa. Se la convezione è uniforme, con temperature
uniformi, possiamo definire la resistenza termica di convezione R in analogia con i
fenomeni di resistenza elettrica:
tp −t f
q=
R
dove q è il flusso termico convettivo, tp è la temperatura alla superficie della parete e tf la
temperatura del fluido.
È preferibile esprimere tale relazione riferita all’unità di area, poiché il processo termico
dipende dall’estensione della superficie di contatto:
q tp − t f tp − t f
=
q′′ = =
A
RA
R
1
Possiamo indicare la conduttanza termica per unità di area
con α che rappresenta il
R
coefficiente di convezione termica.
Esprimiamo così la densità di flusso termico convettivo come
q ′′ = α(t p − t f )
e il flusso termico come
q = αA(t p − t f )
Il coefficiente di convezione termica è funzione di:
• caratteristiche del campo dinamico;
• proprietà fisiche del fluido;
• geometria del sistema sede del fenomeno.
Moto dei fluidi viscosi
Viscosità
I fluidi reali in movimento sono soggetti alle forze di tipo viscoso, oltre a quelle di
pressione, gravità e inerzia. Tali forze si manifestano come resistenza interna ai
cambiamenti di forma della massa fluide e traggono origine da azioni intermolecolari
quando particelle fluida sono in movimento relativo le une rispetto alle altre. L’intensità
delle forze di attrito viscoso dipende sia dal moto relativo delle particelle sia da una
proprietà fisica caratteristica, detta viscosità dinamica.
Per definire la viscosità dinamica prendiamo in esame la configurazione di moto di figura:
il fluido è contenuto tra due superfici piane parallele molto estese, poste a distanza h l’una
dall’altra; la superficie inferiore è fissa, mentre quella superiore si muove ad una velocità
w1 rispetto alla prima. Supponiamo inoltre la pressione costante in ogni punto.
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1
Il fluido aderisce alle superfici assumendone le velocità, e
in particolari condizioni (che definiremo moto laminare)
possiamo avere tra i due piani un moto ordinato di strati
paralleli che scorrono gli uni sugli altri con distribuzione
lineare delle velocità:
w
w( y ) = 1 y
h
Per mantenere il moto stazionario è necessario applicare alla superficie superiore una
forza F costante e diretta secondo il senso del moto, poiché essa sarà equilibrata dalle forze
di attrito viscoso che assumono carattere di sforzi tangenziali τ costanti.
Il principio di Newton dell’attrito viscoso afferma che
dw
τ=µ
dy
dove µ è detta viscosità dinamica o coefficiente di viscosità.
Nel moto dei fluidi troviamo, accanto alla viscosità dinamica, la viscosità cinematica ν
definita come:
µ
ν=
ρ
dove ρ è la densità del fluido.
Deflussi laminare e turbolento
Nel moto dei fluidi viscosi sono possibili due regimi caratteristici di deflusso: il regime
laminare e il regime turbolento.
Nel regime di deflusso laminare le particelle di un fluido percorrono traiettorie ordinate
che
• coincidono con le linee di corrente se il moto è stazionario;
• dipendono dal tempo e dalla posizione se il moto è vario.
Gli strati fluidi contengono particelle che scorrono ordinatamente le une accanto alle altre
con velocità relative non nulle.
Nel regime di deflusso turbolento le particelle seguono invece traiettorie estremamente
complicate: i moti sono caotici e casuali, cosicché le grandezze fisiche locali variano nel
tempo e nello spazio senza leggi precise e determinabili.
Data l’enorme complessità delle configurazioni dinamiche, i valori locali istantanei si
esprimono come distribuzione statistica attorno a valori medi temporali più termini
dipendenti in modo casuale dal tempo (le componenti fluttuanti): ad esempio per la
velocità secondo gli assi coordinati abbiamo
wi = wi + wi′
per i = x, y, z
dove wi′ sono le componenti fluttuanti e wi sono i valori medi che si calcolano come
τ1
1
wi =
wi d τ
∫
τ1 − τ 0 τ 0
dove l’intervallo τ1 − τ 0 deve essere breve.
Lo studio dei fenomeni turbolenti si fa in definitiva con riferimento a valori medi
temporali delle grandezze di interesse: i campi di velocità, pressione, temperatura, … sono
quindi altrettante distribuzioni spaziali dei rispettivi valori medi. Possiamo fare
un’ulteriore distinzione: il moto risulta turbolento stazionario o vario se i valori medi
dipendono o meno dal tempo.
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2
Strato limite
Come detto, i fluidi viscosi hanno la tendenza ad aderire alle pareti che delimitano la
corrente, riducendo a zero le velocità relative in corrispondenza del contorno.
Prendiamo come esempio la configurazione dinamica in prossimità di una piastra piana
con temperatura superficiale tp lambita da una corrente fluida che scorre parallela alla
piastra stessa con velocità wf e temperatura ts.
Consideriamo dapprima il campo di
moto del fluido.
Lo strato di spessore δ vicino alla
superficie è sede di forti gradienti di
velocità e quindi di forti sforzi
tangenziali: la distribuzione di
velocità fino alla distanza δ va dallo 0
al 99% di wf.
Chiameremo tale zona strato limite
dinamico.
Considerando poi il campo termico della zona di fluido adiacente alla parete solida,
troviamo lo strato limite termico delimitato dalla distanza δt dove la distribuzione della
temperatura t ′ è la seguente:
tp − t
t ′(δt ) =
= 0,99
tp − tf
Convezione Forzata
Come già detto, il coefficiente di convezione termica è funzione di svariati parametri.
Considerando il problema dello strato limite in modo dimensionale, abbiamo
α = f (L, ρ , c p , µ , λ , w)
dove L è la dimensione caratteristica del problema.
Considerando invece il problema come adimensionale, possiamo scrivere α secondo tre
soli parametri: i numeri di Nusselt, Reynolds, Prandtl.
Per quanto riguarda il regime laminare, inoltre, il numero di Nusselt è funzione dei
numeri di Reynolds e Prandtl.
Numero di Nusselt
Abbiamo detto che la velocità sulla parete della piastra è nulla: per y=0, allora, il flusso
termico sarà puramente conduttivo tra la parete ed il fluido:
q ′′ = qc′′ = α (t p − t f )
Per il postulato di Fourier possiamo inoltre dire che:
dt
q ′′ = −λ
y =0
dy
Unendo quindi le due espressioni, abbiamo:
dt
α (t p − t f ) = −λ
y =0
dy
α
1 d (t p − t )
=
y =0
λ tp −tf d y
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dove nella seconda espressione abbiamo potuto aggiungere tp nel differenziale poiché la
derivata di una costante è nulla.
y
Definendo poi la lunghezza caratteristica del corpo y′ = , siccome L è una grandezza
L
costante, possiamo scrivere:
 tp − t
d
1  t p − t f
α
=
λ
L
 y
d 
L




y =0
=
1 d t′
L d y′
y ′= 0
Definiamo così il numero di Nusselt come:
αL d t ′
=
Nu =
′
λ d y ′ y =0
N.B.: mentre nel numero di Biot λ rappresentava la conducibilità termica del solido, nel numero di Nusselt
rappresenta la conducibilità termica del fluido.
Numero di Reynolds
Il numero di Reynolds è il rapporto tra le forze inerziali e le forze viscose del fluido:
ρwL
Re =
µ
dove w è la velocità caratteristica del campo di moto del fluido.
Elevati valori di Re denotano quindi la presenza di alti rapporti tra forze di inerzia e forze
viscose nella corrente: il moto laminare ad alti valori di Re diventa instabile e tende ad
assumere caratteristiche turbolente. Per ogni tipo di configurazione geometrica esiste un
valore critico di Re, dipendente solo dalla scelta di L e w, al di sotto del quale il moto si
presenta sempre laminare.
Numero di Prandtl
Il numero di Prandtl è il rapporto tra la viscosità cinematica e la diffusività termica del
fluido, definita come:
a=
λ
cpρ
Scriveremo quindi il numero di Prandtl come:
ν µc p
Pr = =
λ
a
Per varie considerazioni, possiamo dire che:
Pr =
δ
δt
Pertanto anche il numero di Prandtl influisce sulla stabilità del moto laminare: per elevate
viscosità o diffusività risultano elevati anche gli spessori di strato limite dinamico e
termico rispettivamente. Ciò porta la perturbazione a propagarsi a grandi distanze dalla
piastra e quindi al regime di moto turbolento.
Convezione forzata laminare esterna su una piastra piana
Consideriamo una lastra piana
• di lunghezza L
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• con temperatura superficiale tp
lambita da una corrente fluida in moto laminare che corre parallelamente alla piastra
stessa con
• velocità indisturbata wf
• temperatura indisturbata ts
Diciamo inoltre x la distanza dal bordo di attacco.
Affinché il moto si mantenga stabilmente laminare è necessario che il numero di Reynolds
wf x
wf L
e il numero di Reynolds globale Re L =
siano minori di 105.
locale Re x =
ν
ν
Nell’ipotesi aggiuntiva che Pr>0,1 valgono le considerazioni seguenti:
• lo spessore dello strato limite dinamico relativo alla distanza x vale
5
δ
=
x Re 12
x
•
lo spessore dello strato limite termico relativo alla distanza x vale
δt
5
=
1
1
x
Re x 2 Pr 3
• il coefficiente di attrito locale alla distanza x vale
1
−
τ
0,644
2
C fx =
=
≅
x
1
1 2
ρw f Re x 2
2
mentre quello medio su tutta la piastra vale
L
1
1,328
C fL = ∫ C fx d x =
1
L0
Re 2
L
•
il numero di Nusselt locale alla distanza x vale
1
1
αx
Nu x =
= 0,332 Re x 2 Pr 3
λ
mentre quello medio su tutta la piastra vale
1
1
αL 1 L
2
Nu L =
=
Nu x d x = 0,664 Re L Pr 3 = 2 Nu L
λ L ∫0
Possiamo così trovare il valore di α locale:
λ
1
2
1
3
α = 0,664 Re x Pr ≅ x
−
1
2
x
e l’espressione del valore medio del coefficiente di convezione:
1
λ
α = 0,664 Re L 2 Pr 3
1
L
Convezione forzata turbolenta esterna su una piastra piana
Consideriamo una lastra piana
• di lunghezza L
• con temperatura superficiale tp
lambita da una corrente fluida in moto laminare che corre parallelamente alla piastra
stessa con
• velocità indisturbata wf
paolo martinis - convezione termica
5
• temperatura indisturbata ts
Diciamo inoltre x la distanza dal bordo di attacco.
Il moto è turbolento se il numero di Reynolds locale Re x =
globale Re L =
wf L
ν
wf x
ν
e il numero di Reynolds
sono maggiori di 105. Nell’ipotesi aggiuntiva che 0,6<Pr<60 valgono le
considerazioni seguenti:
• lo spessore dello strato limite dinamico relativo alla distanza x vale
δ 0,376
=
x Re 15
x
•
lo spessore dello strato limite termico relativo alla distanza x e pressoché uguale a
quello dello spesso re dello strato limite dinamico, in quanto il numero di Prandtl
turbolento è prossimo ad 1
• il coefficiente di attrito locale alla distanza x vale
1
−
τ
0,0592
5
C fx =
=
≅
x
1
1
Re x 2
ρw 2f
2
mentre quello medio su tutta la piastra vale
L
1
0,074 1742
C fL = ∫ C fx d x =
−
1
L0
Re 5 Re L
L
•
il numero di Nusselt locale alla distanza x vale
1
4
αx
Nu x =
= 0,0296 Re x 5 Pr 3
λ
mentre quello medio su tutta la piastra vale
1
4
αL 1 L


Nu L =
Nu x d x = 0,036 Re L 5 − 23200  Pr 3
=
λ L ∫0


Possiamo così trovare il valore di α locale:
4
−
λ
α = 0,0296 Re x 5 Pr 3 ≅ x 5
1
1
x
e l’espressione del valore medio del coefficiente di convezione:
4
λ
α = 0,0296 Re L 5 Pr 3
1
L
Convezione forzata esterna per i condotti
Esaminiamo il caso di un tubo cilindrico con temperatura superficiale tp sottoposto al
deflusso trasversale di una corrente di fluido con velocità wf e temperatura tf indisturbate.
Il numero di Nusselt varia con la posizione del punto sulla circonferenza, ma nella pratica
basta conoscere il valore medio Nu D sull’intera superficie. Nel caso più generale possiamo
usare la correlazione
1
αD
n
Nu D =
= C Re D Pr 3
λ
dove le costanti C ed n dipendono dal numero di Reynolds.
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Procedura di calcolo per la convezione forzata esterna
La procedura di calcolo seguente può essere applicata alla soluzione di tutti i problemi di
convezione forzata.
1. Stima delle proprietà termofisiche
Basta valutare la temperatura media di film
tp + t f
t mf =
2
con tp e tf costanti lungo il deflusso, per calcolare di conseguenza le proprietà
termofisiche ρ,µ,cp,λ con t=tmf.
2. Calcolo dei numeri di Reynolds e Prandtl
3. Scelta delle correlazioni
Si opera la scelta tra le correlazioni disponibili per la geometria ed il regime di moto
del prolema. Occorre fare molta attenzione alla discriminante del moto, laminare o
turbolento, determinata in base al numero di Reynolds.
4. Calcolo del flusso
In base alle correlazioni si valuta il numero di Nusselt e il coefficiente di attrito o di
resistenza. Successivamente si calcolano, in riferimento alla dimensione desiderata,
i coefficienti di convezione locale e medio da inserire nelle espressioni:
q ′′ = α(t p − t f )
q = α A(t p − t f )
Convezione forzata interna nei condotti
La differenza fondamentale tra convezione
interna ed esterna si ha nel diverso
comportamento degli strati limite: all’interno
di un condotto, infatti, gli strati limite
dinamico e termico raggiungono il centro del
condotto ad una distanza finita direttamente
proporzionale al numero di Reynolds.
Da quel punto in poi i campi dinamico e
termico si dicono sviluppati, e siamo sempre
in presenza di moto turbolento. Un’altra
differenza con la convezione esterna è data dai
disturbi per la velocità e la temperatura del
fluido, per le quali bisogna considerare valori medi opportunamente definiti.
La velocità media del fluido nel condotto può essere calcolata con la formula:
m&
1
w=
w
A
d
=
An A∫n
ρAn
Il numero di Reynolds viene così ad essere:
ρw D w D
Re D =
=
µ
ν
dove D è il diametro del tubo.
Si può verificare sperimentalmente che la transizione da moto laminare a moto turbolento
comincia con valori di Re superiori a 2300 ed è completa per valori superiori a 2·104.
La distanza dall’imbocco del tubo dove lo strato limite dinamico tocca il centro del tubo è
data dalle espressioni:
paolo martinis - convezione termica
7
xe
≅ 0,05 Re D per il moto laminare;
D
xe
•
≅ 10 per il moto turbolento.
D
Per quanto riguarda il campo termico, dobbiamo prendere in considerazione dapprima la
temperatura media di flusso (o temperatura di mescolamento adiabatico):
1
t=
wt d A
w An A∫n
•
Il flusso termico locale per convezione all’interno di tubi e condotti dal fluido alla parete
sarà calcolato come:
q′′ = α (t p − t )
ma dovremo tener conto della variazione di temperatura media nell’intera lunghezza del
tubo.
Possiamo anche considerare la temperatura adimensionale t’:
tp − t
t′ =
tp − t
La distanza dall’imbocco del tubo dove lo strato limite termico tocca il centro del tubo è
data dalle espressioni:
xe
•
≅ 0,05 Re D Pr per il moto laminare;
D
xe
•
≅ 10 per il moto turbolento.
D
Per numeri di Prandtl diversi da zero, in presenza di campo termofluidodinamico
completamente sviluppato, abbiamo:
Nu D = 3,66
Nella situazione in cui il condotto non sia circolare è possibile usare tutte le correlazioni
precedenti considerando il diametro idraulico, rapporto tra il quadruplo dell’area della
sezione ed il perimetro:
4A
DR =
P
Procedura di calcolo per la convezione forzata interna
La procedura di calcolo seguente può essere applicata alla soluzione di tutti i problemi di
convezione forzata interna.
1. Stima delle proprietà termofisiche
Basta valutare la temperatura media tra entrata ed uscita del condotto:
t +t
tm = e u
2
per calcolare di conseguenza le proprietà termofisiche ρ,cp,λ con t=tm. Per il calcolo
della viscosità dinamica µs si valuta con la temperatura della parete.
2. Calcolo dei numeri di Reynolds e Prandtl
3. Scelta delle correlazioni
Si opera la scelta tra le correlazioni disponibili per la lunghezza del condotto.
Occorre fare molta attenzione alla discriminante del moto, laminare o turbolento,
determinata in base al numero di Reynolds.
4. Calcolo del flusso
paolo martinis - convezione termica
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In base alle correlazioni si valuta il numero di Nusselt e il coefficiente di attrito o di
resistenza. Successivamente si calcolano i coefficienti di convezione locale e medio
da inserire nelle espressioni:
q ′′ = α (t p − t )
q = α A∆t ml = α A
(t
p
− t e ) − (t p − tu )
 (t p − t e )
ln 

 (t p − tu )
Convezione Naturale
La convezione naturale è il processo di scambio termico tra una superficie solida ed un
fluido nel quale il campo di moto è determinato dal campo termico. Il movimento del
fluido è causato dalle differenze di densità tra masse di fluido a temperatura diversa che si
trovano alla stessa quota idrostatica. Ciò dà origine a spinte di galleggiamento che
producono un moto laminare o turbolento a seconda della geometria e della differenza di
temperatura tra la superficie ed il fluido.
Forza di galleggiamento
Ricaviamo le equazioni per una
piastra piana verticale isoterma.
Supponiamo che la lastra abbia una
temperatura superficiale maggiore
di quella del fluido, e che quindi gli
strati di fluido vicini alla superficie
si riscaldino: per la maggior parte
delle sostanze, ciò provoca una
diminuzione della densità e quindi
un moto ascensionale, con la
formazione degli strati limite
dinamico e termico descritti in figura. Per lo strato limite dinamico, la sola differenza con
la convezione forzata riguarda le forze di massa associate alla gravità, che agiscono nella
direzione del moto con componente negativa.
La forza di galleggiamento che fa muovere il fluido è data dalla risultante tra le forze di
pressione dovute al riscaldamento e le forze di gravità; per l’unità di volume sarà:
F = ρ f g − ρg = (ρ f − ρ )g
Analizzando poi la differenza di pressione tra il punto x ed il punto 0:
p = p0 − ρ f gx
dp
= − ρ f g è costante e che quindi le variazioni di
dx
densità con la pressione sono trascurabili.
Per l’analisi del fenomeno possiamo definire il parametro coefficiente di espansione
volumetrico:
1  ∂ρ 
1 ρ −ρf
β =−   ≅
ρ  ∂T  p ρ t − t f
osserviamo che il gradiente di pressione
paolo martinis - convezione termica
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per la misura delle variazioni di densità con la temperatura. Nel caso del fluido
considerato un gas ideale, il coefficiente di espansione volumetrico diventa l’inverso della
temperatura.
Possiamo così esprimere la forza di galleggiamento come funzione della densità del fluido:
F = βρ f (ρ f − ρ )g
Numeri di Grashof e di Rayleigh
Considerando il problema dello strato limite in modo dimensionale, abbiamo
α = f (L, ρ s , c p , µ , λ , F )
dove L è la dimensione caratteristica del problema.
Considerando invece il problema come adimensionale, possiamo scrivere α secondo tre
soli parametri: i numeri di Nusselt, Grashof, Prandtl.
Inoltre il numero di Nusselt è funzione dei numeri di Grashof e di Prandtl.
Definiamo il numero di Grashof come il quadrato del numero di
Reynolds riferito alla velocità equivalente di galleggiamento
weq = gβ (t p − t f )L e si esprime come:
Gr =
gβ (t p − t f )L3
ν2
Possiamo inoltre definire il numero di Rayleigh come il prodotto
tra i numeri di Grashof e di Prandtl:
Ra = Gr⋅ Pr
Esso è usato come discriminante per definire se il moto sia
laminare (per Ra<108) o turbolento(per Ra>108).
Poiché, come detto, il numero di Nusselt è funzione dei numeri di
Grashof e di Prandtl, sarà allora anche funzione del numero di
Rayleigh:
Nu = C Ra n
Convezione naturale per piastra piana verticale
Come già ricordato, il valore critico di inizio del moto
turbolento è fissato per Ra=108.
I valori medi del numero di Nusselt per una piastra
alta H sono:
•
1
Nu L = 0,54 Ra L 4 per il moto laminare;
1
• Nu L = 0,13Ra L 3 per il moto turbolento.
La procedura di calcolo è la stessa già adottata per la convezione forzata:
1. Stima delle proprietà termofisiche
Basta valutare la temperatura media di film
tp + t f
t mf =
2
con tp e ts costanti, per calcolare di conseguenza le proprietà termofisiche ρ,µ,cp,λ
con t=tmf.
2. Calcolo dei numeri di Grashof, Prandtl e Rayleigh.
3. Scelta delle correlazioni
paolo martinis - convezione termica
10
Si opera la scelta tra le correlazioni disponibili in base alla geometria ed al regime di
moto.
4. Calcolo del flusso
In base alle correlazioni si valuta il numero di Nusselt e il coefficiente di attrito o di
resistenza. Successivamente si calcolano i coefficienti di convezione locale e medio
da inserire nell’espressione:
q = α A(t p − t f )
Convezione naturale per piastra piana orizzontale
In questa configurazione geometrica assumiamo come dimensione caratteristica il
rapporto tra superficie e perimetro:
A
L=
P
Nel caso di piastra piana calda rivolta verso l’alto o fredda rivolta verso il basso possiamo
usare le correlazioni:
•
1
Nu L = 0,54 Ra L 4 per il moto laminare;
1
• Nu L = 0,13Ra L 3 per il moto turbolento.
Con piastra piana calda rivolta verso il basso e fredda rivolta verso l’alto non si hanno
movimenti di fluido.
Convezione naturale esterna per cilindro orizzontale
La convezione naturale che si instaura su un cilindro
orizzontale di diametro D molto minore della lunghezza
assiale è schematizzata in figura.
Possiamo usare le correlazioni:
paolo martinis - convezione termica
1
•
Nu L = 0,53Ra D 4 per il moto laminare;
•
Nu L = 0,13Ra L 3 per il moto turbolento.
1
11