2. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
2.1
Il poliedro
Definizione: Si dice poliedro la regione finita di spazio delimitata da n ≥ 4 poligoni posti in
piani diversi, tali che ciascun lato di ogni poligono sia comune a due soli di essi.
I poligoni sono detti facce del poliedro.
I vertici dei poligoni sono i vertici del poliedro.
I lati dei poligoni si dicono spigoli del poliedro.
L’insieme delle facce del poliedro si dice superficie poliedrica.
I diedri di due facce consecutive si dicono diedri del poliedro.
Gli angoloidi costituiti dalle facce che concorrono in uno stesso vertice si dicono angoloidi del
poliedro.
Si dice diagonale del poliedro ogni segmento che ha come estremi due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Un poliedro si dice convesso se il piano a cui appartiene ogni faccia lascia le altre in uno stesso semispazio, altrimenti si dice concavo.
angoloide
tetraedro
pentaedro
esaedro
ottaedro
dodecaedro
icosaedro
numero
delle facce
4
5
6
8
12
20
I poliedri possono essere classificati in base al numero delle loro facce;
alcuni sono nella tabella a fianco.
Teorema 1: TEOREMA DI EULERO La somma del numero dei vertici e delle facce di un
poliedro supera di due il numero dei suoi spigoli: V + F = S + 2.
2.2
Poliedri regolari
Definizione: Un poliedro si dice regolare se le facce sono poligoni regolari tra loro congruenti e se gli angoloidi sono tra loro congruenti.
10
Mentre i poligoni regolari possono essere infiniti, i poliedri regolari sono solo cinque, detti
solidi platonici.
Partendo dal poligono regolare con il minor numero di lati, cioè il triangolo equilatero, e ricordando il teorema 32 precedente, che afferma che in un angoloide la somma delle facce è
minore di un angolo giro, si possono trovare i cinque poliedri regolari a seconda del numero
degli angoli che convergono in un unico vertice.
Triangolo equilatero: ogni angoloide del poliedro è formato da facce di 60°.
In un vertice convergono tre facce → 3 ⋅ 60° =180° < 360°
Si ottiene un poliedro con quattro facce (che sono triangoli equilateri), quattro vertici e sei
spigoli, cioè un tetraedro.
In un vertice convergono quattro facce → 4 ⋅ 60° =240° < 360°
Si ottiene un poliedro con otto facce (che sono triangoli equilateri), sei vertici e dodici spigoli, cioè un ottaedro.
In un vertice convergono cinque facce → 5 ⋅ 60° =300° < 360°
Si ottiene un poliedro con venti facce (che sono triangoli equilateri), dodici vertici e trenta
spigoli, cioè un tetraedro.
Non è possibile un poliedro nei cui vertici convergano sei triangoli equilateri, poiché 6 ⋅ 60° = 360°, quindi non minore di un angolo giro.
11
Quadrato: ogni angoloide del poliedro è formato da facce di 90°.
In un vertice convergono tre facce → 3 ⋅ 90° =270° < 360°
Si ottiene un poliedro con sei facce quadrate, otto vertici e dodici spigoli, cioè un esaedro o
cubo.
Non è possibile un poliedro nei cui vertici convergano quattro quadrati, poiché
4 ⋅ 90° = 360°, quindi non minore di un angolo giro.
Pentagono: ogni angoloide del poliedro è formato da facce di 108°.
In un vertice convergono tre facce → 3 ⋅ 108° =324° < 360°
Si ottiene un poliedro con dodici facce pentagonali, venti vertici e trenta spigoli, cioè un dodecaedro.
Non è possibile un poliedro nei cui vertici convergano quattro pentagoni, poiché
4 ⋅ 108° = 432° > 360°, quindi non minore di un angolo giro.
Non esistono poliedri regolari che abbiano per facce esagoni regolari; ogni angolo di un esagono regolare, infatti, è di 120°, ma la convergenza di tre facce, numero minimo di facce per costituire un angoloide, propone già la cifra 3 · 120° = 360°, cioè non minore di un angolo giro.
È chiaro allora che non è possibile ottenere un poliedro in cui ogni angoloide è formato da tre
facce convergenti che siano poligoni regolari di 7, 8, 9, ... lati, in quanto ogni angolo di questi
poligoni supera i 220°. Non esistono allora altri poliedri regolari che abbiano per facce poligoni
regolari con un numero di lati maggiore di 5, allora i poliedri regolari sono tutti e soli quelli
che sono stati descritti precedentemente, cioè i solidi platonici. c. v. d.
12
2.3
Il prisma
Definizione: Sono date nello spazio un numero n ≥ 3 di
rette parallele tali che, considerate in un certo ordine, tre
rette consecutive non appartengano allo stesso piano e il
piano individuato da ogni coppia di rette consecutive lasci
le rimanenti in uno stesso semispazio. La superficie prismatica indefinita è l’insieme delle strisce di piano delimitate da ogni coppia di rette consecutive, rette comprese.
Le rette sono dette spigoli della superficie prismatica indefinita.
Le parti di piano limitate da tutte le coppie di rette consecutive si dicono facce della superficie
prismatica indefinita.
Si dicono interni alla superficie prismatica indefinita i punti che non appartengono alla superficie e che, rispetto al piano di ogni faccia, stanno dalla stessa parte della superficie.
Tutti gli altri punti, esclusi quelli della superficie, si dicono esterni.
Definizione: Il prisma indefinito è la figura formata dalla superficie prismatica indefinita e
dai suoi punti interni.
Teorema 2: Le sezioni di un prisma indefinito con due piani tra loro paralleli sono congruenti.
Definizione: Si chiama prisma la parte di prisma indefinito limitata da due piani paralleli tra
loro e non paralleli agli spigoli.
Si dicono basi del prisma le due sezioni parallele.
Si dicono spigoli di base i lati dei due poligoni
di base.
Si dicono facce laterali le parti di strisce del prisma indefinito comprese tra le due basi, mentre i lati delle facce laterali che non appartengono ai poligoni di base sono detti spigoli laterali.
L’altezza del prisma è la distanza tra le due basi.
Per un prisma:
la superficie laterale è l’insieme delle facce laterali;
la superficie totale è l’insieme della superficie laterale e delle basi;
il volume è la parte di spazio limitata dalla superficie prismatica.
Un prima è detto retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi, in questo caso
l’altezza è congruente agli spigoli laterali e le facce laterali sono rettangoli.
Un prisma è detto regolare se è retto ed ha per base un poligono regolare.
13
Definizione: Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi.
Due facce di un parallelepipedo si dicono opposte se non hanno alcuno
spigolo comune.
Teorema 3: Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e
congruenti.
Teorema 4: Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano nel loro punto medio.
Un parallelepipedo si dice retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi, in caso contrario si dice obliquo.
Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo che ha per basi due
rettangoli.
I tre spigoli che escono da uno stesso vertice sono detti dimensioni del
parallelepipedo.
Teorema 5: Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti.
Teorema 6: Se un parallelepipedo ha le diagonali congruenti allora è rettangolo.
Definizione: Un cubo o esaedro è un parallelepipedo rettangolo che ha le
tre dimensioni uguali.
2.4
La piramide
Definizione: Un angoloide convesso di vertice V viene
diviso da un piano α, non passante per il vertice e non
parallelo ad alcuno spigolo, in due parti. È detta piramide la parte dell’angoloide che contiene il vertice V.
Si dicono:
base della piramide il poligono intersezione dell’angoloide con il piano
spigoli di base i lati di detto poligono
vertice V della piramide il vertice dell’angoloide
14
spigoli laterali segmenti che uniscono il vertice della piramide con i vertici della base
facce laterali i triangoli che hanno un vertice nel vertice della piramide e due vertici consecutivi nel poligono di base.
Per una piramide, inoltre:
la superficie laterale è l’insieme di tutte le facce laterali;
la superficie totale è l’insieme della superficie laterale e della base;
l’altezza della piramide è la distanza tra il vertice e la base;
il volume è la parte di spazio limitata dalla superficie della piramide.
Una piramide è classificata in base al numero di lati della base, ad esempio una piramide è
triangolare se il poligono di base è un triangolo, quadrangolare se è un quadrilatero e così via.
Una particolare piramide è la piramide retta, cioè una piramide che ha la
base circoscrittibile ad una circonferenza e il piede dell’altezza che coincide
con il centro del cerchio inscritto.
Una piramide è detta regolare se ha per base un poligono regolare.
Teorema 7: In una piramide retta le altezze delle facce laterali sono i segmenti che congiungono il vertice con i punti di tangenza del poligono di base
con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti.
Si osserva anche che:
l’altezza di ogni faccia laterale si chiama apotema
l’apotema interseca il lato di base nel suo punto medio
l’apotema è l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti l’altezza
della piramide e il raggio della circonferenza inscritta.
Teorema 8: Se si interseca una piramide con un piano α parallelo al piano di base e non passante per il vertice:
il poligono sezione è simile al poligono di base,
i perimetri dei poligoni di base e di quello di sezione stanno
tra loro come le rispettive distanze dei loro piani dal vertice,
il poligono di base e quello di sezione stanno tra loro come i
quadrati delle rispettive distanze dei loro piani dal vertice.
2.5 Il tronco di piramide
Definizione: Se si interseca una piramide con un piano α
parallelo al piano di base e non passante per il vertice, la piramide viene divisa in due parti, quella che non contiene il
vertice è detta tronco di piramide.
Il poligono di base e il poligono di sezione sono detti basi del
tronco di piramide.
15
I lati dei poligoni di base sono detti spigoli di base.
Le facce laterali del tronco di piramide sono dei trapezi.
L’altezza del tronco di piramide è la distanza tra i piani delle due basi.
Per un tronco di piramide, poi:
la superficie laterale è l’insieme di tutte le facce laterali;
la superficie totale è l’insieme della superficie laterale e delle due basi;
il volume è la parte di spazio limitata dalla superficie del tronco di piramide.
2.6 Area della superficie di un poliedro
Detto 2 p la misura del perimetro di base e h l’altezza del prisma e Ab l’area di base, avremo:
Prisma retto
Al = 2 p ⋅ h
A t = 2 p ⋅ h + 2A b
Parallelepipedo rettangolo
Al = 2 p ⋅ h
A t = 2 p ⋅ h + 2A b
Cubo
Al = 4l2
At = 6l2
16
Piramide retta
Detto 2 p la misura del perimetro di base e a quella dell’apotema:
Al = p ⋅ a
At = p ⋅ a + Ab
Tronco di piramide retta
Detto 2 p la misura del perimetro di una base, 2 p′ quello dell’altra, a quella dell’apotema,
Ab1 e Ab 2 le misure delle due aree di base:
A l = ( p + p′ ) ⋅ a
A t = Ab1 + A b 2 + ( p + p′ ) ⋅ a
2.7
I solidi di rotazione
Dati un semipiano di origine a e su di esso una curva f , se si
fa ruotare di 360° il semipiano intorno ad a si ottiene una superficie detta superficie di rotazione.
17
La retta a è detta asse di rotazione e la curva f è detta generatrice della rotazione.
Se si interseca una superficie di rotazione con un piano passante per
l’asse di rotazione si ottiene una curva che è detta meridiano.
Le sezioni della superficie di rotazione con un piano β perpendicolare
all’asse di rotazione sono delle circonferenze che hanno il centro nel
punto O di intersezione tra asse e piano e come raggio il segmento PO,
con P punto di intersezione tra il piano β e la curva f e si dicono paralleli.
Se facciamo ruotare nello spazio una superficie qualunque appartenente
ad un semipiano, nella figura in azzurro, intorno ad una retta a di un angolo giro otterremo un solido che è detto solido di rotazione. Le sezioni
del solido di rotazione con un piano β perpendicolare all’asse di rotazione
sono dei cerchi.
2.8
Il cilindro
Si dice superficie cilindrica indefinita la superficie ottenuta facendo
ruotare una retta r, parallela all’origine a di un semipiano, di un giro
completo attorno ad a stessa.
La retta r viene detta generatrice della superficie cilindrica indefinita.
La distanza di r da a viene detta raggio della superficie cilindrica.
La superficie cilindrica indefinita divide lo spazio in due parti:
sono detti interni i punti che non appartengono alla superficie e che hanno una distanza
dall’asse di rotazione minore del raggio
sono detti esterni tutti gli altri punti eccettuati quelli della superficie stessa.
È detto cilindro indefinito la figura formata dalla superficie cilindrica indefinita e da tutti i
suoi punti interni.
Un piano α parallelo all’asse di rotazione di una
superficie cilindrica indefinita può essere:
secante, se ha due generatrici comuni con la
superficie
tangente, se ha una sola generatrice comune
con la superficie
esterno, se non ha alcun punto comune con
la superficie
18
Teorema 9: Dati una superficie cilindrica indefinita e un piano α:
se la distanza di α dall’asse di rotazione è minore del raggio allora α è secante,
se la distanza di α dall’asse di rotazione è uguale al raggio allora α è tangente,
se la distanza di α dall’asse di rotazione è maggiore del raggio allora α è esterno.
Si dice cilindro circolare retto la parte di cilindro indefinito compresa tra due piani paralleli tra loro e perpendicolari alla generatrice.
Per il cilindro:
le intersezioni dei piani con il cilindro indefinito sono due cerchi tra loro congruenti che vengono dette
basi,
i raggi delle basi sono detti raggi del cilindro,
la superficie laterale è la parte di superficie cilindrica compresa tra i due piani,
il volume è la parte di spazio limitata dalla superficie del cilindro,
l’altezza del cilindro è la distanza tra le due basi.
La sezione di un cilindro con un piano passante per l’asse è un rettangolo che ha per lati
l’altezza e il diametro delle basi del cilindro.
Si dice cilindro equilatero il cilindro retto in cui l’altezza è congruente al diametro delle basi. La sezione di un cilindro retto con un piano passante per l’asse del cilindro è un quadrato.
Un cilindro circolare retto può essere ottenuto dalla rotazione di 360° di un
rettangolo attorno ad un suo lato.
2.9
Il cono
Considerato un semipiano di origine a ed una semiretta r del semipiano
di origine V, che interseca a in V e che forma con a un angolo acuto, si
dice superficie conica indefinita la superficie generata dalla semiretta
quando il semipiano ruota di un angolo giro intorno alla sua origine.
La semiretta r ed ognuna delle posizioni che assume durante la rotazione è detta generatrice della superficie conica indefinita. L’angolo che
essa forma con a è detto angolo di semiapertura della superficie, mentre V è detto vertice
di tale superficie.
La superficie conica indefinita divide lo spazio in due parti:
sono detti interni i punti che non appartengono alla superficie e sono interni ad ognuno
degli angoli che hanno per lati la generatrice e l’asse di rotazione
sono detti esterni tutti gli altri punti eccettuati quelli della superficie stessa.
Si dice cono indefinito la figura formata dalla superficie conica indefinita e da tutti i suoi
punti interni.
19
Un piano β passante per il vertice V di una superficie conica indefinita può essere:
secante, se ha due generatrici comuni con la superficie
tangente, se ha una sola generatrice comune con la superficie
esterno, se ha in comune con la superficie solo il vertice V
Teorema 10: Dati una superficie conica indefinita e un piano β:
se il piano β forma con l’asse di rotazione un angolo minore dell’angolo di semiapertura α,
allora β è secante,
se il piano β forma con l’asse di rotazione un angolo uguale dell’angolo di semiapertura α,
allora β è tangente,
se il piano β forma con l’asse di rotazione un angolo maggiore dell’angolo di semiapertura α,
allora β è esterno.
Teorema 11: I raggi dei cerchi di intersezione di un cono indefinito
con piani perpendicolari all’asse di rotazione sono proporzionali alle
rispettive distanze dal vertice.
Hp: α ⊥ a , β ⊥ a
Th: AH : A′H ′ = VH : VH ′
Teorema 12: I cerchi di intersezione di un cono indefinito con piani perpendicolari all’asse di
rotazione sono proporzionali ai quadrati delle rispettive distanze dal vertice.
Hp: α ⊥ a , β ⊥ a
Th: A : A ′ = VH 2 : VH ′2
Definizione: Si dice cono circolare retto la parte che
contiene il vertice delle due in cui un cono indefinito viene diviso da un piano perpendicolare all’asse di rotazione.
Caratteristiche del cono:
l’intersezione del piano perpendicolare all’asse di rotazione con il cono indefinito è un cerchio detto base del
cono,
il raggio di base è detto raggio di base del cono,
il vertice V è detto vertice del cono,
ogni segmento che ha per estremi il vertice e uno dei punti della circonferenza di base è
chiamato apotema del cono,
la superficie laterale è la parte di superficie conica che contiene il vertice,
la superficie totale è l’insieme della superficie laterale e della base,
il volume è la parte di spazio limitata dalla superficie del cono,
l’altezza del cono è la distanza tra il vertice e la base,
il piede dell’altezza cade nel centro della circonferenza di base.
20
La sezione di un cono con un piano passante per l’asse di rotazione è un triangolo isoscele che
ha per lati l’apotema e per base il diametro di base del cono.
Un cono è detto equilatero se ha l’apotema congruente al diametro della base. In questo caso
la sezione con un piano passante per l’asse è un triangolo equilatero.
Un cono circolare retto può essere ottenuto anche facendo ruotare di un giro
completo un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
2.10 Il tronco di cono
Se si interseca un cono con un piano parallelo al piano
di base e non passante per il vertice, il cono viene suddiviso in due parti; quella che non contiene il vertice è
detta tronco di cono.
Caratteristiche:
il cerchio sezione e il cerchio di base del cono sono
basi del tronco di cono,
la parte di apotema del cono compresa tra le due basi è l’apotema del tronco di cono,
l’altezza del tronco di cono è la distanza tra le due basi.
La sezione di un tronco di cono con un piano passante per l’asse è un trapezio isoscele che ha
per basi i diametri di base del tronco di cono e per lati le apoteme del tronco di cono stesso.
Un tronco di cono circolare retto può essere ottenuto anche facendo ruotare di un giro completo un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare.
2.11 Area della superficie dei solidi di rotazione
Assioma 5: (ASSIOMA DI ESTENSIONE SUPERFICIALE) La superficie laterale di un solido
convesso è maggiore della superficie laterale di un qualunque solido convesso inscritto in esso
e minore della superficie laterale di un qualunque solido convesso circoscritto ad esso.
21
Area della superficie di un cilindro retto.
Definizione: Un prisma retto è detto inscritto in un cilindro se le sue basi sono inscritte nelle basi del cilindro. Un
prisma retto è detto circoscritto ad un cilindro se le sue
basi sono circoscritte alle basi del cilindro.
In base all’assioma di estensione superficiale la superficie del cilindro sarà maggiore di tutte
quelle dei prismi inscritti e minore di tutte quelle dei prismi circoscritti; facendo salire il numero di lati dei prismi sia inscritti che circoscritti l’errore commesso nel considerare la superficie dei prismi (per eccesso o per difetto a seconda se circoscritti o inscritti) al posto di quella
del cilindro sarà via via minore. Si può allora concludere che la superficie laterale di un cilindro è equivalente alla superficie di un rettangolo che ha per base la circonferenza rettificata di
base del cilindro e per altezza l’altezza del cilindro.
In formule: A l = 2π r ⋅ h e A t = 2π r ( h + r )
Area della superficie di un cono retto.
Definizione: Una piramide retta si dice inscritta in un cono
se la sua base è inscritta nella base del cono e il suo vertice
coincide con il vertice del cono. Una piramide retta si dice circoscritta ad un cono se la sua base è circoscritta alla base del
cono e il suo vertice coincide con il vertice del cono.
Analogamente a quanto detto per il cilindro possiamo concludere che la superficie laterale di
un cono è equivalente al triangolo che ha per base la circonferenza di base rettificata e per altezza l’apotema del cono.
In formule: A l = π r ⋅ a e A t = π r ( a + r )
Area della superficie di un tronco di cono retto.
Definizione: Un tronco di piramide retta si dice inscritto in
un tronco di cono se le sue basi sono inscritte nelle basi del
tronco di cono. Un tronco di piramide retta si dice circoscritto ad un tronco di cono se le sue basi sono circoscritte alle basi
del tronco di cono.
Analogamente a quanto detto per il cono e il cilindro possiamo concludere che la superficie laterale di un tronco di cono è equivalente al trapezio che ha per basi le circonferenze delle basi
rettificate e per altezza l’apotema del tronco di cono.
In formule: A l = π a ( r + r ′ ) e A t = ( r + r ′ ) π a + π r 2 + r ′2
(
)
22
2.12 La sfera
Definizione: Fissato nello spazio un punto O e un
segmento r si dice superficie sferica il luogo dei
punti dello spazio che hanno da O una distanza pari
ad r.
Il punto O è detto centro della superficie sferica.
Ogni segmento avente per estremi il punto O ed un
punto della superficie è congruente al segmento r e si dice raggio della superficie sferica.
Si chiama corda, invece, il segmento che ha per estremi due punti qualsiasi della superficie
sferica.
Ogni corda che contiene il centro O è detta diametro.
Teorema 13: L’intersezione della superficie sferica
con ogni piano passante per il suo centro è una circonferenza che ha per centro lo stesso centro e per
raggio lo stesso raggio della superficie sferica.
Una superficie sferica può essere ottenuta dalla rotazione di 360° di una
semicirconferenza di centro O e raggio r intorno al suo diametro. La semicirconferenza si dice allora generatrice della superficie sferica.
La superficie sferica divide lo spazio in due parti:
sono detti interni i punti che hanno distanza dal centro minore del
raggio
sono detti esterni tutti gli altri punti eccettuati quelli della superficie
stessa.
Si dice sfera l’insieme costituito dalla superficie sferica e dai suoi punti interni.
Si dice semisfera ciascuna delle due parti in cui ogni piano passante per il centro taglia la sfera.
Teorema 14: Dati una superficie sferica e un piano α:
se il piano α ha dal centro della superficie una distanza minore del raggio, allora α è secante la superficie sferica,
se il piano α ha dal centro della superficie una distanza uguale al raggio, allora α è tangente alla superficie sferica,
se il piano α ha dal centro della superficie una distanza maggiore del raggio, allora α è esterno alla superficie sferica.
23
Dati nello spazio una superficie sferica ed una retta si possono presentare tre casi:
retta secante la superficie sferica se hanno due punti comuni,
retta tangente la superficie sferica se hanno un punto comune,
retta esterna alla superficie sferica se non ci sono punti comuni.
Del resto due superfici sferiche possono essere:
esterne se non hanno punti comuni e se il centro dell’una è esterno all’altra
tangenti esternamente se hanno un solo punto comune e se il
centro dell’una è esterno all’altra
secanti se hanno in comune una circonferenza
tangenti internamente se hanno un solo punto comune e se il centro
di almeno una delle due è interno all’altra
interne se non hanno punti comuni, ma il centro di almeno una delle
due è interno all’altra
concentriche se sono interne ed hanno lo stesso centro.
24
Teorema 15: Due superfici sferiche sono:
esterne se e solo se la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei raggi,
tangenti esternamente se e solo se la distanza dei loro centri è uguale alla somma dei
raggi,
secanti se e solo se la distanza dei loro centri è minore della somma dei raggi e maggiore
della loro differenza,
tangenti internamente se e solo se la distanza dei loro centri è uguale alla differenza dei
raggi,
interne se e solo se la distanza dei loro centri è minore della differenza dei due raggi.
Si dice calotta sferica ciascuna delle due parti in cui una superficie sferica viene suddivisa da un piano secante:
la base della calotta è la circonferenza intersezione tra superficie sferica e piano,
il vertice della calotta è il punto di intersezione tra il raggio
perpendicolare al piano secante e la superficie sferica,
l’altezza della calotta è la distanza tra il vertice e il piano secante.
Si dice zona sferica la parte di superficie sferica compresa tra
due piani paralleli:
le basi della zona sferica sono le circonferenze intersezioni
dei piani con la superficie sferica,
l’altezza della zona sferica è la distanza tra i due piani secanti.
Si dice fuso sferico ciascuna delle due parti in cui una superficie
sferica viene suddivisa da due semipiani che hanno come origine
la retta di uno stesso diametro:
l’angolo del fuso è il diedro formato dai due semipiani,
i lati del fuso sono le semicirconferenze intersezione dei semipiani con la superficie sferica.
Si dice segmento sferico ad una base ciascuna delle due parti in cui una sfera viene suddivisa da un piano secante:
la base del segmento sferico è il cerchio di intersezione del
piano con la sfera,
il vertice del segmento sferico è il punto di intersezione tra
il raggio perpendicolare al piano secante e la sfera,
l’altezza del segmento sferico è la distanza tra il vertice e il
piano secante.
Si dice segmento sferico a due basi la parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli:
le basi del segmento sferico sono i cerchi di intersezione
dei piani con la sfera,
l’altezza del segmento sferico è la distanza tra i due piani
secanti.
25
Lo spicchio sferico è ciascuna delle due parti in cui è divisa la sfera da
due semipiani che hanno per origine la retta di uno stesso diametro.
L’angolo dello spicchio è il diedro formato dai due semipiani.
Un poliedro è detto inscritto in una superficie sferica se ogni suo vertice appartiene alla superficie sferica.
Un cilindro circolare retto si dice inscritto in una superficie sferica se
le circonferenze delle sue basi appartengono alla superficie sferica.
Un cono circolare retto si dice inscritto in una superficie sferica se il
vertice e la circonferenza di base appartengono alla superficie sferica.
Un cilindro circolare retto e un cono circolare retto sono sempre inscrivibili in una superficie sferica, che è a sua volta circoscritta al solido.
Un poliedro è detto circoscritto ad una superficie sferica se ogni sua
faccia è tangente alla superficie sferica.
Un cilindro circolare retto si dice circoscritto ad una superficie sferica se le sue basi e le sue generatrici sono tangenti alla superficie sferica.
Un cono circolare retto si dice circoscritto ad una superficie sferica
se la sua base e le sue generatrici sono tangenti alla superficie sferica.
Un cono circolare retto è sempre circoscrivibile ad una superficie sferica,
mentre può essere circoscritto solamente il cilindro equilatero.
26
