PARTE DI ALGEBRA E GEOMETRIA ANALITICA:
1) La legge di annullamento del prodotto afferma che se in una moltiplicazione almeno un
fattore è uguale a zero, il risultato finale sarà sempre 0; es. 5∙ 6 ∙ 8∙ 0 = 0.
2) Un multiplo è un numero che contiene esattamente un altro numero; es. 30 è multiplo di 6
perché 30÷6= 5, ovvero divide esattamente 6; mentre per quanto riguarda il divisore è
l’esatto opposto, è quel numero che divide perfettamente un numero maggiore; es. 6 è
divisore di 30 perché 30÷6= 5, ovvero divide esattamente 30.
Numero primo, è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per
se stesso.
1 non è considerato primo perché è divisibile per qualsiasi numero naturale e di conseguenza
andrebbe a contrastare la definizione enunciata prima.
Il Teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni numero naturale maggiore di uno
o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi.
Il massimo comune divisore è calcolato determinando la scomposizione in fattori primi dei
numeri dati e moltiplicando i fattori COMUNI, considerati una sola volta con il loro minimo
esponente.
Il minimo comune multiplo è calcolato determinando la scomposizione in fattori primi dei
numeri dati e moltiplicando i fattori COMUNI e NON COMUNI, considerati una sola volta
con il loro massimo esponente.
Due numeri sono primi tra loro quando sono consecutivi, oppure il loro M.C.D o il m.c.m
risulta essere 1.
3) L’elevamento di potenza non è altro che la moltiplicazione della base tante volte quanto è
l’esponente.
PRORPIETÀ PER L’ELEVAMENTO IN N:
prodotto o divisione di potenza di uguale base, diverso da 0: la basa rimane la stessa però
per gli esponenti si effettua la somma o la sottrazione.
Potenza di potenza: la base rimane la stessa però per quanto riguarda gli esponenti, essi
vengo moltiplicati fra di loro.
Il prodotto o la divisione di potenza di uguale esponente, diverso da zero: l’esponente
rimane lo stesso però le basi si moltiplicano o si dividono fra di loro.
PROPRIETÀ PER L’ELEVAMENTO IN Z:
La potenza di un numero intero è un numero che ha:
-
per valore assoluto la potenza del valore assoluto;
1
-
per il segno il segno negativo se la base è negativa e l’esponente è dispari; mentre il
segno è positivo negli altri casi.
PROPRIETÀ PER L’ELEVAMENTO IN Q :
La potenza con esponente razionale m/n di un numero reale a, positivo o nullo, è la radice
m-esima di aᵐ.
4) Un monomio è un espressione letterale in cui, fra le lettere, compaiono solo moltiplicazioni
e potenze.
Gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.
Monomio in forma normale, è quando è scritto come prodotto fra numero e una o più lettere,
diverse fra loro, con eventuali esponenti.
Il coefficiente è la parte numerica, mentre le lettere con eventuali esponenti è la parte
letterale.
M.C.D: per il coefficiente è il M.C.D dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi;
mentre per parte letterale è il prodotto delle sole lettere comuni a tutti i monomi, ognuna
presa una sola volta e con l’esponente minimo.
m.c.m: per il coefficiente è il m.c.m dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi;
mentre per la parte letterale è il prodotto di tutte le lettere dei monomi, ognuna presa una
sola volta e con l’esponente massimo.
5) Un polinomio è la somma algebrica di più monomi.
Il grado di un polinomio ridotto è il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini.
Un polinomio è ordinato quando rispetto a una sua lettera se i suoi termini sono disposti in
modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente o decrescente.
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
Un polinomio è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte le potenze,
dal grado massimo fino al grado 0.
6) I prodotti notevoli sono casi particolari i cui risultati vengono detti prodotti notevoli, perché
permettono di scrivere il risultato della moltiplicazione senza passaggi intermedi.
I prodotti notevoli sono:
-
Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza (A +B)(A-B)= A²- B²
-
Quadrato di un binomio (A+ B)²= A²+2AB +B²
-
Quadrato di un trinomio (A+B+C)²= A²+ B²+ C² + 2AB+ 2AC+ 2BC
-
Cubo di un binomio (A+B)³= A³ +3A²B+ 3AB²+ B³
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Il triangolo di Tartaglia fornisce i coefficienti dello sviluppo delle potenze dei binomi del
tipo a+b.
7) Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di
grado inferiore.
Un polinomio è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di
grado minore.
Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.
Ci sono moltissime tecniche per scomporre un polinomio in fattori, i metodi più utilizzati
sono, il raccoglimento a fattore comune, il raccoglimento parziale, individuare i prodotti
notevoli, riconoscere particolari trinomi di secondo grado ed utilizzare la regola di Ruffini.
8) Si dice massimo comune divisore fra due o più polinomi il polinomio di grado massimo che
è divisore di tutti i polinomi dati.
Si dice minimo comune multiplo fra due o più polinomi il polinomio di grado minimo che è
divisibile per tutti i polinomi dati.
9) Prima legge di monotonia per le uguaglianze e diseguaglianze:
un’uguaglianza o
diseguaglianza resta valida se aggiungo o sottraggo ai due membri lo stesso numero.
Seconda legge di monotonia per le uguaglianze: un’uguaglianza è sempre valida se
moltiplico o divido, diverso da 0, lo stesso numero ai due membri.
Seconda legge di monotonia per le diseguaglianze: una diseguaglianza è sempre valida se
moltiplico ai due membri lo stesso numero, in caso cui il numero fosse negativo, il verso
della mia diseguaglianza cambia.
10) Un'equazione è un'uguaglianza dove compaiono espressioni letterali per le quali si cercano i
valori da attribuire a una o più lettere che rendono vera l’uguaglianza.
Primo e secondo membro sono i membri della mia equazione, di solito al primo membro
porto le incognite, mentre nel secondo porto i miei valori.
Incognita, identificata con un'espressione contenente lettera e numero e quella parte che
devo calcolare.
Un'equazione intera significa che i coefficienti sono numeri interi, mentre fratta ha i
coefficienti fratti e numerica o letterale significa che i suoi coefficienti sono numeri o
lettere.
La soluzione o radice di un'equazione è quel numero che mi soddisfa la mia identità.
L’equazione determinata identifica una e una sola radice di soluzione, indeterminata sono
presenti infinite soluzioni ed impossibili non sono presenti soluzioni nell’insieme di R.
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I principi di equivalenza delle equazioni sono due: il primo afferma che aggiungendo o
sottraendo la stessa quantità da ambo i membri otterrò un’equazione equivalente, mentre il
secondo afferma che moltiplicando o dividendo per la stessa quantità da ambo i termini avrò
un’equazione equivalente.
A questi principi sono connesse diverse regole come quella del trasporto, della cancellazione
e del cambiamento di segno.
11) Una disequazione è una diseguaglianza in cui compaiono espressioni letterali per le quali
cerchiamo dei valori di una o più lettere che rendono la diseguaglianza vera.
Per la relativa terminologia veda il comma 10.
12) Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni in cui compaiono le
stesse incognite, per le quali si cercano i valori da attribuire alle incognite che verificano
contemporaneamente tali disequazioni.
La soluzione si determina applicando i principi e le regole delle disequazioni.
13) Sistema di equazioni è un insieme di equazioni in cui compaiono le stesse incognite, per le
quali ci chiediamo quali sono le soluzioni comuni.
Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.
Una soluzione dell’equazione è una coppia di valori che rende il primo membro uguale al
secondo.
Un sistema è in forma normale quando compaiono le 2 incognite e 1 valore assoluto.
Per individuare se un sistema è determinato, indetermina o impossibile, bisogna fare i
rapporti dei coefficienti di ax e di by, se questi risultano diversi, il sistema è determinato, se
questi risultano uguali ed il rapporto dei valori assoluti è diverso si avrà un sistema
impossibile, ed infine se questi sono uguali compresi il rapporto dei valori assoluti si sarà
ottenuto un sistema indeterminato.
Ci sono molti modi per risolvere un sistema, si può applicare il metodo del confronto, il
metodo di risoluzione o il metodo di Cramer.
La rappresentazione del sistema si identifica con due rette collocate sul piano cartesiano e
queste posso essere, parallele, coincidenti o incidenti.
14) Un’equazione è di secondo grado se, dopo avere applicato i principi di equivalenza, si può
scrivere in forma: ax²+ bx+ c= 0.
L’equazione pura del tipo: ax²+c= 0, genera una doppia soluzione la quale si calcola facendo
direttamente la radice quadrata del mio coefficiente di ax².
Se fosse spuria, del tipo: ax²+ bx=0, prima di tutto si raccoglie la x, dopo di che sono
generate sempre due soluzioni che sono, la prima è uguale a 0, mentre la seconda è una
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frazione con segno negativo, dove al numeratore abbiamo il coefficiente di b, mentre al
dominatore abbiamo il coefficiente di a.
Le equazioni di secondo grado sono rappresentate come delle parabole che intersecano
l’asse delle ascisse, e la forma è data dal segno del coefficiente di ax².
PARTE DI GEOMETRIA SINTETICA:
1) Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica; una figura che appartiene ad
un piano si chiama figura piana, se appartiene a più piani si chiama figura solida.
Postulati o assiomi, sono definizioni sempre vere che non posso essere dimostrate.
Teoremi sono affermazioni che devono essere dimostrate, basandosi con i postulati.
Semiretta: data una retta orientata e un suo punto O, chiamiamo semiretta l’insieme formato
da O e dai punti che lo seguono; e l’insieme formato da O e dai punti che lo precedono.
Segmento: data una retta orientata e due punti A e B, diciamo segmento AB l’insieme dei
punti compresi da A e da B.
Poligonale: si dice poligonale una figura costituita da un insieme ordinato di segmenti in cui
ciascun segmento e il successivo sono adiacenti.
Semipiano: data una retta di un piano, un semipiano è costituito dalla retta e da una delle due
regioni in cui il piano è diviso dalla retta stessa.
Angolo: è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa
origine, incluse le due semirette.
Angoli consecutivi sono quegli angoli che hanno in comune il vertice ed un lato dell’angolo;
mentre gli angoli adiacenti sono due angoli consecutivi i cui lati non comuni appartengono
alla stessa retta.
Infine glia angoli opposti hanno il vertice in comune ma i lati sono opposti al vertice.
2) Il punto medio di un segmento è quel suo punto che lo divide in due segmenti congruenti.
La costruzione con il compasso è la seguente: si traccia il segmento AB, con apertura
maggiore della metà, punto prima in A e poi in B e traccio due semicirconferenze le quali
hanno in comune due punti, con la riga traccio un segmento che passa dai due punti di
contatto delle due circonferenze e otterrò così un segmento che mi passa dal punto medio.
3) L'asse di un segmento è l'insieme dei punti del piano equidistanti dagli estremi del
segmento.
4) La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli
congruenti.
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La costruzione con riga e compasso è la seguente: dopo avere tracciato un angolo, apro il
compasso con apertura a piacere e lo punto nel vertice e traccio un arco che interseca anche
il lato b dell’angolo, poi punto il compasso con apertura a piacere nei punti che si sono creati
prima, A e B, facendo così avrò ottenuto due archi che hanno un punto in comune, con la
riga congiungo il punto ottenuto con il vertice del mio angolo e così ottenuto la sua
bisettrice.
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