1 I teoremi di Rolle e Lagrange

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I teoremi di Rolle e Lagrange
In questa sezione si discute alcuni teoremi del calcolo differenziale che risalgono
all’epoca in cui si gettava i fondamenti di tale teoria, non nel senso di fondamenti
logici rigorosi, bensı́nel senso di fatti fondamentali e caratteristici delle funzioni
studiate. In effetti, le dimostrazioni in senso rigoroso di taluni di questi fatti
arrivavono con un secolo di ritardo rispetto l’epoca in cui erano giá ben noto ai
fondatori del calcolo infinitesimale.
Elenchiamo taluni di questi fatti:
1. Il teorema del valore intermediato: se f (x) é una funzione continua sull’intervallo chiuso [a, b] e tale che f (a) < 0 ed f (b) > 0 allora esiste c con
a < c < b tale che f (c) = 0.
2. Il teorema della esistenza di massimi e minimi per funzioni continue su
intervalli chiusi e limitati: se f (x) é una funzione continua sull’intervallo
[a, b] allora esistono punti cm e cM con a ≤ cm ≤ b ed a ≤ cM ≤ b tale
che f (x) assume il suo valore minimo nel punto cm e assume il suo valore
massimo in cM .
3. Teorema di Rolle: se f (x) é continua sull’intervallo CHIUSO [a, b] ed é
differenziabile (derivabile) sull’intervallo aperto ]a, b[= {x | a < x < b}, e
se f (a) = f (b), allora esiste un punto c con a < c < b tale che f 0 (c) = 0.
4. Teorema di Lagrange: Se f (x) é continua sull’intervallo chiuso [a, b] ed
é differenziabile sull’intervallo aperto ]a, b[, allora esiste un punto c con
a < c < b tale per cui vale
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Il primo fatto é ovvio (o almeno lo era per i fondatori del calcolo infinitesimale) se si considera la definizione intuitiva di funzione continua, ossia, una
funzione di cui si puó tracciare il grafico senza togliere il gesso dalla lavagna
(o la matita dalla carta). Anche il secondo fatto sembra ovvio in questo senso
intuitivo: il grafico dovrebbe stare dentro un striscia orizzontale che sia la piú
sottile possibile, ed allora il bordo inferiore di tale striscia definisce in minimo
della funzione, e ogni punto dove il bordo inferiore della striscia incontra il grafico della funzione corrisponde ad un punto del tipo (cm , f (cm ) con cm come
nella tesi. Si nota che non é affatto detto che cm (o cM ) sia unico. Lo stesso
“ragionamento si applica pure al bordo superiore della striscia ed i punti cM in
cui f (x) assume i suoi valori massimi. Ora il teorema di Rolle é pure esso quasi
ovvio: basta scegliere un punto c interiore all’intervallo in cui f (x) assume il suo
valore massimo (o minimo). Diciamo che (c, f (c) sia un massimo con a < c < b.
Allora ogni quoziente incrementale in c calcolata per un punto x a sinistra di c
dará x − c < 0 ed f (x) − f (c) < 0 poiché per ipotesi f (c) é un massimo per il
valori di f (x), e dunque
lim−
x→c
f (x) − f (c)
≤ 0.
x−c
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Nota che tale limite esiste per l’ipotesi che f (x) sia differenziabile sull’intervallo
a < x < b. Ma per x > c si avrá x − c > 0 ed f (x) − f (c) < 0 onde
lim+
x→c
f (x) − f (c)
≥ 0.
x−c
Di nuovo il limite unilaterale da destra esiste per l’ipotese di differenziabilitá
di f . Ma visto che addirittura il limite delle quozienti incrementali esiste in c,
i due limiti unilaterali devono essere uguali, e questo é possibile solo se sono
entrambi uguali ad 0.
Per quanto riguarda il Teorema di Lagrange, a primo acchito esso sembra
ostico e poco intuitivo. Peró, quando si interpreta il suo enunciato in termini
geometrici, tutto diventa chiaro, sebbene non subito ovvio. In effetti (f (b) −
f (a))/(b − a) non é altro che il coefficiente angolare della corda che congiunge
i punti terminali (a, f (a)) ed (b, f (b)) del grafico della funzione y = f (x). In
modo simile f 0 (c) é il coefficiente angolare della tangente alla grafica di f (x) nel
punto (c, f (c)). Quindi, la tesi del Teorema di Lagrange dice che c’é sempre un
punto c tra a e b in cui la tangente alla curva in c, f (c)) risulta parallela alla
corda che congiunge i punti terminali. In questa ottica geometrica, poi, si nota
che il Teorema di Lagrange é una generalizzazione del Teorema di Rolle, ossia
che il Teorema di Rolle corrisponde al caso del Teorema di Lagrange in cui la
corda che congiunge i punti terminali del grafico di f (x) é orizzontale. In effetti
questa osservazione geometrica ci dá spunto per la dimostrazione del teorema di
Lagrange. Possiamo ridurre il Teorema di Lagrange ad un’applicazione del (giá
dimostrato) Teorema di Rolle tramite introduzione della funzione “misteriosa
f (b) − f (a)
(x − a) + f (a) .
g(x) = f (x) −
b−a
Il mistero si scioglie subito quando si nota l’interpretazione geometrica di g(x)
come la distanza (segnata) tra il grafico di f (x) e il grafico della corda che
congiunge i punti terminali del grafico di f (x). Infatti, con tale interpretazione
della funzione g(x) é ovvio che g(a) = g(b) = 0 (e chi preferisce una verifica
algebrica di questi uguaglianze puó verifcarle subito dalla definizione di g(x)).
Inoltre g(x) risulta differenziabile sull’intervallo aperto a < x < b per che f (x)
lo é per ipotesi e la funzione che descrive la corda lo é pure, essendo ottentuta
dalla funzione x da un cambio di variabile lineare. Dunque Rolle ci garantisce
un punto c in cui g 0 (c) = 0 e traducendo questo in termini di f ci procura la
tesi che si voleva dimostrare.
Dunque, abbiamo dimostrato il Teorema di Rolle, e poi con esso abbiamo
dimostrato il Teorema di Lagrange. Ma nella dimostrazione di Rolle abbiamo
usato l’esistenza di un minimo o massimo per una funzione definita su un intervallo chiuso [a, b], il che é appunto il contenuto del punto 2) del nostro elenco
di risultati fondamentali e classici. In effetti, la dimostrazione di 2) dipende
dall’assiome del limite superiore minimo, il sup di un sotto-insieme limitato e
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non-vuoto dei numeri reali, e coninvolge ragionamenti di un tipo diverso da quelli prettamente geometrici usati finora. Dimostriamo l’esistenza di un massimo,
ma prima stabiliamo un lemma che si chiama il Teorema di Bolzano–Weierstraß.
Definizione. Un numero p di un insieme di X ⊂ R si chiama un punto
di accumulazione di X se ogni intervallo aperto di R che contiene p contiene un
punto di X diverso da p.
In effetti, si dimostra facilmente, che ogni intervallo aperto che contiene un
punto di accumulazione p di X, contiene un infinitá di punti di X diversi da p.
(Basta scegliere un intorno I1 ⊂ [p − 1, p + 1] di p e sceglie un primo punto x1
con x1 6= p ed x1 ∈ X, poi scegliere un secondo intorno I2 ⊂ [p − 1/2, p + 1/2] di
p che non contiene x1 , ed un punto x2 ∈ I2 ∩ X, x2 6= p. Si continua in questo
modo, scegliendo In ⊂ [p − 1/n, p + 1/n] come un intorno di p che con contiene
nessuno dei punti x1 , . . . , xn−1 giá construiti, e pigliando xn 6= p, con xn ∈ In .
Allora per costruzione la successione {xn } converge a p. Inoltre ogni intorno
di p contiene un intervallo del tipo [p − , p + ] per qualche > 0, e dunque
contiene tutti gli xn tale che 1/n < , il che é chiaramente un insieme infinito.
Teorema 1 (Teorema di Bolzano–Weierstraß). Sia I = [a, b] un intervallo
chiuso di R, e sia S un suo sottoinsieme infinito. Allora S possiede un punto
di accumulazione in I.
Dimostrazione.
Poiché S é infinito, si ha che o [a, (a + b)/2] contiene un numero infinito di punti si S oppure [(a + b)/2, b] contiene un numero
infinito di punti di S. Sia a1 il punto terminale a sinistra del intervallo I1 che
contiene un numero infinito di punti di S e sia b1 il suo punto terminale a destra. (Se entrambi dei mezzo-intervalli contengono un numero infinito di punti,
si sceglie, per concretezza, quello a sinistra.) Si ripete il ragionamente appena
detto con l’intervallo I1 = [a1 , b1 ] per ottenere un nuovo intervallo I2 = [a2 , b2 ]
di lunghezza (b − a)/4 che contiene un numero infinito di punti di S, e si va
avanti cosı́, ottenendo una successione di intervalli “annidati {In = [an , bn ]} con
(bn − an ) = (b − a)/2n . Chiaramene ogni an < b ed ogni bn > a. Inoltre si ha
che
a ≤ a1 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · < b
e
b ≥ b1 ≥ . . . bn ≥ · · · a.
Dunque, per l’assiome del limite superiore, esiste il supn {an }. Poniamo c =
supn {an }. Allora, per ogni n si ha b ≥ c ≥ an . Un ragionamente analogo con i
bn e inf n {bn } mostra che
a ≤ inf {bn } ≤ bn ≤ bn−1 ≤ · · · ≤ b1 ≤ b
n
per ogni n, e si vede senza difficoltá (Esercizio!) che c = supn {an } = inf n {bn }
Inoltre, c é un punto di accumulazione di S. Infatti, sia J un qualsiasi intorno
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di c. Io sostengo che J ∩ [a, b] ⊃ [an , bn ] per n sufficientemente elevato. Infatti,
in quanto J é intorno di c, si sa che esiste > 0 tale che ]c − , c + [⊂ J, ma per
n tale che (b − a)/2n < /4, si ha che In ⊂ [c − , c + ] ⊂ J. Ma per costruzione
In = [an , bn ] contiene un infinitá di punti di S, e dunque, a maqggior ragione,
anche J ne contiene un infinitá, come si voleva dimostrare.
É interessante che le dimostrazioni dei fatti 1) e 2), che, a priori sembrano
piú ovvie dei Teoremi di Rolle e di Lagrange, richiedono ragionamenti meno
semplici, ed addirittura piuttosto delicati, almeno se uno vuol qualcosa in piú
che un dichiarazione della loro ovvietá. Per stabilire il Teorema del Valore
Intermediato, dimostriamo un lemma, anche esso degno di un nome: il Lemma
del Permanenza del Segno.
Lemma 1 (Permanenza del Segno). Si f (x) continua nel punto x0 e sia f (x0 ) >
0. Allora f (x) > 0 per ogni x sufficientemente vicino ad x0 . Piú precisamente,
esiste δ > 0 tale che f (x) > 0 qualora |x − x0 | < δ.
Dimostrazione.
Basta prendere = f (x0 )/2 nella definizione di
limite: Per tale esiste un δ > 0 tale che |f (x) − f (x0 )| < = f (x0 )/2 qualora
|x − x0 | < δ. Ma questo vuole dire esattamente che
3f (x0 )
f (x0 )
< f (x) <
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per tali x, e questo stabilisce la tesi poiché per ipotesi f (x0 ) > 0.
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