Prova scritta di Elettricità e Magnetismo ed Elettromagnetismo A.A. 2005/2006
12 Dicembre 2006
(Proff. F. Lacava, C. Mariani, F. Ricci, D. Trevese)
Modalità
- Prova scritta di Elettricità e Magnetismo: Esercizi 1 e 2
- Prova scritta di Elettromagnetismo: Esercizi 3 e 4
(3 ore)
(3 ore)
- Prova scritta di Elettricità e Magnetismo e di Elettromagnetismo: Esercizi 1, 3 e 4
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(4 ore)
Esercizio 1
Due fili rettilinei indefiniti uniformemente carichi con densità lineare di carica +λ e −λ rispettivamente (λ = 2 · 10−8 C/cm)
sono diretti in direzioni perpendicolari e sono tra loro distanti d = 2 cm. Si scelga l’origine degli assi cartesiani sul filo
carico positivamente, l’asse z lungo quest’ultimo, l’asse y parallelo al filo carico negativamente e l’asse x passante per i due
fili.
Determinare:
a) l’espressione del campo elettrico E, specificandone la direzione e discutendone il verso in funzione di x;
b) l’energia che bisogna spendere per far orientare parallelamente all’asse y un piccolo dipolo di momento p = 6 · 10−10 Cm
posto sull’asse x a distanza xo = 5d, inizialmente orientato lungo l’asse x nel verso positivo (si veda figura);
c) l’espressione del campo elettrico E (specificandone le componenti cartesiane) sul piano z = 0.
y
y
−λ
−λ
d
+λ
d
p
x
+λ
z
p
x
z
Esercizio 2
Si consideri un circuito elettrico C costituito da due semicirconferenze di materiale conduttore, di raggio R = 4.4 m, con
centro nell’origine degli assi, unite tra loro agli estremi e giacenti su due piani ortogonali, rispettivamente yz e xz. Nel
circuito viene fatta circolare una corrente costante I = 2.0 A con verso come in figura.
a) Calcolare il vettore di induzione magnetica B (in modulo, direzione e verso) nell’origine delle coordiante.
Una piccola spira circolare S di raggio a = 0.64 cm, percorsa da corrente costante i = 0.15 A (con verso come in figura)
viene posta nell’origine degli assi con il vettore normale diretto lungo l’asse x. Calcolare:
b) il momento magnetico della piccola spira S;
c) il momento meccanico a cui è sottoposta la spira S (nell’approssimazione in cui il campo di induzione magnetica generato
dal circuito C venga considerato costante su tutta l’area della spira S).
y
C
I
i S
R
x
I
z
Esercizio 3
Un solenoide di N = 500 spire percorse da corrente i è avvolto su una sbarra di ferro di sezione S = 10 cm2 e lunghezza
l = 40 cm. Sapendo che la circuitazione del vettore B lungo la linea C indicata in figura vale C(B) = 3.0 · 10−3 T m e che il
valore della corrente amperiana sulla superficie della sbarra di ferro vale ia = 2.0 · 103 A, si determini (nell’approssimazione
di solenoide indefinito):
a) il valore della corrente i che circola nelle spire del solenoide;
b) la suscettività magnetica χm del ferro;
c) l’energia magnetica Um contenuta nel solenoide.
C
i
S
l
Esercizio 4
Una spira conduttrice quadrata di lato l = 10 cm, massa m = 2 g e resistenza R = 0.5 Ω si muove con velocità iniziale
vo = 2 m/s perpendicolare ad un suo lato in una regione di spazio in cui è presente un campo di induzione magnetica
uniforme e costante B1 = 0.1 T, diretto perpendicolarmente al piano della spira. All’istante to = 0 la spira entra in una
regione in cui è presente un campo di induzione magnetica (uniforme, costante e con direzione e verso come il primo)
B2 = 0.8 T. Denotando con x il tratto di spira interno alla regione con campo B2 e trascurando gli effetti di autoinduzione,
determinare:
a) l’equazione del moto della spira nel passaggio tra le due regioni;
b) il valore della velocità v1 nell’istante in cui la spira è totalmente entrata nella regione con campo B2 ;
c) l’energia totale U dissipata per effetto Joule dalla spira durante il passaggio tra le due regioni.
B1
B2
l
x
l
v
Soluzione Esercizio 1
Il campo elettrico generato da un filo indefinito è E = λ/(2πo r)n, dove r è la distanza dal filo e n il vettore normale diretto
radialmente al filo nel verso uscente.
a) Sull’asse x i campi elettrici E(+) e E(−) generati rispettivamente dai fili positivo e negativo sono entrambi diretti lungo
l’asse x, pertanto il campo totale è dato dalla somma dei due e tenendo conto della posizione relativa dei fili si ha
λ
1
1
E(x) =
−
x̂ .
2πo x x + d
Il verso è positivo per x > 0 e x < −d, negativo per −d < x < 0.
b) L’energia del dipolo quando è allineato lungo x è Uo = −p · E(xo ) = −pE(xo ), mentre quando è orientato lungo y è
nulla, poichè p ed E sono perpendicolari. Pertanto l’energia necessaria a ruotare il dipolo è
1
1
pλ
pλ
−
=
' 3.6 · 10−5 J .
U = −Uo =
2πo xo
xo + d
60πo d
c) Nel piano xy il campo del filo positivo ha componenti cartesiane
Ex(+)
=
Ey(+)
=
Ez(+)
=
λx
2πo (x2 + y 2 )
λy
2πo (x2 + y 2 )
0
Il campo del filo negativo ha invece solo componente lungo x
Ex(−)
= −
Ey(−)
=
0
Ez(−)
=
0
λ
2πo (x + d)
Il campo risultante E = E(+) + E(−) è pertanto
Ex
=
Ey
=
Ez
=
λ
2πo
1
x
−
x2 + y 2
x+d
λy
2πo (x2 + y 2 )
0
Soluzione Esercizio 2
a) Utilizzando la prima legge di Laplace, integrando sul circuito C e considerando separatamente i contributi delle due
semicirconferenze, si ottiene B = B1 + B2 , con
B1
=
B2
=
µo I
x̂
4R
µo I
ŷ
4R
Pertanto il campo B nell’origine degli assi risulta diretto lungo la bisettrice del piano xy, con modulo
B=
p
µo I
|B1 |2 + |B2 |2 = √
' 2.0 · 10−7 T .
2 2R
b) Il momento magnetico m della piccola spira S è diretto lungo x nel verso positivo m = mx̂ e il suo modulo vale
m = iS = iπa2 ' 1.9 · 10−5 Am2 .
c) Il momento meccanico agente sulla piccola spira S è diretto lungo z, M = m × B = Mẑ ed in modulo vale
M = mB sin
µo πa2 Ii
π
=
' 2.7 · 10−12 Nm .
4
4R
Soluzione Esercizio 3
a) Poichè la circuitazione di B lungo la curva C è proporzionale alla somma delle correnti totali (macroscopiche più
amperiane) C(B) = Bl = µo (N i + ia ), si ottiene
1 C
i=
− ia ' 0.77 A .
N µo
b) Dalla relazione M = χm H e dalle espressioni che legano le correnti amperiane superficiali alla magnetizzazione M l = ia
e le correnti macrosopiche al campo magnetico Hl = N i, si ottiene
χm =
ia
' 5.2 .
Ni
c) L’energia magnetica è
Um =
1
1
S
µo (1 + χm )H 2 Sl = µo (1 + χm )N 2 i2 ' 1.4 · 10−3 J .
2
2
l
Soluzione Esercizio 4
a) Durante il passaggio tra le due regioni il flusso del campo magentico attraverso la spira è φ(B) = l2 B1 + lx(B2 − B1 ) e
quindi, usando la legge di Faraday-Neumann, la corrente che circola nella spira è
1 dφ(B)
l(B2 − B1 )v
=
,
R dt
R
i=
circolante in senso orario (legge di Lenz). Usando la seconda legge di Laplace si ottiene la forza magnetica totale agente
sulla spira
F =
l2 (B2 − B1 )2 v
,
R
diretta come v ed in verso opposto (attrito elettromagnetico). L’equazione del moto della spira è pertanto:
m
d2 x
l2 (B2 − B1 )2 dx
=
−
,
dt2
R
dt
o anche, scritta per v
m
l2 (B2 − B1 )2
dv
=−
v.
dt
R
b) Risolvendo l’equazione del moto per v si ottiene la soluzione
v(t) = vo e−t/τ ,
dove
τ=
mR
.
l2 (B2 − B1 )2
Integrando tra to e t si ha l’andamento temporale di x
h
i
x(t) = vo τ 1 − e−t/τ = τ [vo − v(t)] .
Imponendo la condizione x(t1 ) = l si trova il valore v1 = v(t1 ) richiesto
v1 = vo −
l
l3 (B2 − B1 )2
= vo −
' 1.5 m/s .
τ
mR
c) L’energia U dissipata per effetto Joule è
Z
U=
t1
dt Ri2 ,
0
dove la dipendenza temporale di i si ottiene utilizzando le espressioni ricavate ai punti precedenti
i(t) =
l(B2 − B1 )
l(B2 − B1 )vo −t/τ
v(t) =
e
.
R
R
Si può ottenere il valore cercato anche da considerazioni energetiche: l’energia dissipata deve essere uguale alla variazione
di energia cinetica della spira
U=
mv12
mv02
−
' 1.7 · 10−3 J .
2
2
