Le Geometrie non euclidee

Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Le Geometrie non euclidee
Un’introduzione elementare
Riccardo Dossena
Liceo Scientifico G. Novello - Codogno
16 dicembre 2008
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Euclide di Alessandria
Euclide (circa 300 a.C.)
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Euclide di Alessandria
1
Euclide (circa 300 a.C.)
Epoca: intorno al 300 a.C. – Epoca
“ellenistica” (323 a.C.–31 a.C.) –
Periodo “aureo” del pensiero
matematico greco (Euclide,
Archimede, Apollonio)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Euclide di Alessandria
Euclide (circa 300 a.C.)
1
Epoca: intorno al 300 a.C. – Epoca
“ellenistica” (323 a.C.–31 a.C.) –
Periodo “aureo” del pensiero
matematico greco (Euclide,
Archimede, Apollonio)
2
Le poche notizie ci sono pervenute
da Proclo (V sec. d.C.) nel suo
Commento al primo libro degli
Elementi di Euclide
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Euclide di Alessandria
Euclide (circa 300 a.C.)
1
Epoca: intorno al 300 a.C. – Epoca
“ellenistica” (323 a.C.–31 a.C.) –
Periodo “aureo” del pensiero
matematico greco (Euclide,
Archimede, Apollonio)
2
Le poche notizie ci sono pervenute
da Proclo (V sec. d.C.) nel suo
Commento al primo libro degli
Elementi di Euclide
3
Visse al tempo di Tolomeo I,
fondatore del Museo (letteratura,
matematica, astronomia, medicina)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Libri I-IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei
cerchi;
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Libri I-IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei
cerchi;
Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia
commensurabili che incommensurabili);
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Libri I-IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei
cerchi;
Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia
commensurabili che incommensurabili);
Libro VI: le figure simili;
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Libri I-IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei
cerchi;
Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia
commensurabili che incommensurabili);
Libro VI: le figure simili;
Libri VII-VIII-IX: libri aritmetici – teoria dei numeri (numeri
primi, perfetti, divisioni successive);
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Libri I-IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei
cerchi;
Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia
commensurabili che incommensurabili);
Libro VI: le figure simili;
Libri VII-VIII-IX: libri aritmetici – teoria dei numeri (numeri
primi, perfetti, divisioni successive);
Libro X: la classificazione degli incommensurabili;
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi: la struttura
13 Libri
Primi 10: Geometria piana – Ultimi 3: Geometria solida
Libri I-IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei
cerchi;
Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia
commensurabili che incommensurabili);
Libro VI: le figure simili;
Libri VII-VIII-IX: libri aritmetici – teoria dei numeri (numeri
primi, perfetti, divisioni successive);
Libro X: la classificazione degli incommensurabili;
Libri XI-XII-XIII: la geometria solida e il metodo di esaustione.
Gli Elementi
V postulato
Il Primo Libro
Termini (23)
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Il Primo Libro
Termini (23)
Punto è ciò che non ha parti.
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Il Primo Libro
Termini (23)
Punto è ciò che non ha parti.
Linea è lunghezza senza larghezza.
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Termini (23)
Punto è ciò che non ha parti.
Linea è lunghezza senza larghezza.
Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi
punti.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Termini (23)
Punto è ciò che non ha parti.
Linea è lunghezza senza larghezza.
Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi
punti.
Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un
piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Termini (23)
Punto è ciò che non ha parti.
Linea è lunghezza senza larghezza.
Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi
punti.
Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un
piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta.
Quando una retta innalzata su un’altra retta forma gli angoli
adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto,
e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è
innalzata.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Termini (23)
Punto è ciò che non ha parti.
Linea è lunghezza senza larghezza.
Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi
punti.
Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un
piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta.
Quando una retta innalzata su un’altra retta forma gli angoli
adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto,
e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è
innalzata.
Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e
venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte,
non s’incontrano fra loro da nessuna delle due parti.
Gli Elementi
V postulato
Il Primo Libro
Postulati
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Postulati
Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Postulati
Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto.
E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare
continuamente in linea retta.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Postulati
Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto.
E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare
continuamente in linea retta.
E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni
distanza (= raggio).
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Postulati
Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto.
E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare
continuamente in linea retta.
E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni
distanza (= raggio).
E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Il Primo Libro
Il quinto postulato
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Il quinto postulato
E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli
angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due
rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da
quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Il quinto postulato
E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli
angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due
rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da
quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.
Ipotesi: α + β < 2 retti
Tesi: r e s si incontrano
β
t
r
α
P
s
Gli Elementi
V postulato
Il Primo Libro
Nozioni comuni
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Nozioni comuni
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Nozioni comuni
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità
sono uguali.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Nozioni comuni
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità
sono uguali.
E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono
uguali.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Nozioni comuni
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità
sono uguali.
E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono
uguali.
E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Primo Libro
Nozioni comuni
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità
sono uguali.
E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono
uguali.
E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.
Ed il tutto è maggiore della parte.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Teorema di Pitagora: culmine del primo libro
Proposizione 47 (Teorema di Pitagora)
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto
è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo
retto.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il Teorema di Pitagora: culmine del primo libro
Proposizione 47 (Teorema di Pitagora)
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto
è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo
retto.
Proposizione 48 (Inverso del Teorema di Pitagora)
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma
dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è
compreso fra i rimanenti lati del triangolo è retto.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
B1
B
A1
A
C
A2
C2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
B
A1
A
C
A2
C2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
A
A2
P
P2
C
C2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
i due triangoli sono congruenti
A
A2
P
P2
C
C2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
i due triangoli sono congruenti
A
A2
P
P2
C
C2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
A
A2
P
P2
C
C2
i due triangoli sono congruenti
1
area di AA1 C = AA1 · AB
2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
A
A2
P
P2
C
C2
i due triangoli sono congruenti
1
area di AA1 C = AA1 · AB
2
1
area di ABA2 = AA2 · AP
2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
A
A2
P
P2
C
C2
i due triangoli sono congruenti
1
area di AA1 C = AA1 · AB
2
1
area di ABA2 = AA2 · AP
2
dunque AA2 · AP = AA1 · AB
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
A
A2
P
P2
C
C2
i due triangoli sono congruenti
1
area di AA1 C = AA1 · AB
2
1
area di ABA2 = AA2 · AP
2
dunque AA2 · AP = AA1 · AB
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 47
Sia ABC rettangolo in B
costruiamo i quadrati sui lati
B1
consideriamo la parallela ad
AA2 per B e i triangoli AA1 C
e ABA2
B
A1
A
A2
P
P2
C
C2
i due triangoli sono congruenti
1
area di AA1 C = AA1 · AB
2
1
area di ABA2 = AA2 · AP
2
dunque AA2 · AP = AA1 · AB
analogamente per il quadrato
su BC
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Dimostrazione della proposizione 48
B
C
D
A
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Dimostrazione della proposizione 48
B
C
D
A
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Dimostrazione della proposizione 48
B
C
D
C0
A
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
riportiamo AC 0 = AC
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 48
B
ABC 0 è rettangolo, dunque
per il teorema di Pitagora
BC 02 = AB 2 + AC 02
C
D
C0
A
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
riportiamo AC 0 = AC
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 48
B
ABC 0 è rettangolo, dunque
per il teorema di Pitagora
BC 02 = AB 2 + AC 02
C
D
C0
A
ma anche
BC 02 = AB 2 + AC 2
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
riportiamo AC 0 = AC
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 48
B
ABC 0 è rettangolo, dunque
per il teorema di Pitagora
BC 02 = AB 2 + AC 02
C
D
C0
A
ma anche
BC 02 = AB 2 + AC 2
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
riportiamo AC 0 = AC
da cui BC 0 = BC
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 48
B
ABC 0 è rettangolo, dunque
per il teorema di Pitagora
BC 02 = AB 2 + AC 02
C
D
C0
A
ma anche
BC 02 = AB 2 + AC 2
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
riportiamo AC 0 = AC
da cui BC 0 = BC
allora ABC = ABC 0 per il 3◦
criterio di congruenza
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Dimostrazione della proposizione 48
B
ABC 0 è rettangolo, dunque
per il teorema di Pitagora
BC 02 = AB 2 + AC 02
C
D
C0
A
ma anche
BC 02 = AB 2 + AC 2
Sia ABC tale che
BC 2 = AB 2 + AC 2
sia AD la perpendicolare ad
AB in A
riportiamo AC 0 = AC
da cui BC 0 = BC
allora ABC = ABC 0 per il 3◦
criterio di congruenza
[0
[ = BAC
in particolare BAC
entrambi retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29
proposizioni 1–28
+
proposizione 31
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29
proposizioni 1–28
+
proposizione 31
=⇒
GEOMETRIA
ASSOLUTA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29
proposizioni 1–28
+
proposizione 31
proposizioni 1–28
+
V postulato
+
proposizioni 29–48
=⇒
GEOMETRIA
ASSOLUTA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29
proposizioni 1–28
+
proposizione 31
=⇒
GEOMETRIA
ASSOLUTA
proposizioni 1–28
+
V postulato
+
proposizioni 29–48
=⇒
GEOMETRIA
EUCLIDEA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29
proposizioni 1–28
+
proposizione 31
=⇒
GEOMETRIA
ASSOLUTA
proposizioni 1–28
+
V postulato
+
proposizioni 29–48
=⇒
GEOMETRIA
EUCLIDEA
Domanda. . .
Perché Euclide ha esitato così tanto a usare il V postulato?
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti
β
t
r
α
s
P1
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti
β
t
r
Il punto P si allontana
sempre più. . .
α
s
P1
P2
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti
β
t
r
Il punto P si allontana
sempre più. . .
α
s
P1
P2
P3
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti
P4 → ?
β
t
r
α
s
P1
P2
P3
. . . finché non è più
osservabile!
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il problema dell’evidenza del quinto postulato
Concezione classica
I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro
evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi
viene edificata.
Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti
P4 → ?
β
t
r
α
s
P1
P2
P3
. . . finché non è più
osservabile!
Non possiamo
“controllare” che la
retta r non interseca
più s quando
α + β = 2 retti.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 17 (Inverso del V postulato)
In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore
di due retti.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 17 (Inverso del V postulato)
In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore
di due retti.
Ipotesi: r e s si incontrano
Tesi: α + β < 2 retti
β
t
r
α
P
s
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizioni 27 e 28
Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli
coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o
angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizioni 27 e 28
Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli
coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o
angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
β + γ = 2 retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizioni 27 e 28
Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli
coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o
angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
β + γ = 2 retti
oppure
α=γ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizioni 27 e 28
Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli
coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o
angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
β + γ = 2 retti
oppure
α=γ
oppure
ε=γ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizioni 27 e 28
Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli
coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o
angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
β + γ = 2 retti
oppure
α=γ
oppure
ε=γ
Tesi:
r e s non si incontrano
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 31 (Esistenza della parallela)
Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 31 (Esistenza della parallela)
Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.
r
P
α
s
α
Q
Dati s e il punto P
esterno ad essa
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 31 (Esistenza della parallela)
Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.
r
P
α
s
α
Q
Dati s e il punto P
esterno ad essa
consideriamo su s un qualsiasi
punto Q
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 31 (Esistenza della parallela)
Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.
P
r
α
consideriamo su s un qualsiasi
punto Q
uniamo P e Q e consideriamo
l’angolo α
s
α
Q
Dati s e il punto P
esterno ad essa
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 31 (Esistenza della parallela)
Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.
r
P
α
consideriamo su s un qualsiasi
punto Q
uniamo P e Q e consideriamo
l’angolo α
s
α
Q
Dati s e il punto P
esterno ad essa
costruiamo su PQ con vertice P
un angolo uguale ad α (prop. 23)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni di geometria assoluta
Proposizione 31 (Esistenza della parallela)
Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.
r
P
α
consideriamo su s un qualsiasi
punto Q
uniamo P e Q e consideriamo
l’angolo α
s
α
Q
Dati s e il punto P
esterno ad essa
costruiamo su PQ con vertice P
un angolo uguale ad α (prop. 23)
r e s formano con PQ angoli
alterni interni uguali, dunque
sono parallele (prop. 27)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
r e s non si incontrano
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
r e s non si incontrano
Tesi:
β + γ = 2 retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
r e s non si incontrano
Tesi:
β + γ = 2 retti
e
α=γ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
s
γ
β
Ipotesi:
r e s non si incontrano
Tesi:
β + γ = 2 retti
e
α=γ
e
ε=γ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
s
δ
γ
β
Se fosse β + γ < 2 retti,
r e s si incontrerebbero
per il V postulato
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
s
δ
γ
β
Se fosse β + γ > 2 retti,
si avrebbe α + δ < 2 retti
quindi, sempre per il V
postulato, r e s si
incontrerebbero
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28)
Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli
coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli
corrispondenti uguali.
t
ε
r
α
β
Dunque β + γ = 2 retti
s
δ
γ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
C
E
Consideriamo il triangolo
ABC
γ
α
A
γ
β
B
α
D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
C
E
Consideriamo il triangolo
ABC
γ
prolunghiamo il lato AB
α
A
γ
β
B
α
D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
E
C
Consideriamo il triangolo
ABC
γ
prolunghiamo il lato AB
α
A
γ
β
B
tracciamo per B la
parallela BE al lato AC
(prop. 31)
α
D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
E
C
gli angoli corrispondenti
α sono uguali (prop. 29)
γ
α
A
γ
β
B
α
D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
C
E
gli angoli corrispondenti
α sono uguali (prop. 29)
γ
gli angoli alterni interni γ
sono uguali (prop. 29)
α
A
γ
β
B
α
D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato
Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo)
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è
uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei
tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.
C
E
gli angoli corrispondenti
α sono uguali (prop. 29)
γ
α
A
γ
β
B
α
D
gli angoli alterni interni γ
sono uguali (prop. 29)
[ è
l’angolo esterno CBD
uguale ad α + γ e
α + β + γ = 2 retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Unicità della parallela
Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più
una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Unicità della parallela
Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più
una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
P
s
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Unicità della parallela
Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più
una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
r
s
P
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Unicità della parallela
Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più
una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
r
P
s
L’esistenza della parallela è sancita dalla proposizione 31 della
geometria assoluta
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Unicità della parallela
Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più
una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
r
P
s
L’esistenza della parallela è sancita dalla proposizione 31 della
geometria assoluta
L’unicità è equivalente al V postulato
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Somma degli angoli di un poligono
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 retti, di
un quadrilatero è uguale a 4 retti, di un pentagono è uguale a 6
retti, ecc. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Somma degli angoli di un poligono
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 retti, di
un quadrilatero è uguale a 4 retti, di un pentagono è uguale a 6
retti, ecc. . .
Esistenza di triangoli simili non uguali
Dato un triangolo qualsiasi se ne può costruire un altro ad esso
simile (cioè con gli stessi angoli) di lato assegnato.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Somma degli angoli di un poligono
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 retti, di
un quadrilatero è uguale a 4 retti, di un pentagono è uguale a 6
retti, ecc. . .
Esistenza di triangoli simili non uguali
Dato un triangolo qualsiasi se ne può costruire un altro ad esso
simile (cioè con gli stessi angoli) di lato assegnato.
Teorema di Pitagora
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto
è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo
retto.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Proposizioni equivalenti al V postulato
Altre proposizioni
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Altre proposizioni
Il luogo dei punti equidistanti da
una retta è una retta
⇐⇒
V postulato
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Altre proposizioni
Il luogo dei punti equidistanti da
una retta è una retta
⇐⇒
V postulato
Esiste un quadrilatero con somma
degli angoli interni uguale a 4
retti
⇐⇒
V postulato
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proposizioni equivalenti al V postulato
Altre proposizioni
Il luogo dei punti equidistanti da
una retta è una retta
⇐⇒
V postulato
Esiste un quadrilatero con somma
degli angoli interni uguale a 4
retti
⇐⇒
V postulato
In particolare l’esistenza di un rettangolo è equivalente al
V postulato.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
Consideriamo una base AB
D
C
A
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
Consideriamo una base AB
D
C
A
B
tracciamo due segmenti uguali
AD e BC perpendicolari ad AB
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
Consideriamo una base AB
D
C
A
B
tracciamo due segmenti uguali
AD e BC perpendicolari ad AB
uniamo C con D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
Consideriamo una base AB
D
C
A
B
tracciamo due segmenti uguali
AD e BC perpendicolari ad AB
uniamo C con D
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
Consideriamo una base AB
D
C
A
B
tracciamo due segmenti uguali
AD e BC perpendicolari ad AB
uniamo C con D
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
I triangoli DAB e CBA sono
uguali per il 1◦ criterio, per cui
DB = AC
D
C
A
B
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
I triangoli DAB e CBA sono
uguali per il 1◦ criterio, per cui
DB = AC
per il 3◦ criterio sono uguali
ADC e BDC , dunque sono
uguali gli angoli in C e in D del
quadrilatero
D
C
A
B
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
I triangoli DAB e CBA sono
uguali per il 1◦ criterio, per cui
DB = AC
per il 3◦ criterio sono uguali
ADC e BDC , dunque sono
uguali gli angoli in C e in D del
quadrilatero
D
C
A
B
ma per concludere che sono
retti ci serve il V postulato!
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
b eD
b sono retti
C
D
C
A
B
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
b eD
b sono retti
C
D
C
A
B
m
la somma degli angoli interni del
quadrilatero è uguale a 4 retti
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il quadrilatero birettangolo isoscele
b eD
b sono retti
C
D
C
A
B
m
la somma degli angoli interni del
quadrilatero è uguale a 4 retti
m
V postulato
Domanda. . .
Che tipo di quadrilatero si ottiene?
Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Nell’opera “Euclides ab omni naevo vindicatus” (1733) il padre
gesuita Gerolamo Saccheri tenta di dimostrare il V postulato
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Nell’opera “Euclides ab omni naevo vindicatus” (1733) il padre
gesuita Gerolamo Saccheri tenta di dimostrare il V postulato
La strategia è quella di dimostrare che in un quadrilatero
birettangolo isoscele gli angoli in C e in D non possono essere altro
che retti (ricordiamo che devono essere uguali)
D
C
A
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Nell’opera “Euclides ab omni naevo vindicatus” (1733) il padre
gesuita Gerolamo Saccheri tenta di dimostrare il V postulato
La strategia è quella di dimostrare che in un quadrilatero
birettangolo isoscele gli angoli in C e in D non possono essere altro
che retti (ricordiamo che devono essere uguali)
D
C
A tal fine tenta di provare che
l’ipotesi che siano ottusi o acuti
porta a contraddizioni
A
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Ipotesi dell’angolo retto
D
C
A
B
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Ipotesi dell’angolo retto
D
C
=⇒
A
B
Geometria
EUCLIDEA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Ipotesi dell’angolo retto
D
C
=⇒
A
B
Ipotesi dell’angolo ottuso
D
A
C
B
Geometria
EUCLIDEA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Ipotesi dell’angolo retto
D
A
C
=⇒
Geometria
EUCLIDEA
=⇒
Contraddizione!
B
Ipotesi dell’angolo ottuso
D
A
C
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’opera di Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Ipotesi dell’angolo retto
D
A
C
=⇒
Geometria
EUCLIDEA
=⇒
“L’ipotesi dell’angolo
ottuso è
completamente falsa,
perché distrugge se
stessa”
B
Ipotesi dell’angolo ottuso
D
A
C
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Saccheri si appresta ora a “distruggere” l’ipotesi dell’angolo acuto
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Saccheri si appresta ora a “distruggere” l’ipotesi dell’angolo acuto
A tal fine dimostra molte proprietà delle rette che valgono sotto
tale ipotesi, con l’obiettivo di trovarvi una contraddizione
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Saccheri si appresta ora a “distruggere” l’ipotesi dell’angolo acuto
A tal fine dimostra molte proprietà delle rette che valgono sotto
tale ipotesi, con l’obiettivo di trovarvi una contraddizione
Ipotesi dell’angolo acuto
C
D
A
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Saccheri si appresta ora a “distruggere” l’ipotesi dell’angolo acuto
A tal fine dimostra molte proprietà delle rette che valgono sotto
tale ipotesi, con l’obiettivo di trovarvi una contraddizione
Ipotesi dell’angolo acuto
C
D
=⇒
A
B
Geometria
IPERBOLICA
(non euclidea)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Sotto l’ipotesi dell’angolo acuto. . .
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Sotto l’ipotesi dell’angolo acuto. . .
non vale il V postulato
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Sotto l’ipotesi dell’angolo acuto. . .
non vale il V postulato
non vale l’unicità della parallela
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Sotto l’ipotesi dell’angolo acuto. . .
non vale il V postulato
non vale l’unicità della parallela
dati una retta r e un punto P esterno ad essa esistono almeno
due rette per P che non intersecano r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Sotto l’ipotesi dell’angolo acuto. . .
non vale il V postulato
non vale l’unicità della parallela
dati una retta r e un punto P esterno ad essa esistono almeno
due rette per P che non intersecano r
quindi esistono infinite rette per P che non intersecano r
(almeno quelle comprese fra queste due)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette
secanti e rette non secanti
m
P
n
r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette
secanti e rette non secanti
m
P
rette secanti
n
r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette
secanti e rette non secanti
m
P
rette secanti
n
r
rette non secanti
(iperparallele)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette
secanti e rette non secanti
m
P
rette secanti
n
r
rette non secanti
(iperparallele)
rette non secanti che
separano le rette
secanti da quelle non
secanti (parallele)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette
secanti e rette non secanti
m
P
rette secanti
n
r
rette non secanti
(iperparallele)
rette non secanti che
separano le rette
secanti da quelle non
secanti (parallele)
Esistono esattamente due rette m e n parallele a r nei suoi due versi
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
h
nel verso di parallelismo le
rette parallele si avvicinano
sempre più senza mai
incontrarsi (hanno cioè un
comportamento asintotico)
s
H
r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
h
nel verso opposto a quello di
parallelismo le rette divergono
indefinitamente e non tutte le
perpendicolari a una di esse
incontra anche l’altra
s
H
r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
h
nel verso opposto a quello di
parallelismo le rette divergono
indefinitamente e non tutte le
perpendicolari a una di esse
incontra anche l’altra
s
H
r
Questo induce Saccheri a dire che. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
h
nel verso opposto a quello di
parallelismo le rette divergono
indefinitamente e non tutte le
perpendicolari a una di esse
incontra anche l’altra
s
H
r
Questo induce Saccheri a dire che. . .
“L’ipotesi dell’angolo acuto è assolutamente falsa, perché ripugna
alla natura della linea retta”
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
h
nel verso opposto a quello di
parallelismo le rette divergono
indefinitamente e non tutte le
perpendicolari a una di esse
incontra anche l’altra
s
H
r
Ma non c’è contraddizione!
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
L’ipotesi dell’angolo acuto
Si dimostra che. . .
Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva
h
nel verso opposto a quello di
parallelismo le rette divergono
indefinitamente e non tutte le
perpendicolari a una di esse
incontra anche l’altra
s
H
r
Saccheri, inconsapevolmente, ha dimostrato molte proprietà della
GEOMETRIA IPERBOLICA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
I fondatori della geometria iperbolica
János Bolyai
(1802–1860)
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij
(1792–1856)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
La geometria iperbolica
GEOMETRIA
IPERBOLICA
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria iperbolica
GEOMETRIA
IPERBOLICA
⇓
è la geometria non euclidea per eccellenza, perché si ottiene da
quella euclidea sostituendo il V postulato con la sua negazione
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria iperbolica
GEOMETRIA
IPERBOLICA
⇓
è la geometria non euclidea per eccellenza, perché si ottiene da
quella euclidea sostituendo il V postulato con la sua negazione
Assioma di Lobačevskij
Dati in un piano una retta e un punto esterno ad essa, per il punto
passano almeno due rette che non incontrano la retta data.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
I modelli della geometria iperbolica
Concezione moderna
Gli assiomi non sono né veri né falsi, ma sono suscettibili di
molteplici interpretazioni.
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
I modelli della geometria iperbolica
Concezione moderna
Gli assiomi non sono né veri né falsi, ma sono suscettibili di
molteplici interpretazioni.
Ogni sistema assiomatico è caratterizzato da un certo linguaggio e
da un insieme di assiomi specifici che stabiliscono relazioni e
proprietà di alcuni concetti assunti come primitivi, ossia senza
definizione.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
I modelli della geometria iperbolica
Concezione moderna
Gli assiomi non sono né veri né falsi, ma sono suscettibili di
molteplici interpretazioni.
Ogni sistema assiomatico è caratterizzato da un certo linguaggio e
da un insieme di assiomi specifici che stabiliscono relazioni e
proprietà di alcuni concetti assunti come primitivi, ossia senza
definizione.
Lo stesso sistema, detto ipotetico–deduttivo, stabilendo una rete di
rapporti tra concetti non definiti, è suscettibile di svariate
interpretazioni, ossia ha molteplici modelli.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ
Σ è una circonferenza
euclidea
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
P
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
una retta iperbolica è
una corda di Σ
(estremi esclusi)
r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
una retta iperbolica è
una corda di Σ
(estremi esclusi)
m
n
r
m e n sono le due
parallele a r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
una retta iperbolica è
una corda di Σ
(estremi esclusi)
m
n
r
b
a
m e n sono le due
parallele a r
a e b sono rette
secanti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
una retta iperbolica è
una corda di Σ
(estremi esclusi)
s
t
m
n
r
b
a
m e n sono le due
parallele a r
a e b sono rette
secanti
s e t sono rette
iperparallele
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
con questa
interpretazione tutti
gli assiomi della
geometria iperbolica
sono veri nel modello
Σ
P
s
t
m
n
r
b
a
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
con questa
interpretazione tutti
gli assiomi della
geometria iperbolica
sono veri nel modello
Σ
P
s
t
m
n
r
b
a
se ci fosse una
contraddizione nella
geometria iperbolica,
questa risulterebbe
nel modello, cioè
sarebbe una
contraddizione della
geometria euclidea!
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Klein
Σ
P
s
t
m
n
r
b
a
Felix Klein
(1849–1925)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
m
r
n
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
m
r
n
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
m
r
n
una retta iperbolica è
un arco di
circonferenza
ortogonale a Σ
(estremi esclusi)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
m
r
n
una retta iperbolica è
un arco di
circonferenza
ortogonale a Σ
(estremi esclusi)
m e n sono le due
parallele a r
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ è una circonferenza
euclidea
Σ
un punto iperbolico è
un punto interno a Σ
P
una retta iperbolica è
un arco di
circonferenza
ortogonale a Σ
(estremi esclusi)
m
r
b
n
a
m e n sono le due
parallele a r
a e b sono rette
secanti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
t è una retta
iperparallela
Σ
P
t
m
r
b
n
a
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
t è una retta
iperparallela
Σ
ABP è un triangolo
iperbolico, in cui la
somma degli angoli
interni è minore di 2
retti
P
t
m
B
A
r
b
n
a
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
t è una retta
iperparallela
Σ
ABP è un triangolo
iperbolico, in cui la
somma degli angoli
interni è minore di 2
retti
P
t
m
B
A
r
b
n
a
anche con questa
interpretazione tutti
gli assiomi della
geometria iperbolica
sono veri nel modello
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ
P
t
m
B
A
r
b
n
a
Henri Poincaré
(1854–1912)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ
anche i diametri di Σ sono
rette iperboliche
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ
anche i diametri di Σ sono
rette iperboliche
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Il modello di Poincaré
Σ
anche i diametri di Σ sono
rette iperboliche
con il modello di Poincaré
riusciamo a visualizzare il
quadrilatero birettangolo
isoscele
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà visibili nel modello di Poincaré
T
il triangolo RST è un
triangolo limite
formato da tre rette
parallele
Σ
R
S
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà visibili nel modello di Poincaré
T
il triangolo RST è un
triangolo limite
formato da tre rette
parallele
Σ
più il triangolo
diventa piccolo. . .
R
S
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà visibili nel modello di Poincaré
T
il triangolo RST è un
triangolo limite
formato da tre rette
parallele
Σ
più il triangolo
diventa piccolo. . .
. . . più assomiglia a
un triangolo euclideo
R
S
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà visibili nel modello di Poincaré
T
il triangolo RST è un
triangolo limite
formato da tre rette
parallele
Σ
più il triangolo
diventa piccolo. . .
. . . più assomiglia a
un triangolo euclideo
R
S
ma sempre la somma
degli angoli interni è
minore di 2 retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà visibili nel modello di Poincaré
T
anche se i lati
aumentano, l’area del
triangolo è limitata da
quella del triangolo
limite
Σ
R
S
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà visibili nel modello di Poincaré
T
anche se i lati
aumentano, l’area del
triangolo è limitata da
quella del triangolo
limite
Σ
inoltre. . .
R
S
in geometria
iperbolica non
esistono triangoli
simili non uguali
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La sistemazione hilbertiana della geometria
Nel 1899 David Hilbert, nell’opera “Grundlagen der Geometrie”,
introdusse un sistema d’assiomi per la geometria euclidea piana e
solida rispondente alle esigenze dell’assiomatica moderna
David Hilbert
(1862–1943)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La sistemazione hilbertiana della geometria
Nel 1899 David Hilbert, nell’opera “Grundlagen der Geometrie”,
introdusse un sistema d’assiomi per la geometria euclidea piana e
solida rispondente alle esigenze dell’assiomatica moderna
Gruppi di assiomi
I. Assiomi di appartenenza (8)
David Hilbert
(1862–1943)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La sistemazione hilbertiana della geometria
Nel 1899 David Hilbert, nell’opera “Grundlagen der Geometrie”,
introdusse un sistema d’assiomi per la geometria euclidea piana e
solida rispondente alle esigenze dell’assiomatica moderna
Gruppi di assiomi
I. Assiomi di appartenenza (8)
II. Assiomi di ordinamento (4)
David Hilbert
(1862–1943)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La sistemazione hilbertiana della geometria
Nel 1899 David Hilbert, nell’opera “Grundlagen der Geometrie”,
introdusse un sistema d’assiomi per la geometria euclidea piana e
solida rispondente alle esigenze dell’assiomatica moderna
Gruppi di assiomi
I. Assiomi di appartenenza (8)
II. Assiomi di ordinamento (4)
III. Assiomi di congruenza (5)
David Hilbert
(1862–1943)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La sistemazione hilbertiana della geometria
Nel 1899 David Hilbert, nell’opera “Grundlagen der Geometrie”,
introdusse un sistema d’assiomi per la geometria euclidea piana e
solida rispondente alle esigenze dell’assiomatica moderna
Gruppi di assiomi
I. Assiomi di appartenenza (8)
II. Assiomi di ordinamento (4)
III. Assiomi di congruenza (5)
IV. Assioma della parallela: per un punto
passa una sola parallela a una retta
non contenente il punto (Playfair)
David Hilbert
(1862–1943)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La sistemazione hilbertiana della geometria
Nel 1899 David Hilbert, nell’opera “Grundlagen der Geometrie”,
introdusse un sistema d’assiomi per la geometria euclidea piana e
solida rispondente alle esigenze dell’assiomatica moderna
Gruppi di assiomi
I. Assiomi di appartenenza (8)
II. Assiomi di ordinamento (4)
III. Assiomi di congruenza (5)
IV. Assioma della parallela: per un punto
passa una sola parallela a una retta
non contenente il punto (Playfair)
David Hilbert
(1862–1943)
V. Assiomi di continuità (2)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
P
Consideriamo una
sfera di centro O
C
O
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
P
Consideriamo una
sfera di centro O
dati A e B sulla
sfera. . .
C
O
A
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
P
Consideriamo una
sfera di centro O
dati A e B sulla
sfera. . .
C
O
A
B
. . . il tragitto più
breve da A a B è
l’arco di circonferenza
massima (geodetica)
ottenuta intersecando
la sfera col piano
passante per A, B, O
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
P
GEOMETRIA SFERICA
C
O
A
B
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
P
GEOMETRIA SFERICA
⇓
i punti sono punti
della sfera
le rette sono
circonferenze massime
O
A
B
i segmenti archi di
circonferenze massime
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
P
GEOMETRIA SFERICA
⇓
C
i punti sono punti
della sfera
le rette sono
circonferenze massime
O
A
B
i segmenti archi di
circonferenze massime
ABP e ABC sono
triangoli con somma
degli angoli interni
maggiore di 2 retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
sulla sfera possiamo
costruire il quadrilatero
birettangolo isoscele. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
sulla sfera possiamo
costruire il quadrilatero
birettangolo isoscele. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
sulla sfera possiamo
costruire il quadrilatero
birettangolo isoscele. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
sulla sfera possiamo
costruire il quadrilatero
birettangolo isoscele. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
sulla sfera possiamo
costruire il quadrilatero
birettangolo isoscele. . .
. . . corrispondente
all’ipotesi dell’angolo
ottuso! (con somma degli
angoli maggiore di 4 retti)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria sferica
sulla sfera possiamo
costruire il quadrilatero
birettangolo isoscele. . .
. . . corrispondente
all’ipotesi dell’angolo
ottuso! (con somma degli
angoli maggiore di 4 retti)
per la coerenza della
geometria sferica non
basta modificare solo il V
postulato!
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
sono linee chiuse (la retta non è infinita)
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
sono linee chiuse (la retta non è infinita)
per due punti diametralmente opposti passano infinite rette
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
sono linee chiuse (la retta non è infinita)
per due punti diametralmente opposti passano infinite rette
non esistono rette parallele!
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
sono linee chiuse (la retta non è infinita)
per due punti diametralmente opposti passano infinite rette
non esistono rette parallele!
È necessario modificare opportunamente
gli assiomi euclidei e sostituire al
V postulato il seguente. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
sono linee chiuse (la retta non è infinita)
per due punti diametralmente opposti passano infinite rette
non esistono rette parallele!
È necessario modificare opportunamente
gli assiomi euclidei e sostituire al
V postulato il seguente. . .
Assioma di Riemann
Due rette qualsiasi di un piano hanno
sempre almeno un punto in comune.
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Proprietà della geometria sferica
Proprietà delle rette “circonferenze massime”
sono linee chiuse (la retta non è infinita)
per due punti diametralmente opposti passano infinite rette
non esistono rette parallele!
È necessario modificare opportunamente
gli assiomi euclidei e sostituire al
V postulato il seguente. . .
Assioma di Riemann
Due rette qualsiasi di un piano hanno
sempre almeno un punto in comune.
Bernhard Riemann
(1826–1866)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
La geometria ellittica
GEOMETRIA
ELLITTICA
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
La geometria ellittica
GEOMETRIA
ELLITTICA
⇓
è l’altra geometria non euclidea vera e propria
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
GEOMETRIA
ELLITTICA
⇓
è l’altra geometria non euclidea vera e propria
⇓
Si vuole conservare l’assioma euclideo: “Per due punti distinti passa
una e una sola retta”
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
Consideriamo una
semisfera e il suo
bordo Γ
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
C
D
Consideriamo una
semisfera e il suo
bordo Γ
C e D sono due punti
della semisfera (non
diametralmente
opposti)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
r
C
D
Consideriamo una
semisfera e il suo
bordo Γ
C e D sono due punti
della semisfera (non
diametralmente
opposti)
r è l’unica
semicirconferenza
massima che passa
per C e D, e viene
interpretata come la
retta per C e D
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
r
C
D
i punti
diametralmente
opposti vengono
identificati (cioè sono
lo stesso punto!)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
r
C
D
i punti
diametralmente
opposti vengono
identificati (cioè sono
lo stesso punto!)
in questo modo per
due punti distinti
passa una e una sola
retta
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
r
C
D
Anche qui è necessario
modificare altri assiomi
euclidei oltre al V
postulato. Infatti. . .
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
Anche qui è necessario
modificare altri assiomi
euclidei oltre al V
postulato. Infatti. . .
r
C
D
le rette sono linee
chiuse
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
Anche qui è necessario
modificare altri assiomi
euclidei oltre al V
postulato. Infatti. . .
r
C
D
le rette sono linee
chiuse
è soddisfatto
l’assioma di Riemann
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
La geometria ellittica
Γ
A
A
Anche qui è necessario
modificare altri assiomi
euclidei oltre al V
postulato. Infatti. . .
r
C
D
le rette sono linee
chiuse
è soddisfatto
l’assioma di Riemann
la somma degli angoli
di un triangolo è
maggiore di 2 retti
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Schema di riepilogo
GEOMETRIA
ASSOLUTA
Appartenenza
Ordinamento
Congruenza
Continuità
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Schema di riepilogo
GEOMETRIA
ASSOLUTA
Appartenenza
Ordinamento
Congruenza
Continuità
1 parallela
=⇒
GEOMETRIA
EUCLIDEA
(PARABOLICA)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Schema di riepilogo
GEOMETRIA
ASSOLUTA
2 parallele
=⇒
GEOMETRIA
IPERBOLICA
Appartenenza
Ordinamento
Congruenza
Continuità
1 parallela
=⇒
GEOMETRIA
EUCLIDEA
(PARABOLICA)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Schema di riepilogo
GEOMETRIA
ASSOLUTA
2 parallele
=⇒
GEOMETRIA
IPERBOLICA
Appartenenza
Ordinamento
Congruenza
Continuità
nessuna parallela
modifica Ordinamento
modifica Appartenenza
⇓
GEOMETRIA SFERICA
1 parallela
=⇒
GEOMETRIA
EUCLIDEA
(PARABOLICA)
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Schema di riepilogo
GEOMETRIA
ASSOLUTA
2 parallele
=⇒
GEOMETRIA
IPERBOLICA
Appartenenza
Ordinamento
Congruenza
1 parallela
=⇒
Continuità
nessuna parallela
modifica Ordinamento
modifica Appartenenza
⇓
GEOMETRIA SFERICA
nessuna parallela
modifica Ordinamento
=⇒
GEOMETRIA
EUCLIDEA
(PARABOLICA)
GEOMETRIA
ELLITTICA
Gli Elementi
V postulato
Saccheri
Geometria iperbolica
Hilbert
Geometria sferica
Geometria ellittica
Bibliografia
Agazzi E., Palladino D., Le geometrie non euclidee e i
fondamenti della geometria, La Scuola, 1988
Magnani L. (a cura di), Le geometrie non euclidee, Zanichelli,
1978
Odifreddi P., Divertimento geometrico, Bollati Boringhieri,
2003
Palladino D., Le geometrie non euclidee fra cultura, storia e
didattica della matematica, parti I-V, Didattica delle Scienze,
reperibili al sito http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/ppub.htm
Palladino D., Palladino C., Le geometrie non euclidee, Carocci,
2008
Questa presentazione è reperibile al sito
http://xoomer.alice.it/rdossena