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Università degli studi di Pisa
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettrica
DISPENSE DI MACCHINE ELETTRICHE
TRATTE DAL CORSO TENUTO DAL PROF.
OTTORINO BRUNO
MACCHINA ASINCRONA
A cura dello studente Gabriele Giovanni Padovano
Con la supervisione del prof. Luca Sani
Anno Accademico 2011/12
Indice
Indice delle figure
iii
Introduzione
iv
1 Principio di funzionamento e aspetti costruttivi
1.1 Struttura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Funzionamento con avvolgimento di rotore
con rotore fermo . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Funzionamento con avvolgimento di rotore
con rotore in movimento . . . . . . . . . . .
1.2.3 Funzionamento con avvolgimento di rotore
circuito e con rotore in movimento . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
aperto e
. . . . . .
aperto e
. . . . . .
in corto. . . . . .
2 Modello matematico della macchina asincrona
2.1 Approccio intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Approccio rigoroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
5
6
7
8
9
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15
3 Caratteristica meccanica
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3.1 Bilancio energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Espressione della coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Regolazione della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Diagramma circolare
4.1 Prova a vuoto . . . . . . . . . . .
4.2 Prova in cortocircuito . . . . . .
4.3 Misura della resistenza statorica
4.4 Regole generali di tracciamento .
Conclusioni
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31
31
33
35
36
39
i
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Statore di un motore asincrono trifase. . . . . . . . .
Motore con rotore avvolto. . . . . . . . . . . . . . . .
Motore con rotore a gabbia. . . . . . . . . . . . . . .
Motore con rotore a doppia gabbia. . . . . . . . . . .
Motore con rotore a cave profonde. . . . . . . . . . .
Rappresentazione in sezione di un motore asincrono.
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2
3
3
4
4
5
2.1
2.2
Assi magnetici di statore e di rotore. . . . . . . . . . . . . . .
Flusso principale (linee di campo di tipo (a)) e flusso disperso
(linee di campo di tipo (b) e (c)). . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito equivalente monofase. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito equivalente monofase. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito equivalente monofase della macchina asincrona. . . .
9
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
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20
Forma alternativa del circuito equivalente monofase della macchina asincrona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Bilancio energetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Caratteristica di coppia in funzione dello scorrimento. . . . . 24
Caratteristica di coppia in funzione della velocità. . . . . . . . 25
Regolazione della velocità mediante variazione della resistenza rotorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Regolazione della velocità mediante variazione della frequenza
di alimentazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Campo di regolazione a coppia costante (regolazione V/f=cost). 29
Campo di regolazione a potenza costante (V=costante). . . . 30
Schema di misura per la prova a vuoto sul motore asincrono .
Circuito equivalente dell’asincrono per descrivere il funzionamento a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di misura per la prova in cortocircuito sul motore
asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito equivalente del motore asincrono in cortocircuito riportato al primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di montaggio per la prova voltamperometrica . . . .
ii
32
32
34
34
35
ELENCO DELLE FIGURE
4.6
4.7
Costruzione del diagramma circolare . . . . . . . . . . . . . .
Diagramma circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
36
38
Introduzione
I motori asincroni trifase possono essere considerati tra le macchine elettriche più affidabili; svolgono la loro funzione per molti anni con interventi
di manutenzione assai ridotti e si adattano a prestazioni diverse in base alle
esigenze, coprendo sia applicazioni di produzione sia di servizio.
I motori trovano, come detto, impiego nei settori industriali più svariati,
come ad esempio le industrie alimentari, chimiche, metallurgiche, le cartiere
o in impianti di trattamento acque o di tipo estrattivo.
Le applicazioni riguardano quelle macchine con organi in movimento a velocità
fissa o variabile, quali ad esempio i sistemi di sollevamento come ascensori o
montacarichi, di trasporto come nastri trasportatori, i sistemi di ventilazione
e climatizzazione (unità trattamento aria), senza dimenticare il più comune
impiego come pompe e compressori.
Da queste indicazioni si evince come il motore asincrono trifase possa essere
considerato come la macchina elettrica più diffusa in ambiente industriale
(il consumo di energia dei motori elettrici è circa il 75% del totale consumo
del settore industriale). A fronte di questo dato si capisce come possa essere
importante per l’economia aziendale (il costo di un motore nella propria vita
è dovuto per circa il 98% al consumo di energia e per il rimanente 2% alle
spese di acquisto e manutenzione) e per il miglioramento dell’efficienza energetica in senso lato, attuare una riduzione dei consumi elettrici ricorrendo
ad esempio all’utilizzo di azionamenti a velocità variabile attraverso inverter, oppure realizzando il rifasamento per avere un cosφ idoneo per evitare
di incorrere in penali.
Rispetto agli altri tipi di motori elettrici, il motore asincrono presenta diversi vantaggi: peso ed ingombro ridotti a parità di potenza; mancanza di
particolari dispositivi di eccitazione prelevando, direttamente dalla rete, la
potenza magnetizzante necessaria per creare il flusso induttore della macchina; è autoavviante; sviluppa, spontaneamente ed automaticamente, variando
la propria velocità, una coppia motrice atta a controbilanciare la coppia resistente applicata all’albero motore, determinando un funzionamento stabile
(all’aumentare del carico rallenta); sovraccaricabilità, anche il 100% della
sua potenza nominale; esigenze di manutenzione molto ridotte, semplicità
di esercizio ed alto rendimento.
D’altro canto, presenta alcuni aspetti vincolanti, tra i quali: all’avviamento,
iv
INTRODUZIONE
v
con inserzione diretta sulla rete, la corrente di spunto può risultare anche
4-10 volte maggiore della corrente assorbita a pieno carico, con problemi alla rete di distribuzione (cadute di tensione) ed agli interruttori (intervento);
questa corrente risulta, inoltre, essere tanto sfasata rispetto alla tensione
(come nei trasformatori in corto circuito) che la coppia motrice sviluppata dal motore all’avviamento, detta coppia di spunto, è piccola nonostante
l’elevato valore della corrente assorbita; la velocità di rotazione del motore, nel campo di funzionamento normale, praticamente costante, perché
strettamente legata alla frequenza della corrente di alimentazione; la coppia
massima (proporzionale al quadrato del rapporto tra il valor efficace della
tensione di alimentazione e la frequenza) costante ed ad una ben precisa
velocità.
Il presente lavoro è strutturato in quattro parti: nella prima vengono trattati
gli aspetti costruttivi e il principio di funzionamento di tale macchina; nella
seconda viene sviluppato il modello matematico, atto alla determinazione
del circuito monofase equivalente, seguendo due approcci:
intuitivo, ipotizzando che le induttanze proprie del sistema si possano
scomporre in due contributi: uno dovuto al flusso disperso e l’altro
dovuto al flusso mutuamente concatenato;
rigoroso, dal quale si ottiene un modello dinamico (i parametri di mutua statore-rotore variano nel tempo), generale (non si sono fatte ipotesi sul tipo di tensioni di alimentazione) ed esatto (non sono state fatte
ipotesi semplificative).
Inoltre, nella terza ne vengono ricavate l’espressione della coppia e la caratteristica meccanica; infine, nella quarta, vengono esposte le regole di tracciamento del diagramma circolare e le caratteristiche della macchina da esso
evincibili.
Capitolo 1
Principio di funzionamento e
aspetti costruttivi
Lo scopo di questa sezione è illustrare il principio di funzionamento e la
struttura generale del motore asincrono trifase ed esaminarne i principali
aspetti costruttivi e le scelte tecniche poste alla loro base.
1.1
Struttura generale
Il motore asincrono è costituito da due parti fondamentali di forma cilindrica coassiali: una parte esterna, fissa, detta statore ed una interna, coassiale,
munita di albero, sostenuto da due supporti, libera di ruotare intorno all’asse della macchina, detta rotore.
Il primo elemento è lo statore che, può essere definito, come l’insieme delle
parti fisse che svolge la funzione di sostenere, almeno parzialmente, la macchina, ma fondamentalmente costituisce la parte del circuito magnetico che
contiene gli avvolgimenti induttori alloggiati in apposite cave in esso ricavate in corrispondenza della sua superficie interna.
Lo statore, di cui viene fornita una rappresentazione in figura 1.1, è costituito da lamierini in lega d’acciaio-silicio o in acciaio massiccio, isolati tra di
loro. Dalla sua struttura dipende quanto sia interessato da flussi magnetici
variabili nel tempo che provocano perdite per isteresi (legate alla magnetizzazione non lineare del materiale) e per correnti indotte parassite.
Nelle cave ricavate nella struttura dei lamierini sono inseriti tre avvolgimenti
primari (ognuno costituito da più bobine diversamente collegate tra loro),
ai quali viene applicata la tensione di alimentazione e che generano il campo
magnetico.
Gli avvolgimenti statorici trifase possono essere collegati a stella oppure
a triangolo; in quest’ultimo caso la cosa è possibile con motori dotati di
morsettiera con 6 morsetti, permettendo di alimentare lo stesso motore con
tensioni trifase di rete differenti.
1
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
2
Figura 1.1: Statore di un motore asincrono trifase.
Il secondo elemento è il rotore che viene posizionato all’interno dello statore,
e costituisce il circuito indotto della macchina.
Per quanto riguarda il rotore esistono diverse tipologie di avvolgimento:
rotore avvolto
rotore a gabbia di scoiattolo
rotore a doppia gabbia
rotore a barre alte o a cava profonda
Nel primo caso l’avvolgimento è tipicamente trifase e deve avere lo stesso
numero di polarità dello statore; anch’esso è organizzato in bobine inserite
nelle cave di rotore. In questo caso le cave rotoriche devono essere del tipo
aperto o semichiuso.
Nei motori a rotore avvolto viene sfruttata la possibilità di accedere agli
avvolgimenti rotorici attraverso dei contatti striscianti (spazzole) e degli
anelli a cui fanno capo i terminali liberi delle tre fasi di rotore, come illustrato schematicamente in figura 1.2.
Questa soluzione costruttiva, abbastanza in uso in passato, è oggi praticamente abbandonata nei motori industriali. Motori asincroni a rotore avvolto
vengono ancora costruiti esclusivamente per grosse taglie di potenza, laddove
si pensi di realizzare una regolazione di velocità del motore con interventi
sull’avvolgimento rotorico.
Oggi, nel campo delle applicazioni industriali, la tipologia di motori a induzione più impiegata prevede la versione a gabbia di scoiattolo dell’avvolgimento rotorico.
Tale gabbia viene realizzata, almeno per le taglie di potenza orientativamente inferiori ai 250 kW, in alluminio attraverso un processo di pressofusione. Questo procedimento è estremamente veloce e vantaggioso, in termini
economici, per una vasta produzione di serie; esso consiste nell’iniettare alluminio fuso, sotto pressione, nelle scanalature del rotore con l’ausilio di
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
3
Figura 1.2: Motore con rotore avvolto.
appositi stampi. In questa maniera in un’unica operazione vengono realizzate sia le sbarre che gli anelli terminali di corto circuito della gabbia. La
struttura del rotore appare come quella raffigurata in figura. La tecnica di
pressofusione permette di realizzare forme di cava anche molto complesse.
Figura 1.3: Motore con rotore a gabbia.
Il rotore a doppia gabbia è molto diffuso per le potenze medie, perché è quello che presenta la maggiore elasticità nelle caratteristiche di avviamento. In
questo caso il rotore è provvisto di due gabbie concentriche aventi caratteristiche opposte (vedi figura 1.4). La gabbia esterna (o di avviamento),
è costituita di barre di piccola sezione aventi una elevata resistenza ed una
piccola reattanza di dispersione. La gabbia interna (o di lavoro), è costituita di barre di grande sezione aventi una piccola resistenza ed una elevata
reattanza di dispersione.
All’avviamento la corrente circola prevalentemente nella gabbia esterna.
Mano a mano che la macchina accelera e diminuisce la frequenza delle correnti di rotore, diminuisce la reattanza di dispersione e la corrente si sposta
progressivamente sulla gabbia interna.
Infine, il rotore a cave profonde è provvisto di barre di forma allungata,
sistemate in cave alte e strette (vedi figura 1.5) in cui si determina, all’avvi-
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
4
Figura 1.4: Motore con rotore a doppia gabbia.
amento, uno spostamento di corrente, dall’esterno verso l’interno, in modo
simile a quello che si verifica nel rotore a doppia gabbia. Costruttivamente
semplice, questa macchina è utilizzata soprattutto per le alte potenze.
Figura 1.5: Motore con rotore a cave profonde.
Inoltre sono presenti altri componenti meccanici che costituiscono il motore:
i due cuscinetti montati sullo statore con la funzione di sorreggere
l’albero del motore;
la carcassa, che con le alette smaltisce il calore prodotto soprattutto
dallo statore e contiene anche la morsettiera di connessione;
la ventola, che provvede al raffreddamento.
Una rappresentazione in sezione del motore asincrono trifase a gabbia è riportata nella figura 1.4.
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
5
Figura 1.6: Rappresentazione in sezione di un motore asincrono.
1.2
Principio di funzionamento
La macchina asincrona utilizza il principio del campo rotante introdotto da
Galileo Ferraris nel 1885. Il campo magnetico, prodotto da un avvolgimento polifase ancorato ad una struttura magnetica fissa (statore), induce un
sistema di f.e.m. e di correnti in un avvolgimento polifase ancorato alla
struttura magnetica mobile (rotore).
L’interazione tra il campo rotante ed il sistema di correnti rotoriche indotte
produce un effetto meccanico di trascinamento del rotore. Questo effetto
si esplica attraverso la generazione di una coppia motrice che tende a sincronizzare il rotore con il campo rotante induttore. Naturalmente, qualora
il rotore risultasse possedere la stessa velocita del campo di statore (generalmente indicata con il termine velocità di sincronismo, ωs ), verrebbero meno
i fenomeni di induzione e la stessa coppia motrice si annullerebbe.
Questa macchina necessita, per poter attuare la conversione elettromeccanica, della presenza di uno scorrimento tra rotore e campo: di qui il nome
di macchina asincrona.
Il principio di funzionamento del motore asincrono trifase si basa sul campo magnetico rotante, il quale, generato entro la macchina dalla terna di
correnti trifasi circolanti negli avvolgimenti di statore, anch’essi trifase, determina, negli avvolgimenti di rotore, chiusi in cortocircuito, delle correnti
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
6
indotte che, reagendo con il campo magnetico rotante storico, danno luogo
ad una coppia motrice.
1.2.1
Funzionamento con avvolgimento di rotore aperto e
con rotore fermo
Si immagini che l’avvolgimento trifase di statore di una macchina asincrona
sia alimentato con una terna simmetrica di tensioni sinusoidali e che esso
sia percorso da una corrispondente terna simmetrica di correnti. Sia ω la
pulsazione di queste grandezze elettriche.
Si supponga, inoltre, che l’avvolgimento di rotore sia aperto e non lasci circolare alcuna corrente.
Sotto queste condizioni, il campo rotante è, quindi, prodotto dalle sole correnti di statore.
Il flusso di macchina (o flusso utile, φu ), ruotando al traferro, indurrà delle
forze elettromotrici nei vari avvolgimenti presenti. Infatti ogni avvolgimento
vede variare nel tempo il suo flusso concatenato a seguito della rotazione,
lungo il traferro, dell’onda di flusso φu .
I flussi concatenati massimi con una fase di statore ed una fase di rotore
valgono:
Ψs,max = Ns · φu
Ψr,max = Nr · φu
(1.1)
dove Ns e Nr rappresentano rispettivamente il numero di spire equivalenti ai
fini della produzione di forza elettromotrice (o del concatenamento di flusso)
dell’avvolgimento di statore e di rotore.
In analogia a quanto accade per il trasformatore, si possono esprimere tali
f.e.m indotte nel seguente modo:
Forza elettromotrice di statore:
es (t) = −
dΨs
dt
(1.2)
Forza elettromotrice di rotore (per ipotesi il rotore e fermo, ωr = 0)
es (t) = −
dΨs
dt
(1.3)
Passando alla notazione fasoriale le fem assumono, rispettivamente, la seguente
forma:
Ės = −jω Ψ̇s = −j4.44Ns f φ̇u
(1.4)
Ėr = −jω Ψ̇r = −j4.44Nr f φ̇u
(1.5)
Le relazioni precedenti rimangono valide anche per un motore a p paia polari.
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
7
Esse dimostrano che, nelle condizioni di funzionamento specificate (avvolgimento di rotore aperto e rotore fermo), il motore asincrono si comporta
esattamente come un trasformatore a vuoto.
Si parla, in tal caso, di trasformatore a campo rotante.
Pregio di questa macchina è la possibilità di variare a piacere il numero di
fasi del sistema elettrico secondario, che viene a coincidere con il numero di
fasi dell’avvolgimento rotorico. Ovviamente in questo caso l’avvolgimento di
rotore deve essere di tipo avvolto (con anelli e spazzole) per collegare il carico
elettrico. Nel trasformatore a campo rotante il trasferimento di potenza elettrica tra statore e rotore (entrambi fermi) avviene grazie al campo magnetico
rotante al traferro anziché tramite il campo pulsante nel nucleo magnetico
di un trasformatore convenzionale (fisso nello spazio). Per attuare questo
trasferimento di potenza, lo statore ed il rotore si scambiano reciprocamente
una coppia.
1.2.2
Funzionamento con avvolgimento di rotore aperto e
con rotore in movimento
Si supponga ora di trascinare dall’esterno il rotore ad una velocità ωm .
Se l’avvolgimento di rotore è aperto, non possono circolare correnti ed il
campo magnetico al traferro continua ad essere generato solo dalle correnti
di statore.
La f.e.m. indotta in una fase di statore rimane inalterata e, quindi, continua
ad essere rappresentata dall’equazione (1.4), mentre la (1.5) non è più vera
a causa del moto relativo tra il campo magnetico rotante ed il rotore.
Il moto relativo deve essere valutato in termini di velocità elettrica e non di
velocità meccanica in quanto i concatenamenti di flusso dipendono dall’angolo elettrico.
Ne consegue che la forza elettromotrice indotta a rotore vale:
Ėr = −j(ω − pωm )Ψ̇r
(1.6)
Da questa equazione si evince che il fasore Ėr possiede una pulsazione diversa
da quella del fasore Ės e, quindi, non possono quindi essere rappresentati in
un unico diagramma vettoriale.
Riferendo la pulazione della fem rotorica a quella di sincronismo, si ottiene
un parametro adimensionale, detto scorrimento:
s=
ω − ωm
ω
(1.7)
che rappresenta la frazione di giro che il rotore perde per ciascun giro completo del campo magnetico rotante.
Dalla (1.7), si ha che:
ω = sω + ωm
(1.8)
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO E ASPETTI COSTRUTTIVI
8
La (1.6) può essere, allora, riscritta come:
Ėr = −jsω Ψ̇r = −j4.44Nr (s · f )φ̇u
(1.9)
Quest’ultima equazione dimostra che l’ampiezza della f.e.m. indotta nell’avvolgimento di rotore varia linearmente con lo scorrimento e la sua pulsazione corrisponde alla pulsazione di scorrimento s ω, ossia i fenomeni indotti a rotore sono ad una frequenza pari a s·f, dove f è la frequenza di
alimentazione dello statore.
1.2.3
Funzionamento con avvolgimento di rotore in cortocircuito e con rotore in movimento
Se l’avvolgimento indotto di rotore è chiuso in cortocircuito, come accade
nelle condizioni di funzionamento normale di una macchina asincrona, il
sistema di f.e.m. di rotore rappresentato dalla produce nell’avvolgimento
di rotore un sistema isofrequenziale di correnti alla pulsazione elettrica di
scorrimento sω.
Grazie alle ipotesi fatte, tale sistema di correnti è una stella equilibrata e
simmetrica che, fluendo nelle fasi rotoriche, produce una campo magnetico
rotante al traferro. Il campo magnetico generato dal rotore ruota rispetto al
rotore stesso (cioe rispetto alla struttura di avvolgimento che lo ha generato)
alla velocità sω/p.
Sapendo che il rotore ruota alla velocita meccanica ωm , ne consegue che la
velocità del campo rotante generato dal rotore rispetto ad un riferimento
fisso vale:
ωm +
s·ω
p · ωm + sω
p · ωm + (ω − p · ωm )
ω
=
=
= = ωs
p
p
p
p
(1.10)
La (1.10) indica che il campo magnetico generato dal rotore (e non il rotore)
è sincrono con il campo magnetico di statore. Questa condizione permette
uno scambio di coppia tra la struttura di rotore e di statore.
Capitolo 2
Modello matematico della
macchina asincrona
Nello studio semplificato del funzionamento a regime della macchina asincrona si fa riferimento ad uno statore dotato di avvolgimento trifase. Nessuna ipotesi viene fatta, invece, circa la connessione a stella o a triangolo
delle bobine; tensioni e correnti di statore sono, pertanto, da intendersi come
tensioni e correnti di fase.
Per il rotore si tende a prescindere dal numero di fasi e l’avvolgimento può essere interpretato indifferentemente, sia come avvolgimento trifase, sia come
avvolgimento polifase.
Occorre ricordare che questa generalità della trattazione è possibile se si
accetta di trascurare, dal punto di vista della conversione elettromeccanica dell’energia, gli effetti delle armoniche spaziali di f.m.m prodotte dagli
avvolgimenti reali. In altre parole, tale studio considera solo le armoniche
fondamentali delle distribuzioni spaziali al traferro.
Si faccia riferimento allo schema di figura 2.1.
Figura 2.1: Assi magnetici di statore e di rotore.
9
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
10
Siano A1r , A2r , A3r gli assi magnetici degli avvolgimenti di rotore e A1s , A2s ,
A3s gli assi magnetici degli avvolgimenti di statore.
Sia, inoltre, θ l’angolo fra A1r e A1s che, all’istante t=t0 , vale θ = ωm t + θ0 .
I fenomeni di saturazione, isteresi e correnti parassite sono trascurati, permettendo, cosı̀, di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
2.1
11
Approccio intuitivo
In questo approccio, sulla base dell’analisi svolta nella precedente sezione,
l’esame delle interazioni tra flussi e f.m.m. può essere condotto considerando
la macchina come un trasformatore generalizzato, dove il primario si interpreta come statore ed il secondario come rotore.
Come si evince dalla figura 2.2, le linee di campo prodotte dalla corrente
che circola in un generico avvolgimento possono essere raggruppate in due
categorie principali:
linee che attraversano il traferro e si concatenano, quindi, con le fasi
di rotore e statore;
linee che si richiudono nel traferro e che, sostanzialmente, si concatenano solo con una fase dell’avvolgimento (di statore o di rotore),
descrivendo gran parte del loro tragitto nell’aria del traferro.
Figura 2.2: Flusso principale (linee di campo di tipo (a)) e flusso disperso
(linee di campo di tipo (b) e (c)).
Alle linee del primo tipo è associato il flusso principale, che si concatena con
ciascuna spira dell’avvolgimento sia di statore che di rotore.
Alle linee del secondo tipo sono associati i flussi dispersi che si concatenano
solo con l’avvolgimento che li ha generati e che, sviluppandosi principalmente
nell’aria del traferro, possono essere descritti mediante dei coefficienti di
autoinduzione di dispersione.
Quindi, dette Ld l’induttanza propria dovuta al flusso disperso e Lm quella
dovuta al flusso mutuamente concatenato, si può scrivere che:
Ls = Lsd + Lsm
Lr = Lrd + Lrm
(2.1)
dove Lsd e Lrd rappresentano il contributo alle cadute di tensioni che si verificano nei singoli avvolgimenti, mentre Lsm e Lrm rappresentano il contributo
alla trasmissione di potenza fra statore e rotore per i singoli avvolgimenti
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
12
(esse quindi non contribuiscono alle cadute di tensione).
In questo modo si eliminano i parametri delle mutue induttanze fra i vari
avvolgimenti.
Questo metodo parte, quindi, dall’ipotesi di definire le induttanze presenti,
in funzione del flusso che esse producono.
In caso di avvolgimento di rotore in cortocircuito, il campo magnetico risultante al traferro deriva dall’azione congiunta dei due sistemi di corrente di
statore e di rotore che percorrono i rispettivi avvolgimenti e ciò ci permette di parlare di un’onda di induzione risultante Bt costante in modulo e
velocità, data dalla somma vettoriale, istante per istante, di Bs e Br .
Si puo, allora, scrivere, associando a ogni induzione il suo flusso attraverso
una superficie Sγ appoggiata a una linea chiusa qualsiasi γ:
R

~

Φs = RSγ Bs · n̂dS
~ r · n̂dS
Φr = Sγ B
(2.2)

R

~
Φt = Sγ Bt · n̂dS
che, in termini fasoriali, risultano:

Φ̇s = ΦsM ej(ωt+ψs )
Φ̇ = ΦrM ej(sωt+ψr )
 r
Φ̇t = ΦtM ej(ωt+ψt )
(2.3)
Il flusso Φ̇t , ruotando, si va a concatenare con gli avvolgimenti di macchina,
che hanno un numero di spire pari a:
Ns kAVVs per ogni avvolgimento di statore
Nr kAVVr per ogni avvolgimento di rotore
dove kAVV rappresenta il fattore d’avvolgimento, che consente di passare da
un avvolgimento distribuito ad uno concentrato, ed è definito come:
kAV V =
somma geometrica delle f.e.m.
somma aritmetica delle f.e.m.
Siano:
Vs : tensione di fase di statore
Rs : resistenza di fase di statore
Lds : induttanza di dispersione di fase di statore
ω = 2πf : pulsazione elettrica delle grandezze di statore
Lm : induttanza di magnetizzazione
Es : f.e.m. indotta di fase di statore
(2.4)
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
13
Er : f.e.m. indotta di fase di rotore
Rr : resistenza di fase di rotore
Ldr : induttanza di dispersione di fase di rotore
sω: pulsazione elettrica delle grandezze di rotore.
Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla fase di statore e a quella
di rotore, si ottengono le seguenti relazioni:
fase di statore
V̇s = (Rs + jωLsd ) · I˙s − Ės
(2.5)
fase di rotore
0 = (Rr + jsωLrd ) · I˙r − Ėr
Note le espressioni di Ės e Ėr dalla (1.4) e dalla (1.8):

˙

V̇s = (Rs + jωLsd ) · Is + jωNs kAV V s ·
(2.6)
Φ̇t
√
2

0 = (R + jsωL ) · I˙ + jsωN k
r
r
r AV V r ·
rd
(2.7)
Φ̇t
√
2
Definendo il rapporto di trasformazione come:
τ=
Ns kAV V s
Ės
=
Ns kAV V s
Ėr
(2.8)
applicando l’equazione di Hopkinson al circuito magnetico:
Φ̇t
Ns kAV V s I˙s + Nr kAV V r I˙r = < √
2
(2.9)
Φ̇
1
N k
√ t = Ns kAV V s I˙s + r AV V r I˙r
<
Ns kAV V s
2
(2.10)
da cui si ricava che
e sostituendo in (2.7), si ha:

2
V s)

V̇s = (Rs + jωLsd ) · I˙s + jω (Ns kAV
· [I˙s +

<





0 = jωτ Ns kAV V s ·Ns kAV V s · [I˙ +
s
<
Nr kAV V r ˙
Ns kAV V s Ir ]
Nr kAV V r ˙
Ns kAV V s Ir ]
(2.11)
+ τ [ Rsr + jωLdr ] · I˙r
˙
Ponendo I˙0 r = Iτr e tenendo conto della (2.8), si ha:

(N k V s )2

· [I˙s + I˙0 r ]
V̇s = (Rs + jωLsd ) · I˙s + jω s AV
<

2

V s)
· [I˙s + I˙0 r ] + τ 2 [ Rsr + jωLdr ] · I˙0 r
0 = jω (Ns kAV
<
(2.12)
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
14
Queste equazioni descrivono il modello matematico della macchina asincrona
e sono rappresentabili dal seguente circuito:
Figura 2.3: Circuito equivalente monofase.
In particolare il termine
τ Ns kAV V s · Nr kAV V r
(Ns kAV V s )2
=
= τ · Msr
<
<
(2.13)
rappresenta l’induttanza di magnetizzazione. Essa tiene conto del fatto che
per creare il flusso utile al traferro si deve assorbire una corrente magnetizzante. Al contrario del trasformatore, la corrente di magnetizzazione Im
non è percentualmente piccola rispetto alle correnti di normale funzionamento in quanto si deve magnetizzare il traferro (zona d’aria che presenta
una riluttanza elevata).
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
2.2
15
Approccio rigoroso
Secondo questo approccio, la macchina può essere vista come un insieme di
circuiti lineari mutuamente accoppiati.
Ogni avvolgimento è caratterizzato dalla sua resistenza, dalla sua autoinduttanza e dalle induttanze mutue rispetto a ciascun altro avvolgimento.
Siano:
R∗ si (i=1,2,3) resistenza di un avvolgimento di statore
R∗ ri (i=1,2,3) resistenza di un avvolgimento di rotore
L∗ si (i=1,2,3) autoinduttanza di un avvolgimento di statore
L∗ ri (i=1,2,3) autoinduttanza di un avvolgimento di statore
M ∗ si,sk (i,k=1,2,3 i 6= k) mutua induttanza tra due avvolgimenti di
statore
M ∗ ri,rk (i,k=1,2,3 i 6= k) mutua induttanza tra due avvolgimenti di
rotore
M ∗ si,rk (i,k=1,2,3) mutua induttanza tra un avvolgimento di statore e
un avvolgimento di rotore.
Essendo il rotore sostanzialmente cilindrico, solo le mutue induttane tra le
fasi di statore e quelle di rotore variano a causa della rotazione e, quindi,
sono funzione della posizione angolare del rotore θ.
Poiché due avvolgimenti con asse magnetico coincidente sono in condizioni
di accoppiamento massimo, mentre se gli assi magnetici sono sfasati di 90°
l’accoppiamento è nullo, si deduce che il coefficiente di mutuo accoppiamento
varia con legge cosinusoidale.
Quindi si ha che:
 ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗ cos(ω t + ϑ )
Ms1,r1 = Ms2,r2
= Ms3,r3
= Mr1,s1
= Mr2,s2
= Mr3,s3
= Msr
m
0





∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗ cos(ω t + ϑ − 2 π)
Ms2,r1
= Ms3,r2
= Ms1,r3
= Mr1,s2
= Mr2,s3
= Mr3,s1
= Msr
m
0
3




 ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗ cos(ω t + ϑ + 2 π)
Ms3,r1 = Ms1,r2
= Ms2,r3
= Mr1,s3
= Mr2,s1
= Mr3,s2
= Msr
m
0
3
(2.14)
Inoltre, per condizioni di simmetria costruttiva, si può ritenere:
R∗ s1 =R∗ s2 =R∗ s3
R∗ r1 =R∗ r2 =R∗ r3
L∗ s1 =L∗ s2 =L∗ s3
L∗ r1 =L∗ r2 =L∗ r3
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
16
M ∗ s1,2 =M ∗ s2,3 =M ∗ s3,1
M ∗ r1,2 =M ∗ r2,3 =M ∗ r3,1
Nell’ipotesi di ritenere note le tensioni v1 ,v2 ,v3 applicate alla macchina, negli
avvolgimenti statorici circolerà una terna equilibrata di correnti:

i1s = IM S sin(ωt + ψs )





i2s = IM S sin(ωt + ψs − 23 π)
(2.15)





i1s = IM S sin(ωt + ψs + 32 π)
Inoltre, essendo le fasi di rotore chiuse in cortocircuito, in esse circoleranno
tre correnti:

i1r = IM R sin(sωt + ψr )





i2r = IM R sin(sωt + ψr − 32 π)
(2.16)





i1r = IM R sin(sωt + ψr + 32 π)
Indicando con p l’operatore differenziale
scrivere:
d
dt ,
per la fase 1 di statore si può
∗
∗
∗
∗
∗
v1s = (Rs∗ +pL∗s )·i1s +pMss
·i2s +pMss
·i3s +pMr1,s1
·i1r +pMr2,s1
·i2r +pMr3,s1
·i3r
(2.17)
Analogamente per le fasi 2 e 3.
Per la fase 1 di rotore (nell’ipotesi che non ci siano tensioni applicate, quindi
che gli avvolgimenti siano cortocircuitati) si ha:
∗
∗
∗
∗
∗
0 = (Rr∗ +pL∗r )·i1r +pMrr
·i2r +pMrr
·i3r +pMs1,r1
·i1s +pMs2,r1
·i2s +pMs3,r1
·i3s
(2.18)
Analogamente per le fasi 2 e 3 di rotore.
Essendo le terne di correnti equilibrate si può scrivere che:
i1s + i2s + i3s = 0
i1r + i2r + i3r = 0
(2.19)
ricavando dalla (2.19) l’espressione della corrente i1s , sostituendola nella
(2.17) e tenendo conto delle relazioni espresse nella (2.14):
∗
∗
v1s = [(Rs∗ + p(L∗s − Mss
)] · i1s + pMs,r
· IM r sin(sωt + ψr )cos(ωm t + θ0 )+
2
2
∗
+ pMsr
· IM r sin(sωt + ψr − π)cos(ωm t + θ0 + π)+
3
3
2
2
∗
+ pMs,r
· IM r sin(sωt + ψr + π)cos(ωm t + θ0 − π)
3
3
(2.20)
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
17
Analogamente per il rotore:
∗
∗
0 = [(Rr∗ + p(L∗r − Mrr
)] · i1r + pMs,r
· IM s sin(ωt + ψs )cos(ωm t + θ0 )+
2
2
∗
+ pMsr
· IM s sin(ωt + ψs − π)cos(ωm t + θ0 − π)+
3
3
2
2
∗
+ pMs,r · IM s sin(ωt + ψs + π)cos(ωm t + θ0 + π)
3
3
(2.21)
Usando, poi, le formule di prostaferesi
1
sinα · cosβ = [sin(α − β) + sin(α + β)]
2
si ha:
1
∗
∗
· IM r [sin(sωt + ψr − ωm t − θ0 ) +sin(sωt + ψr + ωm t + θ0 )+
v1s = [(Rs∗ + p(L∗s − Mss
)]i1s + pMs,r
|
{z
}
2
2
2
2
2
+ sin(sωt + ψr − π − ωm t − θ0 − π) +sin(sωt + ψr − π + ωm t + θ0 + π)+
3 {z
3 }
3
3
|
2
2
2
2
+ sin(sωt + ψr + π − ωm t − θ0 + π) +sin(sωt + ψr + π + ωm t + θ0 − π)]
3 {z
3 }
3
3
|
(2.22)
Eseguendo le opportune semplificazioni, notando che i termini evidenziati
rappresentano una terna simmetrica la cui somma è, istante per istante,
ugualle a zero, si ottiene:
3
∗
∗
v1s = (Rs∗ + p(L∗s − Mss
) · i1s + pMs,r
· IM r sin((sω + ωm )t + ψr + θ0 ) (2.23)
2
Inoltre, avendo definito lo scorrimento come:
ω − ωm
s=
ω
da cui
ω = sω + ωm
si ha:
3
∗
∗
)) · i1s + pMs,r
· IM r sin(ωt + ψr + θ0 )
v1s = (Rs∗ + p(L∗s − Mss
2
Eseguendo gli stessi passaggi per la fase di rotore:
(2.24)
1
∗
∗
0 = [(Rr∗ + p(L∗r − Mrr
)]i1r + pMs,r
· IM s [sin(ωt + ψs − ωm t − θ0 ) + sin(ωt + ψs + ωm t + θ0 ) +
|
{z
}
2
2
2
2
2
+ sin(ωt + ψs − π − ωm t − θ0 + π) + sin(ωt + ψs − π + ωm t + θ0 − π) +
3
3
3 {z
3 }
|
2
2
2
2
+ sin(ωt + ψs + π − ωm t − θ0 − π) + sin(ωt + ψs + π) + ωm t + θ0 + π)]
3
3
3
3 }
|
{z
(2.25)
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
18
si ha:
3
∗
∗
· IM s sin(sωt + ψs − θ0 )
0 = (Rr∗ + p(L∗r − Mrr
)) · i1r + pMs,r
2
Siano
 ∗
∗

Ls − Mss = Ls



∗ =L
L∗r − Mrr
r




3 ∗
2 Msr = Msr
(2.26)
(2.27)
definendo il rapporto di trasformazione come:
Es
Ns · kavvs
=τ =
Er (s = 1)
Nr · kavvr
e passando alla notazione fasoriale si ha:
 jωt
vs e = (Rs + pLs ) · Is ej(ωt+ψs ) + pMsr Ir ej(ωt+ψr +θ0 )
(2.28)

0 = (Rr + pLr ) · Ir ej(sωt+ψr ) + pMsr Is ej(sωt+ψs −θ0 )
d
, si ha:
Eseguendo le opportune semplificazioni e sapendo che p= dt

vs = (Rs + jωLs ) · Is ejψs + jωMsr Ir ej(ψr +θ0 )
(2.29)

0 = (Rr + jsωLr ) · Ir ejψr + jsωMsr Is ej(ψs −θ0 )
Inoltre, sapendo che:
VM s
V̇s = √ ejωt = V¯s ejωt
2
IM s
I˙s = √ ej(ωt+ψs ) = I¯s ejωt
2
I
M
r
I˙r = √ ej(sωt+ψr ) = I¯r ejsωt
2
si ha

V̄s = (Rs + jωLs ) · I¯s + jωMsr I¯r ejθ0
(2.30)

0 = (Rr + jsωLr ) · I¯r + jsωMsr I¯s e−jθ0
moltiplicando la seconda delle due equazioni per ejθ0 e ponendo I¯r∗ = I¯r ejθ0
si ha:

V̄s = (Rs + jωLs ) · I¯s + jωMsr I¯r∗
(2.31)

∗
¯
¯
0 = (Rr + jsωLr ) · Ir + jsωMsr Is
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
19
¯∗
Avendo definito nella (2.8) il rapporto di trasformazione, detto I¯0 r = Iτr e
moltiplicando la seconda equazione per τs , si ha:

V̄s = (Rs + jωLs ) · I¯s + jωMsr τ I¯0 r
(2.32)

0 = ( Rr + jωLr ) · τ 2 I¯0 r + jωMsr τ I¯s
s
Infine, aggiungendo e sottraendo nella prima equazione il termine jωMsr τ I¯s
e nella seconda jωMsr τ I¯0 r si ha:

V̄s = (Rs + jωLs ) · I¯s + jωMsr τ I¯0 r + jωMsr τ I¯s − jωMsr τ I¯s
(2.33)

0 = ( Rr + jωLr ) · τ 2 I¯0 r + jωMsr τ I¯s + jωMsr τ I¯0 r − jωMsr τ I¯0 r
s
da cui:

V̄s = (Rs + jω(Ls − Msr τ )) · I¯s + jωMsr τ (I¯s + I¯0 r )

0 = jωMsr τ (I¯s + I¯0 r ) + τ 2 ( Rsr + jω(Lr −
(2.34)
Msr ¯0
τ ))I r
Queste equazioni descrivono il modello matematico della macchina asincrona
e sono rappresentabili dal seguente circuito:
Figura 2.4: Circuito equivalente monofase.
dove si è posto:
Lsd = Ls − Msr τ
Lrd = Lr −
Msr
τ
Finora, nello studio della macchina, si sono trascurati gli effetti dissipativi
presenti nel ferro.
Occorre ricordare che la generazione di un campo magnetico rotante al traferro produce un’induzione continuamente variabile nella struttura in ferro (denti, corone) con conseguenti fenomeni di isteresi e di correnti parassite. Poiché le perdite associabili a questi fenomeni dipendono oltre che dall’induzione anche dalla frequenza, si può completare il circuito equivalente
MODELLO MATEMATICO DELLA MACCHINA ASINCRONA
20
precedente con un elemento resistivo Rfe disposto in parallelo alla reattanza
di magnetizzazione, come nel caso del trasformatore.
Il seguente circuito equivalente, comprensivo anche delle perdite nel ferro,
rappresenta il circuito equivalente definitivo per il motore asincrono.
Figura 2.5: Circuito equivalente monofase della macchina asincrona.
Capitolo 3
Caratteristica meccanica
3.1
Bilancio energetico
Sulla base del circuito equivalente di figura 2.5, è possibile fare un bilancio di
potenze, identificando le singole quote in cui è suddivisa la potenza assorbita.
In particolare, la potenza elettrica assorbita dallo statore vale:
√
Ps = 3 · Vs,f ase · Is · cos(φ) = 3 · Vs · Is · cos(φ)
(3.1)
In esso, si hanno:
perdite per effetto Joule negli avvolgimenti → PJs = 3 · Rs · Is2
perdite nel ferro → Pf e = 3 ·
2
Es,f
ase
Rf e
La differenza tra la potenza assorbita e le perdite nello statore rappresenta
la potenza elettrica trasmessa Pt da statore e rotore.
Pt = Ps − PJs − Pf e
(3.2)
Essa è anche pari a:
Rr 02
· Ir
(3.3)
s
Le perdite per effetto Joule nell’avvolgimento di rotore sono dovute alla
resistenza Rr e valgono:
PJr = 3 · Rr · Ir02
(3.4)
Pt = 3 ·
Come si evince dalla figura 3.2, eseguendo la differenza tra la (3.3) e la (3.4),
si ottiene l’espressione della potenza meccanica:
Pm = Pt − PJr = 3 ·
1−s
Rr 02
· Ir − 3 · Rr · Ir02 = 3 ·
· Rr · Ir02
s
s
(3.5)
Questa espressione dimostra come la resistenza fittizia Rr /s possa essere
considerata pari alla serie di due contributi:
21
CARATTERISTICA MECCANICA
22
la resistenza Rr , che modellizza le perdite per effetto Joule nel rotore;
la resistenza
dal motore.
1−s
s
· Rr , che rappresenta la potenza meccanica convertita
Il circuito equivalente diventa:
Figura 3.1: Forma alternativa del circuito equivalente monofase della
macchina asincrona.
Dalle relazioni precedenti è possibile ricavare che:
Pm = (1 − s) · Pt
PJr = s · Pt
(3.6)
Tali relazioni sono molto interessanti poiché indicano che il rotore si comporta come un partitore della potenza trasmessa in funzione dello scorrimento,
cioè della velocità di rotazione. Infatti, a scorrimento unitario (a rotore bloccato) tutta la potenza trasmessa viene dissipata nella resistenza di rotore,
mentre ad una certa velocità la potenza meccanica convertita viene gestita
dal rapporto (1-s)/s.
Figura 3.2: Bilancio energetico.
CARATTERISTICA MECCANICA
3.2
23
Espressione della coppia
Dall’espressione della potenza meccanica, risulta immediato calcolare la
coppia motrice prodotta all’albero della macchina, a meno delle perdite
meccaniche interne al motore (attriti e ventilazione).
Cm
3·
Pm
=
=
ωm
· Rr · Ir02
ωm
1−s
s
(3.7)
Essendo ωm = (1 − s) · ωs , la diventa:
Cm =
02
3 · 1−s
Pm
Pt
s · Rr · Ir
=
=
ωm
(1 − s) · ωs
ωs
(3.8)
da cui
Pt = Cm · ωs
(3.9)
Tale relazione riveste un significato estremamente importante nelle valutazioni energetiche della macchina. Infatti, qualunque sia la velocità ωm di
rotazione della macchina, la coppia prodotta è rigidamente collegata alla
potenza trasmessa da statore a rotore. In altri termini, se alla macchina
viene richiesto un dato valore di coppia, occorre che lo statore trasmetta
attraverso il traferro un valore di potenza Pt , che è sempre lo stesso indipendentemente dal fatto che il motore sia fermo o in rotazione ad una
generica velocita ωm .
Dal circuito equivalente è necessario ricavare la corrente di rotore per poterla sostituire nella relazione della coppia motrice. Al fine di semplificare i
passaggi analitici, si suppone che jτ Xm >> Rs + jXsd , ossia si considerano
trascurabili le cadute di tensione su Rs e su Xds ; allora:
Ės = [(τ 2 Rr + jτ 2 Xdr ) + Rr τ 2
1
s
− 1 ] · I˙0 r
(3.10)
da cui:
I˙0 r =
τ 2 [ Rsr
Ės
+ jXdr ]
(3.11)
Ricavando il valore del quadrato del modulo della corrente:
|Ir02 | =
|Es2 |
2
2 ]
τ 4 [ Rsr + Xdr
(3.12)
e sostituendolo nella (3.8), si perviene all’espressione della coppia elettromagnetica Cem :
3Rr Es2 s
Cem =
(3.13)
2 )
ωτ 2 (Rr2 + s2 Xdr
CARATTERISTICA MECCANICA
24
L’andamento della Cem si determina analizzando l’equazione (3.13) in funzione dello scorrimento:
2
sotto l’ipotesi che Rr2 >> s2 Xdr
lim Cem ≈
s→0
3Es2
s = ks
ωτ 2 Rr
(3.14)
Quindi, per intervalli dello scorrimento prossimi allo zero, l’andamento della
coppia è una retta.
2
sotto l’ipotesi che Rr2 << s2 Xdr
lim Cem ≈
s→∞
3Es2 Rr
k0
s
=
sωτ 2 Xdr
s
(3.15)
Per valori di scorrimento elevati la coppia ha quindi un andamento iperbolico.
La caratteristica è riportata di seguito.
Figura 3.3: Caratteristica di coppia in funzione dello scorrimento.
E’ prassi comune disegnare la caratteristica di coppia in funzione della
velocità di rotazione del rotore anzichè in funzione dello scorrimento. Ricordando che ωr = (1-s) ωs , si osserva immediatamente che la caratteristica
in funzione della velocità può essere ottenuta ribaltando la curva precedente
rispetto all’asse s=0 ed operando una traslazione a destra pari a ωs .
CARATTERISTICA MECCANICA
25
Figura 3.4: Caratteristica di coppia in funzione della velocità.
Considerazioni sulla stabilità
Considerando la zona di funzionamento da motore (0 ≤ ωm ≤ ωs , 1 ≤ s ≤ 0),
si nota che inizialmente la coppia aumenta con la velocità fino al raggiungimento del valore di coppia massima (tratto AM). Per velocità ulteriormente
crescenti, la coppia si riduce rapidamente fino ad annullarsi in corrispondenza della velocità di sincronismo (tratto MO). Il tratto AM viene convenzionalmente definito tratto instabile, mentre il tratto MO viene definito
tratto stabile della caratteristica di coppia.
Supponendo che il motore lavori su un carico costante, si osserva che quando il punto di equilibrio tra coppia motrice (Cm) e coppia resistente (Cr) si
trova in corrispondenza del punto Q’, qualunque piccola perturbazione nella
velocità del sistema, libera delle coppie che tendono ad allontanarlo dalla
posizione di equilibrio.
Viceversa se l’equilibrio tra motore e carico è raggiunto in un punto Q” appartenente al tratto discendente della caratteristica di coppia, piccole perturbazioni sulla velocità producono azioni meccaniche di richiamo verso il
punto di equilibrio. Si noti che la pendenza del tratto stabile è generalmente
molto elevata; ne consegue che nei punti di normale utilizzo, i valori di scorrimento sono molto piccoli (pochi percento della velocità di sincronismo).
Funzionamento al sincronismo (s=0) o a vuoto
Quando la macchina ruota sincrona con il campo rotante, non si inducono
f.e.m. nè correnti negli avvolgimenti di rotore (Ir = 0). Il funzionamento
al sincronismo del motore è una condizione teorica; questa condizione viene
approssimativamente raggiunta quando al motore non sono applicate coppie
resistenti esterne, ovvero durante il funzionamento a vuoto. In quest’ultima
condizione operativa le uniche coppie frenanti presenti sono quelle proprie
CARATTERISTICA MECCANICA
26
del motore (attriti ai cuscinetti, effetti ventilanti) e lo scorrimento del motore è molto basso (ad esmpio, s0 ≈0.001).
Il valore di corrente assorbito dalla rete di alimentazione è esclusivamente
quello necessario a provvedere alla generazione del campo rotante ed a
sostenere le perdite nel ferro.
Tipicamente, nei motori asincroni, il valore della corrente a vuoto, riferito
alla corrente nominale è variabile dal 20% al 60% in relazione alla taglia di
potenza, al numero di coppie polari e allo spessore di traferro.
Funzionamento a rotore bloccato (s=1) o in cortocircuito
Questa condizione operativa si verifica allo spunto della macchina come motore. Tale condizione è generalmente di breve durata e quindi l’aspetto
transitorio del funzionamento è prevalente su quello stazionario descritto
dal circuito equivalente.
La corrente di rotore durante l’avviamento si ottiene dalla (3.11) ponendo
s=1.
La coppia di spunto è, invece, quella indicata dalla (3.15).
La (3.11) evidenza come, durante l’avviamento, le correnti di spunto (a
rotore e quindi anche a statore) siano molto elevate. Nell’impiego della
macchina asincrona come motore, la fase di avviamento corrisponde al massimo assorbimento di corrente dalla rete di alimentazione. Per i normali
motori, il valore di questa corrente è variabile da 5 a 10 volte il valore della
corrente nominale.
La condizione di spunto, indicata a volte come condizione di cortocircuito
della macchina, costituisce una condizione critica nel funzionamento del motore asincrono e può richiedere tecniche e dispositivi particolari per l’alimentazione del motore.
Ragionando sull’equazione (5.22), è possibile vedere come sia possibile ridurre
la corrente di avviamento mediante:
inserzione di reattanze in serie allo statore che devono essere escluse
(cortocircuitate) dopo l’avviamento del motore
avviamento tramite autotrasformatore al fine di fornire una tensione
ridotta in fase di avviamento
inserzione di resistenze rotoriche (solo per rotori di tipo avvolto): in
questo caso si ottiene una diminuzione della corrente ed un aumento
della coppia di spunto.
Punto a coppia massima
Derivando rispetto allo scorrimento l’espressione analitica della coppia (3.13)
è possibile determinare la massima coppia che il motore può produrre.
2 )] − (3R E 2 s)(2sωτ 2 X 2 d)
(3Rr Es2 )[ωτ 2 (Rr2 + s2 Xrd
d
r s
r
Cem =
2
2
2
2
ds
[ωτ (Rr + s Xrd )]2
(3.16)
CARATTERISTICA MECCANICA
27
Semplificando ed uguagliando a zero il numeratore, si ricava s̄:
2
2
Rr2 + s2 Xrd
− 2s2 Xrd
= 0 → s̄ = ±
Rr
Xrd
(3.17)
Dalla relazione determinata, si evince che lo scorrimento per cui la macchina eroga la massima coppia può essere variato modificando il valore della
resistenza di rotore, dato che l’induttanza di dispersione non è regolabile.
Tuttavia, il valore della Cem,M non cambia se si varia la resistenza di rotore,
ma cambia solamente il valore di scorrimento al quale si ha tale valore di
coppia.
Per determinare il valore della coppia massima si sostituisce nell’espressione
della coppia il valore s̄:
Cem,M (s̄) =
3.3
3Es2
2ωτ 2 Xrd
(3.18)
Regolazione della velocità
Dalla caratteristica meccanica, si può notare che il motore asincrono parte
autonomamente e raggiunge la velocità di regime quando la coppia motrice
elettromagnetica uguaglia quella resistente meccanica.
Per variare la velocità di regime è, quindi, necessario variare la caratteristica
meccanica del motore. E’ possibile ottenere la regolazione della velocità del
motore agendo sulle caratteristiche del circuito rotorico, sulle caratteristiche
del circuito statorico, sul valore efficace della tensione di alimentazione e sulla frequenza della tensione di alimentazione.
Variazione della resistenza rotorica
Al crescere della resistenza dei reostati esterni, la caratteristica meccanica
si modifica nel seguente modo:
Figura 3.5: Regolazione della velocità mediante variazione della resistenza
rotorica.
CARATTERISTICA MECCANICA
28
La regolazione di velocità ottenibile con questa tecnica è modesta; infatti, aumentando i valori di resistenza, le caratteristiche di coppia tendono ad
’appiattirsi’ e producono una scarsa stabilità in termini di velocità del punto
di funzionamento (modeste variazioni del carico producono ampie variazioni
della velocità). Questo sistema è stato largamente in uso in passato grazie
alla sua semplicità e grazie al fatto che con esso si potevano risolvere in modo efficiente i problemi di avviamento del motore. In ogni caso, dal punto
di vista energetico questa regolazione (di tipo dissipativo) è poco efficiente.
Variazione della reattanza di dispersione
La reattanza di dispersione non influenza sensibilmente le condizioni normali di funzionamento mentre incide in modo evidente sullo scorrimento e
sul valore di coppia massima, come anche sul valore della corrente e della
coppia allo spunto.
In particolare, una riduzione della dispersione conduce ad una maggiore
sovraccaricabilità del motore e ad un aumento della coppia e della corrente
di spunto.
Variazione della tensione di alimentazione
Una variazione di scorrimento può essere ottenuta modificando l’ampiezza
della tensione di alimentazione. Tale soluzione porta a regolazioni in un
campo abbastanza ristretto.
La tensione di alimentazione può essere variata con un parzializzatore a tiristori. In tal caso, le caratteristiche si riducono col quadrato della tensione
e di conseguenza cambia la loro pendenza nel tratto utile: il punto di equilibrio tra coppia motrice e coppia resistente si ottiene a velocità più basse.
Non si modifica invece lo scorrimento di coppia massima, che non dipende,
in prima approssimazione, dalla tensione.
Variazione del numero di poli
In alcuni particolari tipi di impiego può essere richiesto al motore di funzionare a due velocità nettamente diverse. Si pensi ad esempio al motore di
una lavatrice che deve produrre sia la velocità necessaria al lavaggio, sia la
velocità necessaria all’asciugamento (’centrifuga’).
Queste esigenze possono essere soddisfatte, in modo economico, attraverso
una semplice operazione di variazione delle connessioni dell’avvolgimento di
statore, in modo da configurare l’avvolgimento stesso con numeri di polarità
differenti. La modifica del numero di polarità porta, come è noto, ad una
corrispondente modifica della velocità del campo rotante e della velocità di
rotazione del motore. Tuttavia, questa variazione di velocità risulta discreta
e non regolabile con continuità.
Variazione della frequenza di alimentazione
Le possibilità di regolazione di tensione e frequenza di alimentazione offerte
dagli inverter trifase hanno enormemente ampliato il campo di regolazione
di velocità dei motori asincroni, al punto che oggi, in molte applicazioni che
impiegavano motori in corrente continua regolati di campo e di armatura,
sono utilizzati motori a induzione con inverter.
CARATTERISTICA MECCANICA
29
Attraverso la modifica della frequenza di alimentazione si modifica la velocità di sincronismo e, con essa, l’intervallo di velocità caratteristiche del
motore.
In questo modo il motore può compiere escursioni di velocità ben più ampie
di quelle ottenibili attraverso tecniche di regolazione rotorica. Tuttavia,
quando si altera il valore della frequenza di alimentazione, anche le altre
grandezze nominali del motore devono essere ridiscusse in modo che il motore possa funzionare correttamente nelle nuove condizioni. In altre parole,
non si potrà variare solo la frequenza, ma si dovrà anche variare la tensione
di alimentazione.
Al variare della frequenza di alimentazione varia la ω di sincronismo, allora
le caratteristiche meccaniche traslano nel seguente modo:
Figura 3.6: Regolazione della velocità mediante variazione della frequenza
di alimentazione.
È possibile quindi mantenere la coppia massima costante variando tensione
e frequenza in modo proporzionale, fino al limite massimo di tensione nominale, tale per cui non si comprometta l’integrità dell’isolante.
Figura 3.7: Campo di regolazione a coppia costante (regolazione V/f=cost).
CARATTERISTICA MECCANICA
30
Raggiunta la tensione nominale, per aumentare ulteriormente la velocità si
esegue una regolazione a tensione costante, variando solamente la frequenza.
Cosı̀ facendo la caratteristica diventa:
Figura 3.8: Campo di regolazione a potenza costante (V=costante).
Capitolo 4
Diagramma circolare
Il diagramma circolare è un mezzo grafico che ci consente di leggere tutte
le grandezze del motore asincrono trifase (potenza resa, perdite nel ferro,
coppia motrice, scorrimento, rendimento...) in qualsiasi condizione di funzionamento.
Per il tracciamento, che di solito viene limitato alla semicirconferenza superiore, sono necessari tre punti: il centro, il punto corrispondente al funzionamento a vuoto del motore (s=0) e quello corrispondente al funzionamento
a rotore bloccato o in cortocircuito (s=1).
Si rendono, quindi, necessarie due prove:
a vuoto;
in cortocircuito.
4.1
Prova a vuoto
Lo scopo di questa prova è quello di valutare le perdite e la corrente assorbita
dal motore nel funzionamento a vuoto, ossia quando non è applicata nessuna
coppia resistente all’asse. Questa prova permette, anche, di determinare la
resistenza equivalente delle perdite nel ferro (Rfe ) e la reattanza di magnetizzazione (Xm ) che costituiscono l’impedenza a vuoto Z0 (Z0 =Rfe //Xm ).
La prova a vuoto viene effettuata alimentando lo statore della macchina alla
sua tensione nominale e lasciando il rotore libero di ruotare.
Lo schema del circuito per la prova a vuoto è illustrato nella figura 4.1.
L’asincrono è alimentato da una rete alternata sinusoidale a tensione fissa
attraverso un regolatore di tensione (VARIAC). Questo regolatore consiste,
tipicamente, in un autotrasformatore a rapporto di trasformazione variabile
con continuità. La possibilità di regolazione introdotta si rende necessaria
per adeguare con precisione la tensione con cui si alimenta lo statore al valore nominale relativo all’avvolgimento in prova.
La sezione di misura lato alimentazione consiste di un amperometro per ogni
31
DIAGRAMMA CIRCOLARE
32
Figura 4.1: Schema di misura per la prova a vuoto sul motore asincrono
fase (A1 ;A2 ;A3 ), tre voltmetri (V12 ;V23 ;V31 ) e di due wattmetri in inserzione
Aron (W12 ;W32 ).
Attraverso questi strumenti si rilevano i valori della potenza attiva, di quella
reattiva, delle correnti e delle tensioni concatenate statoriche.
Durante il funzionamento a vuoto, essendo il rotore libero di ruotare, si può
assumere s≈0 e quindi il ramo a destra del circuito equivalente è aperto.
Per l’elaborazione della prova si può quindi far riferimento al seguente circuito equivalente semplificato.
Figura 4.2:
Circuito
funzionamento a vuoto
equivalente
dell’asincrono
per
descrivere
il
Dai wattmetri in inserzione Aron si ottiene la misura della potenza attiva
P0 e della potenza reattiva Q0 .

P0 ≈ Pf e = W12 + W32
(4.1)
√

Q0 = 3 (W32 − W12 )
Si assume come corrente di fase il valore medio delle tre letture:
I0 =
Essendo:
P0 =
(I1 + I2 + I3 )
3
√
3Vn I0 cos ϕ0
(4.2)
(4.3)
DIAGRAMMA CIRCOLARE
33
si ha che:
cos ϕ0 = √
4.2
P0
3 Vn I0
(4.4)
Vn
|Z̄0 | = √
3 I0
(4.5)
Rf e =
|Z̄0 |
cos ϕ0
(4.6)
Xm =
|Z̄0 |
sin ϕ0
(4.7)
Prova in cortocircuito
Questa prova serve a determinare, in modulo e fase, la corrente di cortocircuito che il motore assorbe quando si blocca il rotore per impedirgli di
girare.
Poichè la corrente di cortocircuito che si otterrebbe applicando al motore la
tensione nominale risulta eccessiva, la prova viene eseguita alimentando il
motore a tensione ridotta.
All’atto pratico si applica quella tensione, detta di cortocircuito (dell’ordine
del 15%-30%), che occorre per assorbire alla macchina col rotore bloccato,
la corrente nominale di pieno carico.
Si misurano la potenza attiva e reattiva assorbite, le correnti e le tensioni
concatenate statoriche. In questo caso i risultati devono essere riportati al
valore di corrente di riferimento. Essendo la caratteristica di cortocircuito
lineare è possibile fare la seguente proporzione:
Vcc
Vn
=
In
Icc
da cui
Icc =
Vn
In
Vcc
(4.8)
(4.9)
Lo schema di prova è il seguente.
Essendo il rotore bloccato, si può ritenere che s=1 e quindi il ramo in parallelo del circuito equivalente si può trascurare.
In figura è riportato il circuito equivalente monofase semplificato valido per
DIAGRAMMA CIRCOLARE
34
Figura 4.3: Schema di misura per la prova in cortocircuito sul motore
asincrono
Figura 4.4: Circuito equivalente del motore asincrono in cortocircuito
riportato al primario
la prova in cortocircuito.
La prova in corto circuito permette di determinare la Rcc e la Xcc .
Dai wattmetri in inserzione Aron si ottiene la misura della potenza attiva
Pcc e della potenza reattiva Qcc .

Pcc = W12 + W32
(4.10)
√

Qcc = 3 (W32 − W12 )
Essendo:
Pcc =
√
3 Vcc In cos ϕcc
si ha che:
cos ϕcc = √
Pcc
3 Vcc In
Vcc
|Z̄cc | = √
3 In
(4.11)
(4.12)
(4.13)
DIAGRAMMA CIRCOLARE
35
Rcc = |Z̄cc | cos ϕcc
(4.14)
Xcc = |Z̄cc | sin ϕcc
(4.15)
Icc =
4.3
Vn
In
Vcc
(4.16)
Misura della resistenza statorica
Tale misura ci consente di poter suddividere le perdite per effetto Joule statoriche da quelle rotoriche.
La misurazione della resistenza si effettua a macchina non alimentata (e opportunamente a macchina calda, cioè dopo una prova a corrente nominale,
per considerare la non linearità della resistività rispetto alla temperatura)
con un multimetro a quattro fili, nella funzione ohmetrica.
Avendo a che fare con una resistenza piccola, viene usato il principio dei
quattro morsetti, ossia essa viene dotata di due morsetti amperometrici,
necessari per la connessione col circuito esterno, e due voltmetrici, tra i
quali è compreso il valore dela resistenza. Ciò ci consente di evitare che la
misura risulti essere falsata dalle resistenze di contatto.
Il valore della resistenza ottenuto è dato dalla resistenza presente tra due
morsetti del lato primario.
Figura 4.5: Schema di montaggio per la prova voltamperometrica
DIAGRAMMA CIRCOLARE
4.4
36
Regole generali di tracciamento
Dalle prove eseguite è possibile dedurre il valore della corrente I0 in modulo
e fase da quella a vuoto, mentre da quella in cortocircuito si deducono modulo e sfasamento della Icc .
Il centro, invece, può essere individuato con una costruzione celere, ma approssimata.
Tracciando una semiretta parallela all’asse delle ordinate e passante per il
punto P0 (con P0 vertice del fasore I˙0 ) viene individuato un nuovo punto
M, dato dall’intersezione della semiretta con il fasore I˙cc . Dalla mediana
della corda P0 M viene tracciata una semiretta perpendicolare all’asse delle
ordinate; considerando adesso la corda M Pcc (con Pcc vertice del fasore I˙cc ),
viene tracciata un’altra semiretta perpendicolare alla mediana della corda,
la cui intersezione con la precedente semiretta tracciata individua il punto
O’ centro del cerchio.
Per la scelta delle scale si procede nel modo seguente:
si fissa la scala delle correnti: [A] A/cm;
√
da questa risulta la scala delle potenze: [P]= 3 Vn [A] W/cm;
e la scala delle coppie: [C]= [P]/ ω s = [P]/ (2π fn /p) N·m/cm, dove
ω s = 2π 50/2= 157 rad/sec.
Figura 4.6: Costruzione del diagramma circolare
DIAGRAMMA CIRCOLARE
37
Al fine della costruzione del diagramma è fondamentale eseguire la separazione delle perdite nel rame tra quelle di statore e quelle di rotore: si individua quindi, previa misura della resistenza statorica, la quota di perdite
nello statore, con la seguente formula:
2
Pcu,s = 3 · Rs Icc
(4.17)
Facendo riferimento alla figura 4.7, per un punto qualsiasi M che appartiene
al diagramma circolare, risulta che:
il segmento OM rappresenta l’intensità della corrente assorbita dal
motore;
il segmento M H è proporzionale alla potenza attiva assorbita dal motore. Infatti M H = OM cosφ = Icosφ e la tensione di alimentazione
è costante. L’asse delle ascisse prende perciò il nome di retta delle
potenze assorbite;
il segmento OH è proporzionale alla potenza reattiva impegnata dalla
macchina;
detto A il punto di incontro tra l’ordinata del cerchio e la retta uscente dal punto M0 e passante per il punto Mcc , il segmento M A è proporzionale alla potenza meccanica del motore. Per tale motivo la retta M0 Mcc è detta retta delle potenze meccaniche o delle potenze rese.
Infatti nei punti M0 e Mcc la potenza meccanica è nulla;
il segmento Mcc C 0 è proporzionale alle perdite per effetto Joule che
si hanno nel motore alimentato a tensione costante e a rotore bloccato. Il segmento Mcc C 0 è dato dalla differenza tra Mcc H 0 , proporzionale alle perdite totali nel funzionamento in cortocircuito, e
C 0 H 0 , che rappresenta approssimativamente le perdite nel ferro in
questo funzionamento;
il segmento AB è proporzionale alle perdite per effetto Joule nel rotore,
il segmento BC a quelle nello statore, mentre CH è proporzionale alle
perdite nel ferro corrispondenti al punto M.
il segmento M B è proporzionale alla coppia trasmessa e, quindi, è detto retta delle coppie trasmesse. Per tracciarla è necessario individuare
il punto B’, separando le perdite per effetto Joule dello statore e del
rotore.
DIAGRAMMA CIRCOLARE
Figura 4.7: Diagramma circolare
38
Conclusioni
L’analisi della macchina asincrona è stata condotta, passo per passo, seguendo cinque punti essenziali:
1. definizione del modello idealizzato della macchina;
2. espressione dei flussi concatenati in termini di induttanze proprie e
mutue;
3. applicazione dei principi di Kirchhoff al fine di ottenere le relazioni
tensioni-correnti;
4. espressione della coppia e determinazione della caratteristica meccanica;
5. costruzione del diagramma circolare e analisi delle sue caratteristiche.
Da tale studio appare evidente come la macchina asincrona sia un valido
dispositivo di conversione dell’energia.
Infatti, essa costituisce il tipo più comune di motore elettrico, grazie alle sue
caratteristiche: strutturalmente semplice ed estremamente robusta (richiede
una scarsa manutenzione).
L’acquisizione del circuito equivalente mediante il modello matematico, esposto nel capitolo 2, e la realizzazione del diagramma circolare, analizzata
nel capitolo 4, sono un importante risultato di tale relazione, dal momento che da essi si possono derivare agevolmente le prestazioni del motore in
condizioni di regime permanente, nonchè i suoi limiti, esposti nel corso della
trattazione.
39