Lavoro ed energia

Lavoro ed energia
Sia dato un corpo su cui agisce una forza. Supponiamo che inizialmente il corpo sia fermo, dalla
relazione F = ma dopo un certo intervallo di tempo in cui la forza agisce sull’oggetto, il corpo avrà
percorso un certo spazio s .
La forza quindi ha svolto la sua azione provocando uno spostamento sul corpo.
Nel momento in cui la forza non agisce più sul corpo, quest’ultimo prosegue il suo moto di moto
rettilineo uniforme (in accordo con il principio d’inerzia) oppure si ferma se il piano del moto
presenta attrito.
L’azione che la forza imprime sul corpo viene definito lavoro compiuto dalla forza (sul corpo).
Definizione: si definisce lavoro di una forza F su un corpo il prodotto scalare tra la forza e lo
spostamento che essa determina sul corpo stesso, cioè
r r
L = F ⋅ s = Fs cos α
dove α rappresenta l’angolo compreso tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.
L’unità di misura del lavoro è il Joule si ricava dalla relazione dimensionale:
[N ⋅ m] = [J ]
Una forza compie un lavoro di un 1 Joule se provoca su un corpo uno spostamento di 1 metro
quando essa ha l’intensità di un Newton.
Osservazione
1. Se la forza e lo spostamento sono concordi l’angolo α vale zero cos(0) = 1
2. Se la forza e lo spostamento sono discordi l’angolo α vale 180° cos(180) = −1
3. Se la forza e lo spostamento sono perpendicolari l’angolo α 90° cos(90) = 0
Nel primo caso lo spostamento è concorde alla forza che pertanto compie un lavoro positivo.
Nel secondo caso lo spostamento è discorde alla forza che pertanto compie un lavoro negativo.
Nel terzo caso lo spostamento è perpendicolare alla forza che pertanto non compie un lavoro.
Nel caso in cui forza e spostamento non siano paralleli (concordi o discordi), soltanto una parte
della forza compirà un lavoro, infatti solo una componente della forza (e non la sua totalità)
provocherà lo spostamento, quindi quest’unica componente parallela a ∆s compie un lavoro.
Infatti:
r
F
α
∆s
La forza (nella sua totalità) non genera spostamento, quindi il lavoro da essa compiuto è
r r
L = F ⋅ s = Fs cos α
Poiché 0 < α < 90° si ha che 0 < cos α < 1 , quindi il lavoro in questo caso assume un valore minore
del prodotto Fs .
Osservazione
Se una lo spostamento di un corpo avviene perpendicolarmente ad una forza, quest’ulitma non
compie lavoro. Precisiamo meglio questo concetto.
Se andando a scuola abbiamo lo zaino in spalla, esso si sposta parallelamente al suolo e quindi tale
spostamento è perpendicolare rispetto al forza di gravità.
spostamento
direzione forza peso
Poiché lo spostamento e la forza peso sono perpendicolari, quest’ultima non compie lavoro sullo
zaino, ciò non significa che lo studente che trasporta o zaino non faccia fatica, infatti egli si oppone
alla forza attrattiva della forza peso sostenendo la cartella (principio di azione e reazione).
Cioè se spostamento e forza sono perpendicolari non vuol dire che per forza nessuno debba
applicare una forza.
Osservazione
Se su un oggetto agiscono più forze, abbiamo visto che la risultante dell’azione delle forza è data
dalla somma delle singole forze, cioè
Fris = ∑ F
Analogamente il lavoro risultante compiuto da singole forze su un oggetto è data dalla somma dei
singoli lavori compiuti da ognuna delle forze agenti.
r
F2
r
F3
r
F1
L = L1 + L2 + L3 = F1 ⋅ ∆s1 + F2 ⋅ ∆s 2 + F3 ⋅ ∆s 3
cioè
Lris = ∑ L
Tale risultato si può esprimere anche
Lris = Fris ⋅ ∆s ris
dove ∆s ris è la risultante degli spostamenti.
Definizione: si definisce potenza il rapporto tra il lavoro compiuto da una forza e l’intervallo di
tempo in cui essa lo compie, cioè
P=
L
∆t
L’unità di misura della potenza si misura è il Watt, esso si ricava dalla relazione:
J 
 s  = [W ]
Una forza ha la potenza di 1 watt se in un secondo compie un lavoro pari ad 1 Joule.
Energia cinetica e potenziale
Consideriamo il seguente esempio.
Supponiamo di avere un meccanismo che produca energia in seguito alla forza con cui si colpisce
un supporto.
Rappresentiamo schematicamente tale macchina.
Consideriamo alcune possibilità
Situazione 1: oggetto avente massa uguale lasciato cadere da altezze diverse
L’oggetto di massa m
viene lasciato cadere
da un’altezza h1 , esso
quando
0
10
colpisce
il
supporto produrrà un
energia E1 che verrà
segnalata dal contatore
a sinistra
L’oggetto di massa m
viene lasciato cadere
ora
da
un’altezza
h2 > h1 , esso quando
colpisce il supporto
produrrà un energia
0
10
E 2 > E1 .
La velocità di impatto del corpo in questo caso è maggiore rispetto alla prima situazione, quindi per
un oggetto che cade da un’altezza h1 e poi da h2 > h1 si ha:
altezza h1 velocità di impatto v1 energia prodotta E1
altezza h2 velocità di impatto v2 energia prodotta E 2
confrontando i dati abbiamo
altezza h2 > h1 velocità di impatto v 2 > v1 energia prodotta E 2 > E1
Conclusione
Se un oggetto viene lasciato cadere da un’altezza h esso produce un’energia E quando colpisce il
supporto con una velocità v . All’aumentare dell’altezza aumenta la velocità di impatto e l’energia
prodotta.
Situazione 2: oggetti avente masse diverse lasciati cadere da altezze uguali
L’oggetto di massa m1
viene lasciato cadere
da un’altezza h , esso
quando
0
10
colpisce
il
supporto produrrà un
energia E1 che verrà
segnalata dal contatore
a sinistra
L’oggetto
m2
viene
di
massa
lasciato
cadere da un’altezza
h,
esso
quando
colpisce il supporto
produrrà un energia
0
10
E 2 > E1 .
La velocità di impatto del corpo in quest’ultimo caso è maggiore rispetto alla prima situazione,
quindi per oggetti diversi che cadono da una stessa altezza h si ha:
massa m1 velocità di impatto v1 energia prodotta E1
massa m2 velocità di impatto v2 energia prodotta E 2
confrontando i dati abbiamo
massa m2 > m1 velocità di impatto v 2 > v1 energia prodotta E 2 > E1
Conclusione
Se oggetti aventi masse diverse vengono lasciati cadere da una stessa altezza h essi producono
un’energie E1 ed E 2 diverse quando colpiscono il supporto con una velocità v2 , v1 . All’aumentare
della massa aumenta la velocità di impatto e l’energia prodotta.
Con questo esempio abbiamo voluto illustrare il fatto che la velocità di impatto produce energie
diverse, ma l’energia prodotta dipende dalla velocità e dalla massa del corpo e dall’altezza.
Possiamo concludere che l’energia prodotta dipende proprio da queste due caratteristiche: altezza e
massa che determinano la velocità di impatto che genera energia.
L’energia quindi che dipende da massa e altezza viene trasportata dalla velocità del corpo che
colpisce il supporto.
Osservazione
Poiché negli esempi trattati agisce al forza peso e vi è uno spostamento di un corpo, la forza peso
produce su di esso un lavoro.
Definizione: si definisce energia cinetica l’energia posseduta dai corpi in movimento, essa vale
Ec =
1 2
mv
2
L’unità di misura dell’energia cinetica è il Joule, infatti
2

m2 
m  
kg ⋅    = kg ⋅ 2  =
s 
 s   

m 

kg ⋅ s 2 ⋅ m = [N ⋅ m] = [J ]
Osservazione (equivalenza tra lavoro ed energia cinetica)
Un corpo che viene lasciato cadere da fermo parte con velocità nulla, quindi
v0 = 0 E c 0 = 0
Un istante prima che esso raggiunga il suolo ha velocità massima, quindi
vmax E max =
1 2
mvmax
2
Su di esso compie lavoro la forza peso tale lavoro serve per far aumentare la velocità del corpo dal
valore iniziale al valore finale.
Poiché sia il lavoro sia l’energia cinetica si misurano in Joule, rappresentano la stessa caratteristica
per il corpo da due punti di vista diversi.
Ripensando all’esempio della macchina visto in precedenza abbiamo:
“lavoro velocità”
Più lavoro compie la forza peso sull’oggetto maggiore sarà la velocità acquisita dal corpo che
pertanto è in grado di produrre più energia. All’aumentare del lavoro, cioè dello spazio di caduta,
aumenta la velocità finale del corpo.
“velocità lavoro”
Nell’aumentare la propria energia nel moto di caduta il corpo utilizza e converte il lavoro che la
forza peso compie su di esso. Maggiore sarà la velocità finale del corpo tanto più lavoro è
necessario da parte della forza peso per raggiungere tale risultato.
La relazione tra energia cinetica e lavoro è data dal
Teorema dell’energia cinetica
Il lavoro compiuto dalla forze agenti su un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica
L=
1 2 1 2
mv f − mvi oppure L = ∆E c
2
2
Cioè un corpo utilizza il lavoro che viene compiuto su di esso per modificare la propria velocità,
oppure possiamo dire in maniera equivalente per modificare la velocità di un corpo è necessario un
lavoro pari alla variazioni di energia cinetica.
Definizione: si definisce energia potenziale l’energia posseduta dai corpi in relazione alla loro
posizione e alla forza cui sono sottoposti.
E p = mgh
Ep =
energia potenziale gravitazionale
1 2
kx
2
energia potenziale elastica
L’unità di misura dell’energia potenziale è il Joule, infatti (caso gravitazionale):
m 

kg ⋅ s 2 ⋅ m = [N ⋅ m] = [J ]
Ripensiamo sempre all’esempio della macchina per produrre energia.
Se l’oggetto è appoggiato sul piano, esso non produce energia.
Se alziamo l’oggetto e lo lasciamo cadere, esso produce energia in quantità direttamente
proporzionale alla massa del corpo e alla sua altezza.
Cioè il movimento che realizziamo per alzarlo fa si che l‘oggetto “si carichi” di energia che
restituisce al momento dell’impatto con il macchinario.
Più lo alziamo più il corpo “si carica” di energia che permette di ottenere una velocità di impatto
maggiore quando esso viene rilasciato.
Quando alziamo il corpo pero, viene compiuto un lavoro contrario alla forza peso, infatti esso viene
spostato parallelamente a F p ma in senso discorde. Pertanto il lavoro che esso riceve è un lavoro
contro la forza peso.
Quando poi viene rilasciato la forza peso agisce concordemente allo spostamento e ne fa aumentare
la velocità da zero al valore massimo.
Quindi un bilancio energetico permette di affermare:
viene compiuto un lavoro contrario alla forza peso, cioè il corpo viene caricato di energia,
acquista quindi la capacità di rilasciare questa energia compiendo un lavoro
il lavoro compiuto sul corpo viene utilizzato per aumentare l’energia cinetica
Possiamo concludere:
quando il corpo cade perde l’energia acquistata e la cede compiendo lavoro;
quando il corpo viene spostato verso l’alto, acquista capacità di compiere lavoro.
Relazione tra forza peso e lavoro.
Un corpo quando cade allora perde energia potenziale (passa da punti con energia potenziale
maggiore a punti con energia potenziale minore), il lavoro compiuto dalla forza peso è positivo
(forza peso e spostamento sono concordi).
Un corpo quando viene spostato verso l’alto acquista energia potenziale (passa da punti con energia
potenziale minore a punti con energia potenziale maggiore) ), il lavoro compiuto dalla forza peso è
negativo (forza peso e spostamento sono discordi).
Generalizzando il risultato ottenuto possiamo affermare che la variazione di energia potenziale e
lavoro pertanto è data dalla seguente relazione generale:
Relazione
L = − ∆E p
tra
lavoro
ed
energia potenziale
Per far acquistare energia potenziale ad un corpo si deve compiere un lavoro contro una forza.
Se un corpo cede energia potenziale essa viene utilizzata per compiere lavoro.
Forze conservative
Definizione: una forza si dice conservativa se:
il lavoro che essa compie dipende dal punto iniziale e dal punto finale ma non dalla
traiettoria seguita
oppure (equivalente)
il lavoro che essa compie su una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo.
Osservazione
La distanza tra il punto finale e il punto iniziale è lo spostamento presente tra i due punti.
Per forza conservativa il lavoro non dipende dalla traiettoria, cioè scomponendo la traiettoria in
componente orizzontale e verticale, si ha che
F
A
B
Indicando con F il verso della forza, il lavoro è positivo lungo gli spostamenti orizzontali e nullo
lungo gli spostamenti verticali.
Il lavoro dipende quindi solo dagli spostamenti orizzontali (quelli paralleli alla forza F) che messi
uno di seguito all’altro danno come risultato lo spostamento che porta il punto da A a B nel verso
della forza.
Nel caso di una traiettoria chiusa il lavoro di una forza conservativa è nullo, poiché il punto iniziale
e il punto finale coincidono quindi lo spostamento è nullo.
A≡B
Distanza AB = 0
Viceversa è possibile affermare che:
se il lavoro compiuto da una forza lungo una traiettoria dipende soltanto dal punto iniziale e
dal punto finale, essa è conservativa
oppure
se una forza compie lavoro nullo lungo una traiettoria chiusa, essa è conservativa.
Osservazione(forze non conservative)
Una forza non è conservativa se il lavoro che essa compie dipende dalla traiettoria oppure se lungo
un cammino chiuso compie un lavoro non nullo.
L’attrito è una forza non conservativa, esso infatti si oppone sempre al moto e alle forze.
Principio di conservazione dell’energia meccanica.
Definizione: si definisce energia meccanica di un corpo la somma della sua energia potenziale e
della sua energia cinetica
Consideriamo sempre l’esempio della macchina che produce energia quando viene colpito il
supporto.
Quando
l’oggetto
fermo
nella
posizione
l’energia
è
sua
iniziale
cinetica
è
nulla ( v = 0 ), mentre
l’energia potenziale è
massima in quanto è
0
10
massima l’altezza.
Non
appena
l’oggetto
inizia a cadere l’energia
potenziale
inizia
a
diminuire, quindi la forza
peso compie un lavoro
positivo ( L = − ∆E p ) il cui
0
10
risultato è quello di far
aumentare la velocità del
corpo.
Quando
l’oggetto
colpisce il supporto
l’energia potenziale è
nulla
l’energia
(h = 0)
cinetica
e
è
massima.
0
10
Questo esempio vuole mettere in luce come l’energia posseduta inizialmente venga utilizzata per
colpire il supporto.
Ad altezze diverse corrispondono energie prodotto diverse e quindi diverse velocità di impatto.
Dall’analisi del comportamento dell’energia cinetica e potenziale in relazione al lavoro possiamo
dire che:
L = − ∆E p
L = ∆E c
L’energia potenziale ceduta in seguito alla caduta del corpo equivale al lavoro compiuto dalla forza
peso che serve a sua volta per far aumentare la velocità del corpo e quindi la sua energia cinetica.
L’energia potenziale posseduta inizialmente viene quindi convertita in energia cinetica, durante la
caduta inoltre le due energie sono tali che la variazione (negativa) di energia potenziale corrisponde
alla variazione (positiva) di energia cinetica.
Infatti dalle relazioni L = − ∆E p e L = ∆E c si ha
∆E c + ∆E p = 0
Cioè la variazione di energia meccanica per un corpo non varia.
Varia l’energia potenziale e l’energia cinetica ma non la loro somma.
Il lavoro può essere considerato il mezzo attraverso il quale l’energia passa da un corpo all’altro e
da una forma all’altra.
Teorema di conservazione dell’energia meccanica per forze conservative
L’energia meccanica totale posseduta da un corpo è costante ed è data dalla somma dell’energia
cinetica e dell’energia potenziale.
E c + E p = E tot
Osservazione
La forza di gravità e la forza elastica sono forze conservative, pertanto in assenza di attrito
possiamo scrivere:
1. teorema di conservazione dell’energia meccanica per la forza gravitazionale
1 2
mv + mgh = E tot
2
dove h è l’altezza rispetto ad un livello fissato (rispetto al quale l’energia potenziale è nulla)
2. teorema di conservazione dell’energia meccanica per la forza elastica
1 2 1 2
mv + kx = Etot
2
2
dove k è la costante elastica della molla e x è l’allungamento rispetto al posizione di equilibrio.
Principio di conservazione dell’energia
Un sistema si dice isolato se non può avere scambi di materia o interazioni con l’esterno.
Poiché l’energia non si crea e non si distrugge, l’energia posseduta da un sistema isolato rimane
sempre costante.
Abbiamo visto che nel caso di forze conservative ciò corrisponde alla conservazione del’energia
meccanica.
Nel caso di forze non conservative il principio di conservazione dell’energia vale ugualmente,
infatti si ha che:
quando su un corpo agiscono forze non conservative la sua energia meccanica diminuisce, essa
viene pertanto dissipata;
l’energia meccanica dissipata non è persa ma viene convertita in altra forma di energia, in
particolare nel caso della presenza di attrito l’energia meccanica viene convertita in energia termica.
Possiamo scrivere allora:
E c + E p + E d = E tot
Cioè l’energia totale di un sistema isolato si conserva ed è data dalla somma dell’energia cinetica,
dell’energia potenziale e dell’energia meccanica dissipata da forze non conservative.