Antica Algebra Babilonese
L‘algebra babilonese fu probabilmente la più avanzata
dell'intero bacino mediterraneo per secoli.
I babilonesi sapevano infatti risolvere le equazioni di
secondo grado con formule risolutive analoghe a
quelle usate oggi. Vi furono, però delle eccezioni
relative a particolari equazioni di grado superiore al
secondo, ma si trattava di casi particolari e spesso
riconducibili al secondo grado.
Sino ad alcuni anni fa era opinione corrente che i
contenuti delle tavolette matematiche babilonesi, si
trovassero ad un notevole livello algebrico.
L’algebricità dei problemi babilonesi si ricavava
principalmente dal fatto che poteva accadere di
trovare la somma di un’area con una lunghezza (x2+x).
L’incongruità di una tale operazione fece dedurre che
in realtà si usavano nomi geometrici intesi solo come
numeri, distaccati da un originale significato
geometrico.
Lo storico matematico italiano Ettore Bortolotti ( 18661947) dopo la stampa e traduzioni di molte tavolette
ad opera di Otto Neugebauer, osservò che, non
potendosi attribuire un livello algebrico troppo elevato
ad una matematica agli inizi, si doveva pensare
Egli affermò che «i problemi babilonesi quasi tutti hanno
veste geometrica. Il sommare il volume di un parallelepipedo
colla sua superficie di base, che per noi sarebbe un
controsenso, in Babilonia significava l’aggiungere al solido
un altro strato alto un braccio (cioè l’aumentare di un
braccio l’altezza del solido, senza variare la base) e ciò era
confacente ai loro sistemi di misura ed al procedimento dei
loro calcoli».
Una omogeneizzazione la si può trovare esplicita in
Omar Khayyam (1048-1131) matematico persiano che
parla di numero solido, considerato come altezza di un
parallelepipedo con base quadrata di area uguale a
uno.
La traccia principale del procedimento seguito
dall’antica algebra babilonese ha come punto di
partenza la geometria e si sviluppa via via in algebra,
con un passaggio ottenuto attraverso i meccanismi
aritmetici, nati dalla ripetizione dei procedimenti
geometrici. Difatti anche se i problemi erano basati
inizialmente sulla geometria, si trattava di
manipolazioni molto astratte, algoritmi operativi per
la soluzione di problemi.
I problemi che vedremo nel seguito sono problemi di
‘sapore algebrico’ che hanno influito a formare una
mentalità algebrica sempre più esplicita.
L’algebra babilonese era retorica, verbale e senza
simbolismi, ossia i vari procedimenti erano espressi a
parole, le incognite dei problemi erano espresse con
termini tratti dalla geometria:
uš - lunghezza;
sag - larghezza;
a-sa - area.
Le tappe indicative del passaggio dalla geometria
all’algebra della matematica babilonese sono
evidenziate dal ritrovamento di tavolette su cui sono
incisi:
- problemi affrontati con soluzioni geometriche
basilari;
- problemi affrontati con soluzioni algebriche,
marcatamente svincolate dalla geometria;
- problemi affrontati con il metodo della ‘falsa
posizione’.
Liceo Scientifico - Alexis Carrel
La nostra conoscenza della matematica babilonese
deriva dal ritrovamento, risalente alla metà del XIX
secolo, di più di 400 tavolette di argilla scritte in
carattere cuneiforme. La maggior parte è datata
nell’epoca paleobabilonese dal 1800 al 1600 a.C. e
tratta problemi relativi a equazioni e sistemi di primo
e secondo grado. Altre tavolette includono tavole di
calcolo di inversi, di terne pitagoriche, di
moltiplicazione e tavole trigonometriche.
piuttosto a linee con uno spessore e superfici con
altezze, in modo da rendere omogenei i termini delle
operazioni considerate.
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Al-giabr wa-l-muqabala
La matematica babilonese faceva uso di un sistema di
numerazione posizionale sessagesimale, a base 60. Lo
sviluppo di essa probabilmente fu favorito da questo
particolare sistema di numerazione.
1
Tavoletta BM 13901,1*
Soluzione:
Prendi il coefficiente 1 (numero del lato considerato).
Prendi la metà di 1.
Tu hai 1/2.
Moltiplica 1/2 con 1/2 (fa) 1/4.
Congiungi 1/4 con 3/4 e (fa) 1 che ha 1 come radice quadrata.
1/2 che tu hai moltiplicato per se stesso, sottrai da 1 e (fa) 1/2 (che) è il (lato del)
quadrato.
Le operazioni indicate dallo scriba babilonese sono
proprio quelle che si farebbero applicando la nostra
formula risloutiva
x = (1/2)2 + 3/4 – 1/2
all’equazione
x2 + x = 3/4.
Questa perfetta corrispondenza non
che la matematica babilonese avesse
nostra formula risolutiva, anche la
simbolismo non avrebbe impedito
parole.
deve far pensare
a disposizione la
mancanza di un
di enunciarla a
In realtà è molto probabile che per la risoluzione di
questa equazione e di altre equazioni del tipo:
x2 + ax = b
si eseguisse un metodo geometrico legato alla
formazione di un quadrato, detto il metodo del
completamento del quadrato.
Notiamo che se diamo un significato geometrico anche
al problema oltre che alla sua risoluzione, ci si trova
nell’incomprensibile condizione di sommare una
superficie con un segmento! Ma come abbiamo già
anticipato si devono intendere segmenti con uno
spessore.
Nel caso specifico la somma indicata nel testo deve
intendersi quella di un quadrato (x2) con un rettangolo
avente una dimensione (x) uguale al lato del quadrato
stesso e l’altra uguale all’unità.
SOLUZIONE GEOMETRICA ipotizzata da Jens
Høyrup:
Indicato con x il lato del quadrato ABCD, gli si
aggiunga accanto il rettangolo ABFE di dimensioni 1 e
x. Il rettangolo DEFC (x2+1x) misura pertanto 3/4
(fig.1).
Si divida il segmento AE, lungo 1, per mezzo del
punto G e a metà il rettangolo EFBA con il segmento
GH (fig.2) e lo si trasporti in modo che GH coincida
con BC (fig.3).
Per completare il quadrato occorre aggiungere alla
figura esagonale EFDGHB il quadrato di lato BH=AG
di misura 1/2. Questo quadrato misura 1/4 e il
quadrato GIFD ottenuto misura 3/4 + 1/4 = 1 (fig.4).
Quindi la radice quadrata di questo quadrato, misura
del segmento GD è dunque 1, e il valore
x = GD - GA = 1 – 1/2 =1/2
SOLUZIONE ALGEBRICA:
x2 + x = 3/4
quindi
x2 + x + 1/4 = 3/4 + 1/4 = 1
ovvero
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Testo:
La superficie (e il lato) del quadrato ho sommato e fa 3/4.
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TAV. BM 13901,1*
(x + 1/2)2 = 1
passando all’estrazione di radice si ha:
x + 1/2 = 1.
2
Tavoletta BM 13901,1*
Soluzione:
Prendi il coefficiente 1 (numero del lato considerato).
Prendi la metà di 1.
Tu hai 1/2.
Moltiplica 1/2 con 1/2 (fa) 1/4.
Congiungi 1/4 con 3/4 e (fa) 1 che ha 1 come radice quadrata.
1/2 che tu hai moltiplicato per se stesso, sottrai da 1 e (fa) 1/2 (che) è il (lato del)
quadrato.
X2 + 1· x = 3/4
E
A
D
1
G
A
H
B
B
X
C
F
1/2
Fig. 1
A
G
H
D
X2
1· X
F
E
G’
B
Fig. 2
D
C
H’
F
E
Fig. 3
C
G
H
1/2
I
A
B
G’
1/2 E
Fig. 4
D
2
C
H’
F
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Testo:
La superficie (e il lato) del quadrato ho sommato e fa 3/4.
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TAV. BM 13901,1*
3
Tavoletta BM 13901,23*
Soluzione:
4 i lati tu prendi.
Il reciproco di 4 (è) 1/4 e 1/4 moltiplica per 25/36 e 25/144 tu prendi.
1, il coefficiente, tu vi congiungi e (fa) 169/144 e 13/12 come radice quadrata.
1, il coefficiente che vi hai congiunto togli (e fa 1/2) e 1/12 moltiplica per 2 e (fa) 1/6,
il lato (richiesto).
La traduzione algebrica del testo del problema 23 è la
seguente
4x + x2 = 25/36
SOLUZIONE ALGEBRICA:
Le
operazioni
all’equazione
della
tavoletta
porterebbero
x + (x2/4) = 25/144
Si aggiunge 1 ad entrambi i membri in modo da
ottenere al primo un quadrato perfetto (i numeri sono
scelti in modo che la radice quadrata del secondo
membro sia un numero razionale):
1 + x + (x2/4) = 1 + 25/144 = 169/144
ovvero
(1 + x/2)2 = 169/144
Estraendo la radice si ha
1 + x/2 = 13/12 = 1 + 1/12
quindi x/2=1/12 da cui x =2 · (1/12) = 1/6.
Questa soluzione algebrica appare troppo elaborata,
troppo moderna, per essere accettabile.
Pertanto ricorriamo alla soluzione geometrica delle
operazioni indicate nella tavoletta.
SOLUZIONE GEOMETRICA:
Dal quadrato ABCD (x2) con i quattro rettangoli di
dimensioni 1 e x, si ottiene x2 + 4x = 25/36.
Mediante la linea tratteggiata FEG si ottiene il
poligono tratteggiato di misura x + x2/4 = 25/144
(fig1).
Infine
1 + x + (x2/4) = (1 + x/2)2
risulta essere il quadrato GEFH di misura 169/144
(fig.2).
La radice quadrata fornisce il valore del lato del
quadrato
GE = 1 + x/2 = 13/12
da cui
x/2 = 13/12 – 1 = 1/12
x = 2· (1/12) = 1/6
________________________________________________
In questo problema n. 23 della tavoletta BM 13901,
possiamo trovare applicato un procedimento diverso
dal problema n. 1 che ritroviamo nella stessa tavoletta
applicato al caso particolare x2 + 4x = b (con b valore
assegnato), cioè al problema di determinare il lato di
un quadrato di cui si conosce la somma tra la sua area
e il suo perimetro.
Osserviamo che questa tipologia di problema “area
più perimetro” di un quadrato si ritrova in molti altri
autori:
nel Liber mensorationum di Abu Bakr (800 d.C.)
con b=140;
nella Geometria dello Pseudo-Erone con b=896;
nel Liber Embadorum di Savasorda (XII sec.) con
b=77;
Leonardo Pisano pone b=140 e ripete le stesse
operazioni di Savarsorda, dopo aver risolto
aggiunge significativamente: “…e così avviene in
tutti quei casi nei quali un numero è uguale ad un
quadrato ed a radici (b=x2+ax) o un quadrato è uguale
a radici e numero (x2=ax+b)”;
nel Trattato d’Abaco di Piero Della Francesca: “Egli
è un quadrato che la sua superficie, gionta coi suoi
quattro lati, fa 140. Domando che è il suo lato.” La
giustificazione geometrica che utilizza segue la
traccia del problema n. 1 della tavoletta BM
13901.
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Testo:
Su una superficie.
Quattro lati e una superficie ho sommato e (fa) 25/36.
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TAV. BM 13901,23*
4
Tavoletta BM 13901,23*
Soluzione:
4 i lati tu prendi.
Il reciproco di 4 (è) 1/4 e 1/4 moltiplica per 25/36 e 25/144 tu prendi.
1, il coefficiente, tu vi congiungi e (fa) 169/144 e 13/12 come radice quadrata.
1, il coefficiente che vi hai congiunto togli (e fa 1/2) e 1/12 moltiplica per 2 e (fa) 1/6,
il lato (richiesto).
X2 + 4· x = 25/36
X
F
H
A
D
X2
G
B
F
1
X/2
X
E
1
1
1
C
X/2
1
X
Fig. 1
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Testo:
Su una superficie.
Quattro lati e una superficie ho sommato e (fa) 25/36.
G
4
Fig. 2
X2/4
E
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TAV. BM 13901,23*
5
Tavoletta YBC 6967
Operazioni della tavoletta:
7/2 = 3 + 1/2;
( 3 + 1/2 )2 = 12 + 1/4;
12 + 1/4 +60 = 72 + 1/4;
72 + 1/4 = 8 + 1/2;
8 + 1/2 + 3 + 1/2 = 12;
8 + 1/2 – (3 + 1/2) = 5.
Occorre notare che si può ridurre un’equazione di
secondo grado del tipo
x2 – ax = b
ovvero
x(x - a) = b
ponendo y=(x-a)
prodotto”:
in un sistema “differenza
e
x-y = a
xy = b
Un esempio di sistema “differenza e prodotto” si trova
nella tavoletta YBC 6967 risalente all’antica
matematica babilonese (1800 a.C.).
SOLUZIONE GEOMETRICA:
Si costruisca il rettangolo ABCD di base AB=x e
altezza AD=y (con x>y).di misura uguale a 60.
Sul lato AB si prenda il punto E tale che sia
AE=AD=y
e si costruisca il quadrato AEFD (y2) (fig.1).
EB=(x-y)=7 e, prendendo il punto di mezzo H di EB, i
segmenti EH e HB misurano entrambi 7/2.
I due rettangoli FEHG e GHBC sono equivalenti e si
sposti il secondo in modo che il lato HG coincida con
AE.
L’esagono ottenuto equivale al rettangolo di partenza
ABCD e ha quindi area di misura uguale a 60 (fig.2).
Aggiungendo il quadrato ECIH di misura (7/2)2 si
ottiene il (completamento del) quadrato DBIG di area
di misura uguale a
60+(7/2)2=72+1/4 (fig.3).
Il lato DG di tale quadrato è quindi uguale alla radice
quadrata di questo valore che è uguale a 8+1/2.
Si ha infine
x=DC=DG+GC=8+1/2+7/2=12
e di conseguenza
y=DF=DC-FC=12-7=5.
SOLUZIONE ALGEBRICA:
Il sistema è il seguente:
x-y = 7
xy = 60
La soluzione algebrica ripercorre passo dopo passo
quella geometrica e le operazioni della tavoletta:
(x-y)/2=7/2=3+1/2;
[(x-y)/2]2=12+1/4;
[(x+y)/2]2=[(x-y)/2]2+xy=72+1/4;
(x+y)/2= 72+1/4 = 8+1/2;
(x+y)/2+(x-y)/2=x=(8+1/2)+(3+1/2)=12;
(x+y)/2-(x-y)/2=y=(8+1/2)-(3+1/2)=5.
________________________________________________
Ritroviamo questo tipo di problema nel Trattato
d’Abaco di Piero della Francesca e nella Summa di Luca
Pacioli.
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Testo:
(L’area è 60), la base supera l’altezza di 7; quanto sono base e altezza?
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TAV. YBC 6967
6
Tavoletta YBC 6967
Operazioni della tavoletta:
7/2 = 3 + 1/2;
( 3 + 1/2 )2 = 12 + 1/4;
12 + 1/4 +60 = 72 + 1/4;
72 + 1/4 = 8 + 1/2;
8 + 1/2 + 3 + 1/2 = 12;
8 + 1/2 – (3 + 1/2) = 5.
x-y = 7
xy = 60
D
F
G
C
F
D
G
Y
E
A
H
7/2
E
A
B
7/2 H
7/2
C
B
X
Fig. 1
Fig. 2
F
D
E
A
B
C
Fig. 3
G
H
I
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Testo:
(L’area è 60), la base supera l’altezza di 7; quanto sono base e altezza?
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TAV. YBC 6967
7
Tavoletta BM 34568,9*
TAV. BM 34568,9*
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Operazioni della tavoletta:
14 · 14 = 196;
48 · 4 = 192;
196 - 192 = 4;
4 = 2;
14 - 2 = 12;
12/2 = 6 (larghezza);
2 + 6 = 8 (lunghezza).
Occorre notare che si può ridurre un’equazione di
secondo grado del tipo
ax - x2 = b
ovvero
x(a - x) = b
ponendo y=(a-x) in un sistema “somma e prodotto”:
x+y = a
xy = b
Un esempio di sistema “somma e prodotto” si trova
nella tavoletta BM 34568,9* risalente al periodo
Seleucida (dal 311 a.C.).
Questa usuale procedura la vedremo applicata anche
nell’antica tavoletta AO 8862,1*, nella tavoletta BM
13901,12* e nella tavoletta Susa IX,3*.
SOLUZIONE ALGEBRICA –
SOLUZIONE GEOMETRICA:
(x-y) = 4 = 2 (misura del lato del quadrato interno);
(x+y) - (x-y) = 2y = 14 - 2 = 12;
2y/2 = y = 6 (la larghezza);
(x-y) + y = x = 2 + 6 = 8
(la lunghezza).
x+y
y
x-y
x+y
x
Il sistema è il seguente:
x-y
x+y = 14
xy = 48
La soluzione algebrica ripercorre passo dopo passo
quella geometrica e le operazioni della tavoletta:
(x+y)2 = 14 ·14 = 196 (area del quadrato di lato x+y);
4xy = 4·48 = 192; (area dei quattro rettangoli di dimensioni x e y)
(x+y)2 – 4xy = (x – y)2= 4 (area del quadrato interno di lato x – y);
y
x
________________________________________________
In altre tavolette si trova un diverso modo di
affrontare il sistema “somma e prodotto “, ciò dipende
dall’interpretazione geometrica che sottende la
soluzione.
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Testo:
Ho sommato lunghezza e larghezza (e fa) 14, e 48 (è) la superficie (del rettangolo)
8
Textes Mathematiques
de Suse IX, 3
Questo testo risale al primo periodo babilonese e
testimonia l’influenza di Babilonia oltre le sue
frontiere, difatti questo testo è redatto in babilonese
scientifico.
Indicando con x e y rispettivamente la lunghezza e la
larghezza, si tratta di risolvere il seguente sistema:
xy+x+y=1
y+1/17(3x+4y)=1/2
Queste condizioni vengono trasformate con grande
abilità nel sistema “somma e prodotto “ e risolto in
modo diverso da quello visto nella tavoletta BM
34568,9*.
Senza seguire passo passo il testo che fornisce le varie
operazioni
della
tavoletta,
seguiamo
questa
trasformazione del sistema iniziale nel sistema somma
e prodotto con il nostro simbolismo.
xy+x+y+1=1+1
17y+3x+4y=17/2
(x+1)(y+1)=2
3x+21y=17/2
(x+1)(y+1)=2
3(x+1)+21(y+1)=17/2+24
3(x+1)·21(y+1)=2·63
3(x+1)+21(y+1)=32+1/2
Testo:
…32+1/2 tu trovi. (Ec)co quello che cercavi: 3 (volte) la lunghezza con 21 volte (la
larghezza) addiziona; 3 (volte) la lunghezza moltiplica (con 21 volte la larghezza) e
moltiplica ancora per il 2 della superficie e trovi 126.
Ponendo le nuove variabili:
X=3(x+1)
Y=21(y+1)
avente per soluzioni proprio i valori X e Y.
Quindi applicando la formula ridotta risolutiva
dell’equazione ausiliaria otterremmo le soluzioni:
X,Y=32,5/2+/- (32,5/2)2-126
si giunge a risolvere il seguente sistema somma e
prodotto nelle variabili X e Y:
XY=126
X+Y=32+1/2
Si potrebbe passare all’equazione ausiliaria:
t2-(32+1/2)t+126=0
Le operazioni eseguite nella tavoletta sono proprio la
descrizione dell’applicazione di questa formula.
Ma si ipotizza un significato geometrico che sottenda i
passaggi delle operazioni presenti nella tavoletta
piuttosto che l’applicazione della formula risolutiva,
Anche in questo caso la costruzione geometrica si basa
sulla costruzione di un quadrato.
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Testo:
Faccio la somma de (la superficie) la lunghezza e la larghezza: (fa) 1, la superficie. (Ho
fatto) 3 volte la lunghezza e 4 volte la larghezza e addiziono la sua (diciassettesima parte)
alla larghezza (e fa) 1/2.
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III Problema del IX testo dei Textes Mathematiques de Suse
9
Textes Mathematiques
de Suse IX, 3
D
F
x+y=s
xy=p
la cui formula risolutiva è data da:
x,y=(s/2)+/- (s/2)2-p
B
COSTRUZIONE GEOMETRICA:
G
A
C
F
Per costruire geometricamente tale formula occorre
considerare il rettangolo ABCD di misure x e y.
A
D
B
F’
C’
D’
A
B
G
F
C
Si prolunghi il lato AD, dalla parte di D, di un
segmento DE=y e si consideri il punto medio F di AE.
A
F
D
y
E
B
C’
B
C
I segmenti AF e FD misurano rispettivamente (x+y)/2
e (x-y)/2.
Da F si mandi il segmento FG (parallelo ad AB) e si
ponga il rettangolo FGCD di dimensioni y e (x-y)/2
nella posizione BC’D’F’.
F’
D’
G
H
Poiché AF=AC’=(x+y)/2=s/2 completando la figura
con l’aggiunta del quadrato F’D’HG di area uguale a
[(x-y)/2]2 che è equivalente alla differenza tra il
quadrato di lato AF di area [(s/2)2] e l’esagono
GFAC’D’F’ equivalente al rettangolo iniziale ABCD
di area p, si ha:
x=AF+FD=C’H+BC’=(s/2)+ (s/2)2-p
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A
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Osserviamo questa ricostruzione geometrica come
caso generale del sistema:
y=C’D’=C’H-D’H=(s/2)- (s/2)2-p
10
Tavoletta AO 8862,1*
Operazioni della tavoletta:
27 + 183 = 210;
2 + 27 = 29;
29 : 2 = 14,5;
14,5 · 14,5 = 210, 25;
210,25 – 210 = 0,25;
0,25 = 0,5;
14,5 + 0,5 = 15 (la lunghezza);
14,5 - 0,5 = 14 (la larghezza);
15 · 12 = 180 (la superficie).
La tavoletta AO 8862,1* è considerata una delle più
antiche e per risolvere il problema si utilizza il metodo
somma e prodotto che abbiamo già visto.
Il sistema associato è il seguente:
La somma 183+27 rappresenta la misura dell’area del
rettangolo di base x e altezza y+2 nel quale la somma
delle due dimensioni x e y+2 è dunque 27+2=29.
A
xy+(x-y)=183
x+y=27
D
y
COSTRUZIONE GEOMETRICA:
Siano il rettangolo ABCD di dimensioni BC=x e AB=y,
e i due segmenti con lunghezze (x-y) e (x+y) e
larghezza unitaria la cui somma fornisce la striscia di
base x e altezza 2.
x
A
D
y
B
C
x-y
x+y
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Testo:
Lunghezza e larghezza.
Ho moltiplicato lunghezza e larghezza
e ho fatto una superficie.
Di nuovo ho aggiunto alla superficie
quanto la lunghezza supera la larghezza e (fa) 183.
Lunghezza e larghezza si aggiungano e (fa) 27.
Quanto (è) lunghezza e larghezza e la superficie?
x
B
C
1
1
Ci siamo ricondotti al caso di un sistema somma e
prodotto con le nuove variabili da determinare X=x e
Y=y+2:
XY=210
X+Y=29
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TAV. AO 8862,1*
11
Considerare dunque la somma tra una superficie e
una lunghezza avvalora l’ipotesi di lunghezze dotate
di uno spessore.
xy+(x-y)=183
x+y=27
Sembra più probabile un procedimento geometrico
piuttosto che un livello algebrico tanto sviluppato da
aver già reso superficie, lato, termini tecnici ormai
distaccati dall’originario significato.
al sistema:
XY=210
X+Y=29
Il metodo utilizzato per risolvere il sistema è la
formula risolutiva ridotta associata all’equazione di
secondo grado:
t2-29t+210=0
Questo è confermato dalla operazioni della tavoletta:
27 + 183 = 210;
X+Y=210
2 + 27 = 29;
XY=29
29 : 2 = 14,5;
s/2
14,5 · 14,5 = 210, 25;
(s/2)2
210,25 – 210 = 0,25;
(s/2)2 – p
0,25 = 0,5;
(s/2)2 – p
14,5 + 0,5 = 15 (la lunghezza);
X=x=s/2 + (s/2)2 – p
14,5 - 0,5 = 14 (la larghezza);
Y=s/2 - (s/2)2 - p
14 – 2 = 12 (la larghezza)
y=Y-2
15 · 12 = 180 (la superficie).
xy
Ottenuti i risultati, lo scriba babilonese li verifica,
mostrando la somma della superficie (180) con la
differenza delle soluzioni (15-12=3) dà proprio 183
scrivendo infine:
«183 è la superficie»
E’ molto probabile, che ad un certo punto, dopo molti
esercizi dello stesso tipo, si sia raggiunto proprio tale
risultato formale.
Sarà questa la strada percorsa per giungere dalla
geometria all’algebra: nella ripetizione di molti
esercizi dello stesso tipo, quei termini geometrici
acquistano il significato di semplici dati del problema
o di incognite da determinare e, allo stesso modo, il
procedimento risolutivo perde il suo significato
geometrico per ridursi ad una pratica di calcolo e,
dunque, ad una sorta di formula risolutiva che è stata
indicata come ricetta di calcoli.
Allo stesso modo si esprime Ettore Bortolotti anche se
il suo riferimento è ai matematici sumeri:
«Non sapevano d’Algebra, quegli antichi savi, né
scrivevano equazioni, ma avevano tuttavia riconosciuto
l’esistenza di una vasta categoria di problemi aritmetici, che
tutti potevano essere risolti In uno stesso procedimento di
calcolo; quello stesso che noi ricaviamo dalla risoluzione
delle equazioni algebriche del secondo grado e che essi
deducevano dalla soluzione del problema geometrico di
trovare i lati di un rettangolo di area data, essendo nota la
somma o la differenza dei lati medesimi. L’aver saputo
risolvere con formula generale questo problema, e trovare
quei sagaci accorgimenti che si riscontrano nella riduzione a
forma canonica dei problemi, è indizio certo di un alto grado
di civiltà, che fa supporre un lunghissimo periodo anteriore
di iniziazione».
Nei problemi esaminati è difficile trovare un
significato pratico: si tratta in realtà di una pura
esercitazione e questa circostanza non è priva di
importanza nella trasformazione algebrica di questi
problemi.
Open Day - 2015
Al-giabr wa-l-muqabala
Si è passati dal sistema:
Liceo Scientifico - Alexis Carrel
Tavoletta AO 8862,1*
12
Tavoletta BM 13901,12*
Operazioni della tavoletta:
1300/2= 650;
650 · 650 = 422500;
600 · 600 = 360000;
422500 - 360000 = 62500;
62500= 250;
650+250 = 900;
900 = 30 (la lunghezza x);
650 - 250 = 400;
400 = 20 (la larghezza y).
Nella tavoletta BM 13901, uno dei documenti più
importanti della matematica preellenica, si trovavano
24 problemi, di cui 19 leggibili, e tutti prendono in
esame uno o più quadrati, legandoli tra loro e con i
corrispondenti lati in vari modi.
Uno dei problemi più significativi è il n.12.
Traducendo simbolicamente il problema si ha il
seguente sistema:
x2+y2=1300
xy=600
Per risolvere questo problema, il matematico
babilonese mostra chiaramente di uscire dalla
geometria e di trovarsi in un ambiente ormai
algebrico. Infatti lo scriba, come si vedrà dai suoi
calcoli, trasforma il problema in un problema somma e
prodotto nelle incognite x2 e y2, elevando al quadrato
la seconda relazione.
1300/2= 650
650 · 650 = 422500
600 · 600 = 360000
422500 - 360000 = 62500
62500= 250
650+250 = 900
900 = 30
650 - 250 = 400
400 = 20
Tenuto conto dell’abilità geometrica dei matematici
babilonesi, sarebbe stato facile seguire un
procedimento geometrico per risolvere il problema
posto. Aver scelto la strada indicata dai calcoli della
tavoletta mostra non solo lo svincolo dell’algebra dalla
geometria, ma anche la volontà di farlo. Per
giustificare quanto affermato si consideri il seguente
quadrato:
x2+y2=1300
x2y2=360000
In questo caso tale relazione non ha un significato
geometrico!
Possiamo dunque affermare che, aver risolto numerosi
problemi senza una corrispondenza pratica, aver via
via estrapolato i calcoli dal loro significato geometrico
per giungere ad una regola di calcolo, deve aver
contribuito in maniera determinante alla piena
consapevolezza algebrica.
Jens Høyrup scrive: «Questa è una delle grandi tappe
della storia della matematica, una delle più grandi».
s/2
(s/2)2
p
(s/2)2 - p
(s/2)2 - p
x2=s/2+ (s/2)2 - p
x
y2=s/2- (s/2)2 - p
y
x2
xy
xy
y2
C’
D’
Dai dati del problema questo quadrato (x2+y2+2xy)
misura 1300+2· 600=2500. La misura del lato di questo
quadrato (x+y) è uguale alla radice quadrata del
numero ottenuto ed è quindi 50.
Il problema si è ridotto al sistema facilmente risolubile
per via geometrica
x+y=50
xy=600
Liceo Scientifico - Alexis Carrel
Testo:
La superficie dei due miei quadrati ho sommato e (fa) 1300;
(il lato) dei miei due quadrati ho moltiplicato e (fa) 600.
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Al-giabr wa-l-muqabala
TAV. BM 13901, 12*
13
Tavoletta BM 13901,10*
Falsa Posizione
Operazioni della tavoletta:
Scrivi 7 e 6.
Moltiplica 7 con 7 (e fa) 49; moltiplica 6 con 6 (e fa) 36.
Somma 36 con 49 (fa) 85.
Il divisore di 85 non è separato (il valore 85 non è multiplo di 21,25).
Che cosa devo prendere (moltiplicandolo per 85) per avere 21,25?
Fa 0,25 la cui radice quadrata è 0,5.
Moltiplica 0,5 per 7 (e fa) 3,5, il (lato) del primo quadrato.
Moltiplica 0,5 per 6 (e fa) 3, il lato del secondo quadrato.
Per osservare il problema e i calcoli indicati siano x e y
i lati dei due quadrati.
Si tratta di risolvere il sistema:
x2+y2=21,25
y=x-(1/7)x
Per risolvere il sistema lo scriba utilizza una
risoluzione svincolata dall’aspetto geometrico: il
metodo della falsa posizione.
Abbiamo osservato tavolette che utilizzavano
soluzioni di spirito algebrico fondati sull’aspetto
geometrico.
Il metodo della falsa posizione che in seguito verrà
ripreso da altre civiltà ed anche importato da
Leonardo Pisano in Europa, evidenzia un abbandono
esplicito dell’origine geometrica dei problemi di
secondo grado, emergendo così il predominio
esclusivo dell’algebra.
RISOLUZIONE PER FALSA POSIZIONE:
x2+y2=a
y=(m/n)x
Supponendo x=n, la falsa posizione, valore scelto nella
maniera più opportuna, si ottiene y=m.
Se n2+m2 è diverso da a si determina il numero c
c=a/(n2+m2)
ed è tale che:
Da cui si ha:
c(n2+m2)=cn2+ cm2=a
x= n2c = n c
y= m2c = m c
Liceo Scientifico - Alexis Carrel
Testo:
Ho sommato le superfici dei due miei quadrati (e fa) 21,25.
Un lato supera l’altro di un settimo di questi.
Supponendo
x=7 (falsa posizione) si ha y=6
e la somma dei corrispondenti quadrati dà
62+72=85 (anziché 21,25).
Si divide 21,25 per 85 e si ottiene 0,25.
Si esegue la radice quadrata di 0,25 e si ottiene 0,5.
E’ questo il numero per il quale devono essere
moltiplicati i numeri supposti (falsi) dei due lati per
ottenere i valori veri.
x=7· 0,5=3,5
y=6· 0,5=3
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Al-giabr wa-l-muqabala
TAV. BM 13901, 10*
14
Questo libro è famoso perché è da esso
che l’Occidente venne principalmente a
conoscenza dell’algebra.
Molto complesso è stabilire la posizione
di Al-Khuwarizmi nello sviluppo
dell’algebra, specialmente per quanto
riguarda le fonti cui lui ha attinto.
Al-Khuwarizmi nella sua opera fa una prima
esposizione teorica dei numeri che verranno utilizzati
ed enumera poi sei tipi di equazioni trattate con le
relative operazioni da eseguire per la loro risoluzione
che giustifica con costruzioni geometriche. Dopo
questa parte teorica mostra l’applicazione dell’algebra
a vari problemi di eredità, lasciti, divisioni commerci
ed anche nella misura dei campi, scavi di canali ed
altri casi geometria.
Al-Khuwarizmi partecipa alla Casa del sapere a
Bagdad, centro di cultura volto alla raccolta e alla
traduzione di opere letterarie e scientifiche. Bagdad si
trova in una zona ove confluiscono le strade di
comunicazione di vari popoli. E’ probabile che da
varie parti, persiane, indiane, greche, Al-Khuwarizmi
abbia potuto conoscere svariati risultati matematici e
algebrici in particolare, che poi ha cercato di esporre in
forma sistematica.
Nelle opere di Al-Khuwarizmi si trova la numerazione
indiana che è una sicura indicazione dei contatti che
egli ebbe con tale matematica.
Riguardo
alla
conoscenza
della
matematica
babilonese, essa è senza dubbio presente nell’opera di
Al-Khuwarizmi per le giustificazioni geometriche che
egli pone dopo aver enunciato i procedimenti atti a
risolvere le equazioni di secondo grado. Infatti queste
giustificazioni, che solitamente vengono prese a
testimonianza dell’influenza della geometria greca
sulla matematica araba, appaiono invece proprio
identiche a quelle utilizzate nelle soluzioni babilonesi.
In questa opera Al-Khuwarizmi si aritmetizza
l’algebra gettando le basi al calcolo algebrico dei
polinomi.
E probabile anche che Al-Khuwarizmi conobbe
l’algebra indiana per il fatto che il suo lavoro appare
una sistemazione schematica di un processo in parte
evoluto.
La stessa struttura dell’opera si ritrova in molti testi
medievali dedicati all’algebra.
La strada algebrica tracciata da Al-Khuwarizmi è la
seguente:
1. si accenna ai numeri che verranno considerati;
2. si presentano i sei tipi di equazioni di primo grado
che verranno affrontate;
3. si mostra una prima semplice teoria dei polinomi;
4. si dimostrano le regole applicate con procedimenti
geometrici.
Questa ultima sezione dell’opera è importante perché
testimonia il legame della matematica di AlKhuwarizmi con la matematica babilonese.
Liceo Scientifico - Alexis Carrel
L’algebra araba ha inizio con il persiano Mohamemed
ibn Musa (800 d.C.) e con la sua famosa opera Al-Kitah
al muhtasar fi isab al jabr wa-l muqabale ( il libro dei
calcoli di trasporto e riduzione) ed è da questo titolo
che l’algebra cominciò a chiamarsi…algebra.
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Al-giabr wa-l-muqabala
Al-Jabr
di Al-Khuwarizmi
15
Egli elenca le operazioni che consentono di ottenere la
soluzione,
ma
giustifica
successivamente
il
procedimento indicato con la costruzione di un
opportuno quadrato.
In Al-Khuwarizmi come era accaduto anche per i
matematici indiani, l’algebra diventa oggetto di studio
e non solo semplice procedimento di calcolo.
Egli considera i seguenti sei casi di equazioni anche se
solo gli ultimi tre sono vere e proprie equazioni di
secondo grado con una suddivisione che si trasmetterà
identica per secoli.
1.
2.
3.
4.
5.
«Quadrati sono uguali a radici» (ax2=bx)
«Quadrati uguali a numeri» (ax2=b)
«Radici uguali a numeri» (ax=b)
«Radici e quadrati uguali a numeri» (ax+bx2=c)
«Quadrati e numeri sono uguali a radici»
(ax2+ b=cx)
6. «Radici e numeri sono uguali a quadrati»
(ax+b=cx2)
Osserviamo un esempio che egli propone del quarto
caso:
x2+10x=39
«La soluzione è la seguente: dimezza (il numero del) le
radici, che nel presente caso diventano cinque. Moltiplica
queste per se stesse, il prodotto è venticinque; aggiungi
questo a trentanove e la somma è sessantaquattro. Ora di
questo (64) prendi la radice (quadrata) che è otto e sottrai a
questa la metà, cinque, delle radici. Rimane tre che è il
quadrato (cercato). E il quadrato è nove».
Costruito il quadrato di lato uguale all’incognita e
diviso per 4 il coefficiente del termine di primo grado,
egli applica ad ogni lato del quadrato il rettangolo di
altezza uguale a tale quarto.
La figura che si ottiene risulta essere di area uguale a
39 (=x2+4(10/4)x), per cui completando il quadrato
con l’aggiunta di altri quattro quadrati ciascuno di
area uguale a (10/4)2 si ha il quadrato completo di
area 39+25=64.
Il lato di base di questo quadrato uguale a x+2· (10/4)
è uguale a 8 e quindi x= 8-2· (5/2)=3
x
X2
X
10/4
La seconda giustificazione ricalca la prima, però in
questo caso, il coefficiente del termine di primo grado
si divide per 2 e si applicano a due lati consecutivi del
quadrato di lato uguale a x, due rettangoli aventi
l’ulteriore misura uguale a tale metà.
10/2
X2
X
Come si nota non è che la lettura della formula
risolutiva:
x= (10/2)2+39 -10/2
COSTRUZIONI GEOMETRICHE:
Al-Khuwarizmi pone due costruzioni geometriche per
giustificare le operazioni indicate, entrambe di assai
probabile derivazione babilonese da potersi applicare
a qualsiasi equazione dello stesso tipo: x2 +ax=b.
Completata la figura con il quadrato di lato uguale a
10/2=5, esso risulta di misura 39+25 e dal suo lato
uguale ad 8 si ottiene x=8-5=3.
Queste due ricostruzioni della formula risolutiva sono
proprio le stesse di quelle utilizzate per le risoluzioni
dei problemi babilonesi.
Liceo Scientifico - Alexis Carrel
Nell’Algebra di Al-Khuwarizmi si vede l’importante
risultato che le equazioni di secondo grado potevano
avere anche due soluzioni.
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Le equazioni
di secondo grado
di Al-Khuwarizmi
16
