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Mo
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se
an
Il binomio
di Newton
mia stanza in cerca di un fratellino di tre anni - mostrò di
. afferrare con facilità ed entusiasmo il lavoro del cubo di
un binomio che, in quel momento, stavosforzandomi
invano di spiegare ad alcune insegnanti, studentesse del
corso Montessori tenuto presso il Centro di formazione
di Roma. (...) Egli venne impaziente al tavolo e prese alcuni dei pezzi. "Lasciali - gli dissi - non puoi capire queste cose: sono troppo difficilipersino per queste signore".
"Oh,maiocapisco!"
- rispose.
(...)"
Maria Montessori
Montessori
Dopo le classi elementari,
frequentate
e la matematica
presso
la scuola statale di via S. Nicola
nio di studi presso la Regia Scuola Tecnica "Michelangelo Buonarroti" ancorain Roma, con una votaziolle superiore ai 91/100. N~\la pagella Irelat!ivaalI
bòr:so Iriprodotta'in Maria Montessor:i - a centenary anthology,l) -IPossiamo ri-r
levare "lidecirdi riportatiih matematica nell'e prove scr!itte!e rnelle prove or!a""
li": 9 e 8 1/2. rispettivamente.
Nel 1886 - e l'ho già ricordato in un precedente contributo(2) - Montessori si
iscrive ai corsi del Regio Istituto Tecnico "leonardo da Vinci" - Sezione Fisica e Matematica,
sempre
in Roma.
Nel luglio 1890 consegue il diploma e si iscrive alla Facoltà di Ingegneria
presso la "Regia Università degli Studi di Roma", frequentando i corsi di Scien-
ze Fisiche, Matematiche e Naturali.Tuttavia, dopo due anni accademici
venti due anni - Montessori lascia questa facoltà.
-
a
In una sua lettera al rettore spiega le ragioni dell'abbandono, affermando che
"il programma di matematica offertole non è abbastanza interessante e stimolante per lei" (nonostante avesse ottenuto una media di 80/100). Così si trasferisce alla Facoltà di Medicina e Chirurgia, laureandosi poi presso la stessa Università nel luglio 1896.
Biblioteca Digitale Montessoriana (BDM) / Montessori Digital Library - Centre for Montessori Studies - University of Roma Tre
58-ILQUADERNOMONTESSORI/primavera200011
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
studi montessoriani
I materiali
permanenti
-
dell'AMI
Association Montessori Internationale
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cuao
I contributi riguardanti l'algebra
tivioalgebricieleoperazionidi:sommaalgebrica,prodottoequozientedi
Il programma di algebra proposto dalla Dottoressa Montessori è assai ricco
e articolato. Nel suo approccio illustra inizialmente il concetto di numeri reladue numeri relativi; passa poi a illustrare il calcolo letterale e le operazioni
coi
e coi
monomi
nomio
fino
polinomi.
esamina
In particolare
il quadrato
di un binomio, di un trinomio e di un poli-
al
a una incognita, sistemi di I grado ed equazioni di Il grado, fino a un'introduzione
alla trigonometria.
Montessori diede un'importante collabora'zione" sUuUlJrando materiali, metodolog,ie e tecniche che costituiscono un
,A
Gluesto
IcoNriblUtb
programma,
che
Mario
M.
potremmo
defihire
IIIl) ques'to SGri'tto,tiuttavia,
ri,aniirelativi al cosiddetto
mi
come
occuperò
binomio
Algebra
per i bambinF5).
unicamente
dei cohtribut'i
di Newton
o "formula
m;oh~essd-
binomiale".
Comunque, l'interesse più rilevante della presente ricerca è di valenza storiMon-
tessori riguardanti la
situano
generalmente
matematica
nella
prima
metà
degli anni Trenta, anche se alcuni di
essi sono stati ripresi e riproposti in tempi successivi.
che i maestri montessori prendano possesso soprattutto di "ciò
che sta dietro" i materiali e le tecniche. La descrizione delle presentazioni
Èimportante
docenti
dei corsi di formazione
Allora, una rivisitazione, questa,
Montessori
essenzialmente
per la scuola
elementare.
psicologica anche perché
Biblioteca Digitale Montessoriana (BDM) / Montessori Digital Library - Centre for Montessori Studies - University of Roma Tre
IL
QUADERNOMONTESSORI/primavera2000-59L
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
Unodei
comitati
è responsabile dei materiali Montessori: è un sottocomitato di quello pedagogico
e si occupa sia della revisione e dell'aggiornamento di materiali già in uso, sia
dello studio e della realizzazione di nuovi strumenti.
Per ciascun materiale vengono definite le caratteristiche operative e quelle esterne, in modo che i fabbricanti siano in grado di produrre materiali conformi alle specificazioni originali di Maria e di Mario Montessori, e tuttavia prodotti secondo moderne tecnologie.
Attualmente il comitato si sta occupando del materiale algebrico relativo alla 4a e 5a potenza di un binomio; da qui l'occasione per questo articolo.
-
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bin
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in
al
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m
l
grande
figura
non è la matematica
sori ha valutato
realisticamente
ma, ancora
quanto
lontano
una volta,
(rispetto
quella
del Bambi-
ai contenuti)
i
bam-
chino le matematiche e ci si preoccupi di aiutare il bambino a procedere secondo le sue potenzialità e si seguano i suoi interessi nei differenti periodi
del suo sviluppo.
spesso
di localizzare
un pensiero
della Dottoressa,
senza però offrirmi
un pre-
cercare.
4th
AMllnternatio-
nal Study Conference
lavorassi, il prototipo montessoriano di tre scatole con materiale relativo ad
(a+b)4 e di due scatole con materiale per (a+b)5: questo fu tutto. Così, copiai
ciascuno degli oltre 100
ognuno,
con i quali
costruii
i soldi,
colorandoli
e rigandoli
opportunamente
per la loro precisa individuazione.
reperire le citazibni: testUali e le !iridictazlonl $UII'allgebra; icapivo che non mil
restava altro che I!egger'e di$peratam~rtltf3lli telsti montessoriani e che dbvevo
Il binomio di
quella
che dà lo sviluppo
della
(a+b)n=an=nan-1b+(
prima
fonte
risale
al 1910,
potenza
n(n-1)
2
in due
Newton
ennesima
) an-2b2(
di un binomio,
n(n-1 )(n-2)
interessantissime
2x3
per n inte-
)an-3b3+"'+bn.
pagine
di
Antropologia
pedagogicd6J.
Biblioteca Digitale Montessoriana (BDM) / Montessori Digital Library - Centre for Montessori Studies - University of Roma Tre
60
-
IL
QUADERNOMONTESSORIIprimavera2000
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
come
ebbi occasione di evidenziare in passato(2)- nonostante i titoli e gli
, , Il
F~,
It',
l'aie
flg,
121
eqlaue
CAPITOLOYIU,QuestaleggedidistribuzioneèIl...lepiùgenerali;coslsicom-
350
»ETODOLOGIASTATISTIC,,,
351
graficamente
fissando
quellocentrale,diminuw..onosimmelticamentenelmodocome
ernno cre""iuti:
cioè con la medesima
legge
statistica
antl'Opologica
delle seriazioni.
InfAtti ecco il binomio con le riduzioni:
sulle
+
(a+b)"=a"
OmegliosichiamaCIII'taf)jno,n/alediIJw!/élet,parcheque-
sto antropologo
e ad accorgersi
curva
di
IO,~,8,'
(
+ ~!"b'+
+ (- t,
Quétélet,
nella
(~
IO,~,~,7,U
+ 1\'
2,3,4,.,
3,4
) a'b'+I-\
)u'b'+
,
)
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.'b'+
1
I
'IO'O'~
,,), U
..'b'+
2,:\
( )..'b'+IO.b'+b'",
+ ~-
fu il primo a rappresental'e
graficamente
la legge
che il suo andamento
era quello stesso ben noto in
E
matematicadeicoefllcientidelbinomiodiNewton,
lOa'b+
IO'~'~I
hl,O,S,i
,
(~!
si riscontra
IO,9
ascisse i dati antl'Opologici
(es. statura) e sulle ordinate
il numero degli individui.
In tal caso si ha una curva cou un massimo di altezza centrale
e una diminuzione
simmetrica
bilate-
che
calcolando
i
coofficienti
,:
hanno
i
seguenti
nDlneri
in
serie
simmell'ica:
l'ennesima
di Xewton
potenza,
riguarda
e si svolge
la elevazione
in algebra
nel
"'-"I
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4;;
120
210
252
tln
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45
Il)
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)u'-"b'+
:'~-.-!!J~:-_~,y.-31\"-'b'+
-'-
"In-I)
(
al-
modo seguente:
)
In (n-I»
(a+b)'=a'+u.'-"'+\~,"-'b'
+
di un binomio
IO
Il binomio
2,
,3
,4
I
Eccopel'chèlacurvadiQnétéletsichiamaOi1lOmiale,
'I
/'0'01-11"'-21111-:1'1"-41
,
\
2 , 3
, 4
,
)
"-
Supponiamo
di voler
rappresentare
con le curve <li Quétélet
due seriazioni,
per 98" in rapporto
alla statura di bambini della stessa
.'-"h'+..,+b'
sostituendoadnuncoeftlcientedetermiuato,peres,IO,ilbinomio
ra1.za,sesso,età,madicondizionisocialiopposte:ricchi,poveri,LeduecurvediQuétélet,datochesiriferiscanoaunnumero
+
rignaudo
ai coefflcienti,
nel modo
che
segue:
egual. e molto grande d'iudividui, sarebbero identiche, perché la
medesima legge è universale, Soltanto la curva dei ricchi sarebbe
spo$tata verso le cifre delle alte stature, e quella dei poveri verso
le basse stature,
In un pnuto A le due cUl've si iucontrano e s'intersecano, in-
(IO,O
si svolgerebbe,
,a+b,I'=,,"+IO"'b+\
IO,U,M,
+
+
1
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IO,",."".,,;,,
( 2,:1.,1.5,0"
)
2,3,4
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) "'"'~1234.:;,'i/"b'i,
) a'b'+, ' 2,3"J.."u",8
"
2,3,~,3,
l',U,H,,
I,
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vadendo['unailcampodell'altra:coslnellospazioABCsihanno
,
+ --2,3
'ln,u,H,',Iò
)
2-
a,:;\
POus
,
"
individni
ricchi pii! b...i dei poveri, e
ricchi, cioè le condizioni sono contrarie
.tall'insieme
delle curve,
Anche
questa
cUl've binomiali
è generale:
quando
si
"',' che i ricchi sono pii! alti dei poveri,
geuernle,
sapendo che o.e si scendesse
, ..'b'+
,),:;,',3
10,!),8"
"
',
I
+IIiJ,!J,8",a..;"/,,1,2jab'+b'"
, 2,3,J,:;,6",8.!I,
si .Ade
che togliendo
i termini
di elisione,
i coeftlcienti,
dopo
sconlt'arsiilcontra,'io(superficiedisovrapposizioneABC),L'in-
O"e
individui
poveri pii! alti dei
a <Inelle generali
constatate
regola dell'intreccio
delle
all'erma
un principio,
per
bisogna intenderlo
in senso
ai particollll'i
potrebbe
ri-
sieme
con ciò noli mu!.'\ la sua camtteristioa,
che';
il dill'erenzinmento
cos
di
mo
stra
Alc
de
mi
alu
st
es
ra
q
Figura 1 - Binomio di Newton e curva di Quételet nell'edizione originale di Antropologia pedagogica,
"
Il
questo s!Critt~'1ctkPP? avEt~rilporta10la fò,~lmUla
ad (a+b)5, Mon~essotl propone, lJJnesemlJ>lO dove
1111
plnlOnliale
1ni=10,
I~ppl,ida~il~
'fin?
e cloe
(a+b)11O,
G!II
bambinidellastessarazza,sesso,età,madicondizionisocialiopposte:ricchi,poveri".Quisiamonelcampodellametodologiastatistica,proprio
1'1 ooeffibenti simmetrici
ottenuti(da 1 a 252 a ~) v~ngono usatidalla Montessori per tracciare la cUrva binomIale di Quételet "per rappresentare scrive Montessori - due seriazioni, per esempio, in rapporto alla statura dei
alla
riferimento
formulabinomialeèpresentenell'articologiàcitato(2),làdoveMontessoriscrive:"(..,)Eunaltro
dell'antropologia.
Altro
esempio
ma, anziché
"abbassare"
ancora: "Posso dirLe qual-
coppie di cifre, "abbassano"
una cifra per volta,
comesifanelladivisione!""Veramente?Macomefannoacavarsela?""In
questo
modo:
do il binomio
hanno
di
Newton
applicato
come
all'aritmetica
base,
sostituiscono
i principi
il
dell'algebra.
sistema
decimale
Prenden-
allelet-
Biblioteca Digitale Montessoriana (BDM) / Montessori Digital Library - Centre for Montessori Studies - University of Roma Tre
IL
QUADERNOMONTESSORIIprimavera2000-61li-
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
sticochesicominciaaintrodUl1'einbotanica,viportamoltaInèe.Essasipni>rappresentare
portano i caratteri degli animali e delle piante; e il metodo stati-
dice
qua
com
se
fos
la
cif
di
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si
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co
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dn
Il triangolo
I coefficienti
della
formula
numerico
binomiale
di Tartaglia
assumono
forma
di triangolo
indefinito
madiduenumeriadiacentidiunarigaèugualealnumeronellarigasucces-
composto di numeri interi disposti secondo righe orizzontali, che danno icoefficienti dello sviluppo di (a+b)n al variare di n, intero e positivo. Iltriangolo arit-
siva. Così, da (a+b) a (a+b)5, abbiamo
i coefficienti
mostrati nella figura 2.
1
1
1
1+le
2
1
1+23
1
1+3=
4
1
1+4=
5
1
Figura 2
4+6=
10
-
Il "triangolo
6+4=
10
numerico"
1
3+1=
4
3+3=
6
con i coefficienti
1
4+1=
5
I
I
1
fino ad (a+b)5.
AIriguardo,lapropostadel.ladottoressaMontessorisirealizzaintegrando
I
I
1
2+1=
3
opportunamente
aritmetica, geometria e algebra. In un suo libro(8),scrive (sono corsivi miei): "Noi consideriamo
la matematica da questi tre punti di vista:
(I) Aritmetica: la scienza del numero; (Il) Algebra: l'astrazione del numero;
(111)Geometria: l'astrazione dell'astrazione.
Guidati dalla nostra esperienza
della mentalità infantile, noi abbiamo pre-
equilibrare l'argomento su un solo precario perno, lo sistemassimo su tre robusti piedi, che si uniscono per dare maggiore stabilità.
Per esempio,
presentando
i numeri,
li raggruppiamo
in forme
geometriche,
e
il nostro materiale matematico è stato studiato in modo da presentare i tre argomenti quasi simultaneamente. I bambini hanno dimostrato una speciale
tendenza, e quasi una passione, per lostudio dei numerie la lorodisposizione
geometrica. Subito dopo, mediante l'algebra, si è data l'idea astratta di queste quantità e dei loro rapporti".
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62-ILQUADERNOMONTESSORIIprimavera2000
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
tere dell'alfabeto e, applicando lo stesso procedimento al quadrato del polinomio, usano una formula geometrica che li mette in grado di estrarre la ra-
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Anc
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(q+b
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di
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3ge
binomiale
e materiali
Montessori
Troppe volte nella coscienza degli insegnanti - prima ancora che nella conoscenza dei bambini - materiali e tecniche montessoriane appaiono isolate
e isolanti.
resse
evidenziare
na potenza
in questa
di un binomio
sede
si situa
e necessaria.
che
-
Montessori
esamina
questo
problema
nella sequenza - in una posizione precisa
-
Il binomio numerico (2+3) o, in alternativa, (3+2) - algebricamente
presente dalla 1a alla 5a potenza. Allora abbiamo la sequenza:
(a+b) - è
(a+b)\ (a+b)2; (a+b)3; (a+b)4; (a+b)5.
la progressione
di forme geometriche
(Iinea-quadrato-cubo)
che già conosciamo fin dal lavoro col materiale delle "perle dorate" (v. Sistema Decimale).
In particolare:
I. (a+b)=a+b:
due bastoncini di perle colorate - collocati in forma lineare uno
itenza:
(a+b).
qrgarlliz:zatiln
f'Orma
quaOrata(9).
Figura 4 - Il quadrato rappresenta
il binomio (a+b) elevato alla 2a potenza: (a+b)2.
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ILQUADERNOMONTESSORI/primavera2000-63L
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
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co
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ar
un
e
d
8 termini
Figura 5 - Il cubo rappresenta
(proprio
23=8), disposti in 4
come
il binomio (a+b) elevato alla 3a potenza: (a+b)3.
Il
Il
sposti in 5 gruppi.
Il materiale Montessori relativo alla 4a potenza è costituito di tre scatole, ciascuna contenente 16 pezzi opportunamente
colorati e propriamente
organizzati in "linea/bastone": l'insieme
è un prisma
retto a base quadrata con lo
Sinotiche,dei16pezzicostituenti
la rappresentazione
potenza,
la metà di essi sono
prismi
rettangolari.
geometrica
della
4a
L'uso graduato e successi-
nelcapitolo"Ancora
vo dei relativi materiali conduce il
passando da un approccio analitico a uno sintetico(9).
In Psicoaritmetica(9J
sull'algebra" - Montessori scrive: La
costruzione
tendo
vicini
pazienza
che può soddisfare
tanto un fanciullo
quanto
una persona
adulta n.
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I
64-ILQUADERNOMONTESSORIIprimavera
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
111. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3:
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Figura 6
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La "linea" formata da "cubi" rappresenta
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I:
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i
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,I
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il binomio (a+b) elevato alla 4a potenza:
(a+b)42,
10a3b2+ 10a2b3+5ab4+b5: 32 termini (proprio
25=32),
disposti in 6 gruppi.
Il materiale Montessori relativo alla 5a potenza è costituito di due scatole, ciascuna contenente 32 pezzi opportunamente colorati e propriamente organizzati in "quadrato": è un prisma retto a base quadrata con lo spigolo di bapresentazione
geometrica
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della
Anc~eqUi'
q base qVqdrata"
la Uno,
5a potenza,
si
cop~r~isce
+
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Figura
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7
Psicoaritmetica(9)
- nel capitolo appena citato - annota: "Sebbene il lavoro sia pur sempre quello di scomporre e ricomporre un in-
Biblioteca Digitale Montessoriana (BDM) / Montessori Digital Library - Centre for Montessori Studies - University of Roma Tre
ILQUADERNOMONTESSORIIprimavera2000-65
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lasuarappresentazionegeometricacomeunenorme"bastone":prismaret-
Figura 8 - Il "quadrato" formato da "linee" rappresenta
(a+b)5.
Il volume
di questo
immaginario
bastone
- corrispondente
a 510 - occupe-
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-ILQUADERNOMONTESSORIIprimavera2000
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
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sieme di oggetti separabili e manualmente operativi, tuttavia quanta differenza fra quando il bambino maneggiava le aste numeriche per contare da
1 a 101Ora possiede, in oggetti tangibili, la realizzazione di formule algebriche che raggiungono la 5a potenza e che fanno penetrare la sua conoscen-
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"Materializzare le astrazioni"
Montessori, nel capitolo relativo all'algebra - intitolato "Ol-
Psicoaritmetica{9!
"Quale
po ha la materializzazione, cioè la rappresentazione
sco-
geometrica delle formule
tesse continuare materializzando queste formazioni, col presentarle sotto
l'aspetto di solidi geometrici costruiti di parti sempre più complicate proprio
di operatività manuale, esso potrebbe divenire accessibile ai bambini.
su quanto precedentemente
sopra la costruzione di tali oggetti, cioè,
ci servì da chiave per svelare i segreti del numero.
ta e quinta potenza), l'aspetto geometrico è presente per primo nella struttura assunta dai pezzi costituenti i tre differenti insiemi e, per secondo, l'aspet-
sua grandezza - cioè a dire: ciascuno di essi ha un volume e quindi un peso
che gli sono propri. C'è poi il colore assegnato a ciascun pezzo - variabile secondo determinati parametri - e che li contraddistingue opportunamente.
dalla presenza unica o multipla di un dato pezzo, dalle misure pertinenti a ciascuno di essi. L'aspetto algebrico, infine, è sorprendente: esso è intimamente
In un discorso del 1985(10)', la,DoUoressa'Montessori
affe~l1jlava
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"(..) gue-"
sti esperimenti (matematicI) non furono limitati soltanto alle classi de/piccoli
cazione secondaria; e sono interessanti per la loro grande originalità (...) Infatti il progresso nello studio delle matematiche è guidato dalla psicologia
dell'individuo invece che da programmi prestabiliti, e perciò tali esperimenti
costituiscono veramente capitoli inediti di una psicologia insospettata (..)".
importanti
pita
risiede in questo: per interessar-
offrireai bambini cose di difficoltàmaggiore.
li, dobbiamo
questa
divenne mio scopo di
verità,
studiare
i modi
(..)
Una
volta
ca-
per mettere la men-
te del bambino
stato
consentito
separatamente
di accostarsi, analizzando tutte le difficoltàe presentandole
mediante
strumenti
concreti
(..).
Cioè
a dire "materializzare
le astrazioni", astrazioni che - in se stesse - non sono inaccessibili al bambi-
prensione
e
approfondimento.
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ILQUADERNOMONTESSORIIprimavera2000-67~
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
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materialmente
chiaro e capace
di verifica sperimentale
(...)".
Questepropostedicaratteretecnicotendonoapromuoverelapienacom-
Punti di coscienza
della struttura
dei materiali algebrici
sopra descritti.
Un'esplorazioneattentamisembrafondamentaleenecessariaperottenere
prensione
un'adeguata conoscenza di questi materiali avanzati, anche per predisporre successive e adeguate presentazioni per i bambini.
*
Per passare da (a+b)3ad (a+b)4,si deve utilizzareun materiale con ilcubo
nomio
- estensione
Per quale
ragione
del
training
dobbiamo
sensoriale
impiegare
alle
forme
un cubo
- ha lo spi-
tridimensionali
del binomio
con misure
dif-
ferenti da quelle del precedente?
* Nella "materializzazione" di (a+b)4, per quale ragione impieghiamo tre scatole di prismi di uso successivo, mentre per (a+b)5 ne impieghiamo due soltanto?
*
In ognuna delle cinque scatole i prismi sono disposti in due strati sovrap-
posti. Secondo quale principio uno strato può essere inferiore o superiore, cioè
occupare una disposizione alternativa?
* Qual è il pattern definito, ~econdo il qualie i prisfiTlidi ciascuno strato sono
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* Perché i Plrisrrnli
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lo sono?
* Q'uale valore letterale assegnare a 2 e a 3? Ossia: "a"=2, ovvero "a"::::3?(e
conseguentemente:
"b"=3, ovvero "b"=2?) Quali sono i "precedenti" montessoriani al riguardo?
* Qual è il rationale che spiega perché la Dottoressa Montessori, nella strutturazione (e, quindi, nelle presentazioni) dei suoi materiali per la quarta e
quinta potenza di un binomio, ad un certo punto del lavoro cambia colore a
quasi tutti i prismi? Perché
alcuni pochi prismi, al contrario,
mantengono
il
*Comerappresentaregradualmente,mediantecartellinisciolti,ilvaloreal-
colore originale?
gebrico di ciascun prisma delle scatole relative alla quarta potenza e di ciascun prisma di quelle relative alla quinta potenza?
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68-ILQUADERNOMONTESSORIIprimavera2000
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
Ecco che bambini di nove anni presero interesse all'algebra e alla 4a e Sa potenza del binomio; all'estrazione di radici cubiche con radicando di molte cifre.
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Camillo Grazzini
Fondazione "Centro Internazionale
Montessoriani"
Bergamo
NOTE:
Studi
(1) Maria Montessori
le, Amsterdam
(2)
Maria
- a
1970.
Montessori
centenaryanthology 1870-1970.Association Montessori Internationa-
Psychogeometry
and
Psychoarithmetic,
vo, riportata all'inizio di questo articolo,
dell'uomo,
con queste parole un'attività spontanea
ni che si proposero insieme di eseguire
(3) MariaMontessoriFormazione
di fare
il "quadrato
1982
No.
1/2.
è stata presa da questa fonte.
Garzanti Milano, 111
edizione 1950. Montessori riporta
dei bambini: "Ricordo poi quattro o cinque bambila moltiplicazione algebrica di tutto l'alfabeto per se
dell'alfabeto"".
Eanchequestavoltal'operazionerichieseillavoro
stesso:
In Communications
ghezza di circa dieci metri. Questi lavori pazienti avevano l'effetto di rendere la mente più for-
(4) Maria Montessori La scoperta del bambino, Garzanti Milano, quarta edizione 1953. Vedi capitolo XIX: "Ulteriori sviluppi in aritmetica".
Leggiamo:
"Tutto /'insegnamento
dell'aritmetica
e dei principi di algebra, sotto forma di lettura di cartellini che servono a ricordarli e di altro materiale, conduce a risultati che potrebberosembrarefavolosi,echedimostranocome/'insegnamentodell'aritmeticadovrebbe
es-
sere completamente
trasformato, muovendo
da una preparazione
sensitiva della mente, basata su una conoscenza concreta. (...) Ma, oltre al metodo attivo, in cui opera sempre il movimento della mano che muove oggetti, e in cui i sensi sono così energicamente
impiegati,
allontanandosi
dal materiale, giungono
molto facilmente
a desiderare
di mettere
in iscritto l'ope-
razione, facendo così un lavoro mentale astratto, e acquistando una specie di tendenza naturale e spontanea
ai calcoli mentali".
Association
sponsibility,
Montessori.lnternational
of United States, Inc, 1999.
no,s.d..(ma1910).
Sur l'homme
et le développement
des ses facultés ou Essai de statistique
che agiscono sullo sviluppo ficitata viene originalmente elaborato il con-
sociale (1835 e 1869) studia le cause naturali e perturbatrici
sico, morale e intellettuale
cetto di
uomo
medio,
rato uno dei fondatori
dell'uomo;
nell'opera
fatto proprio dalla stessa Montessori. Quételet - fra l'altro - è considedella criminologia
e della moderna medicina
legale.
1557).LastrutturavennesuccessivamenteripresadaBlaisePasca!(1623-1662)epoidaNew-
ton
per
il suo
"teorema
Maria
Montessori
(9)
Maria
Montessori
Psicoaritmetica,
Garzanti
Milano
1971.
tenuto alla Cambridge
Educa1971 No.3. Traduzione
Maria
tion Society at TrinityCol/ege, il16 ottobre 1935). In Communications
Questo discorso venne pronunciato
in occasione
zione originale spagnola dei due libri
Araluce,
Barcellona
1934.
Psico-aritmética
della presentazione
e Psico-geometria,
al pubblico
CasaEditorial
(10)
binomiale".
Educazione
per un mondo nuovo, Garzanti Milano 1970.
indiane" del 1943, questo libro venne primieramente pubblicato in lingua inglese nel 1946.
(8)
Biblioteca Digitale Montessoriana (BDM) / Montessori Digital Library - Centre for Montessori Studies - University of Roma Tre
ILQUADERNOMONTESSORI/primavera2000-69
Centro di Studi Montessoriani - Dipartimento di Progettazione Educativa e Didattica - Università Roma Tre
Alla
dell'edi-
