31/01/2011

31.01.11
Esercizi di Fisica Generale
Foglio 3.
Forze
1. Un corpo di massa m viene sospeso da
una molla con costante elastica k, come
in figura (i).
La molla si allunga di
0.1 m. Se ora due corpi identici di massa
m/2 vengono collegati alla molla come in
figura (ii), di quanto si allunghera’ la molla?
soluzione
Nel caso (i) la forza di gravità |F~g | = mg è compensata dalla forza della molla |F~k | = k∆x.
Infatti, fissato un sistema di riferimento che punta verso l’alto
m~a = ~0 = F~k + F~g = k∆x k̂ − mg k̂.
Dunque
∆x =
mg
= 0.1 m.
k
(1)
(2)
Nel caso (ii) l’equazione di stato è ancora
m
1
~a = ~0 = F~k + F~g = k∆x0 k̂ − mg k̂,
2
2
(3)
per ciascuna delle masse e dunque
∆x0 =
mg
= 0.05 m.
2k
2. Si calcoli la costante elastica effettiva delle due configurazioni in disegno.
(Molle collegate in serie o in parallelo)
soluzione
(4)
Nel caso (a) le due molle si allungheranno di ∆x1 e ∆x2 . La forza che agisce sulla molla inferiore
è la forza di gravità della massa m e viene compensata dalla molla con costante k2 . La prima
molla invece si allunga per compensare la forza che agisce su di lei dovuta alla seconda molla
che si è allungata grazie al peso sottostante. Dunque
mg = k2 ∆x2 = k1 ∆x1 .
(5)
Una molla equivalente avrebbe costante elastica k tale per cui
k∆x = mg,
ma ora
∆x = ∆x1 + ∆x2 =
mg mg
+
,
k1
k2
(6)
(7)
da cui
1
1
1
+
(8)
=
k
k1 k2
Nel secondo caso invece la gravità che agisce sul peso è compensata dalla somma delle forze
delle molle (che si allungano della stessa quantità ∆x)
mg = k1 ∆x + k2 ∆x.
(9)
Dunque la costante elastica effettiva è
k = k1 + k2 .
(10)
3. Una persona cerca di scalare una corda che è bilanciata all’estremità opposta da un peso di
massa m e vincolata da una puleggia. Inizialmente sia la persona che il peso sono fermi. La
persona dunque cerca di scalare la corda tirandola a se con una forza costante, cercando di
raggiungere il peso. Il peso si muove a seguito di questa azione? Se si, in quale direzione e di
quanto?
soluzione
L’uomo agisce con una certa forza sulla corda e allo stesso modo la corda deve agire sull’uomo
con una reazione che viene trasmessa tramite la tensione della corda stessa. Questo implica
che le forze che agiscono sull’uomo sono la forza peso e la tensione della corda. Da questo la
sua accelerazione sarà
T
a=
− g.
(11)
m
La tensione si trasmette poi al peso all’altro estremo della corda imprimendo a sua volta una
accelerazione al peso pari a
T
a=
− g.
(12)
m
Ovviamente la tensione del filo, nel momento in cui l’uomo agisce sulla corda stessa con una
forza F è maggiore rispetto al caso in cui il sistema è statico (T = F + mg). In conclusione,
sia l’uomo che il peso si cominciano a muovere con una accelerazione verso l’alto data dalla
formula precedente e dunque percorrono lo stesso tratto verso l’alto nello stesso tempo.
Page 2
4. Una particella di massa m entra a metà di una regione separata da due piastre che stanno a
distanza h tra loro al tempo t = 0 con velocità iniziale v0 parallela alle piastre stesse. Sulla
particella agiscono sia la gravità che una forza che punta verso l’alto con modulo
|F~ | = bt,
dove b è una costante positiva, sufficiente a far toccare la piastra superiore alla particella senza
che prima abbia toccato quella inferiore.
(a) Si disegni il moto della particella;
(b) Si calcoli il valore minimo di b;
(c) Si calcoli quanto tempo ci vuole perchè la particella raggiunga il punto più basso.
soluzione
L’equazione di Newton per la particella è
m~a = F~g + F~b .
(13)
Se scelgo un sistema di riferimento con l’asse x diretto lungo le piastre e l’asse y in direzione
ortogonale, con y = 0 all’altezza della piastra inferiore, l’equazione di Newton si scompone
come
(
max = 0
(14)
may = bt − mg
Integrando otteniamo


 vx = v0
1 b 2

 vy =
t − gt
(15)
2m
e di conseguenza


 x = v0 t
1 b 3 1 2

 y = y0 +
t − gt
(16)
6m
2
dove la distanza tra le piastre è 2y0 . Vogliamo ora identificare per quale valore di b il punto di
minimo è y = 0. Questo significa

1 b 2


t − gt = 0
 vy =
2m


 y = y0 + 1 b t3 − 1 gt2 = 0
6m
(17)
2
La soluzione dunque è
s
b=
2m2 g 3
.
3y0
Page 3
(18)
Il grafico del moto per m = 1 Kg, g = 9.8 ms−1 e y0 = 1 m:
Moto circolare
1. Si consideri un sistema di due stelle di massa m1 e m2 . Si assuma che entrambe si muovano di
moto circolare uniforme attorno al centro di massa del sistema. Se le stelle si trovano sempre
alla stessa distanza s tra loro, si calcoli il periodo orbitale.
soluzione
La forza centripeta per entrambe le stelle è data dalla forza di gravità. Dunque
ac1 = m1 r1 ω 2 = G
m1 m2
,
s2
ac2 = m2 r2 ω 2 = G
m1 m2
,
s2
(19)
dove r1,2 denota la distanza dal centro di rotazione e s = r1 + r2 . Dunque
s = r1 + r2 =
da cui
s
ω=
G
s2 ω 2
(m1 + m2 ),
G
(m1 + m2 )
s3
(20)
(21)
e dunque
T =
2π
.
ω
(22)
2. Una macchina di massa m si muove di moto circolare su una pista parabolica di raggio R
e inclinata ad un angolo θ rispetto al suolo. A che velocità la macchina deve entrare nella
parabolica per mantenere la propria altezza costante?
soluzione
Scelgo un sistema di riferimento in cui l’asse x e’ parallelo al suolo (la superficie della parabolica
è ad un angolo θ rispetto all’asse x) e l’asse y è diretto verso l’alto. Le forze che agiscono sulla
macchina sono due, la forza di gravità e quella di reazione vincolare, per cui
~.
m~a = F~g + N
Page 4
(23)
Se la macchina vuole restare in pista, l’accelerazione lungo l’asse x deve essere pari all’accelerazione
centripeta necessaria per svolgere la curva di raggio R. Se poi vogliamo che la macchina non
si muova lungo y allora dobbiamo anche richiedere che ay = 0. In conclusione

2

 −m v = −N sin θ
R


(24)
0 = N cos θ − mg
Risolvendo il sistema si trova
v=
p
Rg tan θ.
(25)
3. Una palla di massa m è legata tramite una molla ad un palo rotante con velocità angolare
costante ω. Se visto dall’alto la palla si muove di moto antiorario su un cerchio di raggio R.
Quando la molla non è allungata, la distanza della palla dall’asse è R0 . Il piano su cui ruota
la palla è posto ad una certa altezza (h) dal suolo. Se improvvisamente la palla si stacca dalla
molla e colpisce il suolo a distanza d dal punto di stacco, si calcoli il valore della costante
elastica della molla k e dell’altezza h in funzione degli altri parametri.
soluzione
La forza centripeta che serve a tenere la palla legata al palo è data dalla molla
mω 2 R = k(R − R0 ).
(26)
La velocità con cui lascia la molla è dunque
v = ωR.
(27)
Nel tempo in cui cade da h, ovvero
s
2h
g
(28)
d = ωRt.
(29)
t=
percorre
Dunque
mω 2 R
k=
,
R − R0
1
d
h= g
2
ωR
Page 5
2
.
(30)